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SEAs导纳控制的μ综合方法

李思奇 黄远灿

李思奇, 黄远灿. SEAs导纳控制的 μ综合方法. 自动化学报, 2019, 45(x): 1−9. doi: 10.16383/j.aas.c180576
引用本文: 李思奇, 黄远灿. SEAs导纳控制的 μ 综合方法. 自动化学报, 2019, 45(x): 1−9. doi: 10.16383/j.aas.c180576
Li Si-Qi, Huang Yuan-Can. μ-Synthesis for admittance control of SEAs. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1−9. doi: 10.16383/j.aas.c180576
Citation: Li Si-Qi, Huang Yuan-Can. μ-Synthesis for admittance control of SEAs. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1−9. doi: 10.16383/j.aas.c180576

SEAs导纳控制的μ综合方法


DOI: 10.16383/j.aas.c180576
详细信息
    作者简介:

    北京理工大学机电学院博士研究生. 2011年获得太原科技大学机械工程硕士学位. 主要研究方向为电路设计, 鲁棒控制, 人 − 机交互控制. E-mail: rxjrlsq@163.com

    北京理工大学机电学院副教授. 主要研究方向为柔性机器人, 阻抗控制和非线性系统控制. 本文通信作者. E-mail: yuancanhuang@bit.edu.cn

  • 基金项目:  国家自然科学基金(61773065, 61075080), 哈尔滨工业大学机器人与系统国家重点实验室开放式基金(SKLRS-2017-KF-05)资助

μ-Synthesis for Admittance Control of SEAs

More Information
  • Fund Project:  Supported by National Natural Science Foundation of China (61773065, 61075080), State Key Laboratory of Robotics and System, Harbing Institute of Technology (SKLRS-2017-KF-05)
  • 摘要: SEAs具有在确保机器人性能的基础上兼顾其安全性的特点, 因此被广泛地应用在康复机器人中. 为实现良好的康复训练效果, 机器人需根据实际要求呈现不同的阻抗特性. 本文采用μ综合技术解决了SEAs导纳控制器的设计问题. 首先, 考虑参数摄动, 传感器噪声, 输入干扰及控制输入限制等不确定性因素, 建立SEAs模型. 其次, 应用混合稳定性原理分析系统的交互稳定性. 由于无源环境的阻抗在高频段必然呈现小增益特性, 所以, 当端口导纳在低频段满足无源性, 高频段具有小增益时, 就能确保交互的稳定性. 然后, 将SEAs的导纳控制综合问题转化为实际端口导纳与期望导纳匹配的μ综合问题. 最后, 通过调节加权函数, 不仅让SEAs闭环系统的端口导纳逼近期望的端口导纳, 还能同时满足交互稳定性条件, 从而可以独立于环境因素来设计导纳控制器. 仿真结果表明, 基于μ综合方法设计的控制器, 能精确地逼近期望的端口导纳, 且确保交互稳定性. 另外, 通过Hankel逼近方法得到的降阶控制器也具有满意的控制效果.
  • 图  1  SEAs模型

    Fig.  1  The SEAs model

    图  2  SEAs结构框图

    Fig.  2  The block diagram of SEAs equation

    图  3  混合交互稳定性实例

    Fig.  3  A example of “mix” interaction stability

    图  11  导纳模式(弹簧 − 阻尼 − 质量块并联模型)控制器降阶前后的比较

    Fig.  11  Demotion of the admittance mode controller (spring-damper-mass connect in parallel)

    图  4  广义对象结构简图

    Fig.  4  Generalized plant structure diagram

    图  5  导纳控制结构

    Fig.  5  Admittance control configuration

    图  6  导纳控制器的求解过程

    Fig.  6  The solving procedure of admittance controller

    图  10  四种导纳模式的交互设计

    Fig.  10  Interactive design of four admittance modes

    图  7  人手臂阻抗图

    Fig.  7  Impedance of human arm

    图  8  控制器求解和交互仿真验证流程图

    Fig.  8  Flow chart of controller solving and interactive simulation verification

