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噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法

王霞 王耀民 施心陵 高莲 李鹏

王霞, 王耀民, 施心陵, 高莲, 李鹏. 噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法. 自动化学报, 2019, 45(x): 1−23. doi: 10.16383/j.aas.c190474
引用本文: 王霞, 王耀民, 施心陵, 高莲, 李鹏. 噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法. 自动化学报, 2019, 45(x): 1−23. doi: 10.16383/j.aas.c190474
Wang Xia, Wang Yao-Min, Shi Xin-Ling, Gao Lian, Li Peng. Probabilistic multimodal optimization algorithm based on buffon distance in noisy environment. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1−23. doi: 10.16383/j.aas.c190474
Citation: Wang Xia, Wang Yao-Min, Shi Xin-Ling, Gao Lian, Li Peng. Probabilistic multimodal optimization algorithm based on buffon distance in noisy environment. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1−23. doi: 10.16383/j.aas.c190474

噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法


DOI: 10.16383/j.aas.c190474
详细信息
    作者简介:

    云南大学博士研究生. 主要研究方向为智能优化算法. E-mail: wangxiacsu@163.com

    云南大学博士研究生. 主要研究方向为SDN、数据中心和智能优化算法. E-mail: 18988081898@189.cn

    云南大学信息学院教授. 研究方向为智能优化算法, 自适应信号处理与信息系统, 医学电子学. 本文通信作者. E-mail: xlshi@ynu.edu.cn

    云南大学信息学院讲师. 研究方向为生物医学信号处理. E-mail: ylbgl123@sina.com

    云南大学信息学院副教授. 研究方向为输变电系统安全诊断、预警与维护决策研究. E-mail: lipeng@ynu.edu.cn

  • 基金项目:  国家自然科学基金(61763046, 61762093, 61662089, 61761048), 云南省第十七批中青年学术和技术带头人资助项目(2014HB019), 云南省高校科技创新团队支持计划资助, 云南省教育厅科学研究基金(2017ZZX229), 云南省应用基础研究重点项目(2018FA036)资助

Probabilistic Multimodal Optimization Algorithm based on Buffon Distance in Noisy Environment

More Information
  • Fund Project:  Supported by National Natural Science Foundation of China (61763046, 61762093, 61662089, and 61761048), The17th batches of Young and Middle-aged Leaders in Academic and Technical Reserved Talents Project of Yunnan Province under Grant (2014HB019), The Program for Innovative Research Team (in Science and Technology) in University of Yunnan Province. Yunnan Provincial Department of Education Science Research Fund Project (2017ZZX229), and Key Projects of Applied Basic Research of Yunnan Province (2018FA036)
  • 摘要: 针对噪声环境下求解多个极值点的问题, 本文提出了噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法(PMB). 算法依据蒲丰投针原理提出噪声下的蒲丰距离和极值分辨度概念, 理论推导证明了二者与算法峰值检测率符合依概率关系. 在全局范围内依据蒲丰距离划分搜索空间, 可以使PMB算法保持较好的搜索多样性. 在局部范围内利用改进的斐波那契法进行探索, 减少了算法陷入噪声引起的局部最优的概率. 基于34个测试函数, 从依概率特性验证、寻优结果影响因素分析、多极值点寻优和多维函数寻优四个角度进行实验. 证明了蒲丰距离与算法的峰值检测率符合所推导的依概率关系. 对比噪声环境下的改进蝙蝠算法和粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO), PMB算法在噪声环境中可以依定概率更精确地定位多峰函数的更多极值点, 从而证明了PMB算法原理的正确性和噪声条件下全局寻优的依概率性能, 具有理论意义和实用价值.
  • 图  1  极值分辨度

    Fig.  1  Extreme value resolution

    图  2  函数波形与极值点

    Fig.  2  Function waveform and extremum points

    图  3  蒲丰投针实验设计图

    Fig.  3  Experimental design of buffon needles

    图  4  式(9)证明示意图

    Fig.  4  Diagram to prove (9)

    图  5  蒲丰距离与针长的关系示意图

    Fig.  5  Diagram of the relationship between buffon distance and needle length

    图  6  改进的斐波那契法的区域伸缩过程

    Fig.  6  The process of regional scaling of improved fibonacci method

    图  7  斐波那契法的区域收缩过程

    Fig.  7  The process of regional shrink of fibonacci method

    图  8  PMB算法的多级划分策略

    Fig.  8  The multilevel partition strategy of PMB algorithm

    图  9  $a$ = 0.2时无噪声环境下PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

    Fig.  9  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noiseless environment with $a$ = 0.2

    图  14  $\sigma^2$ = 0.01, $a$ = 0.2时PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

    Fig.  14  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noise environment with $\sigma^2$ = 0.01 and $a$ = 0.2

    图  11  $\sigma^2$ = 0.05, $a$ = 0.5时PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

    Fig.  11  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noise environment with $\sigma^2$ = 0.05 and$a$ = 0.5

    图  10  $a$ = 0.5时无噪声环境下PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

    Fig.  10  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noiseless environment with $a$ = 0.5

    图  12  $\sigma^2$ = 0.01,$a$ = 0.5时PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

    Fig.  12  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noise environment with $\sigma^2$ = 0.01 and $a$ = 0.5

    图  13  $\sigma^2$ = 0.05,$a$ = 0.2时PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

    Fig.  13  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noise environment with $\sigma^2$ = 0.05 and $a$ = 0.2

    图  15  $a$ = 0.2, PMB算法在不同噪声环境下对TF1中的$f_1$求解所有极值点的定位误差

    Fig.  15  Positioning errors of total-extremum points for $f_1$ of TF1 searched by PMB algorithm with $a$ = 0.2 under different noise environments

    图  16  $a$ = 1, $\sigma^2$ = 0.05, PMB算法对TF1中 $f_2$的寻优结果

    Fig.  16  Optimization results for $f_2$ of TF1 by PMB algorithm in noise environment with $\sigma^2$ = 0.05 and $a$ = 1

    表  1  测试函数集1 (TF1)

    Table  1  Test function 1 (TF1)

    函数 名称 定义域 全局极值点 表达式
    $f_1$ [−1, 1] 3.5326($\pm $0.8781, $\pm $0.8781) ${{f}_{1}} = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-\cos(18{{x}_{1}})-\cos (18{{x}_{2}})$
    $f_2$ Levy 05 [−10, 10] −176.1375 (−1.3068, −1.4248) $\begin{aligned} {f}_{2}=\;& \sum\nolimits_{i = 1}^{5}{i\cos [(i-1){{x}_{1}}}+i]\times \sum\nolimits_{j = 1}^{5}{j\cos [(j+1){{x}_{2}}+j]}+ \\&{{({{x}_{1}}+1.42513)}^{2}}+{{({{{x}}_{2}}+0.80032)}^{2}}\end{aligned}$
    $f_3$ Michalewics [0, ${\text{π}}$] −1.8013 (2.2031, 1.5709) ${{f}_{3}} = -\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^{2}{\sin ({{x}_{i}})}{{\left(\sin \left(i\times x_{i}^{2}/{\text{π}} \right)\right)}^{20}}$
    $f_4$ Periodic [0, ${\text{π}}$] 0.9 (0,0) ${{f}_{4}} = 1+{{\sin }^{2}}({{x}_{1}})+{{\sin }^{2}}({{x}_{2}})-0.1{{ \rm{e}}^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}}$
    $f_5$ Carrom Table [−10, 10] −24.1568($\pm $9.6466, 9.6466) ${{f}_{7}} = -\left[{\left\{\cos ({{x}_{1}})\cos({{x}_{2}}){{ \rm{e}}^{\left| 1-\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}/{\text{π}} \right|}}\right\}}^{2}\right]/30$
    $f_6$ Holder Table 2 [−10, 10] -19.2085($\pm $8.0550, $\pm $9.6646) ${{f}_{8}} = -\left| \sin ({{x}_{1}})\cos ({{x}_{2}}){{ \rm{e}}^{\left| 1-\sqrt{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}/{\text{π}} \right|}} \right|$
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    表  2  测试函数集2(TF2)(维度为5)

    Table  2  Test function 2(TF2)(dimension is 5)

    函数 全局最优值$f_{i}^{*}$ 函数名称
    单峰函数 $f_1$ −1 400 Sphere Function
    $f_2$ −1 300 Rotated High Conditioned Elliptic Function
    $f_3$ −1 200 Rotated Bent Cigar Function
    $f_4$ −1 100 Rotated Discus Function
    $f_5$ −1 000 Different Powers Function
    多峰函数 $f_6$ −900 Rotated Rosenbrock's Function
    $f_7$ −800 Rotated Schaffers F7 Function
    $f_8$ −700 Rotated Ackley's Function
    $f_9$ −600 Rotated Weierstrass Function
    $f_{10}$ −500 Rotated Griewank's Function
    $f_{11}$ −400 Rastrigin's Function
    $f_{12}$ −300 Rotated Rastrigin's Function
    $f_{13}$ −200 Non-Continuous Rotated Rastrigin's Function
    $f_{14}$ −100 Schwefel's Function
    $f_{15}$ 100 Rotated Schwefel's Function
    $f_{16}$ 200 Rotated Katsuura Function
    $f_{17}$ 300 Lunacek Bi_Rastrigin Function
    $f_{18}$ 400 Rotated Lunacek Bi_Rastrigin Function
    $f_{19}$ 500 Expanded Griewank’s plus Rosenbrock's Function
    $f_{20}$ 600 Expanded Scaffer's F6 Function
    组合函数 $f_{21}$ 700 Composition Function 1 (n = 5, Rotated)
    $f_{22}$ 800 Composition Function 2 (n = 3, Unrotated)
    $f_{23}$ 900 Composition Function 3 (n = 3, Rotated)
    $f_{24}$ 1 000 Composition Function 4 (n = 3, Rotated)
    $f_{25}$ 1 100 Composition Function 5 (n = 3, Rotated)
    $f_{26}$ 1 200 Composition Function 6 (n = 5, Rotated)
    $f_{27}$ 1 300 Composition Function 7 (n = 5, Rotated)
    $f_{28}$ 1 400 Composition Function 8 (n = 5, Rotated)
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    表  5  $a$ = 0.5时PMB算法针对TF1中的 $f_1$在不同噪声环境下的全局极值点优化数值结果

    Table  5  Numerical results of global extremum points for $f_1$ of TF1 searched by PMB algorithm with $a$ = 0.5 under different noise environments

    极值点序号 P-MQHOA[1]无噪声 PMB
    $\sigma^2$ = 0.01 $\sigma^2$ = 0.05
    $x_1$ $x_2$ $f$ $x_1$ $x_2$ $f$ $P_f$ $P_l$ $x_1$ $x_2$ $f$ $P_f$ $P_l$
    1 −0.8781 −0.8781 3.5326 −0.8760 −0.8780 3.6923 1.60E-01 2.07E-03 −0.8805 −0.8775 3.9568 4.24E-01 2.46E-03
    2 −0.8781 0.8781 3.5326 −0.8771 0.8782 3.6953 1.63E-01 1.03E-03 −0.8770 0.8803 3.9510 4.18E-01 2.50E-03
    3 0.8781 −0.8781 3.5326 0.8775 −0.8794 3.6847 1.52E-01 1.05E-03 0.8772 −0.8788 3.9467 4.14E-01 1.14E-03
    4 0.8781 0.8781 3.5326 0.8788 0.8784 3.6917 1.59E-01 8.18E-04 0.8775 0.8756 3.9697 4.37E-01 2.52E-03
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    表  3  针对TF1中的$f_1$取不同蒲丰距离时PMB算法在不同噪声环境下的优化结果

    Table  3  Optimization results of PMB algorithm for $f_1$ of TF1 in different noise environments with different Buffon distances

    $\sigma^2$ $a$ Num_mean Num_max Num_min $\eta\_{\rm{mean}}$ $\eta\_{\rm{global}}$
    50 次 0.01 0.5 29.62 33 26 82.28 % 100.00 %
    0.2 36.04 37 36 100.11 % 100.00 %
    0.05 0.5 31.32 35 27 87.00 % 100.00 %
    0.2 36.26 38 36 100.72 % 100.00 %
    100 次 0.01 0.5 29.78 33 27 82.72 % 100.00 %
    0.2 36.02 37 36 100.06 % 100.00 %
    0.05 0.5 32.08 36 28 89.11 % 100.00 %
    0.2 36.37 38 36 101.03 % 100.00 %
    200 次 0.01 0.5 29.715 34 23 82.54 % 100.00 %
    0.2 36.02 37 36 100.06 % 100.00 %
    0.05 0.5 32 35 26 88.89 % 100.00 %
    0.2 36.4 40 36 101.11 % 100.00 %
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    表  4  $a$ = 0.2时PMB算法针对TF1中的 $f_1$在不同噪声环境下的全局极值点优化数值结果

    Table  4  Numerical results of global extremum points for $f_1$ of TF1 searched by PMB algorithm with $a$ = 0.2 under different noise environments

    极值点序号 P-MQHOA[1]无噪声 PMB
    $\sigma^2$ = 0.01 $\sigma^2$ = 0.05
    $x_1$ $x_2$ $f$ $x_1$ $x_2$ $f$ $P_f$ $P_l$ $x_1$ $x_2$ $f$ $P_f$ $P_l$
    1 −0.8781 −0.8781 3.5326 −0.8781 −0.878 3.8057 2.73E-01 1.42E-04 −0.8776 −0.8773 4.1956 6.63E-01 9.37E-04
    2 −0.8781 0.8781 3.5326 −0.8789 0.8784 3.8027 2.70E-01 7.86E-04 −0.8788 0.8782 4.1974 6.65E-01 8.19E-04
    3 0.8781 −0.8781 3.5326 0.8782 −0.8778 3.8086 2.76E-01 3.64E-04 0.8788 −0.8784 4.2048 6.72E-01 7.36E-04
    4 0.8781 0.8781 3.5326 0.8783 0.8775 3.8049 2.72E-01 6.60E-04 0.8774 0.8765 4.2050 6.72E-01 1.79E-03
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    表  6  P-MQHOA[1]算法与$a$ = 0.2时的PMB算法针对TF1中的 $f_1$在不同环境下的所有极值点求解结果对比

    Table  6  Comparison of total-extremum points for $f_1$ of TF1 searched by P-MQHOA[1]algorithm and PMB algorithm with $a$ = 0.2 under different noise environments

    极值点序号 P-MQHOA[1]无噪声 PMB
    $\sigma^2$ = 0.01 $\sigma^2$ = 0.09
    $x_1$ $x_2$ $f(x_1,x_2)$ $x_1$ $x_2$ $f(x_1,x_2)$ $x_1$ $x_2$ $f(x_1,x_2)$
    1 −0.8781 −0.8781 3.5326 −0.8781 −0.8780 3.8057 −0.8762 −0.8777 4.4627
    2 −0.8781 −0.5269 3.0421 −0.8778 −0.5263 3.3069 −0.8774 −0.5285 3.9294
    3 −0.8781 −0.1756 2.7969 −0.8784 −0.1746 3.0482 −0.8778 −0.1818 3.6818
    4 −0.8781 0.1756 2.7969 −0.8789 0.1763 3.0605 −0.8790 0.1814 3.7123
    5 −0.8781 0.5269 3.0421 −0.8788 0.5277 3.3100 −0.8761 0.5258 3.9341
    6 −0.8781 0.8781 3.5326 −0.8789 0.8784 3.8027 −0.8798 0.8774 4.4562
    7 −0.5269 −0.8781 3.0421 −0.5276 −0.8780 3.3047 −0.5264 −0.8766 3.9330
    8 −0.5269 −0.5269 2.5517 −0.5266 −0.5267 3.4294 −0.52621 −0.5269 2.7918
    9 −0.5269 −0.1756 2.3065 −0.5264 −0.1756 2.5465 −0.5278 −0.1798 3.1998
    10 −0.5269 0.1756 2.3065 −0.5263 0.1760 2.5499 −0.5289 0.1772 3.1915
    11 −0.5269 0.5269 2.5517 −0.5268 0.5256 2.7924 −0.526 0.5278 3.4282
    12 −0.5269 0.8781 3.0421 −0.5268 0.8775 3.3045 −0.5271 0.8770 3.9228
    13 −0.1756 −0.8781 2.7969 −0.1770 −0.8786 3.0600 −0.1745 −0.8800 3.6858
    14 −0.1756 −0.5269 2.3065 −0.1761 −0.5275 2.5472 −0.1792 −0.5261 3.1804
    15 −0.1756 −0.1756 2.0613 −0.1772 −0.1755 2.2932 −0.1775 −0.1789 2.9170
    16 −0.1756 0.1756 2.0613 −0.1765 0.1746 2.2879 −0.1755 0.1774 2.9344
    17 −0.1756 0.5269 2.3065 −0.1763 0.5278 2.5418 −0.1757 0.5250 3.1700
    18 −0.1756 0.8781 2.7969 −0.1756 0.8791 3.0500 −0.1784 0.8817 3.6725
    19 0.1756 −0.8781 2.7969 0.1762 −0.8773 3.0574 0.1769 −0.8757 3.6846
    20 0.1756 −0.5269 2.3065 0.1762 −0.5266 2.5532 0.1794 −0.5270 3.1708
    21 0.1756 −0.1756 2.0613 0.1756 −0.1779 2.2964 0.1802 −0.1758 2.9292
    22 0.1756 0.1756 2.0613 0.1756 0.1752 2.2921 0.1790 0.1766 2.9235
    23 0.1756 0.5269 2.3065 0.1752 0.5269 2.5441 0.1820 0.5250 3.1637
    24 0.1756 0.8781 2.7969 0.1756 0.8800 3.0573 0.1803 0.8784 3.6873
    25 0.5269 −0.8781 3.0421 0.5253 −0.8767 3.2985 0.5250 −0.8808 3.9639
    26 0.5269 −0.5269 2.5517 0.5254 −0.5261 2.8010 0.5256 −0.5244 3.4443
    27 0.5269 −0.1756 2.3065 0.5275 −0.1752 2.5432 0.5266 −0.1785 3.1973
    28 0.5269 0.1756 2.3065 0.5266 0.1775 2.5502 0.5291 0.1789 3.1769
    29 0.5269 0.5269 2.5517 0.5273 0.5259 2.7941 0.5277 0.5257 3.4395
    30 0.5269 0.8781 3.0421 0.5254 0.8776 3.3128 0.5242 0.8817 3.9135
    31 0.8781 −0.8781 3.5326 0.8782 −0.8778 3.8086 0.8793 −0.8759 4.4479
    32 0.8781 −0.5269 3.0421 0.8792 −0.5265 3.3119 0.8771 −0.5288 3.9199
    33 0.8781 −0.1756 2.7969 0.8778 −0.1766 3.0594 0.8774 −0.1782 3.7063
    34 0.8781 0.1756 2.7969 0.8780 0.1760 3.0549 0.8772 0.1784 3.6981
    35 0.8781 0.5269 3.0421 0.8784 0.5265 3.3001 0.8788 0.5279 3.3046
    36 0.8781 0.8781 3.5326 0.8783 0.8775 3.8049 0.8803 0.8792 4.4365
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    表  7  PMB算法对TF1中的$f_2- f_6$在不同噪声环境下的全局极值点优化数值结果

