Multivariate Control of Wastewater Treatment Process Based on Self-organized Recurrent Wavelet Neural Network
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摘要: 污水处理过程(Wastewater treatment process, WWTP)是一个包含多个生化反应的复杂过程, 具有非线性和动态特性. 因此, 实现污水处理过程的精准控制是一项挑战. 为解决这个问题, 提出一种基于自组织递归小波神经网络(Self-organized recurrent wavelet neural network, SRWNN)的污水处理过程多变量控制. 首先, 针对污水处理过程的动态特性, 根据小波基的激活强度设计一种自组织机制来动态调整递归小波神经网络控制器的结构, 提高控制的性能. 然后, 采用结合自适应学习率的在线学习算法, 实现控制器的参数学习. 此外, 通过李雅普诺夫稳定性定理证明此控制器的稳定性. 最后, 采用基准仿真平台进行仿真验证, 实验结果表明, 此控制方法可以有效提高污水处理过程的控制绝对误差积分(Integral of absolute error, IAE)和积分平方误差(Integral of squared error, ISE)的精度.Abstract: The wastewater treatment process (WWTP) is a complex process containing multiple biochemical reactions with nonlinear and dynamic characteristics. Therefore, it is a challenge to achieve accurate control of the wastewater treatment process. To solve this problem, a multi-variable control of wastewater treatment process based on the self-organized recurrent wavelet neural network (SRWNN) is proposed. Firstly, to deal with the dynamicity of wastewater treatment process, according to the firing strength of the wavelet base, the self-organizing mechanism is designed to dynamically adjust the structure of the recurrent wavelet neural network controller to improve the control performance. Then, an online learning algorithm combined with adaptive learning rate is used to learn the parameters of controller. In addition, the stability of the controller is proved by the Lyapunov stability theorem. Finally, the benchmark simulation platform is used to conduct simulation. The experimental results show that this control method can effectively improve the integral of absolute error (IAE) and integral of squared error (ISE) of the wastewater treatment process.
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随着人口的增长和经济的发展, 全国水污染问题日益严重, 水环境持续恶化[1]. 污水处理过程(Wastewater treatment process, WWTP)能够去除污水中的污染物和难降解的有机物, 已经成为缓解水资源、解决水污染问题的重要方法[2-3]. 污水处理过程包含复杂的生化反应, 难以建立精确的机理模型, 各个参数的动力学反应是非线性的, 同时是一个动态时变的过程. 因此, 如何实现污水处理过程的精准控制是一项挑战.
近年来, 一些传统的控制方法如前馈控制[4] 和PID控制[5-7]广泛应用于污水处理的控制. 这些方法的结构简单、应用广泛, 但是针对复杂的污水处理过程控制精度有限. 为解决污水处理过程的非线性, 提高控制精度, 学者们提出一些智能控制方法. 例如, Hoang等[8] 提出一种对冲代数方法对污水处理过程中溶解氧(Dissolved oxygen, DO) 进行控制, 实验结果表明该方法能够有效地跟踪控制DO 浓度. 许进超等[9] 提出一种基于自组织模糊神经网络的DO 控制方法, 结果表明该方法的控制精度优于传统的控制方法. 但是, 实际的污水处理过程包含多个控制回路和控制变量, 是一个典型的多变量控制过程[10-12]. 以上方法仅考虑DO 浓度的控制, 因此, 不能保证污水处理过程的高效稳定运行.
为保证污水处理过程的稳定运行, 多变量控制方法引起人们的广泛关注. 例如, 乔俊飞等[13] 提出一种基于知识的方法对污水处理过程进行优化控制. Vega 等[14] 提出一种多目标模型预测控制方法对DO 浓度和硝态氮(Nitrate nitrogen, NO)浓度进行控制. Han 等[15]提出一种基于模糊神经网络的多变量控制方法, 实验结果证明能够有效地提高污水处理过程的控制精度. 在这些方法中, 神经网络控制由于其对非线性系统强大的自学习能力已经成为多变量控制的研究热点[16-18]. 其中, 递归小波神经网络结合递归神经网络的动态特性和小波分析的能力, 具有较好的控制效果[19-20]. 然而, 控制器的结构是固定的, 难以适应污水处理过程不同的操作条件.
神经网络控制器的结构会影响控制的性能, 当网络结构过大时, 虽然控制的性能更佳, 但是耗时长; 当网络结构过小时, 虽然控制速度更快, 但是控制的精度可能不足. 因此, 为自动调整神经网络控制器的结构, 张伟等[21]提出一种基于规则无用率的结构修剪算法对模糊神经网络的结构进行调整. El-Sousy等[22] 提出一种结构增长的自组织递归模糊小波神经网络进行跟踪控制. Han等[23]提出一种神经网络增长和删减机制调整控制器的结构. 实验结果证明这些方法都能够有效地调整控制器的结构, 提高控制精度. 其中, 增长和删减机制对神经元的衡量更加全面, 因此在本文中选取其作为神经网络控制器的调整机制.
