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具有输入约束和输出噪声的不确定系统级联线性自抗扰控制

高阳 吴文海 王子健

高阳, 吴文海, 王子健. 具有输入约束和输出噪声的不确定系统级联线性自抗扰控制. 自动化学报, 2020, 46(x): 1−10. doi: 10.16383/j.aas.c190305
引用本文: 高阳, 吴文海, 王子健. 具有输入约束和输出噪声的不确定系统级联线性自抗扰控制. 自动化学报, 2020, 46(x): 1−10. doi: 10.16383/j.aas.c190305
Gao Yang, Wu Wen-Hai, Wang Zi-Jiang. Cascaded linear active disturbance rejection control for uncertain systems with input constraint and output noise. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(x): 1−10. doi: 10.16383/j.aas.c190305
Citation: Gao Yang, Wu Wen-Hai, Wang Zi-Jiang. Cascaded linear active disturbance rejection control for uncertain systems with input constraint and output noise. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(x): 1−10. doi: 10.16383/j.aas.c190305

具有输入约束和输出噪声的不确定系统级联线性自抗扰控制


DOI: 10.16383/j.aas.c190305
详细信息
    作者简介:

    海军航空大学青岛校区博士研究生. 2015年获空军勤务学院硕士学位. 主要研究方向为固定翼飞机飞行控制, 自抗扰控制理论与应用. 本文通信作者.E-mail: gy_hkdx@126.com

    海军航空大学青岛校区教授. 2004年获南京航空航天大学博士学位. 主要研究方向为综合飞行控制系统, 舰载机着舰引导控制, 现代战机攻击导引控制.E-mail: sophia_wxc@126.com

    海军航空大学青岛校区讲师. 2012年获海军航空大学硕士学位. 主要研究方向为飞行控制与测试.E-mail: hkdx_2017@126.com

  • 基金项目:  国家自然科学基金(51505491, 60674090)资助

Cascaded Linear Active Disturbance Rejection Control for Uncertain Systems with Input Constraint and Output Noise

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  • Fund Project:  National Natural Science Foundation of China (51505491, 60674090)
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-04-17
  • 录用日期:  2019-07-30

具有输入约束和输出噪声的不确定系统级联线性自抗扰控制

doi: 10.16383/j.aas.c190305
    基金项目:  国家自然科学基金(51505491, 60674090)资助
    作者简介:

    海军航空大学青岛校区博士研究生. 2015年获空军勤务学院硕士学位. 主要研究方向为固定翼飞机飞行控制, 自抗扰控制理论与应用. 本文通信作者.E-mail: gy_hkdx@126.com

    海军航空大学青岛校区教授. 2004年获南京航空航天大学博士学位. 主要研究方向为综合飞行控制系统, 舰载机着舰引导控制, 现代战机攻击导引控制.E-mail: sophia_wxc@126.com

    海军航空大学青岛校区讲师. 2012年获海军航空大学硕士学位. 主要研究方向为飞行控制与测试.E-mail: hkdx_2017@126.com

摘要: 针对一类具有输入约束和输出噪声的SISO不确定非线性系统, 提出了一种基于误差补偿和工程滤波的抗饱和级联线性自抗扰控制(LADRC)方法. 首先针对高频量测噪声, 分析了线性扩张状态观测器(LESO)对噪声的放大机理及其与观测器增益的定量关系, 进而设计了一种基于工程滤波器的级联LADRC方法, 在滤除噪声的同时有效补偿了因滤波所造成的输出幅值和相位损失, 确保了闭环系统的跟踪精度. 然后继续考虑输入饱和的问题, 利用LADRC的实时估计/补偿能力, 通过将饱和差值信号引入LESO, 设计了一种基于误差补偿的抗饱和LADRC方法, 有效减小了系统设计控制量, 避免了系统长时间陷入饱和. 通过实时仿真比较, 验证了所提出方法的有效性.

English Abstract

高阳, 吴文海, 王子健. 具有输入约束和输出噪声的不确定系统级联线性自抗扰控制. 自动化学报, 2020, 46(x): 1−10. doi: 10.16383/j.aas.c190305
引用本文: 高阳, 吴文海, 王子健. 具有输入约束和输出噪声的不确定系统级联线性自抗扰控制. 自动化学报, 2020, 46(x): 1−10. doi: 10.16383/j.aas.c190305
Gao Yang, Wu Wen-Hai, Wang Zi-Jiang. Cascaded linear active disturbance rejection control for uncertain systems with input constraint and output noise. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(x): 1−10. doi: 10.16383/j.aas.c190305
Citation: Gao Yang, Wu Wen-Hai, Wang Zi-Jiang. Cascaded linear active disturbance rejection control for uncertain systems with input constraint and output noise. Acta Automatica Sinica, 2020, 46(x): 1−10. doi: 10.16383/j.aas.c190305
  • 不确定系统的控制是控制科学的核心问题[1]. 围绕此问题, 涌现出大量的现代控制方法, 如自适应控制、鲁棒控制、内模原理、滑模控制等[2], 但这些方法在处理不确定性时, 往往因特定的局限性而不利于工程实用. 反倒是经典的PID控制, 以其“天生”的抗干扰性和模型不依赖性, 至今仍广泛应用于工业控制领域. 沿承PID控制的思想精髓[3], 韩京清先生在对依赖于 精确数学模型的现代控制理论进行深刻反思的基础上, 于20世纪90年代提出了更为高效的自抗扰控制(Active disturbance rejection control, ADRC)技术[4]. 大量理论[5-7]和应用[8-9]方面的研究表明, ADRC不依赖被控对象的精确数学模型, 对具有未建模动态、参数摄动和外界干扰的系统均能实施有效控制, 具有很强的鲁棒性和抗干扰性.

    然而, 受限于原始ADRC所采用的非线性、非光滑反馈结构, 其理论分析十分困难, 需调节的控制器参数也较多. 为简化ADRC的分析与实现, 文献[10-12]针对不同类型的不确定系统, 研究了线性ADRC (Linear ADRC, LADRC)方法并着重分析了LADRC的收敛性, 揭示了系统性能与控制参数的定量关系. 此外, 作者在文献[13]中亦提出了一种基于高增益观测器的LADRC方法, 并进一步放宽假设条件给出了收敛性证明. 然而, 上述研究除针对系统的不确定因素外, 均没有考虑其他限制条件. 而在实际系统的输入、输出环节中, 往往会存在两类不容忽视的问题---输入约束和输出噪声.