    Table  7  Numerical results of global extremum points for function $f_2- f_6$ of TF1searched by PMB algorithm under different noise environments

    函数 全局极值 指标 IBA[32] PMB
    $\sigma^2$ = 0.01 $\sigma^2$ = 0.05 $\sigma^2$ = 0.07 $\sigma^2$ = 0.09 $\sigma^2$ = 0.01 $\sigma^2$ = 0.05 $\sigma^2$ = 0.07 $\sigma^2$ = 0.09
    $f_2$ −176.1375 Mean −176.1830 −176.3646 −176.5443 −176.5442 −176.1607 −176.0738 −176.0689 −175.9722
    MAPE 0.0258 0.1289 0.1799 0.2309 0.0132 0.0362 0.0389 0.0938
    $f_3$ −1.8013 Mean −1.8468 −2.0283 −2.1206 −2.2095 −2.0007 −2.3048 −2.4433 −2.5351
    MAPE 2.5281 12.6022 17.7255 22.6617 11.0675 27.9516 35.6393 40.7363
    $f_4$ 0.9 Mean 0.8556 0.6838 0.6053 0.5330 0.6534 0.2620 0.1312 0.0529
    MAPE 4.9308 24.0261 32.7394 46.5648 27.4009 70.8921 85.4263 94.1181
    $f_5$ −24.1568 Mean −24.2016 −24.3806 −24.4665 −24.5567 −24.2903 −24.538 −24.5977 −24.6518
    MAPE 0.1856 0.9266 1.2822 1.6556 0.5526 1.5781 1.8253 2.0490
    $f_6$ −-19.2085 Mean −19.253 −19.4329 −19.5236 −19.6095 −19.3724 −19.6408 −19.7391 −19.8169
    MAPE 0.2319 1.1683 1.6403 2.0875 0.8533 2.2504 2.7625 3.1673
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    表  8  PMB算法对TF1中$f_2- f_4$在不同噪声环境下得到的全局极值点的定位误差

    Table  8  Positioning errors of global extremum points for function $f_2-f_4$ of TF1 searched by PMB algorithm under different noise environments

    函数 $\sigma^2$ IBA[32] PMB
    $P_l$ $x_1$ $x_2$ $P_l$
    $f_2$ 0.01 0.00082301 −1.3062 −1.4246 0.0007
    0.05 0.0019 −1.3064 −1.4241 0.0009
    0.07 0.0022 −1.3079 −1.4244 0.0011
    0.09 0.0023 −1.3041 −1.4252 0.0027
    $f_3$ 0.01 0.0540 2.2088 1.5727 0.0059
    0.05 0.0132 2.1913 1.5723 0.0119
    0.07 0.0160 2.1882 1.5664 0.0156
    0.09 0.0201 2.1833 1.5710 0.0198
    $f_4$ 0.01 0.0282 0.0611 0.0698 0.0927
    0.05 0.0830 0.0836 0.0623 0.1042
    0.07 1.1067 0.0820 0.0655 0.1049
    0.09 2.2026 0.0579 0.0934 0.1099
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    表  9  PMB算法对TF1中的$f_5- f_6$在不同噪声环境下的全局极值点优化数值结果

    Table  9  Numerical results of global extremum points for function $f_5- f_6$ of TF1searched by PMB algorithm under different noise environments

    函数 算法 IBA[32] PMB
    $\sigma^2$ 0.01 0.05 0.07 0.09 0.01 0.05 0.07 0.09
    极值点序号 $P_l$ $(x_1, x_2), P_l$
    $f_5$ 1 0.0048 0.0151 0.0179 0.0206 (9.6453, −9.6439), 0.0030 (9.6498, −9.6444), 0.0039 (9.6398, −9.6475), 0.0068 (9.6559, −9.6482), 0.0094
    2 0.0057 0.0162 0.016 0.0158 (−9.6457, 9.6444), 0.0023 (−9.6473, 9.6442), 0.0025 (−9.6520, 9.6450), 0.0057 (−9.6473, 9.6401), 0.0065
    3 0.006 0.0112 0.0149 0.0153 (−9.6454, −9.6455), 0.0016 (−9.6460, −9.6413), 0.0053 (−9.6427, −9.6406), 0.0072 (−9.6407, −9.6419), 0.0076
    4 0.0044 0.0133 0.0151 0.0178 (9.6476, 9.6468), 0.0010 (9.6477, 9.6528), 0.0063 (9.6493, 9.6532), 0.0071 (9.6434, 9.6390), 0.0082
    $f_6$ 1 0.0107 0.0215 0.0238 0.0291 (8.0518, −9.6675), 0.0043 (8.0521, −9.6712), 0.0072 (8.0462, −9.6588), 0.0106 (8.0525, −9.6534), 0.0115
    2 0.0094 0.0207 0.0262 0.0289 (−8.0541, 9.6626), 0.0022 (−8.0532, 9.6629), 0.0025 (−8.0561, 9.6614), 0.0034 (−8.0586, 9.6567), 0.0087
    3 0.0088 0.0199 0.0242 0.0243 (−8.0513, −9.6634), 0.0039 (−8.0541, −9.6590), 0.0057 (−8.0595, −9.6698), 0.0069 (−8.0602, −9.6566), 0.0096
    4 0.0081 0.0241 0.021 0.0238 (8.0529, 9.6611), 0.0041 (8.0503, 9.6688), 0.0063 (8.0547, 9.6757), 0.0111 (8.0642, 9.6743), 0.0134
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    表  10  PMB算法和PSO算法对TF2在无噪声环境下得到的全局极值点

    Table  10  Global extremum points of TF2 obtained by PMB algorithm and PSO algorithm in noiseless environment

    TF2 Opti
    mum
    PSO PMB
    $f$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $t(s)$ $f$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $t(s)$
    $f_1$ −1 400 −1 400. 5153 −22.003 11.6561 −36.1216 69.3583 −37.5101 1.2932 −1 399.9755 −22.1013 11.5532 −35.9107 69.3869 −37. 6351 4.024
    $f_2$ −1 300 −608.3034 −23.2765 15.9243 −18.1464 70.6333 −35.3268 1.586 −1 284.0072 −22.1909 10.6542 −37.981 69.5946 −37.5306 13.084
    $f_3$ −1 200 −1 191. 9927 −90.9013 11.4835 −35.8577 68.8415 −40.1122 1.3798 −1 199.4865 −32.8088 11.5433 −35.9866 69.289 −38.0021 30.5866
    $f_4$ −1 100 −1 100. 2332 −22.0721 11.3036 −35.9249 69.1684 −37.6371 1.4573 −1 098.4189 −22.0954 11.9348 −36.1631 68.5683 −37.4961 52.0969
    $f_5$ −1 000 −1 000. 4002 −21.9647 11.3823 −36.0354 69.0788 −37.36 1.326 −999.9999 −21.9848 11.5549 −36.0044 69.3447 −37.6114 73.5208
    $f_6$ −900 −900. 1464 −48.0332 16.1924 −31.6003 85.6123 −64.8171 1.2566 −900.0000 −22.0309 11.5686 −36.0034 69.4094 −37.6539 6.7166
    $f_7$ −800 −800. 314 −47.6006 11.5431 −35.9756 69.3023 −37.8813 1.9918 −799.9792 −22.0032 11.5635 −36.004 69.3839 −37.5808 24.2937
    $f_8$ −700 −680.2271 −89.9164 95.3877 55.5365 −63.3428 −20.1823 1.6314 −699.9191 −22.2758 11.5436 −36.0022 69.3631 −37.6026 44.2769
    $f_9$ −600 −600. 3439 75.0307 21.2084 −65.4178 −90.6598 25.5987 10.7053 −599.9286 −22.0921 11.5053 −35.998 69.3653 −37.6013 137.0404
    $f_{10}$ −500 −500. 3287 −22.7446 11.9779 −35.0425 69.3475 −37.3164 1.6048 −499.8497 −21.6232 11.8265 −36.1124 69.0713 −37.5719 164.8766
    $f_{11}$ −400 −400. 4644 −21.9891 11.5276 −36.014 69.3475 −37.5829 1.8479 −399.54 −21.6252 11.9614 −35.9928 69.484 −37.3817 203.6023
    $f_{12}$ −300 −299.4175 −19.0411 5.6211 −50.5124 72.7959 −42.8024 1.9517 −299.2154 −22.224 11.6704 −35.3449 68.6809 −37.0768 244.3073
    $f_{13}$ −200 −199. 3823 −31.2247 9.7199 −34.7315 78.1449 −45.3504 1.8811 −199.7728 −22.0876 11.6491 −35.5865 69.2094 −37.2746 288.9675
    $f_{14}$ −100 −100. 0015 −6.2047 11.5466 −27.1106 69.3496 −32.6014 1.5652 −99.8081 −22.0000 11.4699 −36.0043 69.3659 −37.622 25.5247
    $f_{15}$ 100 156.5509 49.6019 63.3034 −72.268 −3.7613 −79.9879 1.6973 110.4386 −21.8498 11.9445 −35.3707 69.3721 −37.4593 45.1034
    $f_{16}$ 200 199. 8538 −57.0813 58.5504 −31.0707 26.9993 −38.2225 3.9518 200.4084 −22.0509 11.5686 −36.0034 69.4094 −37.6539 31.5485
    $f_{17} $ 300 304. 7026 8.0018 −16.5642 −5.9498 38.2561 −8.1092 1.5401 300.3612 −22.0466 11.5575 −37.5698 69.3452 −37.6059 114.3228
    $f_{18}$ 400 405. 3374 8.8635 −22.2516 −5.391 38.826 −10.5181 1.6256 401.5735 −22.269 12.4883 −38.1444 68.9858 −37.9558 144.0145
    $f_{19} $ 500 499. 8491 −36.1124 −7.1141 −60.5984 57.0958 −63.211 1.4022 500.0023 −22.1995 11.4599 −36.2687 68.9998 −37.9225 175.7896
    $f_{20} $ 600 599. 7283 −43.4837 14.2779 −40.0212 72.9036 −43.5544 1.4423 600.0068 −22.0109 11.5786 −36.0034 69.4014 −37.6519 214.3663
    $f_{21}$ 700 999.5585 74.8671 7.56 60.3875 15.7259 31.6655 1.8884 709.2098 −22.1135 11.7078 −36.2284 69.2862 −37.5341 259.2839
    $f_{22}$ 800 899.5949 −48.5424 53.7715 13.7283 69.8239 −18.62 29 2.6328 821.3446 −22.0219 12.2169 −36.155 69.2986 −37.4481 338.1721
    $f_{23}$ 900 1 040.6959 −47.8633 59.6935 18.944 63.6605 −16.7946 2.5248 926.4912 −22.2323 11.3133 −36.2082 69.665 −37.8375 400.5942
    $f_{24}$ 1 000 1 104.3212 −43.5817 62.9002 24.6363 69.2317 −19.6422 11.4319 1 005.5802 −22.2796 11.6315 −36.0045 69.656 −37.0404 536.6315
    $f_{25}$ 1 100 1 199.5464 −48.5541 53.8377 13.7864 69.8039 −18.5822 11.4093 1 103.9827 −22.2144 11.3766 −35.7601 69.5939 −37.2318 674.0186
    $f_{26}$ 1 200 1 230.9793 −45.3432 36.5543 −61.2965 73.0248 −28.7484 11.8107 1 201.2061 −21.9038 11.8136 −36.0593 69.1101 −37.8049 824.5081
    $f_{27}$ 1 300 1 643.8584 39.9937 64.0666 74.3787 82.5407 88.9271 11.4554 1 316.2217 −22.0002 11.5006 −36.0034 69.4000 −37.6006 977.0531
    $f_{28}$ 1 400 1 699.6997 74.858 7.5684 60.4032 15.7134 31.6678 2.8537 1 404.1964 −21.9492 11.4562 −36.0421 69.5111 −37.5802 1 061.4819
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    表  11  PSO算法对TF2在$\sigma^2$ = 0.01的噪声环境下得到的全局极值点

    Table  11  Global extremum points of TF2 obtained by PSO algorithm in noise environment of $\sigma^2$ = 0.01

    TF2 Optimum $f$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ t(s) $P_f$ $P_l$
    $f_1$ −1 400 −1 400.4781 −22.0184 11.4865 −35.9794 69.3581 −37.6173 1.404 0.0372 0.2464
    $f_2$ −1 300 −930.7041 −20.245 15.2674 −30.6074 67.6185 −38.8701 1.4961 322.4007 13.6581
    $f_3$ −1 200 −1 199.0062 −50.622 11.5252 −35.947 69.152 −38.649 1.2854 7.0135 40.3071
    $f_4$ −1 100 −1 100.2794 −21.9225 11.64 −36.0456 69.5782 −37.4029 1.4142 0.0462 0.6106
    $f_5$ −1 000 −1 000.3961 −21.994 11.5758 −36.1201 69.1453 −37.9101 1.2586 0.0041 0.5937
    $f_6$ −900 −900.3562 −31.8677 13.59 −34.0754 76.8813 −49.9714 1.218 0.2098 23.8924
    $f_7$ −800 −800.3509 −-22.0771 11.5961 −35.183 69.3788 −37.6198 1.8579 0.0369 25.5374
    $f_8$ −700 −680.3089 −71.3566 −56.4316 57.2977 −28.3447 −56.5965 1.615 0.0817 161.0824
    $f_9$ −600 −599.2936 49.9955 −78.2402 0.1786 32.7815 56.5152 10.4697 1.0503 176.1058
    $f_{10}$ −500 −500.2789 −22.3318 11.3539 −34.8006 70.2354 −36.8967 1.5857 0.0497 1.2581
    $f_{11}$ −400 −400.4319 −21.9215 11.6111 −36.0095 69.3882 −37.6099 1.822 0.0325 0.1181
    $f_{12}$ −300 −300.4235 −21.962 11.6181 −35.9548 69.2314 −37.4736 1.8597 1.006 17.2487
    $f_{13}$ −200 −195.7745 −16.5439 0.7856 −63.1612 78.2956 −49.8104 1.8291 3.6078 33.5188
    $f_{14}$ −100 −76.8796 93.8116 23.4253 −27.1196 69.3665 −37.609 1.5651 23.1219 100.8436
    $f_{15}$ 100 162.9651 63.763 73.9758 −59.6899 6.8698 −69.5651 1.6225 6.4142 26.3496
    $f_{16}$ 200 200.0371 −77.2249 85.4895 −99.6791 9.5552 0.5678 3.677 0.1834 87.4504
    $f_{17}$ 300 305.138 8.0174 −22.2004 −9.134 41.8141 −7.1107 1.5252 0.4354 7.4541
    $f_{18}$ 400 406.2551 10.8862 −24.2858 −0.1323 39.2559 −7.5586 1.5572 0.9177 6.6953
    $f_{19}$ 500 499.7671 −26.9034 2.4016 −45.2641 65.0955 −40.2783 1.3468 0.082 31.6291
    $f_{20}$ 600 599.6336 −71.294 14.1417 −38.0582 69.6662 −29.0219 1.4203 0.0947 31.6063
    $f_{21} $ 700 799.646 −48.5365 53.7646 13.7222 69.8263 −18.6266 1.8519 199.9126 158.1048
    $f_{22}$ 800 1 016.1259 95.0903 −70.2239 −51.7248 71.7396 −52.0955 2.4272 116.5309 203.5029
    $f_{23}$ 900 1 066.8577 −61.6704 86.9732 42.3647 41.522 −18.9232 2.4921 26.1619 44.4746
    $f_{24}$ 1 000 1 111.4644 −61.8977 82.0776 36.3207 76.7673 1.768 11.6881 7.1432 36.8097
    $f_{25}$ 1 100 1 199.6718 −48.5853 53.7148 13.7168 69.7682 −18.5628 11.7015 0.1254 0.1502
    $f_{26}$ 1 200 1 302.6409 −71.6478 58.3538 19.0587 68.5734 −24.1115 12.4385 71.6616 87.5525
    $f_{27}$ 1 300 1 599.7342 74.8682 7.5586 60.3873 15.7236 31.6624 12.1106 44.1241 111.1257
    $f_{28}$ 1 400 1 499.6147 −48.5389 53.7644 13.7202 69.8289 −18.6285 2.8779 200.085 158.1087
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    表  12  PMB算法对TF2在$\sigma^2$ = 0.01的噪声环境下得到的全局极值点

    Table  12  Global extremum points of TF2 obtained by PMB algorithm in noise environment of $\sigma^2$ = 0.01

