Dynamic Regret for Distributed Online Composite Optimization With Delayed Feedbacks
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摘要: 研究分布式在线复合优化场景中的几种反馈延迟, 包括梯度反馈、单点Bandit反馈和两点Bandit反馈. 其中, 每个智能体的局部目标函数由一个强凸光滑函数与一个凸的非光滑正则项组成. 在分布式场景下, 研究每个智能体具有不同时变延迟的场景. 基于近端梯度下降算法, 分别设计这三种延迟反馈的分布式在线复合优化算法, 并且对动态遗憾上界进行分析. 分析结果表示, 延迟梯度反馈和延迟两点Bandit反馈的动态遗憾上界阶数在期望意义下相同, 而延迟单点Bandit反馈的动态遗憾上界稍差于前两者. 这表明, 存在延迟时, 两点Bandit反馈可以在期望意义下达到与梯度反馈相同阶数的动态遗憾上界, 且在步长选择合适的情况下, 三种反馈类型的平均延迟在动态遗憾上具有相同的阶数. 最后通过仿真实验验证了算法的性能和理论分析结果.Abstract: This paper investigates several types of feedback delays in distributed online composite optimization scenarios, including gradient feedback, one-point Bandit feedback, and two-point Bandit feedback, where each agent＇s local objective function consists of a strongly convex and smooth function combined with a convex non-smooth regularizer. In the distributed scenarios, this paper investigates the scenario where each agent has a different time-varying delay. Based on the proximal gradient descent algorithm, distributed online composite optimization algorithms are designed for these three delayed feedback cases respectively and the upper bounds of dynamic regret are analyzed. The analysis results showed that the order of dynamic regret upper bound under delayed gradient feedback and delayed two-point Bandit feedback is identical in the mathematical expectation sense, while that under delayed single-point Bandit feedback is slightly worse than the former two. Therefore, under delays, two-point Bandit feedback can achieve the same order of dynamic regret upper bound as gradient feedback in the mathematical expectation sense, and the average delay for the three feedbacks has the same orders on dynamic regret when choosing suitable step sizes. Finally, the performance of the algorithms and the results of the theoretical analysis are verified through simulations experiments.
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空天防御领域是维护国家安全的重要军事技术领域之一, 多飞行器协同围捕技术在其中扮演愈加关键的角色. 根据“围捕”的起源内涵, 多飞行器协同围捕可解构“先围后捕”, “围”即为根据高速机动目标的位置形成围捕队形以构建围捕制胜态势, 是实现围捕的先决条件; “ 捕”即为根据高速机动目标的机动实时调节围捕队形并精准捕获目标, 是实现围捕的最终目的.
当前, 基于覆盖理论的多飞行器协同围捕由于对过载的需求相对较小, 逐渐成为了多飞行器协同围捕技术的热门研究方向. 基于覆盖理论的协同围捕通过合理的设计初始阵位形成更大的围捕区, 以实现对目标最大逃逸区的完全覆盖, 并通过对围捕区的实时调节保持覆盖, 保证最终至少有一个防御飞行器能够精准捕获目标, 以实现围捕任务. 其中围捕区是多飞行器可达域的并集. 可达域/集的分析方法最早由Salmon等[1]在传统的一对一拦截模式中提出, 其将目标和防御飞行器在未来可能达到状态的演化集称为可达集. Robb等[1−2]确定了飞行器捕获目标的能力是一个常见的不确定性域, 由此引入旋转等时渐开线提出了可达域. 可达域的分析在追逃问题中也有相关研究[4], Chung等[5−6]提出了一种基于前向可达集(Forward reachable sets, FRS) 分析的追捕控制策略, 以捕获比追捕者机动性更高的逃逸目标. 该策略首先寻找追捕者的捕获状态, 在该状态下追捕者的FRS覆盖了逃跑者的整个FRS, 从而提高捕获的可能性. 于大腾等[7]在考虑能量约束的情况下, 基于飞行器和目标的机动范围得到了三维可达域的空间形状, 并基于可达域的投影分时段计算了攻击区范围与捕获逃逸区. 从几何角度, 可达域可以根据最小长度Dubins路径[8−9]进行分析, 但该方法主要应用于机器人领域而非制导领域[10−11]. 可达域也可以利用Apollonius圆来分析飞行器与目标的速度比和相对位置与围捕成功的内在联系(文献[12−15]), 但基于Apollonius圆的初始阵位研究模型相对简单, 且主要应用类似无人机的完整系统, 不存在最小转弯半径的约束.
在多飞行器协同围捕中, 多飞行器系统往往存在过载限制, 同时初始时的零控脱靶量也是影响围捕成功与否的重要因素, 因此有大量研究考虑过载约束并基于零控脱靶量设计了初始阵位. 文献[10]考虑飞行器与目标的最大过载, 引入Dubins曲线建立二维平面的协同覆盖模型, 利用航向角的限制计算飞行器的最优数量, 文献[11]在协同覆盖性能指标的约束下, 计算出多个飞行器的最优零控终端位置, 并将零控终端位置转化为每个飞行器的制导终端位置约束. Su等结合零控脱靶量和最大加速度将可达域的覆盖转化为终端位置的覆盖, 并对目标的终端位置对多飞行器的初始位置进行预先分配, 分别实现了二维平面[16]和三维空间下[17]的多枚无机动性优势的飞行器对强机动目标的覆盖. 肖惟等[18]进一步基于非线性模型研究了过载约束下的协同覆盖问题, 引入标准弹道的概念, 在二维平面内得到了飞行器在初始时刻需要满足的约束条件. 文献[19]将上述研究扩展到了三维, 将三维空间的相对运动方程解耦为水平面和包含视线的铅垂面, 得到了标准弹道在分别在两个平面内的约束条件. 文献[20]基于改进灰狼算法优化了多飞行器在拦截平面的位置, 实现了对机动目标的最优覆盖. Zhang等[21]提出了直线弹道的概念, 推导了初始和终端时刻的弹道约束, 并在二维情况下将覆盖问题转化为期望航迹角跟踪的问题. 文献[22] 在二维平面分析了速度比与角度范围的关系, 文献[23]三维空间内将可达域等效为一个球, 给出了飞行器与目标不同过载比下飞行器的最优数量.
Zhai在文献[24]中, 基于覆盖理论提出了由协同制导律和最优控制律组成的协同拦截算法, 在适当的假设下通过理论分析证明了增加飞行器的数量可以弥补单个飞行器机动性的不足, 并在文献[25] 中进一步设计了能够最大化覆盖率的协同制导律. 上述基于覆盖理论进行阵位设计的研究, 也进行了协同制导律的设计. Su等[16]基于零控脱靶量, 得到多飞行器与目标终端位置的覆盖关系, 然后反推得到多飞行器的初始位置并进行预分配和实时调节, 分别设计了开环和闭环协同制导律实现了二维平面多枚无机动性优势的飞行器对强机动目标的捕获. 之后Su将该方法扩展到了三维空间内, 提出了虚拟瞄准点的概念, 对真比例导航制导律的可达域进行预期偏置, 基于偏置比例导引设计了协同制导律, 并基于覆盖率设计了覆盖动态调节策略[17]. 上述研究都是基于线性系统模型开展的, 但实际复杂环境下目标的大机动会增加围捕过程中的非线性特性, 仍使用线性模型将会存在非线性耦合误差. 肖惟等[18]基于非线性模型引入标准弹道的概念, 通过加速度评价函数计算出偏置比例导引的偏置项, 得到了更适用于大机动目标的协同制导律. 文献[21]基于有限时间状态相关Riccati方程研究了二维非线性的覆盖问题, 设计了偏置比例导引律实现了多飞行器对目标加速度的覆盖, 仿真结果表明该策略下多飞行器中最小脱靶量远小于其他制导策略. 文献[19]与[23]将上述研究扩展到了三维, 建立了非线性过载约束模型, 提出了基于覆盖理论的协同制导律, 确保至少有一个飞行器可以准确拦截高超声速飞行器, 充分发挥了低成本飞行器的规模优势.
