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摘要: 欠驱动双足机器人在行走中为保持自身的平衡, 双脚需要不间断运动. 但在仅有特定立足点的离散地形上很难实现调整后的落脚点, 从而导致欠驱动双足机器人在复杂环境中的适应能力下降. 提出了基于虚拟约束(Virtual constraint, VC)的变步长调节与控制方法, 根据欠驱动双足机器人当前状态与参考落脚点设计了非时变尺度缩放因子, 能够实时重构适应当前环境的步态轨迹; 同时构建了全身动力学模型, 采用反馈线性化的模型预测控制 (Model predictive control, MPC) 滚动优化产生力矩控制量, 实现准确的轨迹跟踪控制. 最终进行了欠驱动双足机器人的随机离散地形稳定行走的仿真实验, 验证了所提方法的有效性与鲁棒性.Abstract: To keep the balance of the underactuated biped robot during walking, its feet need to move continuously. However, it is difficult to achieve the adjusted foothold on the discrete terrain with only a specific foothold, which decreases the adaptability of underactuated biped robots in complex environments. This paper proposes a variable step-size adjustment and control method based on virtual constraints (VC). Time-invariant scaling factors are designed according to the underactuated biped robot＇s current state and reference point, which can reconstruct the gait trajectory by adapting to the current environment in real-time. Meanwhile, the whole body dynamics model is constructed. The torque control is generated by rolling optimization using model predictive control (MPC) with feedback linearization to achieve accurate trajectory tracking control. Finally, an underactuated biped robot walking stably on random discrete terrain is simulated to verify the effectiveness and robustness of the proposed method.
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双足机器人在复杂环境中的运动适应能力是其走向应用的重要指标之一. 近年来双足机器人的动态运动得到大量研究, 其在复杂环境中的适应能力有了很大提升[1-2]. 但传统全驱动位置控制机器人由于动态性限制, 很难在崎岖地形中灵活运动. 而欠驱动双足机器人由于本身具有的动态特性, 表现出很强的地形适应性[3]. 这类机器人的脚踝具有1个或0个驱动关节, 所以脚板通常会被点足替代, 因此欠驱动双足机器人像人类高跷运动一样需要交替迈动双脚完成行走功能. 由于灵活的运动能力通常需要连续地形环境, 相比能够实现准确落脚位置[4]的全驱动位置控制双足机器人[5-7], 采用关节力矩控制方法[8]的欠驱动双足机器人缺少精确的落脚点控制以保证自身平稳通过随机离散地形环境. 因此使欠驱动双足机器人具备精确落脚控制能力可以扩大其应用场景, 活动范围覆盖全地形环境, 进而完成任务式运动需求.
欠驱动双足机器人的动态行走研究近几年得到巨大突破, 但行走环境被限定为连续地形. Kim等[9]提出的基于落脚点调节的全身运动优化控制, 使机器人成功在室内进行三维行走; Luo等[10]提出一种三维欠驱动双足机器人整体操作空间控制框架, 观测质心状态更新控制周期与步长位置, 实现了鲁棒平衡; Daneshmand等[11]提出了可变尺度模型预测控制 (Model predictive control, MPC) 框架, 通过实时修正落脚点实现室内三维运动; 为了获得更鲁棒的控制效果, 早期Westervelt等[12]提出了混合零动力 (Hybrid zero dynamic, HZD) 的控制方法, 离线构建多个步态库, 通过在线调节使二维机器人在平地上进行行走, 随后该方法被推广至三维运动控制中, 已经实现连续起伏地形下的三维行走[13-14]. 而Matthew等[15]在HZD基础上使用基于快速指数稳定控制Lyapunov方程的模型预测控制方法, 获得了机器人二维动态行走能力. Guo等[16]提出基于质心模型预测的步态合成规划方法, 能够在线实时控制三维机器人稳定行走. Gong等[3]在此基础上增加了实时摆动腿角度调节, 使得机器人能够在草地、雪地等复杂环境行走. 虽然上述方法的控制形式不同, 但都并未将落脚位置作为最终控制目标, 本质都是通过落脚点位置控制机器人的运动速度, 因此无法实现期望步长的控制. 并且, 上述研究方法的测试场景都是连续不平整地面或起伏的草地, 当环境出现如石头等离散立足点时, 这些控制方法将出现很大局限性.
欠驱动双足机器人在随机离散地形中的运动控制在上述问题中被深入研究, 主要思想是步长的实时修正. Negri等[17]应用神经网络训练出不同步长可调节的被动步态参考生成器, 使用非线性MPC跟踪参考轨迹, 但只应用在被动步行中. 姚渊等[18]提出了基于自适应前馈控制算法的变步长稳定运动控制策略, 通过改变步长与质心参考跟踪速度, 成功实现了机器人的非连续地面行走. Yao等[19]针对人体变步长步态特征, 提出基于质心状态的前馈控制策略, 将变高度等效于坡度变化控制, 实现了连续台阶行走仿真. 由于欠驱动双足机器人与地面接触点上自由度的不可控原因, 机器人在摆动中的状态不能准确预测与控制[20], 并且这种随时间变化的步行轨迹很容易受外界扰动出现提前触地的情况, 造成自身的不稳定.
为了解决这一问题, Grizzle等[21]提出通过虚拟约束 (Virtual constraint, VC) 建立机器人状态与控制目标变量间关系的方法. 这种方法虽然在动力学特性上与机械约束不同, 但运动学特性能够满足机器人步态的要求. 在此基础上, Yang等[22]提出在全身动力学模型上设计多个动态周期步态并预先获得控制器, 实现了步态库每一个元素的精准切换, 尽管这种方法可实现不同步长步行, 但控制器数量呈指数增长. Nguyen等[23]建立了长度和高度地形离散信息, 在HZD基础上通过离线轨迹优化获得不同的步态库, 在已知下一步离散落脚点后插值控制参数得到所需的步态. 但当机器人自由度增多时, 非线性优化求解困难, 并且对未构建的地形适应能力减弱[24].
为避免离线优化问题并实现在线实时调节, 以增强欠驱动双足机器人离散地形的鲁棒性, 在前期动态运动控制的工作基础上[25-26], 本文提出基于虚拟约束的变步长调节方法. 其创新点如下:
1) 提出VC参数化的尺度缩放因子实时调节方法, 不仅将机器人实时状态与参考轨迹建立关系, 并构建行走中的步态轨迹, 还能在不同步长与高度需求间在线任意衔接;
2) 为实现步态轨迹的精确跟踪, 使用反馈线性化的MPC控制实现期望的规划步态跟随控制;
3) 采用平面欠驱动双足机器人模型进行了多种随机离散地形的稳定行走控制和算法的仿真验证.
