Safety Analysis and Safety-critical Control of Nonlinear Systems: Barrier Function Approach
Author Bio:
CHEN Jie Academician of Chinese Academy of Engineering, professor at Tongji University, School of Automation, Beijing Institute of Technology, and National Key Laboratory of Autonomous Intelligent Unmanned Systems. He received his bachelor, master, and Ph.D. degrees in control science and application from Beijing Institute of Technology in 1986, 1996, and 2001, respectively. His research interest covers intelligent control and optimization of complex systems, and cooperative control of multi-agent systems
LYU Zi-Liang Ph.D. candidate at the College of Electronic and Information Engineering, Tongji University. He received his bachelor and master degrees from Guangdong University of Technology in 2017 and 2020, respectively. His research interest covers safety analysis and safety-critical control of nonlinear systems
HUANG Xin-Yuan Ph.D. candidate at the College of Electronic and Information Engineering, Tongji University. He received his bachelor degree in control science and engineering from Tongji University in 2019. His research interest covers safety control and formal methods-based control
HONG Yi-Guang Professor at College of Electronic and Information Engineering, Tongji University and National Key Laboratory of Autonomous Intelligent Unmanned Systems. He received his bachelor and master degrees from Department of Mechanics of Peking University in 1987 and 1990, respectively, and his Ph.D. degree from Institute of Systems Science of Chinese Academy of Sciences in 1993. His research interest covers complex systems, control theory, and artificial intelligence. Corresponding author of this paper
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摘要: 近年来, 非线性系统的安全分析与控制已成为控制领域中的热门研究方向, 而障碍函数则是该方向的一种重要工具. 基于障碍函数的安全分析与控制方法具有计算效率高、鲁棒性强等优点. 本文首先从多个角度介绍了基于障碍函数的非线性系统安全性分析的理论成果, 并进一步综述了障碍函数方法在非线性系统安全控制中的最新进展. 最后, 简要地介绍了当前基于障碍函数的安全分析与控制理论中一系列尚未解决的问题, 并指出了未来可能发展的一些研究方向.Abstract: Safety analysis and safety-critical control of nonlinear systems have been important issues in the control society. The barrier function is a promising tool for the safety analysis and safety-critical control of nonlinear systems. This methodology has the advantages of high computation efficiency and strong robustness. In this paper, we first review the theoretical results on barrier function based safety analysis from different viewpoints, and then summarize some recent advances of the barrier function theory in the safety-critical control of nonlinear systems. Finally, we outline a series of open questions in the barrier function theory and point out some possible research directions.
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Key words:
- Safety analysis /
- safety-critical control /
- barrier functions /
- nonlinear systems
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机器是改造世界的工具, 仪器是认识世界的工具, 而认识世界往往是改造世界的先导.仪器是测量技术的载体, 测量技术是机械制造的"眼睛".随着机械制造业智能数字化、交叉综合化、柔性集成化以及精密微型化的发展总趋势, 使得测量技术的范围越来越广, 精度要求越来越高, 面临的挑战越来越大[1-2].测量参数的定义更加复杂, 被测对象的尺寸小到纳米、原子量级, 大到几十米甚至几百米, 形貌也从简单型面扩展到复杂型面.计量模式从非现场离线计量发展到现场在线计量, 从传统的静态计量到现在的静态与动态同步计量.计量形态也从简单信息到多信息融合.传统的计量方式和量值溯源方法受到极大挑战.
传统的量值溯源方式是利用高精度标准计量器具实现测量系统的量值传递.譬如, 齿轮测量系统通采用渐开线样板、螺旋线样板, 来验证相关测量任务的正确性[3], 利用球面样板[4], 楔形样板[5]等实现齿轮齿距、齿形、齿向的测量溯源.然而对于弧齿锥齿轮、环面蜗杆、齿轮刀具等复杂工件, 其高精度实物样板难以制造, 目前工程上仍然采用上述简单样板作为替代物来校准测量系统.这种替代作法, 难以证明测量系统对复杂工件的测量结果是实际工件误差的真实反映, 不能满足复杂工件的测量溯源要求.由于缺少实物标准器, 复杂测量系统的测量结果溯源问题亟待解决.
针对复杂系统, 王飞跃提出了平行系统的思想, 通过构造实际系统与人工系统并行互动的平行系统, 借助人工系统使复杂问题简单化, 以此实现复杂系统的控制与管理[6].平行系统主要通过整合人工社会, 计算实验和平行执行等方法, 形成新的计算研究体系[7-11].目前, 平行系统已经在经济、能源、交通、机器学习、视觉计算等领域取得了大量的成果, 并不断丰富和完善起来[12-34].我们尝试将平行系统的思想扩展并引入到测量领域建立复杂测量系统的一种新型理论框架, 构建与物理测量系统平行执行的人工测量系统, 将物理测量系统能够溯源至人工测量系统.用人工测量系统验证物理测量系统, 以复杂验证复杂, 而不是简单替代复杂的方式, 解决传统方法无法解决的复杂测量系统的测量溯源问题.
