Finite-time Formation of Large-scale Multi-agent Systems Based on an ODE-PDE Approach
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摘要: 现有基于偏微分方程(Partial differential equation, PDE)的多智能体系统(Multi-agent system, MAS)编队控制方法要求智能体必须是密集分布的, 为打破这一限制, 提出一种新的基于常微分−偏微分方程(Ordinary differential equation-partial differential equation, ODE-PDE)的分析方法, 以解决稀疏−密集混合分布的大规模异构MAS编队问题. 首先, 通过设计特定的通信协议, 并基于空间离散系统部分连续化方法, 将原始大量的异构MAS的ODE动力学模型转化为由一个PDE 和少数几个ODE耦合而成的ODE-PDE 模型. 为更符合实际复杂场景, 将拓扑权值规定为半马尔科夫切换的, 且稀疏分布和密集分布智能体遵循不一致的切换规则. 其次, 针对无时滞和有时滞两种情形, 设计两种异步边界控制策略, 利用Lyapunov方法得到保证误差系统实际有限时间稳定的充分条件, 并得到停息时间和稳定阈值的计算规则. 最后, 两个广义的数值仿真进一步验证了所提方法的有效性.
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关键词:
- 大规模异构多智能体系统 /
- 常微分−偏微分方程 /
- 实际有限时间编队 /
- 半马尔科夫切换拓扑 /
- 异步边界控制
Abstract: The existing formation control methods of multi-agent systems (MASs) based on partial differential equation (PDE) require that agents must be densely distributed. To break this limitation, this paper proposes a novel analysis method based on ordinary differential equation-partial differential equation (ODE-PDE), such that the formation problem of large-scale heterogeneous MASs with sparse and dense mixed distribution could be solved. First, the original numerous heterogeneous ODE dynamics models of MASs are transformed into an ODE-PDE model consisting of a PDE coupled to several ODEs through specific communication protocol design and partial continuum method of spatial discrete systems. To match realistic complex scenes better, the topological weights are designed to be semi-Markov switched, and the switching rules followed by sparsely and densely distributed agents are inconsistent. Second, two asynchronous boundary control strategies are designed for delay-free and time-delayed cases, respectively. The Lyapunov method is used to obtain sufficient conditions to ensure the practically finite-time stability of the error system, and the calculation rules of the settling time and stability threshold are provided. Finally, two generalized numerical simulations further verify the effectiveness of the proposed approach. -
近年来, 通信技术和人工智能的飞速发展推动了多智能体系统(Multi-agent system, MAS)控制理论在无人机集群、智能交通和微电网群等领域的广泛应用, 引起很多学者的重点关注[1–3]. 实际需求的日益多样化和工业产品的日益多元化导致MAS的规模不断扩大, 这给传统的基于常微分方程(Ordinary differential equation, ODE)的分析过程带来挑战. 当MAS规模较大时, 以ODE表示的MAS模型维数会急剧增高, 使相关的理论分析和控制器设计变得十分复杂, 控制效果也会相应下降[4]. 为解决这一问题, 一些学者提出基于偏微分方程(Partial differential equation, PDE)的方法用于大规模MAS的协同控制. 与ODE方法相比, PDE方法的主要优势在于仅用一个PDE就可以有效地表示大规模MAS的集体动力学, 且无论MAS的规模如何变化, 都能够始终保持恒定的分析复杂度和控制效果[5].
下面列举基于PDE方法的几个代表性结果. 假设智能体可以获得目标曲线的局部信息及其与最近邻居的相对位移, Wei等[6]将大量一阶智能体的集体动力学建模为扩散方程(一类典型PDE), 并通过Halanay不等式实现了其指数编队; 考虑无时滞和有时滞两种情形, Su等[7]研究了大规模移动二阶智能体的指数编队问题, 其动力学由二维或三维空间中的强阻尼波动方程(也是一类典型的PDE)描述. 在网络缺陷的背景下, Terushkin等[8]分别研究了非线性一阶智能体和二阶智能体在开环光滑曲线上的编队问题, 并设计相应的静态输出反馈控制器. 此外, 还有一些学者利用基于PDE的反步法研究了大规模MAS的编队控制问题[5, 9–10], 等等.
然而, 由于ODE模型向PDE模型转换的过程中存在精度损失, 导致PDE方法仅适用于有限空间内智能体足够多的场景, 即空间内的智能体必须密集分布才能保证模型足够精确, 这将大大限制PDE方法的适用性. 因为实际场景往往是复杂动态的, 很难保证所有智能体始终都呈密集分布, 很可能存在一部分密集分布、另一部分稀疏分布的情况. 例如, 假设有限区域内存在由几架无人机和上百辆无人车共同组成的大规模机−车编队, 当要求无人机在无人车上空分散盘旋时, 那么这几架无人机可以看作是稀疏分布的, 而上百辆无人车则可以看作是密集分布的. 针对这一问题, 本文提出一种基于ODE-PDE 的分析方法来研究MAS的编队问题, 该方法不仅适用于大规模MAS, 而且适用于一部分智能体密集分布、另一部分智能体稀疏分布的情形. 其核心思想是, 提出合理假设, 并通过特定的网络通信协议设计以及空间离散系统部分连续化的方法, 可以将MAS原始的ODE模型转化为ODE-PDE 模型, 然后利用ODE-PDE系统的分析方法和控制策略实现大规模稀疏−密集混合分布MAS的编队. 与现有PDE方法相比, 本文提出的ODE-PDE方法在普适性方面具备明显优势, 即不仅适用于大规模异构多智能体系统, 而且适用于智能体稀疏−密集混合分布的实际复杂场景.
从稳定时间的角度, 基于ODE方法的MAS有限时间协同控制问题得到了广泛而深入的研究, 因为有限时间控制比无限时域的控制更能满足实际MAS关于时效性的要求[11]. 然而, 基于PDE方法的MAS有限时间协同控制的研究结果非常有限[12–13], 尚处于研究的初始阶段. 为进一步丰富相关成果, 本文提出ODE-PDE方法研究MAS的实际有限时间编队问题. 与有限时间完全稳定不同的是, 实际有限时间稳定能够保证MAS状态和期望状态之间的误差在有限时间内收敛到一个特定的范围内, 而不必完全收敛到零[14–15]. 这种收敛性足以满足大多数MAS的实际控制要求, 例如, 在某些信号拦截任务中, 无人信号干扰器只要接近信号源, 就能够从信号源获取或干扰信号, 而无需完全到达该信号源的位置.
近年来, 一些学者将马尔科夫拓扑切换规则引入MAS中, 以刻画实际系统中由于非理想的外部环境和通信设备所导致的拓扑切换现象[16–17]. 然而, 马尔科夫切换过程规定模态的驻留时间只能服从指数分布, 且转换速率必须是常数, 这显然在实际应用中存在较大的局限性. 为放宽这一限制, 一些文献将半马尔科夫切换规则引入MAS中[18–20], 因为半马尔科夫过程允许驻留时间遵循非指数分布, 这在很大程度上增强了理论结果的普适性. 需要指出的是, 无论是马尔科夫切换拓扑还是半马尔科夫切换拓扑, 无论是同构MAS还是异构MAS, 现有的大多数文献都假设所有智能体的拓扑切换规则是一致的. 但是, 由于实际环境的复杂性和智能体类型的多样性, 很难确保所有智能体之间遵循相同的拓扑切换规则. 因此, 本文设计的网络通信协议假设异构MAS的拓扑服从于两个相互独立的半马尔科夫切换规则, 并规定控制策略的切换规则与通信拓扑的切换规则是异步的, 以更好地吻合实际拓扑切换情况.
面向大规模MAS, 考虑有时滞和无时滞两种情形, 本文的主要目标是提出一种基于ODE-PDE的分析方法, 通过边界控制实现MAS的实际有限时间编队. 本文的主要创新总结如下: 首先, 通过设计特殊的网络通信协议, 提出一种新的基于ODE-PDE的分析方法以应对大规模异构MAS的编队问题, 该方法允许智能体一部分密集分布、另一部分稀疏分布, 这在很大程度上放宽了已有PDE编队方法中“智能体必须密集分布”的限制, 因此, 与现有文献[5–10] 相比, 本文的主要结果普适性更强. 其次, 本文考虑MAS不一致半马尔科夫拓扑切换现象, 设计的通信协议中, 拓扑权值的切换服从两个相互独立的半马尔科夫过程. 相比于考虑恒定拓扑的文献[5–10]或者考虑一致拓扑切换的文献[16–20], 本文设计的拓扑切换规则更加广义、更符合实际拓扑切换情形. 此外, 本文规定控制策略切换规则与通信拓扑切换规则是异步的, 进一步提高了主要结果的合理性和实用性.
1. 预备知识
1.1 符号注释
$ {\bf R} $ 表示实数集; $ {\bf R}^n $ 表示$ n $维实数集; $ {\bf R}_{ +} $表示非负实数集; $ {\bf Z}_{ +} $表示非负整数集; $ {\cal{C}}^n $ 表示连续$ n $ 阶可微函数族; $ {{\cal{H}}}^2 (0,\;l) $表示实Hilbert空间, 在此空间中, 如果给定一个均方可积的函数$ w (z): [0,\;l]\rightarrow {\bf R} $, 有$ \left\| w (\cdot) \right\|_{{{\cal{L}}}^2} = \sqrt{\int_0^{l} {w ^2}({z}){\rm d}{z}} $; $ {\rm E} $表示数学期望算子; $ {{\cal{L}}} $ 表示弱微分算子.