基于以上分析, 针对污水处理过程的非线性和动态特性, 为提高控制精度, 本文提出一种基于自组织递归小波神经网络(Self-organized recurrent wavelet neural network, SRWNN) 的污水处理过程控制方法. 首先, 设计基于神经元激活响度的小波节点自组织机制, 基于该机制SRWNN 能够在控制过程中自动调整网络的结构以适应不同的操作工况, 提高网络的控制性能. 此外, 在参数学习过程中设计自适应学习率, 提高网络的学习速度. 并且证明了控制器的稳定性, 保证其在实际污水处理过程中的应用. 最后, 基于活性污泥污水处理基准仿真1号模型(Benchmark simulation model No. 1, BSM1) 验证了方法的有效性.
1. 污水处理过程
活性污泥法是污水处理过程最常用的方法, 其流程如图1所示. 活性污泥法包含生化反应池和二沉池两个部分. 在生化反应池中, 红色部分是缺氧区, 主要完成反硝化反应过程; 蓝色部分是好氧区, 主要进行硝化反应过程. 生物反硝化反应进行后, 一部分污水通过内循环再次反硝化; 另一部分在二沉池中沉淀.
在整个活性污泥法中, 硝化反应和反硝化反应是核心过程. 其中, 溶解氧(DO) 浓度在硝化反应中起着重要的作用; 硝态氮(NO)浓度对反硝化反应的速度有很大的影响. 此外, DO浓度过高或者过低都会对反硝化反应产生抑制作用, 从而影响NO浓度. 因此, 如何实现DO和NO的多变量精准控制, 设计高性能的控制器对提高污水处理过程的效率非常重要.
根据活性污泥法的流程, DO和NO的动力学方程为
$$ \dfrac{{\rm{d}}S_{{\rm{NO}},k}}{{\rm{d}}t}=\dfrac{1}{V_k} \left ( \left ( Q_a+Q_r+Q_0 \right ) \left ( Z_{k-1}-Z_k \right ) +r_k V_k \right ) $$ (1) $$ \begin{split} \dfrac{{\rm{d}}S_{O,k}}{{\rm{d}}t}=\;& \dfrac{1}{V_k} \left ( {Q_k S_{O,k-1} + r_k V_k + K_{Lak} V_k S_{O,sat}\;- } \right. \\ & \left. { K_{Lak} V_k S_{O,k} - Q_k S_{O,k} } \right ) \end{split} $$ (2) 其中, $ {Q_k} $和$ {V_k} $是第$ {k}$个反应池的流量和体积, $ {r_k} $是反应速率, $ {Q_a} $是第2个反应池的内部回流量, $ {Q_r} $和$ {Q_0} $分别是污泥回流量和进水流量, $ {S_{O,k}} $是第$ {k} $个反应池的DO浓度, $ {S_{O,sat}} $是DO的饱和值, $ {K_{Lak}} $是第$ {k} $个反应池的氧气传递系数, $Z_k$是第$k $个反应池的组分浓度, $S_{{\rm{NO}},K}$是第$k $个反应池的NO浓度. 根据式(1)和生化反应的机理, DO浓度取决于氧气传递系数, NO浓度取决于内部回流量. 因此, 选取$ {K_{La5}} $和$ {Q_a} $分别作为控制第5分区DO浓度和第2分区NO 浓度的操作变量.
2. 自组织递归小波神经网络控制器
在本节中, 针对污水处理过程的非线性和动态性, 为提高控制的精度, 提出一种自组织递归小波神经网络(SRWNN) 对DO和NO 浓度进行控制, 如图2所示. 首先, 针对污水处理过程的非线性, 控制器采用一个多输入多输出的递归小波神经网络来提高控制的精度. 然后, 设计基于激活强度的小波节点自组织机制以适应污水处理过程不同的工况. 此外, 提出结合自适应学习率的参数学习算法. 最后, 给出SRWNN控制器的稳定性证明.
SRWNN控制器的结构如图3所示, 其结构包括输入层、母小波层、小波层和输出层. 其中SRWNN控制器的输入节点$ n $和输出节点都是固定的, 分别为4 和2. 假设SRWNN有$ q $个小波节点, 在$ {t} $ 时刻, SRWNN的输入为
$$ {\boldsymbol{x}}(t)=[e_{{\rm{DO}}}(t),\Delta e_{{\rm{DO}}}(t),e_{{\rm{NO}}}(t),\Delta e_{{\rm{NO}}}(t)] $$ (3) 其中, $e_{{\rm{DO}}}(t)\;=\;S_{{\rm{DO}},set}(t)\;-\;S_{{\rm{DO}}}(t)$ 和 $e_{{\rm{NO}}}(t)\;= S_{{\rm{NO}},set}(t) \;-\;S_{{\rm{NO}}}(t)$分别是DO和NO 浓度的误差, $ S_{{\rm{DO}},set}(t) $和$ S_{{\rm{DO}}}(t) $是DO 浓度的设定值和实际值, $ S_{{\rm{NO}},set}(t) $和$ S_{{\rm{NO}}}(t) $分别是NO浓度的设定值和实际值, $ \Delta e_{{\rm{DO}}}(t) $和$ \Delta e_{{\rm{NO}}}(t) $是误差的变化量.