    输入约束通常是由执行机构的物理和结构限制所致, 以位置饱和最为常见, 如不及时采取措施加以拟制, 可能会导致系统动态性能变差甚至不稳定. 对此, 主要有两种处理策略: 一是直接对执行机构的饱和特性进行设计, 利用光滑函数近似饱和函数, 然后将逼近误差作为系统扰动, 对新系统设计鲁棒自适应控制器[14-15]; 二是在忽略执行机构约束的情况下, 预先设计满足要求的控制器, 然后在控制器中引入辅助信号对输入饱和进行补偿[16-18]. 策略一虽然具有较好的抗饱和效果, 但需要依赖约束的具体信息, 且控制器设计复杂, 实时性较差; 相比之下, 策略二能够极大地简化控制器的设计, 计算灵活高效, 且不影响约束范围内的系统性能, 因而广泛应用于工业实际中.

    另外, 在量测输出时不可避免地还会引入高频噪声, 而噪声对于LADRC性能的影响是十分显著的. 这是因为, LADRC的核心技术是线性扩张状态观测器(Linear extended state observe, LESO), 增大观测器增益可提高其跟踪性能, 但同时也会放大高频噪声, 进而引起系统控制量的大幅度高频振颤, 这对于执行机构而言是不可承受的. 为解决观测器性能与其对噪声敏感性的矛盾, 国内外学者提出了多种不同方案. 文献[19]设计了一种增益可切换观测器, 即采用大增益重构系统状态, 当观测误差减小到一定值后切换为小增益, 以减小高频噪声的影响. 文献[20]和文献[21]则分别通过在高增益观测器中引入随机逼近策略和快速滤波器来处理量测噪声, 从而最大限度地保持了观测器的原本特性. 而文献[22-23]直接设计了一种增益在线调整的自适应观测器来解决该问题, 虽然较前两种方案有更好的噪声拟制效果, 但观测器设计复杂, 工程实现难度大. 对此, 工程上往往采用简单的滤波器处理方式, 但这会造成滤波后输出信号的幅值和相位损失.

    针对上述现状和问题, 本文在文献[13]的基础上, 继续研究了具有输入受限和输出噪声的不确定系统的LADRC方法. 首先, 定量分析了LESO对噪声的放大机理, 明确了噪声对LADRC系统的影响; 在此基础上, 改进了具有工程实用性的滤波器噪声处理方式, 提出了一种基于滤波器的级联LADRC方法, 可实现对滤波后输出的幅值和相位损失的有效补偿; 最后, 基于策略二给出的饱和处理方案, 进一步提出了一种基于滤波器的抗饱和级联LADRC方法, 使有效滤波的同时解决了系统输入饱和的问题.

    • 考虑如下的SISO不确定非线性系统:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^{\left( n \right)}} = f\left( {{x^{\left( {n - 1} \right)}}, \cdots ,\dot x,x,t} \right) + w + bu\left( \upsilon \right)}\\ {y = x + {v_{\rm{n}}}} \end{array}} \right.$$ (1)

      其中, $x$ 为系统状态变量; $y$ 为具有高频噪声 ${v_{\rm{n}}}$ 的系统量测输出; $f\left( \cdot \right)$ 为系统不确定的内部动态; $w$ 为外部干扰; $b$ 为时变不确定的控制增益, 满足 ${b_1} < b < {b_2},{b_1},{b_2}$ 为常数; $\upsilon$ 为执行器输入, $u\left( \upsilon \right)$ 为受饱和特性影响的执行器输出, 其数学模型为

      $$u\left( \upsilon \right) = {\rm{sat}}\left( \upsilon \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{\max }},\qquad\upsilon > {u_{\max }}}\\ {\upsilon ,\qquad{u_{\min }} \le \upsilon \le {u_{\max }}}\\ {{u_{\min }},\qquad\upsilon < {u_{\min }}} \end{array}} \right.$$ (2)

      其中, ${u_{\max }} > 0,{u_{\min }} < 0$ 为已知的饱和界限值.

      取常数 ${b_0} \in \left( {{b_1},{b_2}} \right)$ , 而将 $\left( {b - {b_0}} \right)u\left( \upsilon \right)$ 作为未知的控制扰动, 并将系统所有的不确定性当作总扰动 $g\left( \cdot \right) = f\left( \cdot \right) + w + \left( {b - {b_0}} \right)u\left( \upsilon \right),$ 取状态变量 ${x_1} = $ $ x,{x_2} = \dot x, \cdots ,{x_n} = {x^{\left( {n - 1} \right)}},$ 然后将总扰动扩充为新的状态变量 ${x_{n + 1}} = g\left( \cdot \right),$ 并记 ${\dot x_{n + 1}} = h,$ ${{{x}}} = \big[ {{x_1}}\quad $ ${{x_2}}\quad \cdots \quad{{x_{n + 1}}} \big]^{\rm{T}},$ 可得系统(1)的扩张状态空间方程:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot {{{x}}} = A{{{x}}} + {{{b}}}u\left( \upsilon \right) + {{{c}}}h}\\ {y = {{{d}}}{{{x}}} + {v_n}} \end{array}} \right.$$ (3)

      其中, $A = \left[ {\begin{aligned} &0\quad 1\quad 0\quad \cdots \quad 0\\ &0\quad 0\quad 1\quad \cdots \quad 0\\ & \vdots\quad \; \vdots \quad\; \vdots \quad\; \ddots \quad\; \vdots \\ &0\quad 0\quad 0\quad \cdots \quad 1\\ &0\quad 0\quad 0\quad \cdots \quad 0 \end{aligned}} \right] \in {{{\bf{R}}}^{\left( {n + 1} \right) \times \left( {n + 1} \right)}},{{{b}}} \! = $ $\big[ 0\quad \cdots \quad 0\quad{{b_0}}\quad 0 \big]^{\rm{T}},{{{c}}} \! = {\big[ 0\quad \cdots \quad 0\quad 1 \big]^{\rm{T}}},{{{d}}} = \big[ 1\;\; 0\quad $ $\cdots\quad 0 \big],$ ${{{b}}},{{{c}}},{{{d}}} \in {{{\bf{R}}}^{n + 1}}.$

      为便于分析, 对系统(3)作如下假设:

      假设1. 量测噪声有界且满足 $\left| {{v_{\rm{n}}}} \right| \!\le \mu,$ 常数 $\mu > 0.$

      假设2. 存在常数 $M > 0,$ 使得 $\left| h \right| \le M$ 在区间 $\left[ {0,\infty } \right)$ 上一致成立.

