Operational Feedback Control of Industrial Processes in a Wireless Network Environment
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摘要: 针对一类工业过程运行控制中采用无线网络传输运行指标反馈值时存在的噪声和丢包问题，建立了输入为过程控制的输入输出、输出为运行指标的随机过程模型；提出了由不同采样速率的过程控制与过程控制设定值反馈控制组成的运行反馈控制方法；采用Lyapunov函数和不同采样频率的提升技术设计了过程PI控制器参数和过程控制设定值反馈控制器参数，保证了双闭环控制系统的随机稳定性；同时实现了运行指标实际值与目标值稳态误差的均值为零；通过浮选过程运行反馈控制仿真实验验证了本文所提方法的有效性.Abstract: This paper studies operational control design for a class of industrial processes in which the operational index is transmitted back via wireless networks, whose noise and packet dropout may negatively affect the operational control performance. Firstly, a stochastic process model of operational index is established with the input and output of process control as its input and the operational index as its output. Secondly, a dual-layer model combining process control and set-point feedback control is presented with different sampling rates. Thirdly, a Lyapunov function and a lifting method between multirate systems are adopted to design a process PI controller and a set-point feedback controller to guarantee the stochastic stability of the dual closed-loop control system and that the mean value of steady-state error between the realistic and target operational index is zero. Finally, a simulation experiment on the operational feedback control in an industrial flotation process is conducted to demonstrate the effectiveness of the proposed method.
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Key words:
- Operational index /
- wireless networks /
- noise /
- packet dropout /
- flotation processes
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工业过程运行优化与控制[1-5]由过程控制设定值优化和过程控制两层结构组成.过程控制设定值优化通过优化反映产品加工过程中质量、效率与消耗等运行指标产生过程控制设定值;过程控制使被控输出跟踪设定值.
实时优化(Real time optimization,RTO)[6-7]以运行效益为运行指标,采用运行层的非线性静态模型开环优化运行指标,确定过程控制设定值,通过过程控制使被控输出跟踪设定值,从而尽可能使过程运行在经济优化状态. 对于复杂工业过程,如电镕镁炉、磨机和浮选机等,由于其生产边界条件变化频繁,如原材料成分波动、原矿品位低等,生产过程处于动态运行,难以采用RTO等基于稳态模型的运行优化,虽然可以采用智能运行反馈控制[8],然而上述两种方法均没有考虑过程控制跟踪设定值的动态误差对运行优化与控制的影响.
现有的工业过程运行优化控制中,过程控制输入与输出信息传输采用设备网,设定值控制的信息传输采用工业以太网.已有运行优化控制方法中鲜有考虑不同网络环境下数据通信对运行控制的影响[9].文献[10]首次探讨了双网环境下以太网通信可能出现的丢包现象对过程控制设定值闭环优化控制的影响,并相应提出了设定值模型预测控制方法;文献[11-12]进一步将该方法扩展为基于输出反馈的运行控制方法;文献[13]首次探讨了双网环境下以太网通信可能出现的随机时滞现象,对过程控制设定值闭环优化控制的影响.然而,该类方法只适用于通过以太网传输运行指标的运行优化控制.
由于运行指标是表征产品在加工中的质量指标、效率指标和能耗与物耗等相关的指标,现有的工业过程控制系统没有考虑运行指标闭环控制,运行指标的检测往往远离控制系统,加上工业生产中设备通常处于运动状态(如回转窑、球磨机)或者工作在恶劣环境(封闭、高温、高压、烟雾)下,难以采用有线网络传输运行指标. 因此,在该类工业生产过程中,仍普遍采用人工设定开环控制,当工况变化频繁时,不能及时准确地调整设定值,致使这类设备长期运行在非经济优化状态,甚至造成故障工况. 与此同时,随着物联网[14-15]等新兴技术的出现,可以采用工业无线网络将运行指标反馈至控制系统,从而对无法或不易部署有线网络的工业过程实现运行反馈控制.
当然,物联网在实现工业过程信息物理系统(Cyber physical systems,CPS)的同时,易受丢包、尤其是噪声的干扰,从而引起系统控制性能下降,甚至不稳定. 以往仅用于实现工业过程在线监测与开环控制[16].但采用闭环反馈控制运行指标,就必须考虑无线网络可能出现的噪声、丢包的影响.
因此,本文针对运行指标无线传输时噪声和丢包共同存在的一类工业过程,采用Lyapunov函数设计了过程PI控制器和设定值反馈控制器,并以浮选过程为对象进行了仿真实验.
1. 问题描述
无线网环境下工业过程运行指标反馈控制结构如图 1所示,工业过程由被控对象与运行过程组成.过程控制设定值反馈控制器根据经无线传输处理的运行指标 ${r_f}(T)$ 与运行指标目标值 ${r^*}(T)$ 的误差产生过程控制设定值 $y_{}^*(T)$ ,过程PI控制根据输出 $y(k)$ 与设定值 $y_{}^*(T)$ 的误差产生输入 $u(k)$ 作用于被控对象,使其输出 $y(k)$ 跟踪设定值 $y_{}^*(T)$ .
图 1 无线网络环境下工业过程运行反馈控制结构Fig. 1 The structure of industrial process operational feedback control under wireless network environment在实际工业过程中,设定值反馈控制是慢过程,过程控制是快过程;设过程控制采样周期为 $1$ ,设定值反馈控制采样周期为 $n$ , $n \in {\bf Z}^+$ . $r(T)$ 经无线传输后,由于噪声和丢包的影响,经无线网传输处理产生 ${r_f}(T)$ , ${r_f}(T)$ 可能与 $r(T)$ 不同,这将对整个控制系统的性能产生影响.
