Adaptive Antiswing Control for Underactuated Dual Overhead Crane System Using Neural Network
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摘要: 由于工业实践对运输能力提出了更高的要求, 双吊车的应用日益广泛. 然而其动力学模型非线性很强, 因此控制器结构十分复杂. 另一方面, 大型货物的摆动很难抑制, 这给双吊车的自动化带来了巨大的挑战. 为了处理以上问题, 首先, 采用神经网络准确地估计了系统的模型, 在此基础上提出了一种自适应防摆控制方法, 很好地实现了双吊车系统的防摆控制; 然后, 采用李雅普诺夫方法, 严格地证明了系统在平衡点的渐近稳定性; 最后, 通过大量的实验结果, 验证了该方法具有良好的性能.Abstract: There is a mounting application of dual overhead crane systems because of the higher requirements for transportation capacity in industrial practice. However, due to the strong nonlinearity of system dynamics, the designed controller is quite sophisticated. On the other hand, the swing of large cargos is more difficult to suppress, making the automation of dual overhead crane systems a huge challenge. To solve the above problems, an adaptive antiswing control method is proposed by utilizing a neural network to estimate the model of dual overhead crane systems, which achieves superior antiswing performance for dual overhead crane systems. Then, the asymptotic stability of the system at the equilibrium point is proved by the Lyapunov techniques. Finally, the control performance is validated by experimental results.
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Key words:
- Antiswing control /
- dual crane /
- adaptive control /
- neural network /
- underactuated system
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桥式吊车是港口、工地以及车间等场景中重要的运输工具. 作为欠驱动系统, 吊车通过一根吊绳可以完成各种货物的运输任务, 具备灵活性高以及能耗低的优点. 其控制目标往往包含台车精确定位和负载摆动抑制两方面[1]. 然而由于欠驱动系统的控制输入少于被控自由度, 实现负载快速消摆存在不小的挑战. 因此, 大量学者对上述问题进行了研究, 取得了丰硕的成果[2–5].
桥式吊车尽管具有很高的灵活性, 但是由于结构限制, 当负载又大又重时, 其运输能力不足以完成运输任务. 这时, 一般采用两辆台车协同运输大型货物, 这种系统称为双吊车桥式起重机系统(简称双吊车)[6]. 额外一辆吊车的加入大大提高了系统的灵活性以及运输能力, 然而相应地, 也给系统增加了新的几何约束, 使得系统状态之间的耦合更加复杂、非线性更强, 并且具有更多的被控自由度. 上述特性使得其控制器设计难度大大增加, 并且设计出的控制器往往结构十分复杂, 可能不能完全适用于所有的应用场景.
为了解决双吊车系统的控制问题, 早期一些学者对系统模型进行简化, 在此基础上设计出了几种输入整形器来控制双吊车[7–8]. 然而上述方法均对系统模型进行了线性化或者近似, 系统在受到扰动时上述方法不一定能完全保证其控制性能. Sun等[9]充分考虑了驱动器输出饱和问题, 针对双桅杆式吊车提出了一种输出反馈控制方法. 然而该方法基于系统精确模型设计, 没有为系统参数设计相应的自适应律. 此外, 为了提升双吊车系统的工作效率, Li等[10]分析了双吊车与双机械手之间的区别, 得到了双吊车协同吊运的约束条件, 在此基础上提出了一种双吊车自动吊运系统. 遗憾的是, 该文献中并未设计控制算法.
综上所述, 经过数年的研究, 双吊车领域还存在许多尚未解决的问题. 具体来说, 许多文献虽然通过对系统模型线性化、近似完成了系统的控制, 但是负载摆角的控制性能却不能完全保证. 更进一步地, 在运输任务或者系统参数发生变化时, 基于系统精确模型的控制器往往不能完全保证良好的控制性能. 在其系统受到扰动时, 负载将会产生幅度较大的摆动.
为了解决上述问题, 本文针对双吊车提出了一种自适应的防摆控制方法. 具体来说, 首先将系统有驱动状态以及无驱动状态结合, 构造了一个耦合流形面. 随后, 将系统模型与该流形面结合, 并采用神经网络(Neural network, NN)估计系统模型, 最终成功设计出自适应防摆控制器. 由于添加了更多的摆角信息进入控制器, 系统实现了良好的防摆性能. 此外, 采用神经网络估计系统模型, 使得本文方法能完成各种不同的控制任务. 最后, 大量的实验结果证明了本文方法具有良好的控制性能和防摆能力.
本文内容安排如下: 第1节给出了系统模型, 并阐明需要解决的控制问题; 第2节详细地说明了控制器的设计过程, 并严谨地分析了系统的稳定性; 第3节给出了实验结果, 并进行了分析; 第4节总结了本文工作并展望了后续的研究方向.
1. 问题描述
为了使描述简洁, 本文采用如下的简写形式:
$$\begin{aligned} &{{s_i} = \sin {\theta _i},\;{c_i} = \cos {\theta _i},\;{s_{i\; \pm \;j}} = \sin \left( {{\theta _i} \pm {\theta _j}} \right)}\\ &{{c_{i\; \pm \;j}} = \cos \left( {{\theta _i} \pm {\theta _j}} \right),\quad i,\;j = 1,\;2,\;3 \;(i \ne j)}\end{aligned}$$ 如图1所示, 两辆台车分别通过一根吊绳协同运输一个质量体积都很大的负载, 两根吊绳
$ l_1(t) $ 和$ l_2(t) $ 的长度均为$l\;(> 0)$ . 吊绳与负载的连接点分别为$ A_ {1} $ 和$ A_{2} $ , 它们之间的距离记为$ 2a $ . 台车1和台车2的质量为$ m_{1} $ 和$ m_{2} $ , 它们的驱动力用$ F_{1} $ 和$ F_{2} $ 表示, 位移为$ x_{1}(t) $ 和$ x_{2}(t) $ . 负载的质量用$ m $ 表示, 其摆角分别为$ \theta_{1} $ 、$ \theta_{2} $ 和$ \theta_{3} $ , 其质心与$ A_{1}A_{2} $ 之间的垂直距离为$ b $ .由于吊车的负载不会运行至轨道上方, 和许多吊车相关工作一样[7, 9, 11], 本文做出如下合理假设:
假设 1. 负载的摆角均是有界的, 如下所示:
$$ -\frac{\pi}{2}<\theta_{1},\ \theta_{2},\ \theta_{3},\ \left(\theta_{1}+\theta_{3}\right),\ \left(\theta_{2}+\theta_{3}\right)<\frac{\pi}{2} $$ (1) 假设 2. 形式为
$y = {\omega^{{\rm{T}}}\varphi \left({\upsilon^{\rm T}{{{x}}}} \right) + {\epsilon}}$ 的单隐藏层神经网络的输出层权值$ \omega $ 和估计误差$ \epsilon $ 有如下性质:$$ {\|{ \omega}\|} \le {{{\bar{ \omega}} }},\quad{\|{ \varphi}\|} \le {{{\bar{ \varphi}} }},\quad {{ \epsilon}} \le {{{\bar{ \epsilon}} }} $$ (2) 式中,
$ {\bar{ \omega}} $ 和$ {\bar{ \epsilon}} $ 为常数. 很多神经网络相关工作[12–14]也采用了类似的假设.充分考虑安全因素, 希望系统到达目标位置时负载处于水平位置. 为此, 系统的期望平衡点设置为:
$$ \begin{split} &\big[x_{1}\ \ x_{2}\ \ \theta_{1}\ \ \theta_{2}\ \ \theta_{3}\ \ \dot{x}_{1}\ \ \dot{x}_{2}\ \ \dot{\theta}_{1}\ \ \dot{\theta}_{2}\ \ \dot{\theta}_{3}\big]^{\rm T}=\\ & \qquad\big[x_{ 1d}\ \ x_{2d}\ \ \theta_{1 d}\ \ \theta_{2 d}\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\big]^{\rm T} \end{split} $$ (3) 式中,
$ x_{1d} $ 和$ x_{2d} $ 分别表示台车1和台车2的期望位置,$ \theta_1 $ 和$ \theta_2 $ 的期望值如下:$$ \theta_{1 d}=\arcsin \left(\frac{x_{ 2d}-x_{1d}-2 a}{2 l}\right)=-\theta_{2 d} $$ (4) 注 1. 在实际应用中, 两根绳长可能会有一些微小的差异(
$ l_1\neq l_2 $ ), 结合系统中存在的几何约束以及非完整约束, 这时摆角的期望值满足如下的非线性代数方程组:$$ \left\{ \begin{aligned} &l_{1}s_{1}-l_{2}s_{2}+2ac_{3}-(x_{2}-x_{1})=0 \\ &l_{1}c_{1}-l_{2}c_{2}+2as_{3} =0\\ &a(s_{1}c_{2+3}+s_2c_{1+3})+bs_{3}s_{1-2} =0 \end{aligned} \right. $$ (5) 对于
$ l_1= l_2 $ 的情形, 根据方程组(5)可计算出$ \theta_{1 d} $ 、$ \theta_{2 d} $ 和$ \theta_{3 d} $ 的解析解(4), 而对于$ l_1\neq l_2 $ 的情形则没有解析解, 但是可以通过Matlab计算出其数值解[11].同时, 为了保证台车安全到达目标位置, 要求参考轨迹具有如下性质:
$$ \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty } \dot{x}_{1d}(t),\ \dot{x}_{2d}(t),\ \ddot{x}_{1d}(t),\ \ddot{x}_{2d}(t)=0 $$ (6) 采用欧拉−拉格朗日方程, 可以得到双吊车系统的动力学方程:
$$ \begin{split} & m_{aa}\ddot{{{{q}}}}_{a}+m_{au}\ddot{q}_{u}+c_{aa}\dot{{{{q}}}}_{a}+c_{au}\dot{q}_{u}+G_{a} = {{{F}}} \\ & m_{ua}\ddot{{{{q}}}}_{a}+m_{uu}\ddot{q}_{u}+c_{ua}\dot{{{{q}}}}_{a}+c_{uu}\dot{q}_{u}+G_{u} = 0 \end{split} $$ (7) 其中