    TF2 Optimum f $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $t(s)$ $P_f$ $P_l$
    f1 −1 400 −1 400.0699 −21.8287 11.8038 −36.3299 69.5330 −37.6233 12.7743 0.0943 0.5782
    f2 −1 300 −608.3307 −23.1175 11.4652 −34.0409 70.2874 −36.6119 39.0930 675.6766 4.2854
    f3 −1 200 −1 017.2976 −32.7028 11.5533 −35.9896 69.2990 −38.0010 68.3085 182.1889 0.1070
    f4 −1 100 −1 054.7452 −22.0054 11.9548 −36.1731 68.5083 −37.3461 102.1388 43.6737 0.1863
    f5 −1 000 −1 000.2789 −21.9308 11.4701 −36.3134 69.5171 −37.2096 135.1712 0.2791 0.5448
    f6 −900 −900.0006 −22.1408 11.3658 −36.1004 69.2084 −37.6539 12.8520 0.0006 0.3210
    f7 −800 −800.0919 −21.9418 11.6135 −35.8100 69.3635 −37.6909 40.6402 0.1127 0.2376
    f8 −700 −699.7605 −22.1688 11.4203 −36.5141 69.3235 −37.5792 69.8338 0.1586 0.5393
    f9 −600 −600.1833 −21.8968 12.9478 −32.0218 69.5171 −37.6985 215.7291 0.2547 4.2381
    f10 −500 −499.9168 −21.3850 11.1694 −35.9969 69.3487 −37.4039 251.9397 0.0671 0.7791
    f11 −400 −400.0491 −21.9828 11.4866 −35.7514 69.3762 −37.4913 306.9611 0.5091 0.6597
    f12 −300 −299.9505 −21.8073 11.5243 −35.7096 69.1440 −37.0312 358.0750 0.7351 0.7379
    f13 −200 −200.0731 −21.8323 11.3919 −36.2855 69.2937 −37.4883 412.7622 0.3003 0.8202
    f14 −100 −99.4329 −22.1030 11.5419 −36.1002 69.3419 −37.6012 523.8452 0.3752 0.1612
    f15 100 104.4172 −21.7108 11.3782 −36.1444 69.3134 −37.7273 58.0593 6.0214 1.0070
    f16 200 200.8154 −22.1002 11.4383 −36.1730 69.4102 −37.6045 126.4925 0.4069 0.2250
    f17 300 301.8527 −22.1000 11.6151 −37.4783 69.4012 −37.5859 366.6641 1.4915 0.1345
    f18 400 404.3400 −22.2810 12.4912 −38.0133 68.8766 −37.9101 341.7595 2.7665 0.1771
    f19 500 500.1091 −22.1404 11.2668 −36.2592 68.9192 −37.9133 318.0817 0.1068 0.2178
    f20 600 599.9330 −22.0115 11.5642 −35.9012 69.4102 −37.6413 501.6370 0.0739 0.1041
    f21 700 704.7231 −22.1409 11.5481 −35.9884 69.3233 −37.5984 799.2632 4.4867 0.2989
    f22 800 843.9745 −22.0029 11.7082 −36.0243 69.3881 −38.1587 1 284.7595 22.6299 0.8884
    f23 900 923.2544 −21.9358 11.4092 −36.9182 69.2899 −37.7927 1 405.1109 3.2368 0.8625
    f24 1 000 1 002.7871 −22.0554 11.0213 −36.4846 69.5489 −37.5213 1 645.1116 2.7931 0.9464
    f25 1 100 1 100.8277 −21.8449 11.4803 −35.9915 69.3188 −37.5424 1 886.3396 3.1550 0.6107
    f26 1 200 1 215.0429 −21.8701 11.7852 −37.0089 69.1101 −37.1271 2 148.5756 13.8368 1.1675
    f27 1 300 1 379.5470 −22.2113 11.7141 −36.6134 69.4000 −37.2465 2 412.4953 63.3253 0.7665
    f28 1 400 1 401.3007 −21.9727 11.5578 −36.0055 69.3242 −37.6351 2 555.0831 2.8957 0.2240
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    表  13  PMB算法对TF2中部分函数在无噪声环境和$\sigma^2$ = 0.01的噪声环境下的多极值点优化结果

    Table  13  Optimization results of multiple extremum points for some functions of TF2 obtained by PMB algorithm in noiseless environment and noise environment of $\sigma^2$ = 0.01

    TF2 Noiseless environment $\sigma^2$ = 0.01
    $f$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $f$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $P_f$ $P_l$
    $f_6$ −900.0000 −22.0309 11.5686 −36.0034 69.4094 −37.6539 −900.0006 −22.1408 11.3658 −36.1004 69.2084 −37.6539 0.0006 0.3210
    −896.0639 −33.8126 44.7393 54.6931 77.1452 −50.0368 −896.0683 −34.4983 44.9367 54.8740 77.5853 −50.9570 0.0044 1.2579
    −899.9794 −28.6913 12.8088 −35.1466 74.6026 −46.3440 −900.2057 −28.8650 12.9076 −35.1465 74.7262 −46.3359 0.2264 0.2351
    −899.9959 −19.0610 10.9852 −36.4042 66.8717 −33.4840 −899.8525 −19.1580 11.2422 −36.3101 66.9289 −32.6954 0.1433 0.8423
    −899.9987 −20.6166 11.3082 −36.2410 68.2617 −35.8258 −899.9635 −20.4386 11.2333 −36.0719 68.0558 −35.3752 0.0353 0.5580
    $f_7$ −799.9792 −22.0032 11.5635 −36.0040 69.3839 −37.5808 −800.0919 −21.9418 11.6135 −35.8100 69.3635 −37.6909 0.1127 0.2376
    −799.8756 −28.3647 11.5956 −35.8878 69.3717 −37.6959 −800.0568 −28.2097 11.5979 −35.9973 69.4689 −37.5283 0.1812 0.2712
    −799.7114 −40.2000 11.5118 −35.9099 69.3766 −37.8352 −799.8792 −40.1102 11.5317 −35.9960 69.3786 −37.8348 0.1678 0.1259
    −799.6562 −56.9976 11.5324 −35.9848 69.1641 −38.1372 −799.8114 −55.1614 11.5224 −35.9948 69.1645 −38.1372 0.1552 1.8363
    −799.5697 −66.1517 11.6099 −35.9001 69.4026 −37.9670 −799.6939 −65.2517 11.6094 −35.9078 69.3432 −37.9666 0.1242 0.9020
    $f_8$ −699.9191 −22.2758 11.5436 −36.0022 69.3631 −37.6026 −699.7605 −22.1688 11.4203 −36.5141 69.3235 −37.5792 0.1586 0.5393
    −699.9042 −24.1426 11.5593 −36.0070 69.3609 −37.3899 −699.7605 −24.1231 11.5323 −35.9885 69.3697 −37.3910 0.1437 0.0391
    −699.6190 −45.4600 11.5691 −36.0014 84.1102 −20.9700 −699.7605 −45.4382 11.5681 −36.0127 84.1234 −20.9690 0.1415 0.0279
    −699.1928 −36.3628 11.5985 −35.9784 69.3447 −36.1163 −699.7605 −36.4531 11.5900 −35.9804 69.3459 −36.0956 0.5676 0.0931
    −699.4293 −30.7647 11.5746 −35.9425 69.3885 −37.6095 −699.7605 −30.7591 11.5895 −35.9425 69.4115 −37.5944 0.3312 0.0318
    $f_16$ 200.4084 −22.0509 11.5686 −36.0034 69.4094 −37.6539 200.8154 −22.1002 11.4383 −36.1730 69.4102 −37.6045 0.4069 0.2250
    200.0320 −52.1005 −61.6883 −32.3610 −46.5936 1.0443 200.3819 −52.1021 −61.7593 −32.3582 −46.5732 1.1053 0.3499 0.0958
    200.0353 −33.1330 −38.1129 2.5053 −47.4949 37.2437 200.1492 −33.1432 −38.1214 2.4901 −47.4899 37.2348 0.1139 0.0226
    200.0370 −25.6295 23.1822 −3.7438 −74.5210 −22.2897 200.1477 −25.6000 23.1812 −3.7542 −74.5312 −22.2982 0.1107 0.0340
    200.0511 31.4036 49.5090 46.7470 −62.4386 −15.8403 200.0922 31.4125 49.4947 46.7173 −62.4472 −15.8504 0.0411 0.0366
    $f_19$ 500.0023 −22.1995 11.4599 −36.2687 68.9998 −37.9225 500.1091 −22.1404 11.2668 −36.2592 68.9192 −37.9133 0.1068 0.2178
    500.0611 −25.0001 6.8588 −39.2834 63.8559 −42.1153 500.1292 −25.0018 6.8592 −39.2723 63.8337 −42.1010 0.0681 0.0287
    500.0907 −46.4426 −3.0700 −49.8269 56.0704 −50.5283 500.0979 −46.4534 −3.0612 −49.8173 56.1213 −50.5448 0.0072 0.0561
    500.1281 −31.3099 4.2889 −42.9418 58.0552 −46.9003 500.1475 −31.3063 4.2901 −42.9317 58.0661 −46.9169 0.0194 0.0226
    500.1030 −34.7069 −10.5994 −60.2413 54.6492 −60.9458 500.1952 −34.7672 −10.5528 −60.2362 54.6518 −60.9347 0.0922 0.0772
    $f_20$ 600.0068 −22.0109 11.5786 −36.0034 69.4014 −37.6519 599.9330 −22.0115 11.5642 −35.9012 69.4102 −37.6413 0.0739 0.1041
    600.0586 −100.0000 11.0005 −37.8204 70.8742 −25.9073 599.9468 −100.0000 11.1015 −37.8113 70.8513 −25.8984 0.1118 0.1043
    600.0591 −41.9112 12.0157 −38.3612 72.3213 −39.5142 600.0655 −41.8397 12.0277 −38.3525 72.3357 −39.5054 0.0063 0.0749
    600.0671 −25.7643 9.0700 −27.3033 69.5256 −36.3012 600.0348 −25.7528 9.0594 −27.3270 69.5188 −36.3140 0.0323 0.0319
    600.1270 −99.9565 11.5712 −36.7345 62.4002 −37.5823 600.2360 −100.0000 11.5834 −36.7231 62.4028 −37.5947 0.1089 0.0483
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-07-01
  • 录用日期:  2019-11-16

噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法

doi: 10.16383/j.aas.c190474
    基金项目:  国家自然科学基金(61763046, 61762093, 61662089, 61761048), 云南省第十七批中青年学术和技术带头人资助项目(2014HB019), 云南省高校科技创新团队支持计划资助, 云南省教育厅科学研究基金(2017ZZX229), 云南省应用基础研究重点项目(2018FA036)资助
    作者简介:

    云南大学博士研究生. 主要研究方向为智能优化算法. E-mail: wangxiacsu@163.com

    云南大学博士研究生. 主要研究方向为SDN、数据中心和智能优化算法. E-mail: 18988081898@189.cn

    云南大学信息学院教授. 研究方向为智能优化算法, 自适应信号处理与信息系统, 医学电子学. 本文通信作者. E-mail: xlshi@ynu.edu.cn

    云南大学信息学院讲师. 研究方向为生物医学信号处理. E-mail: ylbgl123@sina.com

    云南大学信息学院副教授. 研究方向为输变电系统安全诊断、预警与维护决策研究. E-mail: lipeng@ynu.edu.cn

摘要: 针对噪声环境下求解多个极值点的问题, 本文提出了噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法(PMB). 算法依据蒲丰投针原理提出噪声下的蒲丰距离和极值分辨度概念, 理论推导证明了二者与算法峰值检测率符合依概率关系. 在全局范围内依据蒲丰距离划分搜索空间, 可以使PMB算法保持较好的搜索多样性. 在局部范围内利用改进的斐波那契法进行探索, 减少了算法陷入噪声引起的局部最优的概率. 基于34个测试函数, 从依概率特性验证、寻优结果影响因素分析、多极值点寻优和多维函数寻优四个角度进行实验. 证明了蒲丰距离与算法的峰值检测率符合所推导的依概率关系. 对比噪声环境下的改进蝙蝠算法和粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO), PMB算法在噪声环境中可以依定概率更精确地定位多峰函数的更多极值点, 从而证明了PMB算法原理的正确性和噪声条件下全局寻优的依概率性能, 具有理论意义和实用价值.

English Abstract

王霞, 王耀民, 施心陵, 高莲, 李鹏. 噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法. 自动化学报, 2019, 45(x): 1−23. doi: 10.16383/j.aas.c190474
引用本文: 王霞, 王耀民, 施心陵, 高莲, 李鹏. 噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法. 自动化学报, 2019, 45(x): 1−23. doi: 10.16383/j.aas.c190474
Wang Xia, Wang Yao-Min, Shi Xin-Ling, Gao Lian, Li Peng. Probabilistic multimodal optimization algorithm based on buffon distance in noisy environment. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1−23. doi: 10.16383/j.aas.c190474
Citation: Wang Xia, Wang Yao-Min, Shi Xin-Ling, Gao Lian, Li Peng. Probabilistic multimodal optimization algorithm based on buffon distance in noisy environment. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(x): 1−23. doi: 10.16383/j.aas.c190474
  • 实际优化问题往往存在着多个全局最优解及其它有价值的局部最优解, 我们不仅需要找到全局最优解, 还需要找到局部最优解进行辅助决策, 这类优化问题称为多峰搜索(Multi-peak searching)或多峰优化(Multimodal optimization) 问题[1]. 此外, 实际优化问题总是受到各种随机噪声的影响. 在噪声环境下求解多峰优化问题不仅要求算法能在噪声干扰下寻找真实的极值点位置, 而且希望算法能提供备选的多个优化方案. 噪声的分布往往符合一定的概率关系, 因此噪声环境下的多峰优化问题是一个依概率求解极值点的问题. 其中包含的噪声环境下的寻优问题[2](Noisy optimization)和多峰优化问题在科学和工程领域中有理论和实际意义. 噪声优化算法的研究可以为机器人[3-5]、智能控制与决策[6-9]、信号识别与测量[10, 11]、智能制造[12]等存在噪声干扰的工程优化问题提供优化解决方案.

    在噪声优化算法的依概率问题研究方面, 一些学者研究了噪声优化算法的概率模型, 如Nakama[13]和李军华[14] 等人研究了噪声环境下遗传算法的 Markov 模型, Ma Hai-Ping[15]等使用Markov模型分析了噪声对生物地理优化算法(Biogeography-based optimization, BBO)的影响, Beyer[16]等对自适应进化策略(Self-adaptive evolution strategy, ES)的鲁棒优化模型进行了稳态分析. 但是算法求解优化结果的依概率关系尚无相关研究. 也一些学者在研究中涉及到了优化算法的依概率问题, 但都是针对无噪声环境下的优化算法, 例如蚁群优化算法[17] (Ant colony optimization, ACO)基于信息素指导依概率为子代个体构建解, 从而将信息素的分布理解为一种特殊的概率分布. 李宝磊等人[18]证明了所提出的多元优化算法以概率1 收敛于全局最优解. 董易等人[19]证明了所提出的斐波那契树优化算法以概率1 收敛于全局最优解. 针对噪声环境下多峰优化算法的依概率问题尚缺乏相关研究. 对于噪声优化算法的依概率特性研究非常重要, 它可以评估算法搜索优化问题全部极值点的能力, 衡量算法的优化效率, 同时为算法性能的改进和提升指明方向.

    在噪声环境下多极值点寻优问题的研究方面, 元启发式算法作为解决确定性优化问题的一种主流方法, 其在噪声环境中的优化性能受到了越来越多的关注. 李军华、黎明等人[14, 20-22]分析了噪声对遗传算法的影响以及正态随机噪声对适应度评价的影响机理, 提出了多次评价一次采样的动态适应度评价方法. 许多学者通过将假设检验(Hypothesis test, HT)、最优计算量分配(Optimal computing budget allocation, OCBA)技术、反向学习法、自动学习机(Learning Automata, LAs)、重采样、聚类算法、加权搜索中心等多种策略引入粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)中[23-29], 以提高算法的鲁棒性. 这些优化算法能够在噪声环境中找到接近全局最优的极值点, 但都没有求解其他极值点. 在多峰优化问题的研究中, 许多多峰函数优化算法[1, 30, 31]能搜索到多峰函数的多个极值点. 但大部分算法只针对确定性环境, 并未考虑噪声环境下的多峰优化问题.Jamil等人[32] 对蝙蝠算法(Bat algorithm)进行了改进, 使其适用于无噪声环境和有噪声环境, 将其应用到多峰函数优化问题中, 可以找到多峰函数的多个全局极值点. 然而遗憾的是, 文中并未讨论多个局部极值点的情况, 且极值点的坐标并未明确给出. 尽可能多的搜索局部极值点能为生产实际提供更多样化的优化方案. 此外, 为了提供明确的优化方案, 实验结果应给出极值点的适应度值和对应的解, 以便为实际应用提供明确的决策变量[33].

    蒲丰投针问题是一个几何概率问题. 它是法国科学家蒲丰(Buffon)在1777年的论著《或然性算术试验》中提出的. 蒲丰投针原理反映了几何概率的特征及处理方法, 衍生出了蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法. 其概率规律在探矿、近似计算中得到广泛应用, 但在优化算法中的应用尚无相关研究. 在噪声环境中通过随机方式探索多峰函数的极值点与蒲丰投针问题具有相似的概率解释. 本文将蒲丰推导得到的定概率原理应用于噪声环境下的多极值点寻优问题, 从概率的角度出发, 提出了噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法(Probabilistic Multimodal Optimization Algorithm based on Buffon Distance), 简称PMB算法, 推导证明了蒲丰距离和极值分辨度共同依概率决定算法的峰值检测率. 依据蒲丰距离划分全局搜索空间, 并在局部范围内利用改进的斐波那契法进行局部寻优, 针对多维函数, 采取多级划分策略, 从而提高求解精度和算法效率. 通过算法依概率收敛特性实验, 验证了PMB算法在噪声环境下能够依固定概率找到多个极值点; 通过设置不同的噪声强度与蒲丰距离进行实验, 分析了噪声强度与蒲丰距离对算法求解结果的影响; 通过对比噪声环境下的改进蝙蝠算法, 表明了PMB算法具有很好的多极值点寻优特性和定位精准性; 通过对比PSO算法在多维函数上的表现, 证明了PMB算法在噪声环境下对多维函数寻优的有效性.

    论文的第1节讨论了噪声环境下的多峰优化问题的相关工作, 简要介绍本文的主要工作. 第2节对噪声环境下的多峰优化问题进行数学描述, 并说明评价指标. 第3节详细描述了本文提出的PMB算法的基本原理和理论推导. 第4节是论文的仿真实验与结果分析, 用以验证算法的有效性. 第5节给出结论和将来的研究方向.

    • 在受到加性噪声干扰的情况下, 多峰函数的适应度值可描述为:

      $$ {f_\sigma }({{{x}}}) = f({{{x}}}) + \xi $$ (1)

      式中, $ {f_\sigma }({{x}}) $是受到噪声干扰后的函数值, $ f({{x}}) $是未受噪声干扰的函数值. 设${\bf{R}}$为实数集, $ S \subseteq {\bf{R}} $称为搜索空间, 即变量的可行解范围, $ {{x}} = ({x_1},{x_2}, \cdots , $${x_d}) \in S $$ d $维实变量.$ {x_i} \in [{a_i},{b_i}],i = 1,2, \cdots ,d $, 其中$ {a_i} $$ {b_i} $分别是第$ i $维变量的取值上边界和下边界. 由于高斯型噪声在自然和工程系统中普遍存在[34], 因此考虑$ \xi $为服从高斯分布的随机变量, $ \xi \sim N(\mu ,{\sigma ^2}) $, 噪声的强度由方差$ \sigma^2 $决定. 以极小值优化为例, 设$ {{{x}}^*} \in S $, 若存在$ \delta>0 $为任意独立的无穷小值, 使得

      $$ f({{x}}^*) = {\mathop{\min}\limits_{{{x}}\in S\text{且}||{{x}}-{{x}}^*||<\delta}}f({{x}}) $$ (2)

      则称$ {{{x}}^*} $$ f({{x}}) $$ S $上的局部最优解, $ f({{{x}}^*}) $为局部最优值. 噪声环境下多峰函数优化问题可描述为: 在一定强度的噪声干扰下, 根据受噪声干扰的函数值$ {f_\sigma }({{x}}) $, 尽可能多的定位$ f({{x}}) $的多个极值点, 即找到$ f({{x}}) $的多个最优值及其最优解.