      注1. 由于 $h = \dot g\left( \cdot \right)$ 不仅是时间 $t$ 的函数, 还是 ${{{x}}}$ $u$ 的函数, 因而直接设定 $\left| h \right| \le M$ 这一条件很难得到预先检验; 而根据此前研究可知[13], 若放宽对系统总扰动的假设, 可得到 $\left| h \right|$ 为关于系统估计和跟踪误差的函数, 但这会增加系统分析的复杂性. 实际上, 直接假设 $h$ 有界并不影响对系统控制性能的分析, 只是会改变分析过程中的一些常系数值.

    • 对于系统(1), 当不考虑输入约束和输出噪声时, 可设计如下的LADRC控制器[13]: 它由线性跟踪微分器(Linear tracking differentiator, LTD)、线性扩张状态观测器和线性状态误差反馈(Linear state error feedback, LSEF)三部分组成.

    • LTD在LADRC中相对独立, 其作用在于跟踪给定的输入信号 ${v_0}$ 并得到输入的各阶微分信号 $v_0^{\left( i \right)},$ 即有 ${v_1} \to {v_0},{v_{i + 1}} \to v_0^{\left( i \right)},i = 1,2, \cdots ,n.$ $ {{{v}}} =$ $ {\big[{{v_1}}\quad{{v_2}}\quad \cdots \quad {{v_{n + 1}}} \big]^{\rm{T}}},$ 可将LTD表示为:

      $$\dot {{{v}}} = {A_{{\rm{TD}}}}{{{v}}} + {{{{b}}}_{{\rm{TD}}}}{v_0}$$ (4)

      其中, ${A_{{\rm{TD}}}} = \left[ {\begin{aligned} &\quad 0\qquad\;\; 1\qquad\;\; 0\qquad \cdots \qquad\;\; 0\\ &\quad 0\qquad\;\; 0\qquad\;\; 1\qquad \cdots \qquad\;\; 0\\ &\quad\; \vdots \qquad\;\; \vdots \qquad\;\; \vdots \qquad\;\; \ddots \qquad\;\; \vdots \\ & \quad 0\qquad\;\; 0\qquad\;\; 0\qquad\;\; \cdots \qquad 1\\ & {\!\!{a_1}{R^{n + 1}}}\;\;{{a_2}{R^n}}\;\; {{a_3}{R^{n - 1}}}\;\; \cdots \;\; {{a_{n + 1}}R} \end{aligned}} \right] \in $ ${{{\bf{R}}}^{\left( {n + 1} \right) \times \left( {n + 1} \right)}},{{{{b}}}_{{\rm{TD}}}} = {\big[ 0\quad \cdots \quad 0\quad { - {a_1}{R^{n + 1}}} \big]^{\rm{T}}} \in{{{\bf{R}}}^{n + 1}}, $ $R$ 为决定跟踪快慢的调节增益, 系数 ${a_j}( j = 1,$ $2, \cdots ,n + 1 )$ 需满足矩阵 $\bar A$ 是Hurwitz的, $ \bar A =$ $ \left[ {\begin{aligned} &0\quad\;\; 1\quad\;\; 0\quad\;\; \cdots \quad\;\; 0\\ &0\quad\;\; 0\quad\;\; 1\quad\;\; \cdots \quad\;\; 0\\ &\;\vdots \quad\;\; \vdots \qquad \vdots\quad\;\; \ddots \quad\;\; \; \vdots \\ &0\quad\;\; 0\quad\;\; 0\quad\;\; \cdots\quad\;\; 1\\ &{{a_1}}\quad {{a_2}}\quad {{a_3}}\quad \cdots \quad {{a_{n + 1}}} \end{aligned}} \right] \in {{{\bf{R}}}^{\left( {n + 1} \right) \times \left( {n + 1} \right)}}$ .

    • LADRC的模型不依赖性和鲁棒性正是基于LESO对系统总扰动的实时估计, 因而LESO是LADRC的核心技术. 令 ${{{z}}} = {\big[{ {z_1}}\quad{ \!{z_2}}\quad\cdots\quad { {z_{n + 1}}}\big]^{\rm{T}}}$ 为系统状态 ${{{x}}}$ 的估计, 利用实时的输入 $u$ 、输出 $y$ 可构造如下的LESO:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot {{{z}}} = A{{{z}}} + {{{b}}}u + Q{{{k}}}\left( {\hat y - y} \right)}\\ {\hat y = {{{d}}}{{{z}}}} \end{array}} \right.$$ (5)

      其中, $Q = {\rm{diag}}\big[ {{1 / r}}\quad{{1 / {{r^2}}}}\quad \cdots \quad{{1 / {{r^{n + 1}}}}}\big],$ $r$ 为调节参数(相当于LESO增益的倒数), $ {{{k}}} = \big[{ - {k_1}}\quad{ - {k_2}}\quad$ $\cdots \quad{ - {k_{n + 1}}} \big]^{\rm{T}}$ , 系数 ${k_j}\left( {j = 1,2,\cdots,} \right.$ $\left. {n + 1} \right)$ 需满足矩阵 $\bar K$ 是Hurwitz的, $\bar K \!=\! \left[ {\begin{aligned} &{ - {k_1}}\quad\; 1\quad 0\quad \cdots \quad 0\\ &{ - {k_2}}\quad\; 0\quad 1\quad \cdots\quad 0\\ &\;\;\;\vdots \quad\;\;\; \vdots \quad\;\; \vdots \quad\; \ddots \quad \vdots \\ &{ - {k_n}}\quad\; 0\quad 0\quad \cdots \quad 1\\ &{ - {k_{n + 1}}}\; 0\quad 0\quad \cdots \quad 0 \end{aligned}} \right]\!\! \in $ $ {{{\bf{R}}}^{\left( {n + 1} \right) \times \left( {n + 1} \right)}}.$

