1.   引言

近年来, 多智能体系统一致性控制在无线传感器网络^[1]、机器人编队^[2]、多机械臂协同装配^[3]、协同诊断系统^[4]等领域的应用日益增多, 受到了研究者越来越多的关注. 相比于单个系统, 多智能体系统能够通过相互协调与合作^[5], 完成单一智能体难以完成的任务, 因而具有广阔的应用前景. 一致性问题作为智能体之间合作协调控制的基础, 具有重要的现实意义和理论价值. 因此研究多智能体系统协同中的一致性控制问题具有重要的实际意义.

在实际应用中, 大量实际系统的动力学特性往往是由复杂的非线性方程刻画的^[6], 因此这些系统的动力学模型具有非匹配非线性结构特性. 目前, 针对非匹配非线性多智能体系统的一致性控制研究已经取得了大量的研究成果^[7−9]. 文献[10]研究了严格反馈高阶非线性多智能体系统的一致性问题, 通过递归方法将传统的严格反馈系统转化为高阶全驱动模型, 并基于此设计了完全分布式一致性控制算法. 文献[11]针对高阶非匹配非线性多智能体系统, 通过引入一致性误差的光滑函数补偿项, 提出了一种新的基于反步法的分布式自适应控制方案. 文献[12]研究了一类严格反馈高阶非线性多智能体系统的一致性问题, 通过在反步控制方法中的每一步引入局部补偿变量, 设计了分布式自适应一致性控制器. 文献[13]针对高阶非匹配非线性多智能体系统, 提出了鲁棒自适应神经网络一致性控制器, 保证了系统的领导-跟随一致性. 文献[14]研究了高阶严格反馈非线性多智能体系统的分布式一致性跟踪控制问题, 基于分布式动态曲面设计方法设计了局部一致性控制器. 然而文献[10−14]提出的控制算法都依赖于一个稳定的通信系统, 提出的控制协议对于通信故障下的一致性不再适用.

多智能体系统与单个个体系统最本质的区别在于其通过网络进行状态信息的传递与共享^[15]. 然而在实际应用中, 通信网络环境往往并不理想, 通信链路可能因为多种原因(如信号干扰、硬件故障等)出现故障, 从而导致控制失效和潜在的严重后果. 因此, 在多智能体系统一致性控制中, 考虑并解决通信链路故障带来的系统控制失效问题具有重要意义^[16−18]. 文献[19]针对通信链路故障下高阶线性多智能体系统, 基于$ H_{\infty} $准则设计了分布式自适应一致性控制器. 文献[20]研究了通信故障下高阶线性多智能体系统的一致性控制问题, 通过引入改进的代数黎卡提方程, 提出了一种鲁棒分布式控制协议. 文献[21]针对通信故障下的高阶非线性多智能体系统, 通过设计领导者状态观测器自适应地调整相邻代理之间的链路权重, 抵消了通信链路故障的影响, 进而提出了鲁棒分布式自适应一致性控制器. 文献[22]针对通信链路故障下的高阶非线性多智能体系统, 基于神经网络设计了一种自适应容错控制方案, 保证了非线性多智能体系统的领导跟随一致性. 然而文献[19−22]对通信故障下多智能体系统一致性控制问题的研究, 大都聚焦于线性或匹配非线性系统, 忽略了对于实际系统普遍存在的非匹配非线性特性的考虑.

基于此, 本文研究通信故障下高阶非匹配非线性多智能体系统的一致性控制问题. 通过提出一种新颖的基于动态补偿器的分布式一致性控制器, 保证了非匹配非线性多智能体系统的渐近领导跟随一致性. 本文的主要贡献总结如下: 1) 考虑了更适用于描述实际多智能体系统动力学特性的非匹配非线性系统模型, 同时考虑了时变通信故障. 这能包含已有通信故障一致性控制工作中考虑的线性或匹配非线性系统模型为特例. 2) 通过引入在线调节的动态增益, 设计了一种基于状态一致性误差的补偿器, 以克服非匹配非线性项及其非线性耦合和时变故障. 3) 基于补偿器状态信息, 提出了一种完全分布式的状态反馈一致性控制器, 保证了通信故障下的领导跟随渐近一致性. 值得注意的是所设计的补偿器状态信息无需在通信网络中进行传输.

符号说明: 在本文中, 如果没有特别说明, 则假定所给出的矩阵和向量具有合适的维数. $ {R}^n $表示$ n $维实数向量集. $ {R}^{m \times n} $表示$ m\times n $实数矩阵集. $ {I}_n $是表示$ n\times n $单位矩阵. $ \otimes $表示克罗内克积. $ {1}_{N}\in {R}^N $是一个所有分量都为1的列向量. $ \|\cdot\| $表示一个矩阵的Euclidean范数. $ \|\cdot\|_{F} $表示一个矩阵的Frobenius范数. 对于任意的一个矩阵$ \boldsymbol{A}\in {R}^{m \times n} $, $ \sigma_{\min}\left(\boldsymbol{A}\right) $和$ \sigma_{\max}\left(\boldsymbol{A}\right) $表示矩阵$ \boldsymbol{A} $最小和最大的奇异值.