1.1 运行控制过程模型
1.1.1 过程控制对象模型
工业装置运行在工作点附近,在工作点过程控制对象的输入输出模型线性化后,由状态空间模型描述
\begin{align}&x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)\\&y(k) = Cx(k) \label{eq1}\end{align}
(1) 其中, $x\left( k \right)$ 是被控对象状态,为 ${n_x} \times1$ 维, $u\left( k \right)$ 是被控输入,为 ${n_u} \times 1$ 维, $y\left( k \right)$ 是被控输出,为 ${n_y} \times 1$ 维. $A$ 、 $B$ 和 $C$ 分别为 ${n_x} \times {n_x}$ 、 ${n_x} \times{n_u}$ 和 ${n_y} \times {n_x}$ 维.
1.1.2 无线网环境下运行指标模型
某些工业过程的运行指标通常与过程控制的输入、输出相关,其模型如下:
\begin{align}\label{eq2}r(k) = My(k) + Nu(k)\end{align}
(2) 其中, $r(k)$ 维数为 ${n_r} \times 1$ , $M$ 为过程控制输出的系数矩阵,为 ${n_r} \times {n_y}$ 维, $N$ 为过程控制输入的系数矩阵,为 ${n_r}\times {n_u}$ 维.运行指标仅在设定值反馈控制的采样时刻 $T$ 进行检测传输.
本文考虑无线网噪声和丢包对运行指标传输的影响,运行指标经无线网传输后处理模型描述如下:
\begin{align}\label{eq3}{r_f}(T) =&\ \delta (T)(1 + \rho (T)){r_{}}(T) ~+ \\&\ (1 - \delta (T)){r_f}(T - 1) \end{align}
(3) 其中, $\delta (T)$ 的值与丢包概率相关,服从0-1分布,设丢包的概率为 $\bar \delta$ ( $0 ＜ \bar \delta ＜ 1$ ),那么下式成立:
\begin{align}\label{eq4} \begin{cases}P\{ \delta (T) = 1\} = {\rm E}\{ \delta (T)\} = \bar \delta\\P\{ \delta (T) = 0\} = 1 - \bar \delta\end{cases}\end{align}
(2) 冲击噪声是引发无线网络传输差错的主要因素[17].本文假设网络噪声与真实信号比值为服从均匀分布 $\rho (T) \sim {\rm U}(- {\rho _m},{\rho _m})$ ,其中 $0 ＜ {\rho _m} ＜ 1$ ,则
\begin{equation}\begin{aligned}{\rm E}\{ \rho (T)\} = 0,\ \ {\rm E}\{ {\rho ^2}(T)\} = \frac{\rho_m^2}{3} = \theta\end{aligned}\label{eq5}\end{equation}
(5) 由模型(3) $\sim$ (5) 可知,本文采用无线网传输处理方式为运行指标成功传输( $\delta (T) = 1$ )时,反馈值为包含噪声的真实运行指标 ${r_f}(T) = (1 +\rho (T))$ $\times$ ${r_{}}(T)$ ; 传输发生丢包( $\delta (T) = 0$ )时,则反馈上一设定值反馈控制采样时刻运行指标反馈值 ${r_f}(T)=$ ${r_f}(T-1) $ .
1.2 不同采样速率转换模型
1.2.1 下采样器模型
运行指标 $r(k)$ 的采样周期为过程PI控制采样周期的 $n$ 倍,需要使用下采样器进行数据传输. 下采样器参数为 $n$ ,设快信号为
$\overbrace { \cdots r(k - 1) ,r(k),r(k + 1) ,\cdots }^{n\times m}$
则经过下采样的慢信号为
$\overbrace { \cdots \mathop {r(T- 1) }\limits_{ =r(nk - n)} ,\mathop {r(T)}\limits_{ =r(nk)},\mathop {r(T + 1) }\limits_{ =r(nk + n)} ,\cdots }^m$
信号频率下降 $n$ 倍.
1.2.3 零阶保持器(ZOH)模型
由于设定值反馈控制给出的设定值信号 ${y^*}(T)$ 是慢信号,而过程控制的设定值信号 ${y^*}(k)$ 是快信号,需要使用零阶保持器,对应下采样器的参数 $n$ ,可得
\begin{align}\label{eq6}{y^*}(T) =&\ {y^*}(nk) = {y^*}(nk + 1) = \cdots =\\&\ {y^*}(nk + n - 1) \end{align}
(6) 1.3 控制目标
本文的控制问题为对于模型(1) $\sim$ (6) ,设计由过程PI控制和过程控制设定值反馈控制组成的无线网络环境下工业过程运行反馈控制器,使运行指标实际值 $r(T)$ 与目标值 ${r^*}$ 的稳态误差均值为零,即
\begin{align}\label{eq7}\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {r(T) - {r^*}}\right\} = 0\end{align}
(7) 2. 运行反馈控制器设计
2.1 无线网运行控制策略
针对上节描述的含有网络噪声和丢包的无线网络环境下运行指标反馈控制问题,本文采用过程PI控制器和设定值反馈控制器组成的两层控制结构.设定值反馈控制器在 $T$ 时刻,产生设定值 $y^*(T)$ 经零阶保持器产生 $nk$ 时刻设定值 ${y^*}(nk)$ .过程PI控制器使被控对象输出 $y(k)$ 跟踪设定值 ${y^*}(k)$ .获得过程PI控制闭环系统方程后,根据闭环系统的输入输出关系和无线网络生成的噪声和丢包影响下的运行指标 ${r_f}(T)$ 模型(3)设计设定值反馈控制器.具体控制策略如图 2所示.