本文结构内容安排如下: 首先建立了欠驱动双足机器人动力学模型, 然后详细描述了基于非时变尺度缩放因子的步态规划设计方法, 之后阐述了基于反馈线性化的MPC轨迹跟踪控制算法, 随后展示了在不同场景的离散地形下实时稳定运动的仿真结果, 最后是总结与展望部分.
1. 欠驱动双足机器人动力学模型
基于欠驱动双足机器人行走运动的周期性和对称性, 可以将运动分为单脚支撑期和双脚碰撞冲击期两个阶段. 忽略双脚支撑状态, 摆动脚瞬间触地碰撞后成为下一阶段的支撑腿, 而原本的支撑腿变为摆动腿, 进而形成步态循环. 考虑实际机器人结构, 使用多连杆刚体动力学简化模型构建该过程. 如图1所示, 机器人模型拥有5个连杆, 包括1个躯干
$ \text{tor} $ 、2个大腿$ \text{fem} $ 和2个小腿$ \text{tib} $ , 以及2个髋关节$ \text{hip} $ 和2个膝关节$ \text{knee} $ . 各连杆动力学参数有长度$ {L_\upsilon } $ 、质量$ {m_\upsilon } $ 、相对关节的质心位置$ {l_\upsilon } $ 和转动惯量$ {I_\upsilon } $ , 其中$ \upsilon \in [\text{tor},\text{fem},\text{tib}] $ , 默认左右腿参数相同.1.1 单脚支撑模型
在机器人单脚支撑期时, 如图1左图所示, 脚与地面的接触认为是铰接触, 机器人无滑动, 即模型为固定基座的运动链. 因此以接触点为原点建立x-z平面坐标系,
$ {\theta _1} $ 表示支撑腿小腿与坐标轴$ z $ 方向的夹角, 而$ {\theta _2},{\theta _3},{\theta _4},{\theta _5} $ 依次是下一连杆相对上一连杆的夹角, 如图1中图所示, 使用虚线表示上一连杆, 规定顺时针为正方向.通过牛顿−欧拉方程可得到单脚支撑模型的动力学方程:
$$ \begin{align} D({q_s}){\ddot q_s} + N({q_s},{\dot q_s}) + G({q_s}) = Bu \end{align} $$ (1) 其中,
${q_s} = {\left[ {{\theta _1}}\;\;{{\theta _2}}\;\;{{\theta _3}}\;\;{{\theta _4}}\;\;{{\theta _5}} \right]^{\text{T}}}$ 表示单脚支撑模型的广义坐标系;$ {\dot q_s},{\ddot q_s} $ 分别是其一阶和二阶导数. 这里$ D({q_s}) \in {{{\bf{R}}}^{5 \times 5}} $ 是惯量矩阵,$ N({q_s},{\dot q_s}) \in {{{\bf{R}}}^{5 \times 1}} $ 是科氏力向量,$ G({q_s}) \in {{{\bf{R}}}^{5 \times 1}} $ 是重力向量,$ B \in {{{\bf{R}}}^{5 \times 4}} $ 是力矩选择矩阵:$$ \begin{align} B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{0}}^{1 \times 4}}}\\ {\bf{1}}^4 \end{array}} \right] \end{align} $$ (2) $ \bf{0} $ 表示全零矩阵,$ \bf{1} $ 表示单位矩阵, 上角标均表示维度. 因为模型自由度为5, 但是关节驱动力矩$u = {\left[ {{u_1}}\;\;{{u_2}}\;\;{{u_3}}\;\;{{u_4}} \right]^{\text{T}}}$ 只有4个, 即仅机器人的2个髋关节和2个膝关节是主动自由度, 这也是模型为欠驱动的原因.设
$x = {\left[ {{q_s}^{\text{T}}}\;\;{{{\dot q}_s}^{\text{T}}} \right]^{\text{T}}}$ 为系统状态向量, 则由式(1)可得单脚支撑期非线性控制系统的状态方程:$$ \begin{split} \dot x = \;&\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot q}_s}}\\ { - {D^{ - 1}}({q_s})(N({q_s},{{\dot q}_s}) + G({q_s}))} \end{array}} \right]}_{f(x)}+\\ &\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{0}}^{5 \times 4}}}\\ {{D^{ - 1}}({q_s})B} \end{array}} \right]}_{g(x)}u \end{split} $$ (3) 其中,
$ \dot x $ 是$ x $ 的一阶导数. 为简化表达式, 之后的公式同样采用大括号的形式替代大型矩阵, 如式(3)中的$ f(x) $ 和$ g(x) $ .1.2 碰撞模型
欠驱动双足机器人碰撞模型被描述为摆动腿与地面的瞬间碰撞, 进而导致速度产生突变而位置不变的映射模型. 该模型已被大量使用在机器人运动控制中, 详细的理论推导过程请参考文献[12]. 设
${x^ + } = {[ {( q_s^ + {)^{\text{T}}}}\;\;{{{(\dot q_s^ + )}^{\text{T}}}} ]^{\rm{T}}}$ 是碰撞后的系统状态,$ S $ 是碰撞发生时的状态判定域. 状态判定域可以包括摆动腿在支撑腿前、摆动腿末端高度为零等. 则当$ x $ 处于$ S $ 时, 满足离散更新的条件:$$ \begin{align} \begin{array}{*{20}{c}} {{x^ + } = \Delta (x),}&{x \in S} \end{array} \end{align} $$ (4) $ \Delta :{{{\bf{R}}}^{10 \times 1}} \to {{{\bf{R}}}^{10 \times 1}} $ 表示碰撞映射关系, 即将碰撞前后的机器人状态进行关联. 因此, 平面欠驱动双足机器人可以被一个由连续时间动态方程式(3)和一个离散更新方程式(4)组成的混合非线性冲击系统完整描述.$$ \left\{ \begin{aligned} &\dot x = f(x) + g(x)u,&x \notin S\\ & {x^ + } = \Delta (x),&{x \in S} \end{aligned} \right. $$ (5) 2. 基于虚拟约束的尺度缩放因子设计
VC能够建立多个变量间的相互关系, 因此可以使双足机器人步态不依赖于时间变化, 而只依赖自身的运动学状态. 通过尺度因子调节变量间比例关系即可快速生成不同环境需求下的步态轨迹并在运行中随时修正. 基于VC的尺度缩放可以简化运动学的规划, 但会间接设计出一组零动力学. 本文并不通过设计的零动力学产生周期轨道运动, 但为了使拥有混杂动力学的系统轨迹相容, 通过切换后的平滑处理来减小跳变的发生.
