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摘要: Schnakenberg系统是一类典型的化学反应扩散控制系统. 目前国内外研究仅局限于Schnakenberg系统的Turing不稳定与分岔, 而关于其化学斑图演化机理的报道较少. 斑图机理分析可以准确揭示化学反应中自组织现象的产生和空间模式的演化规律. 本文研究交叉扩散驱动下Schnakenberg系统斑图的结构蜕变、演化速度及时间依赖性, 重点探讨交叉扩散对其动力学与斑图演化的响应机制. 研究发现, 当自扩散诱导的系统稳定时, 交叉扩散可以激发斑图的产生; 当自扩散诱导的系统不稳定时, 交叉扩散可以实现斑图结构的蜕变; 对于环波结构, 不同组分的交叉扩散可以影响其演化速度; 对于时间依赖性, 交叉扩散可以激发随时间周期变化的斑图产生, 并可将此类斑图转换为随时间相对稳定的斑图. 因此, 交叉扩散对于Schnakenberg系统的斑图产生、蜕变、演化速度及时间依赖性都起着至关重要的作用.
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关键词:
- 交叉扩散 /
- Schnakenberg系统 /
- 时空斑图 /
- 稳定性 /
- 环波
Abstract: Schnakenberg system is a typical chemical reaction-diffusion control system. Currently, research both domestically and internationally is limited to Turing instability and bifurcation of such system, with relatively fewer reports on the evolution mechanism of its chemical patterns. Pattern mechanism analysis can accurately reveal the generation of self-organization phenomena and the evolution of spatial patterns in chemical reactions. This paper investigates the structural transformation, evolution speed, and time-dependence of patterns of Schnakenberg system under cross-diffusion driving, and focuses on exploring the response mechanism of cross-diffusion to its kinetics and pattern evolution. The findings indicate that when a system induced by self-diffusion is stable, cross-diffusion can trigger pattern formation. When a system induced by self-diffusion is unstable, cross-diffusion can lead to the transformation of pattern structures. For circular wave structures, different components of cross-diffusion can influence their evolution speed. In the context of temporal dependence, cross-diffusion can trigger the generation of patterns that vary periodically with time and can transform such patterns into relatively stable ones over time. Therefore, cross-diffusion plays a crucial role in the pattern generation, transformation, evolution speed, and temporal dependence of Schnakenberg system.-
Key words:
- Cross-diffusion /
- Schnakenberg system /
- spatiotemporal patterns /
- stability /
- circular wave
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Turing[1]在20世纪50年代提出扩散可以诱导斑图的形成, 并称此类斑图为Turing斑图. 他认为, 存在于扩散率差异较大的不同物质之间的反应和扩散过程可以通过自发破坏对称性而形成斑图. 采用反应扩散系统研究斑图已得到了广泛认可[2-6]. 化学反应中也存在着扩散现象, 并且许多化学反应及所涉及的化学物质的扩散过程可以通过反应扩散系统描述. 一系列化学反应扩散模型已被建立起来, 如Schnakenberg模型[7]、Gray-Scott模型[8]、Gierer-Meinhardt模型[9]以及化学反应器模型[10-12]等.
1979年, Schnakenberg提出了一个化学反应模型作为例子来展示极限环行为[13]. 之后许多学者对Schnakenberg模型不同形式的解进行了广泛研究, 如峰值稳态、脉冲、尖峰解和半解析解等[14-21]. 该系统的局部动力学和分岔问题也已在文献[22-24]中进行了研究. 而对于反应扩散的Schnakenberg系统已经在文献[25-33]中得到广泛研究. 文献[30]针对两组分自扩散的不同比值, 分析了Schnakenberg系统的Turing不稳定性. 文献[31]研究了耦合双细胞Schnakenberg系统的斑图形成. 文献[32]讨论了局部异质性对Schnakenberg系统的斑图与线性稳定性的影响. 值得注意的是, 这些研究只讨论了自扩散对Schnakenberg系统的时空动力学的影响, 没有考虑交叉扩散的因素.
交叉扩散首先是由Kerner提出的, 考虑了一种形态发生剂靠近或远离另一种的运动可能存在偏差[34]. 这不仅适用于化学反应系统, 也适用于许多其他情况, 如医学[35]、生态学[36]、社会学[37]等. 重要的是, 交叉扩散效应在很大程度上是化学反应扩散系统固有的. 在大多数与化学反应系统相关的工作中都忽略了交叉扩散效应, 但在真实的化学反应中交叉扩散现象是可以被观察到的[38]. 在化学反应系统中引入交叉扩散的一种方便的实验方法是将添加剂或非反应性化学物质引入相关的化学反应系统. 例如, 已证明非反应物在催化Rh(110)表面上的吸附导致均匀态的图灵不稳定性[39]. 引入与BZ反应组分相互作用的非反应物种会由于交叉扩散率而导致图灵型不稳定性[40]. 研究甚至表明, 这类非反应物可以在诱导和调节CDIMA和FIS (Gray-Scott模型)类化学反应系统的斑图方面发挥关键作用[38]. 因此, 似乎很有可能通过实验改变化学反应系统, 以特定的方式改变单个反应物的交叉扩散率.
