多子群的共生非均匀高斯变异樽海鞘群算法

陈忠云; 张达敏; 辛梓芸

doi:10.16383/j.aas.c190684

多子群的共生非均匀高斯变异樽海鞘群算法

doi: 10.16383/j.aas.c190684

1.
贵州大学大数据与信息工程学院贵阳 550025

基金项目: 贵州省自然科学基金([2017]1047)资助

详细信息

作者简介:
陈忠云：贵州大学大数据与信息工程学院硕士研究生. 主要研究方向为智能优化算法和认知无线网络. E-mail: chenzhongyun315@hotmail.com

张达敏：贵州大学大数据与信息工程学院教授. 主要研究方向为智能优化算法和认知无线网络. 本文通信作者.E-mail: dmzhang@gzu.edu.cn

辛梓芸：贵州大学大数据与信息工程学院硕士研究生. 主要研究方向为智能优化算法和认知无线网络.E-mail: muz_e@sina.cn

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出版历程
- 收稿日期: 2019-09-30
- 录用日期: 2020-04-16
- 网络出版日期: 2022-04-20
- 刊出日期: 2022-05-13

Multi-subpopulation Based Symbiosis and Non-uniform Gaussian Mutation Salp Swarm Algorithm

1.
School of Big Date and Information Engineering, Guizhou University, Guiyang 550025

Funds: Supported by Natural Science Foundation of Guizhou Province ([2017]1047)

More Information

Author Bio:
CHEN Zhong-Yun 　Master student at the School of Big Date and Information Engineering, Guizhou University. His research interest covers intelligent optimization algorithm and cognitive wireless network

ZHANG Da-Min　Professor at the School of Big Date and Information Engineering, Guizhou University. His research interest covers intelligent optimization algorithm and cognitive wireless network. Corresponding author of this paper

XIN Zi-Yun　Master student at the School of Big Date and Information Engineering, Guizhou University. Her research interest covers intelligent optimization algorithm and cognitive wireless networkreless network

摘要

摘要: 针对樽海鞘群算法求解精度不高和收敛速度慢等缺点, 提出一种多子群的共生非均匀高斯变异樽海鞘群算法. 根据不同适应度值将樽海鞘链群分为三个子种群, 各个子种群分别进行领导者位置更新、追随者共生策略和链尾者非均匀高斯变异等操作. 使用统计分析、收敛速度分析、Wilcoxon检验、经典基准函数和CEC 2014函数的标准差来评估改进樽海鞘群算法的效率. 结果表明, 改进算法具有更好的寻优精度和收敛速度. 尤其在求解高维和多峰测试函数上, 改进算法拥有更好性能.
- 樽海鞘群算法 /
- 多子群 /
- 共生策略 /
- 非均匀高斯变异 /
- 函数优化
Abstract: In order to solve the problem that the standard salp swarm algorithm has a small convergent rate and low result precision in the evolutionary process, an improved algorithm called multi-subpopulation based symbiosis and non-uniform Gaussian mutation salp swarm algorithm (MSNSSA) is proposed in this paper. According to the different fitness values, the salp chain population is divided into three sub-populations, which perform the operations of leader position update, follower symbiosis strategy and chain tail non-uniform Gaussian mutation, respectively. The efficiency of the MSNSSA is evaluated using statistical analysis, convergence rate analysis, Wilcoxon＇s test, standard deviations on classical benchmark functions and modern CEC 2014 functions. The results show that the MSNSSA has better optimization accuracy and convergence rate. Especially, in solving the high-dimension and multimodal function optimization problem, the improved algorithm has better performance.
- Salp swarm algorithm /
- multi-subpopulation /
- symbiosis strategy /
- non-uniform gaussian mutation /
- function optimization

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图 1 c₁变化曲线

Fig. 1 c₁ change curve

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图 2 基准函数平均收敛曲线

Fig. 2 Function average convergence curves

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表 1 参数m对SSA的影响

Table 1 Influence of parameter m on SSA

m	最佳值	平均值	标准差	平均收敛代数
1.0	2.98 × 10⁻⁸	1.40 × 10⁻³	2.51 × 10⁻³	883
1.5	4.67 × 10⁻⁹	2.68 × 10⁻³	4.34 × 10⁻³	937
2.0	1.20 × 10⁻¹⁴	3.41 × 10⁻³	4.64 × 10⁻³	975
2.5	0	0	0	847
3.0	9.72 × 10⁻³	9.72 × 10⁻³	2.08 × 10⁻¹⁷	719
3.5	9.72 × 10⁻³	9.72 × 10⁻³	1.99 × 10⁻¹⁷	621