1. 人工测量系统的提出
1.1 复杂测量系统的溯源研究现状
量值溯源是通过一条具有规定不确定度的不间断的比较链, 使测量结果或测量标准的值能够与规定的参考标准(通常是国家计量基准或国际计量基准)联系起来的特性.溯源的过程也是测量结果不确定度的评定过程.目前, 复杂测量系统的测量不确定度评定主要采用以下三种方法:校准工件法, 灵敏系数分析法(GUM法)和计算机仿真法[35].
对于一般形位误差的测量, 通常采用量块、量规、标准球等标准器具实现测量结果的溯源.通过采用与被测工件形状相似、尺寸接近的校准工件, 校准测量系统, 从而确定该测量任务的精度.在同一测量条件下, 利用该测量系统对与校准工件相似的被测工件进行测量.因为校准工件已溯源至国际单位, 所以通过校准工件法可以实现被测工件测量结果的溯源[36].该方法要求被测件与校准工件几乎相同, 校准工件的精度要远远高于被测工件和测量系统自身的精度.
对于无校准工件的测量任务, 可利用高精度仪器对复杂测量系统的各个误差成分进行检测或经验估计, 建立不确定度传递函数的数学表达式, 利用GUM法合成实现测量结果的不确定度评定[37].该方法适用于所有具有明确解析表达式且一阶可微的测量模型, 并且要求尽可能完全地罗列出所有的不确定度来源[38].此时, 溯源依赖于误差成分的检测方法以及不确定度传递函数的正确性.
针对无法建立解析表达式的复杂测量模型, 研究学者们用计算机仿真法实现测量结果的不确定度评定.该方法是根据输入量与输出量的关系建立测量过程的数学模型, 比如德国联邦物理技术研究院(Physikalisch-Technische Bundesanstalt, PTB)建立的虚拟坐标测量机(Virtual coordinate measuring machine, VCMM)[39]、日本建立的虚拟齿轮检查仪(Virtual gear checker, VGC)[40]、北京工业大学建立的虚拟坐标测量机[41]等.通过对复杂测量系统的各个误差分量进行检测, 经验估计其误差概率分布, 将实际测量点或工件理论模型、真实测量过程中获取的误差分布作为输入; 采用蒙特卡洛法产生特定误差分布的随机数, 通过测量过程的数学模型进行大量重复仿真, 由仿真结果的统计特性评定测量结果的不确定度.该方法实现的溯源依赖于各个误差分量的检测, 人为概率分布的假设以及测量过程数学模型等的准确性.
1.2 人工测量系统提出的必要性
复杂测量系统的溯源研究现状说明, 校准工件法, 灵敏系数分析法无法满足对无解析表达式、无校准工件的复杂工件测量任务的溯源要求, 计算机仿真法相对于其他方法具有一定的优势.然而, 复杂测量系统的测量过程是一个复杂的动态过程, 不确定度来源囊括测量系统硬件、软件、被测工件、安装、环境、人员等方面的误差.这些误差非常复杂且相互耦合, 各项误差的确定、人为概率分布假设以及不确定度传递函数的正确性难以评价, 从而使复杂测量系统无校准工件时的测量溯源的正确性难以保证.
另外, 计算机仿真法是以离线、静态、辅助的形式应用于实际测量系统的评估.该方法涵盖大量测量误差原始数据的获取及统计概率分布的假定, 并通过虚拟系统产生大量误差数据, 虽然有数据驱动的影子, 但其属于确定论或概率方法、需要事先设置、是"程式化"的设计, 并不能满足目前测量系统的实时动态的运行需求.
若要实现复杂测量系统的溯源, 必须将测量系统及测量过程都溯源至标准国际单位制SI上.我们尝试借助平行系统的思想, 构建与物理测量系统"等价"的人工测量系统, 人工测量系统与物理测量系统实现测量过程的平行执行, 将物理测量系统及其测量过程溯源至人工测量系统的理论模型上, 用人工测量系统的计算实验和平行执行特性验证物理测量系统, 解决传统方法无法解决的复杂测量系统的测量溯源问题.