图 2 无线网络环境下工业过程运行指标闭环反馈控制策略Fig. 2 The feedback control strategy of industrial process operational index under wireless network environment采用Lyapunov方法,分别设计设定值反馈控制器和过程PI控制器参数,以保证由采样速率不同的控制器组成的双闭环运行反馈控制系统的随机稳定,以及运行指标实际值与目标值稳态误差的均值为零.
2.2 运行反馈控制策略的实现
2.2.1 过程PI控制器设计
过程控制器的作用需要满足在每个设定值反馈控制采样周期内,被控对象的输出能够及时快速地稳定跟踪这一采样时刻设定值反馈控制器给出的设定值.根据计算机控制原理,分母中仅有 $(z-1) $ 的系统称之为一型系统,即有积分环节的系统,其可以当闭环系统稳定时跟踪阶跃响应信号无稳态误差,所以设计过程PI控制器结构如图 3所示.
控制器方程为
$u(k) = {K_p}e(k) + {K_i}E(k)$
(8) 其中, ${K_p}$ 与 ${K_i}$ 分别是PI控制器的比例系数和积分系数,维数均为 ${n_u} \times {n_y}$ ; 取 $K = [{{array}{*{20}{c}}{{K_p}}&{{K_i}}{array}}]$ ,为本节所求项,其维数为 ${n_u} \times2{n_y}$ ; $e(k) = y_{}^*(k) -y(k)$ 表示在每个采样时刻输出 $y(k)$ 与设定值 $y_{}^*(k)$ 的误差,其中 $y_{}^*(k)$ 由设定值反馈控制器产生. $e(k)$ 维数为 ${n_y} \times 1$ ,并且有 $E(k) = \sum_{i = 0}^{k - 1} {e(i)} $ .
为了设计 $K$ ,引入增广向量 $\eta (k) = (x_{}^{\rm T}(k)$ , $E_{}^{\rm T}(k))^{\rm T}$ ,维数为 $({n_x} + {n_y}) \times 1 = {n_\eta } \times1$ ,则有PI控制的闭环系统方程:
\begin{align}\label{eq9}&\eta (k + 1) = {A_h}\eta (k) + {B_h}y_{}^*(k)\\&y(k) = {C_h}\eta (k)\end{align}
(9) 其中, ${A_h} = \bar A + \bar BK\bar C$ ,维数为 ${n_\eta } \times{n_\eta }$ ; $\bar A = \left[{{array}{*{20}{c}} A&0\\{ -{C_{}}}&I{array}} \right]$ ,维数为 ${n_\eta } \times {n_\eta }$ ; $\bar B = \left[{{array}{*{20}{c}} B\\0{array}} \right]$ ,维数为 ${n_\eta } \times {n_u}$ ; $\bar C = \left[{{array}{*{20}{c}} { - C}&0\\0&I{array}} \right]$ ,维数为 $2{n_y} \times {n_\eta }$ ; ${B_h}$ $=$ $\left[{{array}{*{20}{c}} {B{K_p}}\\I{array}} \right]$ ,维数为 ${n_\eta } \times {n_y}$ ; ${C_h} = \left[{{array}{*{20}{c}} C&0{array}} \right]$ ,维数为 ${n_y}\times {n_\eta }$ .
选取Lyapunov函数 $V(k) = \eta _{}^{\rm T}(k)P{\eta _{}}(k)$ ,其中 $P$ 为对称正定矩阵( $P > 0$ 且 ${P^{\rm T}} = P$ ),维数为 ${n_\eta }$ $\times$ ${n_\eta }$ . 根据Lyapunov第二方法,如有式(10) 成立,则有系统(9) 渐近稳定.
\begin{align}\label{eq10}\Delta V(k) = V(k + 1) - V(k) ＜ - \alpha V(k)\end{align}
(10) 其中, $\alpha \ge 0$ . 衰减率取值越大,则由此得到的控制器参数使系统响应越快,超调也会变大.式(10) 等价于 $A^{\rm T}_hP{A_h} - P ＜ - \alpha P$ ,即
\begin{align}\label{eq11}{(\bar A + \bar BK\bar C)^{\rm T}}P(\bar A + \bar BK\bar C) - (1 -\alpha )P ＜ 0\end{align}
(11) 根据Schur补定理,有
\begin{align}\label{eq12}\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{ - P}&{P(\bar A + \bar BK\bar C)}\\{{{(\bar A + \bar BK\bar C)}^{\rm T}}P}&{ - (1 - \alpha )P}\end{array}} \right] ＜ 0\end{align}
(12) 因为 $P\bar BK\bar C$ 项存在,式(12) 不是线性矩阵不等式形式,需将其转化为线性矩阵不等式才可以求解[18]. 做变量替换 $P\bar B = \bar BW$ 及 $X = WK$ ,维数为 ${n_u} \times {n_u}$ , $X$ 维数为 ${n_u}\times 2{n_y}$ ,其中 $W$ 非奇异,则有
\begin{align}\label{eq13}\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{ - P}&{P\bar A + \bar BX\bar C}\\{{{(P\bar A + \bar BX\bar C)}^{\rm T}}}&{ - (1 - \alpha )P}\end{array}} \right] ＜ 0\end{align}
(13) 可以通过 Matlab工具包 YALMIP求解式(13) 得 $P$ 和 $X$ ,则过程跟踪控制器的增益 $K =$ $[{{array}{*{20}{c}}{{K_p}}&{{K_i}}{array}}]$ $=$ ${W^{ - 1}}X$ ,使闭环系统(9) 渐近稳定.
注1. 对于 $y^*(k)=0$ 的系统,根据Lyapunov定理,系统在以上控制器参数条件下是渐近稳定的,当 $y^*(k)$ 恒定时,系统的平衡点变为 $(I$ - $A_f)^{-1}B_fy^*(k)$ ,并且闭环系统可以到达该平衡点. 且存在积分部分,系统可以跟踪给定的设定值.