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表 2 基准函数

Table 2 Benchmark function

函数	维度	特征	定义域	最佳值
f₁ Sphere	10	US	[−100, 100]	0
f₂ Schwefel 1.2	50	UN	[−100, 100]	0
f₃ Schwefel 2.21	50	US	[−100, 100]	0
f₄ Quartic	100	US	[−1.28, 1.28]	0
f₅ Rosenbrock	100	UN	[−30, 30]	0
f₆ Step	200	US	[−100, 100]	0
f₇ Schaffer	2	MN	[−100, 100]	0
f₈ Foxholes	2	MN	[−65.56, 65.56]	≈1
f₉ Kowalik	4	MN	[−5, 5]	3.075×10⁻⁴
f₁₀ Rastrigin	10	MS	[−5.12, 5.12]	0
f₁₁ Ackley	50	MN	[−32, 32]	0
f₁₂ Griewank	100	MN	[−600, 600]	0
f₁₃ Penalized1	100	MN	[−50, 50]	0
f₁₄ Penalized2	200	MN	[−50, 50]	0

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表 3 参数设置

Table 3 Parameter settings

算法	主要参数
MSNSSA	m = 2.5, R = 1 或 2
SSSA	m = 2.0, R = 1 或 2
NSSA	m = 2.0
BOA	p = 0.8, c = 0.01, a = 0.1
MFO	—
SCA	a = 2
PSO	c₁= c₂= 1.5

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表 4 基准函数结果对比

Table 4 Comparison of benchmark function results

函数	算法	最佳值	平均值	标准差	SR (%)	T (s)
f₁	MSNSSA	1.06 × 10⁻³⁴	5.01 × 10⁻³⁰	1.30 × 10⁻²⁹	100	0.80
	SSSA	1.53 × 10⁻¹⁸	1.18 × 10⁻¹¹	3.54 × 10⁻¹¹	100	0.73
	NSSA	3.46 × 10⁻²⁴	7.94 × 10⁻¹⁵	2.36 × 10⁻¹⁴	100	0.56
	SSA	2.52 × 10⁻¹⁰	6.55 × 10⁻¹⁰	2.35 × 10⁻¹⁰	100	0.28
	BOA	1.04 × 10⁻¹⁴	1.50 × 10⁻¹⁴	1.83 × 10⁻¹⁵	100	0.44
	MFO	1.06 × 10⁻³²	5.64 × 10⁻²⁹	2.35 × 10⁻²⁸	100	0.26
	SCA	7.48 × 10⁻³²	2.18 × 10⁻²⁴	1.02 × 10⁻²³	100	0.23
	PSO	4.39 × 10⁻⁵	2.66 × 10⁻⁴	2.10 × 10⁻⁴	0	0.25
f₂	MSNSSA	3.31 × 10⁻³⁰	2.84 × 10⁻²⁷	2.32 × 10⁻²⁷	100	3.62
	SSSA	4.95 × 10⁻¹⁴	1.75 × 10⁻⁹	3.26 × 10⁻⁹	100	4.79
	NSSA	1.91 × 10⁻²¹	1.00 × 10⁻¹⁰	4.20 × 10⁻¹⁰	100	3.32
	SSA	1.29 × 10³	4.81 × 10³	2.25 × 10³	0	2.98
	BOA	1.59 × 10⁻¹⁴	1.85 × 10⁻¹⁴	1.00 × 10⁻¹⁵	100	5.67
	MFO	2.21 × 10⁴	5.52 × 10⁴	2.49 × 10⁴	0	3.09
	SCA	1.08 × 10⁴	3.41 × 10⁴	1.46 × 10⁴	0	3.05
	PSO	7.10 × 10¹	1.68 × 10²	6.46 × 10¹	0	2.89
f₃	MSNSSA	1.15 × 10⁻¹⁷	2.71 × 10⁻¹⁶	1.65 × 10⁻¹⁶	100	1.03
	SSSA	9.96 × 10⁻⁹	3.87 × 10⁻⁶	5.10 × 10⁻⁶	82	0.99
	NSSA	3.74 × 10⁻¹³	1.55 × 10⁻⁸	3.20 × 10⁻⁸	100	0.78
	SSA	1.11 × 10¹	1.82 × 10¹	3.61 × 10⁰	0	0.47
	BOA	1.04 × 10⁻¹¹	1.21 × 10⁻¹¹	8.36 × 10⁻¹³	100	0.65
	MFO	6.77 × 10¹	8.19 × 10¹	4.86 × 10⁰	0	0.60
	SCA	3.65 × 10¹	5.85 × 10¹	8.18 × 10⁰	0	0.55
	PSO	4.06 × 10⁰	5.90 × 10⁰	1.11 × 10⁰	0	0.40
f₄	MSNSSA	1.66 × 10⁻⁶	1.16 × 10⁻⁵	5.52 × 10⁻⁶	38	1.78
	SSSA	2.58 × 10⁻⁵	1.66 × 10⁻⁴	1.38 × 10⁻⁴	0	2.03
	NSSA	2.09 × 10⁻⁵	2.84 × 10⁻⁴	2.90 × 10⁻⁴	0	1.53
	SSA	8.23 × 10⁻¹	1.36 × 10⁰	3.27 × 10⁻¹	0	1.18
	BOA	1.36 × 10⁻⁴	6.89 × 10⁻⁴	3.33 × 10⁻⁴	0	2.13
	MFO	2.37 × 10¹	1.78 × 10²	1.20 × 10²	0	1.52
	SCA	3.37 × 10⁰	5.93 × 10¹	4.20 × 10¹	0	1.43
	PSO	2.10 × 10⁰	4.48 × 10⁰	2.24 × 10⁰	0	1.01
f₅	MSNSSA	0	3.99 × 10⁻²⁸	3.80 × 10⁻²⁸	100	1.33
	SSSA	9.77 × 10¹	9.78 × 10¹	8.27 × 10⁻²	0	1.30
	NSSA	4.44 × 10⁻²⁷	2.48 × 10⁻¹²	4.33 × 10⁻¹²	100	1.05
	SSA	6.60 × 10²	2.20 × 10³	2.71 × 10³	0	0.68
	BOA	9.89 × 10¹	9.89 × 10¹	2.86 × 10⁻²	0	1.23
	MFO	3.03 × 10⁶	7.18 × 10⁷	5.39 × 10⁷	0	1.02
	SCA	2.19 × 10⁷	6.79 × 10⁷	3.34 × 10⁷	0	0.93
	PSO	6.47 × 10²	1.12 × 10³	3.10 × 10²	0	0.52
f₆	MSNSSA	0	4.56 × 10⁻²⁹	3.92 × 10⁻²⁹	100	1.58
	SSSA	3.39 × 10⁰	4.93 × 10⁰	6.31 × 10⁻¹	0	1.48
	NSSA	2.85 × 10⁻²⁷	2.27 × 10⁻¹³	7.95 × 10⁻¹³	100	1.30
	SSA	2.16 × 10³	3.34 × 10³	6.74 × 10²	0	0.87
	BOA	4.58 × 10¹	4.83 × 10¹	8.80 × 10⁻¹	0	1.06
	MFO	1.27 × 10⁵	1.82 × 10⁵	2.02 × 10⁴	0	1.61
	SCA	5.91 × 10³	2.88 × 10⁴	1.53 × 10⁴	0	1.44