考虑到具有交叉扩散的Schnakenberg系统, Curro等[41]引入了一维位置信息并进行线性稳定性分析, 对具有交叉扩散的Schnakenberg系统的Hopf分岔和Turing不稳定性的发生条件进行了分析, 并在弱非线性分析的基础上对该系统进行了一维数值模拟. 而对于引入二维位置信息的Schnakenberg系统, Madzvamuse等[42]使用有限元方法对Schnakenberg模型进行了数值求解, 并说明了引入交叉扩散可以导致斑图的形成. Yang[7]通过数学分析推导了振幅方程, 得出了系统参数作为分岔参数时, 分岔阈值附近不同的系统参数取值所对应的斑图类型. 当前的研究主要局限于Schnakenberg系统的分岔、Turing不稳定性以及对斑图数值仿真的初步结果, 但对斑图的演化机理分析相对较少. 本文将研究含交叉扩散的Schnakenberg系统的斑图的产生、结构蜕变、演化速度以及时间依赖性.
本文的主要贡献如下:
1)当自扩散诱导的系统稳定时, 交叉扩散可以激发斑图的形成; 当自扩散诱导的系统不稳定时, 引入交叉扩散系数可以改变斑图的结构, 进而得到更丰富的斑图模式.
2)在特定的初值条件下得到了一种独特的环波斑图结构, 结合反应机理以及组分的扩散解释了该结构的形成机理; 发现不同组分的交叉扩散系数取值可以加快或减慢该斑图的演化速度, 并揭示了速度改变的原因.
3)当无扩散的Schnakenberg系统不稳定时, 引入自扩散以及交叉扩散得到了随时间周期变化的斑图, 描述了一个周期的斑图演化过程并估算周期的大小; 改变交叉扩散系数的取值可以将该类依赖时间的斑图转换为随时间相对稳定的传统斑图.
1. 模型描述
Schnakenberg模型可以用于描述双组分自催化系统的动力学行为, 所涉及的反应为: $U+V\to 3U,\; U\to P.$ 其中, $ U $为自催化剂, $ V $为底物. 上述两种反应本质上都是不可逆的. $ U+V\to 3U $是自催化反应, 消耗底物$ V $生成自催化剂$ U. $ $ U\to P $为堕化反应, $ U $转化为惰性物质$ P $. 在存在交叉扩散以及$ U $和$ V $的自扩散的情况下, 反应扩散系统表示如下:
$$\left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial t} = {{D}_{u}}{{\nabla }^{2}}u+{{D}_{uv}}{{\nabla }^{2}}v +a-u+{{u}^{2}}v\\ &\frac{\partial v}{\partial t} = {{D}_{vu}}{{\nabla }^{2}}u+{{D}_{v}}{{\nabla }^{2}}v +b-{{u}^{2}}v \end{aligned}\right. $$ (1) 式(1)遵循非负初始条件
$$ \begin{align*} u(x,y,0)\ge0,\;\;v(x,y,0)\ge0,\;\;(x,y)\in \Omega \end{align*} $$ 和零通量边界条件
$$ \begin{align*} \frac{\partial u(x,y,t)}{\partial {\boldsymbol{n}}} = \frac{\partial v(x,y,t)}{\partial {\boldsymbol{n}}} = 0,\;\;t>0,\;\;(x,y)\in \partial \Omega \end{align*} $$ 其中, $ u $和$ v $分别是物质$ U $和$ V $的浓度, $ a $, $ b $分别表示$ U $与$ V $的化学源, $ a>0,\ b>0 $. $ D_u $和$ D_v $是$ U $和$ V $的自扩散系数, $ D_u>0,\ D_v>0 $. $ {{D}_{uv}} $和$ {{D}_{vu}} $为交叉扩散系数, $ {{D}_{uv}}\in {\bf{R}},\; {{D}_{vu}}\in {\bf{R}} $. 拉普拉斯算子$ {{\nabla }^{2}} = {{{\partial }^{2}}}/{\partial {{x}^{2}}}+{{{\partial }^{2}}}/{\partial {{y}^{2}}} $. $ \Omega $代表具有光滑边界$ \partial \Omega $的内部连通区域. $ {\boldsymbol{n}} $代表$ \partial \Omega $上的单位外法向量. 零通量边界条件确保了化学反应域与外界无交互.
注 1. 一个组分的正交叉扩散表示该组分向另一种组分的较低浓度移动, 而在负交叉扩散系数的情况下, 该组分向另一种组分的较高浓度移动.
注 2. 化学反应中的扩散现象需满足热力学第二定律: 扩散矩阵的所有特征值应为正实数[43]. 因此, 为确保热力学第二定律成立, 系统(1)中自扩散与交叉扩散系数总是满足如下假设:
假设 1.
$$ \begin{split} &{{D}_{u}}>0,\ {{D}_{v}}>0,\ {{D}_{u}}{{D}_{v}}-{{D}_{uv}}{{D}_{vu}}>0\\ &{{({{D}_{u}}+{{D}_{v}})}^{2}}-4({{D}_{{u}}}{{D}_{v}}-{{D}_{uv}}{{D}_{vu}})\ge 0 \end{split} $$ 2. 线性稳定性分析
本节主要讨论扩散系数不同的取值下, 通过线性稳定性理论分析系统(1)在其唯一平衡点处的局部稳定性.