      为全文描述方便, 给出极值深井和极值分辨度的定义:

      假设$ d $维函数$ f({{x}}) $包含$ m $个极小值点($ m \ge 1 $), 其中第$ i $个极小值点为 $ {{M}_{i}}({{{{{{x}}}}}_{Mi}},f({{{{{{x}}}}}_{Mi}})) $, 其中, $ {{{{{{x}}}}}_{Mi}} = ({{{x}}_{Mi1}},{{{x}}_{Mi2}},\cdots {{{x}}_{Mid}}) $. 在第$ k $维坐标上, 与$ {{M}_{i}} $左右相邻的两个极大值点分别为$ {{B}_{k}}({{{{x}}}_{B}},f({{{{x}}}_{B}})) $$ {{C}_{k}}({{{{x}}}_{C}},f({{{{x}}}_{C}})) $. $ {{B}_{k}} $$ {{C}_{k}} $的第$ k $维坐标分别为$ {{{x}}_{Bk}} $$ {{{x}}_{Ck}} $.

      定义 1: 在第$ k $维坐标上, 由$ {{B}_{k}}({{{{x}}}_{B}},f({{{{x}}}_{B}})) $$ {{C}_{k}}({{{{x}}}_{C}},f({{{{x}}}_{C}})) $及函数$ f({{x}}) $在该维平面上投影的曲线所确定的范围形如开口向上的深井, 称此范围为该极值点在第k维坐标平面上的极值深井.

      定义 2: $ {{B}_{k}}({{{{x}}}_{B}},f({{{{x}}}_{B}})) $$ {{C}_{k}}({{{{x}}}_{C}},f({{{{x}}}_{C}})) $的第$ k $维坐标之差的绝对值记为$ {{\lambda }_{Mi\_k}} = \left| {{x}_{Bk}}-{{x}_{Ck}} \right| $, 称为极小值点$ {{M}_{i}} $在第$ k $维坐标平面上的极值深井的井口宽度. $ {{\lambda }_{Mi}} = {{\min }_{1<k<d}}{{\lambda }_{Mi\_k}} $为极小值点$ {{M}_{i}} $在各维坐标平面上的极值深井的最小井口宽度, 称为该极小值点的极值分辨度. 则$ m $个极值点中任意极小值点的极值分辨度的最小值

      $$ {{\lambda }_{\min }} = {{\min }_{1\le i\le m}}{{\lambda }_{Mi}} $$ (3)

      称为该函数的极值分辨度.

      以一维函数为例, 如图1所示, 极值点$ {{M}_{1}} $的极值分辨度$ {{\lambda }_{M1}} $小于极值点$ {{M}_{2}} $的极值分辨度$ {{\lambda }_{M2}} $. 当决策变量受到外界不确定因素产生的噪声影响时, 函数适应度值总是不可避免的产生波动, 如果产生的波动较小, 则认为解的抗噪声性能较强, 如果目标函数波动的很厉害则说明解的抗噪声性能较差. 从图1可以看出点$ {{M}_{1}} $$ {{M}_{2}} $都是函数的局部极小值点, 其函数适应度值相差不大. 假设决策变量受到干扰产生相同程度偏移, 点$ {{M}_{2}} $的适应度值的变化将比点$ {{M}_{1}} $的变化更小, 从而点$ {{M}_{2}} $的抗噪声性能优于点$ {{M}_{1}} $.

      图  1  极值分辨度

      Figure 1.  Extreme value resolution

      从上面的例子和分析可以看出, 极值分辨度越低, 即该极值点所在深井的井口宽度越小, 则该极值点的抗噪声性能越差. 工程应用时要根据实际要求的误差允许范围确定极值分辨度. 例如, 误差允许范围是0.05, 若极值分辨度小于0.05, 通过优化算法将找出井口宽度小于0.05的极值点, 这样的点在受到噪声干扰时, 若决策变量的偏移量达到0.05, 虽然没有超过误差允许范围, 但适应度值已经由极小值偏移到了极大值, 偏移程度较严重, 极有可能对工程设计造成不良后果. 因此, 选取的极值分辨度需大于误差允许范围.

    • 优化问题是工程领域普遍存在且需要解决的问题[35], 涉及到的研究领域繁多, 除了优化方法的依概率问题、噪声优化问题和多峰优化问题, 还包括全局优化问题[36, 37]、局部收敛精度提高问题[37]、高维优化问题[38]、算法收敛速度问题[39]、多目标优化问题[40, 41]、多目标鲁棒优化问题[42]等等. 针对不同的研究领域, 都有相应的评价指标. 本文主要研究噪声环境下的多峰优化问题, 在这类问题的优化求解中, 不仅要尽可能多的求出优化问题的全局极值点和局部极值点, 而且要求出每个极值点的d维变量取值, 因此定义噪声环境下的峰值检测率、峰值误差和定位误差, 并将它们作为评价噪声环境下算法性能的指标.

      定义 3: 假设$ d $维函数$ f({{x}}) $包含$ m $个极值点($ m\ge 1 $), 算法求得$ {{m}^{*}} $个局部极值点, 则

      $$ \eta = \frac{{{m}^{*}}}{m}\times 100 $$ (4)

      称为算法求解极值点的峰值检测率.

      定义4: 假设算法求得的噪声环境下的极值点适应度值为$ {{f}_{\sigma }}({{x}}_{\sigma }^{*}) $, 极值点坐标为 $ {{x}}_{\sigma }^{*} = (x_{\sigma 1}^{*}, $$x_{\sigma 2}^{*},\cdots ,x_{\sigma d}^{*}) $, 无噪声情况下的极值点适应度值为$ f({{{{x}}}^{*}}) $, 极值点坐标为$ {{{{x}}}^{*}} = (x_{1}^{*},x_{2}^{*},\cdots ,x_{d}^{*}) $, 则

      $$ {{P}_{f}} = \left| {{f}_{\sigma }}({{x}}_{\sigma }^{*})-f({{{{x}}}^{*}}) \right| $$ (5)

      称为该算法求解极值点的峰值误差.

      $$ {{P}_{l}} = \left| {{x}}_{\sigma }^{*}-{{{{x}}}^{*}} \right| = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^{d}{{{(x_{\sigma i}^{*}-x_{i}^{*})}^{2}}}} $$ (6)

      称为该算法求解极值点的定位误差.

    • 在噪声环境下的多峰优化求解问题中, 噪声干扰使得函数波形发生波动, 由此引入若干局部极值点, 如图2中的实心点. 噪声环境下多峰优化的目的是要找到函数的真实极值点位置, 即图2中的空心点. 为此, 可以根据工程需求对搜索空间进行合理均匀划分, 在划分的局部区域内进行单极值点搜索, 从而保留下多个极值点, 最后利用合适的同峰判别方法区分异峰极值点, 合并同峰极值点.

      图  2  函数波形与极值点

      Figure 2.  Function waveform and extremum points

      在此过程中, 需要解决两个问题: (1)划分搜索空间的依据; (2)局部区域搜索时如何尽可能的避开实心点(噪声引起的局部最优)的干扰.

      本文从概率的角度出发, 将蒲丰投针问题中的几何概率规律引入解空间划分问题, 提出了噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法. 首先基于蒲丰投针原理提出蒲丰距离, 推导并证明了蒲丰距离与峰值检测率的关系. 在此基础上, 依据蒲丰距离对全局区域进行探索, 得到多个探索点. 在多个探索点之间进行局部寻优, 可以保留下多个极值点. 其次, 在局部寻优阶段, 为减小算法陷入噪声引起的局部最优的发生概率, 利用区域伸缩准则改进斐波那契法, 提高了算法在真实最优解邻域附近的收敛能力, 削弱了噪声的影响.

    • 18世纪, 法国数学家蒲丰(Buffon, 1707-1788)提出的“投针问题”, 记载于蒲丰1777年出版的著作中: “在平面上画有一组间距为$ a $的平行线, 将一根长度为$ l(l\le a) $的针任意掷在这个平面上, 求此针与平行线中任一条相交的概率.”如图3所示. 蒲丰最早设计了投针试验. 这一方法的步骤是:

      图  3  蒲丰投针实验设计图

      Figure 3.  Experimental design of buffon needles

      1) 在白纸上画数条间距为$ a $的平行线.

      2) 取长度为$ l(l\le a) $的针, 随机地向画有平行直线的纸上掷$ n $次, 观察针与直线相交的次数.

      3)计算针与直线相交的概率.

      由于向桌面投针是随机的, 所以用二维随机变量$ (X,\varPhi ) $来确定它在桌上的具体位置. 设$ X $表示针的中点到平行线的距离, $ \varPhi $表示针与平行线的夹角, 则当$ X<{l}/{2}\;\sin \varPhi $时, 针与直线相交. 且$ X $$ (0,a) $范围内服从均匀分布, $ \varPhi $$ (0,{{\text{π}} }/{2}\;) $范围内服从均匀分布, $ X $$ \varPhi $相互独立, 由此可以写出$ (X,\varPhi ) $的概率密度函数

      $$ f(x,\varphi) = \left\{ \begin{aligned}& \frac{4}{{\text{π}} a},0<x<\frac{a}{2},0<\varphi<\frac{{\text{π}} }{2} \\ & 0, \text{其它}\\ \end{aligned} \right. $$ (7)

      则针与直线相交的概率为

      $$ \begin{split} & P\left\{X<\frac{l}{2}\sin \varPhi \right\} = \iint\limits_{X<\frac{l}{2}\sin \varPhi }{f(x,\varphi) {\rm{d}}x {\rm{d}}\varphi} =\\ &\qquad \int\limits_{0}^{\frac{{\text{π}} }{2}}{\int\limits_{0}^{\frac{l}{2}\sin\varphi }{\frac{4}{{\text{π}} a} {\rm{d}}x {\rm{d}}\varphi}} = \frac{2l}{{\text{π}} a} \end{split} $$ (8)

      若对多峰函数的求解空间进行等间隔采样, 每对相邻的采样点可以确定一个局部范围. 若采样间隔设置合理, 使得在此局部范围内函数只包含唯一一个局部极值点, 则在此范围内进行单极值寻优即可找出函数的局部极值点. 通过采样得到的多对相邻采样点, 可以找到函数的多个局部极值点. 为实现等间隔采样, 将求解域在每一维上以固定长度划分, 划分的等间隔平行线与函数的若干个交点即为采样点, 相邻采样点在第$ k(1<k<d) $维上的距离看作蒲丰投针问题中的随机扔置的针, 而等间隔的采样平行线看作蒲丰投针问题中的间距为$ a $的平行线, 则有如下定理.

      定理 1. 设$ a $为采样平行线间距, 以函数的极值分辨度为固定针长$ l $, 若$ 2a\ge l\ge a $, 则针同时与两条平行线相交的概率为

      $$ {{P}_{1}} = \frac{l-a}{a} $$ (9)

      $ l\le a $, 则针同时与两条平行线相交的概率为$ {{P}_{2}} = 0 $.

      证明: 以二维平面为例, 用二维随机变量$ (X,\varPhi ) $来确定针在平面上的具体位置. 设$ X $表示针的端点到平行线的距离, 如图4所示.$ X $$ (0,a) $范围内服从均匀分布, 由此可以写出$ X $的概率密度函数

      图  4  式(9)证明示意图

      Figure 4.  Diagram to prove (9)

      $$ f(x) = \left\{ \begin{aligned}& \frac{1}{a},0<x<a \\ &0, \end{aligned} \right. $$ (10)

      $ \varPhi $表示针与平行线的夹角, 根据极值分辨度的定义, 可知针与平行线始终为垂直方向, $ \varPhi = {{\text{π}} }/{2} $, 故当$ 0<X<(l-a) $时, 针同时与两条直线相交, 其概率为

      $$ \begin{split} {{P}_{1}}=\;& P\{0<X<(l-a)\}=\\ & \int_{0}^{l-a}{f(x) {\rm{d}}x} = \frac{l-a}{a} \end{split} $$ (11)

      $ l\le a $, 则针同时与两条平行线相交的概率为$ {{P}_{2}} = 0 $. □

      定理 2. 设$ a $为采样平行线间距, 以函数的极值分辨度为固定针长$ l $, 若$ 2a\ge l\ge a $, 则针只与一条平行线相交的概率为

      $$ {{P}_{3}} = \frac{2a-l}{a} $$ (12)

      $ l\le a $, 则针只与一条平行线相交的概率为

      $$ {{P}_{4}} = \frac{l}{a} $$ (13)

      $ l\ge 2a $, 则针只与一条平行线相交的概率为$ {{P}_{5}} = 0 $.

      证明 : 以二维平面为例, 用二维随机变量$ (X,\varPhi ) $来确定针在平面上的具体位置. 设$ X $表示针的端点到平行线的距离, 在$ (0,a) $范围内服从均匀分布, 由此可以写出$ X $的概率密度函数为式(10)所示.$ \varPhi $表示针与平行线的夹角, 因此根据极值分辨度的定义, 可知针与平行线始终为垂直方向, $ \varPhi = {{\text{π}} }/{2}\; $. 若$ 2a\ge l\ge a $, 当$ l-a<X<a $时, 针只与一条直线相交, 其概率为

      $$ \begin{split} {{P}_{3}} =\;& P\{l-a<X<a\}=\\ & \int_{l-a}^{a}{f(x) {\rm{d}}x} = \frac{2a-l}{a} \end{split} $$ (14)

      $ l\le a $, 当$ 0<X<l $时, 针只与一条直线相交, 其概率为

      $$ {{P}_{4}} = P\{0<X<l\} = \int_{0}^{l}{f(x) {\rm{d}}x} = \frac{l}{a} $$ (15)

      $ l\ge 2a $, 则针与一条平行线相交的概率为$ {{P}_{5}} = 0 $. □

      定理 3. 在噪声环境下, 对于由两条平行线确定的局部范围内的极值点, 若针同时与两条平行线相交, 则找到该极值点的概率为$ {{P}_{6}} = 1-{{P}_{\xi }} $, 若针只与其中一条平行线相交, 则找到该极值点的概率为$ {{P}_{7}} = 1-{{P}_{\gamma }}-{{P}_{\xi }} $.

      证明 : 根据算法的基本原理和极值分辨度的定义, 若针同时与两条平行线相交, 说明由两条平行线确定的两个采样点包含在局部极值点所在的深井范围内, 即两个采样点确定的范围内只包含唯一一个极值点, 在此局部范围内进行单极值点寻优, 无噪声环境下算法将以概率1找到该极值点, 在噪声环境下, 该区域内将出现若干噪声引起的极值点, 若以概率$ {{P}_{\xi }} $出现函数值低于该极值点函数值的点, 则算法将保留函数值更低的点, 故找到该极值点的概率为$ {{P}_{6}} = 1-{{P}_{\xi }} $.

      若针只与一条平行线相交, 则在三条平行线确定的范围内, 除去此针长$ l $的确定的范围, 其余$ (2a-l) $的范围内, 若以概率$ {{P}_{\gamma }} $出现函数值更低的极值点, 或以概率$ {{P}_{\xi }} $出现函数值更低的噪声波动点, 则算法将留取函数值更低的点, 故${{P}_{7}} = 1- $$ {{P}_{\gamma }}-{{P}_{\xi }} $. □

      综上可得如下推论:

      推论 1. 设$ a $为采样平行线间距, 称为蒲丰距离, 以函数的极值分辨度为固定针长$ l $, 若$ 2a\ge l\ge a $, 则算法找到极值分辨度最小的极值点的概率为

      $$ \begin{split} & {{P}_{2a\ge l\ge a}} = {{P}_{1}}\cdot {{P}_{6}}+{{P}_{3}}\cdot {{P}_{7}}=\\ & \qquad \frac{l-a}{a}\cdot (1-{{P}_{\xi }}) +\\ & \qquad \frac{2a-l}{a}\cdot (1-{{P}_{\gamma }}-{{P}_{\xi }})=\\ & \qquad 1-{{P}_{\xi }}-\frac{2a-l}{a}\cdot {{P}_{\gamma }} \end{split} $$ (16)

      $ l<a $, 则算法找到极值分辨度最小的极值点的概率为

      $$ \begin{split} {{P}_{l<a}} =\;& {{P}_{2}}\cdot {{P}_{6}}+{{P}_{4}}\cdot {{P}_{7}}=\\ & \frac{l}{a}\cdot (1-{{P}_{\gamma }}-{{P}_{\xi }}) \end{split} $$ (17)

      以一维函数为例, 图5(a)(b)所示分别是$ 2a\ge l\ge a $$ l<a $时的蒲丰距离与针长的示意图.

      图  5  蒲丰距离与针长的关系示意图

      Figure 5.  Diagram of the relationship between buffon distance and needle length

      对比式(16)和(17)可以看出, 在函数的极值分辨度$ l $既定的情况下, 蒲丰距离$ a $越小, 算法找到所有极值点的概率也就越大, 反之则遗漏的极值点将会越多. 然而, $ a $取值过小则会带来数据量急剧增加, 延长了算法的运算时间, 因此, 要根据工程需要来设定$ a $的值, 例如, 当$ a = ({1}/{2}\;)l $时, 算法找到极值分辨度最小的极值点的概率为$ 1-{{P}_{\xi }} $, 仅受噪声引起的局部极值点的影响, 若在无噪声环境下, 则此概率为1, 即当蒲丰距离为针长的一半时, 算法以概率1找到极值分辨度最小的极值点, 这一结论与采样定理相符.

      推论 2. 设$ a $为采样平行线间距, 以函数的极值分辨度为固定针长$ l $. 对于全局极值点, 由于$ {{P}_{\gamma }} = 0 $, 故

      $$ {{P}_{2a\ge l\ge a}} = 1-{{P}_{\xi }} \hspace{20pt}$$ (18)
      $$ {{P}_{l<a}} = (l/a)\cdot (1-{{P}_{\xi }}) $$ (19)

      对比式(16)与(18)以及(17)与(19)可知, 算法找到全局极值点的概率大于找到局部极值点的概率, 因此算法具有较好的全局极值点优化性能.