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4 基准函数结果对比 (续表)

4 Comparison of benchmark function results (continued table)

函数	算法	最佳值	平均值	标准差	SR (%)	T (s)
f₆	PSO	4.43 × 10¹	7.07 × 10¹	1.11 × 10¹	0	0.63
f₇	MSNSSA	0	0	0	100	0.82
	SSSA	0	8.61 × 10⁻¹³	1.54 × 10⁻¹²	100	0.80
	NSSA	0	1.60 × 10⁻¹⁴	2.62 × 10⁻¹⁴	100	0.59
	SSA	3.66 × 10⁻¹⁴	5.25 × 10⁻³	4.89 × 10⁻³	46	0.33
	BOA	1.68 × 10⁻¹⁴	1.04 × 10⁻²	4.35 × 10⁻³	2	0.93
	MFO	0	8.16 × 10⁻³	3.60 × 10⁻³	16	0.27
	SCA	0	4.92 × 10⁻⁷	3.48 × 10⁻⁶	98	0.25
	PSO	6.15 × 10⁻⁹	3.30 × 10⁻³	4.65 × 10⁻³	62	0.30
f₈	MSNSSA	9.98 × 10⁻¹	9.98 × 10⁻¹	6.34 × 10⁻¹⁷	100	2.68
	SSSA	9.98 × 10⁻¹	9.98 × 10⁻¹	2.21 × 10⁻¹⁶	100	3.51
	NSSA	9.98 × 10⁻¹	9.98 × 10⁻¹	1.21 × 10⁻¹⁶	100	2.40
	SSA	9.98 × 10⁻¹	1.22 × 10⁰	6.11 × 10⁻¹	86	2.11
	BOA	9.98 × 10⁻¹	1.16 × 10⁰	3.69 × 10⁻¹	26	4.63
	MFO	9.98 × 10⁻¹	2.28 × 10⁰	2.05 × 10⁰	52	2.05
	SCA	9.98 × 10⁻¹	1.51 × 10⁰	8.79 × 10⁻¹	34	2.03
	PSO	9.98 × 10⁻¹	1.38 × 10⁰	8.44 × 10⁻¹	66	2.08
f₉	MSNSSA	3.07 × 10⁻⁴	3.08 × 10⁻⁴	1.47 × 10⁻⁷	8	0.96
	SSSA	3.07 × 10⁻⁴	4.29 × 10⁻⁴	1.56 × 10⁻⁴	0	0.98
	NSSA	3.08 × 10⁻⁴	4.48 × 10⁻⁴	2.29 × 10⁻⁴	0	0.71
	SSA	4.83 × 10⁻⁴	3.22 × 10⁻³	6.40 × 10⁻³	0	0.45
	BOA	3.12 × 10⁻⁴	3.66 × 10⁻⁴	5.91 × 10⁻⁵	0	1.17
	MFO	3.20 × 10⁻⁴	9.25 × 10⁻⁴	3.45 × 10⁻⁴	0	0.39
	SCA	3.27 × 10⁻⁴	8.72 × 10⁻⁴	3.79 × 10⁻⁴	0	0.37
	PSO	3.22 × 10⁻⁴	1.15 × 10⁻³	2.80 × 10⁻³	0	0.41
f₁₀	MSNSSA	0	0	0	100	0.95
	SSSA	0	9.59 × 10⁻¹¹	1.35 × 10⁻¹⁰	100	0.95
	NSSA	0	6.62 × 10⁻¹⁴	1.25 × 10⁻¹³	100	0.71
	SSA	1.99 × 10⁰	5.33 × 10⁰	1.27 × 10⁰	0	0.43
	BOA	0	2.93 × 10¹	1.81 × 10¹	20	1.10
	MFO	5.97 × 10⁰	2.32 × 10¹	1.22 × 10¹	0	0.40
	SCA	0	6.31 × 10⁻¹	3.16 × 10⁰	90	0.38
	PSO	3.01 × 10⁰	1.01 × 10¹	4.25 × 10⁰	0	0.38
f₁₁	MSNSSA	4.44 × 10⁻¹⁵	2.01 × 10⁻¹⁴	1.77 × 10⁻¹⁴	100	1.15
	SSSA	1.14 × 10⁻⁸	1.46 × 10⁻⁶	2.17 × 10⁻⁶	100	1.16
	NSSA	4.44 × 10⁻¹⁵	4.74 × 10⁻⁸	7.31 × 10⁻⁸	100	0.89
	SSA	1.56 × 10⁰	1.97 × 10⁰	1.58 × 10⁻¹	0	0.59
	BOA	1.06 × 10⁻¹¹	1.22 × 10⁻¹¹	5.97 × 10⁻¹³	100	1.25
	MFO	1.09 × 10¹	1.91 × 10¹	1.81 × 10⁰	0	0.72
	SCA	3.55 × 10⁻²	1.70 × 10¹	7.24 × 10⁰	0	0.69
	PSO	4.48 × 10⁰	6.78 × 10⁰	1.03 × 10⁰	0	0.50
f₁₂	MSNSSA	0	0	0	100	1.50
	SSSA	1.19 × 10⁻¹⁴	4.83 × 10⁻¹⁰	1.18 × 10⁻⁹	100	1.57
	NSSA	0	1.93 × 10⁻¹³	4.31 × 10⁻¹³	100	1.22
	SSA	2.11 × 10⁻¹	3.28 × 10⁻¹	3.39 × 10⁻²	0	0.86
	BOA	3.11 × 10⁻¹⁵	1.34 × 10⁻¹⁴	6.68 × 10⁻¹⁵	100	1.51