控制器的输出${\boldsymbol{y}}(t)=[y_1(t),y_2(t)]= [\Delta K_{La5}(t), \Delta Q_a(t)]$, 且
$$ y_k(t)=\sum_{j=1}^{q}w_{j,k}(t)u_j^{(3)}(t)+\sum_{i=1}^{n}a_{i,k}(t)x_i(t) $$ (4) 其中, $ a_{i,k}(t) $是第$ i $个输入对第$ k $个输出的输出权值, $ w_{j,k}(t) $是第$ j $个小波节点对第$ k $个输出的输出权值, $ u_j^{(3)}(t) $是第$ j $个小波节点的输出, 计算方式为
$$ u_j^{(3)}(t) =\prod_{i=1}^{n}u_{i,j}(t)=\prod_{i=1}^{n}\phi \left ( \dfrac{h_{i,j}(t)-b_{i,j}(t)}{c_{i,j}(t)} \right ) $$ (5) $$ \phi (x)=-x{\rm{exp}}\left ( -\dfrac{1}{2}x^2 \right ) $$ (6) $$ h_{i,j}(t)=x_i(t)+\alpha_{i,j}(t)u_{i,j}(t-1) $$ (7) 其中, $ u_{i,j}(t) $是母小波层的输出, $ b_{i,j}(t) $和$ c_{i,j}(t) $分别是小波函数的平移和扩张系数, $ \phi (x) $是选取的小波函数, $ \alpha_{i,j}(t) $是反馈权值.
注 1. 污水处理过程是一个典型的非线性过程. 递归小波神经网络能够以任意精度逼近非线性系统; 与此同时, 网络结合小波分析的能力, 有效地提高了神经网络的学习能力. 因此, 针对污水处理过程的非线性, 本文选取递归小波神经网络作为控制器.
2.1 结构自组织机制
在实际的污水处理过程中包含多种工况, 例如晴天、雨天和暴雨等不同的天气条件工况. 在不同的工况下, 进水流量和污染物的浓度都有所不同. 固定结构的神经网络控制器无法适应不同的工况, 控制精度有限. 此外, 神经网络的结构通常使用试凑法来选取, 虽然能够选取合适的网络结构但是耗时长. 因此, 针对污水处理过程的动态特性, 提出一种基于激活强度的自组织机制来自动调整控制器的小波节点.
小波基的激活强度表达了输入属于相应小波基的强度. 激活强度高的小波基表示其空间位置比激活强度低的小波基更接近输入. 激活强度$ D_j(t) $的可解释性强, 且计算简单, 因此被选取来调整SRWNN 控制器小波神经元的数量, 具体为
$$ D_j(t)=\left | u_j^{(3)}(t) \right | $$ (8) 其中, $ u_j^{(3)}(t) $是第$ j $个小波节点的输出. 则SRWNN自组织机制的具体过程如下.
1)增长阶段. 当SRWNN控制器满足以下条件时, 增加一个新的小波节点.
$$ D_j(t)>D_{{\rm{max}}} $$ (9) 其中, $ D_{{\rm{max}}} $是人为设定的增长阈值. 新增的小波节点的初始参数设定为
$$ \begin{cases} w_{q+1,k}(t)=\left ( d_k(t)-y_k(t) \right ) \left ( u_{q+1}^{(3)}(t) \right )^{-1} \\ b_{i,q+1}(t)=r_1,c_{i,q+1}(t)=r_2\\ \alpha _{i,q+1}(t)=r_3 \end{cases} $$ (10) 其中, $ d_k(t) $是第$ k $个输出节点对应的期望输出, $ u_{q+1}^{(3)}(t) $是新增的第$q+1$个小波节点的输出, $r_1, r_2,r_3$是从[−1, 1]范围内随机选取的常数.
2)修剪阶段. 小波节点的修剪阶段是为了删除多余的节点. 当满足以下条件时, 第$ l $个节点将会被删除.
$$ D_l(t)<D_{{\rm{min}}} $$ (11) 其中, $ D_{{\rm{min}}} $是修剪阈值. 当第$ l $个节点被删除时, 与其具有最短欧几里得(Euclidean)距离的第$ l' $个节点的参数更新为
$$ \begin{cases} w_{l',k}'(t)=w_{l',k}(t)+w_{l,k}(t)u_l(t)(u_{l'}(t))^{-1} \\ b_{i,l'}'(t)=b_{i,l'}(t),c_{i,l'}'(t)=c_{i,l'}(t)\\ \alpha _{i,l'}'(t)=\alpha_{i,l'}(t) \end{cases} $$ (12) 其中, ${w_{l',k}'(t),b_{i,l'}'(t)},c_{i,l'}'(t),\alpha _{i,l'}'(t)$是第$ l' $个节点修剪后的参数, $ {w_{l',k}(t),b_{i,l'}(t)},c_{i,l'}(t),\alpha _{i,l'}(t) $ 是第$ l' $个节点修剪前的参数, $ w_{l,k}(t) $是第$ l $个节点修剪前的输出权值, $ u_l(t) $ 和$ u_{l'}(t) $ 分别是第$ l $个节点和第$ l' $个节点修剪前的输出.