2.1 行走步态的虚拟约束设计
在欠驱动双足机器人行走运动中, 上身姿态、摆动腿轨迹和支撑腿长度的设计规划非常重要[9-10, 12, 14-16], 它们共同组成了运动步态. 如图2所示, 由于平面欠驱动双足机器人只有4个驱动自由度, 因此行走步态中规划4个控制目标即可. 为了避免计算腿部逆运动学以及由于欠驱动自由度导致的不可控量, 本文分别选择上身与竖直方向的夹角
$ {\alpha_{\text{tor}}} $ 、支撑腿髋关节的竖直高度$ {z_{\text{hip}}} $ 、摆动腿末端$ {\text{foot}} $ 的竖直高度$ {z_{\text{foot}}} $ 和水平位置$ {x_{\text{foot}}} $ 进行规划设计. 而为构建VC关系, 需要选择机器人运动过程中单调递增的状态作为相变量$ \delta $ . 如图2选择机器人髋关节与支撑点的水平距离$ {x_{\text{hip}}} $ , 即$ \delta = {x_{\text{hip}}} $ , 这是因为机器人在向前或向后运动中$ {x_{\text{hip}}} $ 能够单调递增或递减. 以上各位置均可由正运动学计算得到. 接下来, 首先规划平地行走时虚拟约束设计, 然后在此基础上表述变步长与高度的尺度缩放因子的设计.为稳定欠驱动双足机器人行走运动, 通常控制上身姿态
$ {\alpha _{\text{tor}}} $ 为恒定的目标角度$ \alpha _{\text{tor}}^{\text{ref}} $ , 而通过模型可知$ {\alpha _{\text{tor}}} = {\theta _1} + {\theta _2} + {\theta _3} $ 与相变量$ \delta $ 无关, 因此只需要设定控制目标:$$ \begin{align} {\theta _1} + {\theta _2} + {\theta _3} - \alpha _{\text{tor}}^{\text{ref}} = 0 \end{align} $$ (6) 机器人在平地行走时, 稳定运动的基本条件就是周期性的步态, 在实际中的体现为碰撞后的运动状态是下一运动阶段的开始. 为了步态的周期对称性, 摆动腿和支撑腿的相关轨迹采用一元二次方程的约束规划方式, 具体操作如下: 设定固定的单步步长为
$ {L_{\text{step}}} $ (在碰撞阶段两脚的水平距离), 为了使机器人在设定的步长上运动, 需要满足摆动腿末端在$ {x_{\text{foot}}} = {L_{\text{{step}}}} $ 时$ {z_{\text{foot}}} = 0 $ 以保证双足碰撞阶段的发生, 进而切换到下一单脚支撑阶段. 同时设髋关节时刻保持在两腿末端中间以稳定质心状态, 因此摆动腿末端关于髋关节与支撑点应满足对称条件:$$ \begin{align} {x_{\text{foot}}} - 2\delta = 0 \end{align} $$ (7) 而摆动腿末端参考高度
$ z_{\text{foot}}^{\text{ref}} $ 在直立时(即$ \delta = 0 $ )达到最大抬腿量$ z_{\text{foot}}^{\max } $ , 在到达目标步长时为0. 如图2摆动脚轨迹, 形成一个抬腿下踩的类人运动形式, 则:$$ \begin{align} z_{\text{foot}}^{\text{ref}}(\delta ) = \frac{{0 - z_{\text{foot}}^{\max }}}{{{{\left( {\frac{{{L_{\text{step}}}}}{2}} \right)}^2}}}{\delta ^2} + z_{\text{foot}}^{\max } \end{align}\tag{8a} $$ $$ \begin{align} {z_{\text{foot}}} - z_{\text{foot}}^{\text{ref}}(\delta ) = 0 \end{align} \tag{8b}$$ 由于上述约束, 在平地行走时相变量将被限制在一个取值范围
$ - 0.5{L_{\text{step}}} \le \delta \le 0.5{L_{\text{step}}} $ 内. 这也符合目标落脚点的要求, 即机器人不应该超出目标步长, 从而进一步保证机器人不会踩空.支撑腿的重要作用是保持上身的高度基本保持不变, 如图2所示髋轨迹. 因此, 控制支撑腿髋关节期望高度
$ z_{\text{hip}}^{\text{ref}} $ 在相变量边界时达到最小值$ z_{\text{hip}}^{\min } $ , 在相变量取0时达到最大值$ z_{\text{hip}}^{\max } $ , 则有:$$ \begin{align} z_{\text{hip}}^{\text{ref}}(\delta ) = - \frac{{z_{\text{hip}}^{\max } - z_{\text{hip}}^{\min }}}{{{{\left( {\frac{{{L_{\text{step}}}}}{2}} \right)}^2}}}{\delta ^2} + z_{\text{hip}}^{\max } \end{align} \tag{9a}$$ $$ \begin{align} {z_{\text{hip}}} - z_{\text{hip}}^{\text{ref}}(\delta ) = 0 \end{align} \tag{9b}$$ 2.2 变步长与变高度的尺度缩放设计
当下一步落脚点水平距离不等于固定步长
$ {L_{\text{step}}} $ (在碰撞阶段两脚的水平距离)时, 需要改变式(8a)和式(9a), 并考虑上一步和下一步步长信息, 以获得平滑的虚拟约束轨迹. 在上述平地行走的VC参数设计之上, 通过设计尺度缩放因子就可以适应不同步长与高度的地形行走. 假设已知当前一步的参考落脚点, 如图3所示, 设定上一步步长为$ L_{\text{step}}^l $ 和相对地面高度为$ H_{\text{step}}^l $ , 而当前目标步长为$ L_{\text{step}}^c $ 及相对地面高度为$ H_{\text{step}}^c $ , 这些量都是相对支撑点. 需要说明的是, 由于碰撞冲击阶段的转换及以支撑点为坐标原点的原因, 在碰撞发生后, 当前相对地面高度变成上一步高度时满足取反变换, 即$ H_{\text{step}}^l = - H_{\text{step}}^c $ .欠驱动双足机器人能够准确落脚在规划的目标步长和高度的本质原理就是在机器人摆动腿末端到达期望目标时与环境发生碰撞, 从而切换进入下一单脚支撑期. 由上文行走步态的VC设计可知, 摆动腿末端有2个控制量, 分别是竖直高度
$ z_{\text{foot}} $ 和水平位置$ x_{\text{foot}} $ . 其中$ x_{\text{foot}} $ 被实时控制在2倍于相变量$ \delta $ 的目标上, 因此可以通过缩放当前步长, 控制竖直高度$ z_{\text{foot}} $ 在目标步长时等于0, 进而达到控制步长的目的.因此设定改变步长的尺度缩放因子
$\gamma = {{L_{\text{step}}}} / {L_{\text{step}}^c}$ , 可将式(8a)修改为:$$ \begin{align} z_{\text{foot}}^{\text{ref}}(\delta ) = \frac{{0 - z_{\text{foot}}^{\max }}}{{{{\left( {\frac{{{L_{\text{step}}}}}{2}} \right)}^2}}}{(\gamma \cdot \delta )^2} + z_{\text{foot}}^{\max } \end{align} $$ (10) 由于机器人的机械响应限制, 作为参考轨迹需要连续且没有较大跳变, 但由于每一步的目标步长是离散的, 因此需要对步长尺度缩放因子在发生碰撞后进行平滑过渡处理:
$$ \begin{align} \left\{ {\begin{aligned} &{\gamma = {L_{{\text{step}}}}(\frac{{\chi (\delta )}}{{L_{{\text{step}}}^l}} + \frac{{1 - \chi (\delta )}}{{L_{{\text{step}}}^c}})}\\ &{\chi (\delta ) = \left\{ {\begin{aligned} &{\frac{{2|\delta |}}{{L_{{\text{step}}}^l}}},&{\delta < 0} \\ & 0,&{\delta \ge 0} \end{aligned}} \right.} \end{aligned}} \right. \end{align} $$ (11) 即当相变量大于等于0后, 调节目标步长固定不变. 需要强调的是, 式(11)中的平滑处理仍然只取决于相变量而不依赖时间的变化. 可以想象当机器人向后倒回时, 摆动腿仍然能够回退到起脚时的着地点, 而不会踩到其他地方, 从而进一步增强自身的稳定性.