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4 基准函数结果对比 (续表)

4 Comparison of benchmark function results (continued table)

函数	算法	最佳值	平均值	标准差	SR (%)	T (s)
f₁₂	MFO	3.82 × 10¹	2.80 × 10²	1.19 × 10²	0	1.19
	SCA	9.68 × 10⁰	5.36 × 10¹	4.38 × 10¹	0	1.12
	PSO	8.91 × 10¹	1.17 × 10²	1.36 × 10¹	0	0.79
f₁₃	MSNSSA	4.78 × 10⁻³³	4.97 × 10⁻²⁹	9.06 × 10⁻²⁹	100	4.34
	SSSA	3.01 × 10⁻²	5.40 × 10⁻²	1.13 × 10⁻²	0	5.63
	NSSA	4.83 × 10⁻²⁸	3.29 × 10⁻¹⁶	5.56 × 10⁻¹⁶	100	4.00
	SSA	3.04 × 10¹	4.57 × 10¹	9.46 × 10⁰	0	3.61
	BOA	9.80 × 10⁻¹	1.11 × 10⁰	5.44 × 10⁻²	0	6.74
	MFO	7.21 × 10⁸	1.31 × 10⁹	2.86 × 10⁸	0	4.38
	SCA	3.71 × 10⁸	1.01 × 10⁹	3.02 × 10⁸	0	4.24
	PSO	3.75 × 10⁰	5.75 × 10⁰	1.01 × 10⁰	0	3.30
f₁₄	MSNSSA	1.35 × 10⁻³²	3.61 × 10⁻²⁷	7.51 × 10⁻²⁷	100	2.88
	SSSA	5.36 × 10⁰	9.72 × 10⁰	8.22 × 10⁻¹	0	3.61
	NSSA	2.50 × 10⁻²⁶	1.18 × 10⁻¹⁴	4.32 × 10⁻¹⁴	100	2.56
	SSA	1.34 × 10²	1.76 × 10²	2.38 × 10¹	0	2.22
	BOA	9.98 × 10⁰	9.99 × 10⁰	4.50 × 10⁻³	0	4.21
	MFO	8.43 × 10⁶	2.38 × 10⁸	1.98 × 10⁸	0	2.51
	SCA	8.61 × 10⁷	3.31 × 10⁸	1.46 × 10⁸	0	2.49
	PSO	1.07 × 10²	1.46 × 10²	2.28 × 10¹	0	1.99