注 2. 小波节点的增加和删除是同时进行的. 与固定结构的递归小波神经网络不同, SRWNN的自组织机制能够根据不同的输入自动调节网络的结构, 从而提高控制的性能.
2.2 参数学习机制
为了对控制器的参数进行更新, 提出一种结合了自适应学习率的在线学习算法. SRWNN的代价函数定义如下:
$$ J(t)=\dfrac{1}{2}(e_{{\rm{DO}}}^2(t)+e_{{\rm{NO}}}^2(t)) $$ (13) 其中, $ e_{{\rm{DO}}}^2(t) $和$e_{{\rm{NO}}}^2(t)$分别是DO和NO的跟踪误差. 根据梯度下降法, SRWNN 参数的更新式如下:
$$ w_{j,k}(t+1)=w_{j,k}(t)-\lambda_w \dfrac{\partial J(t)}{\partial w_{j,k}(t)} $$ (14) $$ a_{i,k}(t+1)=a_{i,k}(t)-\lambda_a \dfrac{\partial J(t)}{\partial a_{i,k}(t)} $$ (15) $$ b_{i,j}(t+1)=b_{i,j}(t)-\lambda_b \dfrac{\partial J(t)}{\partial b_{i,j}(t)} $$ (16) $$ c_{i,j}(t+1)=c_{i,j}(t)-\lambda_c \dfrac{\partial J(t)}{\partial c_{i,j}(t)} $$ (17) $$ \alpha _{j,k}(t+1)=\alpha _{j,k}(t)-\lambda_\alpha \dfrac{\partial J(t)}{\partial \alpha _{j,k}(t)} $$ (18) 其中, $\lambda _{{\Omega}}=\left \{ {\lambda _{{w}},\lambda _{{a}},\lambda _{{b}},\lambda _{{c}},\lambda _{{\alpha} }} \right \}$是自适应学习率. ${{\Omega }} (t)=\left \{ {{w}}(t), {{a}}(t),{{b}}(t),{{c}}(t),{\alpha}(t) \right \}$, 自适应学习率定义如下
$$ \lambda _{{\Omega}}=\frac{2}{\mathop {\min }\limits_{k}\left ( \frac{\partial e_k(t)}{\partial {{\Omega}}(t)} \right )^2} $$ (19) 式(14) ~ (18)中, $ J(t) $对参数的偏导可以进一步计算如下
$$ \dfrac{\partial J(t)}{\partial w_{j,k}(t)}=-e_k(t)u_j^{(3)}(t) $$ (20) $$ \dfrac{\partial J(t)}{\partial a_{i,k}(t)}=-e_k(t)u_i^{(2)}(t) $$ (21) $$ \dfrac{\partial J(t)}{\partial b_{i,j}(t)}=-\sum_{k=1}^{2}e_k(t)w_{j,k}(t)\dfrac{u_j^{(3)}(t)}{u_{i,j}^{(2)}(t)}\phi '\left ( -\dfrac{1}{c_{i,j}(t)} \right ) $$ (22) $$ \begin{split} \dfrac{\partial J(t)}{\partial c_{i,j}(t)}=\;&-\sum_{k=1}^{2}e_k(t)w_{j,k}(t)\dfrac{u_j^{(3)}(t)}{u_{i,j}^{(2)}(t)}\;\times\\ &\phi '\left ( -\dfrac{h_{i,j}(t)-b_{i,j}(t)}{(c_{i,j}(t))^2} \right ) \end{split} $$ (23) $$ \begin{split} \dfrac{\partial J(t)}{\partial \alpha_{i,j}(t)}=\;&-\sum_{k=1}^{2}e_k(t)w_{j,k}(t)\dfrac{u_j^{(3)}(t)}{u_{i,j}^{(2)}(t)}\;\times\\ &\phi '\left ( \dfrac{1}{c_{i,j}(t)} \right ) u_{i,j}^{(2)}(t-1) \end{split} $$ (24) 其中, $ \phi ' $是$ t $时刻$ \phi (x) $对$ x $的导数, $e_{1}(t)\;= e_{{\rm{DO}}}(t)$, $ e_{2}(t)=e_{{\rm{NO}}}(t) $.
2.3 基于SRWNN的多变量控制
根据以上的分析, 基于SRWNN的污水处理过程控制的流程图如图4所示, 主要步骤如下:
步骤 1. 参数初始化. SRWNN的参数在范围(−1, 1)随机初始化, 设置增长阈值$ D_{{\rm{max}}} $和修剪阈值$ D_{{\rm{min}}} $.
步骤 2. 控制器参数学习. 根据式(14) ~ (19)更新控制器的参数.
步骤 3. 控制器结构学习. 如果小波节点的激活强度满足条件(9), 则增加一个小波神经元, 新增的神经元参数根据式(10)初始化; 如果满足条件(11), 则删减一个小波节点, 并根据式(12) 调节参数.