$$ \begin{split} &{m_{aa}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{11}}}&{{M_{12}}}\\ {{M_{21}}}&{{M_{22}}} \end{array}} \right],\;{m_{au}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{13}}}\\ {{M_{23}}} \end{array}} \right]\\ &{m_{ua}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{31}}}&{{M_{32}}} \end{array}} \right],\;{m_{uu}} = {M_{33}}\\ &{c_{aa}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{11}}}&{{C_{12}}}\\ {{C_{21}}}&{{C_{22}}} \end{array}} \right],\;{c_{au}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{13}}}\\ {{C_{23}}} \end{array}} \right],\;{G_a} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_1}}\\ {{G_2}} \end{array}} \right]\\ &{c_{ua}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{31}}}&{{C_{32}}} \end{array}} \right],\;{c_{uu}} = {C_{33}},\;{G_u} = {G_3}\\ &{{F}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_1}}\\ {{F_2}} \end{array}} \right],\;{q_u} = {\theta _1},\;{{{q}}_a} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] \end{split} $$ $ M_{ij},\ C_{ij},\ G_{i}, \ i,\ j=1,\ 2,\ 3 $ 的表达式见附录A. 与其他欠驱动系统一样,$M({{{q}}})$ 和$C({{{q}}}, \dot {{{{q}}}})$ 满足如下性质:$$ {{{x}}}^{\rm T} \left[\frac{1}{2}\dot M({{{q}}})-C({{{q}}}, \dot {{{{q}}}}) \right]{{{x}}}=0,\quad \forall\ {{{x}}} \in {{\bf{R}}}^3 $$ (8) 与其他欠驱动系统类似,
$M({{{q}}})$ 正定对称, 所以$m_{uu}^{ - 1}$ 也是正定的. 那么系统动力学方程(7)可转化为:$$ \begin{split} &\ddot{ q}_u = m_{uu}^{ - 1}(- {m_{ua}}{{\ddot {{{{q}}}}}_a} - {c_{ua}}{{\dot {{{{q}}}}}_a} - {c_{uu}}{{\dot q}_u} - {G_u}({{{{q}}}}) )\hfil\\ &{{\ddot {{{{q}}}}}_a}= {({m_{aa}} - {m_{au}}m_{uu}^{ - 1}{m_{ua}})^{ - 1}}[{{{F}}}-({c_{aa}}-\hfil\\ &\quad\quad\ {m_{au}}m_{uu}^{ - 1}{c_{ua}}){{\dot {{{{q}}}}}_a}-({c_{au}} - {m_{au}}m_{uu}^{ - 1}{c_{uu}}){{\dot q}_u}-\\ &\quad\quad\ ({{G_a}({{{q}}})- {m_{au}}m_{uu}^{ - 1}{G_u}( {{{q}}} )} )] \end{split} $$ (9) 2. 主要结果
2.1 控制器设计
本节采用误差变量及其导数构造一个流形面, 采用神经网络估计不确定的参数以及未知干扰, 最终设计出自适应的防摆控制器.
首先, 定义如下误差信号:
$$ \begin{split} &{{{e}}}_{1}=\left[\begin{array}{c} x_{1}-x_{1 d} \\ x_{2}-x_{2 d} \end{array}\right],\ {e}_{2}=\theta_{1}-\theta_{1 d} \Rightarrow \\ &\dot{{{{e}}}}_{1}=\left[\begin{array}{c} \dot{x}_{1}-\dot{x}_{1 d} \\ \dot{x}_{2}-\dot{x}_{2 d} \end{array}\right], \ \dot{{e}}_{2}=\dot{\theta}_{1} \end{split} $$ (10) 进一步构造了如下的耦合流形面:
$$ \begin{split} &{{{s}}}= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_1}}\\ {{s_2}} \end{array}} \right] = \dot {{{{e}}}}_{1} + {{\lambda}}_1 {{{e}}}_{1} + {{\alpha}}_2\dot{{e}}_{2} + {{\lambda}}_2{e}_{2}\Rightarrow \\ &\dot{{{{s}}}} = \ddot{{{{e}}}}_{1} + {{\lambda}}_1\dot{{{{e}}}}_{1} + {{\alpha}}_2\ddot{{e}}_{2} + {{\lambda}}_2\dot{{e}}_{2} \end{split} $$ (11) 其中
$$ \begin{aligned} {{\lambda}}_1=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{11} & 0 \\ 0 & \lambda_{12}\end{array}\right],\ {{\alpha}}_2=\left[\begin{array}{c}\alpha_{2} \\ 0\end{array}\right],\ {{\lambda}}_2=\left[\begin{array}{c}\lambda_{2} \\ 0\end{array}\right] \end{aligned} $$ 式中,
$ \lambda_{11} $ 、$ \lambda_{12} $ 、$ \alpha_{2} $ 和$ \lambda_{2} $ 均为正的控制增益. 将式(9)代入式(11), 经过计算和整理可得:$$ \dot{{{{s}}}} = {{{{M}}}_\alpha }( {{{{F}}} - {{{{N}}}_1}} )+{{{{N}}}}_2+{ \lambda}_1 \dot {{{{q}}}}_{a} +{{{\lambda}} _2}{\dot q_u}+{{{X}}} $$ (12) 其中
$$ \begin{split} &{{{{M}}}_\alpha } = ( {{{{I}}} - {{{\alpha}} _2}m_{uu}^{ - 1}{m_{ua}}}){({m_{aa}} - {m_{au}}m_{uu}^{ - 1}{m_{ua}})^{ - 1}}\\ &{{{{N}}}_1} = ({c_{aa}} - {m_{au}}m_{uu}^{ - 1}{c_{ua}}){\dot {{{{q}}}}_a} + ({c_{au}} - \\ &\quad\quad\ \ \,{m_{au}}m_{uu}^{ - 1}{c_{uu}}){{\dot q}_u} + ( {{G_a}( {{{q}}}) - {m_{au}}m_{uu}^{ - 1}{G_u}( {{{q}}} )} )\\ &{{{{N}}}_2} = - {{{\alpha}} _2}m_{uu}^{ - 1}{c_{ua}}{\dot {{{{q}}}}_a} - {{{\alpha}} _2}m_{uu}^{ - 1}{c_{uu}}{{\dot q}_u}- \\ &\quad\quad\ \ \,{{{\alpha}} _2}m_{uu}^{ - 1}{G_u}({{{q}}} )\\ &{{{X}}} =-[\ddot{x}_{1 d}\quad \ddot{x}_{2 d}]^{\rm T}-[\lambda_{11}\dot{x}_{1 d}\quad \lambda_{12}\dot{x}_{2 d}]^{\rm T} \\[-10pt]\end{split} $$ (13) 考虑到系统参数的变化, 为便于控制器设计, 将系统参数变化后的
${{{M}}}_{\alpha}$ 记为${{{M}}}_{\alpha\delta}$ , 定义${{{M}}}_{\alpha\delta}=$ ${{{M}}}_{\alpha}+\Delta{{{{M}}}_{\alpha}}$ . 由于系统参数变化后是未知的, 所以${{{M}}}_{\alpha\delta}$ 和$\Delta{{{{M}}}_{\alpha}}$ 都是未知的, 将其当作系统的干扰. 当系统参数变化后, 式(12)可重新整理如下:$$ \begin{split} \dot {{{{s}}}} =\; & {{{{M}}}_{\alpha }}{{{F}}} - {{{{M}}}_{\alpha }}{{{{N}}}_1} + \Delta {{{{M}}}_\alpha }\left( {{{{F}}} - {{{{N}}}_1}} \right)+ {{{{N}}}_2}+\\ & {{{\lambda}} _1}{\dot {{{{q}}}}_a} + {{{\lambda}} _2}{{\dot q}_u}+{{{X}}} = {{{{M}}}_{\alpha }}{{{F}}} +{{{N}}} + {{{\lambda}} _1}{\dot {{{{q}}}}_a} +\\ & {{{\lambda}} _2}{{\dot q}_u}+{{{X}}} \end{split} $$ (14) 式中,
${{{N}}}$ 是双吊车系统受到的未知干扰. 为了估计该未知干扰, 采用网络结构为输入层、一层隐藏层和输出层的全连接神经网络来近似${{{N}}}$ :$$ {{{N}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\omega_1^{\rm T}\varphi \left( {\upsilon_1^{\rm T}{{{x}}}} \right) + {\epsilon_1}}\ {\omega_2^{\rm T}\varphi \left( {\upsilon_2^{\rm T}{{{x}}}} \right)+ {\epsilon_2}} \end{array} } \right]^{\rm T}} $$ (15) 式中,
${{{x}}} =[{x_1}\ {x_2}\ {\theta _1}\ {{\dot x}_1}\ {{\dot x}_2}\ {{\dot \theta }_1}\ 1]^{\rm T}$ ,$ \varphi (z) $ 是一种激活函数,$ {\omega_1} $ 、$ {\omega_2} $ 、$ {\upsilon_1} $ 和$ {\upsilon_2} $ 表示神经网络输入输出层的权值,$ {\epsilon_1} $ 和$ {\epsilon_2} $ 是上界为$ {{\bar{ \epsilon}}_1} $ 和$ {\bar\epsilon_2} $ 的估计误差.基于上述分析, 构造如下的自适应防摆控制器:
$$ \begin{split} {{{F}}} =\;& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_1}}\\{{F_2}} \end{array}} \right] = - {{{M}}}_{\alpha }^{ - 1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k_{s1}}{s_1}+ {K_1}{\mathop{\rm sgn}} ( {{s_1}} )\\ {k_{s2}}{s_2}+ {K_2}{\mathop{\rm sgn}} ( {{s_2}} )\end{array}} \right] - \\ & {{{M}}}_{\alpha }^{ - 1}({{\hat N}}+ {{{\lambda}} _1}{\dot {{{{q}}}}_a} + {{{\lambda}} _2}{{\dot q}_u}+{{{X}}}) \\[-15pt] \end{split} $$ (16) 式中,