2.2.2 设定值反馈控制器设计
设定值反馈控制的被控对象的动态方程可采用提升技术获得.首先将过程PI控制闭环方程(9) 结合式(6) 得到
\begin{align*}&\eta (T + 1) =\eta (n(k + 1) ) = \eta (nk + n)=\\ &\qquad {A_h}\eta (nk + n - 1) + {B_h}{y^*}(nk + n - 1) =\\ &\qquad {A_h}\eta (nk + n - 1) + {B_h}{y^*}(T)=\\ &\qquad A_h^2\eta (nk + n - 2) + {A_h}{B_h}{y^*}(T) ~+ \\ &\qquad {B_h}{y^*}(T)=\cdots =\\ &\qquad A_h^n\eta (nk) + \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {A_h^i{B_h}{y^*}(T)} =\\ &\qquad A_h^n\eta (T) + \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {A_h^i{B_h}{y^*}(T)}\end{align*}
可简写为
\begin{align}\label{eq14}\eta (T + 1) = {A_o}\eta (T) + {B_o}y_{}^*(T)\end{align}
(14) 其中, ${A_o} = A_h^n$ , ${B_o} = \sum_{i = 0}^{n - 1} {A_h^i{B_h}} $ ,维数分别为 ${n_\eta }$ $\times$ ${n_\eta }$ 和 ${n_\eta } \times{n_y}$ .
结合式(2) 与式(14) ,得运行指标 $r(T)$ 与设定值 ${y^*}(T)$ 的动态模型:
\begin{align}\label{eq15}r(T) =&\ My(T) + Nu(T)=\\ &\ \left(M[\begin{array}{*{20}{c}}C&0\end{array}] + NK\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{ - C}&0\\0&I\end{array}} \right]\right)\eta (T)~+ \\ &\ NK\left[{\begin{array}{*{20}{c}}I\\0\end{array}} \right]y_{}^*(T)={C_o}\eta (T) + {D_o}y_{}^*(T)\end{align}
(15) 其中, ${C_o} = M{C_h} + NK\bar C$ , ${D_o} =NK{[{array}{*{20}{c}}I&0{array}]^{\rm T}}$ ,维数分别为 ${n_r} \times {n_\eta }$ 和 ${n_r} \times {n_y }$ .
由图 2知, ${e_f}(T)$ 为无线网环境下运行指标反馈值与目标值的误差,设定值控制器在每一次设定层采样时刻计算设定值补偿量 $\Delta y_{}^*(T)= F{e_f}(T)$ ,其中 $F$ 为待设计反馈控制律,从而过程控制设定值
\begin{align}\label{eq16}& y_{}^*(T + 1) = y_{}^*(T) + \Delta y_{}^*(T) =\\ &\qquad y_{}^*(T) + F{e_f}(T)=\\ &\qquad y_{}^*(T) + F({r^*} - {r_f}(T))\end{align}
(16) 本文采用Lyapunov函数方法设计 $F$ ,从而实现整体闭环系统随机稳定与期望跟踪. 因而,联合式(14) $\sim$ (16) ,构造如下系统模型
\begin{align}\label{eq17}\chi (T + 1) = \tilde A\chi (T) + \tilde B{r^*}\end{align}
(17) 其中, $\chi (T) = {[\eta _{}^{\rm T}(T),y^{\rm *T}(T),{r_f}(T -1)]^{\rm T}}$ 为状态向量,维数为 $({n_\eta } + {n_y} + {n_r}) \times 1=$ $({n_x}$ $+$ $2{n_y}$ $+$ ${n_r}) \times 1 = {n_\chi } \times 1$ , $\tilde A =\left[{{smallmatrix}{{A_o}}&{{B_o}}&0\\{ - \delta(T)(1 + \rho (T))F{C_o}}&{I - \delta (T)(1 + \rho(T))F{D_o}}&{(\delta (T) - 1) F}\\{\delta (T)(1 + \rho(T)){C_o}}&{\delta (T)(1 + \rho (T)){D_o}}&{1 - \delta(T)}{smallmatrix}} \right]$ ,维数为 ${n_\chi } \times {n_\chi }$ , $\tilde B = \left[{{array}{*{20}{c}}0\\F\\0{array}}\right]$ ,维数为 ${n_\chi } \times {n_r}$ .
由于系统(17) 为随机系统,其稳定性定义[19]如下:
对于式(17) 的系统状态 $\chi (T)$ ,如果存在正实数 $\varepsilon$ 使得如下不等式成立,则系统(17) 为均方意义下随机稳定.
\begin{align}\label{eq18}{\rm E}\left\{ {\sum\limits_{T = 0}^\infty {{{\left\| {\chi (T)}\right\|}_2}} } \right\} ＜ \varepsilon\end{align}
(18) 其中, $\Vert{\chi (T)}\Vert_2$ 为 $\chi (T)$ 的2--范数.
