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摘要: 研究含有状态时延的严反馈非线性系统的跟踪控制问题, 充分考虑时延的时变性和任意性以及系统的未知动力学特性. 为解决该问题, 取代参数辨识、函数逼近、增益调节、指令滤波等常规技术, 提出基于导向函数的预设性能控制方法, 移除了控制器设计对于系统非线性、控制方向和虚拟控制信号导数等信息的依赖. 并且, 摆脱基于李雅普诺夫−克拉索夫斯基泛函或拉祖米欣函数的稳定性分析框架, 采用基于反证法的受限分析理论, 移除性能分析对于已知的时延上界、部分已知的时延非线性函数和时延导数小于1等常见约束. 因此, 形成无模型、低复杂度、高性能控制方法, 将跟踪误差限制于设计者预先选取的性能包络线内, 确保系统输出以预先设定的速度和精度跟踪上时变的设定值. 最后, 以具有延迟回收流的两级化学反应器为对象开展对比仿真, 实验结果验证了所提方法的有效性和优越性.Abstract: This paper is concerned with the tracking control problem for time-delay strict-feedback nonlinear systems, in which the time-varying arbitrary state delays and the completely unknown system dynamics are taken into full consideration. To address this problem, instead of parameter identification, function approximation, gain adaption and command filtering, an orientation function-based prescribed performance control approach is put forward. It eliminates the dependence of the control design on the system nonlinearities, the control directions and the virtual control signal derivatives. Moreover, in lieu of the stability analysis based on Lyapunov-Krasovskii functionals or Razumikhin functions, a framework for constraint analysis by contradiction is adopted. It excludes the commonly adopted assumptions on the known bounds of time-delays, the partially known time-delay nonlinearities and the time-delay derivatives less than 1. Therefore, a model-free low-complexity high-performance control scheme is obtained, which confines the tracking error inside the predefined performance envelop. In this way, it is achieved that the system output tracks the time-varying reference with the prescribed rate and accuracy. Finally, a comparative simulation on the two-stage chemical reactor with delayed recycle streams is conducted, and the simulation results substantiate the effectiveness and the superiority of the proposed approach.
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Key words:
- Model-free control /
- prescribed performance /
- reference tracking /
- time-delay /
- nonlinear systems
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对于某些工程系统, 在其数学模型中, 如果仅由当前状态决定未来状态而与过去状态无关, 那么将难以充分描述系统的演化行为[1]. 因此, 数学模型中应包含过去的状态信息, 此类系统通常被称为时延系统, 比如连续搅拌反应器、换热器和冷轧机[1-3]. 例如, 在图1所示的槽式反应器中 (其示意图见图2), 由于从进料到产物无法实现完全转换, 为了提高转换效率并降低运行成本, 工程师通常将未完全反应的试剂经循环管道再次投入至反应器中参与反应, 此举造成了物料传输时延[1, 4]. 类似地, 换热器和冷轧机中的时延影响也源于传输延迟. 时延问题同样存在于经济学、力学和生物学等众多领域[1, 4]. 因此, 在现实世界中, 时延现象有时难以避免, 而对于控制系统, 如果时延问题未被有效处理, 将导致系统性能下降甚至不稳定[5].
目前, 处理时延问题的主要工具包括李雅普诺夫−克拉索夫斯基泛函[2, 6-22]和拉祖米欣函数[23-25], 它们广泛应用于时延系统的稳定性分析和控制器设计, 有效解决了该领域的部分难题. 但需要指出的是, 这两种方法所适用的时延系统应满足以下情况之一. 时延本身或其上界已知[8-9, 16, 18, 20, 23]. 或者, 含有时延的非线性函数满足参数化不确定结构[2, 6-7, 14, 24-25], 即, 系统的模型参数可以未知, 但是非线性基函数需已知. 亦或, 时延的导数恒小于1[8-19, 21]. 总的来说, 以上方法对于时延的种类有限制, 并且依赖于时延造成的模型不确定性的部分关键信息. 如文献[26]所指出, 无论在理论角度还是实践方面, 这些要求都极具约束性. 而当它们不被满足时, 已有文献尚未给出有效的解决方案. 因此, 研究广义时延非线性系统 (即移除上述约束) 的控制问题具有重要的理论意义和应用价值.
在控制效果方面, 为了处理系统中的非匹配不确定性或未知非线性环节, 经典智能控制方法, 如自适应控制[13-14]、神经网络控制[8, 15]和模糊逻辑控制[16-17], 通常仅保证跟踪误差的有界性. 由于误差的收敛速度和稳态值不仅取决于控制器参数, 还依赖于逼近误差和观测误差等未知项, 这导致无法对跟踪性能进行预先且定量设定. 预设性能控制方法[27]为该问题提供了行之有效的解决方案, 其通过将误差限制在预先选定的性能包络线内, 确保误差以指定的最小速度、最大超调和最低精度完成收敛. 在此基础上, 为进一步提升控制系统的性能和可靠性, 学者提出了比例积分预设性能控制方法[28]、有限时间预设性能控制方法[29]和非脆弱预设性能控制方法[30]. 目前, 预设性能控制方法已成功应用于时延系统[18-19]. 然而, 相关结果仍旧需要满足前述对于时延或时延非线性的约束条件. 而且, 传统预设性能控制方法高度依赖于系统模型的部分关键信息, 因此需要精准的机理建模或采用神经网络或模糊逻辑系统对模型信息进行逼近.