    图  9  零阻抗的频率响应图

    Fig.  9  Bode diagrams of zero impedance

    图  12  零阻抗的交互仿真

    Fig.  12  Interactive simulation of zero impedance

    图  13  导纳模式(弹簧-阻尼-质量块并联模型)的交互仿真

    Fig.  13  Interactive simulation of admittance mode (spring-damper-mass connect in parallel)

    表  1  SEAs仿真参数

    Table  1  The SEAs simulation parameter values

    参数 单位 参数 单位
    $M_{mn}$ $0.61$ $kg\cdot m^2$ $m_{hn}$ $0.4$ $kg\cdot m^2$
    $\delta_{m}$ $0.06$ $---$ $m_{hd}$ $0.1$ $kg\cdot m^2$
    $D_{mn}$ $4.9$ $N\cdot m\cdot s/rad$ $b_{hn}$ $2.1$ $N\cdot m\cdot s/rad$
    $D_{md}$ $1.0$ $N\cdot m\cdot s/rad$ $b_{hd}$ $0.5$ $N\cdot m\cdot s/rad$
    $k_{n}$ $696.9$ $N\cdot m/rad$ $k_{hn}$ $30$ $N\cdot m/rad$
    $k_{d}$ $20$ $N\cdot m/rad$ $k_{hd}$ $5$ $N\cdot m/rad$
    $M_{l}$ $0.14$ $kg\cdot m^2$ $D_{l}$ $0.01$ $N\cdot m\cdot s/rad$
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出版历程
  • 收稿日期:  2018-08-29
  • 录用日期:  2018-12-24
  • 网络出版日期:  2019-12-30

SEAs导纳控制的μ综合方法

doi: 10.16383/j.aas.c180576
    作者简介:

    北京理工大学机电学院博士研究生. 2011年获得太原科技大学机械工程硕士学位. 主要研究方向为电路设计, 鲁棒控制, 人 − 机交互控制. E-mail: rxjrlsq@163.com

    北京理工大学机电学院副教授. 主要研究方向为柔性机器人, 阻抗控制和非线性系统控制. 本文通信作者. E-mail: yuancanhuang@bit.edu.cn

基金项目:  国家自然科学基金(61773065, 61075080), 哈尔滨工业大学机器人与系统国家重点实验室开放式基金(SKLRS-2017-KF-05)资助

摘要: SEAs具有在确保机器人性能的基础上兼顾其安全性的特点, 因此被广泛地应用在康复机器人中. 为实现良好的康复训练效果, 机器人需根据实际要求呈现不同的阻抗特性. 本文采用μ综合技术解决了SEAs导纳控制器的设计问题. 首先, 考虑参数摄动, 传感器噪声, 输入干扰及控制输入限制等不确定性因素, 建立SEAs模型. 其次, 应用混合稳定性原理分析系统的交互稳定性. 由于无源环境的阻抗在高频段必然呈现小增益特性, 所以, 当端口导纳在低频段满足无源性, 高频段具有小增益时, 就能确保交互的稳定性. 然后, 将SEAs的导纳控制综合问题转化为实际端口导纳与期望导纳匹配的μ综合问题. 最后, 通过调节加权函数, 不仅让SEAs闭环系统的端口导纳逼近期望的端口导纳, 还能同时满足交互稳定性条件, 从而可以独立于环境因素来设计导纳控制器. 仿真结果表明, 基于μ综合方法设计的控制器, 能精确地逼近期望的端口导纳, 且确保交互稳定性. 另外, 通过Hankel逼近方法得到的降阶控制器也具有满意的控制效果.

English Abstract

  • 串联弹性驱动器[1](Series elastic actuators, SEAs)是一种将弹性组件串联于电机和负载之间的柔性驱动器, 它具有吸收冲击, 降低输出阻抗和高精度力矩输出等优点[2-5]. 因此被广泛应用于机器人中, 以提高人机接触的安全性和舒适性, 如美国Rethink Robotics公司的Baxter机器人[6], 荷兰Twente大学的下肢动力外骨骼LOPES[7]等各种康复/助力机器人.