    • 定义系统的状态误差 ${e_1} = {z_1} - {v_1},{e_2} = {z_2} - $ $ {v_2}, \cdots ,{e_n} = {z_n} - {v_n}$ , 并考虑对总扰动 ${x_{n + 1}}$ 的实时补偿, 令 ${{{e}}} = {\big[{ {e_1}}\quad{ {e_2}}\quad \cdots\quad { {e_n}} \big]^{\rm{T}}},$ 可设计如下的LSEF:

      $$u = {{\left( {{{{l}}}{{{e}}} + {v_{n + 1}} - {z_{n + 1}}} \right)} / {{b_0}}}$$ (6)

      其中, ${{{l}}} = \big[ {{l_1}}\quad{{l_2}}\quad \cdots\quad{{l_n}} \big],$ 系数 ${l_i}\,\left( {i = 1,2,} \right.$ $\left. \cdots,n \right)$ 需满足矩阵 $\bar L = \left[ {\begin{aligned} &0\quad\; 1\quad\; 0\quad\; \cdots \quad\; 0\\&0\quad\; 0\quad\; 1\quad\; \cdots \quad\; 0\\ &\; \vdots \quad\; \vdots \quad\;\; \vdots \quad\;\; \ddots\quad\; \vdots \\ &0\quad\; 0\quad\; 0\quad\; \cdots \quad\; 1\\ &{{l_1}}\quad {{l_2}}\quad{{l_3}}\quad \cdots \quad{{l_n}} \end{aligned}} \right] \in {{{\bf{R}}}^{n \times n}}$ 是Hurwitz的.

    • 首先, 忽略输入饱和的影响. 定义LESO估计误差 ${{{\varepsilon}}} = {{{x}}} - {{{z}}},$ 其中 ${{{\varepsilon}}} = {\big[ {{\varepsilon _1}}\quad{{\varepsilon _2}}\quad \cdots \quad{{\varepsilon _{n + 1}}} \big]^{\rm{T}}},$ 对其沿式(3)和式(5)求导, 可得

      $$\dot {{{\varepsilon}}} = \left( {A + Q{{{k}}}{{{d}}}} \right){{{\varepsilon}}} + {{{c}}}h + Q{{{k}}}{v_{\rm{n}}}$$ (7)

      取误差变换矩阵 $\bar Q = {\rm{diag}}\big[ {{1 / {{r^n}}}}\quad{{1 / {{r^{n - 1}}}}}\quad \cdots \big.$ $\big. {{1 / {{r^0}}}} \big],$ ${{{\xi}}} = \bar Q{{{\varepsilon}}},$ 其中 ${{{\xi}}} = {\big[ {{\xi _1}}\quad{{\xi _2}}\quad \cdots \quad{{\xi _{n + 1}}} \big]^{\rm{T}}},$ 对其求导可将式(7)变换为

      $$\dot {{{\xi}}} = \frac{1}{r}\bar K{{{\xi}}} + {{{c}}}h + \frac{1}{{{r^{n + 1}}}}{{{k}}}{v_{\rm{n}}}$$ (8)

      定理1. 对于满足假设1-2的不确定系统(1), 设计LESO(5), 则对任意的 $t \in \left( {{t_0},\infty } \right),$ 存在依赖于 ${t_0}$ 的常数 $T > 0$ 和独立常数 $B > 0,$ 使得对任意的 $r \in \left( {0,1} \right),$ 满足

      $$ \left\| {{{\varepsilon}}} \right\| \le Tr + {{B\mu } / {{r^n}}} $$

      且当 $r = {\left( {{{nB\mu } / T}} \right)^{{1 / {\left( {n + 1} \right)}}}}$ 时, 有

      $$ \sup \left\| {{{\varepsilon}}} \right\| = \big( {{{\left( {n + 1} \right)} / n}} \big){T^{{n / {\left( {n + 1} \right)}}}}{\left( {nB\mu } \right)^{{1 / {\left( {n + 1} \right)}}}} $$

      注2. 若无特别说明, 文中 $\left\| \cdot \right\|$ 指Euclid范数.

      证明. 取Lyapunov函数 $V:{{{\bf{R}}}^{n + 1}} \to {{\bf{R}}}$

      $$V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}} ) = {{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}P{{{\xi}}}$$ (9)

      其中, 矩阵 $P > 0$ 是Lyapunov方程 $P\bar K + {\bar K^{\rm{T}}}P = $ $ - {I_{n + 1}}$ 的解, ${I_{n + 1}}$ ${n + 1}$ 维单位矩阵.

      对式(9)沿式(8)求关于时间 $t$ 的导数, 可得

      $$\begin{split} \dot V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}} ) =& \\ &{\frac{1}{r}}{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}( {{{\bar K}^{\rm{T}}}P + P\bar K} ){{{\xi}}} + ( {{{{{c}}}^{\rm{T}}}P{{{\xi}}} + {{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}P{{{c}}}} )h + \\ &{\frac{1}{{{r^{n + 1}}}}}( {{{{{k}}}^{\rm{T}}}P{{{\xi}}} + {{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}P{{{k}}}} ){v_{\rm{n}}} \le \\ &{- \frac{1}{r}}{\| {{{\xi}}} \|^2} + | {{{{{c}}}^{\rm{T}}}P{{{\xi}}} + {{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}P{{{c}}}} |M + \\ &{\frac{1}{{{r^{n + 1}}}}}| {{{{{k}}}^{\rm{T}}}P{{{\xi}}} + {{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}P{{{k}}}} |\mu\\[-15pt] \end{split}$$ (10)

      ${\lambda _{\min }}\!\left( P \right)$ ${\lambda _{\max }}\!\left( P \right)$ 分别为矩阵 $P$ 的最小和最大奇异值, 记 ${\varpi _1} \!\!=\!\! \sqrt {n \!\!+\!\! 1} {\lambda _{\min }}\left( P \right),{\varpi _2} \!\!=\!\! \sqrt {n \!\!+\!\! 1}{\lambda _{\max }}\left( P \right),$ 则有 ${\varpi _1} \le {\left\| P \right\|_{\rm{F}}} \le {\varpi _2},{\left\| P \right\|_{\rm{F}}}$ 指矩阵 $P$ 的Frobenius范数. 从而可得

      $$\begin{split} | {{{{c}}}^{\rm{T}}}P{{{\xi}}} +& {{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}P{{{c}}} | \le \| {{{c}}} \|\| {P{{{\xi}}} } \| + \| {{{\xi}}} \|\| {P{{{c}}}} \| \le \\ &2{\left\| P \right\|_{\rm{F}}}\left\| {{{\xi}}} \right\| \le 2{\varpi _2}\left\| {{{\xi}}} \right\| \end{split}$$ (11)
      $$\begin{split} | {{{{k}}}^{\rm{T}}}P{{{\xi}}} +& {{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}P{{{k}}} | \le \| {{{k}}} \|\| {P{{{\xi}}} } \| + \| {{{\xi}}} \|\| {P{{{k}}}} \| \le \\ &2{\left\| P \right\|_{\rm{F}}}\left\| {{{k}}} \right\|\left\| {{{\xi}}} \right\| \le 2{\varpi _2}\left\| {{{k}}} \right\|\left\| {{{\xi}}} \right\| \end{split}$$ (12)

