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摘要: 本文针对无领航者多智能体系统以及领航-跟随多智能体系统执行器故障问题,设计了基于比例-积分结构的容错控制律. 考虑到传统的比例型控制律无法消除加性干扰影响下的稳态误差,本文引入积分环节,在一致性控制律中融入状态的积分项,用于改善多智能体系统一致性过程的稳态性能. 针对领航者输入不为零的情况,设计非线性的一致性控制律,并借助黎卡提方程以及Lyapunov函数,进行多智能体系统在故障情况下的一致性分析和控制律设计. 最后,通过一系列对比仿真,说明了所设计控制律在改善系统稳态性能方面的优势.Abstract: In this paper, a kind of proportional-integral controller is designed to deal with the fault-tolerant control problem for leaderless multi-agent systems (MASs) and leader-follower MASs, which are subject to actuator faults. Considering that the traditional proportional-type controller cannot eliminate the steady-state error under the influence of additive disturbances, this paper incorporates the integral term of the state in the consensus controller to improve the steady-state performance. In addition, the consensus controller is designed to be nonlinear for the case where the input of the leader is not zero. Then, the consensus of the MAS is analyzed under actuator faults and the controller is designed with the help of Riccati equation and Lyapunov function. Finally, a series of comparative simulations are provided to illustrate the advantages of the designed controller in improving the steady state performance.
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Key words:
- Multi-agent system /
- fault-tolerant consensus /
- PI control /
- actuator fault
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多智能体系统(Multi-agent systems, MASs)是由多个具有感知、认知、控制与行为等能力的自主运动体构成的一个整体. 个体之间通过局部相互作用, 使整个系统在宏观上涌现出复杂、有效、强大的智能行为. MASs的三个基本要素为智能体、交互方式和行为规则, 三者相互耦合. 其中, 智能体是组成MASs的基本单元, 可以是无人机、卫星等;交互方式用来描述智能体之间的相互作用关系, 如信息传输过程中的拓扑关系;行为规则是指智能体接收信息之后的反应规则, 如控制律的生成规则. 根据行为规则的不同, MASs的控制问题可以分为一致性控制[1-3]、编队控制[4-5]、蜂拥控制[6-7]等. 其中, 一致性控制是指通过设计分布式控制律使得所有个体在某些变量上达成一致, 除了在MASs控制领域的应用外, 一致性控制在传感器网络和时钟同步等领域均有广泛的应用.
目前MASs一致性控制的研究成果多集中在比例(Proportion, P)型控制律的设计上, 对于多输入多输出(Multi-input multi-output, MIMO)系统而言, 我们将控制律的生成只与当前状态/输出值有关的控制律称之为P型控制律. 这种基于状态/输出的P型控制律结构可以解决MASs在初始偏差下基本的一致性控制问题, 但是, 在一些情况下, 这种P型结构不足以支撑最终的一致性. 例如, 当存在加性干扰或故障时, 我们在P型结构的控制律下只能得到有界一致性, 无法消除稳态误差. 针对类似的情况, 可以引入状态的积分项, 利用积分环节在一定程度上改善系统的稳态性能.
事实上, 比例积分微分(Proportion-integration-differentiation, PID)型控制律是目前应用最为广泛的控制结构, 其结构简洁、易于实现并且具有较强的鲁棒性[8-9]. PID控制律的设计难点在于PID参数的调节, 尤其是针对MIMO系统. 在时域中, 目前常用的方法是基于线性矩阵不等式(Linear matrix inequalities, LMIs)的方法, 首先将比例、积分(或求和)和微分项(或差分)项进行增广, 然后针对增广后的系统进行控制律的设计[10-12]. 其中, 文献[10]和[11]针对一般线性离散的MIMO系统, 给出了基于LMIs的PID参数设计方法, 并将其推广到$ H_2 $以及$ H_\infty $控制问题中. 文献[12]针对网络化系统, 给出了固定步长积分的PID型控制律的设计方法.相比于单个MIMO系统, MASs可以看成是包含了拓扑结构信息的MIMO系统, 文献[13]针对一般线性离散MASs, 借助LMIs给出了无领航者以及领航- 跟随一致性控制问题中PID型控制律的设计方法.