随着作战环境和任务需求日益复杂化, 基于覆盖理论的协同围捕在不同场景下面临多种物理和信息层面的工程实际约束[26], 为协同围捕的实现带来了更高的挑战. 本文在文献[19]与[23]的启发下, 在三维空间内针对非线性动态模型研究了高速强机动目标的协同围捕问题. 在围捕末段, 目标的大机动特性会增加拦截过程中的非线性误差, 相比于文献[16−17, 24−25], 本文基于非线性模型开展研究, 能够更好地应对大机动目标. 相比于文献[23] 采用球形可达域, 本文基于三维圆锥体可达域提出新的碰撞平面覆盖等效方法, 阐释了加速度覆盖和位置覆盖的区别与联系, 并从几何角度分析了交会角对完全覆盖的影响, 因而扩宽了应用范围. 另外, 不同于文献[19]在无重力情况下以脱靶量减小为唯一目标进行覆盖调节, 本文在实际环境下基于覆盖率和零控脱靶量提出了分段覆盖动态调节与快速收敛策略, 使得多飞行器前期能够保持高覆盖率, 后期能够降低整体的脱靶量, 以数量和协作的优势弥补机动能力的不足, 完成“以弱胜强”.
1. 问题描述
1.1 符号规定
本文中符号统一规定为: $ V,\; a,\; \theta ,\; \varphi $, 和$ R $分别表示速度、加速度、弹道倾角、弹道偏角和相对距离, $ \eta $表示前置角, $ {{t}_{go}} $代表剩余时间, $ {{q}_{\beta }} $和$ {{q}_{\varepsilon }} $分别是视线角在铅垂和水平面的分量, 角度均逆时针方向为正. 下标有先后顺序, 且不同字母含义分别为: 下标$ M $和$ T $分别表示飞行器和机动目标, 下标$ y $和$ {z} $代表某一物理量在铅垂面和水平面上的投影, 下标$ i $代表第$ i $个飞行器, 下标$ 0 $和$ f $分别代表初始时刻和碰撞时刻.
1.2 覆盖分析
在考虑三维空间内飞行器与高速机动目标迎面对抗的场景, 参考文献[10]在二维平面对飞行器可达域的分析, 将三维空间中飞行器与目标的的可达域描述为三维圆锥体, 如图1所示.
图 1 三维空间内飞行器可达域Fig. 1 The reachable domain of an interceptor in three-dimensional space图中, $ {{r}_{M,\; i}} $和$ {{r}_{T}} $为飞行器与目标可达域圆锥底圆的半径, 根据覆盖方式不同可分别计算为:
1)若采用位置覆盖, 需假设飞行器加速度始终垂直于速度方向, 则
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &r_{M,\; i} = \frac{V_{M,\; i}^2}{a_{M,\; i}} \left( 1 - \cos \left( \frac{a_{M,\; i} t_{\text{go}}}{V_{M,\; i}} \right) \right) \\ &r_T = \frac{V_T^2}{a_T} \left( 1 - \cos \left( \frac{a_T t_{\text{go}}}{V_T} \right) \right) \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (1) 2)采用加速度覆盖, 需假设碰撞时间短, 飞行器速度方向变化不大, 加速度始终垂直于视线, 有
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{r}_{M,\; i}}\text{ = }\frac{1}{2}{{a}_{M,\; i}}t_{\text{go}}^{2} \\ & {{r}_{T}}\text{ = }\frac{1}{2}{{a}_{T}}t_{\text{go}}^{2} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (2) 圆锥顶角分别为
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{\alpha }_{M,\; i}} = \frac{1}{{{V}_{M,\;i}}}{{a}_{M,\;i,\;\max }}{{t}_{\text{go}}} \\ & {{\alpha }_{T}} = \frac{1}{{{V}_{T}}}{{a}_{T,\;\max }}{{t}_{\text{go}}} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (3) 为了简化两个三维圆锥体之间的覆盖关系, 下面提出了碰撞平面的定义.
定义1(碰撞平面). 飞行器与目标中间存在一个虚拟平面, 该平面垂直于目标速度矢量, 且包含预测命中点, 称之为”碰撞平面”. 其中, 预测命中点为考虑目标最大机动时可能的命中点. 若假设初始时飞行器与目标的速度方向平行, 则目标和飞行器可达域的底圆在该平面的投影均为圆, 两者的空间覆盖关系可简单等效为平面几何覆盖关系, 如图2所示.
由此, 可以将三维空间内的可达域覆盖问题转化为碰撞平面内投影圆的覆盖问题.
然而, 飞行器速度方向与目标速度方向通常不平行, 导致飞行器可达域的底圆在该平面的投影变为椭圆, 可采用冗余覆盖策略将投影椭圆的短半轴作为半径形成新的投影圆. 如图3所示, 飞行器与目标投影椭圆的相交部分即为可拦截区域, 而$ r{{'}_{M,\; i}} $则为新的投影圆的半径, 有如下关系存在
$$ \begin{align} & r{{'}_{M,\; i}} = {{\kappa }_{\beta ,\; i}}{{\kappa }_{a,\; r,\; i}}{{r}_{M,\; i}} \end{align} $$ (4) 其中$ {{\kappa }_{\beta ,\; i}} $为与交会角$ \beta $相关的修正因子, $ {{\kappa}_{a,\; r,\; i}} $为与制导律相关的修正因子.
如图4所示, 交会角修正因子可通过三角形内的正弦定理和相似定理计算, 整理得到下式
$$ \begin{align} {{\kappa }_{\beta ,\; i}} = 1-\frac{\sin (0.5 {\alpha }_{M,\; i})\sin \beta }{\cos (0.5 {\alpha }_{M,\; i}-\beta )} \end{align} $$ (5) 制导律修正因子是由于飞行器受到视线角转率趋于零的限制, 使其无法发挥全部过载能力而产生的. 制导律对可达域的影响与制导方式、制导参数和目标的机动有关, 对于比例导引而言$ \frac{N-2}{N}\le {{\kappa }_{i,\; a,\; r}}\le 1 $, 其中$ N $为比例系数, 其他制导方式可取一个经验值但必须满足$ 0<{{\kappa }_{i,\; a,\; r}}\le 1 $. 令$ {{\mu }_{i}} $为飞行器实际可达域与目标机动范围的比值, 有
$$ \begin{align} {{\mu }_{i}} = \frac{r{{'}_{M,\; i}}}{{{r}_{T}}} = \frac{{{\kappa }_{\beta ,\; i}}{{\kappa }_{a,\; r,\; i}}{{r}_{M,\; i}}}{{{r}_{T}}} \end{align} $$ (6) 考虑高速强机动目标过载大以及围捕剩余时间短, 本文采用加速度覆盖的方式对其形成完全覆盖, 考虑末制导时剩余时间达成一致, 有
$$ \begin{align} {{\mu }_{i}} = \frac{{{\kappa }_{\beta ,\; i}}{{\kappa }_{a,\; r,\; i}}{{a}_{i,\; \max }}t_{go}^{2}}{{{a}_{T,\; \max }}t_{go}^{2}} = {{\kappa }_{\beta ,\; i}}{{\kappa }_{a,\; r,\; i}}\frac{{{a}_{i,\; \max }}}{{{a}_{T,\; \max }}} \end{align} $$ (7) 由此, 位置覆盖可转化为加速度平面内的覆盖. 显然单个飞行器在碰撞平面内难以覆盖目标的可达域, 如图5所示, 需要多个飞行器协同组成围捕区, 对目标的逃逸区进行完全覆盖.
下面引入单位圆覆盖理论. 计算多飞行器对目标的可达域实现完全覆盖的最优数量.
引理1(文献[19]). 若将目标可行域的投影圆归一化为一个单位圆, 将多飞行器可行域的投影圆等比缩小为半径为$ \mu $的小圆, $ \mu $为飞行器与目标的最大过载比, 则存在最小正整数$ n $, 使得归一化的单位圆能够被$ n $个半径为$ \mu $的小圆完全覆盖, 即能找到完全覆盖目标投影圆的多飞行器最优数量, 具体对应关系如表1所示. 引理1是基于单位圆覆盖理论提出的, 几何覆盖关系不会因为等比缩放而变化, 因此显然可证. 具体阵位关系如为: 飞行器5个及以下可采用切于圆心的方式, 6个及以上需要在中心处安排一个以上的飞行器, 其余飞行器可距离目标投影点$ 2\mu \cos (\frac{\pi }{{{n}_{c}}}) $均匀排列, 其中$ {{n}_{c}}\ge n $.