      同理可得

      $${\varpi _1}{\left\| {{{\xi}}} \right\|^2} \le V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}} ) \le {\varpi _2}{\left\| {{{\xi}}} \right\|^2}$$ (13)

      将式(11) $\sim$ 式(13)代入式(10)可得

      $$\begin{split} \dot V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}} ) \le& \\ &{- \frac{1}{r}}{\left\| {{{\xi}}} \right\|^2} + 2{\varpi _2}\left( {M + {\frac{\mu}{{{r^{n + 1}}}}} \left\| {{{k}}} \right\|} \right)\left\| {{{\xi}}} \right\| \le \\ &{- \frac{{{B_1}}}{r}}V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}} ) + {B_2}\sqrt {V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}} )} \\[-15pt]\end{split}$$ (14)

      其中, ${B_1} = {\dfrac{1}{{{\varpi _2}}}},{B_2} = 2{\varpi _2}\left( {M + {\dfrac{\mu}{{{r^{n + 1}}}}} \left\| {{{k}}} \right\|} \right)\!\Big/\!{\sqrt {{\varpi _1}} }$ . 即有

      $$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\sqrt {V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}} )} \le - \frac{{{B_1}}}{{2r}}\sqrt {V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}} )} + \frac{{{B_2}}}{2}$$ (15)

      因此 $\forall t > {t_0}$ , 求解式(15)可得

      $$\begin{split} &\left\| {{{\xi}}} \right\| \le {\sqrt {\frac{{V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}} )}}{{{\varpi _1}}}}} \le {\sqrt {\frac{{V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}\left( {{t_0}} \right)} )}}{{{\varpi _1}}}}} \, {{{\rm{e}}^{ - \frac{{{B_1}}}{{2r}}\left( {t - {t_0}} \right)}}} \,+ \\ &{\frac{{{B_2}}}{{2\sqrt {{\varpi _1}} }}\int_{{t_0}}^t {{{\rm{e}}^{ - \frac{{{B_1}}}{{2r}}\left( {t - \tau } \right)}}{\rm{d}}} \tau} \le {\frac{{2\sqrt {V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}\left( {{t_0}} \right)} )} }}{{\sqrt {{\varpi _1}} {B_1}\left( {t - {t_0}} \right)}}}r + \\ &{\frac{{{B_2}}}{{{B_1}\sqrt {{\varpi _1}} }}r - \frac{{{B_2}}}{{{B_1}\sqrt {{\varpi _1}} }}r{{\rm{e}}^{ - \frac{{{B_1}}}{{2r}}\left( {t - {t_0}} \right)}}} \le \\ &{{B_3}r + {B_4}\frac{\mu }{{{r^n}}}} \end{split}$$ (16)

      其中, ${B_3} \!\!=\!\! {\dfrac{{2{\varpi _2}\sqrt {V( {{{{{\xi}}} ^{\rm{T}}}\left( {{t_0}} \right)} )} }}{{\sqrt {{\varpi _1}} \left( {t \!\!-\!\! {t_0}} \right)}} \!\!+\!\! \dfrac{{2{\varpi _2}^2M}}{{{\varpi _1}}}},{B_4} \!\!=\!\!{\dfrac{{2{\varpi _2}^2\left\| {{{k}}} \right\|}}{{{\varpi _1}}}} .$

      进而 $\forall r \in \left( {0,1} \right)$ , 可得

      $$\begin{split} \left\| {{{\varepsilon}}} \right\| =& \| {{{\bar Q}^{ - 1}}{{{\xi}}} } \| \le {\| {{{\bar Q}^{ - 1}}} \|_{\rm{F}}}\left\| {{{\xi}}} \right\| < \\ &{\sqrt {n + 1} \left( {{B_3}r + {B_4}\frac{\mu }{{{r^n}}}} \right)} \end{split}$$ (17)

      由式(17)可知, 当系统输出不含噪声时 $(\mu = 0),r$ 越小, LESO估计误差越小, 且有 $\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \left\| {{{\varepsilon}}} \right\| = 0;$ 但系统包含量测噪声时, $r$ 不能任意小, 且当 $r =( {n{B_4}\mu } /$ ${{B_3}} )^{{1 / {\left( {n + 1} \right)}}}$ 时, 有 $\sup \left\| {{{\varepsilon}}} \right\| = \big( {{{\left( {n + 1} \right)}^{{3 / 2}}}/n} \big)\cdot{{B_3}^{{n / {\left( {n + 1} \right)}}}}$ ${\left( {n{B_4}\mu } \right)^{{1 / {\left( {n + 1} \right)}}}}$ .

      具体来看, 还有

      $$\begin{array}{l} \left| {{\varepsilon _i}} \right| = {r^{n + 1 - i}}\left| {{\xi _i}} \right| \le {r^{n + 1 - i}}\left\| {{{\xi}}} \right\| \le \\ {{B_3}{r^{n + 2 - i}} + {B_4}\frac{\mu }{{{r^{i - 1}}}}},\;i = 1,2, \cdots ,n + 1 \end{array}$$ (18)

      式(18)表明, $r$ $\left( {0,1} \right)$ 内取值越小, 被估计状态 ${x_i}$ 阶数越高, LESO对噪声放大效果越显著; 尤其对系统总扰动的估计 ${z_{n + 1}} \to {x_{n + 1}},$ 受高频噪声的影响最大, 这必然使总扰动不能被实时抵消, 影响LADRC的控制性能. □

    • 例1. 考虑如下的SISO二阶不确定系统:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_1} = {x_2}}\\ {{{\dot x}_2} = f\left( {t,{x_1},{x_2}} \right) + w + u}\\ {y = {x_1} + {v_{\rm{n}}}} \end{array}} \right.$$ (19)

      假设系统未知的内部动态和外部干扰分别为

      $$ \begin{split} f\left( \cdot \right) &= 0.5x_1^2 + ( {0.2 + {{\rm{e}}^{ - 0.1{x_1}}}} ){x_2} + \sin \left( {2t} \right)\cos \left( {{x_2}} \right) \\ & w\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,\qquad\qquad\quad\: 0 \le t \le 2}\\ {0.5\cos \left( {2t} \right),\quad 2 < t < 5}\\ {2,\qquad\qquad\quad\: t \ge 5} \end{array}} \right. \end{split}$$

      量测噪声为 ${v_{\rm{n}}} = \mu {v_{{\rm{no}}}}$ , $\mu = 0.025$ 为噪声强度, ${v_{{\rm{no}}}}$ $\left[ { - 1,1} \right]$ 上均匀分布的白噪声.