    为实现良好的交互行为, Hogan[8]提出阻抗控制方法. 随后Colgate等人[9-10]将无源性理论用于阻抗控制的交互稳定性. Pratt等人利用前馈补偿结合PID力控方法, 提高交互性能[1]. 串级结构被广泛地应用于SEAs控制, 其中以力矩外环嵌速度或位置内环最流行[11-13], 该结构可以实现低阻抗, 但由于无源性约束, 视在刚度不能超过SEAs的物理刚度. 文献[14]设计了基于双曲正弦函数的鲁棒模糊滑模控制方法, 解决柔性关节的力矩受限问题. 文献[15]提出前馈补偿和模糊滑模相结合的鲁棒控制器, 实现良好的位置跟踪性能和抗干扰能力. 文献[16]设计基于RISE反馈的最优控制方法, 克服SEAs的模型参数不确定和有界扰动, 实现快速平稳的力矩跟踪.

    $ H_\infty $控制能有效地处理非结构不确定性问题[17], 而$ \mu $综合方法通过不确定性结构降低了保守性[18]. 文献[19]针对两自由度柔性关节机器人运用$ \mu $综合方法, 设计鲁棒位置运动控制器. 文献[20]采用$ \mu $综合方法抑制柔性关节臂的振动问题. 文献[21]在考虑参数变化和外界干扰的基础上, 通过$ \mu $综合方法设计刚性并联机器人的柔顺力控制, 模拟空间对接过程.

    在康复机器人应用中, 根据不同的康复训练模式, 要求机器人能呈现大范围的阻抗变化. 因此, 寻找一种能任意逼近期望端口阻抗的设计方法, 成为康复机器人实用化的关键. 本文依据阻抗匹配的思想, 利用$ \mu $综合方法设计SEAs的导纳控制器, 实现端口导纳的大范围变化.

    文章的结构如下: 第一节建立SEAs的双质量块模型, 并考虑参数摄动; 第二节提出了混合交互稳定性的概念; 第三节基于$ \mu $综合方法设计了SEAs的导纳控制器, 在满足匹配精度的同时保持交互稳定性; 第四节仿真实现五种导纳模式, 验证$ \mu $综合方法设计导纳控制器的有效性; 最后总结全文.

    • 图1是SEAs的双质量块模型示意图, 其中$ M_{m} $表示直流无刷电机的转动惯量; $ k $表示SEAs的等效刚度; $ D_{m} $表示与电机速度相关的粘性摩擦系数; $ M_{l} $表示连杆的转动惯量; $ D_{l} $表示连杆轴承的粘性摩擦系数; $ \tau_{m} $是电机的控制力矩; $ \tau_{ext} $是交互端口所受的外力. $ q_{m} $$ q_{l} $分别表示电机侧和连杆侧的角位移. 模型中忽略了弹簧的结构阻尼.

      图  1  SEAs模型

      Figure 1.  The SEAs model

      根据牛顿运动定律, 列写出SEAs的动力学方程:

      $$ \left\{\begin{aligned} &M_{m}\ddot{q}_{m}+ D_m\dot{q}_{m} = \tau_{m}-\tau_{s}\\ &M_{l}\ddot{q}_{l}+ D_{l}\dot{q}_{l} = \tau_{s}+\tau_{ext}\\ &\tau_{s} = k(q_{m}-q_{l})\\ \end{aligned} \right. $$ (1)

      式中, $ \tau_{s} $为弹簧恢复力.

      图2是描述SEAs动力学关系的信号流图.