目前, 针对多关节机械臂[31]、航天器姿态系统[32]、全驱动无人船[33-36]、欠驱动无人船[37]、单变量纯反馈系统[38], 文献给出了“无模型”控制方法, 有效处理了系统未知非线性对高性能控制器设计带来的挑战. 但在本质上, 机械臂、航天器和无人船的惯性矩阵为正定矩阵, 即系统的控制方向为正, 这意味着控制器实质上利用到系统已知的控制方向信息; 而单变量纯反馈系统的未知非线性被假设满足全局利普西茨条件[38], 弱化了方法的适用范围, 降低了控制器设计难度. 对于更具一般化的非线性系统, 学者通常将努斯鲍姆增益技术和预设性能控制方法相结合, 形成无模型预设性能控制器[18, 39-41], 从本质上移除了控制器设计对于系统模型信息的依赖 (区别于对未知项先辨识再补偿的传统处理方式). 然而, 努斯鲍姆函数的引入极易造成控制增益在短时间内急剧增加, 可能超出执行机构的饱和限制, 因此降低了方法的实用性. 为此, 学者又提出了基于监控切换策略的预设性能控制方法[42], 虽然控制方向未知问题得以解决, 但其又要求模型不确定项的边界函数已知, 比如扰动上界. 取代努斯鲍姆增益技术和监控切换控制策略, 文献给出了基于导向函数的预设性能控制方法[43-44], 其保留了对于模型未知信息的鲁棒性, 并且规避了高增益控制问题, 但其面向无时延非线性系统.
综上所述, 系统模型自身的高度不确定性加之时延造成的未知非线性环节, 为时延非线性系统的无模型高性能控制设计带来极大挑战. 因此, 开发合理且有效的无模型高性能控制方法将显著提升时延系统的性能和控制算法的通用性. 为此, 本文针对含有状态时延的严反馈非线性系统, 提出了基于导向函数的无模型预设性能控制方法, 采用基于反证法的受限分析理论开展性能分析. 与现有方法相比, 所提方法的创新之处和优势总结如下:
$ 1) $ 摆脱基于李雅普诺夫−克拉索夫斯基泛函[2, 6-19]或拉祖米欣函数[23-25]的稳定性分析框架, 采用基于反证法的受限分析理论分析控制系统的性能, 移除了时延上界已知[8-9, 16, 18, 23]、时延导数小于1[8-19]和时延非线性函数部分已知[6-7, 14, 24-25]等约束.
$ 2) $ 取代努斯鲍姆增益技术[39-41]和监控切换策略[42], 将导向函数与障碍函数巧妙结合, 解除了控制器设计对于系统模型信息、参考信号导数和虚拟控制信号导数的依赖.
$ 3) $ 控制算法简易且计算量低, 无需数据驱动[33, 38]、滑模控制[35, 38]、参数辨识[13-14, 21, 45]、函数逼近[8, 15-19, 34, 36, 46-47]、指令滤波[17, 48-49]等机制.
1. 问题描述
1.1 系统模型
以一类高阶时延非线性系统为对象, 其数学模型如下
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &\dot{x}_i(t) = f_i({\boldsymbol{x}}_i(t))+g_i({\boldsymbol{x}}_i(t))x_{i+1}(t)\;+\\ &\; \; \; \; \; \; \; \; \;\;\; \;h_i({\boldsymbol{x}}_i(t-\tau_i(t))),\; i = 1,\;\cdots ,\;n-1 \\ &\dot{x}_n(t) = f_n({\boldsymbol{x}}_n(t))+g_n({\boldsymbol{x}}_n(t))u(t)\;+\\ & \;\;\; \; \; \; \; \; \; \;h_n({\boldsymbol{x}}_n(t-\tau_n(t))) \\ &y(t) = x_1(t) \\ &{\boldsymbol{x}}_i(t-\tau_i(t)) = {\boldsymbol{\delta}}_i(t),\; t\in[0,\;\tau_i(t)],\; i = 1,\;\cdots ,\;n \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (1) 其中, $ {\boldsymbol{x}}_i(t) = [x_1(t),\;\cdots ,\;x_i(t)]^{\mathrm{T}}\in {\bf{R}}^i $, $ i = 1,\;\cdots ,\;n $; $ {\boldsymbol{x}}_n(t)\in {\bf{R}}^n $构成系统状态; $ {\boldsymbol{\delta}}_i(t)\in {\bf{R}}^i $表示状态变量的初值, 其在区间$ [0,\;\tau_i(t)] $上连续变化, $ i = 1,\;\cdots ,\; n $; $ y(t)\in {\bf{R}} $和$ u(t)\in {\bf{R}} $分别表示系统输出和待设计的控制输入; $ \tau_i(t)\in {\bf{R}} $表示状态变量的时延, 其满足局部利普西茨条件, $ i = 1,\;\cdots ,\;n $; $ f_i(\cdot)\in {\bf{R}} $, $ g_i(\cdot)\in {\bf{R}} $和$ h_i(\cdot)\in {\bf{R}} $是系统的非线性项, 它们对于其自变量是连续的, 以确保式(1)的解的存在性, $ i = 1,\;\cdots ,\;n $.