      首先, 忽略量测噪声. 利用LADRC式 $(4)\sim$ 式(6)对系统(19)进行控制, 设定参考输入 ${v_0} = 1,$ ${b_0} = 1;$ 依据文献[13]给出的参数整定原则, 取控制器系数 $\left[ {{a_1},{a_2},{a_3}} \right] \!\!=\!\! \left[ { - 1,\! - 3,\! - 3} \right],\left[ {{k_1},{k_2},{k_3}} \right] \!\!=\!\! \left[ {3,3,1} \right],$ $\left[ {{l_1},{l_2}} \right]= \left[ { - 1, - 2} \right]$ , 调节控制器增益 $R = 10,r =0.002.$ 通过对系统不确定性的准确估计和补偿, 可得到较为理想的系统单位阶跃响应和控制输入, 如图1所示.

      图  1  忽略量测噪声时的闭环系统响应

      Figure 1.  Closed-loop system responses ignoring measurement noise

      但当存在量测噪声时(不改变控制器参数), 由于LESO对噪声的放大效应, 导致系统总扰动 ${x_3} = f + w$ 不能被准确估计, 控制量受其影响作同等幅度的高频振颤, 系统输出亦在设定值附近高频波动, 如图2所示. 此外, LESO在估计系统状态 ${x_1},{x_2},{x_3}$ 时, 对噪声的放大效应是逐级增强的, 其中对 ${x_3}$ 的估计误差达到 ${10^3}$ 级, 这与式(18)计算的结果是一致的. 另取 $r = 0.005$ $0.01$ ${x_3}$ 进行估计, 如图3所示. 比较图2(c-d)可以看出, 随着 $r$ 的增大, LESO对噪声的敏感度迅速减弱, 但同时也加剧了系统输出的振荡, 降低了系统的动态稳定性.

      图  2  考虑量测噪声时的闭环系统响应

      Figure 2.  Closed-loop system responses considering measurement noise

      图  3  不同r值对系统控制性能的影响

      Figure 3.  Effect on system control performance with different values of r

    • 在实际系统中, 为了消除高频量测噪声的影响, 通常利用低通滤波器对输出信号进行滤波, 再将滤波后的信号送入控制器. 滤波器的形式为

      $$y_0^{\left( m \right)} = {f_{\rm{f}}}\big( {y_0^{\left( {m - 1} \right)}, \cdots ,{{\dot y}_0},{y_0},y} \big)$$ (20)

      其中, ${y_0}$ 为滤波后的信号, $m$ 为滤波器的阶数. 此时LESO(5)变为

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot {{{z}}} = A{{{z}}} + {{{b}}}u + Q{{{k}}}\left( {\hat y - {y_0}} \right)}\\ {\hat y = {{{d}}}{{{z}}}} \end{array}} \right.$$ (21)

      然而, 滤波器(20)在消除噪声的同时, 还会改变系统输出的幅值和相位, 使 ${y_0}$ $x$ (即滤波器输出与未加入噪声的系统原输出)之间存在差异, 这种差异将在LESO(21)中被放大, 从而导致原系统的状态不能被很好地估计.

      例2. 将系统(19)的输出通过一阶低通滤波器(22)后, 利用LADRC式(4)、式(21)和式(6)进行控制, 取 $r = 0.002,\omega = 5,$ 其他参数不变, 结果如图4所示.

      图  4  加入滤波器对系统控制性能的影响

      Figure 4.  Effect on system control performance adding filter

      $${y_0}\left( s \right) = \frac{\omega }{{s + \omega }}y\left( s \right)$$ (22)

      可以看出, 通过滤波器后高频噪声被滤除, 但LESO对系统状态 ${x_1}$ 的估计误差却很大(对 ${x_2},{x_3}$ 同样如此), 这是由于 ${z_1}$ 实际上是对 ${y_0}$ 的估计, 而 ${y_0}$ $x$ 之间存在差异, 从而导致了系统较大的控制惯性, 最终影响了LADRC的跟踪性能( ${y_0} \to {v_0}$ ).

    • 为了补偿因滤波所造成的幅值和相位损失, 将滤波器(20)的输出 扩充为系统(1)新的状态变量 ${x_{\rm{f}}} = {y_0}$ , 即将滤波器(20)与系统(1)组成复合系统, 以利用LADRC进行估计和补偿. 本质上, 该系统相当于一个不受噪声影响的 $m+n$ 阶串级系统:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x_{\rm{f}}^{\left( m \right)} = {f_{\rm{f}}}\big( {x_{\rm{f}}^{\left( {m - 1} \right)}, \cdots ,{{\dot x}_{\rm{f}}},{x_{\rm{f}}},y} \big)}\\ {{x^{\left( n \right)}} = f\left( {{x^{\left( {n - 1} \right)}}, \cdots ,\dot x,x,t} \right) + w + bu}\\ {y = x + {v_{\rm{n}}}}\\ {{y_0} = {x_{\rm{f}}}} \end{array}} \right.$$ (23)

      对于系统(23), 其控制层级为控制量 $u$ 驱动 $x,$ 再将 $x$ 作为虚拟控制量 ${u_{\rm{f}}}$ 驱动 ${x_{\rm{f}}},$ 最终达到控制的目的. 由于 ${f_{\rm{f}}}\left( \cdot \right)$ $f\left( \cdot \right)$ 均具有不确定性, 因此根据式 $(1)\sim$ 式(6)的控制思想, 可构造一个级联LADRC结构来获取控制量 ${u_{\rm{f}}}$ $u,$ 图5所示, 其中系统总扰动 $g = f\left( \cdot \right) + w + \left( {b - {b_0}} \right)u,{g_{\rm{f}}} = {f_{\rm{f}}}\left( \cdot \right) - b_0^{\rm{f}}{u_{\rm{f}}}.$

