Model Predictive Control of Aircraft Braking System Under Asymmetric Motion Based on Disturbance Estimation
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摘要: 针对飞机在非对称运动下的双侧机轮协调控制问题, 提出一种基于滑模干扰估计的模型预测控制方法. 首先, 通过对飞机制动过程横纵方向力矩机理分析并分别考虑左右机轮对刹车性能的影响, 建立全面刻画系统动态的地面滑跑动力学模型. 在此基础上, 设计滑模观测器对侧风干扰进行实时估计, 利用补偿机制实现对侧风扰动的有效抑制. 此外, 提出基于前轮荷载状态门限特征和结合系数阈值范围特征的分析方法, 解决切换跑道环境辨识问题. 设计非线性模型预测算法, 实现飞机纵向防滑刹车和横向跑道纠偏的协调控制. 最后, 在侧风干扰、跑道切换以及不对称着陆等情况下进行仿真实验, 验证了所提出的控制策略能够有效提升刹车系统的防滑效率及纠偏性能.Abstract: In this paper, a model predictive control method based on sliding mode disturbance estimation is proposed to solve the problem of bilateral wheel coordinated control of aircraft in asymmetric motion. Firstly, by analyzing the mechanism of transverse and longitudinal torque in aircraft braking process and considering the influence of left and right wheel pairs on braking performance, a ground taxiing dynamic model is established which can comprehensively describe the system dynamics. Then, a sliding mode observer is designed to estimate the crosswind disturbance in real time, and the compensation mechanism is utilized to suppress the crosswind disturbance effectively. In addition, an analysis method based on the threshold characteristics of front wheel load state and the threshold range characteristics of adhesion coefficient is proposed to solve identification problem of switching runway environment. A nonlinear model prediction algorithm is designed to realize the coordinated control of aircraft longitudinal anti-skid braking and lateral runway deviation correction. Finally, simulation experiments are carried out under the conditions of crosswind disturbance, runway switching, and asymmetric landing. It is verified that the control strategy proposed in this paper can effectively improve the anti-skid efficiency and deviation correction performance of the braking system.
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机轮刹车系统是保证飞机刹车安全和地面滑跑性能的重要机载装置, 受到高速起降过程中的大动能、横纵力矩耦合严重、侧风干扰和复杂跑道环境等影响, 导致对飞机防滑刹车和纠偏控制设计非常困难. 另外, 作为滑跑阶段的“掌舵人”, 机轮刹车系统是关系到飞机核心安全性的A类装置, 即出现故障会造成灾难性后果[1]. 因此, 具有高度适应性和可靠性的刹车系统设计研究一直是国内外学者关注的重要课题, 如全电刹车系统[2-4]、电静液刹车系统[5-6]、智能刹车系统[7-8]等.
机轮防滑与跑道纠偏控制分别是体现在刹车控制设计过程中横纵两方面的研究重点, 直接影响刹车距离和偏航距离两个重要性能指标. 例如, Jiao等和D＇Avico等分别在文献[9]和文献[10]中, 针对纵向力矩影响下的刹车控制, 分别考虑了纵向滑跑模型建模和防滑刹车控制问题, 但都忽略横向作用力的影响; Dai等和Chen等分别在文献[11]和文献[12]中, 针对横向力矩影响下的纠偏控制, 分别考虑了差动纠偏和前轮转弯控制问题, 但都对纵向滑跑进行特殊化处理. 需要指出的是, 以上工作仅单独考虑了防滑刹车或纠偏的机理建模与分析, 忽略了机轮刹车过程中横纵力矩的耦合影响. 对此, 本文将深入剖析刹车过程中多方向力矩机理, 克服传统的单机轮模型仅刻画了系统纵向动态的弊端, 针对左右机轮分别独立建模, 深入分析非对称运动条件下对刹车效率的影响.