上述成果均是基于理想执行器的假设, 当PID型控制结构遇到执行器故障时, 已有的设计方法将不再适用.执行器由于其连续不断地做机械运动, 因此出现故障的可能性极大, 执行器故障会对系统产生巨大的影响: 乘性故障会影响系统的稳定性, 加性故障会影响系统的稳态误差.尤其在MASs的背景下, 如果个体的故障没有得到及时的处理, 会通过拓扑传递、影响到其他个体的运动, 从而对整个MAS造成影响.目前MASs的容错一致性控制方法包括主动容错方法和被动容错方法[14-15], 主动容错控制需要设计适当的故障诊断单元, 预先完成对故障信号的检测、分离和辨识, 并利用获取的故障信息对控制器的参数或者结构进行实时调整[16-18];被动容错控制不需要故障诊断单元, 在控制律设计时需要综合考虑系统正常运行和发生故障的情况, 在线运行时控制律结构不会发生改变[19-21]. 主动容错控制具有较好的动态性能, 但是控制律的切换可能诱导出不稳定的现象, 特别是针对非线性系统. 此外, 主动容错控制的性能依赖于故障诊断单元的性能, 如故障检测的效率、漏报率和误警率、故障估计的准确度等, 而对于执行器的乘性故障, 尤其是快速时变故障, 几乎不可能得到精准的估计, 因此本文重点研究被动容错框架下的一致性控制问题.
考虑到实际环境中噪声/干扰的存在, 微分环节的引入会放大噪声/干扰的影响, 因此, 本文重点针对PI型的控制律. 与现有成果对比, 本文的主要贡献包括: 1) 不同于常见的一阶、二阶积分MASs, 本文针对一般线性MASs, 给出了PI型控制结构的容错一致性控制律的设计方法;2)重点针对领航者输入不为零的情况, 设计了PI型非线性容错控制律结构, 并借助黎卡提方程进行控制律参数的设计.
符号说明: $ {\bf{0}} $表示元素全为0的列向量, $ {\bf{0}}_{n\times m} $表示$ n\times m $维的零矩阵, $ I_n $表示$ n $维的单位矩阵, $ \text{sign} $表示符号函数, 符号$ \otimes $是Kronecker积.
1. 问题描述
考虑由$ N $个个体构成的MAS, 个体之间的信息流可以用一个有向图$ \mathcal{G} $$ \triangleq (\mathcal{V},\;\mathcal{E},\;\mathcal{A}) $进行描述, 其中$ \mathcal{V}=\{\mathcal{V}_1,\;\mathcal{V}_2,\;\cdots,\;\mathcal{V}_N\} $表示节点集合, 每个节点代表一个个体;$ \mathcal{E} \subset \mathcal{V} \,\times\, \mathcal{V} $表示边集合, $ \mathcal{E}_{ij}= (\mathcal{V}_i,\,\mathcal{V}_j) \in \mathcal{E} $表示节点$ \mathcal{V}_i $的信息可以传递给节点$ \mathcal{V}_j $;$ \mathcal{A}=[a_{ij}]_{N\times N} $记为图的邻接矩阵, 如果$ \mathcal{E}_{ji}\in \mathcal{E} $, 则$ a_{ij} > 0 $, 否则$ a_{ij} = 0 $. 令$ L = [l_{ij}]_{N\times N} $表示图的拉普拉斯矩阵, 定义为: $ l_{ii} = \sum_{j\ne i} a_{ij} $, $ l_{ij} = -a_{ij} $ ($ i\ne j $).
对于一个给定的有向图$ \mathcal{G} $, 如果图中存在一个节点, 该节点可以通向其他的所有节点, 则称图$ \mathcal{G} $中包含一簇有向生成树;无向图可以看成是一种特殊的有向图, 无向图的邻接矩阵$ \mathcal{A} $是对称矩阵;一个无向图中如果包含一簇有向生成树, 则称该无向图是“连通的”.