1.2 问题描述
对存在于二维或三维空间中的MAS, 假设其由$ m $个稀疏分布的智能体和$ n $个密集分布的智能体组成, 且定义$ {\cal{M}}=\{1,\;2,\; \cdots,\;m\} $和$ {\cal{N}}=\{1,\; 2,\;\cdots,\;n\} $分别是稀疏分布智能体和密集分布智能体的序列集合. 考虑单个智能体的动力学方程为
$$ \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} \dot x_i^j(t) = u_i^j(t) + {f}^j({x^j_i}(t)),\;&i \in {{\cal{M}}}\\ \dot y_i^j(t) = v_i^j(t) + {g}^j({y^j_i}(t)),\;& i \in {\cal{N}} \end{array}\right. $$ (1) 其中, $ x_i^j(t) $和$ y_i^j(t) $分别表示稀疏分布和密集分布的智能体的绝对位置; $ j $表示空间坐标轴的序号, 当考虑二维空间时, $ j\in\{1,\;2\} $, 当考虑三维空间时, $ j\in\{1,\;2,\;3\} $; $ u_i^j(t) $和$ v_i^j(t) $是需要设计的通信协议; $ {f}^j({x_i^j}(t)) $和$ {g}^j({y_i^j}(t)) $表示系统的非线性函数, 且满足如下假设:
假设1. 对于非线性函数$ {f}^j(\cdot) $和$ {g}^j(\cdot) $, 存在常数 $ {\mu^j _{1}} $ 和 $ {\mu^j _{2}} $, 使得下式成立:
$$ \begin{array}{*{20}{l}} \left| {f^j(a) - f^j(b)} \right| \le {\mu^j _{1}}\left| {a - b} \right|\\ \left| {g^j(c) - g^j(d)} \right| \le {\mu^j _{2}}\left| {{c} - {d}} \right| \end{array} $$ 其中, $ a,\; b,\; c,\; d\in {\bf R} $.
因为每个空间轴上系统状态的分析过程是类似的, 为便于描述, 在后续的表述中, 本文省略所有的上标$ j $.
本文的主要目标是实现稀疏−密集混合分布的大规模异构MAS在二维和三维空间中的部署, 智能体的初始位置和目标位置满足如下假设:
假设2. 集合$ {\cal{M}} $中的智能体初始位置表示为 $ x_1(0),\; x_2(0),\; \cdots,\; x_m(0) $, 且目标位置表示为$ \Gamma_1,\; \Gamma_2, \cdots,\; \Gamma_m $. 集合$ {\cal{N}} $中的智能体初始分布于空间中一条$ {\cal{C}}^1 $曲线上: $ \Xi_0: [0,\;l]\rightarrow {\bf R}^2 $ 或 $ {\bf R}^3 $, 智能体在每个坐标轴上的初始位置表示为$ \Xi_0(h),\; \Xi_0(2h),\; \cdots, \Xi_0(nh) $, 其中, $ h = {l}/{{n}} $, 且它们的目标位置分布于空间中另一条$ {\cal{C}}^1 $曲线上: $ \Xi: [0,\;l]\rightarrow {\bf R}^2 $或$ {\bf R}^3 $, 密集分布智能体的目标位置表示为$ \Xi(h),\; \Xi(2h),\; \cdots, \Xi(nh) $.
注1. 假设2中关于集合$ {\cal{N}} $中密集分布多智能体的假设是合理且广义的, 因为如果把每个智能体都看作一个质点, 总能找到一条光滑的曲线将二维或三维空间中离散分布的智能体依次串联起来.
1.3 ODE-PDE误差系统构建
在设计通信协议时, 本文考虑了半马尔科夫拓扑切换现象, 且稀疏分布和密集分布的智能体所遵循的切换规则是不一致的.
定义1. 对于任意的 $ \varpi,\; \varepsilon \in {\cal D}_1 = \{ 1,\;2,\;\cdots,\; d_1\} $, $ {t_0},\;{t_1},\;\cdots,\;{t_k}\geq 0 $ 和 $ {k\in {\bf Z}_+} $, 当$ t \in [{t_k},\;{t_{k + 1}}) $ 时, 如果随机过程$ \varrho(t)= { \varrho_k} $ 满足: 1) $ \Pr ( { \varrho_{k + 1}} = \varepsilon,\; {\nu_{k + 1}} \le \nu | { \varrho_0},\; { \varrho_1},\;\cdots,\;{ \varrho_k},\; {t_0},\;{t_1},\;\cdots,\;{t_k}) \ =\ \Pr ({ \varrho_{k + 1}} \ =\ \varepsilon $, $ {\nu_{k + 1}} \le \nu |{ \varrho_k}) $; 2) $ \Pr (\left. {{ \varrho_{k + 1}} = \varepsilon,\; {\nu_{k + 1}} \le \nu} \right|{ \varrho_k} = \varpi) $不依赖于$ k $, 其中, $ \{ { \varrho_k}\}\in {\cal D}_1 $ 表示第$ k $个模态, $ \{ {t_k}\}\in {{\bf R}_+ } $是第$ k $个模态的切换时刻, $ \{ {\nu_k}\}\in {{\bf R}_+ } $ 是模态 $ \varrho_{k-1} $ 的驻留时间, 那么, 随机过程$ \varrho(t)= { \varrho_k} $可以看作是一个右连续的齐次半马尔科夫过程[21].
假设$ \hat{\pi}_{\varpi \varepsilon}(\nu) $是模态$ \varpi $和$ \varepsilon $之间的转移率, 那么当$ \varpi \ne \varepsilon $时, $ \hat{\pi} _{\varpi \varepsilon}(\nu)>0 $, 且模态转移函数可以表示为
$$ \left\{ \begin{aligned} &\Pr \{ \left. {{ \varrho_{k + 1}} = \varepsilon,\; {\nu_{k + 1}} \le \nu + \Delta \nu} \right|{ \varrho_k} = \varpi,\;\\ &\quad\;\; {\nu_{k + 1}} > \nu\} ={\hat{\pi}_{\varpi \varepsilon}}(\nu)\Delta \nu + o(\Delta \nu),\quad\qquad \varpi \ne \varepsilon \\ &\Pr \{ \left. {{ \varrho_{k+ 1}} =\varepsilon,\; {\nu_{k+ 1}} > \nu + \Delta\nu } \right|{ \varrho_k} = \varpi,\; \\ &\quad\;\; {\nu_{k + 1}} > \nu\} = 1 + {\hat{\pi}_{\varpi \varpi}}(\nu)\Delta\nu + o(\Delta\nu ),\; \ \ \varpi = \varepsilon \end{aligned} \right. $$ (2) 其中, $ \Delta\nu>0 $, $ {\lim }_{\Delta \nu \to 0} \left({\frac{o(\Delta \nu)}{\Delta \nu}} \right) = 0 $, $ {\hat{\pi}_{\varpi \varpi}}(\nu) = - \sum_{\varepsilon = 1,\; \varepsilon \ne \varpi}^{d_1} {{\hat{\pi}_{\varpi \varepsilon }}(\nu)} $.
定义 $ \xi (t) = {\xi_k}\in {\cal D}_2=\{1,\; 2,\; \cdots,\; d_2\},\; t \in [{t_k},\; {t_{k + 1}}) $为另一个独立于$ \varrho(t) $的半马尔科夫过程. 同理, $ \xi(t) $ 的模态转移函数可以表示为
$$ \left\{ \begin{aligned} &\Pr \{ \left. {{\xi_{k + 1}} = \tau,\; {\nu_{k + 1}} \le \nu + \Delta\nu } \right|{\xi_k} = \delta,\; \\ & \quad\;\;\; {\nu_{k + 1}} > \nu\}= {\tilde{\pi}_{\delta \tau}}(\nu)\Delta\nu + o(\Delta \nu),\qquad\ \ \delta \ne \tau \\ &\Pr \{ \left. {{\xi_{k+ 1}} = \tau,\; {\nu_{k+ 1}} > \nu + \Delta\nu } \right|{\xi_k} = \delta,\; \\ &\quad\;\; {\nu_{k + 1}} > \nu\} = 1 + {\tilde{\pi}_{\delta \delta}}(\nu)\Delta\nu + o(\Delta \nu),\; \quad \delta = \tau \end{aligned} \right. $$ (3) 其中, $ {\tilde{\pi}_{\delta \tau}}(\nu) $是$ \delta $和$ \tau $之间的转移率, 对于$ \delta \ne \tau $, $ \tilde{\pi}_{\delta \tau}(\nu)>0 $, $ {\tilde{\pi}_{\delta \delta}}(\nu) = - \sum_{\tau = 1,\; \delta\ne \tau}^{d_2} {\tilde{\pi}_{\delta \tau}}(\nu) $.
显然, $ \varrho(t) $和$ \xi(t) $是不一致的半马尔科夫切换过程. 在下文中, 系统模态表示为$ \varrho(t)=\varpi $, $ \xi(t)=\delta $.
在满足假设2和定义1的前提下, 针对式(1)的异构MAS, 本文设计具有不一致半马尔科夫切换拓扑的通信协议$ {u_i}(t) $和$ {v_i}(t) $如下:
$$ {u_i}(t)= {\alpha_{i \varpi}}[{x_i}(t) - {\Gamma_i}] + {f}({\Gamma_i}) $$ (4) $$ \begin{split} {v_i}(t)=\ & \frac{{\beta_\delta}}{{{h^2}}} [ {{y_{i{\rm{ + 1}}}}(t) - 2{y_i}(t) + {y_{i - 1}}(t)} ]\;- \\ & \frac{{\beta_\delta}}{{{h^2}}} [ \Xi (ih + h) - 2\Xi (ih) + \Xi (ih - h) ] \;+ \\ &\gamma_{i\delta} [{y_i}(t)-\Xi (ih)] -{g}(\Xi (ih)) \end{split} $$ (5) 其中, $ {\alpha_{i \varpi}} <0 $, $ \beta_\delta $和$ \gamma_{i\delta}$是半马尔科夫切换拓扑权值, 且$ \gamma_{i\delta}\leq \bar{\gamma} $; $ h $, $ \Gamma_i $ 和$ \Xi (ih) $的定义见假设2.