同样, 在平地变步长的基础上增加落脚高度调节时, 核心思想是在达到期望步长时到达期望高度, 因此调节着地时的落脚高度如下:
$$ \begin{align} \left\{ {\begin{aligned} &{z_{{\text{foot}}}^{{\text{ref}}}(\delta ) = \frac{{0 - z_{{\text{foot}}}^{\max }}}{{{{\left( {\frac{{{L_{{\text{step}}}}}}{2}} \right)}^2}}}{{(\gamma \cdot \delta )}^2} + z_{{\text{foot}}}^{\max } + \lambda }\\ &{\lambda = \chi (\delta )H_{{\text{step}}}^l + \kappa (\delta )H_{{\text{step}}}^c}\\ &{\kappa (\delta ) = \left\{ {\begin{aligned} &0,&{\delta \le 0} \\ &{\frac{{2|\delta |}}{{L_{{\text{step}}}^c}}},&{\delta > 0} \end{aligned}} \right.} \end{aligned}} \right. \end{align} $$ (12) 高度尺度缩放因子
$ \lambda $ 通过平滑函数$ \chi (\delta ) $ 和$ \kappa (\delta ) $ 在上一步与下一步高度间过渡. 当相变量为0时摆动腿保持原来的抬脚高度是为了保证机器人的平稳运动, 而摆动腿不会踢碰到障碍物.由图3所示, 由于落脚高度的改变且机器人坐标原点在支撑点上的坐标系变化, 因此两个支撑期间切换时虚拟约束中的支撑腿髋关节高度会产生跳变. 通过调整
$ z_{\text{hip}}^{\max },z_{\text{hip}}^{\min } $ 避免上述跳变发生, 设发生碰撞时髋关节相对碰撞点的位置为$ (x_{\text{hip}}^c,z_{\text{hip}}^c) $ , 则下一支撑期起始时刻支撑腿髋关节参考高度应为$ z_{\text{hip}}^c $ , 由式(9a)可计算下一阶段VC的髋关节高度参数:$$ \begin{align} z_{\text{hip}}^{\min } = \frac{{(z_{\text{hip}}^c - z_{\text{hip}}^{\max }){{\left( {\frac{{{L_{\text{step}}}}}{2}} \right)}^2}}}{{{{(z_{\text{hip}}^c)}^2}}} + z_{\text{hip}}^{\max } \end{align} $$ (13) 为适应不同高低地面起伏, 其中
$ z_{\text{hip}}^{\max } $ 为在当前状态下增加适当的调节量$ \sigma $ , 不与上一步站立高度相同:$$ \begin{align} \begin{array}{*{20}{c}} {z_{\text{hip}}^{\max } = z_{\text{hip}}^c + \sigma ,}&{Z_{\text{hip}}^{\min } \le z_{\text{hip}}^{\max } \le } \end{array}Z_{\text{hip}}^{\max } \end{align} $$ (14) 其中,
$ Z_{\text{hip}}^{\min } $ 和$ Z_{\text{hip}}^{\max } $ 分别是支撑腿髋关节最小和最大可达高度, 避免机器人蹲的过低或因过高导致反关节的发生.3. 基于反馈线性化的MPC轨迹跟踪控制
在上述轨迹规划基础上, 需要通过控制驱动关节的力矩使机器人达到轨迹跟踪的目的, 从而控制机器人完成行走运动. 在单腿支撑期时, 机器人如同倒立摆一样处于不稳定状态, 从而相对支撑点发生转动. 这时摆动腿到达下一步落脚点, 进而切换支撑腿防止机器人摔倒, 重复上述过程即实现机器人的动态稳定. 因此定义欠驱动双足机器人的稳定性(平衡性)为: 顺利通过离散地形而不倾倒. 本文方法的算法框图如图4所示, 主要包括两部分: 当已知未来一步地面信息后, 通过VC参数化单脚支撑期轨迹并设计尺度缩放因子获得参考轨迹; 然后通过状态反馈线性化的MPC滚动优化控制实现轨迹跟踪, 进而控制机器人在离散地形中的行走. 接下来描述轨迹实现使用的控制方法.