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表 5 基准函数Wilcoxon 秩和检验的p值

Table 5 p-value for Wilcoxon＇s rank-sum test on benchmark function

函数	SSSA	NSSA	SSA	BOA	MFO	SCA	PSO
f₁	7.05 × 10⁻¹⁸ +	7.05 × 10⁻¹⁸ +	7.05 × 10⁻¹⁸ +	7.05 × 10⁻¹⁸ +	3.92 × 10⁻⁵ +	1.16 × 10⁻¹³ +	7.05 × 10⁻¹⁸ +
f₂	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +
f₃	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +
f₄	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +
f₅	4.26 × 10⁻¹⁸ +	4.26 × 10⁻¹⁸ +	4.26 × 10⁻¹⁸ +	4.26 × 10⁻¹⁸ +	4.26 × 10⁻¹⁸ +	4.26 × 10⁻¹⁸ +	4.26 × 10⁻¹⁸ +
f₆	6.79 × 10⁻¹⁸ +	6.79 × 10⁻¹⁸ +	6.79 × 10⁻¹⁸ +	6.79 × 10⁻¹⁸ +	6.79 × 10⁻¹⁸ +	6.79 × 10⁻¹⁸ +	6.79 × 10⁻¹⁸ +
f₇	1.26 × 10⁻¹⁹ +	5.96 × 10⁻¹⁸ +	3.23 × 10⁻²⁰ +	3.31 × 10⁻²⁰ +	2.61 × 10⁻¹⁷ +	8.22 × 10⁻² −	3.31 × 10⁻²⁰ +
f₈	3.51 × 10⁻¹⁸ +	4.12 × 10⁻¹⁹ +	1.25 × 10⁻²⁰ +	1.23 × 10⁻¹⁹ +	1.86 × 10⁻⁶ +	1.23 × 10⁻¹⁹ +	1.23 × 10⁻¹⁹ +
f₉	4.28 × 10⁻¹¹ +	9.53 × 10⁻¹⁷ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.06 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +	7.07 × 10⁻¹⁸ +
f₁₀	4.67 × 10⁻¹⁹ +	1.14 × 10⁻¹² +	3.31 × 10⁻²⁰ +	1.69 × 10⁻¹⁸ +	3.30 × 10⁻²⁰ +	1.82 × 10⁻³ +	3.31 × 10⁻²⁰ +
f₁₁	5.90 × 10⁻¹⁸ +	6.96 × 10⁻¹⁷ +	5.90 × 10⁻¹⁸ +	5.90 × 10⁻¹⁸ +	5.90 × 10⁻¹⁸ +	5.90 × 10⁻¹⁸ +	5.90 × 10⁻¹⁸ +
f₁₂	3.31 × 10⁻²⁰ +	1.84 × 10⁻¹⁰ +	3.31 × 10⁻²⁰ +	3.29 × 10⁻²⁰ +	3.31 × 10⁻²⁰ +	3.31 × 10⁻²⁰ +	3.31 × 10⁻²⁰ +
f₁₃	7.04 × 10⁻¹⁸ +	7.48 × 10⁻¹⁸ +	7.04 × 10⁻¹⁸ +	7.04 × 10⁻¹⁸ +	7.04 × 10⁻¹⁸ +	7.04 × 10⁻¹⁸ +	7.04 × 10⁻¹⁸ +
f₁₄	7.05 × 10⁻¹⁸ +	7.05 × 10⁻¹⁸ +	7.05 × 10⁻¹⁸ +	7.05 × 10⁻¹⁸ +	7.05 × 10⁻¹⁸ +	7.05 × 10⁻¹⁸ +	7.05 × 10⁻¹⁸ +
+ / = / −	12 / 0 / 0	12 / 0 / 0	12 / 0 / 0	12 / 0 / 0	12 / 0 / 0	11 / 0 / 1	12 / 0 / 0

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表 6 MAE算法排名

Table 6 MAE algorithm ranking

算法	MAE	排名
MSNSSA	7.12641 × 10⁻²	1
NSSA	7.12655 × 10⁻²	2
SSSA	7.67841 × 10⁰	3
BOA	1.11882 × 10¹	4
PSO	6.98046 × 10¹	5
SSA	3.06178 × 10²	6
SCA	3.42235 × 10⁷	7
MFO	5.23029 × 10⁷	8

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表 7 CEC 2014基准函数

Table 7 CEC 2014 benchmark function

函数	维度	特征	定义域	最佳值
CEC03	30	UN	[−100, 100]	300
CEC05	30	MN	[−100, 100]	500
CEC18	30	HF	[−100, 100]	1800
CEC23	30	CF	[−100, 100]	2300
CEC24	30	CF	[−100, 100]	2400
CEC25	30	CF	[−100, 100]	2500

