2.793

2018影响因子

(CJCR)

  • 中文核心
  • EI
  • 中国科技核心
  • Scopus
  • CSCD
  • 英国科学文摘

留言板

尊敬的读者、作者、审稿人, 关于本刊的投稿、审稿、编辑和出版的任何问题, 您可以本页添加留言。我们将尽快给您答复。谢谢您的支持!

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

分布参数系统源控制系统设计

周笔锋 罗毅平 唐果宁

周笔锋, 罗毅平, 唐果宁. 分布参数系统源控制系统设计. 自动化学报, 2019, 45(x): 1−6. doi: 10.16383/j.aas.c190612
引用本文: 周笔锋, 罗毅平, 唐果宁. 分布参数系统源控制系统设计. 自动化学报, 2019, 45(x): 1−6. doi: 10.16383/j.aas.c190612
Zhou Bi-Feng, Luo Yi-Ping, Tang Guo-Ning. Distributed Parameter Systems of Source Control. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1−6. doi: 10.16383/j.aas.c190612
Citation: Zhou Bi-Feng, Luo Yi-Ping, Tang Guo-Ning. Distributed Parameter Systems of Source Control. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1−6. doi: 10.16383/j.aas.c190612

分布参数系统源控制系统设计


DOI: 10.16383/j.aas.c190612
详细信息
    作者简介:

    2015年获得湖南工程学院硕士学位. 目前为湖南科技大学博士研究生, 主要研究方向为复杂网络系统, 分布参数系统, 永磁同步电机失磁故障诊断.E-mail: zhoubifeng99@163.com

    湖南工程学院教授. 2006年获得华南理工大学博士学位. 主要研究方向为复杂网络系统, 分布参数系统. 本文通信作者.E-mail: lyp8688@sohu.com

    湖南科技大学教授. 中国机械工程学会高级会员, 主要研究方向为永磁同步电机失磁故障诊断, 摩擦磨损及耐磨材料研究.E-mail: tangguoning99@163.com

  • 基金项目:  国家自然科学基金(11972156)资助, 湖南省教育厅科学研究项目(19C0418)资助

Distributed Parameter Systems of Source Control

More Information
  • Fund Project:  Supported by National Natural Science Foundation of China (11972156), Supported by Science Research Projects of Hunan Province Education Department (19C0418)
  • 摘要: 针对一类分布参数系统, 提出了源控制方法. 将构成分布参数系统的空间分成若干分, 每份为一个节点, 在所有的节点中, 将能产生量变源头的节点定义为源节点, 跟随源节点变化的节点为跟随节点, 以此构建分布参数系统模型. 对于源节点, 根据经验函数结合反馈偏差调节设计控制器, 对跟随节点考虑源节点控制的逸散作用控制. 利用Lyapunov稳定性理论并结合LMI处理方法, 得出了分布式参数系统稳定源控制器存在的充分条件. 最后结合所给条件, 给出一个数值仿真说明其有效性.
  • 图  1  系统源节点$W_{L}(x,t)$状态图

    Fig.  1  the system state of source nodes $W_{L}(x,t)$

    图  2  系统跟随节点$W_{g}(x,t)$状态图

    Fig.  2  the system state of following nodes $W_{g}(x,t)$

  • [1] Ray W H. Advanced Process Control[M]. New York: McGraw-Hill, 1981
    [2] Christofides P D. Nonlinear and Robust Control of PDE Systems[M]. Boston: Birkhauser Boston, 2001.
    [3] 3 Deng H, Li H X, Chen G R. Spectral approximation based intelligent modeling for distributed thermal processes. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2005, 13: 686−700 doi:  10.1109/TCST.2005.847329
    [4] 4 Padhi R, Ali S F. An account of chronological developments in control of distributed parameter systems. Annual Reviews in Control, 2009, 33: 59−68 doi:  10.1016/j.arcontrol.2009.01.003
    [5] Baillieul J. Linearized models for the control of rotating beams[C]//Proceedings of the 27th IEEE Conference on Decision and Control. IEEE, 1988: 1726-1731.
    [6] 6 Najar F, Choura S, Abdelrahman E M, et al. Dynamic analysis of variable-geometry electrostatic microactuators. Journal of Micromechanics Microengineering, 2006, 16: 2449−2457 doi:  10.1088/0960-1317/16/11/028
    [7] 7 Ly C, Doiron B. Correction: Divisive Gain Modulation with Dynamic Stimuli in Integrate-and-Fire Neurons. Plos Computational Biology, 2009, 5(4): e1000365 doi:  10.1371/journal.pcbi.1000365
    [8] 8 Lan Y H, Wu B, Shi Y X, et al. Iterative learning based consensus control for distributed parameter multi-agent systems with time-delay. Neurocomputing, 2019, 357(10): 77−85
    [9] 9 Lan Y H, Xia J J, Xia Y P, et al. Iterative learning consensus control for multi-agent systems with fractional order distributed parameter models. Int. J. Control Autom. Syst, 2019, 17(4): 1−11
    [10] 10 Luo Y P, Xia W H, Liu G R, et al. LMI Approach to Exponential Stabilization of Distributed Parameter Control Systems with Delay. Acta Automatica Sinica, 2009, 35: 299−304
    [11] 11 Ji H H, Cui B T, LiuX Z. Adaptive control of Markov jump distributed parameter systems via model reference. Fuzzy Sets and Systems, 2019 doi:  10.1016/j.fss.2019.06.016
    [12] 12 Wang Z P, Wu H N. Finite dimensional guaranteed cost sampled-data fuzzy control for a class of nonlinear distributed parameter systems. Information Sciences An International Journal, 2016, 327: 21−39 doi:  10.1016/j.ins.2015.08.009
    [13] 13 Zhang X M, Wu H N. H∞ boundary control for a class of nonlinear stochastic parabolic distributed parameter systems. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2019, 29(14): 4665−4680 doi:  10.1002/rnc.4646
    [14] 周延九, 崔宝同. 一类半线性抛物型偏微分方程描述的分布参数系统的边界控制[J/OL]. 控制与决策: 1-9. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.0289.