$ {k_{s1}} $ 和$ {k_{s2}} $ 是正的控制增益,${{\hat N}}$ 和$ \varphi (z) $ 的表达式为:$$ {{\hat N}}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat \omega_1^{\rm T}\varphi \left( {\hat { \upsilon}_1^{\rm T}x} \right)}\\ {\hat \omega_2^{\rm T}\varphi \left( {\hat { \upsilon}_2^{\rm T}x} \right)} \end{array}} \right], \ \varphi ( z ) = \frac{1}{{1 + {{\rm {e}}^{ - z}}}} $$ (17) $式中,\; {\hat \upsilon_1}$ 、$ {\hat \upsilon_2} $ 、$ {\hat \omega_1} $ 和$ {\hat \omega_2} $ 分别代表权值$ { \upsilon_1} $ 、$ {\upsilon_2} $ 、$ { \omega_1} $ 和$ { \omega_2} $ 的估计值, 它们的更新律设计为:$$ \begin{split} &\dot{\hat{\omega}}_{i}=b_{i} s_{i} \eta_{i}\left[\varphi\left(\hat{\upsilon}_{i}^{\rm T} {{{x}}}\right)-\dot{\varphi}\left(\hat{\upsilon}_{i}^{\rm T} {{{x}}}\right) \hat{\upsilon}_{i}^{\rm T} {{{x}}}\right] \\ &\dot{\hat{\upsilon}}_{i}=c_{i} s_{i} \gamma_{i} {{{x}}} \hat{\omega}_{i} \dot{\varphi}\left(\hat{\upsilon}_{i}^{\rm T} {{{x}}}\right),\quad i=1,\ 2 \end{split} $$ (18) 式中,
$ b_1 $ 、$ c_1 $ 、$ b_2 $ 和$ c_2 $ 是正的控制参数,$ \eta_{1} $ 、$ \gamma_{1} $ 、$ \eta_{2} $ 和$ \gamma_{2} $ 是正定的对角矩阵.为了便于分析, 定义神经网络估计误差如下:
$$ \begin{split} &{\rm{\psi }}_i={\omega_i^{\rm T}\varphi \left( {{ \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}} \right) - \hat \omega_i^{\rm T}\varphi \left( {\hat { \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}} \right) + {\epsilon_i}}\\ &\,{\tilde {\omega}}_i = {\omega_i} - {\hat \omega_i},\ {\tilde \upsilon_i} = {\upsilon_i} - {\hat \upsilon_i}, \quad i=1,\ 2 \end{split} $$ (19) $\varphi \left({{ \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}} \right)$ 在${ { \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}}$ 处的二次泰勒展开为:$$ \varphi \left( {{ \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}} \right) =\varphi \left( {{ \hat\upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}} \right)+ \dot{\varphi} \left( {\hat { \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}} \right)\tilde\upsilon_i^{\rm T}{{{x}}} + {\rm{O}}{\left( {\tilde \upsilon_i^{\rm T}{{{x}}}} \right)^2} $$ (20) 将式(20)代入式(19),
$ {{{\rm{\psi }}_1}} $ 和$ {{{\rm{\psi }}_2}} $ 可转化为如下形式:$$ \begin{split} {{\rm{\psi }}_i} =\ & \tilde \omega_i^{\rm T}\varphi \left( {\hat { \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}} \right) - \tilde \omega_i^{\rm T}\dot \varphi \left( {\hat { \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}} \right)\hat { \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}} + \\ & \hat \omega_i^{\rm T}\dot \varphi \left( {\hat { \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}} \right)\hat { \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}} + {{{\pi }}_i},\quad i=1,\ 2 \end{split} $$ (21) 其中
$${{\pi}_i} = {\tilde \omega}_i^{\rm T}\dot{\varphi} \left( {\hat { \upsilon}_i^{\rm T}{{{x}}}} \right)\upsilon_i^{\rm T}{{{x}}} + \omega_i^{\rm T}{\rm{O}}{\left( {\tilde \upsilon_i^{\rm T}{{{x}}}} \right)^2} + {\epsilon_i} $$ (22) 式中,
${\rm{O}}{\left({\tilde \upsilon_i^{\rm T }{{{x}}}} \right)^2}$ 是泰勒展开式高阶残余项. 根据文献[14], 在假设2的条件下,$ {{{\pi }}_1} $ 和$ {{\rm{\pi }}_2} $ 均有上界, 分别记为$ {{{{\bar{ \pi}} }}_1} $ 和$ {{{{\bar{ \pi}} }}_2}\ (>0) $ , 文献[15]也有类似结论.注 2. 由于神经网络具有很强的逼近能力, 对于欠驱动系统, 神经网络的引入能提升其面对参数不确定性、摩擦力等扰动的鲁棒性[13–14, 16–17]. 但绝大部分工作很难保证欠驱动状态渐近稳定[18]. 本文成功地将神经网络应用到存在几何约束的双吊车系统中, 并在理论上验证了该方法能保证有驱动状态和欠驱动状态, 同时渐近稳定.
2.2 稳定性分析
定理 1. 对于欠驱动双吊车系统(7), 所设计的控制器(16)以及神经网络更新律(18)能确保流形面以及神经网络权值及其估计值均有界.
证明. 首先选择如下的李雅普诺夫候选函数:
$$ \begin{split} V\left( t \right) = \;& \frac{1}{2}{{{{s}}}^{\rm T}}{{{s}}} + \frac{1}{{{2c_1}}}{\rm{tr}}\left( {\tilde { \upsilon}_1^{\rm T}{\gamma ^{ - 1}}{{\tilde { \upsilon}}_1}} \right) + \\ & \frac{1}{{2{c_2}}}{\rm{tr}}\left( {\tilde { \upsilon}_2^{\rm T}{\gamma ^{ - 1}}{{\tilde { \upsilon}}_2}} \right) + \frac{1}{{2{b_1}}}{\rm{tr}}\left( {\tilde \omega_1^{\rm T}{\eta ^{ - 1}}{{\tilde \omega}_1}} \right) + \\ & \frac{1}{{2{b_2}}}{\rm{tr}}\left( {\tilde \omega_2^{\rm T}{\eta ^{ - 1}}{{\tilde \omega}_2}} \right)\geq 0 \\[-10pt]\end{split} $$ (23) $ V\left(t \right) $ 关于时间的导数可求得为:$$ \begin{split} \dot{V}(t) =\; & {{{s}}}^{{\rm T}} \dot{{{{s}}}}+\frac{1}{c_{1}} \operatorname{tr}(\tilde{\upsilon}_{1}^{\rm T} \gamma^{-1} \dot{\tilde{\upsilon}}_{1})+\frac{1}{c_{2}} \operatorname{tr}(\tilde{\upsilon}_{2}^{\rm T} \gamma^{-1} \dot{\tilde{\upsilon}}_{2}) +\\ & \frac{1}{b_{1}} \tilde{\omega}_{1}^{\rm T} \eta^{-1} \dot{\tilde{\omega}}_{1}+\frac{1}{b_{2}} \tilde{\omega}_{2}^{\rm T} \eta^{-1} \dot{\tilde{\omega}}_{2} \\[-10pt]\end{split} $$ (24) 将控制器的表达式(16)、神经网络更新律(18)以及流形面导数表达式(14)代入式(24), 可得:
$$ \begin{split} \dot{V}(t)=\; & s_{1} \pi_{1} - K_{1}|s_{1}| - k_{s 1} s_{1}^{2}+ s_{2} \pi_{2}- K_{2}|s_{2}|-\\ & k_{s 2} s_{2}^{2}\le ( {{{{{{\bar{ \pi}} }}}_1} - {K_1}} )| {{s_1}}|+ ( {{{{{{\bar{ \pi}} }}}_2} - {K_2}} )| {{s_2}} | - \\ & {k_{s1}}s_1^2- {k_{s2}}s_2^2 \\[-10pt]\end{split} $$ (25) 如果按照如下条件选择控制增益
${K_{1}}和\ {K_{2}}$ :$$ {K_1} > {{{{{\bar{ \pi}} }}}_1},\ {K_2} > {{{{{\bar{ \pi}} }}}_2} $$ (26) 那么, 将会有如下结论成立:
$$ \begin{split} \dot{V}(t)\le\;&0\Rightarrow {{{s}}} ,\, {\tilde \omega_i},\, {\tilde \upsilon_i}\in{{\cal L}_\infty }\Rightarrow \\ &{\hat \omega_i},\, {\hat \upsilon_i},\,{ \omega_i},\, { \upsilon_i}\in{{\cal L}_\infty } \Rightarrow {{\rm{\psi }}_i}\in{{\cal L}_\infty }, \ i=1,\, 2 \end{split} $$ (27) 式(27)说明流形面
$ s $ 和神经网络权值及其估计值均是有界的, 进一步可得$ {{\rm{\psi }}_1} $ 和$ {{\rm{\psi }}_2} $ 也是有界的. □定理 2. 对于欠驱动双吊车系统(7), 所设计的控制器(16)以及神经网络更新律(18)能确保系统状态在有限时间内收敛至流形面.