    • 对于无约束优化问题, 斐波那契法是求解一维单峰函数的最优策略[43]. 将斐波那契法的变量维数从一维扩展到多维, 可以解决多维函数优化问题[43]. 斐波那契策略通过按比例压缩搜索区间令区间内的试探点不断逼近最优解. 斐波那契法中需要用到斐波那契数列, 其通项递推公式为:

      $$ \left\{ \begin{aligned}& {{F}_{1}} = {{F}_{2}} = 1 \\& {{F}_{k}} = {{F}_{k-1}}+{{F}_{k-2}},k>2 \\ \end{aligned} \right. $$ (20)

      斐波那契数列中相邻两项之比形成的数列收敛于黄金分割数[44], 即

      $$ \mathop {\lim }\limits_{i \to \infty }\,\frac{{{F}_{k}}}{{{F}_{k+1}}} = 0.6180339887499\cdots $$ (21)

      PMB算法在进行局部搜索时, 为使算法能够跳出噪声引入的局部最优, 算法的搜索范围不能只局限于初始的局部范围, 而应适当扩展, 探索周围邻域内是否有更优点. 如有更优点, 则搜索区域应该适当扩展, 向更优点偏移. 可以利用试探点引导区域向优化点方向移动. 同时, 为使算法收敛, 搜索区域还需进行压缩. 随着迭代次数的增加, 区域最终将收敛于可接受的精度范围内. 为此提出区域伸缩准则, 定义如下:

      对于由任意两点$ A\left( {{{{x}}}_{A}},f\left( {{{{x}}}_{A}} \right) \right) $$ B\left( {{{{x}}}_{B}},f({{{{x}}}_{B}}) \right) $确定的区域边界, 若$ f\left( {{{{x}}}_{A}} \right)<f\left( {{{{x}}}_{B}} \right) $, 则选取点$ A\left( {{{{x}}}_{A}},f\left( {{{{x}}}_{A}} \right) \right) $为中心, 将区域边界以$ \alpha $为比例扩展到点$ C\left( {{{{x}}}_{C}},f({{{{x}}}_{C}}) \right) $, 其中,

      $$ \alpha = 1-\frac{{{F}_{k}}}{{{F}_{k+1}}} \hspace{47pt}$$ (22)
      $$ {{{{x}}}_{C}} = {{{{x}}}_{A}}+\alpha \cdot \left| {{{{x}}}_{A}}-{{{{x}}}_{B}} \right| $$ (23)

      $ C\left( {{{{x}}}_{C}},f({{{{x}}}_{C}}) \right) $用来试探新扩展的区域中是否存在更优的点, 然后再以比例$ \beta $对区间进行压缩, 压缩率$ \beta $根据对扩展点$ C\left( {{{{x}}}_{C}},f({{{{x}}}_{C}}) \right) $的试探情况进行设置. 若$ f\left( {{{{x}}}_{A}} \right)>f\left( {{{{x}}}_{B}} \right) $, 则选取点$ B\left( {{{{x}}}_{B}},f({{{{x}}}_{B}}) \right) $为中心, 做类似扩展和压缩操作.

      利用区域伸缩准则改进斐波那契法, 得到算法步骤如下:

      步骤 1 选定初始区间$ [{{a}_{1}},{{b}_{1}}] $及求解精度$ \varepsilon>0 $, 令$ k = 1 $, 若$ f({{a}_{1}})>f({{b}_{1}}) $转步骤2, 否则转步骤3;

      步骤 2 计算

      $$ \begin{split}& \lambda {}_{k} = {{a}_{k}}+\frac{{{F}_{k}}}{{{F}_{k+1}}}\cdot \left| {{b}_{k}}-{{a}_{k}} \right| \\ &{{\mu }_{k}} = 2{{b}_{k}}-\lambda {}_{k} \end{split} $$ (24)

      $ f({{\mu }_{k}})<f({{a}_{k}}) $时转步骤4, 否则转步骤5;

      步骤 3 计算

      $$ \begin{split}& {{\mu }_{k}} = {{b}_{k}}-\frac{{{F}_{k}}}{{{F}_{k+1}}}\cdot \left| {{b}_{k}}-{{a}_{k}} \right| \\ & {{\lambda }_{k}} = 2{{a}_{k}}-{{\mu }_{k}} \end{split} $$ (25)

      $ f({{\lambda }_{k}})<f({{b}_{k}}) $时转步骤4, 否则转步骤6;

      步骤 4 置

      $$ \left\{ \begin{aligned}& {{a}_{k+1}} = {{\lambda }_{k}} \\ & {{b}_{k+1}} = {{\mu }_{k}} \end{aligned} \right. $$ (26)

      $ \left| {{b}_{k+1}}-{{a}_{k+1}} \right|\le \varepsilon $, 转步骤7, 否则令$ k = k+1 $, 转步骤2;

      步骤 5 置

      $$ \left\{ \begin{aligned}& {{a}_{k+1}} = {{a}_{k}} \\ & {{b}_{k+1}} = {{\lambda }_{k}} \end{aligned} \right. $$ (27)

      $ \left| {{b}_{k+1}}-{{a}_{k+1}} \right|\le \varepsilon $, 转步骤7, 否则令$ k = k+1 $, 转步骤2;

      步骤 6 置

      $$ \left\{ \begin{aligned}& {{a}_{k+1}} = {{\mu }_{k}} \\& {{b}_{k+1}} = {{b}_{k}} \end{aligned} \right. $$ (28)

      $ \left| {{b}_{k+1}}-{{a}_{k+1}} \right|\le \varepsilon $, 转步骤7, 否则令$ k = k+1 $, 转步骤2;

      步骤 7 停止计算, 取极小值点的坐标为$ {1}/{2}\;\left| {{b}_{k+1}}-{{a}_{k+1}} \right| $.

      由算法执行步骤可以看出, 初始搜索区间由$ [{{a}_{1}},{{b}_{1}}] $界定, 但后续的搜索范围并不仅仅局限于$ [{{a}_{1}},{{b}_{1}}] $, 而是向周围邻域进行了适当的扩展, 探索周围是否还存在更优的点. 虽然每次都对区间进行了扩展, 但是每次计算结束时都根据探索的结果对区间进行压缩, 根据选取的扩展点不同, 第$ k $次计算后的区域压缩率为$ {{\beta }_{1}} $$ {{\beta }_{2}} $,

      $$ {{\beta }_{1}} = \frac{\left| {{\mu }_{k}}-{{\lambda }_{k}} \right|}{\left| {{b}_{k}}-{{a}_{k}} \right|} = 2\left(1-\frac{{{F}_{k}}}{{{F}_{k+1}}}\right) \hspace{10pt}$$ (29)
      $$ {{\beta }_{2}} = \frac{\left| {{b}_{k}}-{{\mu }_{k}} \right|}{\left| {{b}_{k}}-{{a}_{k}} \right|} = \frac{\left| {{\lambda }_{k}}-{{a}_{k}} \right|}{\left| {{b}_{k}}-{{a}_{k}} \right|} = \frac{{{F}_{k}}}{{{F}_{k+1}}} $$ (30)

      由斐波那契数列的特点, 可知

      $$ \begin{split} \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }\,{{\beta }_{1}} =\;& \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }\,\frac{\left| {{\mu }_{k}}-{{\lambda }_{k}} \right|}{\left| {{b}_{k}}-{{a}_{k}} \right|}= \\ & \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }\,2(1-\frac{{{F}_{k}}}{{{F}_{k+1}}})=\\ & 2(1-0.618) = 0.764 \end{split} \hspace{65pt}$$ (31)
      $$ \begin{split} \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }\,{{\beta }_{2}} =\;& \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }\,\frac{\left| {{b}_{k}}-{{\mu }_{k}} \right|}{\left| {{b}_{k}}-{{a}_{k}} \right|} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }\,\frac{\left| {{\lambda }_{k}}-{{a}_{k}} \right|}{\left| {{b}_{k}}-{{a}_{k}} \right|}= \\ & \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }\,\frac{{{F}_{k}}}{{{F}_{k+1}}} = 0.618 \end{split} $$ (32)

      可见, 算法的搜索区间在逐渐缩小, 最后可以收敛到设定的精度范围内.

      为了对比改进前的斐波那契法与改进后的斐波那契法, 以受噪声干扰的一维函数为例, 图6的9个子图展示了改进的斐波那契法的区域伸缩过程, 图7的4个子图展示了改进前的斐波那契法的区域收缩过程. 其中实线波形是受噪声干扰的函数波形, 点‘$ \cdot $’ 表示区域边界点$ {{a}_{i}} $$ {{b}_{i}} $, 点‘$ * $’代表试探点$ {{\lambda }_{i}} $$ {{\mu }_{i}} $. 图6(a)表示局部搜索的初始区间由$ [{{a}_{1}},{{b}_{1}}] = [2.6700,3.0300] $确定. 由于$ f({{a}_{1}})>f({{b}_{1}}) $, 根据式(24)可以得到式(33):

      图  6  改进的斐波那契法的区域伸缩过程

      Figure 6.  The process of regional scaling of improved fibonacci method

      图  7  斐波那契法的区域收缩过程

      Figure 7.  The process of regional shrink of fibonacci method

      $$ \left\{ \begin{aligned} & {{\lambda }_{1}} = {{a}_{1}}+\frac{{{F}_{k}}}{{{F}_{k+1}}}\cdot \left| {{b}_{1}}-{{a}_{1}} \right| =\\ & \qquad\; 2.67+\frac{1}{2}\cdot (3.03-2.67) = 2.85 \\ & f({{\lambda }_{1}}) = -0.3019 \\& {{\mu }_{1}} = 2\cdot {{b}_{1}}-{{\lambda }_{1}} = 2\cdot 3.03-2.85= \\& \qquad\; 3.21 \\& f({{\mu }_{1}}) = -0.7351 \end{aligned}\right. $$ (33)

      由于$ f({{\mu }_{1}})<f({{a}_{1}}) $, 根据式(26)可以得到新的压缩后的搜索区间$ \left[ {{\lambda }_{1}},{{\mu }_{1}} \right] $, 也就是图6(b)中的搜索区间$ \left[ {{a}_{2}},{{b}_{2}} \right] $. 从图6(a)中可以看出, 初始搜索区间先由试探点$ {{\mu }_{1}} $进行扩展, 再由试探点$ {{\lambda }_{1}} $进行压. 在后续的(b)-(i)子图中按照改进的斐波那契法的区域伸缩准则执行类似操作. 图7则按照斐波那契法的区域压缩规则进行迭代, 此处不再赘述.

      通过比较图6中的 9个子图, 我们可以观察到改进后的斐波那契法的搜索区间可以扩展到具有更优解的邻域, 而不是初始时的局部范围. 而从图6可以看到, 传统的斐波那契法的搜索区间始终限制在初始的局部范围内. 此外, 从图7中可以看出, 斐波那契法在第4次迭代时区间长度就压缩到了0.0758, 而改进后的斐波那契法在第7次迭代时区间长度才压缩到0.0704, 说明引入了区域伸缩准则的斐波那契法每次迭代都遵循先扩展再压缩的规则, 因此区域压缩和算法收敛的速度比改进前的斐波那契法下降了, 但是改进后的算法可以搜索到初始区间附近邻域范围内的极小值点, 提高了算法在函数真实最优解邻域附近的收敛能力, 避免其陷入噪声引入的局部最优.

    • 步骤 1 初始化设置. 根据实际需求的极值分辨度确定蒲丰距离$ a $和求解精度$ \varepsilon $.

      步骤 2 在全局范围内以蒲丰距离$ a $进行等间隔采样, 得到采样点集合$ S = \left\{ {{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{k}} \right\} $.

      步骤 3 以采样点集合$ S $中的相邻点作为初始区间的两个端点, 在局部范围内利用区域伸缩的斐波那契法进行单极值点寻优, 可以得到$ k-1 $个极值点$ \left\{ {{E}_{1}},{{E}_{2}},\cdots ,{{E}_{k-1}} \right\} $.

      步骤 4 利用改进型插点法[45]对得到的极值点进行同峰判断.

      步骤 5 利用归并方法[1]将同峰的极值点进行合并, 并取这些点中的最大(最小)值最为最终解.

    • 为了提高PMB算法的求解精度, 同时也为了提高算法在多维函数上的优化效率, 可以采用多级划分策略. 对于N级划分策略, 首先依据蒲丰距离对全局区域进行划分, 得到多个探索点, 在多个探索点之间进行局部寻优, 可以保留下第一级的多个极值点. 对第一级的极值点的极值大小进行比较后, 选取一定数量的较优极值点, 对它们所在的区域仍然依据蒲丰距离进行下一级划分, 得到多个探索点, 在多个探索点之间再进行局部寻优, 从而得到第二级的多个极值点. 依此类推, 直到划分到第N级. 对第N级得到的极值点, 利用改进型插点法[45]进行同峰判断, 再利用归并方法[1]将同峰的极值点进行合并, 并取这些点中的最大(最小)值最为最终解.

      图8(a)所示的二维平面为例, 首先在每一维上进行等距离划分, 可以得到若干交点, 即为第一级的采样点, 如图8(a)中的实心交点所示. 每一维上划分的间隔距离可以相同, 也可以不同, 一般情况下设置为每一维上的划分间隔都是相同的, 特殊情况除外. 如图8(a)所示, 虽然两个维度上的范围尺度不同, 但不影响对它们进行等距离的划分. 然后每个实心交点与其相邻的点之间进行局部寻优, 得到若干第一级极值点. 以图8(a)中点A为例, 它将分别与点B、C、D、E之间进行局部寻优. 在第二级划分时, 若选中了A和D局部寻优得到的极值点, 则将对A和D两点所在的公共区域进行第二级划分, 得到第二级的采样点, 如图8(b)所示. 可以证明, 若n维变量空间的每一维划分为m段区间, 则在每一维上可以得到$ m+1 $个采样点. 所有采样点经局部寻优后将得到$ m*(m+1)*2^{(2*n-3)} $个极值点. 以三维变量空间为例, 假设每一维的长度域为[−100, 100], 第一级若取蒲丰距离$ {{a}_{1}} = 5 $, 则每一维可得到$ m_1 $= 40段区间和41 个采样点. 所有采样点经局部寻优后将得到$ m_1*(m_1+1)*2^{(2*n-3)} = $$40*41*2^3 = 13\;120 $个第一级极值点. 从第一级极值点中选出部分较优极值点, 对它们所在的区域依据蒲丰距离$ {{a}_2} = 0.1 $进行下一级划分, 对于其中一个子区域而言, 其每一维的长度域为5, 按照$ {{a}_2} = 0.1 $划分, 每一维可以得到$ m_2 = 50 $段区间和51 个采样点, 从而每个区间可以得到$ m_2*(m_2+1)*$$2^{(2*n-3)} = 50*51*2^3 = 20\;400 $个第二级极值点, 之后执行类似操作, 直到达到指定的划分等级.

      图  8  PMB算法的多级划分策略

      Figure 8.  The multilevel partition strategy of PMB algorithm

      从上述过程可以看出, 初始时每一维的长度域为200, 经过第一级划分后, 每一维的长度域为5, 经过第二级划分后, 每一维的长度域为0.1, 若第二级只选取1个最优区域进行划分, 则需要局部寻优的次数为13 120 + 20 400 = 33520. 若不采取多级划分策略, 直接对初始时长度域以$ {{a}_2} = 0.1 $的蒲丰距离进行划分, 则$ m = 2\;000 $, 需要局部寻优的次数为$ m*(m+1)*2^{(2*n-3)} = 2\;000*2\;001*2^3 = 32\;016\;000 . $可见采取多级划分策略可以省去很多计算时间, 这在多维函数的优化问题上优势更为明显. 此外, 多级划分策略不仅在同级区域内横向可并行执行, 不同级区域也可纵向并行执行, 计算过程不会相互干涉.

    • 为了验证本文所提出的PMB算法的寻优结果与蒲丰距离之间的依概率关系, 研究噪声和蒲丰距离对PMB算法寻优结果的影响, 验证PMB算法在噪声环境下的多极值点寻优能力, 以及研究PMB算法在噪声环境下对多维函数寻优的有效性, 本文选用两组基准测试函数研究PMB算法的上述性能. 第一组测试函数来自文献[1]和文献[32], 如表1所示. 这6个测试函数都是多峰函数, 不仅有一到多个全局极值点, 还有若干局部极值点, 其中, 除$ f_2 $, $ f_3 $$ f_4 $只有唯一一个全局极值点, 其他函数均有多个全局极值点. 第二组测试函数是文献[46]中给出的CEC2013推荐基准函数, 如表2所示. 其中, $ f_1- f_5 $是单峰函数, $ f_6- f_{20} $是多峰函数, $ f_{21}- f_{28} $是组合函数. CEC2013被视为黑盒问题, 并且不允许使用问题的显式方程[46].

      表 1  测试函数集1 (TF1)

      Table 1.  Test function 1 (TF1)

      函数 名称 定义域 全局极值点 表达式
      $f_1$ [−1, 1] 3.5326($\pm $0.8781, $\pm $0.8781) ${{f}_{1}} = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-\cos(18{{x}_{1}})-\cos (18{{x}_{2}})$
      $f_2$ Levy 05 [−10, 10] −176.1375 (−1.3068, −1.4248) $\begin{aligned} {f}_{2}=\;& \sum\nolimits_{i = 1}^{5}{i\cos [(i-1){{x}_{1}}}+i]\times \sum\nolimits_{j = 1}^{5}{j\cos [(j+1){{x}_{2}}+j]}+ \\&{{({{x}_{1}}+1.42513)}^{2}}+{{({{{x}}_{2}}+0.80032)}^{2}}\end{aligned}$
      $f_3$ Michalewics [0, ${\text{π}}$] −1.8013 (2.2031, 1.5709) ${{f}_{3}} = -\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^{2}{\sin ({{x}_{i}})}{{\left(\sin \left(i\times x_{i}^{2}/{\text{π}} \right)\right)}^{20}}$
      $f_4$ Periodic [0, ${\text{π}}$] 0.9 (0,0) ${{f}_{4}} = 1+{{\sin }^{2}}({{x}_{1}})+{{\sin }^{2}}({{x}_{2}})-0.1{{ \rm{e}}^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}}$
      $f_5$ Carrom Table [−10, 10] −24.1568($\pm $9.6466, 9.6466) ${{f}_{7}} = -\left[{\left\{\cos ({{x}_{1}})\cos({{x}_{2}}){{ \rm{e}}^{\left| 1-\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}/{\text{π}} \right|}}\right\}}^{2}\right]/30$
      $f_6$ Holder Table 2 [−10, 10] -19.2085($\pm $8.0550, $\pm $9.6646) ${{f}_{8}} = -\left| \sin ({{x}_{1}})\cos ({{x}_{2}}){{ \rm{e}}^{\left| 1-\sqrt{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}/{\text{π}} \right|}} \right|$

      表 2  测试函数集2(TF2)(维度为5)

      Table 2.  Test function 2(TF2)(dimension is 5)

      函数 全局最优值$f_{i}^{*}$ 函数名称
      单峰函数 $f_1$ −1 400 Sphere Function
      $f_2$ −1 300 Rotated High Conditioned Elliptic Function
      $f_3$ −1 200 Rotated Bent Cigar Function
      $f_4$ −1 100 Rotated Discus Function
      $f_5$ −1 000 Different Powers Function
      多峰函数 $f_6$ −900 Rotated Rosenbrock's Function
      $f_7$ −800 Rotated Schaffers F7 Function
      $f_8$ −700 Rotated Ackley's Function
      $f_9$ −600 Rotated Weierstrass Function
      $f_{10}$ −500 Rotated Griewank's Function
      $f_{11}$ −400 Rastrigin's Function
      $f_{12}$ −300 Rotated Rastrigin's Function
      $f_{13}$ −200 Non-Continuous Rotated Rastrigin's Function
      $f_{14}$ −100 Schwefel's Function
      $f_{15}$ 100 Rotated Schwefel's Function
      $f_{16}$ 200 Rotated Katsuura Function
      $f_{17}$ 300 Lunacek Bi_Rastrigin Function
      $f_{18}$ 400 Rotated Lunacek Bi_Rastrigin Function
      $f_{19}$ 500 Expanded Griewank’s plus Rosenbrock's Function
      $f_{20}$ 600 Expanded Scaffer's F6 Function
      组合函数 $f_{21}$ 700 Composition Function 1 (n = 5, Rotated)
      $f_{22}$ 800 Composition Function 2 (n = 3, Unrotated)
      $f_{23}$ 900 Composition Function 3 (n = 3, Rotated)
      $f_{24}$ 1 000 Composition Function 4 (n = 3, Rotated)
      $f_{25}$ 1 100 Composition Function 5 (n = 3, Rotated)
      $f_{26}$ 1 200 Composition Function 6 (n = 5, Rotated)
      $f_{27}$ 1 300 Composition Function 7 (n = 5, Rotated)
      $f_{28}$ 1 400 Composition Function 8 (n = 5, Rotated)
    • 通过3.2节的理论推导可知, PMB算法的寻优结果与蒲丰距离之间存在依概率关系. 当蒲丰距离$ a $与针长$ l $满足$ 2a\ge l\ge a $时, 算法找到极值分辨度最小的极值点的概率满足式(16), 当$ l\le a $时, 概率关系满足式(17). 为了验证上述依概率关系, 在本节实验中分别取两种不同的蒲丰距离$ l\le a $$ 2a\ge $$ l\ge a $, 观察PMB算法的寻优结果并进行讨论. 为了确定针长, 参考文献[1]所得到的结果(列于表5中第二列至第四列的数值结果), 由此数值结果及本文定义2可知, TF1中的$ f_1 $的极值分辨度大约为0.38, 即针长$ l\approx 0.38 $. 分别取蒲丰距离$ a = 0.5 $(即$ l\le a $)和$ a = 0.2 $(即$ 2a\ge l\ge a $)两种情况, 求解精度$ \varepsilon = 0.01 $, 验证本文所提PMB算法在无噪声环境和不同噪声环境下对TF1中的$ f_1 $中的所有极值点求解结果的依概率特性.