    Zhou Y J, CUI B T. Boundary control of the distributed parameter systems described by a class of semi-linear parabolic partial differential equations[J/OL]. Control and Decision, 1-9. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.0289.
    [15] 15 Wang J W, Wu H N, Sun C Y. Local exponential stabilization via boundary feedback controllers for a class of unstable semi-linear parabolic distributed parameter processes. Journal of the Franklin Institute, 2017, 354(13): 5221−5244 doi:  10.1016/j.jfranklin.2017.05.044
    [16] 栗小丽, 李凯, 刘飞. 双曲线型分布参数系统边界控制下的干扰解耦. 控制与决策, 2016, 31(2): 256−260

    16 Luan X L, Li K, Liu F. Disturbance decoupling for hyperbolic-type distributed parameter systems with boundary control. Control and Decision, 2016, 31(2): 256−260
    [17] 周笔锋, 罗毅平. 时滞分布参数系统中和控制器设计. 自动化学报, 2018, 44(12): 2222−2227

    17 Zhou B F, Luo Y P. Distributed parameter systems of neutralization control with delay. Acta Automatica Sinica, 2018, 44(12): 2222−2227
    [18] 催宝同, 楼旭阳. 时滞分布参数系统理论及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2009: 8-12.

    Cui B T, Lou X Y. Theory and application of time-delay distributed parameter system[M]. Beijing: National Defense Industry press, 2009: 8-12
    [19] 19 Song Q, Cao J. On pinning synchronization of directed and undirected complex dynamical networks. IEEE Transactions on Circuits Systems Part I Regular Papers, 2010, 57: 672−680 doi:  10.1109/TCSI.2009.2024971
  • [1] 何修宇, 王雪璇, 赵哲惟, 张爽. 浮式海洋热能转换系统的主动振动控制与扰动观测器设计[J]. 自动化学报, doi: 10.16383/j.aas.c180197
    [2] 周笔锋, 罗毅平. 时滞分布参数系统中和控制器设计[J]. 自动化学报, doi: 10.16383/j.aas.2018.c170084
    [3] 魏萍, 丁卯, 左信, 罗雄麟. 基于微分方程对称的分布参数系统稳态控制[J]. 自动化学报, doi: 10.3724/SP.J.1004.2014.02163
    [4] 王武, 杨富文. 具有测量数据部分丢失的离散系统的H∞滤波器设计[J]. 自动化学报
    [5] 钟麦英, 叶昊, 陈桂友, 王桂增. 非线性摄动系统的鲁棒故障诊断滤波器设计ILMI算法[J]. 自动化学报
    [6] 年晓红, 杨莹, 黄琳. 矩阵不等式约束下的矩阵逼近及鲁棒控制中的应用[J]. 自动化学报
    [7] 冯俊娥, 吴臻, 孙甲冰. 具有干扰输入的不确定奇异系统的有限时间控制器设计[J]. 自动化学报
    [8] 邵汉永, 冯纯伯. 线性多变量系统的鲁棒耗散控制[J]. 自动化学报
    [9] 张先明, 吴敏, 何勇. 中立型线性时滞系统的时滞相关稳定性[J]. 自动化学报
    [10] 刘世前, 王远钢, 郭治. 不确定线性周期系统的满意滤波[J]. 自动化学报
    [11] 杨冬梅, 张庆灵, 沙成满, 翟丁. 广义系统的H2次优控制问题的一个LMIs条件[J]. 自动化学报
    [12] 姚波, 王福忠, 张庆灵. 基于LMI可靠跟踪控制器设计[J]. 自动化学报
    [13] 曾建平, 程鹏. 一类控制问题的降阶控制器设计[J]. 自动化学报
    [14] 曾建平, 程鹏. 一类控制问题的降阶控制器设计[J]. 自动化学报
    [15] 关新平, 龙承念, 段广仁. 离散时滞系统的鲁棒无源控制[J]. 自动化学报
    [16] 关新平, 龙承念, 段广仁. 离散时滞系统的鲁棒无源控制[J]. 自动化学报
    [17] 谢永芳, 桂卫华, 吴敏. 基于线性矩阵不等式的分散H2/H∞控制的次优设计[J]. 自动化学报
    [18] 谢振东, 谢胜利, 刘永清. 滞后关联分布参数系统的分散变结构控制[J]. 自动化学报
    [19] 谢胜利, 谢振东, 韦岗. 非线性分布参数系统跟踪控制的学习算法[J]. 自动化学报
    [20] 刘冀伟, 方宇炜, 瞿寿德. 一种用于分布参数系统移动边界的自适应剖分数值方法[J]. 自动化学报
  • 加载中
图(2)
计量
  • 文章访问数:  151
  • HTML全文浏览量:  94
  • PDF下载量:  10
  • 被引次数: 0
出版历程
  • 收稿日期:  2019-09-02
  • 录用日期:  2019-12-23
  • 网络出版日期:  2020-01-02