证明. 构造如下的李雅普诺夫函数:
$$ V_1\left( t \right) = \frac{1}{2}{{{{s}}}^{\rm T}}{{{s}}} $$ (28) 基于式(14)和式(16)的结果,
$ V_1\left(t \right) $ 关于时间的导数可计算为:$$ \begin{split} {{\dot V_1}}( t )=\; & a {{s}}^{\rm T} \dot{{{{s}}}} \le a( {{{{{{\bar{ \psi}} }}}_1} - {K_1}} )| {{s_1}} | - a{k_{s1}}s_1^2 +\\ & a( {{{{{{\bar{ \psi}} }}}_2} - {K_2}} )| {{s_2}} |- a{k_{s2}}s_2^2 \end{split} $$ (29) 进一步选择增益
$ {K_{1}} $ 、$ {K_{2}} $ 满足如下条件:$$ {K_1} > \max \left\{ {{{{{{\bar{ \psi}} }}}_1},\ {{{{{\bar{ \pi}} }}}_1}} \right\},\ {K_2} > \max \left\{ {{{{{{\bar{ \psi}} }}}_2},\ {{{{{\bar{ \pi}} }}}_2}} \right\} $$ (30) 代入式(28), 将有如下结论成立:
$$ \begin{split} \dot{V}_1(t)\le\;&0\Rightarrow {{{s}}} = 0\ \Rightarrow \dot {{{{s}}}} = 0 \Rightarrow \\ & {{\dot {{{{e}}}}}_1} = - {\lambda _1}{{{{e}}}_1} - {\alpha _2}{{\dot {{{{e}}}}}_2} - {\lambda _2}{{{{e}}}_2}, \quad \forall t \ge {t_f} \end{split} $$ (31) 那么,
${{{s}}}$ 将会在有限时间$ t_{f} $ 内收敛至0. □定理 3. 对于欠驱动双吊车系统(7), 所设计的控制器(16)能保证系统在期望平衡点式(3)渐近稳定.
证明. 为了证明定理3, 定义如下辅助变量:
$$ {{\sigma}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_2}}\quad {{{\dot e}_2}}\quad {{{{{e}}}_1}} \end{array}} \right]^{\rm T}} $$ (32) 综合式(9)、式(11)、式(14)、式(16)和式(31)的结果,
${{\sigma}}$ 关于时间导数$\dot {{{\sigma}}}$ 可以求得:$$ {\dot{ {{\sigma}} }} = A{{{\sigma}}} + {{{H}}} + {{{B}}} $$ (33) 式中,
$A$ 、${{{H}}}$ 、${{{B}}}$ 的具体表达式如下:$$ \begin{split} &A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0\\ 0&0&1\\ { - {\lambda _2}}&{ - {\alpha _2}}&{ - {\lambda _{1}}} \end{array}} \right],\ {{{H}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {h\left( {{{\sigma}}} \right)} \\ {{{0}}}_{2\times1} \end{array}} \right]\\ &{{{B}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 &\ {{{X}}}_{\alpha}&\ {{{0}}}_{2\times1} \end{array}} \right]^{\rm T} \end{split} $$ (34) 式中, 残余非线性项
$h\left({{{\sigma}}} \right)$ 具体表达式计算如下:$$ \left\{\begin{aligned} &h\left( {{{\sigma}}} \right) = {{\ddot e}_2} - {{{Q}}}{{{{e}}}_1} -X_{\alpha} = -\big[ { {P_1}\big( {{{\sigma}}} \big){\lambda _2}}\ { {P_1}\big( {{{\sigma}}} \big){\alpha _2}} \\&\quad\quad\quad \ \; { {P_1}\big( {{{{\sigma}}}} \big){\lambda _1}} \big]{{{\sigma}}}+\big[0\quad {{P_2}\left( {{{\sigma}}} \right)}\quad 0\big]{{{\sigma}}}-\\ &\quad\quad\quad \ \; {{{Q}}}[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \end{array}} ]{{{\sigma}}} - {P_3}\left( {{{\sigma}}} \right) \\ &X_{\alpha}= m_{uu}^{ - 1}{m_{ua}}{( {I - {\alpha _2}m_{uu}^{ - 1}{m_{ua}}} )^{ - 1}}{{{X}}} \end{aligned}\right. $$ (35) 其中
$$\left\{ \begin{aligned} &{P_1}( {{{\sigma}}} ) = m_{uu}^{ - 1}{m_{ua}}{( {I - {{{\alpha}} _2}m_{uu}^{ - 1}{m_{ua}}} )^{ - 1}}( {{{\lambda}} _1}- \\ &\quad\quad\quad \ \ \, {\alpha _2}m_{uu}^{ - 1}{c_{ua}} ) - m_{uu}^{ - 1}{c_{ua}}\\ &{P_2}( {{{\sigma}}} ) = m_{uu}^{ - 1}{m_{ua}}{( {I - {{{\alpha}} _2}m_{uu}^{ - 1}{m_{ua}}} )^{ - 1}}( {{{\lambda}} _2}- \\ &\quad\quad\quad \ \ \, {\alpha _2}m_{uu}^{ - 1}{c_{uu}} ) - m_{uu}^{ - 1}{c_{uu}}\\ &{P_3}( {{{\sigma}}}) = m_{uu}^{ - 1}\Big[ {m_{ua}}( I - \\ &\quad\quad\quad \ \ \, {{{\alpha}} _2}{m_{uu}^{ - 1}{m_{ua}}} )^{ - 1}{{{\alpha}} _2}m_{uu}^{ - 1} +1 \Big]{G_u}( q ) \end{aligned}\right. $$ (36) 经过计算,
${{{H}}}$ 的上界为(计算过程详见附录B):$$ \| {h( {{{\sigma}}} )} \| \le {\rho _1}{\| {{{\sigma}}} \|^2} + {\rho _2}\left\| {{{\sigma}}} \right\| $$ (37) 式中,
$ {\rho _1} = {{\bar{ p}}_{11}}\left\| {{\Lambda }} \right\| + {{\bar{ p}}_{21}},\ {\rho _2} = {{\bar{ p}}_{12}}\left\| {{\Lambda }} \right\| + {{\bar{ p}}_{22}} $ .式(33)是一个近似线性系统, 要使
$ A $ 赫尔维兹, 按照如下条件调节选择增益即可:$$ \begin{split} {\lambda _{11}} &> 0,\ {\alpha _2} > 0,\ {\lambda _2} > 0\\ {\lambda _{12}}&> 0,\ {\alpha _2}{\lambda _{11}} - {\lambda _2} > 0 \end{split} $$ (38) 此时,
$ A $ 的根均为负根, 那么一定存在一个对称矩阵$ P $ , 使得$A^{\rm T}P+PA < -Q$ , 其中,$ Q $ 是一个正定的对称矩阵. 通过以上分析, 选择如下非负定的李雅普诺夫函数:$$ {V_2}\left( t \right) = {{{{\sigma}}} ^{\rm T}}P{{{\sigma}}} \ge 0 $$ (39) 将其对时间求导, 可得:
$$ {{\dot V}_2}\left( t \right) = - {{{{\sigma}}} ^{\rm T}}{{Q }}{{{\sigma}}} + 2{{{{\sigma}}} ^{\rm T}}{{{P }}}{{{H}}} + 2{{{{\sigma}}} ^{\rm T}}{{{P }}}{{{B}}} $$ (40) 下式中,
$ \beta_m $ 是$ Q $ 的最小特征值. 将式(37)代入式(40), 可得:$$ \begin{aligned} {{\dot V}_1}\left( t \right) \le& - {\beta_m}{\left\| {{{\sigma}}} \right\|^2} + 2\left\| {{{\sigma}}} \right\| \cdot \left\| {{{{P }}}} \right\| \cdot (\left\|{{{H}}} \right\| + \left\| {{{B}}} \right\|)\le\\ & \left\| {{{\sigma}}} \right\|\left( {{W_1} {{\left\| {{{\sigma}}} \right\|}^2} - {W_2} \left\| {{{\sigma}}} \right\| + {W_3}} \right) =\| {{{\sigma}}} \|Y \end{aligned} $$ 其中
$$ \begin{aligned} &{W_1} = 2{\rho _1}\left\| {{{{P}}}} \right\|,\ {W_3} = 2\left\| {{{{P }}}} \right\| \cdot \left\| {{{B}}} \right\| \\ &{W_2} = {\beta _m} - 2{\rho _2}\left\| {{{P}}} \right\| \end{aligned} $$ 由于
$ Y $ 是一个向上开口的二次函数, 因此当$ \beta_m $ 满足如下条件时:$$ {W_2}>0,\ \tau = W_{2}^{2} - 4{W_1}{W_3} > 0 $$ (41) 那么,