另一方面, 强侧风干扰可能造成机轮附着力不足, 导致侧滑甚至偏离跑道[13]. 因此, 强侧风对飞机滑跑性能的影响不容忽视[14], 目前针对该问题的研究仍然缺少较好的处理手段. 针对强侧风干扰下的非对称运动问题, 本文考虑利用滑模干扰观测器来对侧风力的影响进行有效估计, 并引入干扰补偿对侧风干扰进行有效的抑制. 此外, 飞机刹车过程中需要保持最大结合系数以达到较高的刹车效率, 因此必须对飞机跑道状态进行精准辨识. 当前飞机跑道辨识技术分为两种, 一种是高精度传感器对不同跑道情况进行最大结合系数测量识别[15], 该方法准确率较高但相关传感器较为昂贵, 此外需要较多的实际数据模型经验, 难以保证对复杂跑道辨识的自适应性. 另一种是通过机体和机轮运动中状态变化数据来估算结合系数的大小[16], 常用刹车过程中的打滑信息来估计轮胎与跑道之间结合性能的优良, 但对识别算法复杂性和计算效率依赖要求较高. 本文拟利用前轮荷载状态门限特征和结合系数阈值范围特征来解决跑道辨识问题.
对于机轮刹车控制系统, 刹车压力和前轮转角在起降过程中不同阶段有不同约束, 例如在高速滑跑阶段, 考虑到安全问题, 禁止前轮大转向和主轮差动刹车[17]. 模型预测控制能够为处理具有输入和状态约束的系统提供一种强有力的解决方案, 目前被广泛应用于航空航天[18-20]、智能制造[21-23]、过程控制[24-26]等多个领域. 另外, 模型预测控制方法能在线求解开环优化问题, 并通过预测估计、滚动优化以及反馈矫正等环节对外部干扰和模型不确定性具有较好的适应性和鲁棒性. 因此, 本文拟通过设计非线性模型预测算法, 解决非对称运动下飞机纵向防滑刹车和横向跑道纠偏的协调控制问题.
本文针对飞机在高速滑跑阶段的防滑刹车及纠偏控制问题, 在双机轮非对称运动下建立了飞机滑跑动力学模型. 兼顾考虑侧风干扰及跑道环境的影响, 通过引入滑模干扰观测器以及飞机跑道辨识技术进行干扰补偿和跑道辨识. 基于非线性模型预测控制对多状态约束下的飞机刹车系统进行实时控制, 以达到飞机平稳安全降落的目标. 本文主要贡献点包括:
1) 针对现有飞机防滑刹车模型忽略了横纵力矩耦合, 不能全面刻画系统纵向动态的问题, 本文剖析了滑跑系统动力学中左右机轮轮胎摩擦力、机体侧风力以及方向舵力矩之间的耦合机理, 在符合实际的基础上有效描述飞机滑跑阶段系统的横纵动态.
2) 针对飞机易受侧风干扰, 导致飞机滑跑偏航的问题, 设计一种基于有限时间稳定的滑模干扰观测器, 对侧风力干扰进行有效估计, 引入补偿机制实现对侧风扰动的有效抑制, 以保证纠偏控制性能.
3) 针对飞机不能及时辨别跑道切换, 从而导致防滑刹车效率低下的问题, 提出一种基于前轮荷载和结合系数设计门限和阈值范围分析方法, 在不同跑道切换情况下及时给控制器提供滑移率信息, 从而提升防滑刹车效率.
4) 结合干扰观测器和跑道辨识方法设计非线性模型预测控制器, 在保证飞机防滑刹车效率的同时, 兼顾完成滑跑纠偏及姿态矫正任务.
1. 问题描述与动力学建模
为保证飞机着陆后滑跑过程中的高刹车效率和安全性, 首要目标是给出合理的刹车压力和方向舵信号, 对地面与轮胎间的最大结合力系数所对应的滑移率进行实时控制与优化, 并且在飞机受到侧风和跑道环境的干扰条件下, 实现防滑刹车和纠偏控制. 对此, 根据飞机滑跑阶段的实际过程与客观事实, 做出如下合理假设[7, 11]:
1) 忽略飞机的起落架和轮胎在着陆滑跑中的垂直位移变化;
2) 忽略飞机着陆滑跑中的俯仰角和滚转角变化, 将其视为零处理;
3) 将侧风力视作作用在飞机重心上, 垂直于机体的作用力, 且为慢时变干扰.
注 1. 上述假设1)和假设2)所涉及的状态变量在飞机滑跑过程中变化缓慢, 且对飞机防滑刹车和纠偏控制影响较小, 故作忽略处理; 假设3)中侧风力可以进行横纵力的分解, 纵向分力可视为迎风阻力处理, 故只考虑为作用在重心的横向力.