2. 平行测量系统
2.1 基于方法的平行测量理论框架
ACP (Artificial societies, computational experiments, and parallel execution)的核心就是把复杂系统中"虚"的部分, 分解成可定量、可计算、可执行的过程.针对复杂的物理测量系统, 构造人工测量系统, 使来自物理、社会及信息社会的知识形式化、计算化、可视化, 以在线嵌入和实时反馈的方式实现描述解析、预测解析和诱导解析的功能.目标就是促使实际测量过程趋向人工测量过程, 即主动控制技术.通过计算和比较发现更优化的运行状态, 引导实际系统逼近人工系统, 从而借助人工系统减少实际坐标测量系统相关目标的不确定性, 化多样为归一, 使复杂变简单, 以此实现复杂测量系统的溯源要求.
ACP步骤:利用人工测量系统(A)对复杂测量问题建模; 利用计算实验(C)对复杂测量任务进行各种情况下的大量模拟、分析和评估, 优化得到有效的解决方案; 将人工测量系统和实际测量系统并举, 通过一定的方式进行虚实互动, 以平行执行(P), 引导和管理物理测量过程.平行测量系统的理论框架如图 1所示.
2.2 平行测量系统构建
平行测量系统是由物理测量系统与人工测量系统构成的一个虚实互动、平行执行的系统.人工系统能反映并引导物理测量系统优化运行, 同时人工系统基于数据驱动, 引导人工系统运行.人工测量系统(虚拟空间)是实际测量系统(物理空间)的伴生系统.它集成了外部物理世界的大数据资源和虚拟人工世界的内部信息系统的数据和模型, 实时跟踪记录信息, 按需描述系统的状态.
通过认识实际系统各要素间的联系和演化规律, 抽象出数学模型, 建立与实际系统测量特性"等价"的人工系统, 根据实际测量信息数据驱动人工测量系统进行计算实验, 然后对具体的测量方案进行全面、准确、及时的评估和修正.最后将人工系统与实际系统相结合, 通过平行执行实施优化控制和管理.平行测量系统的基本架构如图 2所示.
1) 人工测量系统
人工测量系统是物理测量系统在虚拟空间的映射, 是通过对物理测量系统的探索与研究, 抽象出来的一个或多个模型组成的系统.一个完整的物理测量系统主要包括四大要素:测量设备、测量方法、测量人员和被测对象.对上述要素进行抽象, 采用数据驱动和语义建模, 构建信息和行为之间的反馈.人工测量系统的架构主要由基础架构层, 数据、知识层(A), 计算实验层(C)和平行执行层(P)四层组成.
建立人工测量系统的前提是对实际测量系统的运行数据进行获取、存储和建模.建模初期, 人工测量系统在时间上落后于实际测量系统的运行, 处于被动地位; 通过不断的数据更新、模型完善, 追赶实际测量系统, 直至与实际测量系统对应起来; 最后处于主导地位, 使实际测量系统逼近人工测量系统, 并以人工测量系统来引导实际测量系统的运行.
由于复杂测量系统"不可分不可知"[10]的本质, 因此不存在"一劳永逸"的解决方案, 必须要引入一个会学习且可自适应变化的人工测量系统, 不断地学习处在变化和发展之中的物理测量系统.学习人工的经验知识, "感知"环境和测量系统的动态变化, 反映测量系统特性的变化, 存储与分析历史大数据, 形成能够平行地反映物理测量系统状态发展和变化的人工测量系统.
人工测量系统的构建采用计算机图形学、虚拟现实、机器学习、知识自动化等技术.其测量场景可借鉴"平行视觉"[16]的技术方法, 被测对象的三维重构采用光学图像采集和数据处理[42-43]、高精度重构技术[44]等, 人员的建模可基于代理控制的智能体"平行学习"[13]技术, 误差数据库的建立采用激光干涉仪等静态误差测量仪器或装置[45-46]、动态误差采集装置[47-48]、温度湿度传感器等完成误差数据的采集, 通过蒙特卡洛方法模拟随机误差的分布[49-50].
2) 计算实验
评价一个测量系统的特性主要考察其稳定性、偏倚、线性、重复性和再现性, 且评价是在统计条件下进行[51].利用人工测量系统计算实验的可设计性以及可反复进行的特点, 我们可以对实际测量系统进行各种关于性能可靠性、方案鲁棒性、测量结果可靠性及正确性等同一条件下短时间内的大量反复测量实验、"极限"实验等, 而这些"实验"一般无法用于实际测量系统, 特别是正在运行的实际测量系统, 或无条件, 或经济成本巨大.