2.1 无扩散系统$ (D_u=D_v=D_{uv}=D_{vu}=0) $
当系统(1)中$ D_u = D_v = D_{uv} = D_{vu} = 0 $时, 系统(1)退化为无扩散的Schnakenberg系统, 其常微分方程表示如下:
$$ \left\{ \begin{aligned} &\frac{\text{d} u}{\text{d} t} = f(u,v) = a-u+{{u}^{2}}v\\ &\frac{\text{d} v}{\text{d} t} = g(u,v) = b-{{u}^{2}}v \end{aligned} \right.$$ (2) 系统(2)存在唯一的非平凡平衡点$ {{E}^{*}} = ({{u}^{*}},{{v}^{*}}) = (a+b,{b}/{{{(a+b)}^{2}}}) $. 得系统(2)在平衡点$ E^* $处雅克比矩阵如下:
$$ {{J}_{0}} = \left[ \begin{matrix} {{f}_{u}} & {{f}_{v}} \\ {{g}_{u}} & {{g}_{v}} \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \dfrac{b-a}{a+b} & {{(a+b)}^{2}} \\ \dfrac{-2b}{a+b} & -{{(a+b)}^{2}} \end{matrix} \right] $$ 其中, $ f_i $和$ g_i $分别是函数$ f(u, v) $和$ g(u, v) $在平衡点$ E^* $处关于变量$ i\;(i = u,v) $的偏导数. 系统(2)的特征方程为:
$$ \begin{equation} {{\lambda }^{2}}+m\lambda + h = 0 \end{equation} $$ (3) 其中,
$$ \begin{split} & {{m}}=-{\mathrm{tr}}(J_0) = -({{f}_{u}}+{{g}_{v}}) = \frac{a-b}{a+b}+{(a+b)}^{2} \\ & {{h}}={\mathrm{det}}(J_0) = {{f}_{u}}{{g}_{v}}-{{f}_{v}}{{g}_{u}} = {(a+b)}^{2}>0 \end{split} $$ 做如下假设:
假设 2.
$$ \begin{align*} m = \frac{a-b}{a+b}+{(a+b)}^{2}>0 \end{align*} $$ 定理 1. 如果假设2成立, 那么系统(2)在平衡点$ E^* $处局部渐近稳定.
证明. 当假设2成立时, 根据Routh-Hurwitz判据可知特征方程(3)的根均具有负实部. 因此, 系统(2)在平衡点$ E^* $处是局部渐近稳定的.
□ 注 3. Turing不稳定本质上是由扩散引起. 下面讨论扩散系统的稳定与Turing不稳定性, 需建立在无扩散系统(2)稳定的前提下, 即假设2成立.
2.2 仅含自扩散的系统$ (D_{uv}=D_{vu}=0,\ D_u\ne 0, \ D_v\ne 0) $
当$ D_{uv} = D_{vu} = 0,\ D_u\ne 0,\ D_v\ne 0 $时, 系统(1)退化为仅含自扩散的Schnakenberg系统:
$$ \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial t} = {{D}_{u}}{{\nabla }^{2}}u +a-u+{{u}^{2}}v\\ &\frac{\partial v}{\partial t} = {{D}_{v}}{{\nabla }^{2}}v +b-{{u}^{2}}v \end{aligned}\right. $$ (4) 与式(2)一样, 系统(4)也具有唯一的非平凡平衡点$ {{E}^{*}} $. 设系统(4)在平衡点$ {{E}^{*}} $处微扰形式为$ {{{\mathrm{e}}}^{\lambda t}}\text{cos}{{k}_{x}}x\text{cos}{{k}_{y}}y $, $ \lambda $为$ t $时刻扰动的增长率(特征方程的特征根). 系统(4)在平衡点$ {{E}^{*}} $处雅克比矩阵如下:
$$ \begin{equation*} {{J}_{1}} = \left[ \begin{matrix} {{f}_{u}}-{{k}^{2}}{{D}_{u}} & {{f}_{v}} \\ {{g}_{u}} & {{g}_{v}}-{{k}^{2}}{{D}_{v}} \\ \end{matrix} \right] \end{equation*} $$ 其中, $ k $为波数, $ k>0 $且满足$ {{k}^{2}} = k_{x}^{2}+k_{y}^{2} $. 系统(4)的特征方程为:
$$ \begin{equation} {{\lambda }^{2}}+\alpha(k^2)\lambda +\beta(k^2) = 0 \end{equation} $$ (5) 其中,
$$ \begin{split} {\alpha(k^2)} = \ &-{\mathrm{tr}}(J_1)= ({{D}_{u}}+{{D}_{v}}){{k}^{2}}+m \\ {\beta(k^2)} = \ &{\mathrm{det}}(J_1)={{D}_{u}}{{D}_{v}}{{k}^{4}}+{{k}^{2}}(-{{D}_{u}}{{g}_{v}} - {{D}_{v}}{{f}_{u}})+h \end{split} $$ 做如下假设:
假设 3.
$$ \begin{split} &-{{D}_{u}}{{g}_{v}}-{{D}_{v}}{{f}_{u}}>0\ \text{或}\ -{{D}_{u}}{{g}_{v}}-{{D}_{v}}{{f}_{u}}<0\\ &{{(-{{D}_{u}}{{g}_{v}}-{{D}_{v}}{{f}_{u}})}^{2}}- 4h{{D}_{u}}{{D}_{v}}<0 \end{split} $$ 定理 2. 如果假设1$ \sim $3均成立, 那么系统(4)在平衡点$ {{E}^{*}} $处局部渐近稳定.