MAS中个体$ i\in \mathfrak{N}\triangleq\{1,\;2,\;\cdots,\;N\} $, 表示为
$$ \dot x_i(t)=Ax_i(t)+Bu_i^f(t) $$ (1) 式中, $ x_i\in {\mathbb R}^n $是状态变量, $ u_i^f\in {\mathbb R}^m $是输入变量. 为了简化表达, 下面关于时间变量的函数符号表达时省略了时间变量$ t $. $ u_i^f\triangleq\begin{bmatrix}u_ {i1}^f,\;\cdots,\;u_{im}^f\end{bmatrix}^{\rm T} $, $ u_i^f $表示故障执行器, 具体形式如下:
$$ u_{ih}^f=(1-\varrho_{ih})u_{ih} $$ 其中, $ \ 0 \leq \varrho_{ih} \leq \varrho_{\max} < 1 $, $ h=1,\;2,\;\cdots,\;m $. $ \varrho_{ih} $表示第$ i $个个体的第$ h $个执行器的未知故障, $ \varrho_{\max} $是已知的故障上界.
定义1. 对于任意的个体$ i,\;j\in\mathfrak{N} $, 如果满足
$$ \lim\limits_{t \to \infty }{x_i(t)-x_j(t)}={\bf{0}} $$ (2) 则称MAS达到了无领航者一致性.
定义2. 对于任意的跟随者$ i\in\mathcal{N}\triangleq\{2,\; 3,\; \cdots,\; N\} $, 如果满足
$$ \lim\limits_{t \to \infty }{x_i(t)-x_1(t)}={\bf{0}} $$ (3) 则称MAS达到了领航-跟随一致性.
假设 1. MAS构成的拓扑图$ \mathcal{G} $是无向连通的.
假设 2. MAS构成的拓扑图$ \mathcal{G} $中包含一簇以领航者为根节点的有向生成树, 所有跟随者构成无向图.
在假设1的前提下, 存在一个正交矩阵$ T= \begin{bmatrix}T_0\; T_1\end{bmatrix} $, 其中$ T_0 = \sqrt{1/N}{\bf{1}} _N $, 使$ L $对角化为$ T^{\rm T}LT= \text{diag}\{0,\;\Phi\} $, 并且$ \Phi=\text{diag}\{\;\lambda_2,\;\cdots,\;\lambda_N\} $是一个正定矩阵, $ 0=\lambda_1<\lambda_2\leq \ldots \lambda_{N-1}\leq\lambda_N $是$ L $的所有特征根.
在假设2的前提下, 图$ \mathcal{G} $的拉普拉斯矩阵$ L\in {\mathbb R}^{n\times n} $可以划分为
$$ \left[ \begin{array}{cc} 0 & {\bf{0}}_{1\times (N-1)} \\ L_2 & L_1 \end{array} \right] $$ 其中, $ L_1>0 $[22], $ L_1 $的最小、最大特征根分别为$ \lambda_2 $和$ \lambda_N $.
本文的研究目标是针对如(1)所示的MAS, 设计容错一致性控制律, 实现: 1)所有个体均可能发生执行器故障情况下的无领航者一致性, 2)领航者1不发生故障, 所有跟随者均可能发生执行器故障情况下的领航- 跟随一致性.
2. PI型容错一致性控制律设计
2.1 无领航者MAS
设计无领航者MAS的容错一致性控制律形式如下:
$$ u_{i}=K_Pe_i+K_I\int_0^{\rm T}e_{i}dt,\; i\in \mathfrak{N} $$ (4) 其中, $ e_i\triangleq\sum_{j=1}^Na_{ij}(x_i-x_j) $, $ K_P $和$ K_I $分别是待设计的比例环节和积分环节的控制律增益.