利用人工测量系统的计算实验优化测量策略.研究某一测量策略对测量精度的影响时, 完全没有必要建立针对某一实际测量系统实际测量任务的精确测量模型, 因为测量系统模型相当复杂, 理论上一个测量系统的测量结果难以直接推广到另一测量系统, 而且一个合适的测量模型, 尽管并未代表任何一个实际测量系统的测量过程, 但它却能描述某一"可能测量系统"的测量过程.因此, 一项合理有效的测量策略, 必须在一个合理的测量系统模型中产生良好的效果, 否则该项策略就需改进.
利用人工测量系统实现实时动态的误差评估.人工测量系统中误差数据需要从实际中采集小数据, 然后根据误差的特性, 利用蒙特卡洛法或神经网络法产生误差的大数据, 产生与物理测量系统相同的误差特性, 并不断和物理测量系统的运行状态进行对比, 修正人工测量系统的差异, 从而实现人工测量系统和物理测量系统在误差特性上的表现的一致性.最后, 根据人工测量系统的误差仿真对实际测量系统进行误差分离、误差补偿和测量不确定度评定.这比目前的仿真系统多了修正和反馈环节, 真正实现物理测量系统的实时动态化模拟运行.
3) 平行执行
复杂测量系统属于工程复杂性较高的系统, 我们采用平行控制方法, 并以控制为主.
物理测量系统与人工测量系统平行执行.通过物理测量系统与人工测量系统的相互连接, 借助误差反馈实时修正人工测量系统, 进行离线和在线的调整, 使二者测量特性等价, 达到人工测量系统能够验证物理测量系统的目的.平行执行过程主要有两部分:离线状态更新和在线优化及评估.
a) 离线状态更新:人工测量系统执行虚拟测量时必须根据实际情况对许多信息进行更新, 其中包括测量系统中测量设备部件的磨损、维修和更换情况, 测量人员知识水平和技巧能力, 被测工件的表面数据信息, 测量方案等.
b) 在线优化及评估:人工测量系统试图尽可能地模拟物理测量系统, 同一水平的测量人员在相同的环境设置下采用相同的测量策略基于代理控制分别同时执行实际测量和虚拟测量, 对二者的测量过程和测量结果进行对比和分析, 通过观察实际测量系统与人工测量系统评估的状态之间的不同, 产生误差反馈信号, 对人工测量系统的评估方式或参数进行修正, 减少差别, 并开始分析新一轮的优化和评估.优化和评估的极限即可达到二者测量特性的完全一致, 也可根据一致性评价标准界定终止条件.
总之, 人工测量系统平行执行过程以计算实验为基础, 一方面通过接收物理测量系统感知的环境、测量设备、工件等各类信息, 对人工测量系统进行离线和在线的状态更新, 实现对物理测量系统的在线监控和评价; 另一方面可根据对物理测量系统感知信息的处理结果分析, 实现在线测量策略的制定、选择、实施及效果评估, 并通过误差反馈实现二者测量特性的一致, 最终使得物理测量系统能够溯源至人工测量系统.
3. 平行测量系统的案例
齿轮在位测量系统是典型的复杂测量系统.随着工业技术的发展, 齿轮测量在测量原理方面实现了从"比较测量"到"啮合运动测量"再到"模型化测量"; 在测量技术上, 经历了"以机械为主"到"机电结合"的过程后, 发展为现在的"光-机-电"与"信息技术"的综合集成[52]; 测量功能也远不限于齿轮, 还扩展到齿轮刀具、环面蜗杆、弧齿锥齿轮等复杂工件.被测工件的多样化, 仪器设备的复杂化, 信息的融合化, 测量的动态化等使得齿轮在位系统发展具有显著的复杂系统的特征.因此, 必须借助人工测量系统进行齿轮测量系统的设计、控制、评估和管理.
人工齿轮测量系统与物理齿轮测量系统是平行系统的两大组成部分.人工齿轮测量系统是实际齿轮测量系统在虚拟空间的映射, 包括齿轮测量设备中的控制系统硬件、软件和机械系统的仿真, 各种误差源的数据, 工件数据等.平行齿轮测量系统如图 3所示.
图 3是图 2的实例化说明.人工测量系统测量过程的仿真要求和真实测量过程具有一致的功能和特性.人工测量系统能够仿真真实齿轮测量系统的测量全过程.首先采用计算机图形学、虚拟现实技术、平行视觉技术对物理齿轮测量系统进行功能抽象, 构造人工齿轮测量系统的几何模块、运动模块、误差模块和虚拟工件模块, 并建立各模块的联系[53-57].利用传感器技术、高精度测量技术对物理齿轮测量系统的几何误差、运动误差、测头误差等误差数据进行采集, 存储至云端.通过误差大数据发现误差规律, 再利用蒙特卡洛法产生大量的误差数据, 用于测量不确定度的评定.采用光学图像采集与处理技术对被测工件表面特征数据进行获取, 利用高精度重构技术对工件模型进行重建, 确保被测工件的一致性.根据真实测量过程中的实时误差采集数据对人工测量系统进行修正, 使二者拥有一致的误差特性.