针对系统(1), 引入以下常见的假设条件.
假设 1. 存在未知常数$ g>0 $, 使得
$$ \begin{align} |g_i({\boldsymbol{x}}_i(t))|\geq g,\; \; \forall \Vert{\boldsymbol{x}}_i(t)\Vert<\infty,\; \; i = 1,\;\cdots ,\;n \end{align} $$ 假设 2. 存在未知常数$ b>0 $, 使得
$$ \begin{align} 0\leq\tau_i(t)\leq b,\; \; i = 1,\;\cdots ,\;n \end{align} $$ 注 1. 如式(1)所示, 本文充分考虑状态时延的时变性和差异性, 即$ \tau_i(t)\neq\tau_j(t) $, $ i,j\in\{1,\;\cdots ,\;n\} $. 而且, 显著区别于传统时延系统的控制方法, 本文未要求时延及其边界已知, 并且对于时延导数无约束条件, 比如$ \dot{\tau}_i(t)<1 $, $ i = 1,\;\cdots ,\;n $. 另一方面, 本文无需系统模型(1) 中的非线性函数$ f_i(\cdot) $, $ g_i(\cdot) $和$ h_i(\cdot) $的具体信息, $ i = 1,\;\cdots ,\;n $, 比如非线性函数的边界和系统的控制方向等, 仅需系统满足严反馈结构和已知的阶次. 因此, 本文研究了一类广义时延非线性系统的无模型控制问题.
1.2 控制目标
对于系统(1)的控制目标是令其输出$ y(t) $跟踪参考信号$ r(t)\in {\bf{R}} $, 并满足预先设定的性能要求.
假设 3. $ r(t) $和$ \dot{r}(t) $有界.
期望的暂态和稳态跟踪性能描述如下
$$ \begin{align} |y(t)-r(t)|<(k_{1,0}-k_{1,\infty}){\rm{e}}^{-\mu_1t}+k_{1,\infty} \end{align} $$ (2) 其中, 参数$ \mu_1>0 $和$ k_{1,\infty}>0 $由设计者任意确定, 分别用于刻画跟踪误差的最低收敛速度和稳态值上界, 参数$ k_{1,0} $需满足
$$ \begin{align} |y(0)-r(0)|<k_{1,0} \end{align} $$ (3) 综上所述, 所研究的问题总结如下.
问题 1. 针对式(1)中描述的广义时延非线性系统, 设计无模型预设性能控制器, 实现式(2)中刻画的暂态和稳态跟踪性能, 并保证闭环系统中的所有信号有界.
2. 控制器设计
为解决问题1, 本节介绍一种无模型预设性能控制方法, 即基于导向函数和障碍函数的受限控制方法.