通过定义如下增广向量
$$ \xi_i\triangleq\begin{bmatrix}x_i\\ \int_0^{\rm T}x_{i}dt \end{bmatrix} $$ 可以得到,
$$ \begin{split} \dot \xi_i =&\;\begin{bmatrix}A & {\bf{0}}_{n\times n}\\ I_n & {\bf{0}}_{n\times n}\end{bmatrix}\xi_i+ \begin{bmatrix}B\\{\bf{0}}_{n\times m} \end{bmatrix}u_i^f\triangleq \\ &\mathcal{A}\xi_i+\mathcal{B}u_i^f \end{split} $$ (5) 定理 1. 在假设1的前提下, 如果存在矩阵$ P>0 $使得下面条件成立
$$ \mathcal{A}P+P\mathcal{A}^{\rm T}-2\lambda_2(1-\varrho_{\max})\mathcal{B}\mathcal{B}^{\rm T}<0 $$ (6) 则领航-跟随MAS(1)可以在控制律(4) 的作用下可以实现无领航者一致性, 其中控制律增益选取为:
$$ K=-\mathcal{B}^{\rm T}P^{-1} $$ 证明: 记$ \xi\triangleq\begin{bmatrix}\xi_1^{\rm T},\;\xi_2^{\rm T},\;\cdots,\;\xi_N^{\rm T}\end{bmatrix}^{\rm T} $, $ u\triangleq\big[u_1^{\rm T},\; u_2^{\rm T},\; \cdots,\;u_N^{\rm T}\big]^{\rm T} $, MAS可以写成:
$$ \begin{align} \dot \xi=(I_{N}\otimes \mathcal{A})\xi+(I_{N}\otimes \mathcal{B})\varrho(L\otimes K)\xi \end{align} $$ (7) 式中, $ \varrho \triangleq \text{diag}\left\{I - \varrho_1,\;\cdots,\;I - \varrho_N\right\} $, $ K \triangleq \begin{bmatrix}K_P& K_I\end{bmatrix} $.
记$ z\triangleq(T_1^{\rm T} \otimes I_n)\xi $, 进一步可得
$$ \dot z=(I_{N-1}\otimes \mathcal{A})z+(T_1^{\rm T} \otimes \mathcal{B})\varrho(T_1\Phi\otimes K)z. $$ (8) 选取如下所示所示的Lyapunov函数
$$ V=\frac12z^{\rm T}(\Phi\otimes P^{-1})z $$ (9) 其导数为
$$ \begin{split} \dot V =\;&\;z^{\rm T}(\Phi\otimes P^{-1})\dot z=\\ &\frac12z^{\rm T}\left(\Phi\otimes (P^{-1}\mathcal{A}+\mathcal{A}^{\rm T}P^{-1})\right)z-\\ & z^{\rm T}(\Phi T_1^{\rm T}\otimes P^{-1}\mathcal{B})\varrho(T_1\Phi\otimes \mathcal{B}^{\rm T}P^{-1})z\leq \\ & \frac12z^{\rm T}\big(\Phi\otimes (P^{-1}\mathcal{A}+\mathcal{A}^{\rm T}P^{-1}\big)z-\\ & \lambda_2(1-\varrho_{\max})z^{\rm T}\big(\Phi\otimes P^{-1}\mathcal{B}\mathcal{B}^{\rm T}P^{-1})z=\\ & \frac12z^{\rm T}\big(\Phi\otimes (P^{-1}\mathcal{A}+\mathcal{A}^{\rm T}P^{-1}-\\ & 2\lambda_2(1-\varrho_{\max})P^{-1}\mathcal{B}\mathcal{B}^{\rm T}P^{-1})\big)z\leq 0 \end{split} $$ (10) 可得, $ \lim\nolimits_{t \to \infty }{z={\bf{0}}} $. 定义新变量
$$ y\triangleq(T^{\rm T}\otimes I_{2n})\xi=\begin{bmatrix}(T_0^{\rm T}\otimes I_{2n})\xi\\ z\end{bmatrix},\; $$ 令$ y_1\triangleq(T_0^{\rm T}\otimes I_{2n})\xi $, 则
$$ \begin{split} \xi=&\;(T\otimes I_{2n})y=\\ &\begin{bmatrix}(T_0\otimes I_{2n})& (T_1\otimes I_{2n})\end{bmatrix}y=\\ &(T_0\otimes I_{2n})y_1=\sqrt{\frac{1}{N}}\begin{bmatrix}y_1\\ \vdots\\y_1\end{bmatrix} \end{split} $$ 即$ \lim\nolimits_{t \to \infty }{\xi_i(t)-\xi_j(t)}={\bf{0}} $, 可得$ \lim\nolimits_{t \to \infty }x_i(t)- $$ x_j(t)={\bf{0}} $.
□ 定理1给出了无领航者情况下容错一致性控制律的一个充分条件, 由定理1以及$ K\triangleq\begin{bmatrix}K_P& K_I\end{bmatrix} $可以得到控制律(4)中参数$ K_P $和$ K_I $的值.