$\|\sigma\|\, (\; > 0 )$ 总会存在一个区间$(({L_2} - \sqrt \tau ) /{{(2{L_1})}}, \ ({{{L_2} + \sqrt \tau }}) /{{(2{L_1})}})$ 使得$ {{\dot V}_2}\left(t \right)<0 $ . 如果设定${{{\sigma}}}$ 的初值满足$\left\| {{{\sigma}}} (0) \right\| < ({{{L_2} + \sqrt \tau }}) /{{(2{L_1})}}$ , 那么由于${{\dot V}_2}\left(t \right) < 0$ ,${{{\sigma}}}$ 将持续减小至0, 即:$$ \begin{aligned} \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty }& \left\| {{{\sigma}}} \right\| = \frac{{{L_2} - \sqrt \tau }}{{2{L_1}}}\to 0 \Rightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty } {{{\sigma}}} = {{{{0}}_{4\times1}}}\Rightarrow \\ & \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty } {\left[ {{e_2}},{{{\dot e}_2}},{{{{{e}}}_1}}\right]^{\rm T}} = \left[ 0,0,{{{0}}_{2\times1}}\right]\Rightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty } {{\dot {{{{e}}}}}_1} = {{{0}}_{2\times1}} \end{aligned} $$ 式中, 采用了式(31)的结论. 根据式(10), 可以将上式整理为如下形式:
$$ \begin{aligned} \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty }&\big[x_{1}\ \ x_{2}\ \ \theta_{1}\ \ \theta_{2}\ \ \theta_{3}\ \ \dot{x}_{1}\ \ \dot{x}_{2}\ \ \dot{\theta}_{1}\ \ \dot{\theta}_{2}\ \ \dot{\theta}_{3}\big]^{\rm T}= \\ &\big[x_{ 1d}\ \ x_{2d}\ \ \theta_{1 d}\ \ \theta_{2 d}\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\big]^{\rm T} \end{aligned} $$ 上式说明本文设计的控制器(16)能保证系统状态渐近收敛至期望平衡点式(3). □
3. 实验结果
本节将通过大量的实验结果验证控制器的性能. 所搭建的实验平台如图2所示, 该实验平台是一个缩小比例的双吊车起重机, 两辆台车分别通过一根吊绳吊运一个大型的负载. 台车位置信号通过伺服电机内嵌的编码器获取, 摆角信号通过固定在每辆台车下面的编码器获取. 与其他相关工作类似[9, 11, 15, 18–19], 本实验中所采用的速度信号全部是通过对位置信号的数值微分获得的.
首先, 双吊车系统实验平台的参数为:
$$ \begin{array}{l} {m_1} = {m_2} = 4.6\ {\rm{ kg}},\ m = 4.12\ {\rm{ kg}}\\ l = 1\ {\rm{ m}},\ a = 0.45\ {\rm{ m}},\ b = 0.05\ {\rm{ m}} \end{array} $$ 台车1和台车2的目标位置分别设置为
$1.5\ {\rm{ m}}和$ $ 2.4\ {\rm{ m}} $ . 根据目标位置, 引入了如下的参考轨迹:$$ \begin{aligned} &{x_{1d}}\left( t \right) = 1.5\left( {1 - {{\rm {e}}^{ - 0.01{t^3}}}} \right)\ {\rm{m}}\\ &{x_{2d}}\left( t \right) = 1.5\left( {1 - {{\rm {e}}^{ - 0.01{t^3}}}} \right) + 0.9\ {\rm{m}} \end{aligned} $$ 台车1和台车2的初始位置设置为:
$$ {x_1}\left( 0 \right) = 0\ {\rm{ m}},\ {x_2}\left( 0 \right) = 0.9\ {\rm{ m}} \nonumber $$ 本文方法的控制增益调节为:
$$ \begin{aligned} &{K_1} =55,\ {K_2} = 40,\ k{s_1} = k{s_2} = 40 \\ &{\lambda _{11}}=40,\ {\lambda _{12}} = 45,\ {\alpha _2} = 0.006,\ {\lambda _2} = 0.01 \\ &\eta_1=\eta_2=\mathrm{diag}\{6,\cdots,6\}_{10\times10},\ b_1=b_2=0.1\\ &\gamma_1=\gamma_2=\mathrm{diag}\{8,\cdots,8\}_{7\times7},\ c_1=c_2=0.01 \end{aligned} $$ 在实验过程中, 本文方法控制增益不变.
3.1 实验1. 对比实验
由于目前关于双吊车研究成果较少, 因此在本组实验中, 将其与经典的比例微分(Proportion differential, PD)控制器、比例积分微分(Proportion integral differential, PID)控制器和线性二次型调节器(Linear quadratic regulator, LQR)控制器进行对比. PD控制器的结构和增益如下:
$$ {F_1} = - 155{e_{x1}} - 140{\dot e_{x1}},\quad{F_2} = - 70{e_{x2}} - 30{\dot e_{x2}} $$ PID控制器的结构及其控制增益配置如下:
$$ \begin{aligned} &{F_1} = - 200{e_{x1}} -20\int_{0}^{t}e_{x1}\mathrm{d}t - 100{\dot e_{x1}} \\ &{F_2} = - 70{e_{x2}} -3\int_{0}^{t}e_{x1}\mathrm{d}t - 30{\dot e_{x2}} \end{aligned} $$ 将双吊车系统在平衡点线性化, 选择LQR的性能泛函为
$J=0.5\displaystyle\int_{0}^{\infty} ({{{y}}}_i^{\rm T}Q_i{{{y}}}_i+R_iF_i^2)\ \mathrm{d}t, \ i = 1, 2$ , 其中,${{{y}}}_i=[e_{xi}\ \ \dot e_{xi}\ \ \theta_i(t)\ \ \dot \theta_i(t)],\ i = 1,\ 2.$ $ Q $ 和$ R $ 分别配置为$ Q_i=\mathrm{diag}\{90,\ 40,\ 1,\ 1\} $ ,$ R_i=0.01 $ ,$i = 1,\ 2$ . 经过计算, LQR控制器的表达式最终为:$$ \begin{aligned} & {F_i} = - 94.87{e_{xi}} - 73.16{\dot e_{xi}}+29.37\theta_i +0.75\dot \theta_i,\\ &\;\;\;\;\;\;\; i = 1,\ 2 \end{aligned} $$ 为了验证本文方法对不确定摩擦力的鲁棒性, 实验中假设不完全知道摩擦力的具体形式, 只对其按照如下的表达式部分补偿:
$$ f_{1}=f_{2}=15\mathrm{tanh}(500\dot x_1)+10\dot x_1|\dot x_1| \nonumber $$ 按照上式部分补偿摩擦力, 对比方法不能驱动台车1到达期望位置, 因此需要更精确地补偿台车1的摩擦力:
$$ f_{1}=25\mathrm{tanh}(500\dot x_1)+15\dot x_1|\dot x_1| \nonumber $$ 为了更加清晰地对比本文方法与对比方法性能差异, 引入了如下性能指标:
1)
$e_{ixs},\; i = 1,\ 2$ . 台车稳定后与平衡点之间的位移差, 即$ e_{ixs}=(x_{i}(t)-x_{id})_{\dot x_1=\dot x_2=0} $ .2)
$\Delta_{x{\rm{max}}},\ \Delta_{x{\rm{min}}}$ . 两辆台车之间最大距离和最小距离, 即$\Delta_{x{\rm{max}}} = \mathrm{max} _{t\in{{\bf{R}}}^{+}}\{x_{2}(t) - x_{1}(t)\}$ 、$\Delta_ {x{\rm{min}}} = \mathrm{min}_{t\in{{\bf{R}}}^{+}}\{x_{2}(t)-x_{1}(t)\}$ .3)
$\theta_{i{\rm{max}}},\;i = 1,\ 2,\ 3$ . 在系统运行过程中, 摆角的最大值, 即$\theta_{i{\rm{max}}}=\mathrm{max}_{t\in {{\bf{R}}}}\{| \theta_{i}(t)| \}$ .4)
$\theta_{ires},\; i = 1,\ 2,\ 3$ . 台车到达平衡点后, 摆角的最大值, 即$ \theta_{ires}=\mathrm{max}_{\dot x_1=\dot x_2=0}\{| \theta_{i}(t)| \} $ .第1组实验结果如图3和图4所示, 控制器的性能指标见表1 (粗体数值表示最优). 由图3和图4可以看出, 3种方法均能完成控制任务, 被控量最终收敛至平衡点, 但是本文方法具有更优越的性能. 具体来说, 尽管两辆台车的摩擦力有着较大的差异, 本文方法的神经网络能动态补偿部分摩擦力, 使得两辆台车能更好地跟踪轨迹. 如图3中
$ x_1 $ 和$ x_2 $ 的实验结果所示, 本文方法两辆台车具有几乎完全相同的运行轨迹. 表1中最后两项性能指标$\Delta_{x{\rm{max}}}$ 和$\Delta_{x{\rm{min}}}$ 更加清晰地说明了这一点, 本文方法两辆台车之间的距离很好地保持在$ 0.9\pm0.005\,{\rm{ m}} $ 以内, 而PD控制器和LQR控制器的两辆台车之间的距离的最大值和最小值远远大于本文方法. 另一方面, 表1中$ e_{1xs} $ 这项指标说明PD控制器和LQR控制器的台车1均存在较大的静差, 而本文方法两辆台车的静差都最小. 由图3变量$ x_1 $ 中实线曲线可以看出, PID控制器尽管极大地减小了台车的静差, 却给台车1带来了超调.