首先, 对飞机高速滑跑阶段进行精确的地面滑跑动力学建模. 基于假设条件基础上, 只考虑飞机纵向运动和横向运动, 针对飞机在侧风干扰下左右机轮之间受力不均现象进行细致分析. 如俯视图1(a)和侧视图1(b)所示, 根据牛顿第二定律, 得到飞机滑跑阶段的动力学方程如下:
$$ \left\{ \begin{aligned} &{T_o} - {F_{x2}} - {F_{x1l}} - {F_{x1r}} - F_D = m{{\dot V}_x} \hfill \\ & mg - L - {N_2} - {N_{1l}} - {N_{1r}} = m{{\dot V}_z} \hfill \\ &{F_\delta } - {F_{1l}} - {F_{1r}} - {F_2}{\text{ + }}Z = m{{\dot V}_y} \end{aligned} \right. $$ (1) 其中,
$ {V_x} $ 和$ {V_y} $ 分别为飞机的纵向速度和横向速度;$ {V_z} $ 为飞机的俯仰速度;$ {F_2} $ ,$ {F_{1l}} $ ,$ {F_{1r}} $ 分别表示前轮和左右机轮的侧向力,$ {F_{x2}} $ ,$ {F_{x1l}} $ ,$ {F_{x1r}} $ 分别为前轮和左右机轮与地面的结合力, 具体可以表示为:$$ \left\{ \begin{aligned} & {F_{x2}} = {\mu _f}{N_2} \hfill \\ & {F_{x1l}} = {\mu _l}{N_{1l}} \hfill \\ & {F_{x1r}} = {\mu _r}{N_{1r}} \end{aligned} \right. $$ (2) 其中,
$ {\mu _f} $ 为前轮结合系数, 由于前轮没有刹车装置介入制动, 因此可以设定其为固定常数;$ {\mu _l} $ 和$ {\mu _r} $ 分别为左右机轮与跑道的结合系数;$ {N_2} $ ,$ {N_{1l}} $ 和$ {N_{1r}} $ 分别为地面对前轮和左右机轮的支持力.式(1)中,
$ L $ 和$F_ D$ 分别为空气升力和迎风阻力, 两者与飞机当前的速度和环境系数有关.$ {F_\delta } $ 为飞机尾部方向舵对飞机的作用力, 可以简化为作用在飞机尾部上的横向力, 该力与飞机尾舵转角$ \delta $ 、飞机当前速度以及环境系数有关. 上述参数之间的关系可以用式(3)表示:$$ \left\{ \begin{aligned} &L = \frac{1}{2}{\rho _L}V_x^2 := {{\bar \rho }_L}V_x^2 \hfill \\ & F_ D = \frac{1}{2}{\rho _D}V_x^2 := {{\bar \rho }_L}V_x^2 \hfill \\ & {F_\delta }{\text{ = }}\frac{1}{2}{\rho _\delta }\delta V_x^2 := {{\bar \rho }_L}\delta V_x^2 \end{aligned} \right. $$ (3) 其次, 由于滑跑阶段侧风和复杂跑道环境造成的偏航影响, 需对飞机偏航力矩进行重点分析. 考虑到飞机在高速滑跑阶段的俯仰角和滚转角变化较小, 可以进行忽略, 因此俯仰角速度和滚转角速度视为零. 由图1分析, 飞机的力矩平衡方程可以表示为:
$$ \left\{ \begin{aligned} & {N_2}a - ({N_{1l}} + {N_{1r}})b - {F_{x2}}h \; -\\ &\qquad ({F_{x1l}} + {F_{x1r}})h + {T_o}{b_T} = 0 \hfill \\ & ({N_{1l}} - {N_{1r}})\frac{c}{2} - ({F_{1l}} + {F_{1r}})h - {F_2}h = 0 \hfill \\ & {F_\delta }{b_\delta } - \left( {{F_{1l}} + {F_{1r}}} \right)b + {F_2}a + ({F_{x1r}} - {F_{x1l}})\frac{c}{2} = J\dot r \hfill \end{aligned} \right. $$ (4) 其中,