步骤 4. 若全部数据运行完毕, 则结束循环; 否则, 转到步骤2.
2.4 计算复杂度
本部分分析了SRWNN的计算复杂度. 首先对固定结构的计算复杂度进行分析, 由以上的介绍可知, SRWNN的输入和输出节点是固定的, 分别为4 和2, 假设SRWNN的小波节点个数是固定的, 为$ q $, 则SRWNN 可调节参数的个数为$N_{s}=3\times 4q+2q\;+ 2\times 4$, 即$ N_{s}=14q+8 $. 则SRWNN的计算复杂度为${\rm O}({N_s}^2)\,.$ 当控制器的小波节点发生变化时, 假设小波节点的个数由$ q $变为$ q_1 $, 则此时$ N_{s}=14q_{1}+8 $, 计算复杂度为$ {\rm O}({N_s}^2+1)\,. $
2.5 稳定性分析
为了验证SRWNN在实际应用中的可行性, 应用李雅普诺夫稳定性定理分析了SRWNN的稳定性. 首先分析了固定结构的SRWNN的稳定性, 然后证明了小波节点变化时SRWNN的稳定性. 具体分析过程如下.
定理 1. 假设SRWNN的隐藏节点为$ q $, 当自适应学习率满足式(19) 时, 固定结构的SRWNN 控制器的稳定性能够保证.
证明. 构造控制器的李雅普诺夫函数如下:
$$ V(t)=\dfrac{1}{2}\left ( e_1^2(t)+e_2^2(t) \right) $$ (25) 其中, $ e_1(t) $和$ e_2(t) $分别是DO和NO 浓度的跟踪误差. 则$ V(t) $的变化值为
$$ \begin{split} \Delta V(t) =\;& \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{2}\left ( e_k^2(t+1)-e_k^2(t) \right )= \\ & \Delta V_1(t)+\Delta V_2(t) \end{split} $$ (26) 根据文献[24], 控制误差的变化量如下:
$$ \Delta e_k(t)=e_k(t+1)-e_k(t)\approx \left [ \dfrac{\partial e_k(t)}{\partial {{\Omega}}(t) } \right ] \Delta {{\Omega}}(t) $$ (27) 根据式(14) ~ (18), 可得
$$ \Delta e_k(t)=-\lambda _{{\Omega}}e_k(t)\left [ \dfrac{\partial e_k(t)}{\partial {{\Omega}}_k(t)} \right ]^{2} $$ (28) 则有
$$ \begin{split} & \Delta V_k(t) =\dfrac{1}{2}(2e_k(t)\Delta e_k(t)+\Delta e_k^2(t))=\\ &\;\;\; \dfrac{1}{2}\left ( -2\lambda _{{{\Omega }}}e_k^2(t)\left [ \frac{\partial e_k(t)}{\partial {{\Omega}}_k(t)} \right ]^2 + \lambda _{{{\Omega }}}^2 e_k^2(t)\left [ \frac{\partial e_k(t)}{\partial {{\Omega}}_k(t)} \right ]^4 \right )=\\ & \;\;\; -\dfrac{1}{2}e_k^2(t) \lambda _{{\Omega}} \left [ \frac{\partial e_k(t)}{\partial {{\Omega}}_k(t)} \right ]^2 \left ( 2- \lambda _{{{\Omega }}} \left [ \frac{\partial e_k(t)}{\partial {{\Omega}}_k(t)} \right ]^2 \right ) \end{split} $$ (29) 可以看出, 当$\lambda _{{\Omega}} \le 2 / ( \frac{\partial e_k(t)} {\partial {{\Omega}}(t)} )^2$ 时, $ V(t)>0 $, 当学习率满足式(19)时, $ 0<V(t+1)<V(t) $. 则当SRWNN 结构固定时, 控制器是稳定的.
□ 定理 2. 在$ t $时刻, 假设SRWNN控制器的小波节点个数发生变化, 当学习率满足式(19) 时, SRWNN控制器的稳定性能够保证.