分布参数系统源控制系统设计

doi: 10.16383/j.aas.c190612
    作者简介:

    2015年获得湖南工程学院硕士学位. 目前为湖南科技大学博士研究生, 主要研究方向为复杂网络系统, 分布参数系统, 永磁同步电机失磁故障诊断.E-mail: zhoubifeng99@163.com

    湖南工程学院教授. 2006年获得华南理工大学博士学位. 主要研究方向为复杂网络系统, 分布参数系统. 本文通信作者.E-mail: lyp8688@sohu.com

    湖南科技大学教授. 中国机械工程学会高级会员, 主要研究方向为永磁同步电机失磁故障诊断, 摩擦磨损及耐磨材料研究.E-mail: tangguoning99@163.com

基金项目:  国家自然科学基金(11972156)资助, 湖南省教育厅科学研究项目(19C0418)资助

摘要: 针对一类分布参数系统, 提出了源控制方法. 将构成分布参数系统的空间分成若干分, 每份为一个节点, 在所有的节点中, 将能产生量变源头的节点定义为源节点, 跟随源节点变化的节点为跟随节点, 以此构建分布参数系统模型. 对于源节点, 根据经验函数结合反馈偏差调节设计控制器, 对跟随节点考虑源节点控制的逸散作用控制. 利用Lyapunov稳定性理论并结合LMI处理方法, 得出了分布式参数系统稳定源控制器存在的充分条件. 最后结合所给条件, 给出一个数值仿真说明其有效性.

English Abstract

  • 实际生活中许多物理系统如热扩散, 流体换热器, 化学工程, 旋转梁, 可变几何形状, 静电微致动器, 集成和消防神经元等等都具有时空特性, 它们的行为必须依赖于时间和空间位置, 这些系统的时空过程被称为分布参数系统(DPSs)[1-9]. 针对此类系统, 学者们通常根据能量守恒定律构建拟线性抛物型偏微分方程(quasi-linear parabolic partial differential equation PDE)进行研究. 所以, 以拟线性抛物型偏微分方程建模研究分布参数系统一直是国内外相关领域学者的重点研究课题[10-17].

    针对分布参数系统的稳定性控制问题, 许多学者提出了各类行之有效的方法, 分布式控制[10-12]是最早提出的一种控制方式之一, 如文献[10]中, LUO针对分布参数系统, 设计分布式控制器, 得出了分布参数系统指数稳定控制器存在的充分条件. 文献[11]中, Ji以模型参考为基础, 研究了马尔可夫跳跃分布参数系统的自适应控制问题. 分布式控制方法针对分布参数系统的所有节点进行控制, 虽然理论上能达到良好的控制效果, 但是在实际工程中对分布参数系统的所有节点进行控制往往是很难做到的. 针对此类问题, 又有学者提出了分布参数系统边界控制方案[13-16], 如文献[13]中, Zhang针对一类非线性随机分布参数系统的H$ \infty $边界控制问题, 提出了一种简单而有效的H$ \infty $边界静态输出反馈(SOF)控制方案, 并进行了边界配置测量以保证具有H$ \infty $性能的均方意义上的局部指数稳定. 文献[14]中, Zhou针对一类由半线性抛物型偏微分方程描述的分布参数系统, 提出基于边界控制的控制策略研究了其镇定问题. 边界控制方案对于低维空间(如一维)具有很好的效果, 但随着分布参数系统的空间维数增高, 对系统进行边界控制会比较难实现. 基于此, 有学者针对分布参数系统提出了中和控制方案, 如在文献[17]中, Zhou针对具有时滞特性的分布参数系统, 提出并设计了中和控制器, 讨论了此类系统的稳定问题. 中和控制方案对于具有实体扩散类的分布参数系统(如污染物扩散), 在找到对应“解药”后具有很好的控制效果, 但对于能量类的扩散(如热传递)的分布参数系统模型, 本文提出的源控制方案能达到更加优越的效果.