3.1 状态反馈线性化
为控制机器人实现第2节设定的VC参考轨迹, 设定单脚支撑期系统输出:
$$ \begin{align} y(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _1} + {\theta _2} + {\theta _3} - \alpha _{\text{tor}}^{\text{ref}}}\\ {{x_{\text{foot}}} - 2\delta }\\ {{z_{\text{foot}}} - z_{\text{foot}}^{\text{ref}}}\\ {{z_{\text{hip}}} - z_{\text{hip}}^{\text{ref}}} \end{array}} \right] \end{align} $$ (15) 对于非线性系统的输出
$ y = y(x) $ , 由于只取决于状态中的位置变量, 则其相对度为2, 输出的二阶导数为:$$ \begin{align} \ddot y: = L_f^2y + {L_g}{L_f}y \cdot u \end{align} $$ (16) 其中,
$ L_f^2y \in {{{\bf{R}}}^{4 \times 1}},{L_g}{L_f}y \in {{{\bf{R}}}^{4 \times 4}} $ 分别是系统输出$ y $ 沿向量场$ f(x),g(x) $ 的李导数[27]. 由于系统输出的设定, 当输出为0时表明机器人系统跟随了设定的VC运动轨迹. 所以理想的控制量$ {u^*} $ 为:$$ \begin{align} {u^*} = - {({L_g}{L_f}y)^{ - 1}}L_f^2y \end{align} $$ (17) 但由于模型与实际机器人的误差, 控制中需要增加一个微小的误差调节量
$ \eta (y,\dot y) $ :$$ \begin{align} u = {({L_g}{L_f}y)^{ - 1}}( - L_f^2y + \eta (y,\dot y)) \end{align} $$ (18) 3.2 MPC 滚动优化调节控制
如反馈线性化控制式(18)中所示,
$ \eta (y,\dot y) $ 表示系统输出及其导数的函数, 通常被选为比例−微分 (Proportional-derivative, PD) 控制器的输出. 但为了能够优化能耗, 使用MPC的滚动优化特点获得这个误差调节量. 为了获得能够用于MPC控制的线性系统, 将式(18)代入式(16)中, 得到经过反馈线性化后的二阶系统微分方程:$$ \begin{align} \ddot y = \eta \end{align} $$ (19) 设定新系统的状态变量为
$\zeta : = {\left[ {{y^{\text{T}}}}\;\;{{{\dot y}^{\text{T}}}} \right]^{\text{T}}}$ , 则式(19)可写为如下形式的线性系统:$$ \begin{align} \dot \zeta = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{0}}^{4 \times 4}}}&{{{\bf{1}}^4}}\\ {{{\bf{0}}^{4 \times 4}}}&{{{\bf{0}}^{4 \times 4}}} \end{array}} \right]}_H\zeta + \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{0}}^{4 \times 4}}}\\ {{{\bf{1}}^4}} \end{array}} \right]}_\Pi \eta \end{align} $$ (20) 设定控制周期为
$ \Delta T $ , 式(20)经过离散化可得离散空间状态形式:$$ {\zeta _{k + 1}} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{1}}^4}}&{\Delta T \cdot {{\bf{1}}^4}}\\ {{{\bf{0}}^{4 \times 4}}}&{{{\bf{1}}^4}} \end{array}} \right]}_{{H^\Delta }}{\zeta _k} + \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{0}}^{4 \times 4}}}\\ {\Delta T \cdot {{\bf{1}}^4}} \end{array}} \right]}_{{\Pi ^\Delta }}{\eta _k} $$ (21) 下角标表示第
$ k $ 步与第$ k+1 $ 步变量. 设定MPC的预测步长为$ NP $ , 而控制量步长相同, 通过迭代关系获得完整$ NP $ 步预测模型:$$ \begin{split} &{\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\zeta _{k + 1}}}\\ \vdots \\ {{\zeta _{k + NP}}} \end{array}} \right]}_\Psi = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{({H^\Delta })}^1}}\\ \vdots \\ {{{({H^\Delta })}^{NP}}} \end{array}} \right]}_\Phi {\zeta _k} \;+ }\\ &{\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Pi ^\Delta }}& \cdots &{{{\bf{0}}^{4 \times 4}}}\\ \vdots & {\ddots} & \vdots \\ {{{({H^\Delta })}^{NP - 1}}{\Pi ^\Delta }}& \cdots &{{\Pi ^\Delta }} \end{array}} \right]}_\Gamma \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta _k}}\\ \vdots \\ {{\eta _{k + NP - 1}}} \end{array}} \right]}_U} \end{split} $$ (22) 由于原系统输出式(15)全部为0时即系统达到VC要求, 所以对于预测模型式(22)的滚动优化目标即状态量趋近于0. 控制量力矩为了减少能耗所以应尽量小, 但状态量相对放松限制, 设定优化目标函数为:
$$ \begin{align} J = {\Psi ^{\text{T}}}W\Psi + {U^{\text{T}}}RU \end{align} $$ (23) 其中,
$ W $ 与$ R \in {{{\bf{R}}}^{(8 \times NP) \times (8 \times NP)}} $ 为权重系数的对角矩阵. 将式(22)代入式(23)然后去除无关量后, 得到标准的二次规划 (Quadratic programming, QP)形式:$$ \begin{split} J = \;&{{(\Phi {\zeta _k} + \Gamma U)}^{\text{T}}}W(\Phi {\zeta _k} + \Gamma U) + {U^{\text{T}}}RU = \\ &{{\zeta _k}^{\text{T}}{\Phi ^{\rm{T}}}W\Phi {\zeta _k} + {\zeta _k}^{\text{T}}{\Phi ^{\text{T}}}W\Gamma U + }\\ &{{U^{\text{T}}}{\Gamma ^{\text{T}}}W\Phi {\zeta _k} + {U^{\text{T}}}{\Gamma ^{\text{T}}}W\Gamma U + {U^{\text{T}}}RU \propto }\\ &{\frac{1}{2}{U^{\text{T}}}\underbrace {(2{\Gamma ^{\text{T}}}W\Gamma + 2R)}_{{H_{qp}}}U + \mathop {\underbrace {{(2{\Gamma ^{\text{T}}}W\Phi {\zeta _k})}^{\text{T}}}\limits}_{{f_{qp}}} U} \end{split} $$ (24) 因此建立了具有约束的QP优化为:
$$ \begin{split} &{\mathop {\min }\limits_U }\;{J = \frac{1}{2}{U^{\text{T}}}{H_{qp}}U + {f_{qp}}^{\rm{T}}U}\\ &\qquad{{\text{s. t.}}}\;\;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{\min }}}\\ \vdots \\ {{\tau _{\min }}} \end{array}} \right] \le U \le \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{\max }}}\\ \vdots \\ {{\tau _{\max }}} \end{array}} \right]} \end{split} $$ (25) 其中,
$ {\tau _{\min }},{\tau _{\max }} $ 表示误差调节量$ \eta (y,\dot y) $ 的边界值. 设实际机器人驱动关节的输出力矩边界为$ {u_{\min }},{u_{\max }} $ , 通过式(18)可知在当前状态下, 物理约束的驱动力矩限制与误差调节量的边界有如下关系:$$ \begin{align} \begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _\varepsilon } = {L_g}{L_f}y \cdot {u_\varepsilon } + L_f^2y,}&{\varepsilon \in [\min ,\max ]} \end{array} \end{align} $$ (26) 最后取优化结果
$ U $ 的第一组值, 即是误差控制量$ \eta $ .4. 仿真结果
为验证本文提出的基于尺度缩放离散地形双足机器人动态行走控制算法的有效性, 基于双足机器人BHR-6S动力学模型, 通过使用数学工具常微分方程 (Ordinary differential equation, ODE)积分算法构建仿真环境进行数值仿真. 使用的BHR-6S机器人模型参数如图5所示:
需要说明的是模型各连杆的质心分布在几何中心处. 其他控制参数如表1. 虚拟约束参数中上身姿态角度限制在0°, 最大抬腿高度
${}^{\max}z{}^{{\rm{ref}}} _{\rm{foot}}$ 不超过0.1 m, 跨步步长不超过0.5 m, 髋关节期望高度在0.6 m ~ 0.7 m之间. 其中状态和控制权重系数给出了矩阵对角线的一个值, 其他值是相同的. 驱动力矩边界值同样设定为与4个驱动关节边界值相同.表 1 仿真参数设置Table 1 Parameters setting in simulation参数 取值 单位 上身目标角度$\alpha _{\text{tor}}^{\text{ref}}$ 0 rad 固定步长${L_{\text{step}}}$ 0.4 m 最大抬腿量${}^{\max }z_{\text{foot}}^{\text{ref}}$ 0.1 m 调节量$\sigma $ 0.1 m 髋关节最大高度$Z_{\text{hip}}^{\max }$ 0.7 m 髋关节最小高度$Z_{\text{hip}}^{\min }$ 0.6 m 控制周期为$\Delta T$ 0.001 s 预测步长$NP$ 5 步 状态权重系数 0.1 − 控制权重系数 0.001 − 驱动力矩边界值${u_{\min }}$ −200 N·m 驱动力矩边界值${u_{\max }}$ 200 N·m 下面通过平地定步长(第4.1节)、随机变步长(第4.2节)、随机离散变步长与变高度(第4.3节)和随机扰动(第4.4节)的实验数据分析验证算法的有效性和鲁棒性. 这里需要强调的是机器人仅已知当前一步的环境落脚点位置, 对下一步环境信息是未知的, 因此随机地形的变化考验着机器人实时控制策略的有效性.