定义位置误差为 $ {e_i}(t){\rm{ = }}{x_i}(t) - {\Gamma_i} $, $ {\kappa_i}(t) = {y_i}(t)\; - \Xi (ih) $, 则由式(1)以及通信协议(4)和(5)可得误差系统为
$$ \left\{ \begin{aligned} {\dot{e} _i}(t) =\ & \tilde f({e_i}(t)) + {\alpha_{i\varpi }}{e_i}(t),\; \ \ \ \ i \in {{\cal{M}}} \\ {\dot \kappa_i}(t) =\ & \frac{{{\beta_\delta }}}{{{h^2}}}\left[ {{\kappa_{i{\rm{ + 1}}}}(t) - 2{\kappa_i}(t) + {\kappa_{i - 1}}(t)} \right]\; +\\ &\gamma_{i\delta} \kappa_i(t)+ \tilde{g}(\kappa_i(t)),\;\;\;\quad i \in {{\cal{N}}} \end{aligned} \right. $$ (6) 其中, $ \tilde f({e_i}(t)) =f({x_i}(t)) - f(\Gamma_i) $, $ \tilde{g}(\kappa_i(t)) ={g}({y_i}(t))\,- {g}(\Xi (ih)) $.
那么, 基于空间离散系统部分连续化方法[6–8], 式(6)可以表示为如下ODE-PDE 的形式:
$$ \left\{ \begin{aligned} & {\dot{e} _i}(t) =\tilde f({e_i}(t)) + {\alpha_{i\varpi }}{e_i}(t) \\ & \frac{\partial{\kappa}(z,\;t)}{\partial t} = {\beta_\delta } \frac{\partial^2 \kappa(z,\;t)}{\partial z^2}\;+ \\ &\qquad\qquad\quad \gamma_{\delta}(z) \kappa(z,\;t)+\tilde{g}(\kappa(z,\;t)) \end{aligned} \right. $$ (7) 其中, $ i \in {{\cal{M}}} $ 表示稀疏分布智能体的序号, $ z\in (0,\;l) $表示密集分布智能体的相对位置.
注2. 根据动力学模型和分析方法的不同, 现有关于MAS协同控制的研究可大致分为基于ODE方法的协同和基于PDE方法的协同. 大规模化给MAS的协同控制带来分析难度增加和协同效率下降等挑战. 现有的ODE方法难以应对上述挑战, PDE方法虽然能够降低分析难度, 但是存在一个很大的难点: 必须假设所有的智能体是均匀且密集分布的, 否则PDE方法将不再适用. 但由于复杂多样的实际需求和动态多变的运行环境, 不可避免会出现智能体非均匀或非密集分布的情形, 尤其是当智能体的数量很多时. 因此, PDE方法的适用性十分有限. 为此, 本文提出一种新的建模、分析与控制方法: ODE-PDE方法, 主要思想是针对密集分布的多数智能体采用PDE建模, 针对稀疏分布的少数智能体采用ODE建模, 然后基于ODE-PDE方法进行控制策略设计和稳定性分析. 面向大规模MAS时, 与现有方法相比, ODE-PDE方法不仅能够有效降低分析复杂度, 而且适用于稀疏−密集混合分布的实际情形, 具有分析简便和普适性强等优势特征.
注3. 目前关于基于PDE方法的多智能体编队控制问题的研究中, 尚未给出智能体是“密集分布”还是“稀疏分布”的判定条件. 本文针对这一问题进行了初步的探索, 以本文建立的MAS集体动力学系统为例, 空间离散系统连续化过程导致的误差可以表示为
$$ \begin{split}{\dot \kappa _i}(t) - \frac{{\partial \kappa (z,\;t)}}{{\partial t}}=\ &\frac{{{\beta _\delta }}}{{{h^2}}} [ {\kappa _{i{\rm{ + 1}}}}(t) -2{\kappa _i}(t) \;+\\ & {\kappa _{i - 1}}(t) ] - {\beta _\delta }\frac{{{\partial ^2}\kappa (z,\;t)}}{{\partial {z^2}}} \end{split} $$ 基于泰勒公式可得:
$$ \begin{split} {\beta _\delta }\frac{{{\partial ^2}\kappa (z,\;t)}}{{\partial {z^2}}} =\ & {\left. {{\beta _\delta }\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial \kappa (z,\;t)}}{{\partial z}}} \right)} \right|_{ih}}+ \\ & {\left. {\frac{{{\partial ^2}\kappa (z,\;t)}}{{\partial t\partial z}}} \right|_{ih}}(z - ih)\;+ \\ & \frac{1}{{2!}}{\left. {\frac{{{\partial ^3}\kappa (z,\;t)}}{{\partial t\partial {z^2}}}} \right|_{ih}}{(z - ih)^2} + \cdots \end{split} $$ 那么, 空间离散系统连续化过程导致的误差可以进一步表示为
$$ \begin{split} &{{\dot \kappa }_i}(t) - \frac{{\partial \kappa (z,\;t)}}{{\partial t}}= \frac{{{\beta _\delta }}}{{{h^2}}} [ {\kappa _{i{\rm{ + 1}}}}(t) - 2{\kappa _i}(t) \;+ \\ & \quad {\kappa _{i - 1}}(t) ] - \Biggr[{\left. {{\beta _\delta }\frac{\partial }{{\partial z}}\left(\frac{{\partial \kappa (z,\;t)}}{{\partial z}}\right)} \right|_{ih}} \;+ \\ &\quad {\left. {\frac{{{\partial ^2}\kappa (z,\;t)}}{{\partial t\partial z}}} \right|_{ih}}(z - ih) \;+ \\ & \quad \frac{1}{{2!}}{\left. {\frac{{{\partial ^3}\kappa (z,\;t)}}{{\partial t\partial {z^2}}}} \right|_{ih}}{(z - ih)^2} + \cdots \Biggr] \approx\\ &\quad \frac{{{\beta _\delta }}}{{{h^2}}}\left[ {{\kappa _{i{\rm{ + 1}}}}(t) - 2{\kappa _i}(t) + {\kappa _{i - 1}}(t)} \right]\;- \\ &\quad \left[{\left. {{\beta _\delta }\frac{\partial }{{\partial z}}\left(\frac{{\partial \kappa (z,\;t)}}{{\partial z}}\right)} \right|_{ih}} + {\left. {\frac{{{\partial ^2}\kappa (z,\;t)}}{{\partial t\partial z}}} \right|_{ih}}(z - ih)\right] \end{split} $$ 当$ z - ih $足够小时, 记
$$ \begin{split} \psi (t)&=\frac{{{\beta _\delta }}}{{{h^2}}}\left[ {{\kappa _{i{\rm{ + 1}}}}(t) - 2{\kappa _i}(t) + {\kappa _{i - 1}}(t)} \right]\;-\\ & \left[{\left. {{\beta _\delta }\frac{\partial }{{\partial z}}(\frac{{\partial \kappa (z,\;t)}}{{\partial z}})} \right|_{ih}} + {\left. {\frac{{{\partial ^2}\kappa (z,\;t)}}{{\partial t\partial z}}} \right|_{ih}}(z - ih)\right] \end{split} $$ 当$ \max \left\{ {\left| { {{\psi (t)}}/{{{{\kappa }_i}(t)}}} \right|} \right\} \le \mu $时, 多智能可以看作是“密集分布”的, 否则是“稀疏分布”的, 其中, $ \mu $表示要求达到的空间离散系统连续化精度.
定义2. 对于ODE-PDE系统(7), 如果存在足够小的常数$ \epsilon_1>0 $和$ \epsilon_2>0 $, 以及依赖于系统初值$ e_i(0) $和$ \kappa(z,\;0) $的停息时间$ T^*>0 $, 使得$ \forall t > T^* $, $ \|e_i(t)\|_{2} \leq \epsilon_1 $且$ \|\kappa(\cdot,\;t)\|_{{{\cal{H}}}^2} \leq \epsilon_2 $, 那么, ODE-PDE系统(7)是实际有限时间稳定的[22].
针对ODE-PDE误差系统(7), 为了实现定义2中所述的实际有限时间稳定, 本文拟设计无时滞和有时滞两种情形下的边界控制器.
1) 无时滞情形: 考虑较为理想的通信条件, 假设稀疏分布的智能体和密集分布的智能体进行通信时, 通信时滞可以忽略不计. 针对$ {\cal{N}} $中密集分布的智能体, 在第$ n $个智能体之后设置一个虚拟智能体, 序号为$ n+1 $. 此外, 在第1个智能体之前设置一个锚点, 序号为$ 0 $. 设计虚拟智能体和锚点的状态分别为
$$ \begin{split}{y_{n + 1}}(t) =\ &{y_{n }}(t) + h{k_{1}(\tilde{\rho}(t))}\sum\limits_{i = 1}^m {{e_i}(t)}\; +\\ & h{k_{2}(\tilde{\rho}(t))} \kappa_{n + 1}(t) \end{split} $$ (8) $$ {y_{0}}(t) = \Xi (0) $$ (9) 其中, $ k_{1}(\tilde{\rho}(t))$和$ k_{2}(\tilde{\rho}(t))$是需要设计的控制器增益, $ \tilde{\rho}(t)= \rho\in {\cal D}_2=\{1,\; 2,\; \cdots,\; d_2\} $ 是与 $ \xi (t) = \delta\in {\cal D}_2= \{1,\; 2,\; \cdots,\; d_2\} $ 异步的随机过程, 定义为[23–25]
$$ \Pr \{\left.\tilde{\rho}(t) =\rho \right| \xi (t) = \delta\}=\bar{\pi}_{\delta \rho} $$ (10) 其中, $ \bar{\pi}_{\delta \rho}>0 $, $ \sum _{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho}=1 $.