    源控制方法是基于能量守恒定律. 首先, 将空间分成若干份, 每份空间看成一个节点, 基于每个节点与节点间的能量传递, 定义空间能量传递拓扑矩阵, 这样的系统就是一个分布参数模型. 如在一个大型会议室中, 我们设计中央空调的排风口时, 通常想了解会议室各个区域的温度的变化情况, 使会议室内各点温度达到一致状态. 将会议室内空间分成干份, 这样, 会议室的温度变化情况就可以看作是一个分布参数系统. 然后, 在系统空间的所有节点中, 将能使能量产生量变源头的节点空间定义为源节点, 其它节点称为跟随节点. 如前面的例子, 中央空调的排风口就是源节点, 其它的点是跟随节点.

    本文所设计的源控制方法仅针对源节点, 根据经验函数设计控制器, 同时通过反馈控制作用对系统进行二次调节, 而针对其它跟随节点, 考虑分布参数系统的时空特性, 由于源节点的逸散作用, 跟随节点同样受到控制影响. 与文献[10-12]提出的分布式控制方法不同, 分布式控制是要对系统的每一点进行控制. 所以, 本文所提出的源控制方法在分布参数系统的实际控制上具有可操作性. 进而, 本文针对分布参数系统, 对源节点根据经验函数与反馈调节结合, 对跟随节点产生逸散控制作用, 研究分布参数系统的稳定性问题就显得尤为有意义了.

    基于此, 本文将构成分布参数系统的空间分成若干份, 每份为一个节点, 在所有的节点中, 将空间产生量变的源头的节点定义为源节点, 跟随源节点变化的节点为跟随节点, 研究分布参数系统的镇定问题. 对于源节点, 根据经验函数结合反馈偏差调节设计控制器, 对跟随节点考虑源节点控制的逸散作用. 利用Lyapunov稳定性理论并结合LMI处理方法, 得出了分布式参数系统稳定源控制器存在的充分条件. 最后结合所给条件, 给出一个数值仿真说明其有效性.

    • 考虑下列具有分布参数系统

      源节点:

      $$ \begin{split} \frac{{\partial {w_i}(x,t)}}{{\partial t}} =& \displaystyle\sum_{j = 1,j \ne i}^n {{G_{ij}}} \displaystyle\sum_{k = 1}^m {\frac{{{\partial ^2}({w_j}(x,t) - {w_i}(x,t))}}{{\partial x_k^2}}} + \\ &{f({w_i}(x,t)) + {u_i},i = 1,2,...,l}\\[-10pt] \end{split} $$ (1)

      跟随节点:

      $$ \begin{split} \dfrac{{\partial {w_i}(x,t)}}{{\partial t}} =&\displaystyle\sum_{j = 1,j \ne i}^n \!\!\!\!{{G_{ij}}}\displaystyle\sum_{k = 1}^m {\frac{{{\partial ^2}({w_j}(x,t) \!-\! {w_i}(x,t))}}{{\partial x_k^2}}} \!\!+\!\! {u_i},\\ &{i = l + 1,l + 2,...,n}\\[-10pt] \end{split} $$ (2)

      其中$ (x,t)\in \Omega \times R_{+} $, $ f(\cdot ) $为系统源节点自激项, $ u_{i} $为控制输入. $ \Omega = \left \{ x,\left | x \right |<l<\infty \right \} \in R^m $为具有光滑边界$ \partial \Omega $的有界区域, 且$ mes \Omega>0 $, $ G_{ij} $表示系统内各节点的扩散或吸收因子, $ \Delta = \displaystyle\sum_{k = 1}^{m}\dfrac{\partial^2}{\partial x_k^2} $为的laplace扩散$ - $吸收算子, 根据能量守恒定律, 满足:

      $$ \sum\limits_{i = 1}^{n}G_{ik} = -\sum\limits_{j = 1}^{n}G_{kj},G_{ii} = 0 i = 1,2,...,n $$ (3)

      对于$ G_{ij} $, 若节点$ i $对节点$ j $产生正效应, 则$ G_{ij}>0 $, 反之$ G_{ij}<0 $, 满足: $ G_{ij} = -G_{ji},j \neq i $.