2.   问题描述

考虑由$ N+1(N\geq1) $个高阶非匹配非线性智能体组成的多智能体系统, 其中包括$ N $个跟随智能体和$ 1 $个领导智能体, 其第$ i $$ (i=0,\;1,\;\cdots,\;N) $个智能体的系统动力学模型为

其中$ \boldsymbol{x}_{i}=(x_{i,\;1},\; \cdots,\; x_{i,\;n})^{\mathrm{T}}\in{R}^{n} $和$ u_{i}\in{R} $分别表示系统的状态变量和输入. 注意$ \overline{\boldsymbol{x}}_{i,\;m}=(x_{i,\;1},\; \cdots,\ x_{i,\;m})^{T}\in {R}^{m} $ 且 $ u_{0}=0 $. 对于 $ m=1,\;\cdots,\;n $, $ f_{m}(\cdot): {R}^{m}\rightarrow {R} $为非线性函数且满足以下假设条件:

假设1. 对于任意的向量$ \boldsymbol{x} $, $ \boldsymbol{y}\in {R}^{m} $和$ m=1, \cdots,\;n $, 存在一个未知的正常数$ \alpha $使得$ |f_{m}(\boldsymbol{x})\;- f_{m}(\boldsymbol{y})|\leq\alpha\left\|\boldsymbol{x} -\boldsymbol{y}\right\| $.

在本文中, 使用有向图$ \mathcal{G}(\mathcal{V},\;\mathcal{E}) $来表示智能体间的通信关系, 其中$ \mathcal{V}=\{1,\;\cdots,\;N\} $表示对应于跟随智能体的索引集合, $ \mathcal{E} $表示智能体相邻关系的边集合, 描述了跟随智能体间的信息交换. $ (i,\;j)\in\mathcal{E} $表示存在一条从智能体$ i $到智能体$ j $的边, 即智能体$ j $能收到智能体$ i $的通信信息. $ \mathcal{N}_i= \{j\in\mathcal{V}\mid(j, i)\in\mathcal{E}\} $定义了智能体$ i $的邻居集合. 定义通信拓扑图$ \mathcal{G} $的邻接矩阵为$ \boldsymbol{A}=[a_{ij}] $, 其中如果$ (j,\;i)\in\mathcal{E} $有$ a_{ij}>0 $, 否则$ a_{ij}=0 $. 因为智能体无自连接, 因此$ a_{ii}=0 $. 定义入度矩阵为$ \boldsymbol{D}=\text{diag}[\sum_{j\in\mathcal{N}}a_{ij}] $. 那么, 拉普拉斯矩阵定义为$ \boldsymbol{\mathcal {L}}=\boldsymbol{D}-\boldsymbol{A} $. 另外, 用矩阵$ \boldsymbol{B} $来描述通信拓扑图$ \mathcal{G} $中可以直接接收到领导智能体状态信息的跟随智能体的情况, 其定义为$ \boldsymbol{B}= \text{diag}[b_{1},\;\cdots,\;b_{N}] $. 当且仅当领导智能体与第$ i $个跟随智能体有通信关系时, 有$ b_i>0 $. 显然的, 在一个有领导智能体的多智能体系统中, 为了实现跟随智能体与领导智能体的状态一致性, 应该至少有一个跟随智能体与领导智能体有通信关系, 即至少有一个$ b_i>0 $. 假设领导智能体由节点$ 0 $来表示, 那么, 可以得到一个由拓扑图$ \mathcal{G} $, 节点$ 0 $和领导智能体与跟随智能体之间的边组成的增广图$ \bar{\mathcal{G}} $. $ \bar{\mathcal{G}} $能够反映一个通信网络中, 所有智能体间的通信关系. 关于通信拓扑, 有如下假设:

假设2. $ \mathcal{G} $是固定的有向图, 其增广图$ \bar{\mathcal{G}} $包含一个以领导智能体$ 0 $为根节点的生成树.

在本文中, 考虑有通信拓扑$ \bar{\mathcal{G}} $中的通信链路处于未知时变故障状态. 因此, 存在故障的通信链路可以描述为

其中$ a_{ij} $和$ b_{i} $为上述给出的无故障通信链路权重. $ \omega^{a}_{ij}(t) $和$ \omega^{b}_{i}(t) $为通信故障引起的通信链路权重损坏. $ \omega^{a}_{ij}(t) $和$ \omega^{b}_{i}(t) $的存在使得整体通信链路权重时变且未知, 这种不确定性给非匹配非线性多智能体系统的一致性控制带来挑战. 此外, 在通信故障(2)下, 拉普拉斯矩阵变为$ \boldsymbol{\mathcal {L}}(t)=\boldsymbol{D}(t)-\boldsymbol{A}(t) $, 其中邻接矩阵$ \boldsymbol{A}(t)= [a_{ij}(t)] $, 入度矩阵$ \boldsymbol{D}(t)= \text{diag} [\sum_{j \in \mathcal{N}_{i}} a_{ij}(t)] $. 领导智能体邻接矩阵变为$ \boldsymbol{B}(t) = \text{diag}[b_{1}(t),\,\cdots, \, b_{N}(t)] $. 对于考虑的通信故障$ (2) $, 假设其满足如下条件:

假设3^[21]. 通信链路故障$ \omega^{a}_{ij}(t) $和$ \omega^{b}_{ij}(t) $及其导数有界.