基于空间离散系统连续化方法, 控制策略(8)和(9)在误差系统中可以近似描述为
$$ {\left. {\frac{{\partial \kappa(z,\;t)}}{{\partial z}}} \right|_{z = l}}= u(t)= {k_{1\rho }} \sum\limits_{i = 1}^m {{e_i}(t)}+ {k_{2\rho }}\kappa(l,\;t) $$ (11) $$ { \kappa(0,\;t)}= 0 $$ (12) 即无时滞情形下ODE-PDE系统(7)的边界条件.
2) 有时滞情形: 考虑非理想的通信条件, 假设稀疏分布的智能体和密集分布的智能体进行通信时, 通信时滞对系统性能影响较大, 不可忽略. 类似于无时滞情形, 针对$ {\cal{N}} $中密集分布的智能体, 设置虚拟智能体$ n+1 $和锚点$ 0 $. 设计虚拟智能体和锚点的状态分别为
$$ \begin{split} {y_{n + 1}}(t) =\ & {y_{n}}(t)+h{\tilde{k}_{1\rho }}\sum\limits_{i = 1}^m {{e_i}(t-\sigma(t))}\;+\\ & h{\tilde{k}_{2\rho }} \kappa_{n + 1}(t) \end{split} $$ (13) $$ {y_{0}}(t) = \Xi (0) $$ (14) 其中, $ {\tilde{k}_{1\rho }} $和$ {\tilde{k}_{2\rho }} $是需要设计的控制器增益, $ \sigma(t) $ 表示通信时滞, 且满足$ 0<{\sigma}(t)\leq\tilde{\sigma} $, $ \dot{\sigma}(t)\leq\bar{\sigma} $.
基于空间离散系统连续化方法, 控制策略 (13) 和 (14)在误差系统中可以近似描述为
$$\begin{split} {\left. {\frac{{\partial \kappa(z,\;t)}}{{\partial z}}} \right|_{z = l}}=\ &\tilde{u}(t)= {\tilde{k}_{1\rho }} \sum\limits_{i = 1}^m {{e_i}(t-\sigma(t))}\;+ \\ &{\tilde{k}_{2\rho }}\kappa(l,\;t)\end{split} $$ (15) $$\kappa(0,\;t)= 0 $$ (16) 即有时滞情形下ODE-PDE系统(7)的边界条件.
注4. ODE-PDE系统的一个典型特征是ODE和PDE存在一定程度的耦合. 对于误差系统(7), ODE和PDE的耦合是通过边界控制策略(11)和(15)实现的, 即位于密集分布智能体边界的虚拟智能体可以获取稀疏分布智能体的位置信息, 从而形成完整的ODE-PDE误差系统.
1.4 主要引理
引理1. 对于一个函数 $ \zeta(z) \in {\cal{H}}^1(0,\;l) $, 如果 $ \zeta(l)= 0 $或$ \zeta(0)=0 $, 那么[26]
$$ \int_0^l {\zeta^2(z){\rm d}z} \le \frac{{ {{{4 l^2}}}}}{{{\pi ^2}}} \int_0^l \left[\frac{{\mathrm{d}}\zeta(z)}{{\mathrm{d}}z}\right]^2{\rm d}z $$ (17) 引理2. 对于一个系统 $ \dot{x}(t)=f(x(t),\; u) $, 如果存在一个函数$ \zeta(x(t))\in {\cal{C}}^1 $以及$ k_\infty $函数$ \varrho_1(\cdot) $ 和 $ \varrho_2(\cdot) $, 使得如下不等式成立[27]:
$$ \varrho_1(\|x(t)\|)\leq \zeta(x(t)) \leq \varrho_2(\|x(t)\|) $$ (18) $$ \begin{split} \zeta(x(t))& -\zeta(x(s)) \leq\\ & - a_1\int_s^t \zeta^{a_2}(x(v)){\rm d}v+ a_3(t-s) \end{split} $$ (19) 其中, $ a_1>0 $, $ a_3>0 $, $ a_2\in (0,\; 1) $, $ 0\leq s \leq t $, 那么, 存在$ T^* $, 表示为
$$ T^*=\frac{\zeta^{1-a_2}(x(0))-\left[\frac{a_3}{(1-\bar{\tau})a_1}\right]^{\frac{1-a_2}{a_2}}}{(1-a_2)\bar{\tau} a_1} $$ 其中, $ 0<\bar{\tau}<1 $, 则 $ \forall t\geq T^* $, 有 $ \|x(t)\|\leq \epsilon $, $ \epsilon $是正定常数, 且
$$ \begin{array}{*{20}{l}} \epsilon=\varrho^{-1}_1\Bigg[\Bigg(\dfrac{a_3}{(1-\bar{\tau})a_1}\Bigg)^{\frac{1}{a_2}}\Bigg] \end{array} $$ 引理3. 对于一个随机过程$ \varrho(t) $和一个弱可微的非负函数$ {\cal{V}}(t,\; \varrho(t)) $, 如果$ {\cal{V}}(t,\; \varrho(t)) $的弱微分满足
$${\cal L} {\cal{V}}(t,\; \varrho(t)) \leq \Theta- \varphi {{\cal{V}}^\hbar }(t,\; \varrho(t)) $$ (20) 其中, $ \varphi>0 $, $ 0<\hbar <1 $, $ \Theta>0 $, 那么, $ \forall t\geq T^* $, $ {\rm E}{{\cal{V}}}(t, \varrho(t))\leq \epsilon $, 其中 $ T^* $ 和 $ \epsilon $ 是正定常数[13].
2. 主要结果
针对式(1)的异构MAS实际有限时间编队问题, 本文考虑无通信时滞和有通信时滞两种情形, 基于设计的通信协议和控制策略, 利用Lyapunov方法分别得到了无时滞和有时滞情形下误差系统实际有限时间稳定准则.
2.1 无时滞情形下的有限时间稳定
针对无时滞边界控制策略(11)和(12)下的ODE-PDE 误差系统(7), 构建如下Lyapunov函数:
$$ V(\varpi,\; \delta,\; t) =\sum\limits_{i = 1}^m {{q_\varpi }{e^2_i}(t)}+ \int_0^l {{p_\delta }{\kappa^2}(z,\;t){\rm d}z} $$ (21) 其中, $ q_\varpi>0 $和$ {p_\delta }>0 $是常数.
基于构建的Lyapunov函数(21), 可得如下无时滞情形下ODE-PDE误差系统(7)的实际有限时间稳定准则:
定理1. 给定常数$ \varphi>0 $, $ 0<\hbar <1 $, 以及ODE-PDE误差系统(7)合适的参数, 如果存在正定常数$ q_\varpi $和$ p_\delta $, 使得如下线性矩阵不等式成立:
$$ \Psi_{i \varpi \delta}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\psi_{11}}&{\psi_{12}}&{\psi_{13}}\\ *&{\psi_{22}}&{\psi_{23}}\\ *&*&{\psi_{33}} \end{array}} \right] $$ (22) 其中,
$$ \begin{split} &{\psi_{11}}=\frac{{2{q_\varpi }{\alpha _{i\varpi }} + \sum\limits_{\varepsilon = 1}^{{d_1}} {{\pi _{1\varpi \varepsilon }}} {q_\varepsilon } + 2{q_\varpi }{\mu _1}+\varphi \hbar {{q_\varpi }} }}{l} \\ &{\psi_{12}}=0,\;\ \ \ \ {\psi_{13}}= {\frac{1}{l}{ \sum\limits_{\rho = 1}^{{d_2}} {{{\bar \pi }_{\delta \rho }}} {p_\delta }{\beta _\delta }{k_{1\rho }}}} \\ &{\psi_{22}}={\sum\limits_{\tau = 1}^{{d_2}} {{\pi _{2\delta \tau }}{p_\tau } + 2{p_\delta }{\mu _2}} +2\bar{\gamma} - \frac{{{p_\delta }{\beta _\delta }{\pi ^2}}}{{2{l^2}}} + \varphi \hbar {p_\delta }} \\ &{\psi_{23}}={\frac{{{p_\delta }{\beta _\delta }{\pi ^2}}}{{2{l^2}}}},\; {\psi_{33}}={ - \frac{{{p_\delta }{\beta _\delta }{\pi ^2}}}{{2{l^2}}}}+\frac{2}{l}\sum\limits_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho} {p_\delta}{\beta_\delta }{k_{2\rho }} \end{split} $$ 则在无时滞边界控制策略(11)和(12)下, ODE-PDE误差系统(7)是实际有限时间稳定的.
证明. 利用泰勒公式和累积分布函数的性质可得Lyapunov函数(21)的弱微分为[28]
$$ \begin{split}&{\cal L}V(\varpi,\; \delta,\; t) = \sum\limits_{i = 1}^m {2e_i^{\rm T}(t){q_\varpi }{{\dot e}_i}(t)}\;+ \\ &\ \ \ \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{\varepsilon = 1}^{{d_1}} {{{\pi }_{1\varpi \varepsilon }}{q_\varepsilon }{e^2_i} (t) } }+2\int_0^l {{p_\delta}\kappa(z,\;t){\frac{\partial \kappa(z,\;t)}{\partial t}}{\rm d}z}\;+\\ &\quad \int_0^l {\sum\limits_{\tau = 1}^{{d_2}} {{{ \pi }_{2\delta \tau }}{p_\tau }{\kappa^2}(z,\;t)} {\rm d}z}\\[-1pt] \end{split} $$ (23) 其中, $ {{\pi }_{1\varpi \varepsilon }}= { {\rm E}}\{ \hat{\pi} _{\varpi \varepsilon}(\nu)\} $, $ {{\pi }_{2\delta \tau }}= { {\rm E}}\{{\tilde{\pi}_{\delta \tau}}(\nu)\} $.