      对于系统(1)(2), 改写为矩阵形式:

      $$ \begin{split} \frac{{\partial {W_L}(x,t)}}{{\partial t}} =& F({W_L}(x,t)) + {G_{Lg}}\Delta {W_g}(x,t) + \\ &{({G_L} - {G_{ZL}})\Delta {W_L}(x,t) + {U_L}} \end{split} $$ (4)
      $$\begin{split} \dfrac{\partial W_{g}(x,t)}{\partial t} =& G_{gL}\Delta W_{L}(x,t)+(G_{g}-\\ &G_{Zg})\Delta W_{g}(x,t)+U_{g} \end{split}\qquad\qquad $$ (5)

      其中状态变量:

      $$ W_{L}(x,t) = (w_{1}(x,t),...,w_{l}(x,t))^{\rm T} \in R^{l} ;\qquad\qquad\;\; $$
      $$ W_{g}(x,t) = (w_{l+1}(x,t),...,w_{n}(x,t))^{\rm T} \in R^{n-l} ;\qquad\;\; $$
      $$ W(x,t) = (W_{L}^{T}(x,t),W_{g}^{T}(x,t))^{\rm T} \in R^{n};\qquad\qquad\;\; $$
      $$ F(W_{L}(x,t)) = (f(w_{1}(x,t)),...,f(w_{l}(x,t)))^{\rm T} \in R^{l} ; $$

      控制输入:

      $$ U_{L}(x,t) = (u_{1},...,u_{l})^{\rm T} \in R^{l} ; $$
      $$ (u_{l+1},...,u_{n})^{\rm T} \in R^{n-l};\qquad\;\;\; $$
      $$ G = G_{ij} ,\; G_{zi} = \sum_{j = 1}^{n}G_{ij} ,\qquad $$
      $$ G_{Z} = diag(G_{z1},...,G_{zn}) \qquad $$

      满足:

      $$ {G_Z} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_{ZL}}}&0\\ 0&{{G_{Zg}}} \end{array}} \right],\;G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_L}}&{{G_{Lg}}}\\ {{G_{gL}}}&{{G_g}} \end{array}} \right] $$

      注: 矩阵$ G $为系统扩散-吸收因子矩阵, 对于系统源节点, 系统扩散因子大于吸收因子, 即满足$ G_{L}-G_{ZL}>0 $.

      系统初始边界条件为:

      $$ W(x,t) = 0, (x,t)\in \partial \Omega \times [0,+\infty ) $$ (6)

      $$ \frac{\partial W(x,t)}{\partial t} = 0, (x,t)\in \partial \Omega \times [0,+\infty ) $$ (7)

      其中$ n $$ \partial \Omega $的单位外法向量.

    • 定义1. 分布参数系统源控制: 将构成分布参数系统的空间分成若子空间, 每个子空间看成一个节点, 在系统所有的节点中, 将空间产生量变源头的节点定义为源节点, 跟随源节点变化的节点为跟随节点. 源控制为仅对系统源节点进行控制作用, 对于跟随节点, 其控制作用为对源节点的控制逸散作用.

      引理1.[18] 设$ \Omega \in R^{n} $是边界$ \partial \Omega $内的光滑有界区域, $ n $$ \partial \Omega $的单位外法向量, $ G\subset \Omega $为一光滑子域, 若$ u,v \in C^{2}(\bar{G}) $, 则

      $$ \int_{G}u\Delta vdx = \int_{\partial G}u\frac{\partial v}{\partial n}ds-\int_{\Omega }\bigtriangledown u \bigtriangledown vdx $$ (8)

      其中: $ \bigtriangledown $表示Hamiltion算子, $ ds $表示边界区域的面积微元.

      假设1.[19] 存在常数$ L>0 $, 及存在正定矩阵$ \Gamma \in r^{n \times n} $, 对于任意$ x,y \in R^{n \times n} $. 对于非线性函数$ f(\cdot) $, 满足:

      $$ (x-y)^{T} (f(x)-f(y))\leqslant L(x-y)^{{\rm T}} \Gamma (x-y) $$ (9)

      为使系统达到稳定状态, 对源节点设计控制器

      $$ {u_i} = - \hat f({w_i}(x,t)) + \sum\limits_{j = 1}^l {{k_{ij}}} {w_j}(x,t),i = 1,...,l$$ (10)

      对于跟随节点, 其控制输入为源节点逸散控制, 满足

      $$ \begin{split} {u_i} =& \sum_{j = 1}^l {{b_{ij}}} \displaystyle\sum_{k = 1}^m {\dfrac{{{\partial ^2}({\varphi _i}{w_j}(x,t) - {w_i}(x,t))}}{{\partial x_k^2}}} ,\\ &{i = l + 1,...,n} \end{split} $$ (11)

      其中$ k_{ij} $为控制增益, $ K = (k_{ij})_{l \times l} $, $ b_{ij} $表示源节点作用在该节点的逸散因子, $ B = (b_{ij})_{(n-l)\times l} $, $ \varphi = diag(\varphi_{1},...,\varphi_{n-l}) $表示源节点对跟随节点可作用因子, $ \hat{f}(\cdot) $表示$ f(\cdot) $的经验函数, 若$ ff(\cdot) = f(\cdot)-$$\hat{f}(\cdot) $, 满足 $ ff(0) = 0 $.