证明. 若对于任意波数$ k $, 特征方程(5)的所有特征根均具有负实部, 则系统(4)在平衡点$ {{E}^{*}} $处局部渐近稳定.
由假设1和假设2可知$ {{D}_{u}}+{{D}_{v}}>0 $, $ {m}>0 $, 易得$ {\alpha(k^2)}>0 $. 令$ l = k^2 $, 则
$$ \begin{equation} {\beta(l)} = {{D}_{u}}{{D}_{v}}{{l}^{2}}+(-{{D}_{u}}{{g}_{v}}-{{D}_{v}}{{f}_{u}})l+h \end{equation} $$ (6) 由假设1和假设2可知$ {{D}_{u}}{{D}_{v}}>0,h>0 $. 结合假设3, 对于任意$ l>0 $均有$ \beta(l)>0 $. 根据Routh-Hurwitz判据可知, 对于任意$ k $, 特征方程(5)的所有特征根均具有负实部, 即系统(4)在平衡点$ {{E}^{*}} $处局部渐近稳定.
□ 2.3 含自扩散与交叉扩散的系统$ ( D_u\ne0, \ D_v\ne 0,\ D_{uv}\ne0,\ D_{vu}\ne0) $
本节分析含自扩散与交叉扩散的Schnakenberg系统(1)的Turing不稳定性. 与系统(2)一样, 系统(1)也具有唯一的非平凡平衡点$ {{E}^{*}} $. 系统(1)在平衡点$ {{E}^{*}} $处雅克比矩阵如下:
$$ \begin{equation*} {{J}_{2}} = \left[ \begin{matrix} {{f}_{u}}-{{k}^{2}}{{D}_{u}} & {{f}_{v}}-{{k}^{2}}{{D}_{uv}} \\ {{g}_{u}}-{{k}^{2}}{{D}_{vu}} & {{g}_{v}}-{{k}^{2}}{{D}_{v}} \\ \end{matrix} \right] \end{equation*} $$ 其特征方程为:
$$ \begin{equation} {{\lambda }^{2}}+{\gamma(k^2)}\lambda +{\eta(k^2)} = 0 \end{equation} $$ (7) 其中,
$$ \begin{split} {\gamma(k^2)} = \; &-{\mathrm{tr}}(J_2)=({{D}_{u}}+{{D}_{v}}){{k}^{2}}+m \\ {\eta(k^2)} = \; &{\mathrm{det}}(J_2)= ({{D}_{u}}{{D}_{v}} - {{D}_{uv}}{{D}_{vu}}){{k}^{4}} + {{k}^{2}}(-{{D}_{u}}{{g}_{v}}\;-\\ &{{D}_{v}}{{f}_{u}}+{{D}_{vu}}{{f}_{v}}+{{D}_{uv}}{{g}_{u}})+h \end{split} $$ 做如下假设:
假设 4.
$$ \begin{split} &-{{D}_{u}}{{g}_{v}}-{{D}_{v}}{{f}_{u}}+{{D}_{vu}}{{f}_{v}}+{{D}_{uv}}{{g}_{u}}<0\\ &{{(-{{D}_{u}}{{g}_{v}}-{{D}_{v}}{{f}_{u}}+{{D}_{vu}}{{f}_{v}}+{{D}_{uv}}{{g}_{u}})}^{2}}\;-\\ &4h({{D}_{u}}{{D}_{v}}-{{D}_{uv}}{{D}_{vu}})>0 \end{split} $$ 定理 3. 如果假设1、假设2以及假设4均成立, 那么系统(1)在平衡点$ {{E}^{*}} $处发生Turing不稳定.
证明. 若存在$ k $, 使得特征方程(7)具有正实部特征根, 则系统(1)在平衡点$ {{E}^{*}} $处发生Turing不稳定.
由假设1和假设2易知$ \gamma(k^2)>0 $. 令$ \omega = k^2 $, 则
$$ \begin{equation} \begin{split} {\eta(\omega)} = \ &({{D}_{u}}{{D}_{v}}-{{D}_{uv}}{{D}_{vu}}){{\omega}^{2}}+(-{{D}_{u}}{{g}_{v}}\;-\\ &{{D}_{v}}{{f}_{u}}+{{D}_{vu}}{{f}_{v}}+{{D}_{uv}}{{g}_{u}})\omega+h \end{split} \end{equation} $$ (8) 由假设1和假设2可知$ {{D}_{u}}{{D}_{v}}-{{D}_{uv}}{{D}_{vu}}>0, \ h> 0. $结合假设4, 存在$ \omega>0 $使得$ \eta(\omega)<0 $. 根据Routh-Hurwitz判据可知, 存在波数$ k $, 使得特征方程(7)具有正实部特征根, 即系统(1)在平衡点$ {{E}^{*}} $处发生Turing不稳定.
□ 3. 交叉扩散对时空斑图演化机理的影响
3.1 交叉扩散激发时空斑图的形成
本节讨论当自扩散诱导的Schnakenberg系统(4)在平衡点$ E^* $处局部渐近稳定时, 引入交叉扩散对Turing不稳定和时空斑图的响应机制. 固定参数$ a = 0.1 $, $ b = 1 $, $ {{D}_{u}} = 1.0 $, $ {{D}_{v}} = 0.1 $, 此时系统(4)有平衡点$ {{E}^{*}} = (1.1,0.826\,4) $.