图 4 实验1: 系统控制输入$F_1$ 、$F_2$ 和神经网络权值$W_1$ 、$W_2$ 、$V_1$ 、$V_2$ 的范数Fig. 4 Experiment 1: The control input$F_1,\ F_2$ of system and the norm of the NN weights$W_1,\ W_2,\ V_1,\ V_2$ 表 1 实验1的性能指标Table 1 Performance indices of Experiment 1性能指标 本文方法 PD LQR PID SMC $e_{1xs}\,({\rm{ m}})$ ${\bf{-0.003}}$ −0.028 −0.032 −0.007 0.001 $e_{2xs}\,({\rm{ m}})$ −0.003 −0.004 −0.004 −0.004 ${\bf{-0.001}}$ $\theta_{1{\rm{max}}}\,(^\circ)$ ${\bf{0.582}}$ 7.149 3.666 7.746 1.357 $\theta_{2{\rm{max}}}\,(^\circ)$ ${\bf{0.636}}$ 5.908 4.387 5.401 2.481 $\theta_{3{\rm{max}}}\,(^\circ)$ ${\bf{0.002}}$ 0.472 0.187 0.452 0.056 $\theta_{1res}\,(^\circ)$ ${\bf{0.293}}$ 4.160 3.350 1.515 1.274 $\theta_{2res}\,(^\circ)$ ${\bf{0.000}}$ 2.926 3.053 1.273 1.145 $\theta_{3res}\,(^\circ)$ ${\bf{0.000}}$ 0.085 0.068 0.016 0.001 $\Delta_{x{\rm{max}}}\,({\rm{ m} })$ ${\bf{0.905}}$ 0.924 0.994 0.920 0.938 $\Delta_{x{\rm{min} } }\,({\rm{ m} })$ ${\bf{0.899}}$ 0.749 0.848 0.697 0.894 由图3中
$ \theta_1 $ 、$ \theta_2 $ 和$ \theta_3 $ 的实验曲线可以看出, 由于本文方法具有更好的跟踪效果, 所以$ \theta_1 $ 和$ \theta_2 $ 具有相似的形状, 同时$ \theta_3 $ 几乎为零. 由表1中可以看出, 本文方法在负载运行过程中摆角最大值$\theta_{i{\rm{max}}}$ 和残余摆角$ \theta_{ires} $ 均为最小. 然而对比方法均不能协同控制两辆台车, 这使得负载摆动剧烈. 这一点可以从图3中看出, 对比方法$ \theta_1 $ 和$ \theta_2 $ 的实验曲线并不对称, 并且在系统稳定后, 负载仍存在幅度较大的残余摆动. 因此本文方法更能抑制负载的摆动, 并且能快速消除残余摆动. 综上所述, 本组实验验证了本文方法具有更好的控制性能和消摆效果.3.2 实验2. 鲁棒性验证
为了进一步验证本文方法的性能, 将本文方法与文献[19] 的滑模控制器(Sliding mode controller, SMC)进行了对比. 调整SMC的控制增益
$k_{s1}= 20$ , 其余实验参数与文献[19] 中一致. SMC第1组实验结果与本文方法具有相似的结果, 相应的实验指标见表1. 本组实验测试了2种方法在以下3种情况下的鲁棒性(相应的控制输入与实验1类似):1)参数不确定性: 将负载更换为
$m =9.1\ {\rm{ kg}}$ (提高121%), 吊绳与负载连接点之间的距离$ A_1A_2 $ 变为$2a = 0.5\; {\rm{ m}}$ (降低44%), 绳长分别缩短为$l_1= 0.8\; {\rm{ m}}$ (降低20%)、$l_2 = 0.6\ {\rm{ m}} \,$ (降低40%), 给两辆台车增加配重使其质量分别变为$m_1 = 6.652\; {\rm{kg}}$ (提高45%)、$m_2 = 5.782\ {\rm{ kg}}\,$ (提高26%).2)初始负载摆动: 在
$ l_1 $ 、$ l_2 $ 不等($ l_1 =0.8\ {\rm{ m}} $ 、$ l_2 = 0.6\ {\rm{ m}} $ 、$2a = 0.5\ {\rm{ m}})$ 与相等的两种情形下, 给负载施加初始的摆动来干扰系统.3)不同运输任务: 台车1的初始值以及目标位置不变, 台车2的初始值为
$ {x_2}\left(0 \right) = 0.7\ {\rm{ m}} $ , 两辆台车期望位置分别为$ x_{1d}=1.4\ {\rm{ m}} $ 、$ x_{2d}=2.3\ {\rm{ m}} $ .为了充分验证本文方法对模型的估计能力, 本组实验较大幅度地改变了所有的系统参数, 摆角的初始值以及期望值变为:
$ \theta_1(0) =\theta_{1d}=20.43^{\circ} $ 、$\theta_2(0)= \theta_{2d}=-14.48^{\circ}$ 、$ \theta_3(0)=\theta_{3d}=-19.72^{\circ} $ . 由于$ l_1\neq l_2 $ , 那么$ \theta_{1d} $ 、$ \theta_{2d} $ 不再满足式(4)中的关系, 此时$ \theta_{1d} $ 、$ \theta_{2d} $ 、$ \theta_{3d} $ 可以通过方程组(5)来计算. 由图5中$ \theta_1 $ 、$ \theta_2 $ 和$ \theta_3 $ 的实验曲线可以看出, 由于本文方法采用的神经网络准确地补偿了参数变化带来的影响, 和对比方法相比其负载摆角更小. 由图5中$ x_1 $ 和$ x_2 $ 的实验曲线可知, 由于台车质量变化, 对比方法驱动的两辆台车在停止时距离目标位置存在不小的距离.图6给出了负载在受到初始摆角扰动后的实验结果, 可以看出, 本文方法相较于对比方法, 具有更好的消摆能力. 而对于在
$ l_1\neq l_2 $ 时给负载施加扰动, 由图5可知, 本文方法依然能较好地完成控制任务, 负载残余摆幅在$ 1^{\circ} $ 左右.本组实验测试了2种方法在运输任务发生变化时的性能, 实验结果见图7. 两辆台车的初始距离为
$ x_2(0)-x_1(0) $ $ =0.7<2a=0.9\ {\rm{ m}} $ , 同时摆角的初始值以及期望值分别为:$ \theta_1(0)= $ $ -\theta_2(0)=5.74^{\circ} $ 、$ \theta_{1d}=-\theta_{2d}=0^{\circ} $ . 如图7所示, 本文方法能完成不同的控制任务, 在其控制下, 系统状态全部最终稳定至期望值. 而对比方法台车2存在明显的静差, 使得负载摆角没能到达期望角度. 上述实验结果有力地证明了本文方法在面各种扰动时具备足够的鲁棒性.4. 结束语
为了促进双吊车系统的自动化, 提升系统安全性和稳定性, 本文研究了一种自适应的防摆方法. 具体来说, 将双吊车摆角和位移变量耦合, 构造了一个流形面. 并将系统模型与该流形面结合, 采用神经网络估计系统模型, 最终成功设计出自适应防摆控制器. 采用李雅普诺夫方法, 严格地证明了系统在平衡点的渐近稳定性. 最后, 与已有方法的对比实验, 证明了本文方法具有良好的控制性能和防摆性能.
本文引入神经网络使双吊车系统具备了足够的鲁棒性. 由于双吊车系统的负载较重, 往往会使驱动器输出饱和, 这时控制器的性能将会下降, 甚至不能抑制负载摆动. 另一方面, 由于本文研究的对象偏向于工业应用, 因此在实际工业装备上测试更能验证本文方法的性能. 未来的工作将会着重于解决上述问题, 以进一步完善控制算法.