表 1 不同过载比下的数量选取Table 1 Initial osculating orbit elements$\mu$ $[\sqrt{3}/2,\; 1)$ $[\sqrt{2}/2,\; \sqrt{3}/2)$ $[0. 609,\; \sqrt{2}/2)$ [0. 555, 0. 609) [0. 5, 0. 555) $n$ 3 4 5 6 7 2. 模型建立
基于覆盖理论的协同制导设计旨在确保至少有一个飞行器能够成功拦截具有过载上限的机动目标. 为了方便设计过程, 在铅垂和水平面上对制导律进行解耦. 由于制导系统的状态变量收敛速度快, 将三维制导问题解耦为两个二维问题不会影响制导系统的稳定性, 即在铅垂(水平)平面上设计制导律时, 考虑水平(铅垂)运动对制导模型的影响可以忽略不计. 因此可将三维相对运动模型通过投影法分解为铅垂($ [X-Y $)平面和水平($ X-Z $)平面, 以下简称铅垂面和水平面.
图6给出了飞行器与目标在铅垂面上的相对位置, 第$ i $个飞行器和目标的速度和相对距离在水平面的投影分别为
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{V}_{My,\; i}} = {{V}_{i}}\cos {{\theta }_{Mz,\; i}} \\ & {{V}_{Ty}}\text{ = }{{V}_{T}}\cos {{\theta }_{Mz,\; i}} \\ & {{R}_{y,\; i}} = {{R}_{i}}\cos {{q}_{\varepsilon }} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (8) 在实际情况中需考虑重力的影响, 则飞行器与目标在铅垂面上的相对运动可以表示为
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} = {{V}_{Ty}}\cos {{\eta }_{Ty,\; i}}-{{V}_{My,\; i}}\cos {{\eta }_{My,\; i}} \\ & {{R}_{y,\; i}}{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}} = {{V}_{My,\; i}}\sin {{\eta }_{My,\; i}}-{{V}_{Ty}}\sin {{\eta }_{Ty,\; i}} \\ & {{{\dot{\theta }}}_{My,\; i}} = \frac{{{a}_{My,\; i}}-g\cos {{\theta }_{My,\; i}}}{{{V}_{My,\; i}}} \\ & {{{\dot{\theta }}}_{Ty}} = \frac{{{a}_{Ty}}-g\cos {{\theta }_{Ty}}}{{{V}_{Ty}}} \\ & {{\eta }_{My,\; i}} = {{q}_{\beta ,\; i}}-{{\theta }_{My,\; i}} \\ & {{\eta }_{Ty,\; i}} = {{q}_{\beta ,\; i}}-{{\theta }_{Ty}} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (9) 图7给出了飞行器与目标在水平面上的相对位置, 可推导出第$ i $个飞行器与目标在水平面内的速度和相对距离分别为
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{V}_{Mz,\; i}} = {{V}_{i}}\cos {{\theta }_{My,\; i}} \\ & {{V}_{Tz}}\text{ = }{{V}_{T}}\cos {{\theta }_{Ty}} \\ & {{R}_{z,\; i}} = {{R}_{i}}\cos {{q}_{\beta }} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (10) 根据图7, 第$ i $个飞行器与目标在水平面上的相对运动可以表示为
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{{\dot{R}}}_{z,\; i}} = {{V}_{Tz}}\cos {{\eta }_{Tz,\; i}}-{{V}_{Mz,\; i}}\cos {{\eta }_{Mz,\; i}} \\ & {{R}_{z,\; i}}{{{\dot{q}}}_{\varepsilon ,\; i}} = {{V}_{Mz,\; i}}\sin {{\eta }_{Mz,\; i}}-{{V}_{Tz}}\sin {{\eta }_{Tz,\; i}} \\ & {{{\dot{\theta }}}_{Mz,\; i}} = \frac{{{a}_{Mz,\; i}}}{{{V}_{Mz,\; i}}} \\ & {{{\dot{\theta }}}_{Tz}} = \frac{{{a}_{Tz}}}{{{V}_{Tz}}} \\ & {{\eta }_{Mz,\; i}} = {{q}_{\varepsilon ,\; i}}-{{\theta }_{Mz,\; i}} \\ & {{\eta }_{Tz,\; i}} = {{q}_{\varepsilon ,\; i}}-{{\theta }_{Tz}} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (11) 在三维空间内建立了考虑重力的飞行器与目标的非线性动力学模型之后, 剩余部分为: 首先, 基于偏置比例导引设计了三维空间非线性协同制导律, 形成了对目标最大加速度的覆盖, 其次, 提出了同时考虑覆盖率和脱靶量的制导参数动态调节与快速收敛策略. 最后进行了仿真验证.
3. 基于加速度覆盖的偏置比例协同制导律设计
受文献[18]的启发, 本节引入了标准弹道来设计协同制导律以实现对目标最大加速度的覆盖. 当目标以期望恒定加速度$ {{a}_{T,\; i,\; s}} $进行机动时, 合理设计第$ i $个飞行器$ {{M}_{i}} $的初始阵位和制导律, 使其轨迹最接近直线, 则$ {{M}_{i}} $在整个拦截过程中的弹道可定义为标准弹道, 标准弹道的曲率最小, 对飞行器的加速度要求也是最小. 当目标以恒定加速度$ {{a}_{T,\; i,\; s}}+ \delta $($ \delta $为一个小量)机动时, 飞行器$ {{M}_{i}} $的轨迹将分布在标准轨迹邻域内, 定义为非标准弹道. $ \delta $的绝对值越大, 轨迹越弯曲, 拦截目标所需的加速度就越大. 因此, 对于给定的具有过载约束的飞行器, 在$ {{a}_{T,\; i,\; s}} $附近存在一个飞行器加速度不饱和的邻域, 能够成功拦截目标, 该领域即飞行器能够成功拦截机动目标的范围. 基于标准弹道和覆盖策略, 可以推导出对飞行器初始位置的约束和初始制导参数的偏置项. 因此, 基于解耦的相对运动方程, 可从铅垂和水平两个平面设计如下偏置比例协同制导律
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{a}_{My,\; i}} = N(| {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-{{B}_{y,\; i}}) \\ & {{a}_{Mz,\; i}} = N(| {{{\dot{R}}}_{z,\; i}} |{{{\dot{q}}}_{\varepsilon ,\; i}}-{{B}_{z,\; i}}) \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (12) 其中, $ {{B}_{y,\; i}} $和$ {{B}_{z,\; i}} $分别是铅垂面和水平面上的偏置项. $ N $为导航系数, 一般设置在2到6之间.