选取Lyapunov函数 $\bar V(T) = \chi _{}^{\rm T}(T)\bar P\chi (T)$ ,其中, $\bar P$ 为对称正定矩阵,即 $\bar P =\left[{{array}{*{20}{c}} {{{\bar P}_1}}&{{{\bar P}_2}}&{{{\bar P}_3}}\\{\bar P_2^{\rm T}}&{{{\bar P}_4}}&{{{\bar P}_5}}\\{\bar P_3^{\rm T}}&{\bar P_5^{\rm T}}&{{{\bar P}_6}}{array}} \right]$ $>$ $0$ , ${\bar P_1}$ , ${\bar P_2}$ , ${\bar P_3}$ , ${\bar P_4}$ , ${\bar P_5}$ , ${\bar P_6}$ 的维数分别为 ${n_\eta } \times {n_\eta }$ , ${n_\eta } \times {n_y}$ , ${n_\eta } \times {n_r}$ , ${n_y} \times{n_y}$ , ${n_y} \times {n_r}$ , ${n_r} \times {n_r}$ ,则有
\begin{align}\label{eq19}& {\rm E}\{ \Delta \bar V(T)\} = {\rm E}\{ \bar V(T + 1) - \bar V(T)\} =\\ &\qquad {\rm E}\{ {[\tilde A\chi (T)]^{\rm T}}\bar P[\tilde A\chi (T)]~- \\ &\qquad \chi _{}^{\rm T}(T)\bar P\chi (T)\} =\\ &\qquad \chi _{}^{\rm T}(T)[\bar \Phi - \bar P]\chi (T)\end{align}
(19) 其中, $\bar \Phi = {\rm E}\{ {\tilde A^{\rm T}}\bar P\tilde A\} $ .定义衰减率 $\gamma \ge 0$ ,假设存在 $\bar P$ 和 $F$ 使不等式 ${\rm E}\{\Delta \bar V(T)\} ＜ - \gamma {\rm E}\left\{ {\bar V(T)}\right\}$ 成立,将其从 $T = 0 $ 到 $T = \infty $ 叠加,可得
\begin{align}\label{eq20}&\chi _{}^{\rm T}(\infty )\bar P{\chi _{}}(\infty ) - \chi _{}^{\rm T}(0) \bar P{\chi _{}}(0) ＜ \\&\qquad -\gamma {\rm E}\left\{ {\sum\limits_{T = 0}^\infty {\chi_{}^{\rm T}(T)\bar P\chi (T)} } \right\}\end{align}
(20) 因为 ${\lambda _{\min }}(\bar P){\left\| {\chi (T)} \right\|_2} ＜\chi _{}^{\rm T}(T)\bar P\chi (T)$ $＜$ ${\lambda _{\max }}(\bar P){\left\| {\chi (T)} \right\|_2}$ , ${\lambda _{\min }}(\bar P){\left\| {\chi (T)} \right\|_2}$ 为 $\left\| {\chi (T)}\right\|_2$ 的最小特征值, ${\lambda _{\max }}(\bar P){\left\| {\chi(T)} \right\|_2}$ 为 $\left\| {\chi (T)} \right\|_2$ 的最大特征值,所以
\begin{align}\label{eq21}& \chi _{}^{\rm T}(\infty )\bar P{\chi _{}}(\infty ) - \chi _{}^{\rm T}(0) \bar P{\chi _{}}(0) ＜ \\&\qquad - {\lambda _{\min }}(\bar P)\gamma {\rm E}\left\{{\sum\limits_{T = 0}^\infty {{{\left\| {\chi (T)} \right\|}_2}} }\right\}\end{align}
(21) 由于 $\chi _{}^{\rm T}(\infty )\bar P\chi (\infty ) \geq 0$ ,不等式(21)等价于
\begin{align}\label{eq22}{\rm E}\left\{ {\sum\limits_{T = 0}^\infty {{{\left\| {\chi (T)}\right\|}_2}} } \right\} ＜ \chi _{}^{\rm T}(0) S\chi (0) \end{align}
(22) 其中, $S = {({\lambda _{\min }}(\bar P)\gamma )^{ - 1}}\bar P$ ,显然 $S$ 是正定的,则式(22)满足式(19),所以系统稳定条件可以等价为 ${\rm E}\{ \Delta \bar V(T)\}$ $ ＜$ $ -\gamma {\rm E}\left\{ {\bar V(T)} \right\}$ 且 $\bar P$ 是对称正定矩阵,即
\begin{align}\label{eq23}&\bar \Phi - \bar P ＜ - \gamma \bar P,\ \ \bar P > 0\end{align}
(23) 做变量替换 $\bar P_5^{\rm T} = {G_1}{\bar P_4}$ , ${\bar P_2} ={G_2}{\bar P_4}$ , $ Y =$ ${\bar P_4}F$ ,其中 ${G_1}$ 与 ${G_2}$ 为给定矩阵,维数为 ${n_\eta } \times{n_y}$ 和 ${n_r} \times {n_y}$ , $Y$ 维数为 ${n_y} \times {n_r}$ ,则可以将式中的 $\bar \Phi $ 转换为如下形式:
\begin{align*}\bar \Phi = \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{\Phi _1}}&{{\Phi _2}}&{{\Phi _3}}\\{{\Phi _4}}&{{\Phi _5}}&{{\Phi _6}}\\{{\Phi _7}}&{{\Phi _8}}&{{\Phi _9}}\end{array}} \right]\end{align*}
其中,
$\eqalign{ & {\Phi _1} = A_o^{\rm{T}}{{\bar P}_1}{A_o} - \bar \delta C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_2^{\rm{T}}{A_o} + \bar \delta C_o^{\rm{T}}\bar P_3^{\rm{T}}{A_o} - \cr & \bar \delta A_o^{\rm{T}}{G_2}Y{C_o} + \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}\bar P_4^{ - 1}Y{C_o} - \cr & \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{G_1}Y{C_o} + \bar \delta A_o^{\rm{T}}{{\bar P}_3}{C_o} - \cr & \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_1^{\rm{T}}{C_o} + \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{{\bar P}_6}{C_o} \cr & {\Phi _2} = A_o^{\rm{T}}{{\bar P}_1}{B_o} - \bar \delta C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_2^{\rm{T}}{B_o} + \bar \delta C_o^{\rm{T}}\bar P_3^{\rm{T}}{B_o} + \cr & A_o^{\rm{T}}{G_2}{{\bar P}_4} - \bar \delta C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}} + \bar \delta C_o^{\rm{T}}{G_1}{{\bar P}_4} - \bar \delta A_o^{\rm{T}}{G_2}Y{D_o} + \cr & \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}\bar P_4^{ - 1}Y{D_o} - \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{G_1}Y{D_o} + \cr & \bar \delta A_o^{\rm{T}}{{\bar P}_3}{D_o} - \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_1^{\rm{T}}{D_o} + \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{{\bar P}_6}{D_o} \cr & {\Phi _3} = (\bar \delta - 1)A_o^{\rm{T}}{G_2}Y + (1 - \bar \delta )A_o^{\rm{T}}{{\bar P}_3} \cr & {\Phi _4} = \Phi _2^{\rm{T}} \cr & {\Phi _5} = B_o^{\rm{T}}{{\bar P}_1}{B_o} + \bar P_2^{\rm{T}}{B_o} - \bar \delta D_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_2^{\rm{T}}{B_o} + \cr & \bar \delta D_o^{\rm{T}}\bar P_3^{\rm{T}}{B_o} + B_o^{\rm{T}}{G_2}{{\bar P}_4} + {{\bar P}_4} - \bar \delta D_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}} + \cr & \bar \delta D_o^{\rm{T}}{G_1}{{\bar P}_4} - \bar \delta B_o^{\rm{T}}{G_2}Y{D_o} - \bar \delta Y{D_o} + \bar \delta (1 + \theta ) \cr & D_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}\bar P_4^{ - 1}Y{D_o} - \bar \delta (1 + \theta )D_o^{\rm{T}}{G_1}Y{D_o} + \cr & \bar \delta B_o^{\rm{T}}{{\bar P}_3}{D_o} + \bar \delta {{\bar P}_4}G_1^{\rm{T}}{D_o} - \bar \delta (1 + \theta )D_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_1^{\rm{T}}{D_o} + \cr & \bar \delta (1 + \theta )D_o^{\rm{T}}{{\bar P}_6}{D_o} \cr & {\Phi _6} = (\bar \delta - 1)B_o^{\rm{T}}{G_2}Y + (\bar \delta - 1)Y + (1 - \bar \delta ) \cr & B_o^{\rm{T}}{{\bar P}_3} + (1 - \bar \delta ){G_1}{{\bar P}_4} \cr & {\Phi _7} = \Phi _3^{\rm{T}} \cr & {\Phi _8} = \Phi _6^{\rm{T}} \cr & {\Phi _9} = (1 - \bar \delta ){Y^{\rm{T}}}\bar P_4^{ - 1}Y - (1 - \bar \delta ){G_1}Y \cr & + (1 - \bar \delta ){{\bar P}_6} - (1 - \bar \delta ){Y^{\rm{T}}}G_1^{\rm{T}} \cr} $
利用Schur补定理,可将式(23)转化为
\begin{align}\label{eq24}&\left[{\begin{smallmatrix}{ - {{\left[{\bar \delta (1 + \theta )} \right]}^{ - 1}}{{\bar P}_4}}&{Y{C_o}}&{Y{D_o}}&0&0\\&*{{\Pi _{11}}}&{{\Pi _{12}}}&{{\Pi _{13}}}&0\\*&*&{{\Pi _{22}}}&{{\Pi _{23}}}&0\\*&*&*&{{\Pi _{33}}}&{{Y^{\rm T}}}\\*&*&*&*&{ - {{(1 - \bar \delta )}^{ - 1}}{{\bar P}_4}}\end{smallmatrix}} \right] ＜ 0\$2mm]&\left[{\begin{matrix}{{{\bar P}_1}}&{{G_2}{{\bar P}_4}}&{{{\bar P}_3}}\\*&{{{\bar P}_4}}&{{{\bar P}_4}G_1^{\rm T}}\\*&*&{{{\bar P}_6}}\end{matrix}} \right] > 0\end{align}
(24) 其中,
$\eqalign{ & {\Pi _{11}} = A_o^{\rm{T}}{{\bar P}_1}{A_o} - \bar \delta C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_2^{\rm{T}}{A_o} + \bar \delta C_o^{\rm{T}}\bar P_3^{\rm{T}}{A_o} - \cr & \bar \delta A_o^{\rm{T}}{G_2}Y{C_o} - \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{G_1}Y{C_o} + \bar \delta A_o^{\rm{T}}{{\bar P}_3}{C_o} \cr & - \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_1^{\rm{T}}{C_o} + \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{{\bar P}_6}{C_o} - \cr & (1 - \gamma ){{\bar P}_1} \cr & {\Pi _{12}} = A_o^{\rm{T}}{{\bar P}_1}{B_o} - \bar \delta C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_2^{\rm{T}}{B_o} + \bar \delta C_o^{\rm{T}}\bar P_3^{\rm{T}}{B_o} \cr & + A_o^{\rm{T}}{G_2}{{\bar P}_4} - \bar \delta C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}} + \bar \delta C_o^{\rm{T}}{G_1}{{\bar P}_4} - \bar \delta A_o^{\rm{T}}{G_2}Y{D_o} \cr & - \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{G_1}Y{D_o} + \bar \delta A_o^{\rm{T}}{{\bar P}_3}{D_o} - \bar \delta (1 + \theta ) \cr & C_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_1^{\rm{T}}{D_o} + \bar \delta (1 + \theta )C_o^{\rm{T}}{{\bar P}_6}{D_o} - (1 - \gamma ){G_2}{{\bar