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表 8 CEC 2014优化结果对比

Table 8 Comparison of optimization results of CEC 2014

函数	指标	MSNSSA	SSA	BOA	MFO	SCA	PSO
CEC03	平均值	3.48173 × 10⁴	7.13409 × 10⁴	7.71258 × 10⁴	1.05168 × 10⁵	5.95030 × 10⁴	4.93113 × 10⁴
CEC03	标准差	3.98187 × 10³	1.97053 × 10⁴	7.95590 × 10³	4.35140 × 10⁴	1.31496 × 10⁴	7.30314 × 10³
CEC05	平均值	5.20018 × 10²	5.20177 × 10²	5.21049 × 10²	5.20275 × 10²	5.21035 × 10²	5.20990 × 10²
CEC05	标准差	6.58164 × 10⁻³	1.35252 × 10⁻¹	6.03943 × 10⁻²	1.73345 × 10⁻¹	4.83807 × 10⁻²	9.88705 × 10⁻²
CEC18	平均值	2.78893 × 10³	1.21041 × 10⁴	4.31418 × 10⁹	2.18893 × 10⁷	3.16304 × 10⁸	5.78922 × 10³
CEC18	标准差	7.12803 × 10²	9.17792 × 10³	2.03175 × 10⁹	8.30950 × 10⁷	1.92087 × 10⁸	3.37197 × 10³
CEC23	平均值	2.50000 × 10³	2.63108 × 10³	2.50000 × 10³	2.67493 × 10³	2.71333 × 10³	2.61612 × 10³
CEC23	标准差	0	7.36331 × 10⁰	0	4.24126 × 10¹	2.39342 × 10¹	1.24951 × 10⁰
CEC24	平均值	2.70000 × 10³	2.71750 × 10³	2.70000 × 10³	2.71882 × 10³	2.73876 × 10³	2.72053 × 10³
CEC24	标准差	0	5.83456 × 10⁰	0	8.00616 × 10⁰	7.90888 × 10⁰	6.35266 × 10⁰
CEC25	平均值	2.60000 × 10³	2.64087 × 10³	2.60000 × 10³	2.68247 × 10³	2.61048 × 10³	2.63564 × 10³
CEC25	标准差	0	7.27821 × 10⁰	0	3.48329 × 10¹	1.81045 × 10¹	1.02263 × 10¹

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表 9 与参考文献中算法均值的对比

Table 9 Comparison of the mean with algorithm in references

算法	f₁	f₂	f₃	f₄	f₅	f₆	f₇
MSNSSA	7.35 × 10⁻³⁶	9.69 × 10⁻³²	1.47×10⁻²¹	3.53 × 10⁻⁶	0	0	0
MFOA-SQP^[18]	0	5.62 × 10⁻¹¹	5.96 × 10⁻⁶	5.71 × 10⁻³	2.88 × 10¹	2.53 × 10⁻⁴	0
CSO^[19]	0	1.79 × 10⁻⁹	1.63 × 10⁻⁵	6.15 × 10⁻⁴	1.65 × 10²	6.06 × 10⁻³	0
HCPSO^[20]	8.71 × 10⁻²⁸	3.39 × 10⁻³	1.38 × 10⁻²	2.57 × 10⁻⁴	3.14×10⁻⁵	5.76 × 10⁻³	3.68 × 10⁻¹⁰
DMS-PSO^[21]	4.29 × 10⁻¹²	4.54 × 10⁻⁶	2.06 × 10¹	1.07 × 10⁻²	2.77 × 10¹	5.68 × 10⁻²	7.31 × 10⁻⁴
PSO-SMS^[11]	3.55 × 10⁻²⁰	9.82 × 10⁻⁸	1.53 × 10⁻⁵	2.09 × 10⁻²	2.59 × 10¹	3.54 × 10⁻⁴	7.19 × 10⁻³
CASSA^[22]	9.35 × 10⁻¹⁴⁷	2.84×10⁻⁵²	8.66 × 10⁻⁶	1.88 × 10⁻⁵	2.77 × 10¹	9.81 × 10⁻²	0
CESSA^[23]	2.50 × 10⁻²³	4.22 × 10⁻³	1.73 × 10⁻¹⁵	5.90 × 10⁻⁵	2.86 × 10¹	7.51 × 10⁻²	0
EHO^[5]	9.63 × 10⁻⁷	4.71 × 10⁻⁴	6.93 × 10⁻¹	1.25 × 10⁻⁵	2.85 × 10¹	6.55 × 10⁰	6.30 × 10⁻⁵
EWA^[6]	7.25 × 10¹	2.15 × 10⁰	2.48 × 10⁻⁵	1.10 × 10⁻¹	5.14 × 10³	2.74 × 10³	9.93 × 10⁻³
MBO^[7]	8.53 × 10⁻³	4.17 × 10⁻⁴	2.66 × 10⁻¹	4.46 × 10⁻¹	2.05 × 10⁻⁷	1.42 × 10⁰	1.52 × 10⁻²
MABC^[24]	6.02 × 10⁻⁴	6.53 × 10⁻⁶	9.55 × 10⁰	1.07 × 10⁻²	2.25 × 10⁻⁸	5.98 × 10⁰	2.91 × 10⁻¹
MIWO^[25]	3.17 × 10⁻⁵	5.41 × 10⁻¹⁰	9.34 × 10⁻¹³	8.41 × 10⁻³	5.28 × 10⁻¹	7.68 × 10⁻²	4.50 × 10⁻¹
MPEA^[26]	2.70 × 10⁻¹¹	1.52 × 10⁻²⁰	1.04 × 10⁻²	2.35 × 10⁻¹	6.74 × 10⁻¹²	3.26 × 10⁻⁵	8.74 × 10⁻³