首先对铅垂面进行分析, 对式(9)第二式求导有
$$ \begin{split} {{{\dot{R}}}_{y,\; i}}{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}} &+ {{R}_{y,\; i}}{{{\ddot{q}}}_{\beta ,\; i}} = \\ &{{{\dot{V}}}_{My,\; i}}\sin {{\eta }_{My,\; i}}+{{V}_{My,\; i}}{{{\dot{\eta }}}_{My,\; i}}\cos {{\eta }_{My,\; i}}- \\ &{{{\dot{V}}}_{Ty}}\sin {{\eta }_{Ty,\; i}}-{{V}_{Ty}}{{{\dot{\eta }}}_{Ty,\; i}}\cos {{\eta }_{Ty,\; i}} \\[-1pt]\end{split} $$ (13) 考虑多飞行器与目标在高速强机动过程中加速度只改变速度方向, 即$ {{\dot{V}}_{My,\; i}} = {{\dot{V}}_{Ty,\; i}} = 0 $, 并代入式(9)有
$$ \begin{split} {{{\dot{R}}}_{y,\; i}}& {{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}} +{{R}_{y,\; i}}{{{\ddot{q}}}_{\beta ,\; i}} = \\ &{{V}_{My,\; i}}{{{\dot{\eta }}}_{My,\; i}}\cos {{\eta }_{My,\; i}}-{{V}_{Ty}}{{{\dot{\eta }}}_{Ty,\; i}}\cos {{\eta }_{Ty,\; i}} = \\ &{{V}_{My,\; i}}({{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-\frac{{{a}_{My,\; i}}-g\cos {{\theta }_{My,\; i}}}{{{V}_{My,\; i}}})\cos {{\eta }_{My,\; i}}- \\ &{{V}_{Ty}}({{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-\frac{{{a}_{Ty}}-g\cos {{\theta }_{Ty}}}{{{V}_{Ty}}})\cos {{\eta }_{Ty,\; i}} = \\ &({{V}_{My,\; i}}{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-({{a}_{My,\; i}}-g\cos {{\theta }_{My,\; i}}))\cos {{\eta }_{My,\; i}}- \\ &({{V}_{Ty}}{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-({{a}_{Ty}}-g\cos {{\theta }_{Ty}}))\cos {{\eta }_{Ty,\; i}}\\[-1pt] \end{split} $$ (14) 合并同类项并代入(9)第一式, 整理可得
$$ \begin{split} {{R}_{y,\; i}}{{{\ddot{q}}}_{\beta ,\; i}} & = ({{a}_{Ty}}-g\cos {{\theta }_{Ty}})\cos {{\eta }_{Ty,\; i}} - \\ &2{{{\dot{R}}}_{y,\; i}}{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-({{a}_{My,\; i}}-g\cos {{\theta }_{My,\; i}})\cos {{\eta }_{My,\; i}} \end{split} $$ (15) 结合式(12)第一式可简写为如下形式
$$ \begin{align} {{R}_{y,\; i}}{{\ddot{q}}_{\beta ,\; i}} = -( 2{{{\dot{R}}}_{y,\; i}}+N| {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |\cos {{\eta }_{My,\; i}} )( {{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-\dot{q}_{\beta ,\; i}^{*} ) \end{align} $$ (16) 其中
$$ \begin{split} \dot{q}_{\beta ,\; i}^{*} =\;& \frac{N{{B}_{y,\; i}}\cos {{\eta }_{My,\; i}}+g\cos {{\theta }_{My,\; i}}\cos {{\eta }_{My,\; i}}}{2{{{\dot{R}}}_{y,\; i}}+N| {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |\cos {{\eta }_{My,\; i}}} + \\ &\frac{{{a}_{Ty}}\cos {{\eta }_{Ty,\; i}}-g\cos {{\theta }_{Ty}}\cos {{\eta }_{Ty,\; i}}}{2{{{\dot{R}}}_{y,\; i}}+N| {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |\cos {{\eta }_{My,\; i}}}\\[-1pt] \end{split} $$ (17) 选取$ N $使得$ 2{{\dot{R}}_{y,\; i}}+N| {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |\cos {{\eta }_{My,\; i}}>0 $, 可见$ \dot{q}_{\beta ,\; i}^{*} $是有限的, 此时存在两种情况, 若$ {{\dot{q}}_{\beta ,\; i}}- \dot{q}_{\beta ,\; i}^{*}>0 $, 则有$ {{\ddot{q}}_{\beta ,\; i}}<0 $, 此时$ {{\dot{q}}_{\beta ,\; i}} $逐渐递减到$ \dot{q}_{_{\beta ,\; i}}^{*} $; 若$ {{\dot{q}}_{\beta ,\; i}}-\dot{q}_{\beta ,\; i}^{*}<0 $, 则有$ {{\ddot{q}}_{\beta ,\; i}}>0 $, 此时$ {{\dot{q}}_{\beta ,\; i}} $逐渐递增到$ \dot{q}_{_{\beta ,\; i}}^{*} $. 因此在两种情况下, $ {{\dot{q}}_{\beta ,\; i}} $都将收敛到$ \dot{q}_{\beta ,\; i}^{*} $且是有限的. 在碰撞时刻, $ {{R}_{y,\; i}} = 0 $, 由式(16) 可知
$$ \begin{align} {{\dot{q}}_{\beta ,\; i}} = \dot{q}_{\beta ,\; i}^{*} \end{align} $$ (18) 同理, 在水平面对(11)第二式求导并通过与式(13)到式(16)类似的处理方法有
$$ {{R}_{z,\; i}}{{\ddot{q}}_{\varepsilon ,\; i}} = -( 2{{{\dot{R}}}_{z,\; i}}+N| {{{\dot{R}}}_{z,\; i}} |\cos {{\eta }_{Mz,\; i}} )( {{{\dot{q}}}_{\varepsilon ,\; i}}-\dot{q}_{\varepsilon ,\; i}^{*} ) $$ (19) 其中
$$ \begin{align} \dot{q}_{\varepsilon ,\; i}^{*} = \frac{N{{B}_{z,\; i}}\cos {{\eta }_{Mz,\; i}}+{{a}_{Tz}}\cos {{\eta }_{Tz,\; i}}}{2{{{\dot{R}}}_{z,\; i}}+N| {{{\dot{R}}}_{z,\; i}} |\cos {{\eta }_{Mz,\; i}}} \end{align} $$ (20) 同样的, 选取$ N $使得$ 2{{\dot{R}}_{z,\; i}}+N| {{{\dot{R}}}_{z,\; i}} |\cos {{\eta }_{Mz,\; i}} >0 $, 则$ \dot{q}_{\varepsilon ,\; i}^{*} $是有限的, 且$ {{\dot{q}}_{\varepsilon ,\; i}} $都将收敛到$ \dot{q}_{\varepsilon ,\; i}^{*} $. 在碰撞时刻, 也有
$$ \begin{align} {{\dot{q}}_{\varepsilon ,\; i}} = \dot{q}_{\varepsilon ,\; i}^{*} \end{align} $$ (21) 最小化初始和碰撞时刻的加速度有助于减少拦截过程中的加速度需求, 因此定义弹道评价函数为
$$ \begin{align} J = a_{M,\; i,\; 0}^{2}+a_{M,\; i,\; f}^{2} \end{align} $$ (22) 其中, 下标$ 0 $和$ f $分别为初始时间和碰撞时间. 根据评价函数, 为使飞行器在标准弹道下拦截机动目标时的加速度需求最小, 可在铅垂面和水平面上选取初始和碰撞时刻的加速度输入信号约束为
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{a}_{My,\; i,\; 0}} = {{a}_{My,\; i,\; f}} = 0 \\ & {{a}_{Mz,\; i,\; 0}} = {{a}_{Mz,\; i,\; f}} = 0 \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (23) 因此, 结合式(12)与式(23), 碰撞时刻铅垂面和水平面的偏置项可表示为
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{B}_{y,\; i}} = | {{{\dot{R}}}_{y,\; i,\; f}} |\dot{q}_{\beta ,\; i,\; f}^{*} \\ & {{B}_{z,\; i}} = | {{{\dot{R}}}_{z,\; i,\; f}} |\dot{q}_{\varepsilon ,\; i,\; f}^{*} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (24) 代入式(17)与式(20)得
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{B}_{y,\, i}} = \\ &\frac{N{{B}_{y,\, i}}\cos {{\eta }_{My,\, i,\, f}}+{{a}_{Ty,\, i,\, s}}\cos {{\eta }_{Ty,\, i,\, f}}}{( 2{{{\dot{R}}}_{y,\, i,\, f}}+N| {{{\dot{R}}}_{y,\, i,\, f}} |\cos {{\eta }_{My,\, i,\, f}} )/| {{{\dot{R}}}_{y,\, i,\, f}} |}+ \\ &\frac{g\cos {{\theta }_{My,\, i,\, f}}\cos {{\eta }_{My,\, i,\, f}}-g\cos {{\theta }_{Ty,\, i,\, f}}\cos {{\eta }_{Ty,\, i,\, f}}}{( 2{{{\dot{R}}}_{y,\, i,\, f}}+N| {{{\dot{R}}}_{y,\, i,\, f}} |\cos {{\eta }_{My,\, i,\, f}} )/| {{{\dot{R}}}_{y,\, i,\, f}} |} \\ & {{B}_{z,\, i}} = \\ &| {{{\dot{R}}}_{z,\, i,\, f}} |\left( \frac{N{{B}_{z,\, i}}\cos {{\eta }_{Mz,\, i,\, f}}+{{a}_{Tz,\, i,\, s}}\cos {{\eta }_{Tz,\, i,\, f}}}{2{{{\dot{R}}}_{z,\, i,\, f}}+N| {{{\dot{R}}}_{z,\, i,\, f}} |\cos {{\eta }_{Mz,\, i,\, f}}} \right) \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (25) 对于迎面拦截的情况, 有$ {{\dot{R}}_{y,\; i,\; f}} = -| {{{\dot{R}}}_{y,\; i,\; f}} | $, $ {{\dot{R}}_{z,\; i,\; f}} = -| {{{\dot{R}}}_{z,\; i,\; f}} | $, 代入到式(25)则可得到如下表达式
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{B}_{y,\; i}} = -\frac{1}{2}({{a}_{Ty,\; i,\; s}}\cos {{\eta }_{Ty,\; i,\; f}}+ \\ &g\cos {{\theta }_{My,\; i,\; f}}\cos {{\eta }_{My,\; i,\; f}}-g\cos {{\theta }_{Ty,\; f}}\cos {{\eta }_{Ty,\; i,\; f}}) \\ & {{B}_{z,\; i}} = -\frac{1}{2}{{a}_{Tz,\; i,\; s}}\cos {{\eta }_{Tz,\; i,\; f}} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (26) 定理 1. 若初始时已形成了引理1中的覆盖阵位, 则可采用基于加速度覆盖的偏置比例协同制导律(12) 使得多飞行器实现对高速强机动目标的协同围捕, 其中偏置项(26)可通过初始参数计算得到.