绘制系统(1)色散关系曲线(特征方程所有特征根最大实部$ {\mathrm{Re}}(\lambda) $与$ k^2 $的关系曲线), 如图1所示. 当$ {{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0 $时(蓝色实线), 系统(1)退化为仅含自扩散的系统(4). 观察到对于所有的波数$ k $所有特征根均有负实部, 则系统(4)是局部渐近稳定的. 当$ {{D}_{uv}} = 1.5 $, $ {{D}_{vu}} = -0.1 $时(橙色点划线), 在一定波数$ k $范围内存在正实部特征根, 则系统(1)的Turing不稳定发生. 因此, 交叉扩散可以驱动系统(1)的Turing不稳定.
图 1 系统(1)色散关系曲线$ (a = 0.1,\ b = 1, $ $\ {{D}_{u}} = 1.0,\ {{D}_{v}} = 0.1)$Fig. 1 Dispersion relation curve of system (1)($ a = 0.1,\ b = 1,\ {{D}_{u}} = 1.0,\ {{D}_{v}} = 0.1$)在二维平面上对系统(1)进行斑图数值模拟, 在$ n\times n = 200\times200 $的网格中使用显示欧拉方法, 设定空间分辨率为$ {\mathrm{d}}x = {\mathrm{d}}y = 0.5 $, 时间步长为$ {\mathrm{d}}t = 0.01 $. 为了打破初始对称性, 对平衡点施加
0.0001 量级的均匀分布随机扰动, 形式如下:$$ \begin{split} & u(x,y,0) = {{u}^{*}}+0.000\,1\times \text{rand}(n) \\ & v(x,y,0) = {{v}^{*}}+0.000\,1\times \text{rand}(n) \end{split} $$ 其中, $ \text{rand}(n) $表示在$ n\times n = 200\times200 $的网格中添加0$ \sim $1之间的随机值.
对$ {{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0 $与$ {{D}_{uv}} = 1.5 $, $ {{D}_{vu}} = -0.1 $两种情况进行数值仿真, 设定仿真时间$ t = 1\ 000 $. 观测到物质$ U $和$ V $具有相似的结构分布, 因此只展示物质$ U $的斑图. 当$ {{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0 $时, 各个位置上$ U $的浓度都趋于平衡态$ u^* = 1.1 $ ($ V $的浓度趋于平衡态$ v^{*} = 0.826\,4 $), 此时系统(1) (即系统(4))是局部渐近稳定的, 如图2所示. 当$ {{D}_{uv}} = 1.5 $, $ {{D}_{vu}} = -0.1 $时, 系统(1)产生了点−稀疏条混合斑图, 如图3所示. 这验证了图1中对色散关系曲线的分析. 由此可见, 当自扩散诱导的Schnakenberg系统稳定时, 交叉扩散可以驱动Schnakenberg系统的Turing不稳定并激发时空斑图的形成.
图 2 系统(1)稳定的斑图$ ({{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0,\ {t} = 1\ 000)$Fig. 2 Stable pattern in system (1)$( {{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0,\ {t} = 1\ 000)$
图 3 点−稀疏条混合斑图$({{D}_{uv}} = 1.5, $ $ \ {{D}_{vu}} = -0.1,\ {t} = 1\ 000)$Fig. 3 Mixed pattern of points and sparse stripes $( {{D}_{uv}} = 1.5,\ {{D}_{vu}} = -0.1,\ {t} = 1\ 000)$此外, 当$ a = 0.1 $, $ b = 1 $, $ {{D}_{u}} = 1.0 $, $ {{D}_{v}} = 0.1 $时, 定理2中假设1$ \sim $3均成立, 则系统(4)在平衡点$ {{E}^{*}} $处局部渐近稳定. 当交叉扩散系数$ {{D}_{uv}} = 1.5 $, $ {{D}_{vu}} = -0.1 $时, 定理3中假设1、假设2以及假设4均成立, 则系统(1)在$ {{E}^{*}} $处发生Turing不稳定. 这再次验证了系统(4)在平衡点$ {{E}^{*}} $处局部渐近稳定时, 交叉扩散可以诱导系统(1)的Turing不稳定.
3.2 交叉扩散实现斑图结构的蜕变
第3.1节的讨论建立在系统(4)局部渐近稳定的前提下, 本节讨论当自扩散诱导的Schnakenberg系统(4)不稳定时, 引入交叉扩散对斑图结构的影响. 固定参数$ a = 0.1 $, $ b = 1 $, $ {{D}_{u}} = 0.1 $, $ {{D}_{v}} = 2.0 $, 系统(4)平衡点$ {{E}^{*}} = (1.1,0.826\,4) $.
绘制系统(1)色散关系曲线($ D_{uv} = 0 $), 如图4(a)所示. 当$ {{D}_{vu}} = 0 $时(蓝色实线), 系统(1)退化为仅含自扩散的系统(4). 观察到在一定波数$ k $范围内存在正实部特征根, 则系统(4)发生Turing不稳定. 当交叉扩散系数$ D_{vu}\ne 0 $时, 观察到存在正实部特征根的波数$ k $范围扩大或缩小. 因此, 对于图4(a)中不同取值的$ D_{vu} $, 系统(1)均发生Turing不稳定.