      图  2  SEAs结构框图

      Figure 2.  The block diagram of SEAs equation

      在鲁棒控制中, 可以将不确定性建模为外部干扰或标称模型的摄动[17]. 本文将摩擦中不能用与速度相关的粘性模型描述的部分, 输入力矩脉动和噪声等建模为外部干扰. 另外, 通过等效惯量$ M_{m} $, 摩擦系数$ D_{m} $以及等效刚度$ k $的参数摄动描述谐波减速器和轴承等组件的不确定性[13, 22]. $ M_m $, $ D_m $$ k $的参数摄动分别描述如下:

      $$ \left\{\begin{aligned} &M_m = M_{mn}(1+\delta_m\Delta_{M_m})\\ &D_m = D_{mn}+D_{md}\Delta_{D_m}\\ &k = k_n+k_d\Delta_k \\ \end{aligned} \right. $$ (2)

      式中, $ M_{mn} $, $ D_{mn} $$ k_n $为相应参数的标称值; $ M_{mn}\delta_m $, $ D_{md} $$ k_d $为相应参数的最大偏差值; $ \Delta_{M_m} $, $ \Delta_{D_m} $$ \Delta_k $分别表示范数小于1的参数摄动.

      下面, 使用LFT形式描述参数不确定性. 首先, 依据参数摄动模型, 用$ y_k $, $ y_{D_m} $, $ y_{M_m} $$ u_k $, $ u_{D_m} $, $ u_{M_m} $ 分别表示$ \Delta_k $, $ \Delta_{D_m} $$ \Delta_{M_m} $的输入和输出, 分离摄动参数. 然后, 将标称值部分表示为标称系统, 并把参数摄动集中在一起与该标称系统反馈连接. LFT形式的状态空间方程如下:

      $$ \left[\begin{array}{*{20}{c}} \dot{x} \\ \hline y_\Delta\\ q_l \\ q_m\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c} A & B \\ \hline C & D \\ \end{array} \right] \left[\begin{array}{*{20}{c}} x \\ \hline u_\Delta \\ \tau_m \\ \tau_{ext} \\ \end{array} \right] $$ (3)

      其中, $x=\left[\begin{array}{*{20}{c}} q_m \\ \dot{q}_m \\ q_l \\ \dot{q}_l \end{array} \right], $$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0&0\\{ - \dfrac{{{k_n}}}{{{M_{mn}}}}}&{ - \dfrac{{{D_{mn}}}}{{{M_{mn}}}}}&{\dfrac{{{k_n}}}{{{M_{mn}}}}}&0\\0&0&0&1\\{\dfrac{{{k_n}}}{{{M_l}}}}&0&{ - \dfrac{{{k_n}}}{{{M_l}}}}&{ - \dfrac{{{D_l}}}{{{M_l}}}}\end{array}} \right],$

      $$ B=\left[\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\dfrac{1}{M_{mn}} & -\dfrac{1}{M_{mn}} & -\dfrac{\delta_m}{M_{mn}} & \dfrac{1}{M_{mn}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \dfrac{1}{M_l} & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{M_l} \\ \end{array} \right], $$
      $$ C=\left[\begin{array}{*{20}{c}} k_d & 0 & -k_d & 0 \\ 0 & D_{md} & 0 & 0 \\ -k_n & -D_{mn} & k_n & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right], \hspace{80pt}$$
      $$ D=\left[\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -\delta_m & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right], \hspace{80pt}$$
      $$ y_{\Delta}=\left[\begin{array}{*{20}{c}} y_k \\ y_{D_m}\\ y_{M_m} \\ \end{array} \right], \hspace{150pt}$$
      $$ u_{\Delta}=\left[\begin{array}{*{20}{c}} u_k \\ u_{D_m} \\ u_{M_m} \\ \end{array} \right]. \hspace{150pt}$$
    • 无源性和小增益定理是两种常用的判断反馈互联系统输入输出稳定性的方法. 小增益理论陈述的是, 如果两个稳定系统增益的乘积小于1, 那么这两个系统的反馈互联是稳定的[23]; 无源性理论表明, 两个无源系统的反馈连接仍然是无源的[24]. 然而, 高频动态经常破坏系统的无源性. 文献[25]中提出基于频域的混合稳定性判据, 其要求反馈互联的两个子系统, 在低频段满足无源性, 在高频段满足小增益定理. 通过例1阐明混合稳定性判据的基本思想.