$ r $ 为偏航角速度, 图1及动力学方程(1) ~ (4)中其他参数及物理意义由表1给出.表 1 飞机刹车系统参数Table 1 Aircraft braking system parameters物理含义 符号 飞机质量 (kg) $ m $ 重力加速度 (m/s2) $ g $ 前轮到飞机重心的投影距离 (m) $ a $ 左右机轮到飞机重心的投影距离 (m) $ b $ 飞机左右机轮之间投影距离 (m) $ c $ 偏航力矩惯性积 (kg·m2) $ J $ 飞机高度 (m) $ h $ 飞机重心 $ cg $ 偏航角 (°) $ \psi $ 飞机重力 (N) $ G $ 侧风干扰力 (N) $ Z $ 飞机剩余推力 (kg) $ {T_o} $ 飞机偏航距离 (m) $ {d_y} $ 飞机纵向阻力系数 $ {\rho _D} $ 飞机偏航系数 $ {\rho _\delta } $ 飞机升力系数 $ {\rho _L} $ 发动机到飞机重心的距离 (m) $ {b_T} $ 尾舵到飞机重心的投影距离 (m) $ {b_\delta } $ 左右机轮角速度 (rad/s) $ {\omega _l} $,$ {\omega _r} $ 由图2受力分析可知, 飞机滑跑阶段受到侧向力影响, 左右机轮的滚动方向与轮胎平面间形成偏角, 即左右机轮侧偏角
$ {\beta _{1l}} $ 和$ {\beta _{1r}} $ , 定义轮胎滚动方向位于轮胎平面右侧时侧偏角为正. 当飞机左右机轮支持力不平衡时, 侧向力与机轮侧偏角的耦合关系十分复杂, 当侧偏角变化较小时, 侧向力与侧偏角近似为线性关系.
图 2 飞机滑跑轮胎侧偏角及受力分析图Fig. 2 Tire sideslip angle and stress analysis diagram during aircraft landing由于飞机在高速滑跑阶段, 前轮纠偏角度远大于前轮的侧偏角, 侧向力的近似表达可由式(5)给出:
$$ \left\{ \begin{aligned} &{F_2} = {K_n}{\beta _2} \hfill \\ &{F_{1l}} = {K_m}{\beta _{1l}} \hfill \\ &{F_{1r}} = {K_m}{\beta _{1r}} \end{aligned} \right. $$ (5) 其中,
$ {K_n} $ 和$ {K_m} $ 分别定义为前轮和左右机轮当侧偏角为零时的侧偏刚度. 在飞机滑跑过程中, 由于前轮纠偏转向角度远大于因左右机轮支持力不平衡而导致的变化幅度, 因此假设其大小等同为前轮转向角$ \theta $ . 另外, 左右机轮侧偏角受到飞机的纵向速度、横向速度以及偏航角速度的共同影响. 综上所述, 前侧偏角以及左右机轮侧偏角可由式(6)给出:$$ \left\{ \begin{aligned} &{\beta _{1l}} = \arctan \left(\frac{{{V_y} - rb}}{{{V_x} - {\frac{rc}{ 2}}}}\right) \hfill \\ & {\beta _2} = - \theta \hfill \\ & {\beta _{1r}} = \arctan \left(\frac{{{V_y} - rb}}{{{V_x} + {\frac{rc} {2}}}}\right) \end{aligned} \right. $$ (6) 由于飞机在滑跑过程中左右机轮只参与制动,纠偏控制需要通过改变前轮转角完成. 与此同时, 受到左右机轮侧向力和侧偏角的耦合影响, 飞机因纠偏控制将导致左右机轮荷载变化, 这对飞机的防滑刹车效率的提升极为关键. 将动力方程(1)和力矩方程(4)联立, 可以得到
$ {N_{1l}} $ ,$ {N_{1r}} $ 以及$ {N_2} $ 的关系表达式, 如式(7)所示.由式(7)可以看出, 当飞机不存在侧偏角时, 前轮和左右机轮的侧向刚度都为零, 左右机轮支持力相同, 飞机沿直线前进; 当存在侧偏角时, 即前轮和左右机轮的侧向刚度不为零, 左右机轮支持力产生偏差, 此时飞机会产生偏航力矩进而使得飞机航向发生变化, 因此需要及时调整左右机轮的刹车压力进行防滑刹车.