证明. 在$ t $时刻, 假设第$ l $个小波节点被删除时, 小波节点的个数为$ q-1 $. 根据式(12), SRWNN的近似误差如下:
$$ \begin{split} e_k'(t) =\; & d_k(t)-\sum_{j=1}^{q-1}w_{j,k}(t)u_j^{(3)}(t)- \sum_{i=1}^{n}a_{i,k}(t)x_i(t) =\\ & d_k(t)-\sum_{j=1,j\ne l'}^{q-1}w_{j,k}(t)u_j^{(3)}(t)\;-\\ & w_{l',k}(t)u_{l'}^{(3)}(t) - \sum_{i=1}^{n}a_{i,k}(t)x_i(t) =\end{split} $$ $$ \begin{split} & \quad d_k(t)-\sum_{j=1,j\ne l'}^{q-1}w_{j,k}(t)u_j^{(3)}(t)- w_{l',k}(t)u_{l'}^{(3)}(t) \;-\\ & \quad\sum_{j=1,j\ne l'}^{q-1}w_{l,k}(t)u_l^{(3)}(t)(u_{l'}^{(3)}(t))^{-1}u_{l'}^{(3)}(t)\; -\\ &\quad\sum_{i=1}^{n}a_{i,k}(t)x_i(t) = d_k(t)-\sum_{j=1}^{q}w_{j,k}(t)u_j^{(3)}(t)\;-\\ & \quad \sum_{i=1}^{n}a_{i,k}(t)x_i(t) = e_k(t)\\[-15pt] \end{split} $$ (30) 此外, 假设SRWNN增加一个新的小波节点, 此时小波节点的个数为$ q+1 $. 根据式(10), 控制误差计算如下:
$$ \begin{split} e_k'(t) =\;& d_k(t) - \sum_{j=1}^{q+1}w_{j,k}(t)u_j^{(3)}(t)+ \sum_{i=1}^{n}a_{i,k}(t)x_i(t) =\\ & d_k(t)- \sum_{j=1}^{q}w_{j,k}(t)u_j^{(3)}(t) + \sum_{i=1}^{n}a_{i,k}(t)x_i(t)\;-\\ & w_{q+1,k}(t)u_{q+1}^{(3)}(t) =\\ & d_k(t)-(d_k(t) -y_k(t))(u_{q+1}^{(3)}(t))^{-1}(u_{q+1}^{(3)}(t))\;-\\ & y_k(t)=0 \\[-10pt]\end{split} $$ (31) 根据定理1, 当学习率满足式(19)时, 本定理得证.
□ 注3. 在定理1中, 固定结构的SRWNN的稳定性可以保证. 除此之外, 当小波节点的个数变化时, 控制器的稳定性分析如定理2所示. 根据定理1和定理2可知, 结合自组织机制的SRWNN控制器是稳定的, 确保了控制器在实际中的成功应用.
3. 实验与分析
为验证SRWNN对污水处理过程的控制性能, 在BSM1平台上进行实验. 在实验过程中, 为更全面地验证控制性能, DO浓度和NO浓度的设定值分别设定为常数值和变化值. SRWNN的初始小波节点设置为5. 此外, SRWNN的阈值是通过试凑法选取的, 选取结果为$ D_{{\rm{max}}} = 0.5 $, $ D_{{\rm{min}}} = 0.01 $.
采用绝对误差积分(Integral of absolute error, IAE)、积分平方误差(Integral of squared error, ISE)和最大绝对误差(Maximal derivation from set point, DEV_MAX)来评估控制性能. 其表达式如下:
$$ IAE = \frac{1}{N}\sum_{t=1}^{t_{{\rm{max}}}} \left | d(t)-y(t) \right | $$ (32) $$ ISE = \frac{1}{N}\sum_{t=1}^{t_{{\rm{max}}}} \left ( d(t)-y(t) \right )^2 $$ (33) $$ DEV\_MAX = {\rm{max}} \left \{ \left | d(t)-y(t) \right | \right \} $$ (34) 其中, $ N $是样本个数, $ d(t) $和$ y(t) $分别是期望输出和实际输出. 越小的IAE, ISE和DEV_MAX代表控制性能越好.
基于BSM1仿真平台, 选取了晴天和阴雨两种工况下14天的数据进行实验测试. 采样周期为15 min. 与此同时, 采用后7天的实验结果来计算控制方法的IAE, ISE 和DEV_MAX.
3.1 小波函数的选取
在本节中, 首先分析了小波函数的选取对控制性能的影响. 本文以Morlet小波函数、Mexihat小波函数和Gaussian小波函数为例, 三种函数的公式分别如式(35) ~ (37)所示
$$ \phi_1 (x)= \cos (1.75x){\rm{exp}}\left({-\dfrac{1}{2}x^2}\right) $$ (35) $$ \phi_2 (x)= (1-x^2){\rm{exp}}\left ( -\dfrac{1}{2}x^2 \right ) $$ (36) $$ \phi_3 (x)= -x{\rm{exp}}\left ( -\dfrac{1}{2}x^2 \right ) $$ (37) 在晴天工况下, 三种小波函数的递归小波神经网络对DO浓度的控制效果如图5所示. 从图5中可以看出三种小波函数的控制性能有所区别, 且与其他两种方法相比, 本文选取的Gaussian小波函数的效果最好.
在实际应用中, 选取小波函数主要从小波的对称性、正则性和支撑长度三个方面来考虑. 对称性主要应用在图像处理中, 可以避免相移, 简化计算; 正则性主要用来刻画函数的光滑长度, 一般正则性越长的小波函数光滑性越好; 支撑长度则一般与正则化相关, 支撑长度越长, 正则性越高.
3.2 恒定设定值
在本节中, 首先采用恒定的DO浓度和NO浓度设定值, 分别为$S_{{\rm{DO}},set}=2\;{\rm{mg}}/{\rm{l}}$和 $S_{{\rm{NO}},set}= 1\;{\rm{mg}}/{\rm{l}}$.