      $$ \Psi = diag(\sum_{j = 1}^l {{b_{1j}}} ,...,\sum_{j = 1}^l {{b_{(n - l)j}}} ),\qquad\qquad\quad $$
      $$ \hat{F}(W_{L}(x,t)) = (\hat{f}(w_{1}(x,t)),...,\hat{f}(w_{l}(x,t))),\quad $$
      $$ FF(W_{L}(x,t)) = F(W_{L}(x,t))-\hat{F}(W_{L}(x,t)) .\;\; $$

      由此, 公式(4)、(5)中, $ U_{L} $$ U_{g} $满足:

      $$ U_{L} = -\hat{F}(W_{L}(x,t))+KW_{L}(x,t) , $$
      $$ U_{g} = \varphi B \Delta W_{L}(x,t)- \Psi \Delta W_{g}(x,t), $$
    • 通过构造合适的Lyapunov-Krasovskii函数, 结合LMI, 由Green公式、矩阵不等式处理法, 根据Lyapunov稳定性理论, 可以得出所讨论系统状态渐进稳定的结果.

      定理1. 在假设1条件下, 关于系统源系统节点(1)及跟随系统节点(2), 对于任意给定的正定矩阵$ P $, $ Q $, 若存在矩阵$ K $, 使得如下线性矩阵不等式成立:

      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Pi _1} + \Pi _1^T}&0&0\\ 0&{{\Pi _2}}&{{\Pi _4}}\\ 0&*&{{\Pi _3} + \Pi _3^T} \end{array}} \right] < 0 $$ (12)

      其中

      $$ \begin{split} &{\Pi _1} = 2pLI + 2{X_1}\\[-2pt] &{\Pi _2} = - p({G_L} - {G_{ZL}}) - p{({G_L} - {G_{ZL}})^{\rm T}}\\[-2pt] &{\Pi _3} = - Q({G_g} - {G_{Zg}}) + {X_3}\\[-2pt] &{\Pi _4} = - p{G_{Lg}} - G_{gL}^{\rm T}Q + {X_2}\\[-2pt] &{X_1}{\rm{ = }}pK\\[-2pt] &{X_2} = {B^{\rm T}}{\varphi ^{\rm T}}Q\\[-2pt] &{X_3} = Q\Psi \end{split} $$

      则系统(1)(2)在给出的边界条件和源控制器(10)(11)下是渐进稳定的, 符号$ * $代表矩阵的对称项.

      证明: 构造Lyapunov-Krasovskii函数

      $$ \begin{split} V =& 1/2\int_{\Omega }W_{L}^{{\rm T}}(x,t)PW_{L}(x,t)+\\[-2pt] &W_{g}^{{\rm T}}(x,t)QW_{g}(x,t)dx \end{split} $$ (13)
      $$ \dot{V} = \int_{\Omega }W_{L}^{{\rm T}}(x,t)P\dot{W}_{L}(x,t)+W_{g}^{{\rm T}}(x,t)Q\dot{W}_{g}(x,t)dx $$
      $$ \begin{split} \dot{V} = &\int_{\Omega }W_{L}^{{\rm T}}(x,t)P(F(W_{L}(x,t))-\hat{F}(W_{L}(x,t)))+\\ &W_{L}^{{\rm T}}(x,t)PKW_{L}(x,t)+\\ &W_{L}^{{\rm T}}(x,t)P(G_{L}-G_{ZL})\Delta W_{L}(x,t)+\\ &W_{g}^{{\rm T}}(x,t)Q(G_{gL}+\varphi B)\Delta W_{L}(x,t)+\\ &W_{g}^{{\rm T}}(x,t)Q(G_{g}-G_{Zg}-\Psi)\Delta W_{g}(x,t)+\\ &W_{L}^{{\rm T}}(x,t)PG_{Lg}\Delta W_{g}(x,t)dx \end{split} $$

      $ p = \lambda _{max}(P) $, 由假设1

      $$ \begin{align} \dot{V}\leqslant & \int_{\Omega } p L W_{L}^{{\rm T}}(x,t)W_{L}(x,t)+\\[-2pt] &p W_{L}^{{\rm T}}(x,t)KW_{L}(x,t)+\\[-2pt] &\left[ \begin{array}{*{20}{c}} W_{L}(x,t) \\ W_{g}(x,t) \end{array} \right]^{{\rm T}}\\[-2pt] &\left[ \begin{array}{cc} p(G_{L}-G_{ZL})&pG_{Lg} \\ Q(G_{gL}+\varphi B)&Q(G_{g}-G_{Zg}-\Psi) \end{array} \right]\\[-2pt] &\left[ \begin{array}{*{20}{c}} \Delta W_{L}(x,t) \\ \Delta W_{g}(x,t) \end{array} \right] dx \end{align} $$