      表 5  $a$ = 0.5时PMB算法针对TF1中的 $f_1$在不同噪声环境下的全局极值点优化数值结果

      Table 5.  Numerical results of global extremum points for $f_1$ of TF1 searched by PMB algorithm with $a$ = 0.5 under different noise environments

      极值点序号 P-MQHOA[1]无噪声 PMB
      $\sigma^2$ = 0.01 $\sigma^2$ = 0.05
      $x_1$ $x_2$ $f$ $x_1$ $x_2$ $f$ $P_f$ $P_l$ $x_1$ $x_2$ $f$ $P_f$ $P_l$
      1 −0.8781 −0.8781 3.5326 −0.8760 −0.8780 3.6923 1.60E-01 2.07E-03 −0.8805 −0.8775 3.9568 4.24E-01 2.46E-03
      2 −0.8781 0.8781 3.5326 −0.8771 0.8782 3.6953 1.63E-01 1.03E-03 −0.8770 0.8803 3.9510 4.18E-01 2.50E-03
      3 0.8781 −0.8781 3.5326 0.8775 −0.8794 3.6847 1.52E-01 1.05E-03 0.8772 −0.8788 3.9467 4.14E-01 1.14E-03
      4 0.8781 0.8781 3.5326 0.8788 0.8784 3.6917 1.59E-01 8.18E-04 0.8775 0.8756 3.9697 4.37E-01 2.52E-03

      参照文献[32]中的噪声环境设置参数, 分别取噪声方差$ \sigma^2 $= 0.01和$ \sigma^2 $= 0.05, 重复独立实验50次、100次和200次, PMB算法求得的优化数值结果列于表3中. 表中$ \sigma^2 $表示噪声方差, $ a $表示蒲丰距离, Num_mean表示算法平均搜索到的极值点数, Num_min和Num_max分别表示算法在重复实验中搜索到的极值点个数的最小值和最大值, $ \eta\_{\rm{mean}}$ 表示平均峰值检测率, $ \eta\_{\rm{global}}$表示全局极值点检测率. 从表3 中可以看出:

      表 3  针对TF1中的$f_1$取不同蒲丰距离时PMB算法在不同噪声环境下的优化结果

      Table 3.  Optimization results of PMB algorithm for $f_1$ of TF1 in different noise environments with different Buffon distances

      $\sigma^2$ $a$ Num_mean Num_max Num_min $\eta\_{\rm{mean}}$ $\eta\_{\rm{global}}$
      50 次 0.01 0.5 29.62 33 26 82.28 % 100.00 %
      0.2 36.04 37 36 100.11 % 100.00 %
      0.05 0.5 31.32 35 27 87.00 % 100.00 %
      0.2 36.26 38 36 100.72 % 100.00 %
      100 次 0.01 0.5 29.78 33 27 82.72 % 100.00 %
      0.2 36.02 37 36 100.06 % 100.00 %
      0.05 0.5 32.08 36 28 89.11 % 100.00 %
      0.2 36.37 38 36 101.03 % 100.00 %
      200 次 0.01 0.5 29.715 34 23 82.54 % 100.00 %
      0.2 36.02 37 36 100.06 % 100.00 %
      0.05 0.5 32 35 26 88.89 % 100.00 %
      0.2 36.4 40 36 101.11 % 100.00 %

      当蒲丰距离$ a = 0.2 $时, 即满足$ 2a\ge l\ge a $时, 可得出如下结论:

      1)在$ \sigma^2 $= 0.01和$ \sigma^2 $= 0.05的噪声环境下, 重复独立实验50次、100 次和200 次, PMB算法都能找到所有极值点, $ \eta\_{\rm{mean}}$为100 %以上. 重复独立实验中算法每次最少都能确保找到全部36个极值点.

      2)$ \sigma^2 $= 0.01时算法最多能找到37个极值点, $ \sigma^2 $= 0.05算法最多能找到38至40个极值点, 且$ \sigma^2 $= 0.05时的$ \eta\_{\rm{mean}}$略高于$ \sigma^2 $= 0.01 时的$ \eta\_{\rm{mean}}$, 出现了$ \eta\_{\rm{mean}}$的值超出100 %的情况. 这是由于噪声的干扰引入了众多的局部极值, 使得算法找到的极值点数超出了原函数的极值点数. 可以看出, 随着噪声强度的增大, 这种干扰越明显, 噪声引入的局部极值点数越多.

      3)在$ \sigma^2 $= 0.01和$ \sigma^2 $= 0.05的噪声环境下, 重复独立实验50次、100 次和200 次, PMB算法都能找到所有全局极值点, $ \eta\_{\rm{global}}$都能达到100 %.

      当蒲丰距离$ a = 0.5 $时, 即满足$ l\le a $时, 有如下结论:

      1)在$ \sigma^2 $= 0.01的噪声环境下, 重复独立实验50次、100次和200次, PMB算法的$ \eta\_{\rm{mean}}$都是82 %左右.

      2)在$ \sigma^2 $= 0.05的噪声环境下, 重复独立实验50次、100次和200次, PMB算法的$ \eta\_{\rm{mean}} $都为88 %左右.

      3)由于噪声干扰会引入局部极值点, 因此当噪声强度增强时, PMB算法的$ \eta\_{\rm{mean}} $有所增加.

      4)在$ \sigma^2 $= 0.01和$ \sigma^2 $= 0.05的噪声环境下, 重复独立实验50次、100 次和200 次, PMB算法都能找到所有全局极值点, $ \eta\_{\rm{global}} $都能达到100 %.

      综上可知:

      1)在相同的噪声环境下, PMB算法的平均峰值检测率是一个固定概率, 取决于算法的蒲丰距离a. 对于TF1中的$ f_1 $, 当$ 2a\ge l\ge a $时, 平均峰值检测率可达到100 %, 当$ l\le a $时, 平均峰值检测率约为80 %以上. 这一结果映证了推论1, 即算法依固定概率找到函数的多个极值点.

      2)在不同噪声环境下取不同蒲丰距离时, PMB算法都能找到TF1中的$ f_1 $的所有全局极值点. 这一结果映证了推论2, 即算法找到全局极值点的概率高于找到局部极值点的概率. 表明PMB算法具有较好的全局极值点优化性能.

      3)噪声强度对峰值检测率有一定程度的影响. 由于噪声干扰会引入局部极值点, 因此当噪声强度增强时, PMB算法的平均峰值检测率也会有所增加, 其中包含了少数几个噪声引入的局部极值点.

    • 首先定量分析噪声强度和蒲丰距离对PMB算法求解结果的影响. 分别取$ a $= 0.2和$ a $= 0.5, 求解精度$ \varepsilon = 0.01 $, 参照文献[32], 分别设置$ \sigma^2 $= 0.01 和$ \sigma^2 $= 0.05, PMB算法对TF1中的$ f_1 $的一次寻优结果分别绘于图9图14中, 其中, 图11图14的(a)图呈现的是算法在同峰判断前找到的极值点, (b)图呈现的是算法经同峰判断后确定的极值点.

      图  9  $a$ = 0.2时无噪声环境下PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

      Figure 9.  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noiseless environment with $a$ = 0.2

      图  14  $\sigma^2$ = 0.01, $a$ = 0.2时PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

      Figure 14.  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noise environment with $\sigma^2$ = 0.01 and $a$ = 0.2

      图  11  $\sigma^2$ = 0.05, $a$ = 0.5时PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

      Figure 11.  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noise environment with $\sigma^2$ = 0.05 and$a$ = 0.5

      图9图14中可以看出, 算法求得的极值点个数受蒲丰距离的影响较为明显. 蒲丰距离越小, PMB算法找到的极值点越多, $ a $= 0.2时可以找到全部极值点, $ a $= 0.5时, PMB 算法不能找到全部极值点, 个别局部极值点会被遗漏, 但仍然可以找到所有全局极值点.

      图  10  $a$ = 0.5时无噪声环境下PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

      Figure 10.  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noiseless environment with $a$ = 0.5

      图  12  $\sigma^2$ = 0.01,$a$ = 0.5时PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

      Figure 12.  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noise environment with $\sigma^2$ = 0.01 and $a$ = 0.5

      图  13  $\sigma^2$ = 0.05,$a$ = 0.2时PMB算法对TF1中的$f_1$的寻优结果

      Figure 13.  Optimization results for $f_1$ of TF1 by PMB algorithm in noise environment with $\sigma^2$ = 0.05 and $a$ = 0.2

      为进行定性分析, 以全局极值点为例, 将PMB算法求解TF1中的$ f_1 $得到的全局极值点的数值结果分别列于表4表5中.

      表 4  $a$ = 0.2时PMB算法针对TF1中的 $f_1$在不同噪声环境下的全局极值点优化数值结果

      Table 4.  Numerical results of global extremum points for $f_1$ of TF1 searched by PMB algorithm with $a$ = 0.2 under different noise environments

      极值点序号 P-MQHOA[1]无噪声 PMB
      $\sigma^2$ = 0.01 $\sigma^2$ = 0.05
      $x_1$ $x_2$ $f$ $x_1$ $x_2$ $f$ $P_f$ $P_l$ $x_1$ $x_2$ $f$ $P_f$ $P_l$
      1 −0.8781 −0.8781 3.5326 −0.8781 −0.878 3.8057 2.73E-01 1.42E-04 −0.8776 −0.8773 4.1956 6.63E-01 9.37E-04
      2 −0.8781 0.8781 3.5326 −0.8789 0.8784 3.8027 2.70E-01 7.86E-04 −0.8788 0.8782 4.1974 6.65E-01 8.19E-04
      3 0.8781 −0.8781 3.5326 0.8782 −0.8778 3.8086 2.76E-01 3.64E-04 0.8788 −0.8784 4.2048 6.72E-01 7.36E-04
      4 0.8781 0.8781 3.5326 0.8783 0.8775 3.8049 2.72E-01 6.60E-04 0.8774 0.8765 4.2050 6.72E-01 1.79E-03

      表4表5中可以看到, 算法求解的定位误差和峰值误差同时受到蒲丰距离与噪声强度的影响. 在蒲丰距离相同的情况下, 随着噪声强度的增加, 全局极值点的峰值误差$ P_f $和定位误差$ P_l $也随之增加. 在噪声强度相同的情况下, 蒲丰距离越小, 全局极值点的定位误差$ P_l $越小, 定位精度越好.

      除了全局极值点, PMB算法还能求得多个局部极值点. 取$ a $= 0.2, PMB算法在$ \sigma^2 $= 0.01 和$ \sigma^2 $= 0.09的噪声环境中的100次独立重复实验结果列于表6中.

      表 6  P-MQHOA[1]算法与$a$ = 0.2时的PMB算法针对TF1中的 $f_1$在不同环境下的所有极值点求解结果对比

      Table 6.  Comparison of total-extremum points for $f_1$ of TF1 searched by P-MQHOA[1]algorithm and PMB algorithm with $a$ = 0.2 under different noise environments

      极值点序号 P-MQHOA[1]无噪声 PMB
      $\sigma^2$ = 0.01 $\sigma^2$ = 0.09
      $x_1$ $x_2$ $f(x_1,x_2)$ $x_1$ $x_2$ $f(x_1,x_2)$ $x_1$ $x_2$ $f(x_1,x_2)$
      1 −0.8781 −0.8781 3.5326 −0.8781 −0.8780 3.8057 −0.8762 −0.8777 4.4627
      2 −0.8781 −0.5269 3.0421 −0.8778 −0.5263 3.3069 −0.8774 −0.5285 3.9294
      3 −0.8781 −0.1756 2.7969 −0.8784 −0.1746 3.0482 −0.8778 −0.1818 3.6818
      4 −0.8781 0.1756 2.7969 −0.8789 0.1763 3.0605 −0.8790 0.1814 3.7123
      5 −0.8781 0.5269 3.0421 −0.8788 0.5277 3.3100 −0.8761 0.5258 3.9341
      6 −0.8781 0.8781 3.5326 −0.8789 0.8784 3.8027 −0.8798 0.8774 4.4562
      7 −0.5269 −0.8781 3.0421 −0.5276 −0.8780 3.3047 −0.5264 −0.8766 3.9330
      8 −0.5269 −0.5269 2.5517 −0.5266 −0.5267 3.4294 −0.52621 −0.5269 2.7918
      9 −0.5269 −0.1756 2.3065 −0.5264 −0.1756 2.5465 −0.5278 −0.1798 3.1998
      10 −0.5269 0.1756 2.3065 −0.5263 0.1760 2.5499 −0.5289 0.1772 3.1915
      11 −0.5269 0.5269 2.5517 −0.5268 0.5256 2.7924 −0.526 0.5278 3.4282
      12 −0.5269 0.8781 3.0421 −0.5268 0.8775 3.3045 −0.5271 0.8770 3.9228
      13 −0.1756 −0.8781 2.7969 −0.1770 −0.8786 3.0600 −0.1745 −0.8800 3.6858
      14 −0.1756 −0.5269 2.3065 −0.1761 −0.5275 2.5472 −0.1792 −0.5261 3.1804
      15 −0.1756 −0.1756 2.0613 −0.1772 −0.1755 2.2932 −0.1775 −0.1789 2.9170
      16 −0.1756 0.1756 2.0613 −0.1765 0.1746 2.2879 −0.1755 0.1774 2.9344
      17 −0.1756 0.5269 2.3065 −0.1763 0.5278 2.5418 −0.1757 0.5250 3.1700
      18 −0.1756 0.8781 2.7969 −0.1756 0.8791 3.0500 −0.1784 0.8817 3.6725
      19 0.1756 −0.8781 2.7969 0.1762 −0.8773 3.0574 0.1769 −0.8757 3.6846
      20 0.1756 −0.5269 2.3065 0.1762 −0.5266 2.5532 0.1794 −0.5270 3.1708
      21 0.1756 −0.1756 2.0613 0.1756 −0.1779 2.2964 0.1802 −0.1758 2.9292
      22 0.1756 0.1756 2.0613 0.1756 0.1752 2.2921 0.1790 0.1766 2.9235
      23 0.1756 0.5269 2.3065 0.1752 0.5269 2.5441 0.1820 0.5250 3.1637
      24 0.1756 0.8781 2.7969 0.1756 0.8800 3.0573 0.1803 0.8784 3.6873
      25 0.5269 −0.8781 3.0421 0.5253 −0.8767 3.2985 0.5250 −0.8808 3.9639
      26 0.5269 −0.5269 2.5517 0.5254 −0.5261 2.8010 0.5256 −0.5244 3.4443
      27 0.5269 −0.1756 2.3065 0.5275 −0.1752 2.5432 0.5266 −0.1785 3.1973
      28 0.5269 0.1756 2.3065 0.5266 0.1775 2.5502 0.5291 0.1789 3.1769
      29 0.5269 0.5269 2.5517 0.5273 0.5259 2.7941 0.5277 0.5257 3.4395
      30 0.5269 0.8781 3.0421 0.5254 0.8776 3.3128 0.5242 0.8817 3.9135
      31 0.8781 −0.8781 3.5326 0.8782 −0.8778 3.8086 0.8793 −0.8759 4.4479
      32 0.8781 −0.5269 3.0421 0.8792 −0.5265 3.3119 0.8771 −0.5288 3.9199
      33 0.8781 −0.1756 2.7969 0.8778 −0.1766 3.0594 0.8774 −0.1782 3.7063
      34 0.8781 0.1756 2.7969 0.8780 0.1760 3.0549 0.8772 0.1784 3.6981
      35 0.8781 0.5269 3.0421 0.8784 0.5265 3.3001 0.8788 0.5279 3.3046
      36 0.8781 0.8781 3.5326 0.8783 0.8775 3.8049 0.8803 0.8792 4.4365

      表6中可以看出, 当$ a $= 0.2时PMB算法可以找到TF1中的$ f_1 $的全部极值点. 对比文献[1]的数值结果, 可以验证PMB算法在噪声环境下定位所有极值点的正确性. 依据文献[1]的数值结果计算得到PMB算法定位每个极值点的定位误差, 绘于图15 中.