飞机防滑刹车是地面结合力矩及刹车力矩对机轮共同作用的结果, 机轮作为刹车系统的重要组成部分, 直接影响防滑刹车效率和纠偏性能. 本文中将考虑飞机左右机轮的荷载非对称情况, 对飞机的左右机轮分别进行建模. 以左侧机轮为例, 其受力分析和动力公式分别如图3和式(8)所示:
$$ \left\{ \begin{aligned} & {F_{x1l}}{r_w} - {P_l} = {J_R}{{\dot \omega }_l} \hfill \\ & {F_{x1r}}{r_w} - {P_r} = {J_R}{{\dot \omega }_r} \end{aligned} \right.\tag{8} $$ 其中,
$ {r_w} $ 为飞机机轮半径;$ {P_l} $ 和$ {P_r} $ 分别为左右机轮刹车装置产生的刹车力矩;$ {\omega _l} $ 和$ {\omega _r} $ 分别为左右机轮角速度;$ {J_R} $ 为机轮转动惯量.此外, 跑道状态是影响飞机刹车系统的另一关键因素. 由于飞机着陆环境较为复杂, 且存在极限场景下多种跑道环境切换情况(干、湿、积雪等), 本文将结合跑道切换情况下, 通过魔术公式对跑道环境进行分析和建模. 由于飞机滑跑阶段左右机轮受力情况不同, 因此对左右机轮分别建模, 其结合系数与滑移率的关系表达式如式(9)所示.
$$ \left\{ {\begin{aligned} & {{N_{1l}} = \frac{{2h\left( {{F_2} + {F_{1l}} + {F_{1r}}} \right)\left( {a + b + h({\mu _r} - {\mu _f})} \right) + c\left( {\left( {mg - L} \right)\left( {a - h{\mu _f}} \right) + {T_o}{b_T}} \right)}}{{c\left( {2\left( {a + b} \right) + h\left( {{\mu _r} + {\mu _l} - 2{\mu _f}} \right)} \right)}}} \\ & {{N_{1r}} = \frac{{ - 2h\left( {{F_2} + {F_{1l}} + {F_{1r}}} \right)\left( {a + b + h({\mu _l} - {\mu _f})} \right) + c\left( {\left( {mg - L} \right)\left( {a - h{\mu _f}} \right) + {T_o}{b_T}} \right)}}{{c\left( {2\left( {a + b} \right) + h\left( {{\mu _r} + {\mu _l} - 2{\mu _f}} \right)} \right)}}} \\ & {{N_2} = \frac{{ - 2{h^2}\left( {{F_2} + {F_{1l}} + {F_{1r}}} \right)\left( {{\mu _r} - {\mu _l}} \right) + c\left( {\left( {mg - L} \right)\left( {h\left( {{\mu _l} + {\mu _r}} \right) + 2b} \right) - 2{T_o}{b_T}} \right)}}{{c\left( {2\left( {a + b} \right) + h\left( {{\mu _r} + {\mu _l} - 2{\mu _f}} \right)} \right)}}} \end{aligned}} \right. \tag{7}$$ $$ \left\{ \begin{aligned} & {\mu _l}=D\sin (C\arctan (B{\sigma _l})) \hfill \\ & {\mu _r}=D\sin (C\arctan (B{\sigma _r})) \end{aligned} \right. $$ (9) 其中,
$ B $ ,$ C $ 和$ D $ 为滑移率系数;$ {\sigma _l} $ 和$ {\sigma _r} $ 分别为左右机轮的滑移率, 其大小与飞机速度和机轮速度的关系为:$$ \left\{ \begin{aligned} & {\sigma _l} = \frac{{{V_x} - {\omega _l}{r_w}}}{{{V_x}}} \hfill \\ & {\sigma _r} = \frac{{{V_x} - {\omega _r}{r_w}}}{{{V_x}}} \end{aligned} \right. $$ (10) 由式(8)和式(10)可知, 控制刹车压力的大小可以改变机轮的转速, 从而调节飞机的滑移率和结合系数, 以达到飞机防滑刹车控制的目的. 值得注意的是, 不同的跑道条件下飞机的滑移率和结合系数的变化关系是不同的. 表2给出了飞机在干、湿、积雪跑道条件下对应的最佳滑移率.