      图  5  基于LADRC的级联控制系统结构

      Figure 5.  Structure of cascade control system based on LADRC

      $x_1^{\rm{f}} = {x_{\rm{f}}},x_2^{\rm{f}} = {\dot x_{\rm{f}}}, \cdots ,x_m^{\rm{f}} = x_{\rm{f}}^{\left( {m - 1} \right)},x_{m + 1}^{\rm{f}} = {g_{\rm{f}}}, $ $\dot x_{m + 1}^{\rm{f}} = {h_{\rm{f}}},$ ${{{{x}}}_{\rm{f}}} = {\big[ {x_1^{\rm{f}}}\quad {x_2^{\rm{f}}}\quad \cdots\quad {x_{m + 1}^{\rm{f}}} \big]^{\rm{T}}},$ 可得系统(23)的扩张状态空间方程:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot {{{x}}}}_{\rm{f}}} = {A_{\rm{f}}}{{{{x}}}_{\rm{f}}} + {{{{b}}}_{\rm{f}}}{u_{\rm{f}}} + {{{{c}}}_{\rm{f}}}{h_{\rm{f}}}}\\ {\dot {{{x}}} = A{{{x}}} + {{{b}}}u + {{{c}}}h}\\ {y = {{{d}}}{{{x}}} + {v_{\rm{n}}}}\\ {{y_0} = {{{{d}}}_{\rm{f}}}{{{{x}}}_{\rm{f}}}} \end{array}} \right.$$ (24)

      其中, ${A_{\rm{f}}},{{{{b}}}_{\rm{f}}},{{{{c}}}_{\rm{f}}},{{{{d}}}_{\rm{f}}}$ 是分别与 $A,{{{b}}},{{{c}}},{{{d}}}$ 形式相同的 $m+1$ 维矩阵或向量.

      针对系统(24), 令 ${{{{v}}}_{\rm{f}}} = {\big[{v_1^{\rm{f}}}\quad{v_2^{\rm{f}}}\quad \cdots\quad{v_{m + 1}^{\rm{f}}} \big]^{\rm{T}}},$ ${{{{z}}}_{\rm{f}}} = {\big[ {z_1^{\rm{f}}}\quad {z_2^{\rm{f}}}\quad \cdots \quad {z_{m + 1}^{\rm{f}}} \big]^{\rm{T}}},{{{{e}}}_{\rm{f}}} = \big[{e_1^{\rm{f}}}\;\; {e_2^{\rm{f}}}\;\; \cdots \;\;{ {e_m^{\rm{f}}} \big]^{\rm{T}}} =$ ${\big[ {z_1^{\rm{f}} - v_1^{\rm{f}}}\;\; {z_2^{\rm{f}} - v_2^{\rm{f}}}\;\; \cdots \;\; {z_m^{\rm{f}} - v_m^{\rm{f}}} \big]^{\rm{T}}},$ 可设计级联LADRC(Cascaded LADRC, CLADRC)控制器如下:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot {{{v}}}}_{\rm{f}}} = A_{{\rm{TD}}}^{\rm{f}}{{{{v}}}_{\rm{f}}} + {{{b}}}_{{\rm{TD}}}^{\rm{f}}{v_0}}\\ {{{\dot {{{z}}}}_{\rm{f}}} = {A_{\rm{f}}}{{{{z}}}_{\rm{f}}} + {{{{b}}}_{\rm{f}}}{u_{\rm{f}}} + {Q_{\rm{f}}}{{{{k}}}_{\rm{f}}}\left( {{{\hat y}_{\rm{f}}} - {y_0}} \right)}\\ {{{\hat y}_{\rm{f}}} = {{{{d}}}_{\rm{f}}}{{{{z}}}_{\rm{f}}}}\\ {{u_{\rm{f}}} = {{\left( {{{{{l}}}_{\rm{f}}}{{{{e}}}_{\rm{f}}} + v_{m + 1}^{\rm{f}} - z_{m + 1}^{\rm{f}}} \right)} / {b_0^{\rm{f}}}}}\\ {\dot {{{v}}} = {A_{{\rm{TD}}}}{{{v}}} + {{{{b}}}_{{\rm{TD}}}}{u_{\rm{f}}}}\\ {\dot {{{z}}} = A{{{z}}} + {{{b}}}u + Q{{{k}}}\left( {\hat y - y} \right)}\\ {\hat y = {{{d}}}{{{z}}}}\\ {u = {{\left( {{{{l}}}{{{e}}} + {v_{n + 1}} - {z_{n + 1}}} \right)} / {{b_0}}}} \end{array}} \right.$$ (25)

      其中, ${A_{{\rm{TD}}}^{\rm{f}}},{{{{b}}}_{{\rm{TD}}}^{\rm{f}}},{Q_{\rm{f}}},{{{{k}}}_{\rm{f}}},{{{{l}}}_{\rm{f}}}$ 是分别与 $A_{{\rm{TD}}},{{{b}}}_{{\rm{TD}}},{Q},$ ${{{k}}},{{{l}}}$ 形式相同的矩阵或向量, 只是其中的系数由 $a,k,l$ (省略下标)变为 $a^{\rm{f}},k^{\rm{f}},l^{\rm{f}}$ (省略下标), 增益由 $R,r$ 变为 $R_{\rm{f}},r_{\rm{f}},$ 并将阶数由 $n$ 改为 $m.$

      注3. 对于低通滤波器(20), 虽然其高阶形式具有更好的滤波效果, 但同时也可能破坏系统的稳定性. 因此, 在CLADRC系统 $(24)\sim (25)$ 中采用一阶低通滤波器(22)即可, 因为由此所造成的差异还可通过LADRC1予以补偿.

      例3. 针对例1的系统采用CLADRC(25)进行控制, 其中滤波器仍采用式(22), 并取 $\omega = b_0^{\rm{f}} = 1.$ 参照文献[13]的参数选取原则, 取 $a_1^{\rm{f}} = - 1,a_2^{\rm{f}} =$ $- 2,k_1^{\rm{f}} = 2,k_2^{\rm{f}} = 1,l_1^{\rm{f}} = - 20,$ 调节控制器增益 $R_{\rm{f}} = 2, $ $r_{\rm{f}} = 0.1,R = 50,r = 0.1,$ 其他参数与例1相同, 仿真结果如图6所示.