4.1 机器人等步长的平地运动
首先进行了固定步长0.4 m的平地仿真. 如图6所示为仿真的动画截图.
图 6 机器人平地固定步长行走仿真截图Fig. 6 Simulation screenshot of robot walking with fixed step length on flat ground如图7所示为行走步态的极限环, 横坐标是相变量, 纵坐标为髋关节的前进速度. 由于碰撞的跳变速度会偏离稳定点, 但基于反馈线性化的MPC控制很快将其稳定在极限环轨道上, 说明了本文VC设计与控制的有效性.
行走中的单步长周期内关节驱动力矩如图8所示, 整个运动过程力矩保持在机械能力限制内, 并经过快速稳定的优化控制过程后力矩实现平稳变化, 进一步保证了机器人周期状态的平稳调节.
图 8 机器人单脚支撑期的关节驱动力矩Fig. 8 Joint driving torque of robot during one leg support period图9显示了单步运行过程中的VC参考轨迹以及机器人实际状态的跟踪情况, 控制目标跟踪性很好, 从而保证了机器人能够准确下踩在期望的落脚点上, 即实现参考步长.
4.2 机器人随机变步长的平地运动
图10显示了机器人在离散变步长地形中的仿真情况, 为表现机器人成功通过离散地形给出了全场景截图, 但对于机器人来说仅知晓当前一步落脚点位置, 控制器根据目标步长与高度实时调整轨迹步态. 最终共进行了20步的行走, 随机出现的步长分别为: 0.40 m、0.20 m、0.35 m、0.45 m、0.30 m、0.20 m、0.30 m、0.45 m、0.50 m、0.20 m、0.30 m、0.20 m、0.35 m、0.20 m、0.20 m、0.30 m、0.40 m、0.30 m、0.15 m、0.30 m.
图 10 机器人变步长离散地形行走仿真截图Fig. 10 Simulation screenshot of robot walking on discrete terrain with variable step-size步长尺度缩放因子与VC参考轨迹的变化如图11所示, 实线表示摆动脚
$ x $ 方向的参考值. 在单脚支撑期时, 整个模型的原点在支撑点上, 而摆动脚通常需要从后摆动到前面, 所以曲线从负值连续变到正值. 在当前一步完成后, 经碰撞模型映射后, 再次进入单脚支撑期, 摆动腿参考值从正值突变到负值, 所以突变表示支撑腿切换的过程. 由于仅建立了单脚支撑期模型而不区分左右腿, 所以之后的图像都是综合了两条腿的结果. 随着步长的需求变化,$ \gamma $ 在支撑期的前半程平滑过渡. 参考步长变小时,$ \gamma $ 变大, 摆动腿水平参考位置$ x_{\text{foot}}^{\text{ref}} $ 变小; 当$ \gamma $ 变小时表示参考步长变大,$ \gamma $ 减小到1附近, 当小于1时表示参考步长超过$ {L_{\text{step}}} $ , 如上述参考步长中的0.45 m. 这证明步长尺度缩放因子能够有效地实时控制机器人的步长变化.
图 11 离散平地变步长运动中的尺度因子与VC轨迹变化Fig. 11 Scale factor and VC trajectory variation in discrete flat variable step-size motion而图12则展示了机器人实际步长与参考步长的误差, 柱状图顶部的数字为参考步长, 步长控制效果非常好, 也为真实实验提供了有力理论支撑.
图 12 离散平地变步长行走的步长误差Fig. 12 Step error of discrete variable step-size walking on flat ground4.3 机器人随机变步长与变高度的离散地形运动
图13展示了机器人在随机离散地面上的行走情况, 该地形是在变步长仿真的基础上更改了地面高度, 高度随机分布在[−0.1 m, 0.1 m]区间中. 图14表示了机器人实际落脚点与参考落脚点的空间分布, 实际落脚点与参考落脚点几乎重合, 而精确的落脚控制保证了机器人顺利通过复杂离散地形.
图 13 随机离散变步长变高度行走的仿真截图Fig. 13 Simulation screenshot of random discrete variable step-size and variable height walking
图 14 空间中参考落脚点与实际落脚点的示意图Fig. 14 Schematic diagram of reference foothold and actual foothold in space图15中展示了机器人通过随机离散地形时的高度尺度缩放因子和VC参考轨迹的变化情况. 可以看出当参考高度改变时,
$ \lambda $ 先从上一阶段参考高度相对值回到0, 保证机器人的抬腿高度能够避开障碍, 然后被平滑至参考高度, 从而控制机器人落脚在参考点. 碰撞发生后为避免支撑腿参考高度与实际高度差距大而发生跳变, 参数$ z_{\text{hip}}^{\min } $ 被重新修改, 因此参考的支撑腿髋关节高度$ z_{\text{hip}}^{\text{ref}} $ 和摆动腿末端竖直高度$ z_{\text{foot}}^{\text{ref}} $ 发生跳变, 以适应新阶段状态控制, 进而保证了下一步的平稳运行. 随机离散地形的实验结果验证了高度实时调节中尺度缩放因子的有效性.
图 15 随机离散地形运行中的尺度缩放因子和VC参考轨迹Fig. 15 Scaling factor and VC reference trajectory in random discrete terrain4.4 机器人一步内扰动的稳定表现
最后进行了机器人在随机离散地形中行走时受扰动的仿真验证(如图16), 测试VC轨迹在增加了尺度缩放因子后的非时变稳定性.