将误差系统(7)代入式(23), 可得
$$ \begin{split} &{\cal L}V(\varpi,\; \delta,\; t) = \sum\limits_{i = 1}^m {2{e_i}(t){q_\varpi }[\tilde f({e_i}(t)) + {\alpha_{i\varpi }}{e_i}(t)]}\;+ \\ &\quad \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{\varepsilon = 1}^{{d_1}} {{{\pi }_{1\varpi \varepsilon }}{q_\varepsilon }{e^2_i} (t) } } +2\int_0^l \gamma_{\delta}(z) {p_\delta} \kappa^2(z,\;t){\rm d}z \;+ \\ & \quad 2\int_0^l \Bigg[{p_\delta}\kappa(z,\;t) \tilde{g}(\kappa(z,\;t))\;+\\ & \quad\sum\limits_{\tau = 1}^{{d_2}}{{{ \pi }_{2\delta \tau }}{p_\tau }{\kappa^2}(z,\;t)}\Bigg] {\rm d}z\;+\\ & \quad 2\int_0^l {{p_\delta}{\beta_\delta }\kappa(z,\;t) \frac{\partial^2 \kappa(z,\;t)}{\partial z^2} {\rm d}z}\\[-1pt] \end{split} $$ (24) 引入一个新的变量$ \hat \kappa(z,\;t) =\kappa(z,\;t) - \kappa (l,\;t) $, 显然有$ \hat \kappa(l,\;t) =0 $, 且$ \frac{\partial\hat \kappa(z,\;t) }{\partial z}= \frac{\partial \kappa(z,\;t) }{\partial z} $. 基于分布积分法、引理1以及异步边界控制策略(11)和(12), 可得
$$ \begin{split} &2\int_0^l {{p_\delta}{\beta_\delta }\kappa(z,\;t) \frac{\partial^2 \kappa(z,\;t)}{\partial z^2} {\rm d}z} =\\ &\qquad 2\sum_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho}\int_0^l {{p_\delta}{\beta_\delta }\kappa(z,\;t) {\rm d} \frac{\partial\kappa(z,\;t)}{\partial z} } =\\ &\qquad \left.2 \sum_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho} {{p_\delta}{\beta_\delta }\kappa(z,\;t) \frac{\partial\kappa(z,\;t)}{\partial z} } \right|_0^l \;-\\ &\qquad 2\int_0^l {{p_\delta}{\beta_\delta }[\frac{\partial\kappa(z,\;t)}{\partial z}]^2 {\rm d} z} =\\ &\qquad 2 \sum_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho} {p_\delta}{\beta_\delta }\kappa(l,\;t) {k_{1\rho }} \sum\limits_{i = 1}^m {{e_i}(t)} \;+\\ &\qquad 2\sum_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho} {p_\delta}{\beta_\delta }{k_{2\rho }}\kappa^2(l,\;t)\;-\\ &\qquad 2\int_0^l {{p_\delta}{\beta_\delta }[\frac{\partial \hat \kappa(z,\;t)}{\partial z}]^2 {\rm d} z}\;\leq\\ &\qquad 2\sum_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho} {p_\delta}{\beta_\delta }\kappa(l,\;t) {k_{1\rho }} \sum\limits_{i = 1}^m {{e_i}(t)} \;+\\ &\qquad 2\sum_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho} {p_\delta}{\beta_\delta }{k_{2\rho }}\kappa^2(l,\;t)- \frac{{p_\delta}{\beta_\delta }\pi^2}{2l^2}\int_0^l \hat \kappa^2(z,\;t) {\rm d}z \end{split} $$ 如果假设1成立, 那么, $ \tilde f({e_i}(t)) $和$ \tilde{g}(\kappa(z,\;t)) $ 满足如下不等式:
$$ \begin{split} & 2{q_\varpi }{e_i}(t)\tilde f({e_i}(t)) \le 2{q_\varpi }\left| {{e_i}(t)} \right|\left| {\tilde f({e_i}(t))} \right|\le\\ &\qquad 2{q_\varpi }{\mu _1}\left| {{e _i}(t)} \right|\left| {{e_i}(t)} \right| = 2{q_\varpi }{\mu _1}e_i^2(t) \end{split} $$ 且
$$ \begin{split} &2{p_\delta}\int_0^l {\kappa(z,\;t) \tilde{g}(\kappa(z,\;t)) {\rm d}z} \le\\ &\qquad 2{p_\delta }\int_0^l {\left| {\kappa(z,\;t)} \right|\left|\tilde{g}(\kappa(z,\;t)) \right|{\rm d}z} \le \end{split} $$ $$ \begin{split} &\qquad 2{p_\delta }{\mu _2}\int_0^l {\left| {\kappa(z,\;t)} \right|\left| {\kappa(z,\;t)} \right|{\rm d}z}=\\ & \qquad2{p_\delta }{\mu _2}\int_0^l {{\kappa^2}(z,\;t){\rm d}z} \end{split} $$ 基于以上分析, $ {\cal L}V(\varpi,\; \delta,\; t) $的上界可以表示为
$$ \begin{split}& {\cal L}V(\varpi,\; \delta,\; t) \leq \sum\limits_{i = 1}^m {(2{q_\varpi }{\alpha_{i\varpi }} + \sum\limits_{\varepsilon = 1}^{{d_1}} {{\pi }_{1\varpi \varepsilon }}{q_\varepsilon }){e^2_i}(t) }\;+\\ &\quad \int_0^l {\sum\limits_{\tau = 1}^{{d_2}} {{{ \pi }_{2\delta \tau }}{p_\tau }{\kappa^2}(z,\;t)} {\rm d}z}+2{q_\varpi }{\mu _1}e_i^2(t)\;+\\ &\quad 2 \sum\limits_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho} {p_\delta}{\beta_\delta }\kappa(l,\;t) {k_{1\rho }} \sum\limits_{i = 1}^m {{e_i}(t)} \;+\\ &\quad 2 \sum_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho} {p_\delta}{\beta_\delta }{k_{2\rho }}\kappa^2(l,\;t)-\frac{{p_\delta}{\beta_\delta }\pi^2}{2l^2}\int_0^l \hat \kappa^2(z,\;t) {\rm d}z \;+\\ &\quad 2({p_\delta }{\mu _2}+\bar{\gamma})\int_0^l {{\kappa^2}(z,\;t){\rm d}z} \end{split} $$ 此外, 常见的Young不等式如下:
$$ ab\leq \frac{a^\iota}{\iota} + \frac{b^\jmath}{\jmath} $$ (25) 其中, $ a,\; b\geq 0 $, $ \iota,\; \jmath>1 $, $ {\iota}^{-1}+ {\jmath}^{-1}=1 $. 如果令$ a=V^\hbar(\varpi,\; \delta,\; t) $, $ b=1 $, $ \iota=\hbar^{-1} $, $ \jmath=(1-\hbar)^{-1} $, 显然有
$$ V^\hbar(\varpi,\; \delta,\; t) \le \hbar V (\varpi,\; \delta,\; t) + 1 - \hbar $$ 因此,
$$ \begin{split} &{\mathcal L}V(\varpi,\; \delta,\; t) + \varphi V^\hbar(\varpi,\; \delta,\; t) \le \\ &\qquad {\mathcal L}V(\varpi,\; \delta,\; t) + \varphi [\hbar V (\varpi,\; \delta,\; t) + 1 - \hbar] \le \\ & \qquad \sum\limits_{i = 1}^m \int_0^l \chi^{\rm T} \Psi_{i \varpi \delta} \chi {\rm d}z+ \varphi(1 - \hbar) \end{split} $$ 其中, $ \chi=[{{e_i}(t)},\; {\kappa (z,\;t)},\; {\kappa (l,\;t)}]^{\rm T} $, $ \Psi_{i \varpi \delta} $ 如式(22)所示.
当线性矩阵不等式(22)成立时, 显然有
$$ {\mathcal L}V(\varpi,\; \delta,\; t) + \varphi V^\hbar(\varpi,\; \delta,\; t) \le 1 - \hbar $$ 则基于引理2和引理3, 存在一个停息时间$ T^* $, 满足
$$ T^*= \frac{{\rm E} {V}^{1-\hbar} (\varrho(0),\; \xi(0),\; 0)-\left(\frac{1 - \hbar}{1-\bar{\tau} }\right)^{\frac{1-\hbar}{\hbar}}}{(1-\hbar)\bar{\tau} \varphi} $$ 其中, $ 0<\bar{\tau}<1 $, 使得 $ \forall t\geq T^* $, 有
$$ \max(\|e_i(t)\|_{2},\;\|\kappa(\cdot,\;t)\|_{{{\cal{H}}}^2} ) \leq \Bigg[\frac{ \varphi(1 - \hbar)}{(1-\bar{\tau})\varphi}\Bigg]^{\frac{1}{\hbar}} $$ 基于定义2可知, 在无时滞边界控制策略(11)和(12)下, ODE-PDE误差系统(7)是实际有限时间稳定的.
□ 2.2 有时滞情形下的有限时间稳定
针对时滞边界控制策略(15)和(16)下的ODE-PDE误差系统(7), 构建如下Lyapunov函数:
$$ \tilde{V}(\varpi,\; \delta,\; t) ={\hat{V}}(t) +{V}(\varpi,\; \delta,\; t) $$ (26) 其中, $ {V}(\varpi,\; \delta,\; t) $如式(21)所示, 且
$$ {\hat{V}}(t)=\sum\limits_{i = 1}^m {\int_{t -\sigma(t)}^t {\exp (\varphi \hbar(\theta - t))r{e^2_i}(\theta ){\rm d}\theta } } $$ 其中, $ \varphi>0 $, $ 0<\hbar <1 $, $ r>0 $是常数.