图6给出了晴天和阴雨两种工况下SRWNN小波节点的变化情况, 可以看出节点能够随着时间自动增加和删减, 并最终分别收敛到3和4, 与定理2一致. 在晴天和阴雨两种不同的工况下, 小波节点的自组织机制都能够有效地调整控制器的结构, 使控制器适应不同的工况.
DO浓度和NO浓度的控制结果如图7 ~ 10所示. 可以看出, 随着SRWNN结构的调整, 控制器的控制精度不断提高.
图7和图8分别给出了晴天工况下DO浓度和NO浓度的控制结果. 图9和图10分别给出了阴雨工况下DO浓度和NO浓度的控制结果. 在晴天工况下, 可以看出SRWNN的控制性能优于固定结构的RWNN, 进一步验证了SRWNN小波节点自组织机制的有效性. 与此同时, SRWNN的控制误差范围明显小于RWNN, 证明了与RWNN相比, 在晴天工况下SRWNN具有更好的控制性能.
在阴雨工况下, SRWNN的最大绝对控制误差出现在第9天到第10天左右, 与降雨引起入水的较大扰动有关. 图11和图12分别为DO和NO 操作变量的变化图, 可以看出, 通过调整 $ K_{La5} $ 和$ Q_a $ 的值能够进一步调节DO和NO浓度来跟踪设定值.
为了进一步验证SRWNN的控制性能, 在晴天工况下, 分别与固定结构的RWNN, NNOMC[25], RARFNNC[26]和DRFNNC[27]方法进行比较. 在阴雨工况下, 分别与RWNN和传统的PID方法进行比较. 比较结果如表1所示, 包括DO 浓度和NO 浓度的IAE, ISE和DEV_MAX的平均值, 其中No. 表示神经网络控制器隐藏节点或者小波节点的个数. 可以看出以上方法在设定值恒定不变时都有较高的精度. 但是, 与其他控制方法相比, SRWNN 控制器具有最小的IAE, ISE 和DEV_MAX, 控制精度更高. 此外, 与固定结构的RWNN相比, SRWNN在具有较少的小波节点的同时也能够获取较高的控制精度. 由以上分析可知, 针对污水处理过程的非线性和动态特性, SRWNN小波节点的自组织机制能够有效地提高控制的性能.
表 1 不同控制方法在恒定设定值时的性能比较Table 1 Performance comparison of different control methods at constant set-point工况 控制器 No. DO NO IAE ISE DEV_MAX IAE ISE DEV_MAX 晴天 SRWNN 3 5.66×10−4 1.63×10−6 0.0087 0.0036 7.61×10−5 0.0114 RWNN 5 0.0017 3.26×10−5 0.0526 0.0020 3.06×10−5 0.0540 NNOMC 10 0.0390* 5.31×10−4* 0.0725* 0.0490* 7.18×10−4* 0.1630* RARFNNC 4 0.0073* 1.61×10−4* 0.0104* 0.0126* 2.83×10−4* 0.1050* DRFNNC 6 0.0079* 1.82×10−4* 0.0154* 0.0085* 3.25×10−4* 0.0176* 阴雨 SRWNN 4 0.0041 1.75×10−4 0.1042 0.0101 9.80×10−4 0.1291 RWNN 5 0.0051 2.21×10−4 0.1434 0.0117 1.40×10−3 0.2244 PID — 0.0016 1.90×10−3 0.2038 0.0317 8.23×10−3 0.3233 注: “$*$”表示原文中的结果, “—”表示无相应数据. 3.3 变化设定值
在本节中, 采用阶跃变化的设定值, DO浓度和NO浓度的设定值分别如下
$$ S_{{\rm{DO}},set}=\begin{cases} 1.8\;{\rm{mg}}/{\rm{l}}, & 8\le t< 9\\ 2.2\;{\rm{mg}}/{\rm{l}}, & 9\le t< 10 \\ 2\;{\rm{mg}}/{\rm{l}}, & \text{其他} \end{cases} $$ (38) $$ S_{{\rm{NO}},set}=\begin{cases} 0.9\;{\rm{mg}}/{\rm{l}}, & 11\le t< 12\\ 1.1\;{\rm{mg}}/{\rm{l}}, & 12\le t< 13 \\ 1\;{\rm{mg}}/{\rm{l}}, & \text{其他} \end{cases} $$ (39) 其中, $t\in$[0, 14].
在不同工况下, SRWNN控制器小波节点的变化如图13所示. 可以看出, 当DO和NO 浓度的设定值变化的时候, 控制器小波节点的个数也能够跟随设定值的变化而自动增加和删减. 在晴天和阴雨两种工况下, 小波节点的最终个数都为3. 这证明了在设定值变化时自组织机制也是能够收敛的, 与稳定性证明的定理2 一致.
图14和图15分别给出了晴天工况下DO浓度和NO浓度的跟踪结果. 从图中可以看出当设定值发生阶跃变化时, SRWNN控制器仍然能够平稳地跟踪设定值. 与固定结构的RWNN相比, SRWNN的误差范围更小.