人工齿轮测量系统与物理齿轮测量系统采用同一测量软件系统, 即实际测量软件既能驱动物理齿轮测量系统, 也能不做修改地驱动人工齿轮测量系统.人工齿轮测量系统在数据驱动与测量软件控制下与物理测量系统平行执行, 根据计算实验产生大量数据, 根据数据挖掘技术, 产生有效决策, 优化物理齿轮测量系统.
1) 测量方案优化应用
当有新的测量任务到达时, 人工齿轮测量系统首先模拟多个齿轮测量方案, 通过分析模拟运行结果, 将最优的测量方案发送给物理齿轮测量系统, 物理齿轮测量系统在测量齿轮的过程中, 将运行的状况实时反馈给人工齿轮测量系统, 人工齿轮测量系统以物理齿轮测量系统的实时状态为初始条件, 模拟运行测量方案, 再将模拟运行结果发送给物理齿轮测量系统, 物理齿轮测量系统根据模拟运行结果实时调整测量参数, 实现物理齿轮测量系统的测量方案优化.
2) 软件误差溯源应用
实际齿轮测量软件可同时驱动物理测量系统和人工齿轮测量系统, 根据这一特性通过人工齿轮测量系统的仿真运行和计算实验来测试和分析齿轮测量软件的误差.通过构建误差已知的数字化工件[58], 导入至人工齿轮测量系统中进行仿真测量, 根据仿真测量结果与已知的工件误差, 检验齿轮测量软件的误差.将检验结果反馈回物理齿轮测量系统, 指导物理齿轮测量系统测量软件的修正.
3) 复杂工件的测量溯源应用
对于无校准工件的复杂工件, 利用人工齿轮测量系统和数字化工件的仿真测量实验指导复杂工件的校准工件设计与研制, 并在物理齿轮测量系统中进行测量, 使物理齿轮测量系统逼近人工齿轮测量系统.譬如, 弧齿锥齿轮、环面蜗杆、齿轮刀具等难以制造高精度校准工件的复杂工件, 寻求利用简单曲面如球面、柱面、锥面和平面等组合的方式代替复杂曲面, 实现复杂曲面的溯源.并建立该替代曲面的数字化模型及测量策略, 在人工齿轮测量系统中进行仿真测量.并根据测量结果优化工件模型和测量策略, 从而指导复杂工件的校准工件设计、研制与测量, 最终实现复杂工件的测量溯源.
4. 结论与展望
本文分析了制造领域内测量技术随工业技术的发展现状和趋势, 总结了复杂测量系统的溯源研究现状, 指出现有的研究无法满足目前复杂测量系统的动态化测量溯源需求, 并指出了人工测量系统的必要性和传统仿真系统的不同之处.基于ACP方法提出了平行测量系统的理论框架, 研究了平行测量系统的学习培训、实验评估和管理控制的工作过程.最后将平行测量系统的理论应用于齿轮在位测量系统案例, 实现齿轮测量的优化、控制和溯源.
平行测量系统的提出, 为制造业的智能数字化、交叉综合化、柔性集成化等提供理论技术基础.未来可提出平行制造系统, 并将平行制造系统与平行测量系统进行有效的无缝连接, 实现制造与测量的真正一体化, 让测量更好地为制造服务, 使制造质量实时有标准可依, 使产品决策更加经济高效.
本文首次提出平行测量系统, 其应用研究仍处于探索阶段, 一些理论和技术仍待进一步的研究和深入.然而, 毫无疑问, 平行测量是迈向智能测量的一条有效途径.
- 1 扩展
$ K $ 类函数是传统$ K $ 类函数[2]在安全分析与控制上的推广. 对于任意函数$ \alpha: {\bf{R}}\rightarrow {\bf{R}} $ , 我们说它是一个扩展$ K $ 类函数, 如果该函数在$ {\bf{R}} $ 上连续、严格递增并满足$ \alpha(0)=0 $ ; 特别地, 如果$ \alpha(s) $ 分别随着$s $ 趋于$ +\infty $ 和$ -\infty $ 而趋于$ +\infty $ 和$ -\infty $ , 则该函数是一个扩展$ K_\infty $ 类函数.- 2 这里的相对阶是把
$ h(x) $ 当做某种意义下的输出. - 1 扩展
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