采用递归方式设计控制器. 首先定义跟踪误差和性能函数
$$ \begin{align} &e_1(t) = y(t)-r(t) \end{align} $$ (4) $$ \begin{align} &k_1(t) = (k_{1,0}-k_{1,\infty}){\rm{e}}^{-\mu_1t}+k_{1,\infty} \end{align} $$ (5) 为实现式(2)中的性能约束, 部署如下障碍函数
$$ \begin{align} \eta_1(t) = \tan\left(\frac{\pi}{2}\frac{e_1(t)}{k_1(t)}\right) \end{align} $$ (6) 基于障碍函数和导向函数[44], 设计如下虚拟控制律
$$ \begin{align} \alpha_1(t) = c_1\sin(\eta_1)\eta_1(t) \end{align} $$ (7) 其中, $ c_1 $为任意非零常数, 代表虚拟控制增益. 采用相同结构, 继续设计
$$ \begin{align} &e_i(t) = \alpha_{i-1}(t)-x_i(t) \end{align} $$ (8) $$ \begin{align} &k_i(t) = (k_{i,0}-k_{i,\infty}){\rm{e}}^{-\mu_it}+k_{i,\infty} \end{align} $$ (9) $$ \begin{align} &\eta_i(t) = \tan\left(\frac{\pi}{2}\frac{e_i(t)}{k_i(t)}\right) \end{align} $$ (10) $$ \begin{align} &\alpha_i(t) = c_i\sin(\eta_i)\eta_i(t) \end{align} $$ (11) 其中, 以递归方式依次执行$ i = 2,\;\cdots ,\;n $. 在式(8) ~ (11)中, $ c_i $是非零常数, $ k_{i,\infty} $和$ \mu_i $是正的常数, 它们均由设计者自由选取, 但常数$ k_{i,0} $应满足
$$ \begin{align} |e_i(0)|<k_i(0),\; \; i = 2,\;\cdots ,\;n \end{align} $$ (12) 最终, 真实的控制律选取如下
$$ \begin{align} u(t) = \alpha_n(t) \end{align} $$ (13) 注 2. 从以上设计步骤不难看出, 控制器设计既不涉及系统模型(1)中的时延项$ \tau_i(t) $和非线性函数$ f_i(\cdot) $, $ g_i(\cdot) $以及$ h_i(\cdot) $的信息, $ i = 1,\;\cdots ,\;n $, 也不依赖于假设1和假设2中$ g $和$ b $的数值. 因此, 给出了无模型控制器, 具有高度的通用性. 而且, 在递归设计过程中, 无需使用参考信号和中间控制信号的导数, 也无需部署神经网络、模糊逻辑系统、自适应观测器、努斯鲍姆增益、指令滤波器等工具对闭环系统中的未知项进行逼近、辨识或观测. 因此, 与传统非线性控制方法相比, 如基于神经网络的反步控制, 本文给出的控制算法极其简易, 便于工程实现.
3. 性能分析
理论成果总结如下.
定理 1. 若假设1 ~ 3成立, 那么式(4) ~ (13)中给出的控制器解决了问题1.
证明. 受文献[39, 44]启发, 采用反证法建立如下约束
$$ \begin{align} |e_{i}(t)|<k_{i}(t),\; \; i = 1,\;\cdots ,\;n,\; \; t\geq0 \end{align} $$ (14) 由式(3), 式(5)和式(12)可知, 式(14)在$ t = 0 $时刻成立. 随后分析误差信号和性能函数的连续性, 以确定式(14)被违反的前提条件. 显然, 系统状态连续. 由假设1、式(2)、式(5)、式(9) 可知, $ r(t) $和$ k_i(t) $也是连续的, $ i = 1,\;\cdots ,\;n $. 因此, 式(4)中的$ e_1(t) $连续. 从式(6)和式(7)可见, 如果$ |e_1(t)|< k_1(t) $, 那么$ \alpha_1(t) $连续. 在该条件下, 式(8) 中的$ e_2(t) $是连续的. 按照同样的思路对$ e_i(t) $开展分析, $ i = 3,\;\cdots ,\;n $, 可以得出, 如果
$$ \begin{align} |e_j(t)|<k_j(t),\; \; j = 1,\;\cdots ,\;i-1 \end{align} $$ 那么$ e_i(t) $连续. 上述事实说明, 如果式(14)被违反, 那么一定存在$ t^*>0 $使得
$$ \begin{align} \lim_{t\rightarrow t^*}|e_j(t)| = \lim_{t\rightarrow t^*}k_j(t),\; \; j\in\{1,\;\cdots ,\;n\} \end{align} $$ (15) 并且
$$ \begin{align} |e_i(t)|<k_i(t),\; \; i = 1,\;\cdots ,\;n,\; \; t<t^* \end{align} $$ (16) 其中$ t^* $可能是某一时刻, 也可能趋于无穷大. 基于反证思想, 假设式(15)和式(16)成立, 而后枚举误差信号予以验证. 为方便叙述并节约空间, 在后续分析中, 可能省略部分函数对于时间和状态等变量的依赖性.