2.2 领航-跟随MAS
在一些情况下, 如避障, 我们希望运动体能够跟随指定的轨迹, 通过利用领航-跟随者MASs的结构, 设计领航者的输入量$ u_1 $可以保证MASs在一些突发情况下的适应能力. 相比于$ u_1 $为零的情况, 非零的$ u_1 $对控制律的设计要求更高, 需要能够及时跟踪未知的外部输入.
假设 3. 领航者的输入量有界, 即$ \|u_1\|\leq\gamma_1 $.
在(4) 的基础上, 设计领航-跟随MAS的容错一致性控制律形式如下:
$$ u_{i}=K_Pe_i+K_I\int_0^{\rm T}e_{i}dt+c\pi\Big(K_Pe_i+K_I\int_0^{\rm T}e_{i}dt\Big) $$ (11) 其中, $ i\in\mathcal{N} $, $ e_i\triangleq\sum_{j=1}^Na_{ij}(x_i-x_j) $, $ c>0 $, $ K_P $和$ K_I $分别是待设计的比例环节和积分环节的控制律增益. 给定一个向量$ \omega=\begin{bmatrix}\omega_1,\;\omega_2,\;\cdots,\;\omega_m\end{bmatrix}^{\rm T} $, 非线性函数$ \pi(\omega) $定义为$ \pi(\omega) = \big[\pi(\omega_1 ),\,\pi(\omega_2 ),\,\cdots,\, \pi(\omega_m )\big]^{\rm T} $, 其中
$$ \begin{aligned} \pi(\omega_t)= \left\{ \begin{array}{ll} \text{sign}(\omega_t),\; & \omega_t\neq0 \\ 0,\; & \omega_t=0 \end{array}\right. \end{aligned} $$ 定义跟随误差为$ \zeta_i\triangleq\xi_i-\xi_1 $, 令$ \zeta\triangleq\big[\zeta_2^{\rm T},\;\cdots,\; \zeta_N^{\rm T}\big]^{\rm T} $, $ u\triangleq\begin{bmatrix}u_{2}^{\rm T},\;\cdots,\;u_{N}^{\rm T}\end{bmatrix}^{\rm T} $, 有
$$ \begin{split} \dot \zeta =\;&(I_{N-1}\otimes \mathcal{A})\zeta+(I_{N-1}\otimes \mathcal{B})(I-\varrho)H(\zeta)-\\ & ({\bf{1}}_{N-1}\otimes \mathcal{B})u_1 \end{split} $$ (12) 式中, $ H(\zeta)\triangleq(L_1\otimes K)\zeta+c\pi\left((L_1\otimes K)\zeta\right) $.
定理 2. 在假设2和3的前提下, 如果存在参数$ c>0 $、矩阵$ P>0 $使得下面条件成立
$$ c(1-\varrho_{\max})\geq\gamma_1 $$ (13a) $$ \mathcal{A}P+P\mathcal{A}^{\rm T}-2\lambda_2(1-\varrho_{\max})\mathcal{B}\mathcal{B}^{\rm T}<0 $$ (13b) 则领航-跟随MAS(1)可以在控制律(11)的作用下可以实现领航-跟随一致性, 其中控制律增益选取为:
$$ K=-\mathcal{B}^{\rm T}P^{-1} $$ 证明: 选取如下所示所示的Lyapunov函数
$$ V=\frac12\zeta^{\rm T}(L_1\otimes P^{-1})\zeta $$ (14) 其导数为
$$ \begin{split}\dot V=&\;\zeta^{\rm T}(L_1\otimes P^{-1})\dot \zeta=\\ &\frac12\zeta^{\rm T}\left(L_1\otimes (P^{-1}\mathcal{A}+\mathcal{A}^{\rm T}P^{-1})\right)\zeta-\\ &\zeta^{\rm T}(L_1\otimes P^{-1}\mathcal{B})\varrho(L_1\otimes \mathcal{B}^{\rm T}P^{-1})\zeta-\\ & c\zeta^{\rm T}(L_1\otimes P^{-1}\mathcal{B})\varrho\pi\left(\left(L_1\otimes \mathcal{B}^{\rm T}P^{-1}\right)\zeta\right)-\\ &\zeta^{\rm T}(L_1{\bf{1}}_{N-1}\otimes P^{-1}\mathcal{B})u_1\leq\\ & \frac12\zeta^{\rm T}\big(L_1\otimes (P^{-1}\mathcal{A}+\mathcal{A}^{\rm T}P^{-1}-\\ & 2(1-\varrho_{\max})\lambda_2P^{-1}\mathcal{B}\mathcal{B}^{\rm T}P^{-1})\big)\zeta- \end{split} $$ $$ \begin{split} & c(1-\varrho_{\max})\zeta^{\rm T}(L_1\otimes P^{-1}\mathcal{B})\times\\ & \text{sign}\left(\left(L_1\otimes \mathcal{B}^{\rm