附录A
为了使叙述更为简洁,
$ C_{ij}, \ i=1,\ 2, $ $ j=1,\ 2,\ 3 $ 可以通过性质(8)计算, 本文将不再给出. 系统模型变量表达式如下(其他未列出的变量可参考文献[11]):$$ \begin{split} &{M_{i3}} = \left( {\frac{1}{4}ml{c_1} + \frac{1}{4}ml{c_2}{g_\theta } - \frac{1}{2}mb{c_3}{h_\theta }} \right) +\\ &\quad\quad \ \ \, {g_i}\left( {\frac{1}{4}m{l^2}{c_{1 - 2}} + \frac{1}{4}m{l^2}{g_\theta } - \frac{1}{2}mbl{c_{2 + 3}}{h_\theta }} \right)+\\ &\quad\quad \ \ \, {h_i}\left( { - \frac{1}{2}mbl{c_{1 + 3}} - \frac{1}{2}mbl{c_{2 + 3}}{g_\theta } + m{b^2}{h_\theta }} \right)\\ &{M_{21}} = M_{12},\ {M_{31}} =M_{13},\ M_{32}=M_{23} \\ &{M_{33}} = \left( {\frac{1}{4}m{l^2} + \frac{1}{4}m{l^2}{c_{1 - 2}}{g_\theta } - \frac{1}{2}mbl{c_{1 + 3}}{h_\theta }} \right)+ \\ &\quad\quad \ \ \, {g_\theta }\left( {\frac{1}{4}m{l^2}{c_{1 - 2}} + \frac{1}{4}m{l^2}{g_\theta } - \frac{1}{2}mbl{c_{2 + 3}}{h_\theta }} \right)+\\ &\quad\quad \ \ \, {h_\theta }\left( { - \frac{1}{2}mbl{c_{1 + 3}} - \frac{1}{2}mbl{c_{2 + 3}}{g_\theta } + m{b^2}{h_\theta }} \right)\\ &{G_i} = \frac{1}{2}mgl{s_2}{g_i} + mgb{s_3}{h_i}\\ &{G_3} = \frac{1}{2}mgl{s_1} + \frac{1}{2}mgl{s_2}{g_\theta } + mgb{s_3}{h_\theta } \\ &{C_{3i}} = \bigg( \frac{1}{4}m{l^2}{c_{1 - 2}}g_i^{'} - \frac{1}{2}mbl{c_{1 + 3}}h_i^{'} + \frac{1}{4}m{l^2}{s_{1 - 2}}{{\dot \theta }_2}{g_i}+\\ &\quad\quad \ \ \, \frac{1}{2}mbl{s_{1 + 3}}{{\dot \theta }_3}{h_i} \bigg)+\\ &\quad\quad \ \ \, {g_\theta }\bigg( \frac{1}{4}m{l^2}g_i^{'} - \frac{1}{2}mbl{c_{2 + 3}}h_i^{'} + \frac{1}{2}mbl{s_{2 + 3}}{{\dot \theta }_3}{h_i} \bigg)+\\ &\quad\quad \ \ \, {h_\theta }\bigg( - \frac{1}{2}mbl{c_{2 + 3}}g_i^{'} + m{b^2}h_i^{'} + \frac{1}{2}mbl{s_{2 + 3}}{{\dot \theta }_2}{g_i} \bigg)\\ &{C_{33}} = \bigg( \frac{1}{4}m{l^2}{c_{1 - 2}}g_\theta ^{'} - \frac{1}{2}mbl{c_{1 + 3}}h_\theta ^{'} + \frac{1}{4}m{l^2}{s_{1 - 2}}{{\dot \theta }_2}{g_\theta }+\\ &\quad\quad \ \ \, \frac{1}{2}mbl{s_{1 + 3}}{{\dot \theta }_3}{h_\theta } \bigg)+mbl{s_{2 + 3}}{{\dot \theta }_2}{g_\theta }{h_\theta } +\\ &\quad\quad \ \ \, {g_\theta }\bigg( - \frac{1}{4}m{l^2}{s_{1 - 2}}{{\dot \theta }_1} + \frac{1}{4}m{l^2}g_\theta ^{'} - \frac{1}{2}mbl{c_{2 + 3}}h_\theta ^{'}\bigg) +\\ &\quad\quad \ \ \, {h_\theta }\bigg( \frac{1}{2}mbl{s_{1 + 3}}{{\dot \theta }_1} - \frac{1}{2}mbl{c_{2 + 3}}g_\theta ^{'} + m{b^2}h_\theta ^{'}\bigg),\ i=1,\ 2 \\\end{split} \tag{A1}$$ 式中,
$ g_1 $ 、$ g_2 $ 、$ g_{\theta} $ 和$ h_1 $ 、$ h_2 $ 、$ h_{\theta} $ 分别为$ \theta_2 $ 、$ \theta_3 $ 对$ x_1 $ 、$ x_2 $ 、$ \theta_1 $ 的偏导数, 表达式为:$$ \begin{split} &g_{1}=\frac{c_{3}}{l c_{2+3}}=-g_{2}, \quad h_{1}=-\frac{s_{2}}{2 a c_{2+3}}=-h_{2}\\ &g_{\theta} = \frac{c_{1+3}}{c_{2+3}}, \quad h_{\theta} = \frac{l s_{1-2}}{2 a c_{2+3}} \end{split}\tag{A2} $$ 附录B
由于
$h\left({{{\sigma}}} \right)$ 是一个高阶非线性项, 很难定量给出其上界, 为此只给出了其定性的上界, 即上界的形状. 为了使描述清晰, 按照步骤1 ~ 2证明式(37)的结论:证明. 步骤 1. 首先分析
${P_1}\left({{{\sigma}}} \right)$ 、${P_2}\left({{{\sigma}}} \right)$ 、${P_3}\left({{{\sigma}}} \right)$ 的上界, 按照下面两种情形来讨论:B.1
$ {{\sigma}}\to0 $ 在这种情形下, 系统状态变量的具有如下的特性:
$$ \begin{split} &{{{\boldsymbol{e}}}_1},\ {e_2} \to 0 \Rightarrow {x_i} \to {x_{1d}},\ {\theta _i} \to {\theta _{id}},\ {\theta _3}\to 0 \\ &{{\dot {{{\boldsymbol{e}}}}}_1},\ {{\dot e}_2} \to 0 \Rightarrow {{\dot x}_i} \to 0,\ {{\dot \theta }_i} \to 0,\ {\dot \theta _3} \to 0,\quad i=1,\ 2 \end{split}\tag{B1} $$ 将式(B1)代入式(A2),
$ g_1 $ 、$ g_2 $ 、$ h_1 $ 、$ h_2 $ 、$ g_{\theta} $ 和$ h_{\theta} $ 的上界分别为:$$ \begin{split} &{g_1} = - {g_2} \le \sqrt {{l^2} - {{\left( {\frac{{{x_2} - {x_1} - 2a}}{2}} \right)}^2}}={A_1} \\ &{h_1} = - {h_2} \le \frac{{{x_2} - {x_1} - 2a}}{2{A_1}}={A_2},\ {g_\theta } \to 1,\ {h_\theta } \to 0 \end{split} \tag{B2}$$ 根据式(B2)的结果,
$ {\dot \theta }_1 $ 、$ {\dot \theta }_2 $ 、$ {\dot \theta }_3 $ 的上界可求得:$$ \begin{split} {{\dot \theta }_1} =& {{\dot e}_2} = [ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0 \end{array}} ]{{{\sigma}}}\Rightarrow \left\| {{{\dot \theta }_1}} \right\| \le \left\| {{{\sigma}}} \right\| ,\\ {{\dot \theta }_2} =& {g_1}{{\dot x}_1} - {g_1}{{\dot x}_2} + {g_\theta }{{\dot \theta }_1} \le \Big\|\Big[[- {g_1}{\lambda _{11}} \quad {g_1}{\lambda _{12}}]\\ &{g_\theta } - {g_1}{\alpha _2} \quad - {g_1}{\lambda _2} \Big]\Big\| \left\| {{{\sigma}}} \right\| \le {A_3} \cdot \left\| {{{\sigma}}} \right\| ,\\ {{\dot \theta }_3} =& {h_1}{{\dot x}_1} - {h_1}{{\dot x}_2} + {h_\theta }{{\dot \theta }_1} \le \Big\|\Big[[- {h_1}{\lambda _{11}} \quad {h_1}{\lambda _{12}}]\\ &{h_\theta } - {h_1}{\alpha _2} \quad - {h_1}{\lambda _2} \Big]\Big\| \left\| {{{\sigma}}} \right\|\le {A_4} \cdot \left\| {{{\sigma}}} \right\| \end{split} \tag{B3}$$ $ g_1 $ 、$ g_2 $ 、$ h_1 $ 、$ h_2 $ 、$ g_{\theta} $ 和$ h_{\theta} $ 关于时间导数的上界可以按如下过程求取:$$ \begin{split} &g_\theta ^{'} \le \tan {\theta _{1d}}\left( {1 + 2{A_3} + {A_4}} \right)\left\| {{{\sigma}}} \right\| \le {A_5}\left\| {{{\sigma}}} \right\| \\ &h_\theta ^{'} \le \frac{{{l^2}}}{{2a{A_1}}}\left( {1 + {A_3}} \right)\left\| {{{\sigma}}} \right\| \le {A_6}\left\| {{{\sigma}}} \right\| \\ &g_1^{'} = - g_2^{'} \le \frac{{\tan {\theta _{1d}}}}{{{A_1}}}\left( {{A_3} + {A_4}} \right)\left\| {{{\sigma}}} \right\| \le {A_7}\left\| {{{\sigma}}} \right\| \\ &h_1^{'} = - h_2^{'} \le \frac{1}{{2a}} \Big[ \tan^2 \theta _{1d}({A_3} +{A_4} ) + {A_3} \Big]\| {{{\sigma}}} \| \le {A_8}\| {{{\sigma}}} \|\\ \end{split} \tag{B4}$$ 将上述结论代入