假设4^[21]. 在通信链路故障描述(2)中, $ \bar{a}_{ij}(t) $和$ \bar{b}_{i}(t) $的符号分别与$ a_{ij} $和$ b_{i} $的符号相同.

下面, 将给出两个引理, 其对本文的理论分析具有重要作用.

引理1. 令向量$ \boldsymbol{\mathcal {B}}=\left(0,\;\cdots,\;0,\;1\right)^{\mathrm{T}}\in {R}^{n} $和矩阵$ \boldsymbol{\mathcal {A}}=\left[\begin{array}{cccc}0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\\ 0&0&\cdots&0\end{array}\right]\in {R}^{n\times n} $. 那么, 存在向量$ \boldsymbol{\kappa}= \left(\kappa_{1},\; \cdots,\;\kappa_{n}\right)^{\mathrm{T}}\in {R}^{n} $, 正定矩阵S和正常数$ \iota_{0} $使得

进一步, 令矩阵$ \boldsymbol{\Pi}=\text{diag}\left[0,\;1,\;\cdots,\;n-1\right]\in {R}^{n\times n} $, 那么存在正常数$ \iota_{1} $, $ \iota_{2} $和$ h $使得

证明. 显然, 矩阵对$ (\boldsymbol{A},\; \boldsymbol{B}) $为可控矩阵. 因此, 存在向量$ \boldsymbol{\kappa} = (\kappa_1,\; \cdots,\; \kappa_n)^T\in\mathbb{R}^{n} $使得矩阵$ \boldsymbol{\mathcal{A}}+\boldsymbol{\mathcal{B}}\boldsymbol{\kappa}^{T} $为赫尔维兹矩阵. 基于此, 上述矩阵不等式(3)显然成立. 此外, 可以很容易获得不等式(4)成立, 其证明过程在此不再赘述.□

引理2^[21]. 如果假设2和假设4满足, 那么存在一个正定对角矩阵$ \boldsymbol{Q}(t) $, 使得$ \boldsymbol{Q}(t)\boldsymbol{H}(t)+{\boldsymbol{H}}^{T}(t) \boldsymbol{Q}(t) =\boldsymbol{P}(t) $, 其中$ \boldsymbol{P}(t) $是正定矩阵, $ \boldsymbol{H}(t)=\boldsymbol{\mathcal {L}}(t)+\boldsymbol{B}(t) $是通信图拓扑相关矩阵. 此外, 如果假设3也满足, 那么$ \boldsymbol{Q}(t) $及其导数有界. 一般的正定对角矩阵$ \boldsymbol{Q}(t) $可选择为$ \boldsymbol{Q}(t)=\text{diag}[q_1(t),\;\cdots,\; q_N(t)] $, 其中$ \boldsymbol{q}(t) =\left(q_1(t),\; \cdots,\; q_N(t)\right)^T =({\boldsymbol{H}}(t))^{-1}{1}_N $.

注1. 假设3和假设4共同保证了原本能够相互通信的智能体之间发生故障之后还能够继续通信, 通信的权重可能变大了, 也可能变小了, 但是变化的幅度不能过大.

3.   通信链路故障下一致性控制器设计

在本文中, 考虑通信链路故障(2)下高阶非匹配非线性多智能体系统(1)的领导跟随一致性问题. 针对通信链路故障, 提出了一种具有三个在线调节动态增益的一致性控制器, 以保证多智能体系统的渐近领导跟随一致性, 即对于$ i=1,\;\cdots,\;N $和$ m=1,\;\cdots,\;n $, 有$ \lim_{t\to\infty}|x_{i,\;m}-x_{0,\;m}|=0 $.

由于每个智能体系统只能获得其邻居智能体的状态信息, 因此对于智能体$ i $, 其在通信链路故障下可获得的实时局部一致性误差为

在下文中, 为了便于描述, 用$ e_{i,\;m} $来表示$ e_{i,\;m}(t) $. 基于此, 设计第$ i $个智能体的分布式动态一致性控制器为

其中$ z_{i,\;m},\;m= 1,\;\cdots,\; n $为所设计的补偿器系统的状态变量, $ \sigma_{i,\;m} = \sum_{j\in\mathcal{N}_{i}}\bar{a}_{ij}(t)(z_{i,\;m} - z_{j,\;m})+ \bar{b}_{i}(t)z_{i,\;m} -e_{i,\;m} $, $ \kappa_m,\;\,\;m = 1,\;\cdots,\;n $为由引理1提供的参数, $ L_i $和$ \gamma_i(\gamma_i(0)>0) $为两个动态参数, 其自适应更新律将在下面给出. 基于此, 可得到如下结论:

定理1. 考虑通信链路故障$ (2) $下的高阶非匹配非线性多智能体系统$ (1) $, 并且其满足假设条件$ 1-4 $. 设计基于补偿器的分布式一致性控制器为$ (6) $, 其中动态参数$ L_i $和$ \gamma_i $的更新律设计为

其中参数$ \iota_{0} $, $ h $和矩阵$ \boldsymbol{S} $为引理$ 1 $中给出的正常数和正定矩阵, 向量$ \boldsymbol{\eta}_{i}=\left(\eta_{i,\;1},\;\cdots,\;\eta_{i,\;n}\right)^{\mathrm{T}} $和$ \boldsymbol{\delta_{i}} = (\delta_{i,\;1}, \cdots,\; \delta_{i,\;n})^\mathrm{T} $, 其中

那么, 如果引理1中的矩阵不等式成立, 则所考虑的通信故障下的高阶非匹配非线性系统能够达到渐近领导跟随一致性.