基于构建的Lyapunov函数(26), 可得如下有时滞情形下ODE-PDE误差系统(7)的实际有限时间稳定准则:
定理2. 给定常数 $ \varphi>0 $, $ 0<\hbar <1 $, 以及ODE-PDE误差系统(7)合适的参数, 如果存在正定常数$ q_\varpi $, $ p_\delta $和$ r $, 以及任意常数$ \gamma_\jmath $, $ \jmath=1,\;2,\;\cdots,\;5 $, 使得如下线性矩阵不等式成立:
$$ \tilde{\Psi}_{i \varpi \delta}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde{\psi}_{11}}&{\tilde{\psi}_{12}}&{\tilde{\psi}_{13}}&{\tilde{\psi}_{14}}&{\tilde{\psi}_{15}}\\ *&{\tilde{\psi}_{22}}&{\tilde{\psi}_{23}}&{\tilde{\psi}_{24}}&{\tilde{\psi}_{25}}\\ *&*&{\tilde{\psi}_{33}}&{\tilde{\psi}_{34}}&{\tilde{\psi}_{35}}\\ *&*&*&{\tilde{\psi}_{44}}&{\tilde{\psi}_{45}}\\ *&*&*&*&{\tilde{\psi}_{55}} \end{array}} \right] $$ (27) 其中,
$$ \begin{split} &{\tilde{\psi}_{11}}=\frac{ {q_\varpi }(2{\alpha _{i\varpi }}+ 2 {\mu _1}+ \varphi \hbar) + \sum\limits_{\varepsilon = 1}^{{d_1}} {{\pi _{1\varpi \varepsilon }}} {q_\varepsilon } + r + {\gamma _3}}{l} \\ &{\tilde{\psi}_{12}}={{\gamma _4} - {\gamma _3}},\; \ {\tilde{\psi}_{13}}={{\gamma _1}},\; {\tilde{\psi}_{14}}={{\gamma _2}},\; {\tilde{\psi}_{15}}={{\gamma _5} - {\gamma _3}} \\ &{\tilde{\psi}_{22}}={\frac{{ - (1 - \bar \sigma )\exp ( - \varphi \hbar \tilde \sigma )r}}{l} - {\gamma _4}},\; {\tilde{\psi}_{23}}={ - {\gamma _1}} \\ &{\tilde{\psi}_{24}}={\frac{{ \sum\limits_{\rho = 1}^{{d_2}} {{{\bar \pi }_{\delta \rho }}} {p_\delta }{\beta _\delta }{\tilde{k}_{1\rho }}}}{l} - {\gamma _2}},\; {\tilde{\psi}_{25}}={ - {\gamma _5} - {\gamma _4}} \\ &{\tilde{\psi}_{33}}=\sum\limits_{\tau = 1}^{{d_2}} {{\pi _{2\delta \tau }}{p_\tau }} + 2{p_\delta }{\mu _2}+2\bar{\gamma} - \frac{{{p_\delta }{\beta _\delta }{\pi ^2}}}{{2{l^2}}} + \varphi \hbar {p_\delta } \\ &{\tilde{\psi}_{34}}={\frac{{{p_\delta }{\beta _\delta }{\pi ^2}}}{{2{l^2}}}},\; {\tilde{\psi}_{35}}={ - {\gamma _1}},\; {\tilde{\psi}_{45}}={ - {\gamma _2}},\; {\tilde{\psi}_{55}}={ - {\gamma _5}} \\ &{\tilde{\psi}_{44}}={ - \frac{{{p_\delta }{\beta _\delta }{\pi ^2}}}{{2{l^2}}}} +\frac{{2 \sum\limits_{\rho = 1}^{{d_2}} {{{\bar \pi }_{\delta \rho }}} {p_\delta }{\beta _\delta }{\tilde{k}_{2\rho }}}}{l} \end{split} $$ 则在时滞边界控制策略(15)和(16)下, ODE-PDE误差系统(7)是实际有限时间稳定的.
证明. 针对Lyapunov函数(26), 类似于定理1的证明, 可得$ {V}(\varpi,\; \delta,\; t) $的弱微分如式(24)所示, 其中,
$$ 2\int_0^l {{p_\delta}{\beta_\delta }\kappa(z,\;t) \frac{\partial^2 \kappa(z,\;t)}{\partial z^2} {\rm d}z}\leq\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$ $$ \begin{split} &\quad 2\sum_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho} {p_\delta}{\beta_\delta }\kappa(l,\;t) {\tilde{k}_{1\rho }} \sum\limits_{i = 1}^m {{e_i}(t-\sigma(t))} \;+\\ &\quad2\sum_{\rho= 1}^{d_2} \bar{\pi}_{\delta \rho} {p_\delta}{\beta_\delta }{\tilde{k}_{2\rho }}\kappa^2(l,\;t) -\frac{{p_\delta}{\beta_\delta }\pi^2}{2l^2}\int_0^l \hat \kappa^2(z,\;t) {\rm d}z \end{split} $$ 式(24)中其他项的处理与定理1的证明类似, 故省略. 针对Lyapunov函数(26)中的时滞积分项$ {\hat{V}}(t) $, 对其求导可得
$$ \begin{split}\frac{{\rm d} {\hat{V}}(t)}{{\rm d} t}= & \sum\limits_{i = 1}^m {\int_{t - \sigma (t)}^t { - \varphi \hbar \exp (\varphi \hbar(\theta - t))re_i^2(\theta ){\rm d}\theta } } \;- \\ &\sum\limits_{i = 1}^m {(1 - \bar \sigma )\exp ( - \varphi \hbar \sigma (t))re_i^2(t - \sigma (t))}\;+\\ & \sum\limits_{i = 1}^m {re _i^2(t)}\leq \sum\limits_{i = 1}^m \int_{t - \sigma (t)}^t - \varphi \hbar \;\times\\ &\exp (\varphi \hbar(\theta - t))r \times e_i^2(\theta ){\rm d}\theta - (1 - \bar \sigma )\;\times \\&\exp ( - \varphi \hbar \tilde{\sigma})\sum\limits_{i = 1}^m {re_i^2(t - \sigma (t))}\; + \\ &\sum\limits_{i = 1}^m {re _i^2(t)} \end{split} $$ 此外, 考虑时滞因素, 下式显然成立:
$$ \begin{split}0= \;&2\sum\limits_{i = 1}^m \int_0^l \Biggr[\kappa(z,\;t){\gamma_1} + \kappa(l,\;t){\gamma_2} + {e_i}(t){\gamma_3}\;+\\ & {e_i}(t - \sigma (t)){\gamma_4} + \int_{t - \sigma (t)}^t {{{\dot e}_i}(\theta ){\rm d}\theta } {\gamma_5} \Biggr] \times \\ & \left[ {{e_i}(t) - {e_i}(t - \sigma (t)) - \int_{t - \sigma (t)}^t {{{\dot e}_i}(\theta ){\rm d}\theta } } \right]{\rm d}z \end{split} $$ 基于以上分析以及定理1的相关证明, 可得
$$ \begin{split} &{\mathcal L}V(\varpi,\; \delta,\; t) + \varphi V^\hbar(\varpi,\; \delta,\; t) \le\\ &\qquad \sum\limits_{i = 1}^m \int_0^l \tilde{\chi}^{\rm T} \tilde{\Psi}_{i \varpi \delta} \tilde{\chi}{\rm d}z+ \varphi(1 - \hbar) \end{split} $$ 其中,
$$ \begin{split} \tilde{\chi}=\;&[{{e_i}(t)},\; {{e_i}(t- \sigma (t))},\; {\kappa (z,\;t)},\; {\kappa (l,\;t)},\\&\smallint\nolimits_{t - \sigma (t)}^t {{{\dot e }_i}(\theta){\rm d}\theta } ]^{\rm T} \end{split} $$ $ \tilde{\Psi}_{i \varpi \delta} $ 如式(27)所示.
基于引理2和引理3, 当线性矩阵不等式(27)成立时, 存在一个停息时间$ T^* $, 满足
$$ T^*= \frac{{\mathop {\sup }\limits_{\theta \in (-\tilde{\sigma},\; 0)} \{{\rm E} {\tilde{V}}^{1-\hbar} (\varrho(\theta),\; \xi(\theta),\; \theta)\}}-(\frac{1 - \hbar}{1-\bar{\tau} })^{\frac{1-\hbar}{\hbar}}}{(1-\hbar)\bar{\tau} \varphi} $$ 其中, $ 0<\bar{\tau}<1 $, 使得 $ \forall t\geq T^* $,
$$ \begin{split} &\max(\|e_i(t)\|_{2},\;\|\kappa(\cdot,\;t)\|_{{{\cal{H}}}^2} )\leq \Bigg[\frac{\varphi(1 - \hbar)}{(1-\bar{\tau})\varphi)}\Bigg]^{\frac{1}{\hbar}} \end{split} $$ 基于定义2可知, 在时滞边界控制策略(15)和(16)下, ODE-PDE误差系统(7)是实际有限时间稳定的.
□ 3. 数值算例
假设式(1)的异构MAS由65个智能体组成, 其中, 60个智能体是密集分布的, 5个智能体是稀疏分布的. 本文针对该MAS的实际有限时间编队问题进行仿真, 验证主要结果的合理性和有效性. 需要说明的是, 为了突出仿真结果的一般性, 仿真中相关的参数和函数都是在合理的情形下任意设置的.