阴雨工况下的跟踪结果如图16和图17所示. 受到降雨的入水扰动的影响, 阴雨工况下控制结果的波动较大. 但是随着SRWNN控制器参数和结构的调整, DO 和NO浓度能够逐渐跟踪上其设定值. 与固定结构的RWNN 相比, SRWNN 可以自动调整控制器的结构以取得较高的控制精度. 操作变量的变化曲线如图18和图19所示, 从图中可以看出在设定值变化的情况下, 控制器也能对操作变量进行有效的调整.
为了验证SRWNN控制器在设定值变化时的性能, 在晴天工况下, 将SRWNN与固定结构的RWNN和PID控制方法进行比较; 在阴雨时, 与RWNN和RFNNC[28]进行比较. 表2归纳了比较的结果. 从表中可以看出, 与固定结构的RWNN相比, SRWNN 控制器能够根据不同的工况自动调整网络的结构, 获得更好的控制效果. 与此同时, 与其他控制方法相比, SRWNN控制具有最小的IAE, ISE和DEV_MAX. 实验结果证明在设定值固定和变化的情况下, SRWNN 都能够对污水处理过程进行精准的控制.
表 2 不同控制方法在变化设定值时的性能比较Table 2 Performance comparison of different control methods at changed set-point工况 控制器 No. DO NO IAE ISE DEV_MAX IAE ISE DEV_MAX 晴天 SRWNN 3 0.0067 3.68×10−6 0.0156 0.0061 1.64×10−4 0.0067 RWNN 5 0.0087 2.62×10−4 0.1156 0.0126 2.30×10−3 0.1116 PID — 0.0127 2.38×10−3 0.1038 0.0271 4.90×10−3 0.2184 阴雨 SRWNN 3 0.0047 1.10×10−4 0.0538 0.0065 3.18×10−4 0.1527 RWNN 5 0.0069 1.92×10−4 0.0644 0.0088 4.58×10−4 0.1781 RFNNC — 0.0240* 2.40×10−3* 0.0863 0.0260* 1.00×10−3* 0.1881* 注: “$*$”表示原文中的结果, “—”表示无相应数据. 4. 结束语
污水处理过程是一个典型的具有非线性的动态过程, 难以实现精准控制. 针对这个问题, 本文提出了一种基于SRWNN的多变量控制方法. 首先, 基于小波节点的激活强度设计了控制器的自组织机制, 根据该机制, SRWNN能够自动调整网络的结构以适应不同的工况. 然后, 提出了一种结合自适应学习率的在线学习算法对控制器的参数进行调整. 此外, 基于李雅普诺夫稳定性定理分析了控制方法的稳定性. 实验结果证明SRWNN能够有效地控制污水处理过程.
在未来的工作中, 考虑动态调整DO和NO浓度的设定值, 平衡污水处理过程的水质和能耗.
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表 1 不同控制方法在恒定设定值时的性能比较
Table 1 Performance comparison of different control methods at constant set-point
工况 控制器 No. DO NO IAE ISE DEV_MAX IAE ISE DEV_MAX 晴天 SRWNN 3 5.66×10−4 1.63×10−6 0.0087 0.0036 7.61×10−5 0.0114 RWNN 5 0.0017 3.26×10−5 0.0526 0.0020 3.06×10−5 0.0540 NNOMC 10 0.0390* 5.31×10−4* 0.0725* 0.0490* 7.18×10−4* 0.1630* RARFNNC 4 0.0073* 1.61×10−4* 0.0104* 0.0126* 2.83×10−4* 0.1050* DRFNNC 6 0.0079* 1.82×10−4* 0.0154* 0.0085* 3.25×10−4* 0.0176* 阴雨 SRWNN 4 0.0041 1.75×10−4 0.1042 0.0101 9.80×10−4 0.1291 RWNN 5 0.0051 2.21×10−4 0.1434 0.0117 1.40×10−3 0.2244 PID — 0.0016 1.90×10−3 0.2038 0.0317 8.23×10−3 0.3233 注: “$*$”表示原文中的结果, “—”表示无相应数据. 
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表 2 不同控制方法在变化设定值时的性能比较
Table 2 Performance comparison of different control methods at changed set-point
工况 控制器 No. DO NO IAE ISE DEV_MAX IAE ISE DEV_MAX 晴天 SRWNN 3 0.0067 3.68×10−6 0.0156 0.0061 1.64×10−4 0.0067 RWNN 5 0.0087 2.62×10−4 0.1156 0.0126 2.30×10−3 0.1116 PID — 0.0127 2.38×10−3 0.1038 0.0271 4.90×10−3 0.2184 阴雨 SRWNN 3 0.0047 1.10×10−4 0.0538 0.0065 3.18×10−4 0.1527 RWNN 5 0.0069 1.92×10−4 0.0644 0.0088 4.58×10−4 0.1781 RFNNC — 0.0240* 2.40×10−3* 0.0863 0.0260* 1.00×10−3* 0.1881* 注: “$*$”表示原文中的结果, “—”表示无相应数据.
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