证明. 对于第$ i $个智能体, 定义其和领导智能体之间的跟踪误差为$ \tilde{x}_{i,\;m}=x_{i,\;m}-{x}_{0,\;m} $. 那么, 根据智能体系统动力学模型(1)可得

其中$ \bar{\phi}_{i,\;m}=f_{m}(\overline{\boldsymbol{x}}_{i,\;m})-f_{m}(\overline{\boldsymbol{x}}_{0,\;m}) $, $ m = 1,\; \cdots,\; n $. 令$ r_{i,\;m}=z_{i,\;m}-\tilde{x}_{i,\;m} $, 根据式(6)和(9)可得

令$ \zeta_{i,\;m}=r_{i,\;m} / {L_{i}^{m-1+h}} $, 基于状态变换(8), 式(6)中的补偿器系统方程和式(10)可重写为

和

其中$ \phi_{i,\;m}\;=\;\bar{\phi}_{i,\;m} / {L_{i}^{m-1+h}} $. 令$ \boldsymbol{\eta_i}\; =\;(\eta_{i,\;1},\; \cdots, \eta_{i,\;n})^\mathrm{T} $, $ \boldsymbol{\zeta_i} =(\zeta_{i,\;1},\; \cdots,\; \zeta_{i,\;n})^\mathrm{T} $, 那么式(11) 和(12)的全局形式可写为

和

其中$ \boldsymbol{\phi_i}=(\phi_{i,\;1},\; \cdots,\; \phi_{i,\;n})^\mathrm{T} $, 矩阵$ \widetilde{\boldsymbol{\Pi}}=\text{diag}[h,\;1+ h,\;\cdots,\; n-1+h] $, 向量$ \boldsymbol{\mathcal {B}} $, $ \boldsymbol{\kappa} $和矩阵$ \boldsymbol{\mathcal {A}} $的定义在引理1中给出. 进一步, 令$ \boldsymbol{\zeta}=(\boldsymbol{\zeta}_{1},\; \cdots,\; \boldsymbol{\zeta}_{N})^\mathrm{T} $, 则式$ (14) $可重写为

其中$ \boldsymbol{\phi}=(\boldsymbol{\phi}_{1},\; \cdots,\; \boldsymbol{\phi}_{N})^\mathrm{T} $, $ \boldsymbol{L}=\text{diag}[L_{1},\;\cdots,\; L_{N}] $, $ \boldsymbol{\gamma}=\text{diag}[\gamma_{1},\;\cdots,\; \gamma_{N}] $, $ \breve{\boldsymbol{L}}=\text{diag}\left[\frac{\dot{L}_{1}}{L_{1}},\;\cdots,\; \frac{\dot{L}_{N}}{L_{N}}\right] $, $ \boldsymbol{\delta} = (\boldsymbol{\delta}_{1},\; \cdots,\; \boldsymbol{\delta}_{N})^\mathrm{T} $, $ \boldsymbol{\delta}_{i},\; i=1,\;\cdots,\;N $的定义在定理1中给出, $ {I}_n $表示$ n\times n $单位矩阵, $ \otimes $表示克罗内克积.

由式(6)可知$ \sigma_{i,\;m}=\sum_{j\in\mathcal{N}_{i}}\bar{a}_{ij}(t)(z_{i,\;m}-z_{j,\;m}) + \bar{b}_{i}(t)z_{i,\;m}-e_{i,\;m} $, 结合式(5)和式(8)可得

将其写成全局形式可得$ \boldsymbol{\delta}=\left(\left(\boldsymbol{\mathcal {L}}(t)+\boldsymbol{ B}(t)\right) \otimes {I}_{n}\right)\boldsymbol{\zeta}=\left(\boldsymbol{H}(t)\otimes{I}_{n}\right)\boldsymbol{\zeta} $, 其中$ \boldsymbol{\mathcal {L}}(t) $和$ \boldsymbol{B}(t) $是上述给出的通信拓扑相关矩阵. 因此, 可得关于$ \boldsymbol{\delta} $的动态特性方程为

基于上述讨论, 对于闭环系统(16)构造Lyapunov函数为

其中$ q_{i}(t) $的定义在引理2中给出, $ \gamma^{*} $是一个在后面会确定的常数. 那么, 基于式(7)和(16)对$ V_1 $求导可得

其中$ \boldsymbol{Q}(t)=\text{diag}[q_1(t),\;q_2(t),\;\cdots,\;q_n(t)] $如引理2所示, 矩阵$ \boldsymbol{\mathcal {A}} $的定义在引理1中给出, 矩阵$ \widetilde{\boldsymbol{\Pi}} $和$ \boldsymbol{L} $, $ \breve{\boldsymbol{L}} $如式(14)和(15)所示, $ \boldsymbol{\mathcal {H}}(t)=\boldsymbol{\mathcal {L}}(t)+\boldsymbol{B}(t) $. 在下面, 将给出式(18)右边每一项的估计.