P}_4} \cr & {\Pi _{13}} = {\Phi _3} - (1 - \gamma ){{\bar P}_3} \cr & {\Pi _{22}} = B_o^{\rm{T}}{{\bar P}_1}{B_o} + \bar P_2^{\rm{T}}{B_o} - \cr & \bar \delta D_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_2^{\rm{T}}{B_o} + \bar \delta D_o^{\rm{T}}\bar P_3^{\rm{T}}{B_o} + B_o^{\rm{T}}{G_2}{{\bar P}_4} + {{\bar P}_4} - \cr & \bar \delta D_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}} + \bar \delta D_o^{\rm{T}}{G_1}{{\bar P}_4} - \bar \delta B_o^{\rm{T}}{G_2}Y{D_o} - \bar \delta Y{D_o} - \cr & \bar \delta (1 + \theta )D_o^{\rm{T}}{G_1}Y{D_o} + \bar \delta B_o^{\rm{T}}{{\bar P}_3}{D_o} + \bar \delta {{\bar P}_4}G_1^{\rm{T}}{D_o} \cr & - \bar \delta (1 + \theta )D_o^{\rm{T}}{Y^{\rm{T}}}G_1^{\rm{T}}{D_o} + \bar \delta (1 + \theta )D_o^{\rm{T}}{{\bar P}_6}{D_o} - \cr & (1 - \gamma ) \cr & {{\bar P}_4}{\Pi _{23}} = {\Phi _6} - (1 - \gamma ){{\bar P}_4}G_1^{\rm{T}} \cr & {\Pi _{33}} = - (1 - \bar \delta ){G_1}Y - (1 - \bar \delta ){Y^{\rm{T}}}G_1^{\rm{T}} + \cr & (1 - \bar \delta ){{\bar P}_6} - (1 - \gamma ){{\bar P}_6} \cr} $
求解式(24),可得 $\bar P_4^{}$ 和 $Y$ ,从而设定值反馈控制器(16)的参数 $F = \bar P_4^{ - 1}Y$ , $\bar P$ 和 $F$ ,使不等式 ${\rm E}\{ \Delta \bar V(T)\}$ $＜$ $ - \gamma {\rm E}\left\{ {\bar V(T)} \right\}$ 成立,故不等式(22) 成立,系统(17)满足在均方意义下随机稳定\linebreak 性.
随机线性系统的均方稳定即全局稳定,故向量 $\chi (T)={[\eta _{}^{\rm T}(T),y^{*{\rm T}}(T),{r_f}(T - 1)]^{\rm T}}$ 中的每个状态均收敛于平衡点. 由式(16)得 $\mathop {\lim}_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {\Delta y_{}^*({\rm T})} \right\}$ $=$ $\mathop {\lim}_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {F{e_f}(T)}\right\} = 0$ ,而 ${\left\| F \right\|_2} \ne 0$ ,故 $\mathop {\lim}_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {{e_f}(T)} \right\}$ $=$ $\mathop{\lim }_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {{r^*} - {r_f}(T)}\right\}=0$ ,即
\begin{align}\label{eq25}\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {{r_f}(T)}\right\} = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } {\rm E}\left\{{{r_f}(T)} \right\} = {r^*}\end{align}
(25) 又有
\begin{align}\label{eq26} &\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {{r_f}(T)} \right\} = \bar \delta (1 + \rho )\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {r(T)} \right\} + \\ &\qquad(1 - \bar \delta )\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {{r_f}(T)} \right\} \Rightarrow\\ &\qquad \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {{r_f}(T)} \right\} = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {r(T)} \right\}\end{align}
(26) 即实现了 $\mathop {\lim }_{T \to \infty } {\rm E}\left\{ {r(T) -{r^*}} \right\} = 0$ .
3. 仿真实验与性能分析
3.1 浮选过程模型简介
以浮选工业过程为对象,进行本文提出的无线网络环境下工业过程运行指标反馈控制方法的仿真实验,对于单个槽体,浮选过程的数学模型为[20-22]
$\eqalign{ & {{{\rm{d}}M_p^i} \over {{\rm{d}}t}} = - \left( {k_p^i + {{{q_T}} \over {(1 - {\varepsilon _g})A{h_p}}}} \right)M_p^i + \cr & \;k_e^iM_e^i + {q_a}X_a^i \cr} $
(27) $\eqalign{ & {{{\rm{d}}M_e^i} \over {{\rm{d}}t}} = \cr & - \left( {k_e^i + {{{q_c}} \over {(1 - {\varepsilon _g})A(H - {h_p})}}} \right)M_e^i + k_p^iM_p^i \cr} $
(28) 其中,精矿品位为
\begin{align}\label{eq29}{L_{cg}} = \frac{{M_e^1g_{cp}^1 + M_e^2g_{cp}^2}}{{M_e^1 +M_e^2}}{L_{cu}}\end{align}
(29) 尾矿品位为
${L_{tg}} = {{M_p^1g_{cp}^1 + M_p^2g_{cp}^2} \over {M_p^1 + M_p^2}}{L_{cu}}$
(30) 其中, $i = 1,2$ 分别表示矿物种类1 (主要为黄铜矿)和矿物种类2(主要为脉石). $M_p^i$ 为泥浆质量, $M_e^i$ 为泡沫质量, ${q_a}$ 为给矿矿浆流量, ${h_p}$ 为矿浆液位高度.其他参数均为常数,物理意义见文献[10].
选取黄铜矿浮选生产过程经济收益为运行指标, $r^*$ 为单位时间目标经济收益, $r(T)$ 为单位时间实际经济收益.过程控制输入为泥浆高度 ${h_p}$ 与给矿流量 ${q_a}$ ,即 $u=({h_p},{q_a})$ ; 输出为精矿品位 $L_{cg}$ 与尾矿品位 $L_{tg}$ ,即 $y =({L_{cg}},{L_{tg}})$ . $y_{}^*(T) =(L_{cg}^*,L_{tg}^*)$ 的物理意义为黄铜矿浮选产品精尾矿品位设定值.状态变量为泥浆质量与泡沫质量,即 $x = (M_p^i,M_e^i)$ .由于时间常数相对较小,给矿流量与矿浆入口电动阀门PWM占空比的信号转换可以认为是线性的.各符号及其物理含义见表 1.