表 2 结合系数模型参数Table 2 Parameters of adhesion coefficient model跑道状态 $ D $ $ C $ $ B $ $ Sp $ 干跑道 0.8 1.5344 14.0326 0.117 湿跑道 0.4 2.0192 8.2098 0.120 积雪跑道 0.2 2.0875 7.2017 0.130 表2中,
$ Sp $ 代表不同跑道情况下的最大结合系数对应的最佳滑移率. 基于上述数据, 滑移率−结合系数变化曲线图如图4所示.注 2. 利用魔术公式(9), 图4给出了在三种不同跑道环境下滑移率和结合系数的对应关系, 随着滑移率的增大, 结合系数呈现出由小变大再变小的变化. 此外, 在经过曲线峰值后, 滑移率的继续增大会加深飞机的打滑程度, 严重时会导致机轮爆胎的现象. 因此, 为了进行更高效安全的防滑刹车, 需要控制滑移率保持在最大结合系数对应的最佳滑移率附近.
通过飞机的动力学建模分析, 可获得非线性防滑刹车系统方程(11), 式中相关参数如前文所述.
$$ \left\{ \begin{aligned} &{{\dot V}_x} = \frac{{{T_o} - {\mu _f}{N_2} - {\mu _l}{N_{1l}} - {\mu _r}{N_{1r}} - {{\bar \rho }_D}V_x^2}}{m} \hfill \\ & {{\dot d}_y} = {V_y} \hfill \\ & {{\dot V}_y} = \frac{{{{\bar \rho }_\delta }V_x^2\delta - {K_m}{\beta _{1l}} - {K_m}{\beta _{1r}} - {K_n}\theta + Z}}{m} \hfill \\ &{{\dot \omega }_l} = \frac{{{\mu _l}{N_{1l}}{r_w} - {P_l}}}{{{J_R}}} \hfill \\ & {{\dot \omega }_r} = \frac{{{\mu _r}{N_{1r}}{r_w} - {P_r}}}{{{J_R}}} \hfill \\ & \dot \psi = r \hfill \\ &\dot r = \frac{{2{{\bar \rho }_\delta }V_x^2{b_\delta }\delta - 2b( {{F_{1l}} + {F_{1r}}} ) + 2{K_n}a\theta + ({F_{x1r}} - {F_{x1l}})c}}{{2J}} \end{aligned} \right. $$ (11) 2. 飞机刹车系统防滑刹车及纠偏控制设计
2.1 滑模干扰观测器设计
本文在飞机动力学模型建模中引入了横向侧风力影响, 为了便于非线性模型预测控制器设计, 可将侧风力视作干扰项进行干扰补偿.
对于飞机刹车系统(11), 将带侧风力干扰项单独分析, 重写为式(12):
$$ {\dot V_y} = f + g{u_{\delta} } + {d_z} $$ (12) 其中,
$ {u_\delta } $ 为尾舵转角$ \delta $ ,$ {d_z} $ 为侧风力干扰项,$ f $ 和$ g $ 为非线性表达式:$$ \left\{ \begin{aligned} &{d_z} = \frac{Z}{m} \hfill \\ &g = \frac{{{{\bar \rho }_{\delta} }V_x^2}}{m} \hfill \\ & f = \frac{{ - {K_m}{\beta _{1l}} - {K_m}{\beta _{1r}} - {K_n}{\beta _2}}}{m} \end{aligned} \right. $$ (13) 本文考虑一种基于改进滑模微分器的干扰观测器[27], 其能有效克服高阶滑模微分器存在的输出抖振、参数选取范围有限等缺点.
定理 1. 考虑防滑刹车系统(11)在侧风力干扰项(12)影响下, 当滑模干扰观测器满足式(14)时, 可以在有限时间内对侧风干扰进行有效估计.