令$ \lambda_{1}=\max_{\forall t\geq0}2\|\boldsymbol{Q}(t)\|_{F} $, $ \lambda_{2}=2\lambda_{1}\|\boldsymbol{\mathcal {A}}\|_{F} $, $ \nu= $ $\max\{L_{1},\; \cdots,\; L_{N}\} $, 可得

其中可取$ \lambda_{0}\;=\;\min_{\forall t\geq0}\sigma_{\min}\left(\boldsymbol{P}(t)\right) $, 矩阵$ \boldsymbol{P}(t)\;= \boldsymbol{Q}(t)\boldsymbol{H}(t)+{\boldsymbol{H}}^{T}(t) \boldsymbol{Q}(t) $如引理2所示. 进一步基于此, 可得

为了进行下面的推导, 首先证明在更新律(7)下, 动态参数$ L_{i} $始终大于1. 根据式(7), 可得对于所有的$ t\geq0 $有$ \varsigma_{i}(1,\;t)\geq0 $. 因此可选择$ L_{i} $的初始值大于1来保证$ L_{i}>1 $. 因此, 基于假设1, 根据式(9)有$ |\phi_{i,\;m}|=|(f_{m}(\overline{\boldsymbol{x}}_{i,\;m})-f_{m}(\overline{\boldsymbol{x}}_{0,\;m})) / L_{i}^{m-1}| \leq $ $\alpha\|(\overline{\boldsymbol{z}}_{i,\;m}-\overline{\boldsymbol{r}}_{i,\;m}) / L_{i}^{m-1}\| \leq$ $ \alpha(\|\overline{\boldsymbol{\eta}}_{i,\;m}\|+\|\overline{\boldsymbol{\zeta}}_{i,\;m}\|) $, 其中$ \overline{\boldsymbol{z}}_{i,\;m}\;=\;(z_{i,\;1},\; \cdots,\;z_{i,\;m})^{\mathrm{T}} $, $ \overline{\boldsymbol{r}}_{i,\;m}\;=\;(r_{i,\;1},\; \cdots, r_{i,\;m})^{\mathrm{T}} $, $ \overline{\boldsymbol{\eta}}_{i,\,m}=(\eta_{i,\,1},\, \cdots,\, \eta_{i,\,m})^{\mathrm{T}} $, $ \overline{\boldsymbol{\zeta}}_{i,\,m}=(\zeta_{i,\,1},\, \cdots, \zeta_{i,\;m})^{\mathrm{T}} $. 进一步, 可得 $ \boldsymbol{\phi}_{i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\phi}_{i}\;\leq\;2n\alpha^{2}(\boldsymbol{\eta}^{\mathrm{T}}_{i}\boldsymbol{\eta}_{i}\;+\;\boldsymbol{\zeta}^{\mathrm{T}}_{i}\boldsymbol{\zeta}_{i}) $. 令$ \lambda_{3}=\min_{\forall t\geq0}\sigma_{\min}(\boldsymbol{\mathcal {H}}(t)) $, 根据上述$ \boldsymbol{\delta} $的定义可得$ \boldsymbol{\delta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\delta}=\boldsymbol{\zeta}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{\mathcal {H}}(t)\otimes{I}_{n})^{\mathrm{T}} (\boldsymbol{\mathcal {H}}(t)\otimes{I}_{n})\boldsymbol{\zeta}\geq\lambda_{3}^{2}\boldsymbol{\zeta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\zeta} $. 利用引理1中的式(4), 有$ \boldsymbol{\eta}^{\mathrm{T}}_{i}\boldsymbol{\eta}_{i}\leq\frac{1}{\iota_{1}}\boldsymbol{\eta}^{\mathrm{T}}_{i}\boldsymbol{S}\boldsymbol{\eta}_{i} $. 基于此, 可得

进一步, 令$ \lambda_{4}=\max_{\forall t\geq0}2\|\boldsymbol{\mathcal {H}}(t)\|_{F} $可得

其中$ \lambda_{0} $和$ \lambda_{1} $如式(19)所示. 基于式(7)可得,

因此, 可令$ \chi=\max\{|\dot{L}_{i}|/L_{i},\; \cdots,\; |\dot{L}_{N}| / L_{N}\} $, 并令$ \lambda_{5}=2\lambda_{1}\|\widetilde{\boldsymbol{\Pi}}\|_{F} $, 其中矩阵$ \widetilde{\boldsymbol{\Pi}} $在式(15)中给出, 结合$ \breve{\boldsymbol{L}}=\text{diag}\left[\frac{\dot{L}_{1}}{L_{1}},\;\cdots,\; \frac{\dot{L}_{N}}{L_{N}}\right] $可得

其中$ \lambda_{0} $如式(19)所示. 令$ \lambda_{6}=\max_{\forall t\geq0}2\|\dot{\boldsymbol{\mathcal {H}}}(t)\|_{F} $, $ \lambda_{7}=\max_{\forall t\geq0}\|\boldsymbol{\mathcal {H}}^{-1}(t)\|_{F} $, 有