情况 1. 首先假设
$$ \begin{align} \lim_{t\rightarrow t^*}|e_1(t)| = \lim_{t\rightarrow t^*}k_1(t) \end{align} $$ (17) 显然, 式(17)的必要条件是
$$ \begin{align} \lim_{t\rightarrow t^*}\frac{{\rm{d}}|e_1(t)|}{{\rm{d}}t}\geq\lim_{t\rightarrow t^*}\dot{k}_1(t) \end{align} $$ (18) 对式(5)求导, 得到
$$ \begin{align} \dot{k}_1\geq\mu_1(k_{1,\infty}-k_{1,0}) \end{align} $$ (19) 其说明$ \dot{k}_1 $存在有限的下界. 从式(1)和式(4)可得
$$ \begin{align} \dot{e}_1 = f_1+g_1x_2+h_1-\dot{r} \end{align} $$ (20) 将式(8)改写为$ x_2 = \alpha_1-e_2 $, 并将式(7)代入式(20), 得到
$$ \begin{align} \dot{e}_1 = w_1+c_1g_1\sin(\eta_1)\eta_1 \end{align} $$ (21) 其中
$$ \begin{align} w_1 = f_1-g_1e_2+h_1-\dot{r} \end{align} $$ 那么,
$$ \begin{align} \lim_{t\rightarrow t^*}\frac{{\rm{d}}|e_1(t)|}{{\rm{d}}t} = \lim_{t\rightarrow t^*}{\rm{sign}}(e_1)\left(w_1+c_1g_1\sin(\eta_1)\eta_1\right) \end{align} $$ (22) 不等式(16)指出$ e_1 $和$ e_2 $在$ [0,\;t^*) $上有界. 假设3给出了$ r $和$ \dot{r} $的有界性. 因此, 由式(4)可反推出$ x_1 $在$ [0,\;t^*) $上有界. 进而由$ \delta_1 $的连续性和假设2可得$ |x_1(t-\tau_1)|<\infty $, $ t<t^* $. 类似地, 基于系统非线性函数的连续性, 得到$ f_1 $, $ g_1 $和$ h_1 $在$ [0,\;t^*) $上有界. 由上述分析结果可知
$$ \begin{align} |w_1|<\infty,\; \; t<t^* \end{align} $$ (23) 由式(6)和式(17)得到
$$ \begin{split} &\limsup_{t\rightarrow t^*}\sin(\eta_1)\eta_1 = +\infty \\ &\liminf_{t\rightarrow t^*}\sin(\eta_1)\eta_1 = -\infty \end{split} $$ 由于$ x_1 $在$ [0,\;t^*) $上有界, 假设1可确保将$ g_1(x_1) $引入上式后不改变其双向无穷特性, 即,
$$ \begin{split} &\limsup_{t\rightarrow t^*}c_1g_1\sin(\eta_1)\eta_1 = +\infty \\ &\liminf_{t\rightarrow t^*}c_1g_1\sin(\eta_1)\eta_1 = -\infty \end{split} $$ 在此基础上,
$$ \begin{align} \liminf_{t\rightarrow t^*}c_1g_1{\rm{sign}}(e_1)\sin(\eta_1)\eta_1 = -\infty \end{align} $$ (24) 将式(23)和式(24)代入式(22), 得到
$$ \begin{align} \lim_{t\rightarrow t^*}\frac{{\rm{d}}|e_1(t)|}{{\rm{d}}t} = -\infty \end{align} $$ (25) 显然, 由于式(19)成立, 式(25)和(18)矛盾. 因此, 式(18)不成立. 相反, 存在常数$ o_1>0 $使得
$$ \begin{align} |e_1(t)|\leq k_1(t)-o_1<k_1(t),\; \; t<t^* \end{align} $$ (26) 情况 2. 随后验证下式的可能性
$$ \begin{align} \lim_{t\rightarrow t^*}|e_2(t)| = \lim_{t\rightarrow t^*}k_2(t) \end{align} $$ (27) 其前提条件是
$$ \begin{align} \lim_{t\rightarrow t^*}\frac{{\rm{d}}|e_2(t)|}{{\rm{d}}t}\geq\lim_{t\rightarrow t^*}\dot{k}_2(t) \end{align} $$ (28) 由式(9)得到
$$ \begin{align} \dot{k}_2\geq \mu_2(k_{2,\infty}-k_{2,0}) \end{align} $$ 对式(8)求导, 并将结果与式(1)结合, 得到
$$ \begin{align} \dot{e}_2 = \dot{\alpha}_1-f_2-g_2x_3-h_2 \end{align} $$ 根据式(11), 进一步有
$$ \begin{align} \dot{e}_2 = w_2-c_2g_2\sin(\eta_2)\eta_2 \end{align} $$ 其中
$$ \begin{align} w_2 = \dot{\alpha}_1-f_2-h_2+g_2e_3 \end{align} $$ 因此,
$$ \begin{align} \lim_{t\rightarrow t^*}\frac{{\rm{d}}|e_2(t)|}{{\rm{d}}t} = \lim_{t\rightarrow t^*}{\rm{sign}}(e_2)\left(w_2+ c_2g_2\sin(\eta_2)\eta_2\right) \end{align} $$ (29) 对式(7)求导, 得到