$$ \left\{ \begin{aligned} & {{\dot {\hat V}}_y} = f + g{u_\delta } + v \hfill \\ & v = - {\lambda _0}\sqrt {\left| {{{\hat V}_y} - {V_y}} \right|} {{\rm{sgn}}} \left( {{{\hat V}_y} - {V_y}} \right) + {{\hat d}_z} \hfill \\ & {{\dot {\hat d}}_z} = - {\lambda _1}{\left| {{{\hat d}_z} - v} \right|^{\frac{a}{b}}}{{\rm{sgn}}} \left( {{{\hat d}_z} - v} \right) \end{aligned} \right. $$ (14) 其中,
$ {\hat V_y} $ 为$ {V_y} $ 的估计值;$ {\hat d_z} $ 为$ {d_z} $ 的估计值;$ {\lambda _0} $ 和$ {\lambda _1} $ 为微分器设计参数;$ v $ 是滑模干扰观测器的内部辅助变量;$ a,b $ 为正奇数, 且满足:$$ 1 < \frac{a}{b} < 2 $$ (15) 证明. 定义估计误差
$ {e_0} = {\hat V_y} - {V_y} $ ,$ {e_1} = {\hat d_z} - {d_z} $ , 可将式(14)转化为下式:$$ \left\{ \begin{aligned} & {{\dot e}_0} = - {\lambda _0}\sqrt {\left| {{e_0}} \right|} {\rm{sgn}} \ {e_0} + {e_1} \hfill \\ & {{\dot e}_1} = - {\lambda _1}{\left| {{e_1} - {{\dot e}_0}} \right|^{\frac{a}{b}}}{\rm{sgn}} \left( {{e_1} - {{\dot e}_0}} \right) - {{\dot d}_z} \end{aligned} \right. $$ (16) 由文献[28]中引理7, 选择
$ \left| {{e_i}} \right| < {s_i} $ ,$ {s_{Mi}} $ 满足$ {s_i} < {s'_i} < {s_{Mi}} $ ,$i \;为\; 0\;和\;1$ , 可以获得:$$ \begin{split} \left| {{{\dot e}_0}} \right| \leq \;& {\lambda _0}\sqrt {\left| {{e_0}} \right|} + \left| {{e_1}} \right|\leq \\ &{\lambda _0}\sqrt {\left| {{e_0}} \right|} + {s_{M1}} \leq\\ &{\lambda _0}\sqrt {{s_{M0}}} + {s_{M1}} \end{split} $$ (17) 对上式足够小的时间段
$ \tau $ 内左右两边做积分, 有:$$ \begin{split} \int_\tau {\left| {{{\dot e}_0}} \right|{\text{d}}t} \leq\;& \int_\tau {({\lambda _0}\sqrt {{s_{M0}}} + {s_{M1}}){\text{d}}t} \leq \\ & \int_\tau {({\lambda _0}\sqrt {{s_{M0}}} + {s_{M1}})){\text{d}}t} \leq \\ & \tau {\lambda _0}\sqrt {{s_{M0}}} + \tau {s_{M1}}:= {K_0} \end{split} $$ (18) 在足够小的时间段
$ \tau $ 内$ \left| {{e_0}} \right| < {s'_0} $ , 因此可证$ \left| {{e_1}} \right| < {s'_1} $ . 由文献[28]中引理9可知系统(16)是有限时间稳定的. □注 3. 针对误差系统式(16), 若
$ {\dot d_z} = 0 $ , 误差$ {e_1} $ ,$ {e_2} $ 可以渐近收敛到0; 若$ {\dot d_z} \ne 0 $ , 误差$ {e_1} $ ,$ {e_2} $ 将会在有限时间内收敛至包含原点的临界区域内, 通过选取合适的参数$ {\lambda _0} $ 和$ {\lambda _1} $ 可使闭球半径足够小[27]. 基于假设3)中侧风力为缓慢变化的干扰, 则$ {\dot d_z} $ 可忽略不计, 误差$ {e_1} $ ,$ {e_2} $ 将会在有限时间内收敛至原点, 因此设计的干扰观测器可以有效地对侧风干扰进行估计.注 4. 滑模干扰观测器的估计误差受参数
$ {\lambda _0} $ 和$ {\lambda _1} $ 的影响, 选取合适参数, 可以实现在有限时间内对侧风干扰的精确估计, 进而在控制器中进行补偿, 达到干扰抑制的目的.2.2 飞机滑跑跑道辨识技术
考虑设计一种基于跑道状态特征辨识技术, 为简化实际问题分析并不失一般性, 针对混合跑道的识别将只考虑表2中所提及的三种典型跑道环境类型. 为了避免典型跑道之间的重叠现象, 下面将跑道辨识分为两部分进行处理.