其中$ \lambda_{0} $和$ \lambda_{1} $如式(19)所示. 此外, 可得

令$ \lambda_{8}=\max_{\forall t\geq0}\|\dot{\boldsymbol{Q}}(t)\|_{F} $, 那么可得

最后, 将式(19) ~ (25)代入式(18)可得

对于闭环系统(13)构造Lyapunov函数为构造Lyapunov函数$ V_{2} $为

其中$ \boldsymbol{S} $为正定矩阵如引理1所示. $ \tilde{\theta}_{i}=\theta_{i}-\hat{\theta}_{i} $, $ \hat{\theta}_{i} $为自适应律满足式(7)的动态参数, 其中$ \theta_{i}>0 $是一个正常数, 其具体数值将在下面的分析过程中给出. 进一步基于式(7)可得$ V_2 $的导数为

在后面, 将给出式(28)右边每一项的估计. 基于引理1中的不等式(3)和(4)可得

其中$ \lambda_{0} $如式(19)所示. 根据式(4)和(15)对矩阵$ \widetilde{\boldsymbol{\Pi}} $和$ \boldsymbol{\Pi} $的定义, 可得$ \widetilde{\boldsymbol{\Pi}}=\boldsymbol{\Pi}+h{I}_{n} $, 进一步结合式(4)中的不等式$ -h\boldsymbol{S}\leq \boldsymbol{\Pi}^\mathrm{T} \boldsymbol{S}+\boldsymbol{S}\boldsymbol{\Pi} \leq h\boldsymbol{S} $可得

根据式(7)可得如果$ \dot{L}_{i}\geq0 $ ($ L_{i}\geq1 $), 有

否则如果$ \dot{L}_{i}\leq0 $ ($ L_{i}\geq1 $), 可得

根据式(7)中$ \hat{\theta}_{i} $的自适应更新律可知动态参数$ \hat{\theta}_{i}>0 $. 另外由于式(3)中给出的参数$ \iota_{0}>0 $, 综合不等式(30)和(31) 可得

将式(29)和(32)代入(28)可得

选取最终的Lyapunov函数为

结合式(26)和(33), 可得$ V $的导数满足

其中常数$ \rho\;=\;2n\alpha^{2}\lambda^{2}_{1}\lambda^{2}_{4} / \lambda_{0}\lambda_{3}^{2}\;+ $ $\nu^{2}\lambda_{2}^{2} / \lambda_{0} \;+\;\chi^{2}\lambda_{5}^{2} / \lambda_{0}+\lambda^{2}_{1}\lambda^{2}_{6}\lambda^{2}_{7} / \lambda_{0} +(4+\lambda_{1}^{2}) / \lambda_{0}+4\lambda^{2}_{8} / \lambda_{0} $. 令$ \gamma^{*}\geq\rho/ 2 $, $ \theta_{i}>4\iota_{2} / \lambda_{0}+2n\alpha^{2}\lambda_{1}^{2}\lambda_{4}^{2} / \lambda_{0}\iota_{1} $, 进一步可得

因此, 结合式(17), (27), (34)和(36)并利用$ \boldsymbol{\eta_i}=(\eta_{i,\;1},\; \cdots,\; \eta_{i,\;n})^\mathrm{T} $, $ \boldsymbol{\delta}=(\boldsymbol{\delta}_{1},\; \cdots,\; \boldsymbol{\delta}_{N})^\mathrm{T} $和$ \boldsymbol{\delta_i}= (\delta_{i,\;1},\; \cdots,\; \delta_{i,\;n})^\mathrm{T} $可得$ V $是有界的, 并且$ \delta_{i,\;m} $, $ \eta_{i,\;m} $, $ \gamma_{i} $和$ \hat{\theta}_{i} $$ (i=1,\;\cdots,\;N,\; m=1,\;\cdots,\;n) $也是有界的. 通过观察式(7)可知$ \gamma_{i} $和$ \hat{\theta}_{i} $单调递增, 因此可得动态参数$ \gamma_{i} $和$ \hat{\theta}_{i} $将最终收敛至某一正常数. 根据式(36), 由$ \dot{V}\equiv0 $可得$ \delta_{i,\;m}=0 $和$ \eta_{i,\;m}=0 $. 因此, 利用Lasalle不变集原理可得$ \lim_{t\to\infty}\delta_{i,\;m}=0 $, $ \lim_{t\to\infty}\eta_{i,\;m}= 0 $. 此外, 根据式(7)可得$ \lim_{t\to\infty}L_{i} $的上界为正常数$ 3\hat{\theta}_{i}/\iota_{0}+1 $. 在假设2条件下, 可得矩阵$ \boldsymbol{H}(t)= \boldsymbol{\mathcal {L}}(t)+\boldsymbol{ B}(t) $为非奇异矩阵. 因此根据$ \boldsymbol{\delta}=\left(\boldsymbol{H}(t)\otimes {I}_{n}\right)\boldsymbol{\zeta} $, 由$ \lim_{t\to\infty}\delta_{i,\;m}=0 $可推出$ \lim_{t\to\infty}\zeta_{i,\;m}=0 $. 又因为$ \zeta_{i,\;m}=r_{i,\;m}/L_{i}^{m-1+h} $和$ \eta_{i,\;m}=z_{i,\;m}/L_{i}^{m-1+h} $, 进一步可得$ \lim_{t\to\infty}r_{i,\;m}=0 $和$ \lim_{t\to\infty}z_{i,\;m}=0 $. 基于$ \tilde{x}_{i,\;m}=z_{i,\;m}-r_{i,\;m} $, 可得$ \lim_{t\to\infty}\tilde{x}_{i,\;m}=0 $, 即$ \lim_{t\to\infty}x_{i,\;m}-x_{0,\;m}=0 $. 至此完成了通信故障(2)下高阶非匹配非线性多智能体系统(1)的领导跟随渐近一致性证明.□