算法	f₈	f₉	f₁₀	f₁₁	f₁₂	f₁₃	f₁₄
MSNSSA	9.98 × 10⁻¹	3.08 × 10⁻⁴	0	8.88 × 10⁻¹⁶	0	1.39 × 10⁻³⁴	3.27 × 10⁻³⁰
MFOA-SQP^[18]	9.98 × 10⁻¹	1.06 × 10⁻³	0	3.55 × 10⁻¹⁵	0	3.71 × 10⁻⁶	7.53 × 10⁻¹⁰
CSO^[19]	9.98 × 10⁻¹	6.03 × 10⁻⁴	1.12 × 10⁻⁷	1.24 × 10⁻¹²	0	1.64 × 10⁻⁷	2.24 × 10⁻¹
HCPSO^[20]	9.98 × 10⁻¹	1.40 × 10⁻²	2.49 × 10⁻⁵	2.26 × 10⁻⁴	8.67 × 10⁻⁵	2.69 × 10⁻¹³	4.18 × 10⁻³
DMS-PSO^[21]	2.13 × 10⁰	5.68 × 10⁻¹	3.88 × 10¹	1.88 × 10⁰	2.24 × 10⁻²	2.87 × 10⁻³	6.88 × 10⁻¹
PSO-SMS^[11]	9.98 × 10⁻¹	2.09 × 10⁻²	1.53 × 10¹	2.99 × 10⁰	7.23 × 10⁻²	1.12 × 10⁻⁵	1.76 × 10⁻⁸
CASSA^[22]	9.98 × 10⁻¹	4.81 × 10⁻³	0	8.88 × 10⁻¹⁶	0	2.33 × 10⁻²⁰	1.68 × 10⁻²
CESSA^[23]	9.98 × 10⁻¹	2.59 × 10⁻³	1.48 × 10¹	1.06 × 10⁻²	2.88 × 10⁻¹	5.68 × 10⁻¹⁸	2.62 × 10¹
EHO^[5]	1.67 × 10⁰	1.27 × 10⁻¹	1.21 × 10⁻⁶	2.39 × 10⁻⁴	1.89 × 10⁻⁶	1.35 × 10⁻¹	6.86 × 10¹
EWA^[6]	1.50 × 10⁰	1.76 × 10⁻³	3.10 × 10¹	3.05 × 10⁰	1.53 × 10⁰	5.77×10⁻¹	1.35 × 10⁻³
MBO^[7]	9.98 × 10⁻¹	1.78 × 10⁻¹	5.86 × 10⁻¹	1.13 × 10⁻¹	8.05 × 10⁻¹	7.20 × 10⁻¹⁵	7.12 × 10⁻¹
MABC^[24]	1.41 × 10⁰	4.32 × 10⁻⁴	4.15 × 10⁻²	2.05 × 10⁻¹	5.63 × 10⁻²	8.05 × 10⁻⁹	1.18 × 10⁻²
MIWO^[25]	1.89 × 10⁰	1.01 × 10⁻²	4.62 × 10⁻¹	1.86 × 10⁻¹	3.29 × 10⁻²	1.98 × 10⁻¹	1.35 × 10⁻³
MPEA^[26]	9.98 × 10⁻¹	1.46 × 10⁻³	6.38 × 10⁻⁶	2.84 × 10⁻¹	4.38 × 10⁻⁷	2.01×10⁻⁶	2.27 × 10⁻⁵