图17显示了机器人通过随机离散地形时的高度尺度缩放因子和VC参考轨迹的变化情况. 当参考高度改变时,
$ \lambda $ 先被相变量改变到0, 保证机器人直立时的原有抬腿高度避开障碍, 按照变尺度缩放因子设计之后将再次平滑至参考高度, 从而控制机器人落脚在参考点. 但在行进中受到作用在髋关节位置上的500 N水平反方向扰动, 作用时间0.15 s后, 相变量又再次越过0回到负值, 即机器人参考轨迹回退到阶段初始状态. 这验证了依赖自身状态的非时变尺度缩放因子既可以调整机器人到目标参考点, 又可以保障机器人受到大扰动后稳定落脚点变化使机器人不会“踩空”导致倾倒, 从而回退到上一步支点. 本文将这种不随时间变化的平衡调节能力定义为非时变稳定性. 因此本文提出的实时调节方法将机器人约束在两个已知可行支撑点上, 面对更复杂的崎岖地形都能实现稳定行走.
图 17 机器人行走受扰动后的尺度因子变化情况Fig. 17 The change of scale factor after the robot is disturbed in walking图18给出了在有无外力扰动情况下, 当前一步内上身躯干姿态角的变化情况. 实线表示躯干角度在无扰动下的变化, 暗示着在即将落脚时上身前倾的表现. 虚线表示躯干角度在有扰动下的变化, 当受到扰动而后退时角度偏离正常变化, 但控制器仍然将其控制在期望角度附近而稳定步行.
图 18 机器人行走中有无扰动下躯干姿态变化Fig. 18 The posture change of the trunk with or without disturbance during robot walking5. 结论
为使欠驱动双足机器人能准确迈出特定步长及高度且稳定运动, 从而通过随机离散地形, 本文提出了基于实时尺度伸缩的VC轨迹规划方法, 并使用了反馈线性化的MPC控制机器人实现设定的约束步态, 最后在仿真实验中验证了算法的有效性. 非时变的VC轨迹只依赖机器人自身状态变化, 这使得抗扰动能力更强, 即使在运动中受到冲击仍然能够踩在预定的落脚点上或回退到上一步落脚点, 从而保证运动的稳定性. 尽管在本文VC的尺度缩放调节中目标步长无法为0, 但能够设置一个很小的步长在实际控制中达到相似的效果, 而且通过离散地形时对步长为0的需求很小. 从仿真结果中可以看到控制效果较好, 这也为实际机器人控制提供了有力保障.
在后续的研究工作中, 可以将算法在真实BHR-6S机器人平台上进行实验验证. 通过为机器人左右方向增加自由度和变尺度虚拟约束, 进一步扩展算法在三维模型上的应用, 最终使欠驱动双足机器人适应复杂的随机离散地形环境从而走向应用. 另外这种尺度因子设计还可以引入在线优化设计, 例如使摆动腿能够在跨越过程中, 避免碰触路面障碍, 从而让机器人能够适应连续地形中的离散落脚点需求.
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图 6 机器人平地固定步长行走仿真截图
Fig. 6 Simulation screenshot of robot walking with fixed step length on flat ground
图 8 机器人单脚支撑期的关节驱动力矩
Fig. 8 Joint driving torque of robot during one leg support period
图 10 机器人变步长离散地形行走仿真截图
Fig. 10 Simulation screenshot of robot walking on discrete terrain with variable step-size
图 11 离散平地变步长运动中的尺度因子与VC轨迹变化
Fig. 11 Scale factor and VC trajectory variation in discrete flat variable step-size motion
图 12 离散平地变步长行走的步长误差
Fig. 12 Step error of discrete variable step-size walking on flat ground
图 13 随机离散变步长变高度行走的仿真截图
Fig. 13 Simulation screenshot of random discrete variable step-size and variable height walking
图 14 空间中参考落脚点与实际落脚点的示意图
Fig. 14 Schematic diagram of reference foothold and actual foothold in space
图 15 随机离散地形运行中的尺度缩放因子和VC参考轨迹
Fig. 15 Scaling factor and VC reference trajectory in random discrete terrain
图 17 机器人行走受扰动后的尺度因子变化情况
Fig. 17 The change of scale factor after the robot is disturbed in walking
图 18 机器人行走中有无扰动下躯干姿态变化
Fig. 18 The posture change of the trunk with or without disturbance during robot walking
表 1 仿真参数设置
Table 1 Parameters setting in simulation
参数 取值 单位 上身目标角度$\alpha _{\text{tor}}^{\text{ref}}$ 0 rad 固定步长${L_{\text{step}}}$ 0.4 m 最大抬腿量${}^{\max }z_{\text{foot}}^{\text{ref}}$ 0.1 m 调节量$\sigma $ 0.1 m 髋关节最大高度$Z_{\text{hip}}^{\max }$ 0.7 m 髋关节最小高度$Z_{\text{hip}}^{\min }$ 0.6 m 控制周期为$\Delta T$ 0.001 s 预测步长$NP$ 5 步 状态权重系数 0.1 − 控制权重系数 0.001 − 驱动力矩边界值${u_{\min }}$ −200 N·m 驱动力矩边界值${u_{\max }}$ 200 N·m 
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[1] 田彦涛, 孙中波, 李宏扬, 王静. 动态双足机器人的控制与优化研究进展. 自动化学报, 2016, 42(8): 1142-1157Tian Yan-Tao, Sun Zhong-Bo, Li Hong-Yang, Wang Jing. A review of optimal and control strategies for dynamic walking bipedal robots. Acta Automatica Sinica, 2016, 42(8): 1142-1157 [2] 吴晓光, 刘绍维, 杨磊, 邓文强, 贾哲恒. 基于深度强化学习的双足机器人斜坡步态控制方法. 自动化学报, 2021, 47(8): 1976-1987Wu Xiao-Guang, Liu Sao-Wei, Yang Lei, Deng Wen-Qiang, Jia Zhe-Heng. A gait control method for biped robot on slope based on deep reinforcement learning. Acta Automatica Sinica, 2021, 47(8): 1976-1987 [3] Gong Y, Hartley R, Da X, Hereid A, Harib O, Huang J K, et al. Feedback control of a cassie bipedal robot: Walking, standing, and riding a segway. In: Proceedings of the 2019 IEEE International Conference on American Control Conference. Philadelphia, PA, USA: IEEE, 2019. 4559−4566 [4] Zhu Y, Li C, Jin H, Sun L. Classifying motion intention of step length and synchronous walking speed by functional near-infrared spectroscopy. Cyborg and Bionic Systems, 2021, 2021(1): 1-11 [5] Yao C, Liu C, Xia L, Liu M, Chen Q. Humanoid adaptive locomotion control through a bioinspired CPG-based controller. Robotica, 2022, 40(3): 762-779 doi: 10.1017/S0263574721000795 [6] Li Q, Meng F, Yu Z, Chen X, Huang Q. Dynamic torso compliance control for standing and walking balance of position-controlled humanoid robots. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2021, 26(2): 679-688 doi: 10.1109/TMECH.2021.3061825 [7] Liu C, Zhang T, Zhang C, Liu M, Chen Q. Foot placement compensator design for humanoid walking based on discrete control Lyapunov function. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, 2019, 39(8): 936-956 [8] 辛亚先, 李贻斌, 柴汇, 荣学文, 李彬. 基于全身力矩控制的双腿轮机器人跳跃方法研究. 