$$ \begin{align} \dot{\alpha}_1 = c_1\dot{\eta}_1(\eta_1\cos(\eta_1)+\sin(\eta_1)) \end{align} $$ (30) 其中, 由式(6)可知
$$ \begin{align} \dot{\eta}_1 = \frac{\pi}{2}\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\frac{e_1}{k_1}\right)}\frac{\dot{e}_1k_1-e_1\dot{k}_1}{k^2_1} \end{align} $$ (31) 显然, $ k_1 $及其导数和倒数均有界. 由式(26)知$ \eta_1 $, $ \alpha_1 $和$ \cos^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\frac{e_1}{k_1}\right) $在$ [0,\;t^*) $上有界. 在此基础上, 由式(21)和式(23)得到$ |\dot{e}_1|<\infty $, $ t<t^* $. 因此, 式(31)中的$ \dot{\eta}_1 $和式(30)中的$ \dot{\alpha}_1 $在$ [0,\;t^*) $上有界. 同时, 从式(8)可反推出$ |x_2|<\infty $, $ t<t^* $. 由$ {\boldsymbol{\delta}}_2 $的连续性和假设2进一步得到$ |x_2(t-\tau_2)|<\infty $, $ t<t^* $. 类似地, 凭借系统非线性函数的连续性可知$ f_2 $, $ g_2 $和$ h_2 $在$ [0,\;t^*) $上有界. 以上分析结果连同式(8)证明了
$$ \begin{align} |w_2|<\infty,\; \; t<t^* \end{align} $$ (32) 另一方面, 由式(10)、式(27)、假设1以及$ \Vert x_2\Vert $在$ [0,\;t^*) $上的有界性得到
$$ \begin{split} &\limsup_{t\rightarrow t^*}c_2g_2\sin(\eta_2)\eta_2 = +\infty \\ &\liminf_{t\rightarrow t^*}c_2g_2\sin(\eta_2)\eta_2 = -\infty \end{split} $$ 进而有
$$ \begin{align} \liminf_{t\rightarrow t^*}{\rm{sign}}(e_2)c_2g_2\sin(\eta_2)\eta_2 = -\infty \end{align} $$ (33) 将式(32)和式(33)代入式(29), 得到
$$ \begin{align} \lim_{t\rightarrow t^*}\frac{{\rm{d}}|e_2(t)|}{{\rm{d}}t} = -\infty \end{align} $$ (34) 显然, 式(34)与式(28)矛盾. 因此, 式(28)不成立. 相反, 存在常数$ o_2>0 $使得
$$ \begin{align} |e_2(t)|\leq k_2(t)-o_2<k_2(t),\; \; t<t^* \end{align} $$ (35) 情况$ {{\boldsymbol{i}}\; {\bf{(}}{\boldsymbol{i}} \;{\boldsymbol{=}}{\bf{ 3}}{{,\;\cdots ,\;}}\;{\boldsymbol{n}}{\bf{)}}}{\boldsymbol{.}} $ 采用同样的方式逐个分析式(15)中剩余的情况, 即, $ i = 3,\;\cdots ,\;\;n $, 可知存在常数$ o_i>0 $使得
$$ \begin{align} |e_i(t)|\leq k_i(t)-o_i<k_i(t),\; \; t<t^* \end{align} $$ (36) 其中$ i = 3,\;\cdots ,\;n $. 现在, 我们发现假设式(15)和结论(26), (35)及(36)相互矛盾. 因此, 假设式(15)不成立, 故有
$$ \begin{align} |e_i(t)|\leq k_i(t)-o_i<k_i(t),\; \; t\geq0 \end{align} $$ (37) 其中, $ i = 1,\;\cdots ,\;n $. 显然, 式(14)成立. 由式(4)和(5)可知式(2)中描述的暂态和稳态跟踪性能被满足.
最后, 验证控制系统中所有信号的有界性, 包括状态变量$ x_i $, $ i = 2,\;\cdots ,\;n $, 虚拟控制信号$ \alpha_i $, $ i = 1,\;\cdots ,\;n-1 $, 以及控制输入$ u $. 由式(37)可得式(6)和(10)中的$ \eta_i $有界, $ i = 1,\;\cdots ,\;n $. 在此基础上, 由式(7) 和式(11)得到$ \alpha_i\in L^\infty $, $ i = 1,\;\cdots ,\;n $. 因此, 式(13)中的$ u $有界. 同时, 由式(8)可反推出$ x_i\in L^\infty $, $ i = 2,\;\cdots ,\;n $.
□ 注 3. 从以上证明过程可以看出, 本文并未延用基于李雅普诺夫−克拉索夫斯基泛函或拉祖米欣函数的稳定性分析框架, 而是采用基于反证法的受限分析理论分析控制系统的性能. 此举揭示了当误差信号位于性能界内时, 即, $ |e_i(t)|<k_i(t) $, $ i = 1,\;\cdots ,\; j $, 时延非线性项$ h_i({\boldsymbol{x}}_i(t-\tau_i(t))) $仅展现出有限的强度, 即, $ |h_i({\boldsymbol{x}}_i(t-\tau_i(t)))|<\infty $. 如式(24) 和式(33)所示, 由导向函数和障碍函数构成的控制信号在误差趋于性能边界时将产生足够大的反向力, 能够抵消时延非线性项带来的影响, 迫使误差远离边界, 保证误差演化满足预先设定的性能要求. 如相关文献所指出[5, 39, 44], 控制信号的无穷特性仅仅用于分析, 并不会真实出现, 这是因为控制器最终将误差限制在预设性能界的一组内界之内, 如式(37)所示, 因此排除了误差无限靠近性能边界的可能性, 规避了控制信号无限大这一理论猜测.