T}P^{-1}\right)\zeta\right)+\\ &\gamma_1\|({\bf{1}}_{N-1}^{\rm T}L_1\otimes \mathcal{B}^{\rm T}P^{-1})\zeta\|\leq\\ & \frac12\zeta^{\rm T}\big(L_1\otimes (P^{-1}\mathcal{A}+\mathcal{A}^{\rm T}P^{-1}-\\ & 2\lambda_2(1-\varrho_{\max})P^{-1}\mathcal{B}\mathcal{B}^{\rm T}P^{-1})\big)\zeta\leq 0 \end{split} $$ (15) 可得, $ \lim\nolimits_{t \to \infty }{\zeta = {\bf{0}}} $, 即$ \lim\nolimits_{t \to \infty }x_i(t) - x_1(t) = {\bf{0}} $.
3. 仿真分析
考虑地面无人车构成的多智能体系统, 首先对每个无人车进行数学建模, 建立地面固定坐标系$ x_go_gy_g $和车体坐标系$ x_co_cy_c $, 其中$ o_c $位于小车中心, $ y_c $轴指向小车车头方向, $ x_c $轴指向是$ y_c $轴顺时针旋转90度的指向, 如图3所示, 设$ y_c $与$ x_g $的夹角为$ \theta $, 可得第$ i $个UGV的运动学模型为:
$$ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_{i}^{g} \\ \dot{y}_{i}^{g} \\ \dot{\theta}_{i} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \sin \theta_{i} & \cos \theta_{i} & 0 \\ -\cos \theta_{i} & \sin \theta_{i} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} v_{i}^{x_c} \\ v_{i}^{y_c} \\ \omega_{i} \end{array}\right] $$ (16) 式中, $ v_{i}^{x_c} $和$ v_{i}^{y_c} $分别表示无人车$ i $沿着$ x_c $轴和$ y_c $轴方向的速度, $ \omega_{i} $表示无人车$ i $沿着$ o_c $的旋转角速度, 逆时针方向为正.
根据运动学解算, 由$ v_{i}^{x_c} $、$ v_{i}^{y_c} $和$ \omega_{i} $可以解算出每个轮子的旋转角速度:
$$ \left\{\begin{aligned} v_{i}^{1}=v_{i}^{y_{c}}-v_{i}^{x_{c}}+\omega_{i}(a+b) \\ v_{i}^{2}=v_{i}^{y_{c}}+v_{i}^{x_{c}}-\omega_{i}(a+b) \\ v_{i}^{3}=v_{i}^{y_{c}}-v_{i}^{x_{c}}-\omega_{i}(a+b) \\ v_{i}^{4}=v_{i}^{y_{c}}+v_{i}^{x_{c}}+\omega_{i}(a+b) \end{aligned}\right. $$ (17) 通过进行如下所示的变量转化:
$$ \left[\begin{array}{c} v_{i}^{x_{c}} \\ v_{i}^{y_{c}} \\ \omega_{i} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \sin \theta_{i} & -\cos \theta_{i} & 0 \\ \cos \theta_{i} & \sin \theta_{i} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} u_{i}^{x_{c}} \\ u_{i}^{y_{c}} \\ \omega_{i} \end{array}\right] $$ (18) 可以将(16)简化为一阶积分模型:
$$ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_{i}^{g} \\ \dot{y}_{i}^{g} \\ \dot{\theta}_{i} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} u_{i}^{x_{c}} \\ u_{i}^{y_{c}} \\ \omega_{i} \end{array}\right] $$ (19) 通过令$ \theta_i $保持90度不变, (19)可以进一步简化为两个一维的一阶积分模型, 即$ x_g $方向和$ y_g $方向的运动模型. 以一维的运动为例, 进行仿真. 考虑由4个无人车构成的领航-跟随MAS, $ A=0 $, $ B= 1 $, 拓扑图如图3所示, 可得
$$ \begin{aligned} L= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1& 3 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right] \end{aligned} $$ $ L $的最小、最大特征根分别为$ \lambda_2=0.267\ 9 $, $ \lambda_N= 3.732\ 1 $. 设$ \gamma_1\leq 10 $, 最大故障$ \varrho_{\max}=0.2 $.