首先, 假设半马尔科夫过程$ \varrho(t) $和$ \xi(t) $均有三个模态, 即$ {\cal D}_1 = {\cal D}_2 =\{ 1,\;2,\;3\} $. 对于半马尔科夫过程$ \varrho(t) $, 假设模态1和模态2 的驻留时间服从Weibull分布, 模态3的驻留时间服从指数分布, 即$ \varrho(t) $的概率密度函数为$ {g'_1}(t)=2t\exp({-t^2}) $, $ {g'_2}(t)= 3t^2\exp({-t^3}) $, $ {g'_3}(t)=0.3\exp(-0.3t) $. 另外, 对于半马尔科夫过程$ \xi(t) $, 假设模态1的驻留时间服从高斯分布, 模态2和模态3的驻留时间服从指数分布, 即$ \xi(t) $的概率密度函数为$ {g''_1}(t)=1/(2\sqrt{2 \pi})\times \exp ({-(t-2)^2/8}) $, $ {g''_2}(t)=0.25\exp(-0.25t) $, $ {g''_3}(t)= 0.35\exp(-0.35t) $. 利用
$$ \begin{split}& {{\pi }_{1\varpi \varepsilon }}= {{\rm E}}\{ \hat{\pi} _{\varpi \varepsilon}(\nu)\} = \int_0^\infty {\hat{\pi} _{\varpi \varepsilon}(t){g'_\varpi}(t)} {\rm d}t \\&{\pi }_{2\delta \tau }= {{\rm E}}\{\tilde{\pi}_{\delta \tau}(\nu)\} = \int_0^\infty \tilde{\pi}_{\delta \tau}(t){g''_\delta}(t) {\rm d}t\end{split} $$ 可分别得到如下 $ \varrho(t) $和 $ \xi(t) $的转移率矩阵:
$$ \begin{split} &\Lambda_1= \left[ {\begin{array}{*{20}{r}} -3.545\ 0 & 1.772\ 5 & 1.772\ 5\\ 2.708\ 2 & -5.416\ 4 &2.708\ 2\\ 3.308\ 4 & 3.308\ 4 & -6.616\ 8 \end{array}} \right] \\ &\Lambda_2= \left[ {\begin{array}{*{20}{r}} -4.874\ 4 & 2.437\ 2 &2.437\ 2\\ 3.979\ 2 & -7.958\ 4 &3.979\ 2\\ 2.828\ 2 & 2.828\ 2 & -5.656\ 4 \end{array}} \right] \end{split} $$ 此外, 对于异步切换规则(10), 定义随机过程$ \tilde{\rho}(t) $的切换概率为$ \bar{\pi}_{11}=0.1 $, $ \bar{\pi}_{12}=0.5 $, $ \bar{\pi}_{13}=0.4 $, $ \bar{\pi}_{21}=0.3 $, $ \bar{\pi}_{22}=0.2 $, $ \bar{\pi}_{23}=0.5 $, $ \bar{\pi}_{31}=0.6 $, $ \bar{\pi}_{32}= 0.3 $, $ \bar{\pi}_{33}=0.1 $.
基于上述参数设置, 可得随机过程$ \varrho(t) $, $ \xi(t) $, $ \tilde{\rho}(t) $的模态切换规则示意图(如图1所示). 从图1可以看出, 在同一时刻, 3个随机过程的模态可能是不同的, 因此, 随机过程$ \varrho(t) $ 和$ \xi(t) $ 的模态切换规则是不一致的, 且$ \tilde{\rho}(t) $和$ \xi(t) $的模态切换规则也是异步的.
图 1 $\varrho(t)$, $\xi(t)$, $\tilde{\rho}(t)$的模态切换规则Fig. 1 Mode switching rules of $\varrho(t)$, $\xi(t)$, and $\tilde{\rho}(t)$3.1 无时滞情形
在无时滞情形下, 针对式(1)的异构MAS, 设置非线性函数为$ {f}({x_i}(t))=0.2\cos({x_i}(t)) $和$ {g}({y_i}(t))= 0.5\sin ({y_i}(t)) $, 显然, $ {f}({x_i}(t)) $和$ {g}({y_i}(t)) $是典型的利普希茨函数, 满足假设1. 通信协议(4)和(5)中的参数设置为$ {\alpha_{11}}=-5.4 $, $ {\alpha_{12}}=-6.5 $, $ {\alpha_{13}}=-7.6 $, $ {\alpha_{21}}=-4.1 $, $ {\alpha_{22}}=-6.2 $, $ {\alpha_{23}}=-7.3 $, $ {\alpha_{31}}=-8.5 $, $ {\alpha_{32}}=-6.4 $, $ {\alpha_{33}}=-9.6 $, $ {\alpha_{41}}=-5.7 $, $ {\alpha_{42}}=-6.8 $, $ {\alpha_{43}}=-7.3 $, $ {\alpha_{51}}=-6.1 $, $ {\alpha_{52}}=-8.5 $, $ {\alpha_{53}}=-5.1 $, $ \beta_1=0.02 $, $ \beta_2=0.01 $, $ \beta_3=0.02 $, $ \gamma_{i1}=-5.4\tanh(ih) $, $ \gamma_{i2}= -5.1\tanh(ih) $, $ \gamma_{i3}=-5.6\tanh(ih) $, 且$ h= 0.05 $. 上述参数设置在实际系统中都是很容易实现的, 且满足本文中相关参数取值区间的定义. 此外, 针对定理1, 设置$ \varphi=0.9 $, $ \hbar=0.8 $, 那么, 通过求解线性矩阵不等式(22), 可得一组可行的控制器增益为$ k_{11}=-1.768\ 2 $, $ k_{12}=-2.115\ 4 $, $ k_{13}=-1.983\ 4 ,$ $ k_{21}=-2.196\ 4 $, $ k_{22}=-4.534\ 7 $, $ k_{23}=-5.324\ 8 $. 很明显, 所得控制器增益是合理的, 不仅满足定理1 中的线性矩阵不等式, 而且取值恰当, 易于实现.
智能体的目标位置设置为
$$ \begin{split} &\Gamma_i^1=5\sin((0.5i+0.5)^3),\;\ \ \Gamma_i^2=\sin(i+1)\\ &\Gamma_i^3=\sin((0.5i+0.5)^2)-2,\;\ \ \Xi^1(ih)=5\sin((ih)^3)\\ &\Xi^2(ih)=\sin((2ih)^3),\;\ \ \Xi^3(ih)=\sin((ih)^2) \end{split} $$ 智能体的初始位置设置为
$$ \begin{split} &x_i^1(0)=2.3\sin(i+1)+3 \\ &x_i^2(0)=2.3\cos(0.5i+0.5)+3\\ &x_i^3(0)=8.5,\;\ \ \Xi_0^1(ih)=2.3\sin(2ih)+3\\ &\Xi_0^2(ih)=2.3\sin((ih)^3),\;\ \ \Xi_0^3(ih)=5 \end{split} $$ 在以上参数和初始条件设置下, 令$ \bar{\tau}=0.9 $, 计算可得停息时间为$ T^*=8.557\ 4 $, $ t\geq T^* $时误差系统状态阈值为$ \max(\|e_i(t)\|_{2},\;\|\kappa(\cdot,\;t)\|_{{{\cal{H}}}^2})<0.291\ 4 $. 通过MATLAB仿真可得三维空间中式(1)的异构MAS运行轨迹, 如图2所示. 其中, 黑色符号为智能体初始位置, 蓝色符号为智能体目标位置, “$ \ast $”代表密集分布的智能体, “$ \star $”代表稀疏分布的智能体, 它们之间的连接线表示智能体的运行轨迹. 可以看出, 运行轨迹和黑色/蓝色符号之间并不存在间隙, 说明多智能体可以从初始位置平滑地运动到目标位置. 图2直观地展示了本算例中MAS的编队控制效果, 很显然, 在本文提出的ODE-PDE方法作用下, 所考虑的稀疏−密集混合分布异构MAS可以实现三维空间中的编队任务, 完成MAS队形的变换. 此外, 为了更好地展示控制效果, 图3给出了单一空间维度上跟踪误差的状态轨迹, 从中可以看出任意维度上的位置误差都可以快速收敛; 图4给出了三个空间维度上控制器(11)的状态轨迹, 从中可以看出任意维度上的控制器状态也可以快速收敛. 此外, 从图2和图3中可以得到, 当$ t\geq T^* $时, 实际误差阈值为$ \max(\|e_i(t)\|_{2},\;\|\kappa(\cdot,\;t)\|_{{{\cal{H}}}^2})\leq 0.112\ 7<0.291\ 4 $, 因此, 本文所设计的通信协议和控制策略是有效的, 可以完成无时滞情形下大规模异构MAS的实际有限时间编队任务.
图 3 无时滞情形下单一空间维度上跟踪误差的状态轨迹Fig. 3 State trajectories of tracking errors along a single spacial dimension in delay-free case
图 4 无时滞情形下控制器(11)的状态轨迹Fig. 4 State trajectories of controller (11) in delay-free case3.2 有时滞情形
在有时滞情形下, 假设控制策略(15)中的通信时滞为$ \sigma(t)=0.5\tanh(t) $, 其他参数设置与无时滞情形中的相同, 在此省略. 那么, 通过求解线性矩阵不等式(27), 可得一组可行的控制器增益为$ k_{11}= -2.596\ 2 $, $ k_{12}=-1.934\ 5 $, $ k_{13}=-2.136\ 4 $, $ k_{21}= -6.439\ 8 $, $ k_{22}=-5.491\ 3 $, $ k_{23}=-6.169\ 1 $. 智能体的目标位置与无时滞情形下的相同, 智能体的初始位置设置为
$$ \begin{split} &x_i^1(0)=2\sin(i),\;\ \ x_i^2(0)=3\cos(1.5i)\\ &x_i^3(0)=8,\;\ \ \Xi_0^1(ih)=2\sin(2ih)\\ &\Xi_0^2(ih)=3\cos(3ih),\;\ \ \Xi_0^3(ih)=6 \end{split} $$ 在以上参数和初始条件设置下, 令$ \bar{\tau}= 0.996 $, 计算可得停息时间为$ T^*=10.450\ 5 $, $ t\geq T^* $时误差系统状态阈值为$ \max(\|e_i(t)\|_{2},\;\|\kappa(\cdot,\;t)\|_{{{\cal{L}}}^2})< 0.554\ 6 $. 通过MATLAB仿真可得三维空间中式(1)的异构MAS运行轨迹, 如图5所示. 此外, 为了更好地展示控制效果, 图6给出了单一空间维度上跟踪误差的状态轨迹, 图7给出了三个空间维度上控制器(15)的状态轨迹, 从中可以看出有时滞情形下任意维度上的跟踪误差和控制器状态都可以快速收敛. 需要指出的是, 为了说明本文ODE-PDE方法的普遍适用性, 与无时滞情形相比, 本算例除了考虑时变时滞以外, 还设置了与第3.1节的算例不同的期望队形, 并成功实现了编队任务. 从图5和图6中可以得到, 当$ t\geq T^* $时, 实际误差阈值为$ \max(\|e_i(t)\|_{2},\;\|\kappa(\cdot,\;t)\|_{{{\cal{L}}}^2})\leq 0.090\ 2< 0.554\ 6 $, 因此, 本文所设计的通信协议和控制策略是有效的, 可以完成有时滞情形下大规模MAS的实际有限时间编队任务.