注2. 在实际应用中, 一些系统的动力学特性可以由满足假设1的系统模型(1)来描述. 例如, 单链机器人系统的模型可以用式(1)来描述^[23], 其对应于假设1中的Lipschitz常数为$ \alpha=10 $; 倒立摆系统的模型也可以用式(1)来描述^[24], 其对应于假设1中的Lipschitz常数为$ \alpha=4.9\sqrt{2} $. 值得注意的是, 在文献[23]和[24]所给出的单链机器人系统和倒立摆系统中, 这些实际系统对应的非线性项所满足的假设1中的Lipschitz常数是已知的. 对于这些实际系统, 可以进一步考虑其Lipschitz常数为未知的情形, 并利用本文给出的动态参数$ \hat{\theta}_{i} $(见式(7)) 去估计包含有未知Lipschitz常数$ \alpha $的未知常数. 在本文中, 基于定理1的推导过程, 结合式(35)可知, 只有动态参数$ \gamma_{i} $的收敛上界$ \gamma^{*} $和动态参数$ \hat{\theta}_{i} $的估计真值$ \theta_{i} $与Lipschitz常数$ \alpha $有关. 对于控制器(6)的设计及其动态参数更新律(7) 的设计均未用到Lipschitz常数$ \alpha $. 因此, 本文所提出的基于三个在线调节动态参数的补偿器来设计分布式一致性控制器的方法是可以处理假设1中的Lipschitz常数为未知的情形.

注3. 本文的控制目标是使得所有跟随智能体系统的状态$ x_{i,\;m},\; m = 1,\; \cdots,\; n $都能最终跟踪上领导智能体系统的状态$ x_{0,\;m},\; m = 1,\; \cdots,\; n $, 即对于$ i = 1,\; \cdots,\; N $, 有$ \lim_{t \to \infty} |x_{i,\;m} - x_{0,\;m}|=0 $. 多智能体系统图论反映了智能体间的通信关系, $ a_{ij}> 0 $表示智能体$ i $能收到智能体$ j $的通信信息, 否则$ a_{ij}=0 $. $ b_i>0 $表示智能体$ i $能收到领导智能体的通信信息. 此外, 由于智能体无自连接, 有$ a_{ii}=0 $. 因此, 一致性误差$ e_{i,\;m}(t)\,=\,\sum_{j\in\mathcal{N}_{i}}\bar{a}_{ij}(t)(x_{i,\;m}\;- x_{j,\;m})+\bar{b}_{i}(t)(x_{i,\;m}-x_{0,\;m}) $描述了智能体$ i $能接收到的其所有邻居智能体包括领导智能体的通信信息. 跟踪误差$ \tilde{x}_{i,\;m}=x_{i,\;m}-{x}_{0,\;m} $则描述了智能体$ i $的状态信息和领导智能体的状态信息之间的差值. 在本文中, 将基于一致性误差$ e_{i,\;m}(t) $来设计智能体$ i $的控制器, 最终使得跟踪误差$ \tilde{x}_{i,\;m} $趋于0, 即达到了本文的控制目标$ \lim_{t\to\infty}|x_{i,\;m}-x_{0,\;m}|=0 $.

注4. 在设计的一致性控制器(6)中, 引入了由更新律(7)决定的动态参数$ L_i $和$ \gamma_i $. 动态参数$ L_i $的引入是用来处理通信故障和智能体系统的非匹配非线性及其网络化耦合. $ L_i $的更新律中内嵌设计了一个新的自适应估计参数$ \hat{\theta}_{i} $. 这个自适应参数的引入使得$ L_i $在处理通信故障和非线性及其耦合的同时保证了构造的Lyapunov函数V的导数为负. 此外, 由式(7)更新的动态参数$ \gamma_{i} $是找到正定Lyapunov函数$ V $和使得$ V $的导数为负的重要因素, 从而可以利用Lyapunov稳定性定理获得领导跟随一致性结论.

注5. 基于定理1的推导过程可知$ \lim_{t\to\infty}\eta_{i,\;m} =0 $和$ \lim_{t\to\infty}\zeta_{i,\;m}=0 $. 结合更新律(7)可得$ \lim_{t\to\infty}\dot{\hat{\theta}}_{i}=0 $和$ \lim_{t\to\infty}\dot{\gamma}_{i}=0 $. 因此, 当$ t\to\infty $时, 动态参数$ \hat{\theta}_i $和$ \gamma_i $都将以单调递增的趋势最终收敛于某一常数. 此外, 根据更新律(7)可得当$ \dot{L}_i=0 $时, 有$ L_i=3\hat{\theta}_{i}/\iota_{0}+1 $. 因此, 动态参数$ L_i $的值将最终趋于$ 3\hat{\theta}_{i} / \iota_{0}+1 $. 由于$ \hat{\theta}_i $在$ t\to\infty $时收敛于某一常数, 可得$ L_i $将最终趋于某一常数.