图 4 不同交叉扩散系数取值的色散关系曲线及斑图Fig. 4 Dispersion relation curves and patterns with different cross-diffusion coefficient values对系统(1)进行数值仿真, 仿真条件同第3.1节, 设定仿真时间$ {t} = 1\ 000 $. 仿真结果如图4(b)$ \sim $4(f)所示. 当$ {{D}_{vu}} = 0 $时, 系统(1)产生了点状斑图(图4(b)). 当$ {{D}_{vu}} = 0.2\text{, }0.3\text{, }0.4 $时(色散关系曲线对应图4(a)中红色虚线、黄色点划线、紫色点线; 斑图对应图4(c)、图4(d)、图4(e)), 相较于$ {{D}_{vu}} = 0 $, 系统(1) Turing不稳定的波数$ k $范围不断缩小, 此时分别产生了条点混合、条状、六边形斑图. 当$ {{D}_{vu}} = -0.2 $时(色散关系曲线对应图4(a)中绿色点划线; 斑图对应图4(f)), 相较于$ {{D}_{vu}} = 0 $, 系统(1)不稳定的波数$ k $范围扩大, 斑图结构类似星星状(即斑点体积更小、数量更多的点状斑图).
注 4. 上述仿真结果表明, 当自扩散诱导的Schnakenberg系统不稳定时, 交叉扩散可以保持Schnakenberg系统的Turing不稳定性并实现斑图结构的蜕变. 故可以通过调控交叉扩散系数实现Schnakenberg系统斑图结构的蜕变.
上述讨论选取的参数均满足定理3中假设1、假设2以及假设4, 即系统(1)在平衡点$ {{E}^{*}} $处发生Turing不稳定. 然而这些参数仅考虑了交叉扩散系数$ {{D}_{vu}} $对系统(1)的影响. 为此, 在定理3中假设1、假设2以及假设4均成立的前提下, 同时考虑$ {{D}_{uv}}, {{D}_{vu}} $对系统(1)斑图结构的影响. 以间距0.05取$ {{D}_{uv}} = 0 $$ \sim $$ 0.3 $, $ {{D}_{vu}} = 0.1 $$ \sim $$ 0.4 $, 仿真时间$ {t} = 3\;000 $, 得到不同数值组合下的斑图结构(斑图随时间演化的最终结构), 如图5所示(由于尺寸问题, 对一些斑图进行局部放大). 可以观察到点状、条状、六边形、条点混合以及条与六边形混合斑图. 对于条点混合斑图, 斑点的数量、条的数量与长度在不同参数下各不相同. 对于条与六边形混合斑图, 条与六边形的数量在不同参数下也存在差异.
上述结果进一步说明两种交叉扩散系数的改变同样可以实现Schnakenberg系统的斑图结构的蜕变, 进而得到更丰富的斑图模式.
3.3 不同组分交叉扩散对斑图演化速度的影响
本节讨论不同组分交叉扩散系数的正负取值对斑图演化速度的影响. 根据Schnakenberg系统的反应机理设置如下仿真条件: 固定参数$ a = 0.1 $, $ b = 1.0 $, $ D_u = 0.1 $, $ D_v = 2.0 $且$ D_{uv},\ D_{vu} $的选取待定; 网格设置同第3.1节; 初始条件为仅在中心位置5×5的网格处对平衡点$ {{E}^{*}} = (1.1,0.826\,4) $施加
0.0001 量级的均匀分布, 而其他位置$ U $、$ V $的初始浓度均为0. 令$ D_{uv} = D_{vu} = 0 $, 对系统(1)进行数值仿真, 结果如图6(a)$ \sim $6(c)所示. 观察到随着时间的演化, 斑图呈现一种环形波纹结构, 在此定义为环波结构. 时刻$ {t} = 50、75、100 $对应的环数分别为6、9、12. 由此初步可得随着时间的演化, 物质$ U $不断向外扩散并形成环波结构.注 5. 对此现象的解释为: 0时刻一定浓度的$ U $和$ V $处于正方形容器中心(平衡点$ {{E}^{*}} = ({{u}^{*}},{{v}^{*}}) = (1.1,0.826\,4) $, 易知$ U $的初始浓度大于$ V $). 一方面$ U $与$ V $的催化反应生成更多的$ U $, 另一方面$ U $与$ V $的自扩散效应使得它们向四周$ U $与$ V $低浓度区域移动, 故$ U $向四周扩散形成最初的单环. 在此过程中$ U $仍与$ V $反应生成$ U $, 使得环的尺寸变大($ V $的自扩散效应以及$ V $的生成源在各个位置生成$ V $, 这使得$ U $扩散过程中总能存在$ V $与其发生催化反应). 当环的尺寸达到一定大小时, $ V $无法足够快地供应到环内部的$ U $与之反应, 并且$ U $存在堕化反应, 这使得圆环的尺寸动态稳定下来. 而持续生成的$ U $则会向外扩散形成新的环, 由于两环边缘$ U $的堕化反应使得两环之间存在短程排斥力, 该排斥力使得环与环不会融合, 故随着时间推移在空间形成图6的环波结构.