      例1: 给出两个稳定单输入 − 输出线性时不变系统的传递函数分别为$ m_1 = \dfrac{3}{(s+1)(s+2)} $$m_2 = \dfrac{6}{(s+2)(s+3)} $, 它们的Nyquist曲线如图3中的点画线和虚线曲线所示, 其中, $ m_1(s) $在低频段$ (0,1.43]rad/s $是无源的, $ m_2(s) $在低频段$ (0,2.46]rad/s $是无源的. 两个系统反馈互联后, 在低频段$ (0,1.43]rad/s $维持无源性, 但在高频段$ (1.43,\infty]rad/s $ 的增益乘积小于1. 图3中的实线没有围绕点$ -1+j0 $, 所以反馈互联后的系统是稳定的.

      图  3  混合交互稳定性实例

      Figure 3.  A example of “mix” interaction stability

      本文在使用$ \mu $综合方法设计导纳控制器时, 使被控的SEAs系统端口导纳在低频段匹配期望导纳, 从而在低频段具有无源性. 由于端口导纳在高频段的增益很小, 因此在与人手臂环境进行交互时, 通常能满足混合稳定性条件(详见图11(c)的说明).

      图  11  导纳模式(弹簧 − 阻尼 − 质量块并联模型)控制器降阶前后的比较

      Figure 11.  Demotion of the admittance mode controller (spring-damper-mass connect in parallel)

    • $ \mu $综合是有效的鲁棒控制器设计工具. 本文采用$ D-K $迭代算法, 进行结构奇异值寻优, 设计保守性较低的鲁棒控制器.

      在本文中, 调节变量$ z_1 = W_e(q_l-\tau_{ext}Y_ds^{-1}) $衡量在设计频段上端口导纳与期望导纳的匹配精度, 其实质是极小化实际位置与期望导纳依据外力给出的期望位置的差, 进而实现导纳匹配. 在零阻抗时, 等价于接触力最小, 即$ z_1 = W_e\tau_s $.

      图4是考虑外部干扰和噪声后的广义被控对象, 其中, $ P $是输入到输出的传递函数; 外部干扰$ w $包括外力, $ n_m $$ n_l $表示传感器噪声, $ d_i $为输入干扰(包含力矩脉动和摩擦等外部干扰); $ u $是控制输入, $ u_{\Delta} $为参数摄动输入. $ y $是传感器输出; $ z $是调节变量, 包括导纳匹配$ z_1 $和控制输入限制$ z_2 $; $ y_{\Delta} $是摄动输出. $ K $即为需要设计的反馈控制器.

      图  4  广义对象结构简图

      Figure 4.  Generalized plant structure diagram

      图5是带加权矩阵的导纳控制结构, 其中, $ Y_1 $是零阻抗时的弹簧力, $ Y_2 $是位置误差. 其中, $ W_n $表示测量噪声的加权函数. 本设计选择光电编码器对角度位置进行测量, 其分辨率为$ 0.036^{\circ} $, 选取$ W_n = 0.036 $; $ W_i $表示输入干扰的加权函数, 该加权函数设计为一阶低通滤波器, 其在$ 0.25rad/s $存在一个极点[26, 27], 选取$ W_i = (4s+1)^{-1} $; $ z_2 $衡量控制量的大小, 通过选择加权函数$ W_u $抑制驱动器的饱和问题[19, 28], 选取$ W_u = (0.01s+0.1)(0.001s+1)^{-1} $. $ W_e $表示对导纳匹配精度的频率加权函数. 以人臂的康复训练为例时, 在小于$ 100rad/s $的频段内, 精确匹配导纳, 选取$ W_e = \zeta(0.01s+1)^{-1} $, 其中, $ \delta $是设计参数, 根据导纳匹配精度和交互稳定性确定(详见图6). 我们实现4种导纳模型: 纯弹簧, 弹簧$ - $阻尼并联, 弹簧 − 阻尼串联和弹簧 − 阻尼 − 质量块并联.