表 1 浮选过程符号表Table 1 Flotation process symbol table符号 物理含义 符号 物理含义 Mp 泥浆质量 hp 液位高度 Me 泡沫质量 qa 泥浆流量 Lcg 精矿品位 r* 运行指标目标值 Ltg 尾矿品位 r(T) 运行指标实际值 3.2 仿真实验设计及分析
3.2.1 对比实验方案
为验证本文提出方法(Packetdrop + Noise)的控制效果,设计实验对比其与只考虑网络丢包对系统影响的运行反馈控制方法(Packetdrop)11的性能.
3.2.2 参数选择
在仿真实例中,令运行指标目标值 ${r^*} = 12$ ;参考铜矿和尾矿的市场价格,定义式(2)中 $M ={[{array}{*{20}{c}} {100}&{ - 20}{array}]^{\rm T}}$ , $N ={[{array}{*{20}{c}}{ - 0.01}&{ - 0.1}{array}]^{\rm T}}$ .
实验中过程控制的采样周期选择为1min,设定值反馈控制的采样周期为1h,即 $n=60$ .过程控制和设定值反馈控制的衰减率取值分别为 $\alpha = 0.3$ 和 $\beta$ $=$ $0$ . 实验中的随机丢包序列满足伯努利二项分布,其值为1表示正常传输,为0时表示丢包发生. 噪声序列服从 $\rho (k) \sim {\rm U}(- 0.2,0.2) $ 的均匀分布. 为说明实验结果的普遍性,本实验随机选取 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三组丢包与噪声序列下的实验结果,三组丢包与噪声序列见表 2.
3.2.3 实验结果及分析
图 4为采用表 2实验参数两种控制方法的运行指标实际值与目标值曲线.由图 4可知在三组实验情况下,方法1 (Packetdrop)尽管使运行指标实际值在目标值周围波动;但由于噪声的影响,波动较大; 本文所提方法(Packetdrop +Noise)由于设定值反馈控制,考虑了丢包与噪声,运行指标实际值在目标值上下波动明显减小.
表 2 丢包与噪声序列表Table 2 Packetdrop and noise table采样点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 δ(k)/a 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 δ(k)/b 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 δ(k)/c 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 ρ(k)/a -0.1256 0.0803 0.1931 0.1227 0.0814 -0.0060 -0.1542 0.0659 -0.0539 -0.1440 0.0267 0.1292 0.0696 ρ(k)/b -0.0197 -0.0351 0.1606 -0.1978 -0.0810 -0.1803 0.0773 0.0600 0.1932 0.0211 -0.0400 -0.1205 -0.0273 ρ(k)/c -0.1224 0.1619 0.0277 0.0527 -0.1062 0.0195 0.1726 -0.0659 0.0622 -0.0432 0.0509 0.0796 0.0214 图 5给出了无线网络存在噪声和丢包时精尾矿品位设定值与实际值曲线.设定初始值为 $y_{}^*$ $=$ $[0.1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} 0.05]$ ,从图 5中可以看到,在每一个设定层采样时刻,实际的精矿品位与尾矿品位能够分别快速跟踪设定值.
图 6给出了三组实验情况下过程控制输入 $u$ 曲线,对照图 5可以看出,当精矿品位与尾矿品位跟踪设定值变化趋于稳定时,过程控制输入也趋于稳定.
4. 结论
本文针对运行指标无线传输时噪声和丢包共同存在的一类工业过程,提出了由过程PI控制和设定值反馈控制组成的不同采样速率的双闭环运行反馈控制方法,由于采用Lyapunov函数和不同采样频率的提升技术设计了PI控制器和设定值反馈控制器的参数,保证了双闭环控制系统的随机稳定性和运行指标实际值与目标值的稳态误差均值为零.浮选工业过程的仿真实验和理论分析表明本文方法对于在无线网络环境下的运行反馈控制具有参考价值.
致谢: 感谢加拿大阿尔伯塔大学陈通文教授在本文成文过程中的诸多启发性讨论和建设性意见. -
图 1 无线网络环境下工业过程运行反馈控制结构
Fig. 1 The structure of industrial process operational feedback control under wireless network environment
图 2 无线网络环境下工业过程运行指标闭环反馈控制策略
Fig. 2 The feedback control strategy of industrial process operational index under wireless network environment
表 1 浮选过程符号表
Table 1 Flotation process symbol table
符号 物理含义 符号 物理含义 Mp 泥浆质量 hp 液位高度 Me 泡沫质量 qa 泥浆流量 Lcg 精矿品位 r* 运行指标目标值 Ltg 尾矿品位 r(T) 运行指标实际值 
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表 2 丢包与噪声序列表
Table 2 Packetdrop and noise table
采样点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 δ(k)/a 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 δ(k)/b 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 δ(k)/c 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 ρ(k)/a -0.1256 0.0803 0.1931 0.1227 0.0814 -0.0060 -0.1542 0.0659 -0.0539 -0.1440 0.0267 0.1292 0.0696 ρ(k)/b -0.0197 -0.0351 0.1606 -0.1978 -0.0810 -0.1803 0.0773 0.0600 0.1932 0.0211 -0.0400 -0.1205 -0.0273 ρ(k)/c -0.1224 0.1619 0.0277 0.0527 -0.1062 0.0195 0.1726 -0.0659 0.0622 -0.0432 0.0509 0.0796 0.0214
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