自动化学报, DOI: 10.16383/j.aas.c200486Xin Ya-Xian, Li Yi-Bing, Chai Hui, Rong Xue-Wen, Li Bin. Research on jumping method of two wheeled-leg robot based on whole-body torque control. Acta Automatica Sinica, DOI: 10.16383/j.aas.c200486 [9] Kim D, Jorgensen S J, Lee J, Ahn J, Luo J, Sentis L. Dynamic locomotion for passive-ankle biped robots and humanoids using whole-body locomotion control. The International Journal of Robotics Research, 2020, 39(8): 936-956 doi: 10.1177/0278364920918014 [10] Luo J, Su Y, Ruan L, Zhao Y, Kim D, Sentis L, et al. Robust bipedal locomotion based on a hierarchical control structure. Robotica, 2019, 37(10): 1750-1767 doi: 10.1017/S0263574719000237 [11] Daneshmand E, Khadiv M, Grimminger F, Righetti L. Variable horizon mpc with swing foot dynamics for bipedal walking control. IEEE Robotics and Automation Letters, 2021, 6(2): 2349-2356 doi: 10.1109/LRA.2021.3061381 [12] Westervelt E R, Grizzle J W, Chevallereau C, Choi J H, Morris B. Feedback Control of Dynamic Bipedal Robot Locomotion. Boca Raton: CRC Press, 2018. 55−58 [13] Griffin B, Grizzle J. Nonholonomic virtual constraints and gait optimization for robust walking control. The International Journal of Robotics Research, 2017, 36(8): 895-922 doi: 10.1177/0278364917708249 [14] Hubicki C, Grimes J, Jones M, Renjewski D, Sprowitz A, Abate A, et al. Atrias: Design and validation of a tether-free 3d-capable spring-mass bipedal robot. The International Journal of Robotics Research, 2016, 35(12): 1497-1521 doi: 10.1177/0278364916648388 [15] Matthew P J, Cousineau E A, Ames A D. Model predictive control of underactuated bipedal robotic walking. In: Proceedings of the 2015 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Seattle, Washington, USA: IEEE, 2015. 5121−5126 [16] Guo Y, Zhang M, Dong H, Zhao M. Fast online planning for bipedal locomotion via centroidal model predictive gait synthesis. IEEE Robotics and Automation Letters, 2021, 6(4), 6450-6457 doi: 10.1109/LRA.2021.3092268 [17] Negri G H, Rosa L K, Cavalca M S, Celiberto J, Figueiredo E B. Nonlinear predictive control applied to a biped walker with adjustable step length using a passive walking-based reference generator. Optimal Control Applications and Methods, 2020, 41(3): 729-747 doi: 10.1002/oca.2570 [18] 姚渊, 姚道金, 肖晓晖, 王杨. 面向非连续性地面的双足欠驱动步行稳定控制. 机器人, 2017, 39(5): 742-750 doi: 10.13973/j.cnki.robot.2017.0742Yao Yuan, Yao Dao-Jin, Xiao Xiao-Hui, Wang Yang. Stable control of underactuated biped walking on discontinuous ground. Robot, 2017, 39(5): 742-750 doi: 10.13973/j.cnki.robot.2017.0742 [19] Yao D, Wu Y, He J, Zhou J, Xiao X. Feedforward control for underactuated bipedal walking on compliant continuous steps with varying height. Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2020, 42(13): 2410-2422 doi: 10.1177/0142331220911827 [20] Da X, Harib O, Hartley R, Griffin B, Grizzle J W. From 2D design of underactuated bipedal gaits to 3D implementation: Walking with speed tracking. IEEE Access, 2016, 4(1): 3469-3478 [21] Grizzle J W, Abba G, Plestan F. Asymptotically stable walking for biped robots: Analysis via systems with impulse effects. IEEE Transactions on Automatic Control, 2001, 46(1): 51-64 doi: 10.1109/9.898695 [22] Yang T, Westervelt E R, Serrani A, Schmiedeler J P. A framework for the control of stable aperiodic walking in underactuated planar bipeds. Autonomous Robots, 2009, 27(3): 277-290 doi: 10.1007/s10514-009-9126-y [23] Nguyen Q, Agrawal A, Martin W, Geyer H, Sreenath K. Dynamic bipedal locomotion over stochastic discrete terrain. The International Journal of Robotics Research, 2018, 37(13): 1537-1553 [24] Xiong X, Ames A D. Dynamic and versatile humanoid walking via embedding 3d actuated slip model with hybrid lip based stepping. IEEE Robotics and Automation Letters, 2020, 5(4): 6286-6293 doi: 10.1109/LRA.2020.3013924 [25] Zhu X S, Wang L, Yu Z G, Chen X C, Han L Q. Motion control for underactuated robots adaptable to uneven terrain by decomposing body balance and velocity tracking. In: Proceedings of the 6th IEEE International Conference on Advanced Robotics and Mechatronics (ICARM). Chongqing, China: IEEE, 2021. 729−734 [26] Han L Q, Chen X C, Yu Z G, Zhu X S, Kenji H, Huang Q. Trajectory-free dynamic locomotion using key trend states for biped robots with point feet. Science China Information Sciences, DOI: 10.1007/s11432-021-3450-5 [27] Yuno T, Ohtsuka T. Lie derivative inclusion for a class of polynomial state feedback controls. Transactions of the Institute of Systems, Control and Information Engineers, 2014, 27(11): 423-433 doi: 10.5687/iscie.27.423 期刊类型引用(7)
1. 李丽霞，陈艳. 基于D-DQN强化学习算法的双足机器人智能控制研究. 计算机测量与控制. 2024(03): 181-187 . 
百度学术2. 张思远，朱晓庆，阮晓钢，李春阳，刘鑫源. 基于环境反馈机制的四足机器人运动技能学习. 控制与决策. 2024(05): 1461-1468 . 百度学术3. 张思远，朱晓庆，陈江涛，刘鑫源，王涛. 基于优化并行的四足机器人运动技能学习. 清华大学学报(自然科学版). 2024(10): 1696-1705 . 百度学术4. 黄自鑫，侯梦毓，危少奇，王乐君. 平面Acrobot和Pendubot的统一控制策略. 深圳大学学报(理工版). 2023(03): 275-283 . 百度学术5. 陈阳，王洪玺，张兰勇. 轮腿式平衡机器人控制. 信息与控制. 2023(05): 648-659 . 百度学术6. 郑默思，张亮. “新工科”背景下用于机械设计课程的双足教学机器人设计与研究. 自动化与仪器仪表. 2023(11): 217-221 . 百度学术7. 黄明亮，管萍，戈新生，曹彧腾. 大挠性航天器的自触发模型预测控制. 飞行力学. 2023(06): 59-67 . 百度学术其他类型引用(4)
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