注 4. 常规预设性能控制方法不仅可以约束跟踪误差的收敛速度和稳态值, 还可对其超调量进行调节, 即
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &-k_{1,\infty}<e_1(t)<k_1(t),\; \; \text{若}\; e_1(0)\geq0 \\ &-k_1(t)<e_1(t)<k_{1,\infty},\; \; \text{若}\; e_1(0)<0 \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 为实现该目标, 在第2节给出的控制器的基础上, 可以采用对数型障碍函数替换式(6)中的正切型障碍函数, 比如
$$ \begin{align} \eta_1(t) = \ln\left(\frac{k_1(t)-e_1(t)}{e_1(t)+k_{1,\infty}}\right),\; \; \text{若}\; e_1(0)\geq0 \end{align} $$ 另一方面, 不等式(3)和(12)构成闭环系统的一组可行初始条件, 即, 仅当该条件满足时, 受限控制器才可应用于系统. 这意味着性能函数的选择依赖于误差系统的初值, 导致控制器需被在线设计, 否则仅能保证误差局部收敛. 事实上, 为移除条件(3)和(12), 可部署调节函数[44]用于修正跟踪误差和中间误差, 进而实现所有误差在给定时间内收敛至性能界内.
注 5. 理论上, 式(5)和(9)中的性能指标可被任意设定, 比如系统输出以任意快的速度和任意高的精度跟踪上设定值. 然而在实际应用中, 跟踪速度的上限由物理系统的执行器饱和值决定, 跟踪精度的上限由传感器精度决定. 类似地, 式(7)和(11)中的控制增益在理论上可被任意选取, 但对于实际控制系统(离散采样与控制), 如果控制增益过小, 将导致误差过于靠近性能边界, 对于低频采样控制系统, 这可能造成误差跃出性能界; 如果控制增益过大, 将导致控制信号在暂态期间的幅值过高, 可能超出执行机构的饱和限制. 因此, 系统性能设计和控制增益选取应当满足物理对象在硬件方面的限制, 以确保预先设定的系统性能在实际应用中能够实现.
4. 仿真实验
本节以具有延迟回收流的两级化学反应器为对象开展对比仿真实验, 用于验证所提方法的有效性和优越性.
具有延迟回收流的两级化学反应器[2]结构如图3所示, 其数学模型如下
$$ \left\{ \begin{aligned} &\dot{x}_1(t) = -\frac{1}{a_1}x_1(t)-b_1x_1(t)+\frac{1-R_2}{V_1}x_2(t)\;+\\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0.5\sin\mathrm{(}t)x_1(t-\tau _1(t))^2\\ &\dot{x}_2(t) = -\frac{1}{a_2}x_2(t)-b_2x_2(t)+\frac{F}{V_2}u(t)\;+\\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \frac{R_1}{V_2}x_2(t-\tau _2(t))\;+\\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0.5\sin\mathrm{(}t)x_1(t-\tau _1(t))^3\\ &y(t) = x_1(t) \end{aligned} \right. $$ (38) 其中, $ x_1 $和$ x_2 $表示成分, $ a_1 $和$ a_2 $表示反应堆停留时间, $ b_1 $和$ b_2 $表示反应系数, $ V_1 $和$ V_2 $表示反应堆体积, $ R_1 $和$ R_2 $表示反应流量, $ F $表示进给量. 模型参数由表1给出. 设系统的初始条件为
表 1 模型参数Table 1 Model parameters$a_1$ $a_2$ $b_1$ $b_2$ $R_1$ $R_2$ $V_1$ $V_2$ $F$ 2 2 0.3 0.3 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 $$ \begin{align} x_1(t) = 0.5,\; \; t\in[0,\tau_1],\; \; x_2(0) = 0,\; \; t\in[0,\tau_2] \end{align} $$ 设系统的状态时延分别为
$$ \begin{align} \tau_1(t) = |2\sin(t)|,\; \; \tau_2(t) = 3\cos^2(t) \end{align} $$ 不难看出, 状态时延具有时变性和差异性, 并且不满足时延导数小于1这一常见约束条件.