证明. 由于重力的影响, 偏置项包含了弹道角信息, 因此除了碰撞时刻的目标前置角以外还需要在铅垂面得到碰撞时刻的弹道角, 由式(9)知弹道角满足以下关系
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{{\dot{\theta }}}_{My,\; i}} = \frac{{{a}_{My,\; i}}-g\cos {{\theta }_{My,\; i}}}{{{V}_{My,\; i}}} \\ & {{{\dot{\theta }}}_{Ty}} = \frac{{{a}_{Ty}}-g\cos {{\theta }_{Ty}}}{{{V}_{Ty}}} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (27) 首先在铅垂面上的碰撞时刻可表示为
$$ \begin{split} {{t}_{y,\; i,\; f}} =\;& \frac{-R_{y,\; i,\; 0}^{{}}}{|\dot{R}_{y,\; i,\; 0}^{{}}|} = \\ &\frac{-\dot{R}_{y,\; i,\; 0}^{{}}}{{{V}_{Ty}}\cos {{\eta }_{Ty,\; i,\; 0}}-{{V}_{My,\; i}}\cos {{\eta }_{My,\; i,\; 0}}} \end{split} $$ (28) 然后代入式(12)到(27)第一式有
$$ \begin{align} {{\dot{\theta }}_{My,\; i}} = \frac{N(| {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-{{B}_{y,\; i}})-g\cos {{\theta }_{My,\; i}}}{{{V}_{My,\; i}}} \end{align} $$ (29) 由于剩余时间较短, 多飞行器视线方向速度大小受到加速度影响不大, 即 变化不大, 则对(27) 从初始时刻到碰撞时刻积分, 可得到碰撞时刻的约束为
$$ \begin{split} {{\theta }_{My,\; i,\; f}} & -{{\theta }_{My,\; i,\; 0}} = \frac{N{{t}_{y,\;i,\;f}}}{{{V}_{My,\;i}}} \left( | {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-{{B}_{y,\; i}} \right) - \\ & \frac{1}{{{V}_{My,\;i}}} \left( g\sin {{\theta }_{My,\; i,\; f}}-g\sin {{\theta }_{My,\; i,\; 0}} \right) \\ {{\theta }_{Ty,\; f}} - & {{\theta }_{Ty,\; 0}} = \\ &\frac{({{a}_{Ty,\; i}}{{t}_{y,\; i,\; f}}-g\sin {{\theta }_{Ty,\; f}}+g\sin {{\theta }_{Ty,\; 0}})}{{{V}_{Ty}}}\\[-1pt] \end{split} $$ (30) 由此可见, 在重力的影响下, 偏置项不仅仅只与目标的标准加速度和碰撞时刻的前置角相关, 而是与整个弹道的约束都有关系. 注意, 此时得到的约束是标准弹道和非标准弹道均满足的约束. 接下来根据弹道评价函数分析标准弹道的约束条件. 结合式(12)与式(23), 可得在标准弹道下初始时刻偏置项为
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{B}_{y,\; i}} = | {{{\dot{R}}}_{y,\; i,\; 0}} |\dot{q}_{\beta ,\; i,\; 0}^{{}} \\ & {{B}_{z,\; i}} = | {{{\dot{R}}}_{z,\; i,\; 0}} |\dot{q}_{\varepsilon ,\; i,\; 0}^{{}} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (31) 同时乘以$ {{R}_{y,\; i,\; 0}} $, 有
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{B}_{y,\; i}}R_{y,\; i,\; 0}^{{}} = -\dot{R}_{y,\; i,\; 0}^{{}}(R_{y,\; i,\; 0}^{{}}\dot{q}_{\beta ,\; i,\; 0}^{{}}) \\ &{{B}_{z,\; i}}R_{z,\; i,\; 0}^{{}} = -{{{\dot{R}}}_{z,\; i,\; 0}}({{{\dot{R}}}_{z,\; i,\; 0}}\dot{q}_{\varepsilon ,\; i,\; 0}^{{}}) \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (32) 代入式(9)则可得到初始时刻标准弹道的约束为
$$ \left\{ \begin{aligned} {{B}_{y,\; i}}R_{y,\; i,\; 0}^{{}}=\; & ({{V}_{My,\; i}}\cos {{\eta }_{My,\; i,\; 0,\; s}}-\\ &{{V}_{Ty}}\cos {{\eta }_{Ty,\; i,\; 0,\; s}}) \times \\ & ({{V}_{My,\; i}}\sin {{\eta }_{My,\; i,\; 0,\; s}}-\\ &{{V}_{Ty}}\sin {{\eta }_{Ty,\; i,\; 0,\; s}}) \\ {{B}_{z,\; i}}R_{z,\; i,\; 0}^{{}} =\;& ({{V}_{Mz,\; i}}\cos {{\eta }_{Mz,\; i,\; 0,\; s}}-\\ &{{V}_{Tz}}\cos {{\eta }_{Tz,\; i,\; 0,\; s}}) \times \\ & ({{V}_{Mz,\; i}}\sin {{\eta }_{Mz,\; i,\; 0,\; s}}-\\ &{{V}_{Tz}}\sin {{\eta }_{Tz,\; i,\; 0,\; s}}) \end{aligned} \right. $$ (33) 由于$ {{\dot{q}}_{\beta ,\; i}} $和$ {{\dot{q}}_{\varepsilon ,\; i}} $在碰撞时刻是有限的, $ {{R}_{y,\; i}} = 0 $和$ {{R}_{z,\; i}} = 0 $, 则可通过式(9)和(11)得到碰撞时刻满足的约束如下
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{V}_{Ty,\; i}}\sin {{\eta }_{Ty,\; i,\; f}} = {{V}_{My,\; i}}\sin {{\eta }_{My,\; i,\; f}} \\ & {{V}_{Tz,\; i}}\sin {{\eta }_{Tz,\; i,\; f}} = {{V}_{Mz,\; i}}\sin {{\eta }_{Mz,\; i,\; f}} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (34) 此时, 由初始时刻和碰撞时刻的弹道评价函数得到了六个关于弹道约束的方程和六个关于碰撞时刻的未知数, 但式(33)只是对初始条件的约束, 并没有涉及到碰撞时刻的未知数, 因此为了求解偏置项, 需要在不增加碰撞时刻未知数的情况下增加两个方程, 以研究初始条件与碰撞时刻未知数的关系. 同时可以发现, 方程(30)在给定了初始状态的情况下, 可以直接求解出终端的飞行器和目标在铅垂面的弹道角$ {{\theta }_{My,\; i,\; f}} $和$ {{\theta }_{Ty,\; f}} $, 可见重力对多飞行器弹道约束的影响能够被完全消除. 由式(9)第五个和第六个方程求导有
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{{\dot{\eta }}}_{My,\; i}} = \frac{1}{{{V}_{My,\;i}}}{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-\left( {{a}_{My,\; i}}-g\cos {{\theta }_{My,\; i}} \right) \\ & {{{\dot{\eta }}}_{Ty,\; i}} = \frac{1}{{{V}_{Ty}}} {{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-\left( {{a}_{Ty}}-g\cos {{\theta }_{Ty}} \right) \\ \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (35) 合并两式, 并结合式(12)第一式有