$ {M_{31}} $ 、$ {M_{32}} $ 、$ {M_{33}} $ 、$ {C_{31}} $ 、$ {C_{32}} $ 、$ {C_{33}} $ 和$ {G_{3}} $ 的表达式可以求取其上界为:$$ \begin{aligned} &{M_{31}} \le \frac{1}{2}m{A_2} + \frac{1}{2}m{l^2}{A_1} + mblA_2^2= {A_9} \\ &{M_{32}} \to \frac{1}{2}m{A_2} + \frac{1}{2}m{l^2}{A_1} - mblA_2^2={A_{10}}\le{A_9} \\ &{C_{31}},{C_{32}} \le \bigg( \frac{1}{2}m{l^2}{A_7} + mbl{A_2}{A_8} +mbl{s_{1d}}{A_2}{A_4} \bigg)\left\| {{{\sigma}}} \right\|=\\ &\quad \quad \quad \quad \quad {A_{12}}\left\| {{{\sigma}}} \right\|\\ & G_{3}\le\ mgl=A_{14},\ {M_{33}} \le m{l^2}={A_{11}} \\ &{C_{33}} \le \left( {\frac{1}{2}m{l^{2}}{A_7} + mbl{A_2}{A_6}} \right)\left\| {{{\sigma}}} \right\|={A_{13}}\left\| {{{\sigma}}} \right\| \end{aligned} $$ 经过计算,
${P_1}\left({{{\sigma}}} \right)$ 、${P_2}\left({{{\sigma}}} \right)$ 、${P_3}\left({{{\sigma}}} \right)$ 的上界为:$$ \begin{split} \left\| {{P_1}\left( {{{\sigma}}} \right)} \right\| &\le \frac{A_{11}^{ - 1}}{A_{15}}(A_{9}{\lambda _{11}}+{\lambda _{12}})+2\frac{A_{11}^{ - 1}}{A_{15}}{A_{12}}\left\| {{{\sigma}}} \right\|\le A_{16}+\\ &A_{17}\left\| {{{\sigma}}} \right\| \\ \left\| {{P_2}\left( {{{\sigma}}} \right)} \right\| &\le \frac{A_{11}^{ - 1}}{A_{15}}A_{9}{\lambda _{2}}+\frac{A_{11}^{ - 1}}{A_{15}}{A_{13}}\left\| {{{\sigma}}} \right\|\le A_{18}+A_{19}\left\| {{{\sigma}}} \right\| \\ \left\| {{P_3}\left( {{{\sigma}}} \right)} \right\| &\le A_{11}^{ - 2}\left(\frac{A_{9}}{A_{15}}+1\right)A_{14}\le A_{20} \end{split}\tag{B5} $$ 式中,
$ A_{15}=\big|{1 - M_{33}^{ - 1}{\alpha _2}{M_{31}}}\big|>0. $ 在上述分析过程中,$A_{i},\ i= 1, \ 2,\ \cdots,\ 20$ 均为正常数.B.2
$ {{\sigma}}\to\infty $ 情形2的计算过程和结果与情形1一致, 因此本文不再重复. 经过上述分析,
${P_1}\left({{{\sigma}}} \right)$ 、${P_2}\left({{{\sigma}}} \right)$ 的上界最终可以确定为关于${{{\sigma}}}$ 线性函数, 而${P_3}\left({{{\sigma}}} \right)$ 的上界则为常数, 即:$$ \left\| {{P_i}\left( {{{\sigma}}} \right)} \right\| \le {p_{i1}}\left\| {{{\sigma}}} \right\| + {p_{i2}}, \ \left\| {{P_3}\left( {{{\sigma}}} \right)} \right\| \le {p_3},\ i=1,\ 2 \tag{B6} $$ 式中,
$ {p_{11}} $ 、$ {p_{12}} $ 、$ {p_{21}} $ 、$ {p_{22}} $ 和$ {p_{3}} $ 均为足够大的正常数.步骤 2. 进一步分析如下两种情形下
$h\left({{{\sigma}}} \right)$ 的上界.B.2.1
${{\sigma}}\to0$ 在这种情形下,
${P_3}\left({{{\sigma}}} \right) > 0$ . 将式(B6)代入式(35)能得到如下的结论:$$ \begin{split} h\left( {{{\sigma}}} \right) <& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {P_1}\left( {{{\sigma}}} \right){\lambda _2}}&{ - {P_1}\left( {{{\sigma}}} \right){\alpha _2}}&{ - {P_1}\left( {{{\sigma}}} \right){\lambda _1}} \end{array}} \right]{{{\sigma}}}+\\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{P_2}\left( {{{\sigma}}} \right)}&0 \end{array}} \right]{{{\sigma}}} - Q\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \end{array}} \right]{{{\sigma}}}\le \\ & \left\| \Lambda \right\|({p_{11}}\|{{{\sigma}}}\|^2 +{p_{12}}\left\| {{{\sigma}}} \right\|)+ ({p_{21}}\|{{{\sigma}}}\|^2 + {p_{22}}\left\| {{{\sigma}}} \right\|) +\\ & \left\| {{{\sigma}}} \right\|={\bar{ h}} \end{split} \tag{B7}$$ 式中,
$ {{\Lambda }} = \left[{- {\lambda _2}}\quad{ - {\alpha _2}}\quad{ - {\lambda _1}} \right]. $ B.2.2
$ {{\sigma}}\to\infty $ 与情形1的计算过程类似, 能得到如下不等式:
$$ h\left( {{{\sigma}}} \right) \le{\bar{ h}} + {p_3} \tag{B8} $$ 因为
$\left\| {{{\sigma}}} \right\|\to \infty$ ,$ p_3 $ 是一个正数, 所以可以忽略$ p_3 $ . 综合式(B7)和式(B8)的结论可得:$$ h\left( {{{\sigma}}} \right) \le ({{\bar{ p}}_{11}}\left\| \Lambda \right\| + {{\bar{ p}}_{21}})\|{{{\sigma}}}\|^2 + ({{\bar{ p}}_{12}}\left\| \Lambda \right\| + {{\bar{ p}}_{22}})\left\| {{{\sigma}}} \right\| $$ 式中,
$ {{\bar{ p}}_{11}} $ 、$ {{\bar{ p}}_{12}} $ 、$ {{\bar{ p}}_{21}} $ 、$ {{\bar{ p}}_{22}} $ 均为正常数. □ -
图 4 实验1: 系统控制输入
$F_1$ 、$F_2$ 和神经网络权值$W_1$ 、$W_2$ 、$V_1$ 、$V_2$ 的范数Fig. 4 Experiment 1: The control input
$F_1,\ F_2$ of system and the norm of the NN weights$W_1,\ W_2,\ V_1,\ V_2$ 表 1 实验1的性能指标
Table 1 Performance indices of Experiment 1
性能指标 本文方法 PD LQR PID SMC $e_{1xs}\,({\rm{ m}})$ ${\bf{-0.003}}$ −0.028 −0.032 −0.007 0.001 $e_{2xs}\,({\rm{ m}})$ −0.003 −0.004 −0.004 −0.004 ${\bf{-0.001}}$ $\theta_{1{\rm{max}}}\,(^\circ)$ ${\bf{0.582}}$ 7.149 3.666 7.746 1.357 $\theta_{2{\rm{max}}}\,(^\circ)$ ${\bf{0.636}}$ 5.908 4.387 5.401 2.481 $\theta_{3{\rm{max}}}\,(^\circ)$ ${\bf{0.002}}$ 0.472 0.187 0.452 0.056 $\theta_{1res}\,(^\circ)$ ${\bf{0.293}}$ 4.160 3.350 1.515 1.274 $\theta_{2res}\,(^\circ)$ ${\bf{0.000}}$ 2.926 3.053 1.273 1.145 $\theta_{3res}\,(^\circ)$ ${\bf{0.000}}$ 0.085 0.068 0.016 0.001 $\Delta_{x{\rm{max}}}\,({\rm{ m} })$ ${\bf{0.905}}$ 0.924 0.994 0.920 0.938 $\Delta_{x{\rm{min} } }\,({\rm{ m} })$ ${\bf{0.899}}$ 0.749 0.848 0.697 0.894 
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