      图  15  $a$ = 0.2, PMB算法在不同噪声环境下对TF1中的$f_1$求解所有极值点的定位误差

      Figure 15.  Positioning errors of total-extremum points for $f_1$ of TF1 searched by PMB algorithm with $a$ = 0.2 under different noise environments

      图15 中可以看出, 随着噪声强度的增加, 各个极值点的定位误差都随之增加. 综上可知:

      1)蒲丰距离的大小会对PMB算法找到极值点的个数以及求解极值点的定位精度产生主要影响. 蒲丰距离越小, 算法的全极值点寻优性能就越好, 遗漏的极值点越少, 峰值检测率越高, 同时定位准确度越高.

      2)噪声强度也会对PMB算法的峰值检测率和求解极值点的定位精度产生影响. 噪声强度的增加使得极值点的峰值误差$ P_f $和定位误差$ P_l $都随之增加, 同时会引入更多的局部最优, 使得峰值检测率增加.

    • 本节实验选用文献[32]中的5个测试函数, 即表1中的函数$ f_2- f_6 $, 检验本文所提PMB 算法在不同噪声环境下对不同函数的多极值点寻优能力, 并与文献[32]提出的改进蝙蝠算法(IBA)进行对比分析.

      参照文献[32]的噪声环境设置, 分别在$ \sigma^2 $= 0.01、$ \sigma^2 $= 0.05、$ \sigma^2 $= 0.07和$ \sigma^2 $= 0.09的噪声环境中利用PMB算法对函数$ f_2- f_6 $进行优化求解, 重复独立实验100 次, 求解精度$ \varepsilon = 0.01 $, 优化数值结果列于表7中. 表中Mean表示100次重复独立实验得到的全局极值点的适应度平均值, MAPE表示适应度平均值相对百分比误差.

      表 7  PMB算法对TF1中的$f_2- f_6$在不同噪声环境下的全局极值点优化数值结果

      Table 7.  Numerical results of global extremum points for function $f_2- f_6$ of TF1searched by PMB algorithm under different noise environments

      函数 全局极值 指标 IBA[32] PMB
      $\sigma^2$ = 0.01 $\sigma^2$ = 0.05 $\sigma^2$ = 0.07 $\sigma^2$ = 0.09 $\sigma^2$ = 0.01 $\sigma^2$ = 0.05 $\sigma^2$ = 0.07 $\sigma^2$ = 0.09
      $f_2$ −176.1375 Mean −176.1830 −176.3646 −176.5443 −176.5442 −176.1607 −176.0738 −176.0689 −175.9722
      MAPE 0.0258 0.1289 0.1799 0.2309 0.0132 0.0362 0.0389 0.0938
      $f_3$ −1.8013 Mean −1.8468 −2.0283 −2.1206 −2.2095 −2.0007 −2.3048 −2.4433 −2.5351
      MAPE 2.5281 12.6022 17.7255 22.6617 11.0675 27.9516 35.6393 40.7363
      $f_4$ 0.9 Mean 0.8556 0.6838 0.6053 0.5330 0.6534 0.2620 0.1312 0.0529
      MAPE 4.9308 24.0261 32.7394 46.5648 27.4009 70.8921 85.4263 94.1181
      $f_5$ −24.1568 Mean −24.2016 −24.3806 −24.4665 −24.5567 −24.2903 −24.538 −24.5977 −24.6518
      MAPE 0.1856 0.9266 1.2822 1.6556 0.5526 1.5781 1.8253 2.0490
      $f_6$ −-19.2085 Mean −19.253 −19.4329 −19.5236 −19.6095 −19.3724 −19.6408 −19.7391 −19.8169
      MAPE 0.2319 1.1683 1.6403 2.0875 0.8533 2.2504 2.7625 3.1673

      表7中看到, 全局极值点的适应度值受噪声的影响非常明显, 随着噪声强度的增加, MAPE随之增大. 从TF1中$ f_2 $的寻优结果上可以看到, 本文所提出的PMB算法可以得到比IBA 算法更低的MAPE, 而在其他函数上, PMB算法的MAPE高于IBA算法, 但依然呈现出平均相对百分比误差随着噪声强度的增加而增大的规律.

      尽管在TF1中$ f_3 $-$ f_6 $上PMB算法得到的MA PE更高, 但是在噪声环境下衡量算法的优化性能应该更关注算法的定位误差指标. 在无噪声环境下, 衡量算法的寻优性能往往通过考察算法求得的全局极值点的适应度值与真实适应度值的误差来得到, 例如, 函数$ f_2 $在无噪声情况下的全局极值点是-176.1375 (−1.3068, −1.4248), 如果算法找到的极值点的适应度值近似为−176.1375, 则通常认为算法已经找到了全局极值点, 同时也证明了算法的全局优化性能较好. 而在噪声环境下, 点 (−1.3068, −1.4248)处的函数值将发生变化, 偏离原来的函数值−176.1375, 因此, 衡量算法在噪声环境下优化求解性能的指标不应是找到函数值为−176.1375的点, 这样的点极有可能已经不是原函数的全局极值点, 算法优化求解的目的应该是力图找到(−1.3068, −1.4248)这个点, 因为它才是原函数的全局极值点位置. 因此, 在噪声环境下, 求解极值点的坐标显得尤为重要, 它是判断算法是否能够找到全局极值点的有力依据, 而定位误差则反映了算法定位全局极值点的精确度.

      PMB算法在不同噪声环境下求解TF1中$ f_2- f_5 $得到的全局极值点的定位误差分别列于表8表9中.

      表 8  PMB算法对TF1中$f_2- f_4$在不同噪声环境下得到的全局极值点的定位误差

      Table 8.  Positioning errors of global extremum points for function $f_2-f_4$ of TF1 searched by PMB algorithm under different noise environments

      函数 $\sigma^2$ IBA[32] PMB
      $P_l$ $x_1$ $x_2$ $P_l$
      $f_2$ 0.01 0.00082301 −1.3062 −1.4246 0.0007
      0.05 0.0019 −1.3064 −1.4241 0.0009
      0.07 0.0022 −1.3079 −1.4244 0.0011
      0.09 0.0023 −1.3041 −1.4252 0.0027
      $f_3$ 0.01 0.0540 2.2088 1.5727 0.0059
      0.05 0.0132 2.1913 1.5723 0.0119
      0.07 0.0160 2.1882 1.5664 0.0156
      0.09 0.0201 2.1833 1.5710 0.0198
      $f_4$ 0.01 0.0282 0.0611 0.0698 0.0927
      0.05 0.0830 0.0836 0.0623 0.1042
      0.07 1.1067 0.0820 0.0655 0.1049
      0.09 2.2026 0.0579 0.0934 0.1099

      表 9  PMB算法对TF1中的$f_5- f_6$在不同噪声环境下的全局极值点优化数值结果

      Table 9.  Numerical results of global extremum points for function $f_5- f_6$ of TF1searched by PMB algorithm under different noise environments

      函数 算法 IBA[32] PMB
      $\sigma^2$ 0.01 0.05 0.07 0.09 0.01 0.05 0.07 0.09
      极值点序号 $P_l$ $(x_1, x_2), P_l$
      $f_5$ 1 0.0048 0.0151 0.0179 0.0206 (9.6453, −9.6439), 0.0030 (9.6498, −9.6444), 0.0039 (9.6398, −9.6475), 0.0068 (9.6559, −9.6482), 0.0094
      2 0.0057 0.0162 0.016 0.0158 (−9.6457, 9.6444), 0.0023 (−9.6473, 9.6442), 0.0025 (−9.6520, 9.6450), 0.0057 (−9.6473, 9.6401), 0.0065
      3 0.006 0.0112 0.0149 0.0153 (−9.6454, −9.6455), 0.0016 (−9.6460, −9.6413), 0.0053 (−9.6427, −9.6406), 0.0072 (−9.6407, −9.6419), 0.0076
      4 0.0044 0.0133 0.0151 0.0178 (9.6476, 9.6468), 0.0010 (9.6477, 9.6528), 0.0063 (9.6493, 9.6532), 0.0071 (9.6434, 9.6390), 0.0082
      $f_6$ 1 0.0107 0.0215 0.0238 0.0291 (8.0518, −9.6675), 0.0043 (8.0521, −9.6712), 0.0072 (8.0462, −9.6588), 0.0106 (8.0525, −9.6534), 0.0115
      2 0.0094 0.0207 0.0262 0.0289 (−8.0541, 9.6626), 0.0022 (−8.0532, 9.6629), 0.0025 (−8.0561, 9.6614), 0.0034 (−8.0586, 9.6567), 0.0087
      3 0.0088 0.0199 0.0242 0.0243 (−8.0513, −9.6634), 0.0039 (−8.0541, −9.6590), 0.0057 (−8.0595, −9.6698), 0.0069 (−8.0602, −9.6566), 0.0096
      4 0.0081 0.0241 0.021 0.0238 (8.0529, 9.6611), 0.0041 (8.0503, 9.6688), 0.0063 (8.0547, 9.6757), 0.0111 (8.0642, 9.6743), 0.0134

      表8表9中可以看到, PMB算法求出了每个极值点对应的坐标值, 明确了全局极值点的位置, 可以直观的与无噪声时的真实极值点位置做对比, 从而证明PMB算法在噪声环境下定位全局极值点的准确性. 而文献[32]只给出了IBA算法求解全局极值点的$ P_l $结果, 并未给出具体的坐标值.

      同时, 对比两种算法得到的$ P_l $值可以看到, 除了4个极值点($ f_2 $$ \sigma^2 $= 0.09 时、$ f_4 $$ \sigma^2 $= 0.01和$ \sigma^2 $= 0.05时、$ f_6 $的第3 个极值点在$ \sigma^2 $= 0.09时)外, PMB算法在不同噪声环境下求解TF1中$ f_2- f_5 $得到的全局极值点的定位误差均小于IBA算法得到的结果. 即PMB算法在不同噪声环境下对TF1 中$ f_2- f_5 $的全局极值点定位比IBA算法更为精确.

      此外, 文献[32]的IBA算法只给出了TF1中$ f_2- f_5 $的全局极值点求解结果, 对其他局部极值点并未讨论. 而PMB算法运行一次即可得到全部极值点和多个局部极值点. 以TF1中$ f_2 $为例, 取蒲丰距离$ a $= 1时, PMB算法运行一次得到的优化结果如图16 所示.

      图  16  $a$ = 1, $\sigma^2$ = 0.05, PMB算法对TF1中 $f_2$的寻优结果

      Figure 16.  Optimization results for $f_2$ of TF1 by PMB algorithm in noise environment with $\sigma^2$ = 0.05 and $a$ = 1

      图16中可以看出, TF1的$ f_2 $是一个多峰函数, 其在$ \sigma^2 $= 0.05的噪声环境下出现了无穷多的噪声峰值点, PMB算法有效的找到了它的1个全局极值点及170个局部极值点. 综上可知:

      1)PMB算法在噪声环境下可以一次性得到极值点的适应度值和对应坐标, 可以为生产实际提供明确的决策变量.

      2)PMB算法求解的极值点位置精度总体高于IBA算法.

      3)PMB算法不仅能够求得噪声环境下的全局极值点位置, 还能得到多个局部极值点的位置, 为生产实际提供更多的备选方案.

    • 本节实验选用文献[46]中给出的CEC2013推荐基准函数, 即表2中的函数$ f_1- f_{28} $, 检验PMB算法在噪声环境下对多维函数寻优的有效性, 并与PSO算法进行对比分析. 为了检验PMB算法和 PSO算法在噪声环境中寻优的准确性, 首先给出了无噪声环境下的优化结果, 然后与噪声环境下的优化结果进行了比较. 实验中改进的斐波那契法的求解精度$ \varepsilon $设置为1E-5, 针对CEC2013的5维测试函数采用5级划分策略.

      1. 无噪声环境下的比较

      PMB算法和 PSO算法在无噪声环境下对TF2测试函数进行寻优, 获得的优化结果列于表10中, 其中$ t $是完成一次实验的时间.

      表 10  PMB算法和PSO算法对TF2在无噪声环境下得到的全局极值点

      Table 10.  Global extremum points of TF2 obtained by PMB algorithm and PSO algorithm in noiseless environment

      TF2 Opti
      mum
      PSO PMB
      $f$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $t(s)$ $f$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $t(s)$
      $f_1$ −1 400 −1 400. 5153 −22.003 11.6561 −36.1216 69.3583 −37.5101 1.2932 −1 399.9755 −22.1013 11.5532 −35.9107 69.3869 −37. 6351 4.024
      $f_2$ −1 300 −608.3034 −23.2765 15.9243 −18.1464 70.6333 −35.3268 1.586 −1 284.0072 −22.1909 10.6542 −37.981 69.5946 −37.5306 13.084
      $f_3$ −1 200 −1 191. 9927 −90.9013 11.4835 −35.8577 68.8415 −40.1122 1.3798 −1 199.4865 −32.8088 11.5433 −35.9866 69.289 −38.0021 30.5866
      $f_4$ −1 100 −1 100. 2332 −22.0721 11.3036 −35.9249 69.1684 −37.6371 1.4573 −1 098.4189 −22.0954 11.9348 −36.1631 68.5683 −37.4961 52.0969
      $f_5$ −1 000 −1 000. 4002 −21.9647 11.3823 −36.0354 69.0788 −37.36 1.326 −999.9999 −21.9848 11.5549 −36.0044 69.3447 −37.6114 73.5208
      $f_6$ −900 −900. 1464 −48.0332 16.1924 −31.6003 85.6123 −64.8171 1.2566 −900.0000 −22.0309 11.5686 −36.0034 69.4094 −37.6539 6.7166
      $f_7$ −800 −800. 314 −47.6006 11.5431 −35.9756 69.3023 −37.8813 1.9918 −799.9792 −22.0032 11.5635 −36.004 69.3839 −37.5808 24.2937
      $f_8$ −700 −680.2271 −89.9164 95.3877 55.5365 −63.3428 −20.1823 1.6314 −699.9191 −22.2758 11.5436 −36.0022 69.3631 −37.6026 44.2769
      $f_9$ −600 −600. 3439 75.0307 21.2084 −65.4178 −90.6598 25.5987 10.7053 −599.9286 −22.0921 11.5053 −35.998 69.3653 −37.6013 137.0404
      $f_{10}$ −500 −500. 3287 −22.7446 11.9779 −35.0425 69.3475 −37.3164 1.6048 −499.8497 −21.6232 11.8265 −36.1124 69.0713 −37.5719 164.8766
      $f_{11}$ −400 −400. 4644 −21.9891 11.5276 −36.014 69.3475 −37.5829 1.8479 −399.54 −21.6252 11.9614 −35.9928 69.484 −37.3817 203.6023
      $f_{12}$ −300 −299.4175 −19.0411 5.6211 −50.5124 72.7959 −42.8024 1.9517 −299.2154 −22.224 11.6704 −35.3449 68.6809 −37.0768 244.3073
      $f_{13}$ −200 −199. 3823 −31.2247 9.7199 −34.7315 78.1449 −45.3504 1.8811 −199.7728 −22.0876 11.6491 −35.5865 69.2094 −37.2746 288.9675
      $f_{14}$ −100 −100. 0015 −6.2047 11.5466 −27.1106 69.3496 −32.6014 1.5652 −99.8081 −22.0000 11.4699 −36.0043 69.3659 −37.622 25.5247
      $f_{15}$ 100 156.5509 49.6019 63.3034 −72.268 −3.7613 −79.9879 1.6973 110.4386 −21.8498 11.9445 −35.3707 69.3721 −37.4593 45.1034
      $f_{16}$ 200 199. 8538 −57.0813 58.5504 −31.0707 26.9993 −38.2225 3.9518 200.4084 −22.0509 11.5686 −36.0034 69.4094 −37.6539 31.5485
      $f_{17} $ 300 304. 7026 8.0018 −16.5642 −5.9498 38.2561 −8.1092 1.5401 300.3612 −22.0466 11.5575 −37.5698 69.3452 −37.6059 114.3228
      $f_{18}$ 400 405. 3374 8.8635 −22.2516 −5.391 38.826 −10.5181 1.6256 401.5735 −22.269 12.4883 −38.1444 68.9858 −37.9558 144.0145
      $f_{19} $ 500 499. 8491 −36.1124 −7.1141 −60.5984 57.0958 −63.211 1.4022 500.0023 −22.1995 11.4599 −36.2687 68.9998 −37.9225 175.7896
      $f_{20} $ 600 599. 7283 −43.4837 14.2779 −40.0212 72.9036 −43.5544 1.4423 600.0068 −22.0109 11.5786 −36.0034 69.4014 −37.6519 214.3663
      $f_{21}$ 700 999.5585 74.8671 7.56 60.3875 15.7259 31.6655 1.8884 709.2098 −22.1135 11.7078 −36.2284 69.2862 −37.5341 259.2839
      $f_{22}$ 800 899.5949 −48.5424 53.7715 13.7283 69.8239 −18.62 29 2.6328 821.3446 −22.0219 12.2169 −36.155 69.2986 −37.4481 338.1721
      $f_{23}$ 900 1 040.6959 −47.8633 59.6935 18.944 63.6605 −16.7946 2.5248 926.4912 −22.2323 11.3133 −36.2082 69.665 −37.8375 400.5942
      $f_{24}$ 1 000 1 104.3212 −43.5817 62.9002 24.6363 69.2317 −19.6422 11.4319 1 005.5802 −22.2796 11.6315 −36.0045 69.656 −37.0404 536.6315
      $f_{25}$ 1 100 1 199.5464 −48.5541 53.8377 13.7864 69.8039 −18.5822 11.4093 1 103.9827 −22.2144 11.3766 −35.7601 69.5939 −37.2318 674.0186
      $f_{26}$ 1 200 1 230.9793 −45.3432 36.5543 −61.2965 73.0248 −28.7484 11.8107 1 201.2061 −21.9038 11.8136 −36.0593 69.1101 −37.8049 824.5081
      $f_{27}$ 1 300 1 643.8584 39.9937 64.0666 74.3787 82.5407 88.9271 11.4554 1 316.2217 −22.0002 11.5006 −36.0034 69.4000 −37.6006 977.0531
      $f_{28}$ 1 400 1 699.6997 74.858 7.5684 60.4032 15.7134 31.6678 2.8537 1 404.1964 −21.9492 11.4562 −36.0421 69.5111 −37.5802 1 061.4819

      表10中可以得出以下结论:

      1)从函数值的角度来看, PMB对 24 个测试函数得到的函数最小值更接近这些函数的全局最小值, 精度高于PSO.PMB 得到的这24个测试函数的数值结果已在表中用粗体标示出.PSO仅在4个函数上得到的极值比PMB更接近函数的全局最小值, 在其它24个函数上陷入了局部最优. 且PSO在单峰函数$ f_2 $、多峰函数$ f_8-f_{15} $和组合函数$ f_{21}- $$ f_{28} $上得到的极值点的适应度值偏离函数的全局最小值较大, 在表中已用下划线标示出. 其中, 在函数$ f_2 $上的偏离值为691.6966. 这说明PSO算法很容易陷入局部最优, 而PMB 算法具有很好的全局寻优性能, 不容易陷入局部最优.