$$ \begin{split} & {{{\dot{\eta }}}_{Ty,\; i}} +\frac{1}{{{V}_{Ty}}}\left( {{a}_{Ty}}-g\cos {{\theta }_{Ty}} \right) = \\ &\qquad{{{\dot{\eta }}}_{My,\; i}} + \frac{1}{{{V}_{My,\;i}}} ( N(| {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-{{B}_{y,\; i}})-\\ &\qquad g\cos {{\theta }_{My,\; i}} ) \end{split} $$ (36) 则从初始时刻到碰撞时刻对上式积分, 得到碰撞时刻未知数需满足的约束为
$$ \begin{split} \frac{1}{{{V}_{My,\; i}}} & \left( {{\Delta }_{i}}-g\sin {{\theta }_{My,\; i,\; f}}+g\sin {{\theta }_{My,\; i,\; 0}} \right) + \\ & {{\eta }_{My,\; i,\; f}}-{{\eta }_{My,\; i,\; 0}} = {{\eta }_{Ty,\; f}}-{{\eta }_{Ty,\; 0}} +\\ &\frac{1}{{{V}_{Ty}}} ({{a}_{Ty,\; i}}{{t}_{y,\; i,\; f}}-g\sin {{\theta }_{Ty,\; f}}+g\sin {{\theta }_{Ty,\; 0}}) \end{split} $$ (37) 其中, $ {{\Delta }_{i}} = N{{t}_{y,\; i,\; f}}( | {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-{{B}_{y,\; i}} ) $. 同理, 在水平面上的拦截时间可以表示为
$$ \begin{split} {{t}_{z,\; i,\; f}} =\; & \frac{-R_{z,\; i,\; 0}^{{}}}{|\dot{R}_{z,\; i,\; 0}^{{}}|} = \\ & \frac{-\dot{R}_{z,\; i,\; 0}^{{}}}{{{V}_{Tz}}\cos {{\eta }_{Tz,\; i,\; 0}}-{{V}_{Mz,\; i}}\cos {{\eta }_{Mz,\; i,\; 0}}} \end{split} $$ (38) 则从初始时刻到碰撞时刻对上式积分, 得到如下约束
$$ \begin{split} {{\eta }_{Mz,\; i,\; f}} & -{{\eta }_{Mz,\; i,\; 0}}+\\ &\frac{1}{{{V}_{Mz,\; i}}}N{{t}_{z,\; i,\; f}}(\left| {{{\dot{R}}}_{z,\; i}} \right|{{{\dot{q}}}_{\varepsilon ,\; i}}-{{B}_{z,\; i}}) = \\ &{{\eta }_{Tz,\; f}}-{{\eta }_{Tz,\; 0}}+\frac{1}{{{V}_{Tz}}}{{a}_{Tz,\; i}}{{t}_{z,\; i,\; f}} \end{split} $$ (39) 综上所述, 整理得弹道约束如式(40)所示. 对于迎面拦截场景, 可以通过适当设置初始前置角、弹道角和初始相对距离$ {{r}_{i,\; s,\; 0}} $来求解偏置项. 在该情况下, 第$ i $个飞行器可以成功拦截机动性为$ {{a}_{Ty,\; i,\; s}} $和$ {{a}_{Tz,\; i,\; s}} $的目标, 定理1得证.
□ 4. 覆盖参数动态调节策略
设计完协同制导律的偏置项之后, 形成了对高速强机动目标的加速度覆盖, 之后对覆盖参数动态调节策略进行分析和设计, 主要克服以下两个问题: 一是由于中末交班过程中不可避免的角度或位置误差, 多个飞行器在末制导初始时刻可能无法实现目标最大加速度的完全覆盖; 二是目标的机动形式可能是不断变化的, 这将使得某些飞行器可能成为无效飞行器. 因此, 本节基于脱靶量和覆盖率优化提出了实时调整制导参数的覆盖动态调节策略, 一方面在前期尽可能的保持对目标机动逃逸区域的高覆盖率, 另一方面在目标改变机动形式时能够调节失效飞行器, 使其更接近目标, 降低整体的脱靶量, 提升对目标的拦截概率. 如图8所示, 覆盖率指的是在碰撞平面内, 个飞行器可达域投影圆的并集对目标可达域投影圆的覆盖比例, 计算公式为
$$ \begin{align} \mu = \frac{C(\mathop {\mathop \cup \limits^n }\limits_i \,\; {{M}_{i}})\cap C(T)}{C(T)} \end{align} $$ (41) 其中, $ C(\mathop {\mathop \cup \nolimits^n }\limits_i \,\; {{M}_{i}}) $表示所有飞行器可达域投影圆的并集, $ C(T) $表示目标的可达域的投影圆. 显然$ \mu $是一个与两者最大加速度和投影点位置相关的函数. 除初始时刻以外, 投影点的位置与偏置项相关.
参考文献[18], 在三维空间内非线性模型的零控脱靶量可由下式计算
$$ \begin{align} ZEM = R\sqrt{\frac{{{(R\dot{q})}^{2}}}{{{(\dot{R})}^{2}}+{{(R\dot{q})}^{2}}}} \end{align} $$ (42) 可通过坐标转换, 将其投影到碰撞平面内得到第 个飞行器的零控脱靶量为
$$ \begin{align} {ZEM}_{MTi,\; o} = [ZEM_{yi,\; o}^{{}},\; ZEM_{zi,\; o}^{{}}] \end{align} $$ (43) 则其与目标的相对距离为
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & {{\theta }_{My,\; i,\; f}}-{{\theta }_{My,\; i,\; 0}} = \frac{1}{{{V}_{My,\; i}}}(N{{t}_{y,\; i,\; f}}(| {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-{{B}_{y,\; i}})-g\sin {{\theta }_{My,\; i,\; f}}+g\sin {{\theta }_{My,\; i,\; 0}}) \\ & {{\theta }_{Ty,\; f}}-{{\theta }_{Ty,\; 0}} = \frac{1}{{{V}_{Ty}}}({{a}_{Ty,\; i}}{{t}_{y,\; i,\; f}}-g\sin {{\theta }_{Ty,\; f}}+g\sin {{\theta }_{Ty,\; 0}}) \\ & {{B}_{z,\; i}}R_{z,\; i,\; 0}^{{}} = -({{V}_{Tz}}\cos {{\eta }_{Tz,\; i,\; 0,\; s}}-{{V}_{Mz,\; i}}\cos {{\eta }_{Mz,\; i,\; 0,\; s}})({{V}_{Mz,\; i}}\sin {{\eta }_{Mz,\; i,\; 0,\; s}}-{{V}_{Tz}}\sin {{\eta }_{Tz,\; i,\; 0,\; s}}) \\ & {{B}_{y,\; i}}R_{y,\; i,\; 0}^{{}} = -({{V}_{Ty}}\cos {{\eta }_{Ty,\; i,\; 0,\; s}}-{{V}_{My,\; i}}\cos {{\eta }_{My,\; i,\; 0,\; s}})({{V}_{My,\; i}}\sin {{\eta }_{My,\; i,\; 0,\; s}}-{{V}_{Ty}}\sin {{\eta }_{Ty,\; i,\; 0,\; s}}) \\ & {{V}_{Ty,\; i}}\sin {{\eta }_{Ty,\; i,\; f}} = {{V}_{My,\; i}}\sin {{\eta }_{My,\; i,\; f}} \\ & {{V}_{Tz,\; i}}\sin {{\eta }_{Tz,\; i,\; f}} = {{V}_{Mz,\; i}}\sin {{\eta }_{Mz,\; i,\; f}} \\ & {{\eta }_{My,\; i,\; f}}-{{\eta }_{My,\; i,\; 0}}+\frac{1}{{{V}_{My,\; i}}}(N{{t}_{y,\; i,\; f}}(| {{{\dot{R}}}_{y,\; i}} |{{{\dot{q}}}_{\beta ,\; i}}-{{B}_{y,\; i}})-g\sin {{\theta }_{My,\; i,\; f}}+g\sin {{\theta }_{My,\; i,\; 0}}) = \\ &{{\eta }_{Ty,\; f}}-{{\eta }_{Ty,\; 0}}+\frac{1}{{{V}_{Ty}}}({{a}_{Ty,\; i}}{{t}_{y,\; i,\; f}}-g\sin {{\theta }_{Ty,\; f}}+g\sin {{\theta }_{Ty,\; 0}}) \\ & {{\eta }_{Mz,\; i,\; f}}-{{\eta }_{Mz,\; i,\; 0}}+\frac{1}{{{V}_{Mz,\; i}}}N{{t}_{z,\; i,\; f}}(| {{{\dot{R}}}_{z,\; i}} |{{{\dot{q}}}_{\varepsilon ,\; i}}-{{B}_{z,\; i}}) = {{\eta }_{Tz,\; f}}-{{\eta }_{Tz,\; 0}}+\frac{1}{{{V}_{Tz}}}{{a}_{Tz,\; i}}{{t}_{z,\; i,\; f}} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (40) $$ \begin{align} {{D}_{MTi,\; o}} = \sqrt{ZEM_{yi,\; o}^{2}+ZEM_{zi. o}^{2}} \end{align} $$ (44) 在$ {{t}_{i}}<\frac{1}{2}{{t}_{i,\; f}} $时, 此时可认为是围捕前期, 多飞行器需要保持对目标机动逃逸区域的高覆盖率, 即
$$ \begin{split} & (\Delta {{B}_{y,\; i}},\; \Delta {{B}_{z,\; i}}) = \\ &\qquad\arg \max \mu ({{B}_{y,\; i}}+\Delta {{B}_{y,\; i}},\; {{B}_{z,\; i}}+\Delta {{B}_{z,\; i}}) \end{split} $$ (45) 上式的解析计算难度较大, 采用蒙特卡洛打靶法等数值方法耗时较长, 此处将之转化为投影点的相对位置$ {{D}_{MT,\; o}} $与投影圆半径$ {{R}_{Mi}},\; {{R}_{T}} $之间的关系. 在覆盖分析中, 要求形成完全覆盖时小圆在大圆的圆心处相切, 因此有以下两种情况:
1)$ {{D}_{MTi,\; o}}+{{R}_{Mi}}>{{R}_{T}} $, 则此时该飞行器的投影点应该靠近目标的投影点;
2)$ {{D}_{MTi,\; o}}+{{R}_{Mi}}<{{R}_{T}} $, 则此时该飞行器的投影点应该远离目标的投影点.
一般$ \mu >0. 9 $即可认为多飞行器基本实现了对目标的完全覆盖, 因此若在$ \Delta t $时间内满足
$$ \begin{align} 0. 9{{R}_{T}}<{{D}_{MTi,\; o}}+{{R}_{Mi}}<1. 1{{R}_{T}} \end{align} $$ (46) 则称该时段内实现了覆盖, 为$ \Delta {{t}_{\operatorname{cov}\text{er,\; k}}} $则有
$$ \begin{align} {{t}_{\operatorname{cov}\text{er}}} = \sum\limits_{k = 1}^{{{n}_{k}}}{\Delta {{t}_{\operatorname{cov}\text{er,\; k}}}} \end{align} $$ (47) 定义$ \Delta {ZEM}_{yi} = {{ZEM}_{yi}}({{t}_{k}})-ZE{{M}_{yi}}({{t}_{k-1}}) $为铅垂面内零控脱靶量的变化量. $ \Delta {{ZEM}_{yi}}<0 $说明第$ i $个飞行器的零控脱靶量在减小, 即碰撞平面内该飞行器与目标投影点的距离在变小, 反之则说明距离在增大. 若第$ \Delta {{ZEM}_{yj}} = \mathop {\min }\nolimits_{i = 1,\;2,\;\cdots,n} \,\; \Delta ZE{{M}_{yi}} $, 则第$ j $个飞行器与目标投影点距离减小的梯度是最大的, 因此, 可设计偏置项的调节策略为
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} {{B}_{y,\; i}}({{t}_{k+1}})=\;& {{\rho }_{ij}}{{B}_{y,\; i,\; 0}}+(1-{{\rho }_{ij}}){{B}_{y,\; j}}({{t}_{k}}),\; when\\ &{{D}_{MTi,\; o}}+{{R}_{Mi}}>{{R}_{T}} \\ {{B}_{y,\; i}}({{t}_{k+1}}) =\;& (1-{{\rho }_{ij}}){{B}_{y,\; i,\; 0}}+{{\rho }_{ij}}{{B}_{y,\; j}}({{t}_{k}}),\; when \\ &{{D}_{MTi,\; o}}+{{R}_{Mi}}<{{R}_{T}} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (48) 其中$ {{\rho }_{ij}} = {{e}^{\Delta ZE{{M}_{yj}}}}/{{e}^{\Delta {{ZEM}_{yi}}}} $.
在$ {{t}_{i}}>\frac{1}{2}{{t}_{i,\; f}} $时, 此时多飞行器以降低整体的脱靶量为主要任务, 有
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} {{B}_{y,\; i}}({{t}_{k+1}}) =\;& {{\rho }_{ij}}{{B}_{y,\; i,\; 0}}+(1-{{\rho }_{ij}}){{B}_{y,\; j}}({{t}_{k}}),\; \\ & when\nabla >\tau \\ {{B}_{y,\; i}}({{t}_{k+1}}) & = {{B}_{y,\; i}}({{t}_{k}}),\; when \;\nabla <\tau \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (49) 其中$ \nabla = \Delta ZE{{M}_{yi}}-\Delta ZE{{M}_{yj}} $, $ \tau $为一个小量, 在围捕末段越靠近目标, $ \nabla $越可能发生跳变, 因此设置阈值$ \tau $防止制导参数频繁跳变. 在水平面同理可得在不同时间段关于$ {{B}_{z,\; i}} $的调节策略.
5. 仿真验证与分析
考虑三维空间内多个飞行器围捕一个高速强机动目标的场景, 设置目标加速度上限$ 11.3g $, $ g $取$ 9.81\;\text{m/}{{\text{s}}^{\text{2}}} $, 速度为5 Ma, 初始位置为$ {{(100,\; 0,\; 0)}^{T}}\;\text{km} $, 设置队形中心的初始位置为$ {{(50,\; 0,\; 0)}^{T}}\;\text{km} $, 认为在之前已经形成了满足约束的初始队形. 设置多飞行器加速度上限$ 10.6g $, 速度6 Ma, 采用基于偏置比例导引的协同制导律, $ N $取5, 得到$ {{\kappa }_{a,\; r}} = 0. 6 $, 计算得到$ \alpha \approx 40{}^\circ $, 取交会角$ \beta = 5{}^\circ $, 计算得到$ {{\kappa }_{\beta }} = 0.978 $, $ \mu \text{ = }0. 5557 $, 查表可知最优飞行器数量为6架, 编号为$ {{M}_{1}} $到$ {{M}_{6}} $, 分别对应飞行器1到飞行器6. 此时实际能够使用的最大加速度只有6. 36g, 可见多飞行器为了捕获目标, 最大加速度受到了制导律的限制, 可行域相比可达域显著减小. 考虑多飞行器和目标均有重力影响, 可得碰撞平面的覆盖情况如图9(a)所示, 此时设计多飞行器与目标的初始位置为$ {{M}_{6}} $的圆心在编队中心处, $ {{M}_{1}} $到$ {{M}_{5}} $的圆心均匀分布在目标可达域投影圆的周长上, $ {{M}_{2}} $在$ {{M}_{6}} $的正上方, $ {{M}_{1}} $到$ {{M}_{5}} $与编队中心的连线间隔72度. 对应的加速度的覆盖关系如图9(b)所示, 蓝色圆表示目标以加速度上限为半径形成的加速度覆盖域, 虚线为不考虑重力加速度时的覆盖域, 可见在考虑了重力加速度之后, 加速度覆盖域实际为原覆盖域向下平移了g. 红色圆表示飞行器以覆盖加速度上限为半径形成的加速度覆盖域, 即为飞行器在当前制导律下过载不饱和时能够拦截的目标加速度范围. 红色圆心的数值表示在重力加速度的影响下, 该飞行器以标准弹道能够拦截的目标标准加速度的大小. 可以看到, 此时多飞行器的加速度覆盖域能够对目标的覆盖域形成完全覆盖.