针对该装置的控制目标是系统输出$ y(t) $跟踪设定值$ r(t) = \sin(t) $, 并满足如下性能要求:
$$ \begin{align} |y(t)-r(t)|<k_1(t) = (1-0.01){\mathrm{e}}^{-t}+0.01 \end{align} $$ 根据定理1, 设计如下控制器
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &e_1(t) = y(t)-r(t) \\ &\eta_1(t) = \tan\left(\frac{\pi}{2}\frac{e_1(t)}{k_1(t)}\right) \\ &\alpha_1(t) = \sin(2\eta_1(t))\eta_1(t) \\ &e_2(t) = x_2(t)-\alpha_1(t) \\ &k_2(t) = (1.5-0.5){\rm{e}}^{-0.5t}+0.5 \\ &\eta_2(t) = \tan\left(\frac{\pi}{2}\frac{e_2(t)}{k_2(t)}\right) \\ &u(t) = 35\sin(2\eta_2(t))\eta_2(t) \end{aligned} \right. \end{equation} $$ (39) 可见, 控制器由跟踪误差、中间误差、性能函数、导向函数、障碍函数构成, 既与式(38)中的模型信息无关, 也不涉及时延上界和时延非线性的边界函数, 还不依赖参考信号导数和虚拟控制信号导数. 而且控制器并未采用逼近、辨识、滤波、努斯鲍姆增益、监控切换等技术. 因此, 式(39)给出了一个低复杂度无模型静态控制器. 此外, 上述控制器选用了除式(7)和(11)指定类型以外的导向函数[44], 其有效性可在定理1的证明中得以验证, 增加了控制器设计的灵活性.
仿真实验采用MATLAB Simulink软件, 仿真起始时间为0 s, 结束时间为20 s, 选用ode3 (Bogacki-Shampine) 求解器, 采用固定步长采样, 采样间隔为0.001 s, 周期采样时间约束为“无约束”, 周期采样任务模式为“自动”. 将控制器$ (39) $应用于系统(38), 所得仿真结果展示于图4 ~ 8中. 从图4可以看出, 系统输出跟踪上时变设定值. 如图5所示, 跟踪误差始终位于预先设定的性能包络内. 因此, 尽管系统模型未知且存在状态延迟, 跟踪性能仍旧达标. 同样, 图6显示了中间误差也满足预先设定的性能要求. 从图7和图8可知, 系统状态变量、中间控制信号和控制输入均有界. 因此, 仿真结果验证了所提方法的有效性.
随后, 开展对比仿真实验. 为了直观显示状态时延对于控制性能的影响, 假设式(38)中的时延仅在系统运行的后半段出现, 即,
$$ \begin{split} &\tau_1(t) = \left\{ \begin{aligned} &0, && \text{若}\; t<10\; {\rm{s}} \\& |2\sin(t)|, && \text{其他} \end{aligned} \right. \\ &\tau_2(t) = \left\{ \begin{aligned} &0,& & \text{若}\; t<10\; {\rm{s}} \\ &3\cos^2(t), && \text{其他} \end{aligned} \right. \end{split} $$ 基于反馈线性化设计思路, 忽略式(38)中的时延项 (由于其未知), 构造如下积分反步控制器:
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &e_1(t) = y(t)-r(t) \\ &\alpha_1(t) = 0.8x_1(t)+\cos(t)-2e_1(t) \\ &e_2(t) = x_2(t)-\alpha_1(t) \\ &u(t) = 0.8x_2(t)+\dot{\alpha}_1(t)-e_1(t)-2e_2(t) \end{aligned} \right. \nonumber \end{equation} $$ 显然, 控制器依赖于系统的模型信息, 且需使用参考信号和虚拟控制信号的导数. 将以上控制器应用于系统(38), 所得仿真结果展示于图9和图10中. 不难看出, 当系统状态无时延时$ (t<10\;{\rm s}) $, 系统输出渐近跟踪上设定值, 跟踪误差收敛至0. 然而当系统状态含有时延时$( t\geq10 \;{\rm{s}})$, 尽管基于模型的控制算法仍然能够保证系统稳定, 但是系统输出明显偏离设定值, 跟踪误差不再满足预先设定的性能要求. 因此, 对比仿真结果说明了所提方法在控制性能和无模型控制方面的优越性.
5. 结论
针对含有状态时延的严反馈非线性系统, 提出了无模型预设性能控制方法, 采用基于反证法的受限分析理论开展性能分析, 移除了现有方法对于已知的时延上界、部分已知的时延非线性函数和时延导数小于1等常见约束条件, 解除了控制器对于系统非线性函数、系统控制方向、参考信号导数和虚拟控制信号导数等信息的依赖. 而且, 控制器设计无需使用参数辨识、函数逼近、增益调节、指令滤波等常规技术, 算法简易且计算量低. 采用所提方法, 实现了系统输出以预先设定的速度和精度跟踪上时变的设定值, 并保证了闭环系统中所有信号的有界性. 针对具有延迟回收流的两级化学反应器的对比仿真实验结果验证了所提方法的有效性和优越性. 未来研究将致力于面向复杂系统, 如互联大系统、多变量耦合系统、多智能体系统, 无模型预设性能控制问题.
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表 1 模型参数
Table 1 Model parameters
$a_1$ $a_2$ $b_1$ $b_2$ $R_1$ $R_2$ $V_1$ $V_2$ $F$ 2 2 0.3 0.3 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 
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