      图  6  基于CLADRC的闭环系统响应

      Figure 6.  Closed-loop system responses based on CLADRC

      比较图4可以看出, 该控制策略利用LADRC1的补偿作用, 消除了由滤波所造成的不利影响, 改善了对系统状态的估计效果 $({z_1} \to {x_1}),$ 实现了对参考输入的精确稳定跟踪 $({y_0} \to {v_0}),$ 同时避免了控制量的大幅高频振颤, 从而验证了该方法的有效性.

    • 在上述研究的基础上, 继续考虑系统(1)存在输入饱和的情况. 不难理解, 当执行器由于饱和而不能响应控制器的输出时, 将会使系统响应变得迟缓, 引起滞后和振荡, 甚至导致系统不稳定.

      例4. 针对例3的CLADRC系统, 在不改变控制器参数的情况下, 设定执行器饱和的界限值为 ${u_{\max }} = 26,{u_{\min }} = -17,$ 仿真结果如图7所示.

      图  7  输入饱和约束下的CLADRC闭环系统响应

      Figure 7.  Closed-loop system responses with input saturation based on CLADRC

      图7显示, 在执行器受限的情况下, 系统实际控制量 长时间地处于饱和振颤状态, 闭环系统响应变得振荡而无法及时稳定. 当进一步缩小饱和约束的范围时, 闭环系统将处于发散状态.

      产生上述现象的本质是由于执行器饱和而导致系统状态不能被准确估计, 为此, 进一步提出了一种基于滤波器和误差补偿策略的抗饱和级联LADRC方法. 该方法的作用机理是将执行器输入和输出的差值信号再反馈到LESO的输入端, 使LESO获取更详细的系统信息, 进而利用LADRC的估计和补偿作用来消除这个差值, 达到抗饱和的目的. 对于由式(1)和式(20)组成的级联系统, 设计具有抗噪声和抗饱和能力的LADRC控制器如下:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot {{{v}}}}_{\rm{f}}} = A_{{\rm{TD}}}^{\rm{f}}{{{{v}}}_{\rm{f}}} + {{{b}}}_{{\rm{TD}}}^{\rm{f}}{v_0}}\\ {{{\dot {{{z}}}}_{\rm{f}}} = {A_{\rm{f}}}{{{{z}}}_{\rm{f}}} + {{{{b}}}_{\rm{f}}}{u_{\rm{f}}} + {Q_{\rm{f}}}{{{{k}}}_{\rm{f}}}\left( {{{\hat y}_{\rm{f}}} - {y_0}} \right)}\\ {{{\hat y}_{\rm{f}}} = {{{{d}}}_{\rm{f}}}{{{{z}}}_{\rm{f}}}}\\ {{u_{\rm{f}}} = {{\left( {{{{{l}}}_{\rm{f}}}{{{{e}}}_{\rm{f}}} + v_{m + 1}^{\rm{f}} - z_{m + 1}^{\rm{f}}} \right)} / {b_0^{\rm{f}}}}}\\ {\dot {{{v}}} = {A_{{\rm{TD}}}}{{{v}}} + {{{{b}}}_{{\rm{TD}}}}{u_{\rm{f}}}}\\ {\dot {{{z}}} = A{{{z}}} + {{{b}}}\upsilon + Q{{{k}}}\left( {\hat y - y} \right) - {{{b}}}{k_{\rm{c}}}\left( {\upsilon - u} \right)}\\ {\hat y = {{{d}}}{{{z}}}}\\ \upsilon = {{\left( {{{{l}}}{{{e}}} + {v_{n + 1}} - {z_{n + 1}}} \right)} / {{b_0}}}\\ u = {\rm{sat}}\left( \upsilon \right) \end{array}} \right.$$ (26)

      其中, ${k_{\rm{c}}}$ 为补偿增益, 增大 ${k_{\rm{c}}}$ 可提高误差补偿速度, 但同时可能引起LESO不稳定, 因此需要适当调节.

      例5. 将控制器(26)作用于例4中的被控对象, 调节 ${k_{\rm{c}}} = 0.8,$ 其它控制器参数仍不变, 仿真结果如图8所示.

      图  8  基于抗饱和CLADRC的闭环系统响应

      Figure 8.  Closed-loop system responses based on anti-saturation CLADRC

      可以看出, 该抗饱和方案通过误差补偿有效了减小设计控制量 $\upsilon$ , 使实际控制量 $u$ 能够很快脱离饱和并维持在约束范围内, 系统响应基本不受输入饱和的影响(即图8(a)中的 ${y_{01}}$ 图6(a)中的 ${y_{0}}$ 基本一致), 同时也不影响CLADRC的抗噪声能力, 验证了该方法的有效性.

      进一步地, 将饱和约束的范围压缩为原来的 $60\%$ ${u_{\max }} = 11$ ${u_{\min }} = -15$ 时, 不改变控制器参数, 系统仍能保持较好的跟踪性能( ${y_{02}} \to {v_0}$ ), 而不采用该策略的闭环系统( ${k_{\rm{c}}} = 0$ )响应将很快发散至无穷大处, 表明该方法对输入饱和的界限还具有一定的鲁棒性.

    • 本文研究了一类具有输入约束和输出噪声的不确定非线性系统的线性自抗扰控制问题. 首先针对输出中常见的高频量测噪声, 分析了LESO对噪声的放大机理及其与LESO增益的定量关系, 明确了噪声对具有高增益特性的LADRC系统的影响. 在此基础上, 提出了一种基于滤波器的级联LADRC方法, 在滤除噪声的同时还克服了因滤波所造成的输出幅值和相位损失, 确保了闭环系统的精确稳定跟踪. 最后考虑执行器受限的情况, 利用LADRC的实时估计/补偿能力, 进一步提出了一种基于滤波器和误差补偿策略的抗饱和级联LADRC方法, 又解决了系统输入饱和的问题. 上述控制方法在克服输入约束和输出噪声的同时, 始终保持了自抗扰控制结构的不变性, 因而具有一定的适用性. 通过算例仿真, 验证了该方法的有效性.

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