      图  5  导纳控制结构

      Figure 5.  Admittance control configuration

      图  6  导纳控制器的求解过程

      Figure 6.  The solving procedure of admittance controller

      如果只从设计导纳控制器的角度, 单输出$ q_m $$ q_l $均能实现上述控制目标. 然而, 文献[29]指出, 当系统存在参数不确定性时, 多传感器反馈能更好地鲁棒无源化. 因此, 本文采用$ q_m $$ q_l $双反馈. 与单反馈的比较见第4节图10(f).

      图  10  四种导纳模式的交互设计

      Figure 10.  Interactive design of four admittance modes

      衡量导纳匹配精度的指标如下[30]:

      $$ E = \int_{\omega_a}^{\omega_b}\log\frac{\mid Y_a(j\omega)\mid}{\mid Y_d(j\omega)\mid} $$ (4)

      式中, $ Y_a $$ Y_d $分别表示实际和期望的端口导纳. 本文取$ \omega_a = 10^{-2}rad/s $$ \omega_b = 10^2rad/s $.

      图6给出了基于导纳匹配精度并满足交互稳定性的$ \mu $综合方法.

      在零阻抗设计时, 需要对照图5修改$ z_1 $, 其他不变, 但$ \zeta $的取值可依据实际情况调整. 选择不同的初值得到不同的控制器. 所以, 可根据控制器阶数和匹配精度, 选出合适的控制器.

    • 依据实际的柔性关节[31-33]以及文献中人手臂的参数[30, 34, 35], 得到如表1所示的仿真参数. 假设人手臂的反应频率$ f $上限为$ 70rad/s $, 即, 超过该频率后, 手臂的阻抗开始衰减. 于是, 人体手臂的阻抗模型为:

      表 1  SEAs仿真参数

      Table 1.  The SEAs simulation parameter values

      参数 单位 参数 单位
      $M_{mn}$ $0.61$ $kg\cdot m^2$ $m_{hn}$ $0.4$ $kg\cdot m^2$
      $\delta_{m}$ $0.06$ $---$ $m_{hd}$ $0.1$ $kg\cdot m^2$
      $D_{mn}$ $4.9$ $N\cdot m\cdot s/rad$ $b_{hn}$ $2.1$ $N\cdot m\cdot s/rad$
      $D_{md}$ $1.0$ $N\cdot m\cdot s/rad$ $b_{hd}$ $0.5$ $N\cdot m\cdot s/rad$
      $k_{n}$ $696.9$ $N\cdot m/rad$ $k_{hn}$ $30$ $N\cdot m/rad$
      $k_{d}$ $20$ $N\cdot m/rad$ $k_{hd}$ $5$ $N\cdot m/rad$
      $M_{l}$ $0.14$ $kg\cdot m^2$ $D_{l}$ $0.01$ $N\cdot m\cdot s/rad$
      $$ Z_h(s) = \left(m_hs+b_h+\frac{k_h}{s}\right)(f^{-1}s+1)^{-2} $$ (5)

      式中, $ m_h = m_{hn}+m_{hd}\Delta $, $ b_h = b_{hn}+b_{hd}\Delta $, $k_h = $$ k_{hn}+k_{hd}\Delta $; $ m_h $, $ b_h $, $ k_h $分别表示人手臂质量, 阻尼和刚度; $ m_{hn} $, $ b_{hn} $, $ k_{hn} $为标称值; $ m_{hd} $, $ b_{hd} $, $ k_{hd} $为最大偏差值, $ \Delta $的范数小于1.

      图7给出了理想和实际的人手臂标称阻抗模型的Nyquist图. 从图中看出, 在高频段, 人手臂的实际阻抗随着频率的增大而减小.

      图  7  人手臂阻抗图

      Figure 7.  Impedance of human arm

      图8为控制器求解以及如何进行交互仿真验证的流程图.