仿真1:P型容错一致性控制律
令$ \mathcal{A}=A $, $ \mathcal{B}=B $, 令$ K_I=0 $, 可以得到一组解$ c=6.251\ 0 $, $ K_P=-0.340\ 2 $. 为了缓解非连续控制律产生的震颤现象, 我们将$ \pi(\omega_t) $函数改写成如下所示的连续函数
$$ \begin{aligned} \pi(\omega_t)= \left\{ \begin{array}{ll} \text{sign}(\omega_t),\; & |c\omega_t|>\kappa \\ c\omega_t \kappa,\; & |c\omega_t|\leq\kappa \end{array}\right. \end{aligned} $$ 取$ \kappa=0.1 $, 令$ \kappa=0.1 $, $ \rho_2=0.2 $, $ \rho_3=0.1 $, $ \rho_4= 0.04 $, 以$ x_g $方向为例, 假设所有个体初始状态均为0, 在领航者输入$ u_1^{x_c}\equiv5 $的情况下, MAS的仿真图如图3 和图3所示, 系统会存在一个很小的一致性偏差, 这是由于连续化$ \pi(\omega_t) $函数导致的, 采用连续的$ \pi(\omega_t) $函数, 可以在一定程度上避免执行器的震颤, 但是却会引入额外的稳态误差, $ \kappa $取值越小, 稳态误差越小.
进一步, 我们考虑同时存在乘性故障和加性故障的情况, 如下所示:
$$ u_{ih}^f=(1-\varrho_{ih})u_{ih}+\vartheta_{ih} $$ (20) 令$ \vartheta_2=0.5 $, $ \vartheta_3=1 $, $ \vartheta_4=-1 $, 在同样的控制律下, 仿真结果如图3和图3所示. 可以看出, P型的控制律无法实现对加性故障的容错.
仿真2:PI型容错一致性控制律
根据定理1, 得到控制律的一组参数设置为: $ c=6.2510 $, $ K_P=-0.2678 $, $ K_I=-0.0113 $. 取$ \kappa=1 $, 令$ \rho_2=0.2 $, $ \rho_3=0.1 $, $ \rho_4=0.04 $, 假设所有个体初始状态均为0, 在领航者输入$ u_1^{x_c}\equiv5 $的情况下, 仿真图如图3和图3所示, MAS可以实现最终的一致性. 同样地, 增加(20)所示的加性故障, $ \vartheta_2=0.5 $, $ \vartheta_3=1 $, $ \vartheta_4=-1 $, 在PI型控制律的作用下, MAS的仿真图如图3和图3所示, 可以看出, MAS依然可以保证最终的一致性. 对比P型和PI型控制律, PI型控制律可以应对时不变的加性故障, 这是P型控制律所没有的优势.
4. 结论
本文针对一般线性无领航者MASs以及领航-跟随MASs, 设计了一种PI型的容错一致性控制律. 首先通过构造一个带有积分项的增广状态向量, 将PI型的控制律设计问题转化为增广系统的容错控制律的设计问题, 并借助黎卡提方程进行控制律的参数设计. 特别地, 针对不为零的领航者输入情况, 引入非线性项处理未知输入. 通过对比P型控制律和PI型控制律的仿真效果, 可以发现, PI型控制律在应对时不变加性故障上具有独特的优势, 说明了PI型控制律一些情况下具有更好的鲁棒性.
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