在此基础上考虑单一组分交叉扩散的影响, 分别选取参数为$ {{D}_{uv}} = -0.15,\ {{D}_{vu}} = 0 $; $ {{D}_{uv}} = 0.15, {{D}_{vu}} = 0 $; $ {{D}_{uv}} = 0,\;\; {{D}_{vu}} = -0.1 $; $ {{D}_{uv}} = 0,\ {{D}_{vu}} = 0.15 $; 仿真时间$ t = 75 $, 得到如图7(a)$ \sim $7(d)的仿真结果图. 已知当$ D_{uv} = D_{vu} = 0 $时, 时刻$ t = 75 $存在9个环, 而图7(a)$ \sim $7(d)对应的环数分别为6, 11, 10, 7. 故不同组分的交叉扩散系数取值可以加快或减慢环波的演化速度.
图 7 不同交叉扩散系数取值的环波结构Fig. 7 Circular wave structures with various cross-diffusion coefficient values注 6. 对不同现象的解释为: 当$ {{D}_{uv}} = -0.15,\ {{D}_{vu}} = 0 $时, $ U $会向$ V $的高浓度移动, 而最初时间内中心区域$ V $的浓度高于四周区域, 相较于$ D_{uv} = D_{vu} = 0 $时, $ U $会多一个向中心$ V $靠拢的趋势, 故$ U $向四周扩散形成环波的速度会变慢; 当$ {{D}_{uv}} = 0.15,\ {{D}_{vu}} = 0 $时, $ U $会向$ V $的低浓度移动, 而最初时间内四周区域$ V $的浓度低于中心区域, 相较于$ D_{uv} = D_{vu} = 0 $时, $ U $会多一个向四周的移动趋势, 故$ U $向四周扩散形成环波的速度会变快; 当$ {{D}_{uv}} = 0,\ {{D}_{vu}} = -0.1 $时, $ V $会向$ U $的高浓度移动, 相较于$ D_{uv} = D_{vu} = 0 $时, $ V $会多一个向中心高浓度$ U $靠拢的趋势, 这使得$ U $与$ V $的催化反应更剧烈进而产生更多的$ U $, 故每个环的成型速度也会更快; 当$ {{D}_{uv}} = 0,\ {{D}_{vu}} = 0.5 $时, $ V $会向$ U $的低浓度移动, 相较于$ D_{uv} = D_{vu} = 0 $时, $ V $会多一个向四周扩散的趋势, 这使得$ U $与$ V $的催化反应削弱进而$ U $的生成速度变慢, 故每个环的成型速度也会更慢.
进一步仿真得到了不同组分交叉扩散作用下12环成型的时间, 结果见表1. 可以观察到不同交叉扩散系数取值下12环的成型时间存在差异, 结果与注5中解释相符合. 故不同组分的交叉扩散可以影响斑图演化的速度, 并且这与交叉扩散系数的正负取值以及化学反应的反应机理密切相关.
表 1 不同交叉扩散系数取值的12环成型时间$(a = 0.1$, $b = 1.0$, $D_u = 0.1$, $D_v = 2.0)$Table 1 Formation times of 12-ring patterns with different cross-diffusion coefficient values $(a = 0.1$, $b = 1.0$, $D_u = 0.1$, $D_v = 2.0)$$D_{uv}$ $D_{vu}$ $t=75$ 时环数 12环成型时间 0 0 9 100 −0.15 0 6 155 0.15 0 11 85 0 −0.10 10 95 0 0.15 7 125 3.4 交叉扩散稳定随时间周期变化的斑图
上文的讨论均建立在系统参数$ a $, $ b $满足假设2, 即系统(2)在$ E^* $处局部渐近稳定的前提下. 本节讨论$ a $, $ b $使得系统(2)不稳定时, 引入交叉扩散对系统(1)时空斑图的响应机制. 选取$ a = 0.05, \ b = 0.262\,5,\ D_u = 0.1,\ D_v = 0.1,\ D_{uv} = -0.1,\ D_{vu} = $ 0, 此时系统(1)有平衡点$ {{E}^{*}} = (0.312\,5,\;2.688) $.
对系统(1)进行数值仿真, 仿真条件同第3.1节, 得到了具有时间依赖性的斑图, 如图8(a) ~ 8(h)所示. 截取了时间506 ~ 560.5之间8个时刻的斑图, 可以观察到物质$ U $最初会从不同的位置生成, 不同位置的$ U $随着浓度的增加以不规则圆的形态向四周扩张, 不同的不规则圆相互接触而停止扩散, 随后形成如$ {t} = 520 $时刻的物质$ U $的多板块结构, 随着时间的推移不同板块的$ U $会不断减少($ U $的堕化反应占主导所致), 最终板块消失. 然后物质$ U $会从最初生成的位置再次生成并进行相同的演化, 可观察到$ t $ = 506 ~ 530与$ t $ = 536.5 ~ 560.5期间斑图的演化是基本一致的, 这证明了斑图的演化是具有周期性的, 并且周期约为$ {T} = 30.5 $.
接下来讨论改变交叉扩散系数取值对该随时间周期变化斑图的影响. 其他参数条件不变, 只改变交叉扩散系数$ {{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0.05 $. 绘制系统(1)色散关系曲线, 如图9所示. 观察到当$ {{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0.05 $时(橙色点划线), 相较于$ {{D}_{uv}} = -0.1 $, $ {{D}_{vu}} = 0 $ (蓝色实线), 系统(1)存在正实部特征根的波数$ k $范围扩大. 对$ {{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0.05 $的情况进行数值仿真, 设定迭代时间$ {t} = 1\ 000 $. 该参数下的斑图不再随时间周期变化, 而是随着时间的推移稳定为点条混合状斑图, 如图10所示.