      图  8  控制器求解和交互仿真验证流程图

      Figure 8.  Flow chart of controller solving and interactive simulation verification

    • 首先根据期望的端口导纳进行控制器的求解. 图9图10(a)(d)中虚线为含有参数不确定性的一簇实际端口阻抗/导纳频响曲线, 点画线表示不控制时SEAs标称模型端口阻抗/导纳, 实线为标称模型对应的实际端口阻抗/导纳频响曲线, 点线为期望的端口导纳.

      图  9  零阻抗的频率响应图

      Figure 9.  Bode diagrams of zero impedance

      1) 零阻抗模式

      图9给出了满足无源性的零阻抗交互实现. 从图9中可以看到在频率小于$ 1rad/s(0.16Hz) $时, 端口呈现很低的阻尼特性, 大于该频率后, 端口呈现近似$ M_l $质量块的频率特性, 端口阻抗的相角在$ \pm\,90^{\circ} $之间, 满足无源性.

      2) 四种导纳模式

      四种期望导纳的传递函数形式分别为: $ \dfrac{s}{k_{vir}} $表示纯弹簧形式; $ \dfrac{s}{k_{vir}+b_{vir}s} $表示弹簧与阻尼并联形式; $ \dfrac{k_{vir}+b_{vir}s}{k_{vir}b_{vir}} $表示弹簧与阻尼串联形式; $ \dfrac{s}{k_{vir}+b_{vir}s+m_{vir}s^2} $表示弹簧, 阻尼与质量块并联形式; 其中$ k_{vir} $表示期望的刚度值, $ b_{vir} $表示期望的阻尼值, $ m_{vir} $表示期望的质量块值.

      图10分别给出了四种导纳交互模式下的端口导纳. 依据混合稳定性判据, 均能与人手臂进行稳定交互.

      图10(a)中实现了$ 1\;000\;N/m $超过弹簧物理刚度的端口导纳, 其(a), (b)和(d)图均能在设定的频率段实现期望导纳, 但(c)图在高频段出现了一定的匹配误差, 其设计的端口导纳参数已分别在图中标注.

      图10(e)给出了图10(a)(d)中四种形式分别与期望导纳的误差图, 虚线表示纯弹簧形式, 点画线表示弹簧阻尼并联形式, 点线表示弹簧阻尼串联, 实线为弹簧阻尼质量块并联形式. 四条误差曲线均随着频率的增大而增大, 其中实线的误差值最小. 根据式(4)计算四条曲线在$ [10^{-2},10^2]rad/s $频率范围内的匹配精度值(已在图中标明), 在该范围内弹簧 − 阻尼 − 质量块并联形式与期望的导纳最接近. 误差曲线可准确的表征在设计期望的端口导纳过程中, 不同的设计方法对应的实际端口导纳匹配情况, 匹配精度值能全局衡量频段内与期望导纳的接近程度.

      图10(f)给出弹簧 − 阻尼 − 质量块并联情况下(期望的端口参数见图10(d)所示), 采用不同反馈情况下的误差曲线(实线为双反馈, 点画线为$ q_m $反馈, 虚线为$ q_l $反馈). 从该图中可以清楚的看到双反馈控制的误差要小于单反馈控制.

      3) 举例说明控制器降阶及混合稳定性的应用

      该节以导纳设计中的弹簧 − 阻尼 − 质量并联形式为例, 对该控制器进行降阶并说明混合稳定性的应用. 参数值如图10(d)所示. 原控制器为9阶, 在对控制器的Hankel奇异值进行评估, 可知降为7阶时误差最小, 采用平方根平衡截断法进行降阶, 降阶后的控制器如式(6)所示.