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表 10 与参考文献中算法标准差的对比

Table 10 Comparison of the standard deviation with algorithms in reference

算法	f₁	f₂	f₃	f₄	f₅	f₆	f₇
MSNSSA	1.04 × 10⁻³⁵	4.52 × 10⁻³²	4.75×10⁻²¹	1.75 × 10⁻⁶	0	0	0
MFOA-SQP^[18]	0	2.20 × 10⁻¹¹	2.03 × 10⁻⁶	4.12 × 10⁻³	5.10 × 10⁻²	2.17 × 10⁻⁴	0
CSO^[19]	0	1.04 × 10⁻⁹	4.73 × 10⁻⁶	3.12 × 10⁻²	7.39 × 10²	4.75 × 10⁻³	0
HCPSO^[20]	3.55 × 10⁻²⁸	2.04 × 10⁻³	5.80 × 10⁻³	1.88 × 10⁻⁵	1.07 × 10⁻⁴	3.48 × 10⁻³	5.97 × 10⁻¹⁰
DMS-PSO^[21]	3.00 × 10⁻¹¹	2.23 × 10⁻⁵	7.48 × 10⁰	1.03 × 10⁻³	2.69 × 10⁰	4.87 × 10⁻²	3.81 × 10⁻¹
PSO-SMS^[11]	4.61 × 10⁻²⁰	1.47 × 10⁻⁷	4.65 × 10⁻⁶	2.50 × 10⁻³	2.19 × 10⁰	2.21 × 10⁻⁴	1.57 × 10⁻⁴
CASSA^[22]	2.32 × 10⁻¹⁴⁷	2.27×10⁻⁵⁰	4.15 × 10⁻⁶	1.21 × 10⁻⁵	1.16 × 10⁻¹	4.08 × 10⁻²	0
CESSA^[23]	1.84 × 10⁻²³	1.51 × 10⁻²	1.25 × 10⁻¹³	5.08 × 10⁻⁵	4.89 × 10⁻²	3.11 × 10⁻²	0
EHO^[5]	1.26 × 10⁻⁷	8.23 × 10⁻⁴	8.44 × 10⁻¹	1.26 × 10⁻⁵	1.83 × 10⁻²	7.56 × 10⁰	6.21 × 10⁻⁵
EWA^[6]	7.43 × 10¹	1.54 × 10⁰	7.37 × 10⁻⁶	8.73 × 10⁻²	8.93 × 10³	2.58 × 10⁻³	1.93 × 10⁻⁴
MBO^[7]	1.28 × 10⁻⁴	1.83 × 10⁻⁴	3.00 × 10⁰	3.89 × 10⁻¹	3.54 × 10⁻⁷	3.65 × 10⁻¹	1.10 × 10⁻²
MABC^[24]	7.23 × 10⁻³	3.63 × 10⁻³	1.18 × 10⁰	1.77 × 10⁻¹	3.87 × 10⁻⁷	1.21 × 10⁻¹	1.55 × 10⁻¹
MIWO^[25]	4.32 × 10⁻⁶	1.28 × 10⁻⁵	2.21 × 10⁻¹²	2.63 × 10⁻³	7.54 × 10⁻¹	1.82 × 10⁻²	2.09 × 10⁻²
MPEA^[26]	5.74 × 10⁻¹⁰	4.13 × 10⁻¹⁸	1.80 × 10⁻¹	5.22 × 10⁻²	3.19 × 10⁻¹⁰	2.63⁻⁶	3.56 × 10⁻¹

算法	f₈	f₉	f₁₀	f₁₁	f₁₂	f₁₃	f₁₄
MSNSSA	2.95 × 10⁻²³	3.56 × 10⁻⁸	0	0	0	3.56 × 10⁻³⁴	7.31 × 10⁻³⁰
MFOA-SQP^[18]	1.13 × 10⁻¹	4.47 × 10⁻⁴	0	1.32 × 10⁻¹²	0	1.76 × 10⁻⁶	5.56 × 10⁻¹⁰
CSO^[19]	8.01 × 10⁰	9.92 × 10⁻⁴	3.16 × 10⁻⁵	1.01 × 10⁻¹¹	0	4.74 × 10⁻⁷	1.17 × 10⁻¹
HCPSO^[20]	2.96 × 10⁰	6.22 × 10⁻²	1.05 × 10⁻⁵	2.52 × 10⁻⁴	2.79 × 10⁻⁶	5.95 × 10⁻¹¹	1.84 × 10⁻⁵
DMS-PSO^[21]	5.94 × 10⁻¹	8.04 × 10⁻¹	2.80 × 10⁰	2.46 × 10⁻¹	1.77 × 10⁻²	7.54 × 10⁻¹	5.02 × 10⁻¹
PSO-SMS^[11]	2.77 × 10⁻¹	5.76 × 10⁻³	1.29 × 10⁰	3.87 × 10⁻¹	6.36 × 10⁻²	3.35 × 10⁻⁶	9.20 × 10⁻⁹
CASSA^[22]	2.82 × 10⁻¹	2.56 × 10⁻⁵	0	9.86 × 10⁻³²	0	8.12 × 10⁻¹⁸	1.35 × 10⁻²
CESSA^[23]	9.19×10¹	8.90 × 10⁻¹	2.15 × 10¹	5.31 × 10⁻²	3.41 × 10⁻¹	1.08 × 10⁻¹⁸	6.14 × 10⁰
EHO^[5]	8.37 × 10⁻¹	1.62 × 10⁰	2.30 × 10⁻⁷	1.37 × 10⁻⁵	3.17 × 10⁻⁷	2.20 × 10⁰	3.37 × 10¹
EWA^[6]	2.28 × 10⁻¹	4.22 × 10⁻²	1.87 × 10¹	1.24 × 10⁰	4.99 × 10⁻¹	3.22 × 10⁻¹	2.04 × 10⁻³
MBO^[7]	3.95 × 10⁰	4.65 × 10⁰	4.17 × 10⁻¹	7.19 × 10⁰	8.32 × 10⁻¹	1.27 × 10⁻¹²	2.27 × 10⁻¹
MABC^[24]	6.58 × 10⁰	8.28 × 10⁻¹	2.41 × 10⁻¹	1.65 × 10⁻¹	5.66 × 10⁻¹	6.77 × 10⁻¹	1.67 × 10⁻¹
MIWO^[25]	1.92 × 10¹	2.07 × 10⁻²	1.30 × 10⁻¹	2.68 × 10⁰	5.31 × 10⁻¹	2.30 × 10⁻¹	1.42 × 10⁻²
MPEA^[26]	5.37 × 10⁻¹	7.43 × 10⁻³	5.35 × 10⁻⁶	3.91 × 10⁻¹	7.48 × 10⁻³	5.94 × 10⁻⁸	6.36 × 10⁻⁴

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