图 6 有时滞情形下单一空间维度上跟踪误差的状态轨迹Fig. 6 State trajectories of tracking errors along a single spacial dimension in time-delayed case
图 7 有时滞情形下控制器(15)的状态轨迹Fig. 7 State trajectories of controller (15) in time-delayed case4. 结束语
本文研究了大规模异构MAS的实际有限时间编队问题, 为此提出ODE-PDE分析方法, 相比于已有的PDE方法, 很大程度上放宽了理论结果的适用范围. 通过设计特殊的网络通信协议, 建立了MAS位置误差系统的ODE-PDE模型. 针对有时滞和无时滞情形, 设计了异步边界控制策略, 并得到相应的误差系统实际有限时间稳定准则. 最后, 两个数值仿真验证了设计的通信协议和边界控制策略的有效性. 未来的工作将聚焦于基于ODE-PDE方法的大规模MAS的固定时间编队控制问题.
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图 1 $\varrho(t)$, $\xi(t)$, $\tilde{\rho}(t)$的模态切换规则
Fig. 1 Mode switching rules of $\varrho(t)$, $\xi(t)$, and $\tilde{\rho}(t)$
图 3 无时滞情形下单一空间维度上跟踪误差的状态轨迹
Fig. 3 State trajectories of tracking errors along a single spacial dimension in delay-free case
图 4 无时滞情形下控制器(11)的状态轨迹
Fig. 4 State trajectories of controller (11) in delay-free case
图 6 有时滞情形下单一空间维度上跟踪误差的状态轨迹
Fig. 6 State trajectories of tracking errors along a single spacial dimension in time-delayed case
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[1] Oh K K, Park M C, Ahn H S. A survey of multi-agent formation control. Automatica, 2015, 53 (C): 424−440 doi: 10.1016/j.automatica.2014.10.022 [2] Qin D D, Jin Z H, Liu A D, Zhang W A, Yu L. Event-triggered distributed predictive cooperation control for multi-agent systems subject to bounded disturbances. Automatica, 2023, 157: Article No. 111230 doi: 10.1016/j.automatica.2023.111230 [3] 范泉涌, 张乃宗, 唐勇, 许斌. 基于动态事件触发通信协议的多智能体系统自适应可靠控制. 自动化学报, 2024, 50(5): 924−936Fan Quan-Yong, Zhang Nai-Zong, Tang Yong, Xu Bin. Adaptive reliable control of multi-agent systems based on dynamic event-triggered communication protocol. Acta Automatica Sinica, 2024, 50(5): 924−936 [4] Ferrari-Trecate G, Buffa A, Gati M. Analysis of coordination in multi-agent systems through partial difference equations. IEEE Transactions on Automatic Control, 2006, 51(6): 1058−1063 doi: 10.1109/TAC.2006.876805 [5] Freudenthaler G, Meurer T. PDE-based multi-agent formation control using flatness and backstepping: Analysis, design and robot experiments. Automatica, 2020, 115: Article No. 108897 doi: 10.1016/j.automatica.2020.108897 [6] Wei J Q, Fridman E, Johansson K H. A PDE approach to deployment of mobile agents under leader relative position measurements. Automatica, 2019, 106: 47−53 doi: 10.1016/j.automatica.2019.04.040 [7] Su H S, Xu Q J. Deployment of second-order networked mobile agents over a smooth curve. Automatica, 2022, 146: Article No. 110645 doi: 10.1016/j.automatica.2022.110645 [8] Terushkin M, Fridman E. Network-based deployment of nonlinear multi agents over open curves: A PDE approach. Automatica, 2021, 129: Article No. 109697 doi: 10.1016/j.automatica.2021.109697 [9] Qi J, Wang S S, Fang J A, Diagne M. Control of multi-agent systems with input delay via PDE-based method. Automatica, 2019, 106: 91−100 doi: 10.1016/j.automatica.2019.04.032 [10] Wang S S, Diagne M, Qi J. Delay-adaptive compensation for 3-D formation control of leader-actuated multi-agent systems. Automatica, 2024, 164: Article No. 111645 doi: 10.1016/j.automatica.2024.111645 [11] 刘凡, 杨洪勇, 杨怡泽, 李玉玲, 刘远山. 带有不匹配干扰的多智能体系统有限时间积分滑模控制. 自动化学报, 2019, 45(4): 749−758Liu Fan, Yang Hong-Yong, Yang Yi-Ze, Li Yu-Ling, Liu Yuan-Shan. Finite-time integral sliding-mode control for multi-agent systems with mismatched disturbances. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(4): 749−758 [12] Meurer T, Krstic M. Finite-time multi-agent deployment: A nonlinear PDE motion planning approach. Automatica, 2011, 47(11): 2534−42 doi: 10.1016/j.automatica.2011.08.045 [13] Man J T, Sheng Y, Chen C Y, Zeng Z G. PDE-based finite-time deployment of heterogeneous multi-agent systems subject to multiple asynchronous semi-Markov chains. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, 2023, 71(2): 885−897 [14] 孙梦薇, 任璐, 刘剑, 孙长银. 切换拓扑下动态事件触发多智能体系统固定时间一致性. 自动化学报, 2023, 49(6): 1295−1305Sun Meng-Wei, Ren Lu, Liu Jian, Sun Chang-Yin. Dynamic event-triggered fixed-time consensus control of multi-agent systems under switching topologies. Acta Automatica Sinica, 2023, 49(6): 1295−1305 [15] Wang F Y, Gong J Y, Liu Z X, Chen Z Q. Finite-time output tracking control for random multi-agent systems with mismatched disturbances. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering, 2024, 21(4): 7516−7526 [16] Liu X D, Deng F Q, Wei W, Wan F Z. Formation tracking control of networked systems with time-varying delays and sampling under fixed and Markovian switching topology. IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2022, 9(2): 601−612 doi: 10.1109/TCNS.2022.3158817 [17] Li B Q, Wen G G, Peng Z X, Huang T W, Rahmani A. Fully distributed consensus tracking of stochastic nonlinear multiagent systems with Markovian switching topologies via intermittent control. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, 2021, 52(5): 3200−3209 [18] 郑维, 张志明, 刘和鑫, 张明泉, 孙富春. 基于线性变换的领导−跟随多智能体系统动态反馈均方一致性控制. 自动化学报, 2022, 48(10): 2474−2485Zheng Wei, Zhang Zhi-Ming, Liu He-Xin, Zhang Ming-Quan, Sun Fu-Chun. Dynamic feedback mean square consensus control based on linear transformation for leader-follower multi-agent systems. Acta Automatica Sinica, 2022, 48(10): 2474−2485 [19] Liang H J, Zhang L C, Sun Y H, Huang T W. Containment control of semi-Markovian multiagent systems with switching topologies. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, 2019, 51(6): 3889−3899 [20] Hu Z H, Mu X W. Impulsive consensus of stochastic multi-agent systems under semi-Markovian switching topologies and application. Automatica, 2023, 150: Article No. 110871 doi: 10.1016/j.automatica.2023.110871 [21] Stone L D. Necessary and sufficient conditions for optimal control of semi-Markov jump processes. SIAM Journal on Control, 1973, 11(2): 187−201 doi: 10.1137/0311017 [22] Zhu Z, Xia Y Q, Fu M Y. Attitude stabilization of rigid spacecraft with finite-time convergence. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2011, 21(6): 686−702 doi: 10.1002/rnc.1624 [23] Tao Y Y, Che W W, Wu Z G, Xu Y, Dong S L. Asynchronous control of 2-D Markov jump Roesser systems with nonideal transition probabilities. IEEE Transactions on Cybernetics, 2024, 54(11): 6643−6652 [24] Wang L K, Zhao Y H, Xie X P, Lam H K. A switching asynchronous control approach for Takagi-Sugeno fuzzy Markov jump systems with time-varying delay. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2024, 32(2): 595−606 doi: 10.1109/TFUZZ.2023.3302134 [25] Tao J, Wu Z Y, Xiao Z H, Rao H X, Xu Y, Shi P. Synchronization of Markov jump neural networks with communication constraints via asynchronous output feedback control. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 2024, 35(11): 15724−15734 [26] Hardy G H, Littlewood J E, Pólya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1952. [27] Wang F, Chen B, Sun Y M, Gao Y L, Lin C. Finite-time fuzzy control of stochastic nonlinear systems. IEEE Transactions on Cybernetics, 2019, 50(6): 2617−2626 [28] Wei Y L, Park J H, Qiu J B, Wu L G, Jung H Y. Sliding mode control for semi-Markovian jump systems via output feedback. Automatica, 2017, 81: 133−141 doi: 10.1016/j.automatica.2017.03.032 -
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