      图11(a)为控制器降阶前后的误差曲线比较, 实线为降阶前的误差曲线, 虚线为降阶后的误差曲线, 二者的匹配精度值相差$ 0.6 $. 同时图11(b)给出了降阶前后的端口导纳Nyquist图比较. 图11(c)表示交互的Nyquist图, 其控制器降阶前后的实际端口导纳见图11(b), 人手臂模型的端口阻抗图见图7, 实线为原控制器交互的Nyquist曲线, 虚线为控制器降阶的交互曲线, 降阶前后, 该曲线均没有围绕$ -1+j0 $点, 即控制器在与人手臂接触时稳定, 因此降阶前后控制器均满足混合稳定性要求.

    • 在Simulink中搭建交互仿真平台, 通过模拟人手臂推动SEAs关节末端的过程, 验证求解出的控制器. 图12(a)中的虚线是给定的人手臂输出速度曲线, 即人手臂缓慢加速在3 s后以恒定的速度推动负载端.

      图  12  零阻抗的交互仿真

      Figure 12.  Interactive simulation of zero impedance

      1) 零阻抗模式

      图12为零阻抗时的端口行为,(a)图中实线为SEAs负载末端即连杆的速度, 在控制器使端口呈现零阻抗时, (a)图两条曲线基本吻合, 实现了SEAs的跟随运动过程; 图(b)中曲线为SEAs末端连杆侧的位置曲线, 随着施加外力, 负载端的位置逐渐增大; 图(c)中实线为在实现期望速度过程中人手臂的施力曲线, 虚线为SEAs中弹簧的受力曲线, 因SEAs系统考虑了电机侧和接口侧的摩擦特性, 故弹簧力应克服电机侧摩擦力; 人臂施力应克服接口轴承的摩擦力和弹簧力, 图中曲线符合运动过程的受力平衡情况, 因此整个过程符合零阻抗的设计要求.

      $$ \left\{\begin{split} &K_{q_l-\tau _m}^7 = \frac{1\;364(s+0.46)(s-29.44)(0.01\;s^2+2.49\;s+254)(0.01\;s^2+4.38\;s+1107)} {(0.1\;s+8.79)(0.1\;s+0.34)(0.1\;s+0.03)(0.01\;s^2+21.04\;s+1\;439)(0.01\;s^2+10.52\;s+7\;580)} \\ &K_{q_m-\tau _m}^7 = \frac{43(s+187.4)(s+0.4615)(0.01\;s^2+1.46\;s+234)(0.01\;s^2+1.15\;s+7021)} {(0.1\;s+8.79)(0.1\;s+0.34)(0.1\;s+0.03)(0.01\;s^2+21.04\;s+1\;439)(0.01\;s^2+10.52\;s+7\;580)} \end{split} \right. $$ (6)

      2) 导纳模式

      以导纳模式中的弹簧 − 阻尼 − 质量块并联情况为例, 验证控制器降阶前后的交互过程, 如图13所示.

      图  13  导纳模式(弹簧-阻尼-质量块并联模型)的交互仿真

      Figure 13.  Interactive simulation of admittance mode (spring-damper-mass connect in parallel)

      期望的端口导纳参数如图10(d)所示, 实线为原9阶控制器, 虚线为降阶后的7阶控制器, 因实际端口导纳中存在弹簧特性, SEAs中的物理弹簧受力会与外力平衡, 故负载端的位置最终会处于静止状态. 对比两种曲线可知降阶前后的控制器在运动过程虽略有差别, 但总体影响不大, 因此控制器的求解及降阶符合设计要求.

    • 本文使用$ \mu $综合解决了含有不确定性SEAs的导纳控制问题. 不确定性包括模型参数摄动, 传感器噪声, 输入干扰和控制输入限制等. 通过选择$ z_1 $加权函数使受控系统的端口导纳逼近期望导纳, 呈现低频段无源, 高频段小增益的特点, 解决了系统与环境的交互稳定性问题, 实现独立于环境的导纳控制器设计. 以零阻抗和4种导纳模型的端口导纳特性为例, 设计满足混合稳定性条件的导纳控制器, 并对控制器进行了降阶. 仿真结果表明, 该方法能有效地设计SEAs鲁棒导纳控制器.

参考文献 (35)

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