      $ W(x,t) = \begin{bmatrix} W_{L}(x,t) \\ W_{g}(x,t) \end{bmatrix} $,

      $$ \begin{array}{l} \Gamma = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {p({G_L} - {G_{ZL}})}&{p{G_{Lg}}}\\ {Q({G_{gL}} + \varphi B)}&{Q({G_g} - {G_{Zg}} - \Psi )} \end{array}} \right]\\ I(t) = \displaystyle\int_\Omega {{W^T}} (x,t)\Gamma \Delta W(x,t)dx \end{array} $$

      利用引理1和边界条件

      $$ \begin{align} I(t)& = \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{n} \Gamma_{ij}\int_{\Omega }w_{i}(x,t)\Delta w_{i}(x,t)dx=\\ & \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{n} \Gamma_{ij}[\int_{\partial \Omega }w_{i}(x,t)\frac{\partial w_{i}(x,t) }{\partial n}dx-\\ &\int_{\Omega }\bigtriangledown w_{i}(x,t) \bigtriangledown w_{i}(x,t)dx]=\\ & -\int_{\Omega }\bigtriangledown W^{T}(x,t)\Gamma \bigtriangledown W(x,t)dx \end{align} $$
      $$ \begin{align} \dot{V}\leqslant &\int_{\Omega } p L W_{L}^{{\rm T}}(x,t)W_{L}(x,t)+\\ &p W_{L}^{{\rm T}}(x,t)KW_{L}(x,t)-\\ &\left[ \begin{array}{*{20}{c}} \bigtriangledown W_{L}(x,t) \\ \bigtriangledown W_{g}(x,t) \end{array} \right]^{{\rm T}}\\ &\left[ \begin{array}{cc} p(G_{L}-G_{ZL})&pG_{Lg} \\ Q(G_{gL}+\varphi B)&Q(G_{g}-G_{Zg}-\Psi) \end{array} \right]\\ &\left[ \begin{array}{*{20}{c}} \bigtriangledown W_{L}(x,t) \\ \bigtriangledown W_{g}(x,t) \end{array} \right]dx \end{align} $$

      即存在

      $$ \dot{V} = \int_{\Omega }\eta^{{\rm T}}(t) \Phi \eta(t)dx $$

      其中

      $$ \eta(t) = col \left \{ W_{L}(x,t), \bigtriangledown W_{L}(x,t), \bigtriangledown W_{g}(x,t) \right \} $$
      $$ \Phi = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Xi _1}}&0&0\\ 0&{{\Xi _2}}&{ - p{G_{Lg}}}\\ 0&{{\Xi _3}}&{{\Xi _4}} \end{array}} \right]\qquad\qquad\qquad\quad $$
      $$ \begin{array}{l} {\Xi _1} = pLI + pK\\ {\Xi _2} = - p({G_L} - {G_{ZL}})\\ {\Xi _3} = - Q(G_{gL}^{\rm T} + \varphi B)\\ {\Xi _4} = - Q({G_g} - {G_{Zg}} - \Psi ) \end{array}\qquad\qquad\qquad\quad $$

      $ \Phi+\Phi^{T}<0 $, 则$ \Phi<0 $

      $$ \begin{array}{l} {X_1}{\rm{ }} = {\rm{ }}pK{\rm{ }}\\ {X_2} = {B^{\rm T}}{\varphi ^{\rm T}}Q\\ {X_3} = Q\Psi \end{array} $$

      所以, 若

      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Pi _1} + \Pi _1^{\rm T}}&0&0\\ 0&{{\Pi _2}}&{{\Pi _4}}\\ 0&*&{{\Pi _3} + \Pi _3^{\rm T}} \end{array}} \right] < 0 $$

      其中

      $$ \begin{array}{l} {\Pi _1} = 2pLI + 2{X_1}\\ {\Pi _2} = - p({G_L} - {G_{ZL}}) - p{({G_L} - {G_{ZL}})^{\rm T}}\\ {\Pi _3} = - Q({G_g} - {G_{Zg}}) + {X_3}\\ {\Pi _4} = - p{G_{Lg}} - G_{gL}^{\rm T}Q + {X_2} \end{array} $$

      $ \dot{V}<0 $, 由此定理1得证.□

      定理1给出了非线性分布参数系统源控制镇定性的充分条件, 下面对一般线性分布参数系统这一特殊情形, 给出相应系统镇定的一个推论.