4.   仿真

在本节中, 将给出一个仿真例子来证明本文所提结论的有效性. 考虑了由1个领导智能体和4个跟随智能体组成的多智能体系统, 智能体系统间的通信关系如通信拓扑图1所示, 其中节点1, 2, 3, 4表示跟随智能体, 节点0表示领导智能体. 同时, 考虑在智能体系统间的通信存在由式(2)描述的通信故障, 其中对于$ i=1,\; 2,\; 3,\; 4 $有$ \omega^{a}_{ij}(t)=0.6\sin(t)* \text{rand} $, $ \omega^{b}_{i}(t)=0.4\cos(t)*\text{rand} $, 其中rand是从$ [0,\;1] $中选取的随机信号.

图 1  通信拓扑图

Fig. 1  Communication topology

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考虑第$ i(i=0,\;\cdots,\;4) $个非匹配非线性智能体系统的模型如下

其中$ f_{1}({x}_{i,\;1})=0.5\sin({x}_{i,\;1}) $, $ f_{2}(\boldsymbol{x}_{i})=0.5\sin({x}_{i,\;1})+ 0.5\cos({x}_{i,\;2}) $. 根据定理1的结果, 构造了基于补偿器的分布式动态一致性控制器(6), 并且其中动态参数$ L_{i} $, $ \gamma_i $和$ \hat{\theta}_{i} $的更新律由式(7) 决定, 其中$ \kappa_{1}= -0.36 $, $ \kappa_{2}=-1.1 $, $ \iota_{0}=2.9 $, $ h=3.65 $和矩阵$ \boldsymbol{S}= \left( \begin{array}{cccc}2&0\\ 0&3\end{array} \right) $. 那么, 选取系统状态的初始值为$ x_{0,\;1}(0)= 1 $, $ x_{0,\;2}(0)=0 $, $ x_{1,\;1}(0)=5 $, $ x_{1,\;2}(0)=4 $, $ x_{2,\;1}(0)= 2 $, $ x_{2,\;2}(0)=3 $, $ x_{3,\;1}(0)=3 $, $ x_{3,\;2}(0)=1 $, $ x_{4,\;1}(0)= 6 $, $ x_{4,\;2}(0)=7 $, 选取动态参数初始值为$ \hat{\theta}_{i}(0)=0.2 $, $ \gamma_i(0)=0.1 $, $ (i=1,\; 2,\; 3,\; 4) $, 选取$ L_1(0)=7 $, $ L_2(0)= 8 $, $ L_3(0)=5 $, $ L_4(0)=6 $, 则通信故障下多智能体系统领导跟随一致性的仿真结果如图2 ~ 5所示.

图 2  跟踪误差$\tilde{x}_{i,\;m},\; m=1,\;2 $

Fig. 2  Tracking errors $\tilde{x}_{i,\;m},\; m=1,\;2 $

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图 3  动态参数$L_i $

Fig. 3  Dynamic parameter $L_i $

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图 5  动态参数$\gamma_i $

Fig. 5  Dynamic parameter $\gamma_i $

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图 4  动态参数$\hat{\theta}_i $

Fig. 4  Tracking error $\hat{\theta}_i $

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图2给出了所考虑的高阶非匹配非线性多智能体系统在通信链路故障下的跟踪误差$ \tilde{x}_{i,\;m},\; m= 1,\;2 $随时间变化的轨迹曲线. 从图2可以看出, 跟踪误差最终收敛于0, 表明所有的跟随智能体状态最终都能跟踪上领导智能体. 图3 ~ 5给出了动态参数$ L_i $, $ \gamma_i $, $ \hat{\theta}_i $, $ i=1,\;\cdots,\;4 $随时间变化的轨迹曲线. 从图3 ~ 5中可以看出, 动态参数$ L_i $, $ \gamma_i $, $ \hat{\theta}_i $最终都收敛于某一有限常数, 这意味着多智能体系统状态达到一致后, 这些动态参数的值将不再发生变化.

5.   结论

本文研究了存在通信链路故障情况下, 高阶非匹配非线性多智能体系统的领导跟随一致性问题. 通过引入一种具有三个动态参数的补偿器, 设计了一种完全分布式控制器以确保多智能体系统的领导跟随一致性. 所提出的控制器的一个重要优势是, 它不需要假设每个跟随智能体内置的补偿器必须与其邻居共享信息, 并且它独立于全局通信拓扑图信息, 因此是完全分布式的. 从理论上证明了多智能体系统的渐近领导跟随一致性是可实现的, 并且可以通过矩阵不等式获得控制器增益和补偿器参数. 最后给出了一个仿真示例说明了所提结论的有效性.

到目前为止, 在通信链路故障下, 基于输出反馈的高阶非匹配非线性多智能体系统的领导跟随一致性问题仍然是一个有待解决的问题. 对这个问题的研究需要仅根据输出信息来处理通信链路故障, 同时处理完全依赖于全状态信息的非匹配非线性及其复杂耦合. 因此, 在未来工作中将考虑把状态反馈结果扩展至输出反馈.