      2)对比两个算法运行的时间t可以看出, 为了跳出局部最优和保留多个极值点, PMB算法需要花费比PSO算法更多的计算时间.

      2. $ \sigma^2 $= 0.01 的噪声环境下比较

      PMB算法和 PSO算法在$ {\sigma ^2} = 0.01 $的噪声环境下对TF2测试函数进行寻优, 获得的优化结果分别列于表11表12中.

      表 11  PSO算法对TF2在$\sigma^2$ = 0.01的噪声环境下得到的全局极值点

      Table 11.  Global extremum points of TF2 obtained by PSO algorithm in noise environment of $\sigma^2$ = 0.01

      TF2 Optimum $f$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ t(s) $P_f$ $P_l$
      $f_1$ −1 400 −1 400.4781 −22.0184 11.4865 −35.9794 69.3581 −37.6173 1.404 0.0372 0.2464
      $f_2$ −1 300 −930.7041 −20.245 15.2674 −30.6074 67.6185 −38.8701 1.4961 322.4007 13.6581
      $f_3$ −1 200 −1 199.0062 −50.622 11.5252 −35.947 69.152 −38.649 1.2854 7.0135 40.3071
      $f_4$ −1 100 −1 100.2794 −21.9225 11.64 −36.0456 69.5782 −37.4029 1.4142 0.0462 0.6106
      $f_5$ −1 000 −1 000.3961 −21.994 11.5758 −36.1201 69.1453 −37.9101 1.2586 0.0041 0.5937
      $f_6$ −900 −900.3562 −31.8677 13.59 −34.0754 76.8813 −49.9714 1.218 0.2098 23.8924
      $f_7$ −800 −800.3509 −-22.0771 11.5961 −35.183 69.3788 −37.6198 1.8579 0.0369 25.5374
      $f_8$ −700 −680.3089 −71.3566 −56.4316 57.2977 −28.3447 −56.5965 1.615 0.0817 161.0824
      $f_9$ −600 −599.2936 49.9955 −78.2402 0.1786 32.7815 56.5152 10.4697 1.0503 176.1058
      $f_{10}$ −500 −500.2789 −22.3318 11.3539 −34.8006 70.2354 −36.8967 1.5857 0.0497 1.2581
      $f_{11}$ −400 −400.4319 −21.9215 11.6111 −36.0095 69.3882 −37.6099 1.822 0.0325 0.1181
      $f_{12}$ −300 −300.4235 −21.962 11.6181 −35.9548 69.2314 −37.4736 1.8597 1.006 17.2487
      $f_{13}$ −200 −195.7745 −16.5439 0.7856 −63.1612 78.2956 −49.8104 1.8291 3.6078 33.5188
      $f_{14}$ −100 −76.8796 93.8116 23.4253 −27.1196 69.3665 −37.609 1.5651 23.1219 100.8436
      $f_{15}$ 100 162.9651 63.763 73.9758 −59.6899 6.8698 −69.5651 1.6225 6.4142 26.3496
      $f_{16}$ 200 200.0371 −77.2249 85.4895 −99.6791 9.5552 0.5678 3.677 0.1834 87.4504
      $f_{17}$ 300 305.138 8.0174 −22.2004 −9.134 41.8141 −7.1107 1.5252 0.4354 7.4541
      $f_{18}$ 400 406.2551 10.8862 −24.2858 −0.1323 39.2559 −7.5586 1.5572 0.9177 6.6953
      $f_{19}$ 500 499.7671 −26.9034 2.4016 −45.2641 65.0955 −40.2783 1.3468 0.082 31.6291
      $f_{20}$ 600 599.6336 −71.294 14.1417 −38.0582 69.6662 −29.0219 1.4203 0.0947 31.6063
      $f_{21} $ 700 799.646 −48.5365 53.7646 13.7222 69.8263 −18.6266 1.8519 199.9126 158.1048
      $f_{22}$ 800 1 016.1259 95.0903 −70.2239 −51.7248 71.7396 −52.0955 2.4272 116.5309 203.5029
      $f_{23}$ 900 1 066.8577 −61.6704 86.9732 42.3647 41.522 −18.9232 2.4921 26.1619 44.4746
      $f_{24}$ 1 000 1 111.4644 −61.8977 82.0776 36.3207 76.7673 1.768 11.6881 7.1432 36.8097
      $f_{25}$ 1 100 1 199.6718 −48.5853 53.7148 13.7168 69.7682 −18.5628 11.7015 0.1254 0.1502
      $f_{26}$ 1 200 1 302.6409 −71.6478 58.3538 19.0587 68.5734 −24.1115 12.4385 71.6616 87.5525
      $f_{27}$ 1 300 1 599.7342 74.8682 7.5586 60.3873 15.7236 31.6624 12.1106 44.1241 111.1257
      $f_{28}$ 1 400 1 499.6147 −48.5389 53.7644 13.7202 69.8289 −18.6285 2.8779 200.085 158.1087

      表 12  PMB算法对TF2在$\sigma^2$ = 0.01的噪声环境下得到的全局极值点

      Table 12.  Global extremum points of TF2 obtained by PMB algorithm in noise environment of $\sigma^2$ = 0.01

      TF2 Optimum f $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $t(s)$ $P_f$ $P_l$
      f1 −1 400 −1 400.0699 −21.8287 11.8038 −36.3299 69.5330 −37.6233 12.7743 0.0943 0.5782
      f2 −1 300 −608.3307 −23.1175 11.4652 −34.0409 70.2874 −36.6119 39.0930 675.6766 4.2854
      f3 −1 200 −1 017.2976 −32.7028 11.5533 −35.9896 69.2990 −38.0010 68.3085 182.1889 0.1070
      f4 −1 100 −1 054.7452 −22.0054 11.9548 −36.1731 68.5083 −37.3461 102.1388 43.6737 0.1863
      f5 −1 000 −1 000.2789 −21.9308 11.4701 −36.3134 69.5171 −37.2096 135.1712 0.2791 0.5448
      f6 −900 −900.0006 −22.1408 11.3658 −36.1004 69.2084 −37.6539 12.8520 0.0006 0.3210
      f7 −800 −800.0919 −21.9418 11.6135 −35.8100 69.3635 −37.6909 40.6402 0.1127 0.2376
      f8 −700 −699.7605 −22.1688 11.4203 −36.5141 69.3235 −37.5792 69.8338 0.1586 0.5393
      f9 −600 −600.1833 −21.8968 12.9478 −32.0218 69.5171 −37.6985 215.7291 0.2547 4.2381
      f10 −500 −499.9168 −21.3850 11.1694 −35.9969 69.3487 −37.4039 251.9397 0.0671 0.7791
      f11 −400 −400.0491 −21.9828 11.4866 −35.7514 69.3762 −37.4913 306.9611 0.5091 0.6597
      f12 −300 −299.9505 −21.8073 11.5243 −35.7096 69.1440 −37.0312 358.0750 0.7351 0.7379
      f13 −200 −200.0731 −21.8323 11.3919 −36.2855 69.2937 −37.4883 412.7622 0.3003 0.8202
      f14 −100 −99.4329 −22.1030 11.5419 −36.1002 69.3419 −37.6012 523.8452 0.3752 0.1612
      f15 100 104.4172 −21.7108 11.3782 −36.1444 69.3134 −37.7273 58.0593 6.0214 1.0070
      f16 200 200.8154 −22.1002 11.4383 −36.1730 69.4102 −37.6045 126.4925 0.4069 0.2250
      f17 300 301.8527 −22.1000 11.6151 −37.4783 69.4012 −37.5859 366.6641 1.4915 0.1345
      f18 400 404.3400 −22.2810 12.4912 −38.0133 68.8766 −37.9101 341.7595 2.7665 0.1771
      f19 500 500.1091 −22.1404 11.2668 −36.2592 68.9192 −37.9133 318.0817 0.1068 0.2178
      f20 600 599.9330 −22.0115 11.5642 −35.9012 69.4102 −37.6413 501.6370 0.0739 0.1041
      f21 700 704.7231 −22.1409 11.5481 −35.9884 69.3233 −37.5984 799.2632 4.4867 0.2989
      f22 800 843.9745 −22.0029 11.7082 −36.0243 69.3881 −38.1587 1 284.7595 22.6299 0.8884
      f23 900 923.2544 −21.9358 11.4092 −36.9182 69.2899 −37.7927 1 405.1109 3.2368 0.8625
      f24 1 000 1 002.7871 −22.0554 11.0213 −36.4846 69.5489 −37.5213 1 645.1116 2.7931 0.9464
      f25 1 100 1 100.8277 −21.8449 11.4803 −35.9915 69.3188 −37.5424 1 886.3396 3.1550 0.6107
      f26 1 200 1 215.0429 −21.8701 11.7852 −37.0089 69.1101 −37.1271 2 148.5756 13.8368 1.1675
      f27 1 300 1 379.5470 −22.2113 11.7141 −36.6134 69.4000 −37.2465 2 412.4953 63.3253 0.7665
      f28 1 400 1 401.3007 −21.9727 11.5578 −36.0055 69.3242 −37.6351 2 555.0831 2.8957 0.2240

      对比表11表12中可以得出以下结论:

      1)通过比较$ P_l $的数值结果, 可以看出 PMB在25个测试函数上得到的极值点的$ P_l $小于PSO, 这25个数值结果已在表11中用粗体标示出. 这表明PMB在噪声环境和无噪声环境下获得的极点位置偏差很小, 说明PMB算法具有良好的稳定性和抗噪性能. 然而, PSO在噪声环境中获得的结果与在无噪声环境中获得的结果差距较大, 其中在20 个测试函数上的$ P_l $值超过了10, 在表11中已经用下划线标示出. 这表明PSO的稳定性差, 这使得它易受噪声干扰, 抗噪性能较差.

      2)对比两个算法的运行时间t可以看出, 在噪声环境中, PMB需要花费更多的时间来跳出由噪声引起的局部最优.PSO的收敛速度在噪声的影响下也会减慢, 但往往会收敛到噪声引起的局部最优.

      3. 多极值点寻优结果

      PMB算法可以在噪声环境中实现多极值点优化. 对于多峰函数$ f_6 $, $ f_7 $, $ f_8 $, $ f_{16} $, $ f_{19} $$ f_{20} $, PMB算法得到的多个极值点的数值结果列于表13 中. 由于篇幅有限, 每个函数只列出 5 个极值点的数值结果.

      表 13  PMB算法对TF2中部分函数在无噪声环境和$\sigma^2$ = 0.01的噪声环境下的多极值点优化结果

      Table 13.  Optimization results of multiple extremum points for some functions of TF2 obtained by PMB algorithm in noiseless environment and noise environment of $\sigma^2$ = 0.01

      TF2 Noiseless environment $\sigma^2$ = 0.01
      $f$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $f$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $P_f$ $P_l$
      $f_6$ −900.0000 −22.0309 11.5686 −36.0034 69.4094 −37.6539 −900.0006 −22.1408 11.3658 −36.1004 69.2084 −37.6539 0.0006 0.3210
      −896.0639 −33.8126 44.7393 54.6931 77.1452 −50.0368 −896.0683 −34.4983 44.9367 54.8740 77.5853 −50.9570 0.0044 1.2579
      −899.9794 −28.6913 12.8088 −35.1466 74.6026 −46.3440 −900.2057 −28.8650 12.9076 −35.1465 74.7262 −46.3359 0.2264 0.2351
      −899.9959 −19.0610 10.9852 −36.4042 66.8717 −33.4840 −899.8525 −19.1580 11.2422 −36.3101 66.9289 −32.6954 0.1433 0.8423
      −899.9987 −20.6166 11.3082 −36.2410 68.2617 −35.8258 −899.9635 −20.4386 11.2333 −36.0719 68.0558 −35.3752 0.0353 0.5580
      $f_7$ −799.9792 −22.0032 11.5635 −36.0040 69.3839 −37.5808 −800.0919 −21.9418 11.6135 −35.8100 69.3635 −37.6909 0.1127 0.2376
      −799.8756 −28.3647 11.5956 −35.8878 69.3717 −37.6959 −800.0568 −28.2097 11.5979 −35.9973 69.4689 −37.5283 0.1812 0.2712
      −799.7114 −40.2000 11.5118 −35.9099 69.3766 −37.8352 −799.8792 −40.1102 11.5317 −35.9960 69.3786 −37.8348 0.1678 0.1259
      −799.6562 −56.9976 11.5324 −35.9848 69.1641 −38.1372 −799.8114 −55.1614 11.5224 −35.9948 69.1645 −38.1372 0.1552 1.8363
      −799.5697 −66.1517 11.6099 −35.9001 69.4026 −37.9670 −799.6939 −65.2517 11.6094 −35.9078 69.3432 −37.9666 0.1242 0.9020
      $f_8$ −699.9191 −22.2758 11.5436 −36.0022 69.3631 −37.6026 −699.7605 −22.1688 11.4203 −36.5141 69.3235 −37.5792 0.1586 0.5393
      −699.9042 −24.1426 11.5593 −36.0070 69.3609 −37.3899 −699.7605 −24.1231 11.5323 −35.9885 69.3697 −37.3910 0.1437 0.0391
      −699.6190 −45.4600 11.5691 −36.0014 84.1102 −20.9700 −699.7605 −45.4382 11.5681 −36.0127 84.1234 −20.9690 0.1415 0.0279
      −699.1928 −36.3628 11.5985 −35.9784 69.3447 −36.1163 −699.7605 −36.4531 11.5900 −35.9804 69.3459 −36.0956 0.5676 0.0931
      −699.4293 −30.7647 11.5746 −35.9425 69.3885 −37.6095 −699.7605 −30.7591 11.5895 −35.9425 69.4115 −37.5944 0.3312 0.0318
      $f_16$ 200.4084 −22.0509 11.5686 −36.0034 69.4094 −37.6539 200.8154 −22.1002 11.4383 −36.1730 69.4102 −37.6045 0.4069 0.2250
      200.0320 −52.1005 −61.6883 −32.3610 −46.5936 1.0443 200.3819 −52.1021 −61.7593 −32.3582 −46.5732 1.1053 0.3499 0.0958
      200.0353 −33.1330 −38.1129 2.5053 −47.4949 37.2437 200.1492 −33.1432 −38.1214 2.4901 −47.4899 37.2348 0.1139 0.0226
      200.0370 −25.6295 23.1822 −3.7438 −74.5210 −22.2897 200.1477 −25.6000 23.1812 −3.7542 −74.5312 −22.2982 0.1107 0.0340
      200.0511 31.4036 49.5090 46.7470 −62.4386 −15.8403 200.0922 31.4125 49.4947 46.7173 −62.4472 −15.8504 0.0411 0.0366
      $f_19$ 500.0023 −22.1995 11.4599 −36.2687 68.9998 −37.9225 500.1091 −22.1404 11.2668 −36.2592 68.9192 −37.9133 0.1068 0.2178
      500.0611 −25.0001 6.8588 −39.2834 63.8559 −42.1153 500.1292 −25.0018 6.8592 −39.2723 63.8337 −42.1010 0.0681 0.0287
      500.0907 −46.4426 −3.0700 −49.8269 56.0704 −50.5283 500.0979 −46.4534 −3.0612 −49.8173 56.1213 −50.5448 0.0072 0.0561
      500.1281 −31.3099 4.2889 −42.9418 58.0552 −46.9003 500.1475 −31.3063 4.2901 −42.9317 58.0661 −46.9169 0.0194 0.0226
      500.1030 −34.7069 −10.5994 −60.2413 54.6492 −60.9458 500.1952 −34.7672 −10.5528 −60.2362 54.6518 −60.9347 0.0922 0.0772
      $f_20$ 600.0068 −22.0109 11.5786 −36.0034 69.4014 −37.6519 599.9330 −22.0115 11.5642 −35.9012 69.4102 −37.6413 0.0739 0.1041
      600.0586 −100.0000 11.0005 −37.8204 70.8742 −25.9073 599.9468 −100.0000 11.1015 −37.8113 70.8513 −25.8984 0.1118 0.1043
      600.0591 −41.9112 12.0157 −38.3612 72.3213 −39.5142 600.0655 −41.8397 12.0277 −38.3525 72.3357 −39.5054 0.0063 0.0749
      600.0671 −25.7643 9.0700 −27.3033 69.5256 −36.3012 600.0348 −25.7528 9.0594 −27.3270 69.5188 −36.3140 0.0323 0.0319
      600.1270 −99.9565 11.5712 −36.7345 62.4002 −37.5823 600.2360 −100.0000 11.5834 −36.7231 62.4028 −37.5947 0.1089 0.0483

      表13中可以看出, PMB算法可以在无噪声环境和噪声环境中找到多峰函数的多个极值点, 说明PMB算法可以在噪声环境中实现多维、多峰函数的多极值点优化.

      综上可知:

      1) PMB算法可以在无噪声和噪声环境中准确定位测试函数的真正全局极值点, 反映了PMB算法良好的稳定性和抗噪性能.PSO算法在无噪声环境中容易陷入局部最优, 而在噪声环境中容易陷入由噪声引起的局部最优. 因此, PSO算法的稳定性和抗噪性能较差.

      2)PSO算法运行一次只能获得一个极值点, 而PMB算法运行一次可以获得多个极值点. 表明PMB算法可以在噪声环境下找到多维、多峰函数的多个全局和局部极值点.

      3)为了跳出局部最优和保留多个极值点, PMB算法需要花费比 PSO算法更多的计算时间.PSO的收敛速度在噪声的影响下也会减慢, 但它更容易收敛到局部极值点.

    • 针对噪声环境下的多极值点寻优, 本文采用一种定概率的方法来解决这类随机优化问题. 从蒲丰投针的定概率原理出发, 提出了噪声环境下基于蒲丰距离的依概率多峰优化算法(PMB). 理论推导证明了蒲丰距离和极值分辨度依概率影响算法的峰值检测率. 验证了在不同的噪声条件下, PMB算法依概率收敛到函数的多个极值点, 且算法找到全局极值点概率高于找到局部极值点的概率; 验证了蒲丰距离影响PMB算法的全极值点寻优性能和求解极值点的定位精度, 噪声强度影响算法的峰值检测率和定位精度; 对比噪声环境下的改进蝙蝠算法, PMB算法具有更好的极值点定位精度和较好的多极值点寻优特性; 对比PSO算法在5维CEC2013测试函数集上的表现, PMB算法具有更好的多维函数寻优能力、抗噪声性能和多极值点寻优性能. 从而使得PMB算法能在生产实际中提供更准确的决策变量和更多的优化方案. 噪声环境下的依概率优化算法的理论和应用研究刚刚起步, 作者后续工作将进一步研究提高PMB算法对高维问题的处理效率.

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