      源节点:

      $$ \begin{split} \dfrac{\partial W_{L}(x,t)}{\partial t} =& A W_{L}(x,t)+G_{Lg}\Delta W_{g}(x,t)+\\ &(G_{L}-G_{ZL})\Delta W_{L}(x,t)+U_{L} \end{split} $$ (14)

      跟随节点:

      $$ \begin{split} \dfrac{\partial W_{g}(x,t)}{\partial t} = &G_{gL}\Delta W_{L}(x,t)+\\ &(G_{g}-G_{Zg})\Delta W_{g}(x,t)+U_{g} \end{split} $$ (15)

      推论1. 对于源节点系统(14)及跟随节点系统(15), 任意给定的正定矩阵$ P $, $ Q $, 若存在矩阵$ K $, 使得如下线性矩阵不等式成立:

      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Phi _1} + \Phi _1^{\rm T}}&0&0\\ 0&{{\Phi _2}}&{ - p{G_{Lg}} - G_{gL}^{\rm T}Q + {X_2}}\\ 0&*&{{\Phi _3} + \Phi _3^{\rm T}} \end{array}} \right] < 0 $$ (16)

      其中

      $$ \begin{array}{l} {\Phi _1} = 2pAI + 2{X_1}\\ {\Phi _2} = - p({G_L} - {G_{ZL}}) - p{({G_L} - {G_{ZL}})^{\rm T}}\\ {\Phi _3} = - Q({G_g} - {G_{Zg}}) + {X_3}{\rm{ }}\\ {X_1}{\rm{ }} = {\rm{ }}pK\\ {X_2} = {B^{\rm T}}{\varphi ^{\rm T}}Q\\ {X_3} = Q\Psi \end{array} $$

      则系统(14)(15)在给出的边界条件和源控制器(10)(11)下是渐进稳定的, 符号$ * $代表矩阵的对称项.

      证明: 构造Lyapunov-Krasovskii函数

      $$ V = \int_{\Omega }W_{L}^{{\rm T}}(x,t)PW_{L}(x,t)+W_{g}^{{\rm T}}(x,t)QW_{g}(x,t)dx $$

      证明参考定理1.□

    • 为了说明问题, 考虑如下分布参数系统及控制系统

      $$ \left\{ \begin{split} \dfrac{\partial W_{L}(x,t)}{\partial t} =& F(W_{L}(x,t))+G_{Lg}\Delta W_{g}(x,t)+\\ &(G_{L}-G_{ZL})\Delta W_{L}(x,t)+U_{L}\\ \dfrac{\partial W_{g}(x,t)}{\partial t} =& G_{gL}\Delta W_{L}(x,t)+\\ &(G_{g}-G_{Zg})\Delta W_{g}(x,t)+U_{g} \end{split}\right. $$

      对分布参数系统, 取源节点为$ l = 1 $, 随节点$ n-l = 3 $, 系统参数非线性函数与经验函数误差满足: $ L = 4.5 $, 扩散-吸收因子$ G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{G_L}}&{{G_{Lg}}}\\{{G_{gL}}}&{{G_g}}\end{array}} \right]$, 其中$ G_{L} = 0 $, $ G_{Lg} = [-1,-0.1,-0.01] $, $ {G_g} =$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 0.5}&{ - 0.05}\\{0.5}&0&{ - 0.25}\\{0.05}&{0.25}&0\end{array}} \right] $, 所以$ G_{ZL} = -1.11 $, $ G_{Zg} = $$diag (0.450.35, 0.31) $

      应用定理1所提出的方法, 通过Matlab软件中的LMI工具箱, 可以得到控制系统参数: $K = $$ -4.9603 $, $ B = [-1,-3,-3.8]^{T} $, $ \varphi = diag(0.4569, $$0.0152,0.0012) $, 即 $ \Psi = diag(-1,-3,-3.8) $.

      给定系统的初始条件$ w_{1}(x,0) = \exp(0.7* $$(-x\!+\!5)) $, $ w_{2}(x,0) \!=\! 10*\sin(x) $, $ w_{3}(x,0) \!=\! \sin(2*x) $, $ w_{4}(x,0) = 0.1*\sin(3*x) $, 图1-2, 分别给出了系统源节点状态和系统跟随的状态图.

      图  1  系统源节点$W_{L}(x,t)$状态图

      Figure 1.  the system state of source nodes $W_{L}(x,t)$

      图  2  系统跟随节点$W_{g}(x,t)$状态图

      Figure 2.  the system state of following nodes $W_{g}(x,t)$

    • 本文将构成分布参数系统的空间分成若干分, 每份为一个节点, 在所有的节点中, 定义将能产生量变的源头定义为源节点, 跟随源节点变化的节点为跟随节点, 由此构建分布参数系统模型. 对于源节点, 根据经验函数结合反馈偏差调节设计控制器, 对跟随节点考虑源节点控制的逸散作用, 设计控制器. 利用Lyapunov稳定性理论并结合LMI处理方法, 得出了分布式参数系统稳定源控制器存在的充分条件. 最后结合所给条件, 给出一个数值仿真说明其有效性.

参考文献 (19)

目录

    /

    返回文章
    返回