图 9 对高速强机动目标最大正向机动的围捕覆盖Fig. 9 Encirclement for positive direction maneuvering the target初始覆盖完成后, 可计算出初始的前置角和偏置项如表2所示, 下面将通过数值仿真分别对比基于加速度覆盖的协同制导律与传统基于比例导引的协同制导律的协同围捕效果, 其中基于加速度覆盖的协同制导律采用偏置比例导引, 可根据是否采用覆盖调节策略分为预设覆盖调节与动态覆盖调节两类.
表 2 初始的制导参数Table 2 Initial guidance parameters制导参数 ${{{M}}_{{{1}}}}$ ${{{M}}_{{{2}}}}$ ${{{M}}_{{{3}}}}$ ${{{M}}_{{{4}}}}$ ${{{M}}_{{{5}}}}$ ${{{M}}_{{{6}}}}$ $B_{y}$ 44.49338 0 − 44.4938 − 28.1938 28.1938 0 $B_{z}$ − 14.7910 − 46.5865 − 14.7910 38.0842 38.0842 0 $\eta_{My,\; 0}\; ({}^\circ)$ 9.4049 0 − 9.4049 − 5.8450 5.8450 0 $\eta_{Mz,\; 0}\; ({}^\circ)$ − 3.0309 − 9.8796 − 3.0309 7.9790 7.9790 0 首先假定目标以最大加速度进行机动, 多飞行器分别基于加速度覆盖和比例导引对目标进行围捕. 定义目标的最大正向机动为以最大加速度往Y和Z的正方向机动, 最大负向机动为以最大加速度往Y和Z的负方向机动, 仿真结果分别如图10与图11所示.
图 10 对高速强机动目标最大正向机动的围捕覆盖Fig. 10 Encirclement for positive direction maneuvering the target
图 11 对高速强机动目标最大负向机动的围捕覆盖Fig. 11 Encirclement for negative direction maneuvering the target表3给出了目标以最大加速度机动时每个飞行器在不同制导律下的脱靶量. 通过图10、图11以及表3可以看到, 在目标以最大加速度进行正向和负向机动时, 基于比例导引的协同制导律的多飞行器脱靶量较大, 均未有效拦截目标. 而基于加速度覆盖的协同制导律的仿真中, 多飞行器能够保证至少有一个飞行器有效拦截目标, 其中采用动态覆盖调节策略的结果与采用预设覆盖调节策略的结果相比而言, 增加了有效拦截目标的飞行器数量, 多飞行器的最小脱靶量有所减小, 整体脱靶量得到了显著减小.
表 3 目标以最大加速度机动的情况下的脱靶量Table 3 Miss distance under target maximum acceleration maneuver机动形式 调节策略 有效拦截目标的飞行器 对应脱靶量 最大正向机动 预设调节 $M_3$ 1.18 m 动态调节 $M_2,\; M_3$ 0. 95 m 1.12 m 最大负向机动 预设调节 $M_5$ 1.35 m 动态调节 $M_5$ 1.22 m 结合上述分析可知, 当目标以最大加速度机动时, 基于加速度覆盖的协同制导律明显优于基于比例导引的协同制导律, 而其中采用动态调节的策略能够降低平均脱靶量, 增加有效拦截目标的飞行器数量, 能够更好地发挥其他飞行器的作用, 增强系统的鲁棒性和容错能力. 此外, 当目标最大负向机动时, 由于重力加速度的耦合影响, 基于加速度覆盖的多飞行器脱靶量整体都有增加, 但仍能保证至少一个飞行器有效拦截目标.
其次, 假定目标以某一恒定加速度$ \lambda {{a}_{T,\; \max }} $机动, 其中$ \lambda \in \left[ -1,\; 1 \right] $, 同样的初始阵位下多飞行器分别基于加速度覆盖和比例导引对高速强机动目标进行围捕. 将多飞行器中最小的脱靶量记为协同围捕的脱靶量, 得到如图12所示的脱靶量关于目标机动的分布情况, 比例导引在$ \lambda \ge 0.45 $以及$ \lambda \le -0.35 $时均出现了较大的脱靶量, 并且由于重力加速度的影响, 负向的脱靶量整体相比正向更大. 由此可见在当前阵位下, 基于比例导引的协同制导律只在目标加速度范围属于$ \left[ -0.35{{a}_{T,\; \max }},\; 0.45{{a}_{T,\; \max }} \right] $内时有效, 而基于加速度覆盖的协同制导律在目标加速度范围$ \left[ -{{a}_{T,\; \max }},\; {{a}_{T,\; \max }} \right] $内均能有效拦截目标, 显然其能够有效应对大机动逃逸的目标, 上述结果进一步证明了基于加速度覆盖的协同制导律的优越性.
图 12 脱靶量关于目标机动的分布Fig. 12 Distribution of miss distance with respect to target maneuvering最后, 假定目标以最大加速度$ {{a}_{T,\; \max }} $做方波机动, 如图13所示, 切换时间随机, 以此验证基于加速度覆盖的协同制导律在应对变机动目标的鲁棒性. 仿真结果如图14所示, 可见目标作随机方波机动时, 基于加速度覆盖的多飞行器能够保证至少有一个飞行器$ {{M}_{6}} $有效拦截变机动目标, 脱靶量如表4所示. 采用动态覆盖调节策略下, 还有飞行器$ {{M}_{2}} $与$ {{M}_{3}} $也能实现对变机动目标的有效拦截, 整体实现了对变机动目标的覆盖调节与收敛, 并在过载约束内最终捕获目标.
图 13 目标以随机时间切换的方波机动过载Fig. 13 Overload of target maneuvering with random time-switched square wave pattern
图 14 对目标随机时间方波机动的围捕覆盖Fig. 14 Encirclement for random square wave maneuvering the target表 4 目标以随机方波机动的情况下的脱靶量Table 4 Miss distance under target maneuvering with random square wave pattern机动形式 调节策略 有效拦截目标的飞行器 对应脱靶量 随机方
波机动预设调节 $M_6$ 0.85 m 动态调节 $M_2,\; M_3,\; M_6$ 0.62 m 0.73 m 0.80 m 综上, 通过数值仿验证了算法的扩展性和工程实用性, 多飞行器在机动能力严格弱于目标的情况下仍能够有效拦截高速强机动目标, 实现了以数量优势弥补机动性不足的完全弱围强.
6. 小结
本文研究了多飞行器协同围捕覆盖动态调节与快速收敛策略, 基于加速度覆盖设计了偏置比例协同制导律, 提出了根据动态过程在线调整多飞行器围捕区的覆盖策略, 有效延长对目标的覆盖时间, 提升对目标的覆盖率并最终保证捕获目标. 此外, 结合数值仿真对比了基于比例导引的协同制导律, 得出了基于加速度覆盖的协同制导律能够有效应对更大机动逃逸目标的结论, 并通过目标作随机机动验证了所提策略的优越性. 未来可在覆盖阵位形成、最优覆盖调节及覆盖博弈对抗等方面深入开展研究.
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图 2 不同网络规模下本文所提出算法的性能表现
Fig. 2 Performance of the proposed algorithms under different network sizes
图 4 不同网络拓扑下本文所提出算法的性能表现
Fig. 4 Performance of the proposed algorithms under different network topologies
图 5 不同数据集下本文所提出算法的性能表现
Fig. 5 Performance of the proposed algorithms under different datasets
图 7 不同延迟分布下本文所提出算法的性能表现
Fig. 7 Performance of the proposed algorithms under different delay distributions
图 8 在小网络的不同延迟大小下本文所提出算法的性能表现 (小网络: N = 20)
Fig. 8 Performance of the proposed algorithms under different delays of small networks (small network: N = 20)
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