注 7. 时空不稳定性主要包括时间不稳定性与空间不稳定性. 图8中时空结构在时间与空间上均不稳定, 而图10仅表现在空间上的不稳定. 故改变交叉扩散可以消除系统(1)在时间上的不稳定性.
为验证图8与图10中斑图的演化与时间的关系, 从系统(1)中选取变量$ u(100,100,t) $绘制其随时间变化的波形图, 仿真时间$ {t} = 600 $, 数值仿真结果如图11(a)与图11(b)所示. 当$ {{D}_{uv}} = -0.1,\ {{D}_{vu}} = 0 $时(图11(a)), 观察到$ u(100,100,t) $的波形图呈现周期变化, 周期约为30.5. 这验证了图8中斑图演化的时间周期性. 当$ {{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0.05 $时(图11(b)), 观察到$ u(100,100,t) $的波形图随时间的推移其数值大小固定. 这验证了图10中的点条混合斑图随时间相对稳定. 故在一定参数条件下存在随时间周期变化的斑图, 即斑图的结构具有时间依赖性, 而改变交叉扩散系数可将随时间周期变化的斑图转换为结构随时间相对稳定的斑图.
图 11 系统(1)中变量$u(100,100,t)$的波形图$(a = 0.05,\ b = 0.262\,5,\ D_u = D_v = 0.1)$Fig. 11 Waveform of variables $u(100,100,t)$ in system (1) $(a = 0.05,\ b = 0.262\,5,\ D_u = D_v = 0.1)$4. 结束语
本文针对Schnakenberg系统, 研究了时空斑图的演化机理, 如斑图的产生、结构蜕变、演化速度以及时间依赖性. 通过线性稳定性分析, 得到了在无扩散、仅含自扩散以及同时含自扩散与交叉扩散情形下Schnakenberg系统在平衡点处局部渐近稳定和Turing不稳定的条件. 绘制色散关系曲线, 并进行数值模拟以验证主要结果. 当自扩散诱导的Schnakenberg系统稳定时, 交叉扩散可以激发斑图的形成; 当自扩散诱导的Schnakenberg系统不稳定时, 通过改变交叉扩散系数的取值可以实现斑图结构的蜕变; 对于环波结构, 不同组分的交叉扩散可以影响其演化速度, 并与Schnakenberg系统反应机理密切相关; 对于斑图的时间依赖性, 交叉扩散的引入可以形成随时间周期变化的斑图, 并且改变交叉扩散系数可以将此类斑图改变为结构随时间相对稳定的斑图. 因此, 交叉扩散对于Schnakenberg系统的斑图产生、结构蜕变、演化速度及时间依赖性都起着至关重要的作用.
此外, 未来将开展以下工作: 1)引入三维位置信息, 研究Schnakenberg系统的三维空间斑图结构; 2)将整数阶Schnakenberg模型推广至分数阶模型, 研究分数阶次对斑图的影响.
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图 1 系统(1)色散关系曲线$ (a = 0.1,\ b = 1, $ $\ {{D}_{u}} = 1.0,\ {{D}_{v}} = 0.1)$
Fig. 1 Dispersion relation curve of system (1)($ a = 0.1,\ b = 1,\ {{D}_{u}} = 1.0,\ {{D}_{v}} = 0.1$)
图 2 系统(1)稳定的斑图$ ({{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0,\ {t} = 1\ 000)$
Fig. 2 Stable pattern in system (1)$( {{D}_{uv}} = {{D}_{vu}} = 0,\ {t} = 1\ 000)$
图 3 点−稀疏条混合斑图$({{D}_{uv}} = 1.5, $ $ \ {{D}_{vu}} = -0.1,\ {t} = 1\ 000)$
Fig. 3 Mixed pattern of points and sparse stripes $( {{D}_{uv}} = 1.5,\ {{D}_{vu}} = -0.1,\ {t} = 1\ 000)$
图 4 不同交叉扩散系数取值的色散关系曲线及斑图
Fig. 4 Dispersion relation curves and patterns with different cross-diffusion coefficient values
图 7 不同交叉扩散系数取值的环波结构
Fig. 7 Circular wave structures with various cross-diffusion coefficient values
图 11 系统(1)中变量$u(100,100,t)$的波形图$(a = 0.05,\ b = 0.262\,5,\ D_u = D_v = 0.1)$
Fig. 11 Waveform of variables $u(100,100,t)$ in system (1) $(a = 0.05,\ b = 0.262\,5,\ D_u = D_v = 0.1)$
表 1 不同交叉扩散系数取值的12环成型时间$(a = 0.1$, $b = 1.0$, $D_u = 0.1$, $D_v = 2.0)$
Table 1 Formation times of 12-ring patterns with different cross-diffusion coefficient values $(a = 0.1$, $b = 1.0$, $D_u = 0.1$, $D_v = 2.0)$
$D_{uv}$ $D_{vu}$ $t=75$ 时环数 12环成型时间 0 0 9 100 −0.15 0 6 155 0.15 0 11 85 0 −0.10 10 95 0 0.15 7 125 
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