首先, 利用前轮荷载状态门限特征辨识飞机落地跑道.
由文献[4]可知, 飞机在三种典型跑道的最佳滑移率分别为0.117 (干跑道)、0.120 (湿跑道)以及0.130 (积雪跑道), 可以发现在不同跑道条件下, 最佳滑移率相差较小, 为了提高辨别的准确性, 本文提出利用飞机的前轮支持力作为落地跑道状态判别的标准. 假设飞机落地瞬间左右机轮着陆的跑道环境相同, 即
$ \mu = {\mu _l} = {\mu _r} $ , 则由式(7)可知前轮支持力定义为:$$ {N_2} = \frac{{\left( {mg - L} \right)\left( {h\mu + b} \right) - {T_o}{b_T}}}{{\left( {a + b} \right) + h\left( {\mu - {\mu _f}} \right)}} $$ (19) 不同跑道条件下的滑移率可以通过结合系数间接体现在飞机前轮支持力上. 通过代入飞机的参数, 可以获得不同跑道下的支持力特征值门限.
典型跑道条件下的支持力特征值门限如表3所示. 通过检测落地瞬间前轮支持力的变化范围即可辨别飞机落地瞬间的跑道环境.
表 3 典型跑道特征值门限Table 3 Threshold of characteristic value of typical runway跑道状态 $ Sp $ $ \mu $ $ {N_2} $ 干跑道 0.117 0.8 100000 湿跑道 0.120 0.4 70000 积雪跑道 0.130 0.2 30000 其次, 考虑利用结合系数阈值范围特征对跑道切换条件下进行有效辨识.
飞机刹车过程中对于跑道切换条件下的跑道状态辨识, 结合系数往往会因为跑道切换产生跳变或迁移现象. 如图5所示, 干跑道上飞机在最大结合系数附近进行防滑刹车, 在
$ {t_0} $ 时刻跑道切换为积雪跑道, 使飞机的结合系数有一个从0.80降至0.19的跳变过程. 这个跳变信号在不同跑道切换时的变化量是不同的, 因此可以提取其特征信号作为飞机跑道切换辨识的标准.
图 5 跑道切换时结合系数变化示意图Fig. 5 Schematic diagram of adhesion coefficient change during runway switching结合不同跑道环境下的结合系数公式, 可以获得三种典型跑道切换时的结合系数变化范围阈值, 如表4所示.
表 4 典型跑道切换对应的结合系数变化量Table 4 Variation of adhesion coefficient corresponding to typical runway switching跑道状态 干跑道 湿跑道 积雪跑道 干跑道 — $ \left[ { - 0.39, - 0.41} \right] $ $ \left[ { - 0.61, - 0.59} \right] $ 湿跑道 $ \left[ {0.39,0.41} \right] $ — $ \left[ { - 0.21, - 0.19} \right] $ 积雪跑道 $ \left[ {0.59,0.61} \right] $ $ \left[ {0.19,0.21} \right] $ — 若检测到跑道结合系数发生了跳变, 说明跑道环境发生了改变, 可以通过当前的结合系数和跳变后的结合系数差值获得结合系数的变化量
$ \Delta \mu $ , 并且与表4中相对应的变化量进行比较, 最终选择合适的切换跑道类型, 以完成跑道切换辨识.2.3 非线性模型预测控制器设计
考虑基于非线性模型预测控制的防滑刹车及纠偏控制器设计方法. 首先, 将非线性防滑刹车控制系统(11)改写为:
$$ {\boldsymbol{\dot x}} = {\boldsymbol{f}}{({\boldsymbol{x}})} + {{\boldsymbol{D}}_{\boldsymbol{u}}}{\boldsymbol{u}} $$ (20) 其中,
${\boldsymbol{x}} = {\left[ {{V_x}}\;\;{{d_y}}\;\;{{V_y}}\;\;{{\omega _l}}\;\;{{\omega _r}}\;\;\psi \;\;r \right]^{\text{T}}}$ 为状态变量,${\boldsymbol{u}} = \left[ {{P_l}} \;\;{{P_r}}\;\;\delta \;\;\theta \right]^{\text{T}}$ 为控制变量. 设定${\boldsymbol{y}} = {[ {{V_x}}\;\;{{d_y}}\;\;\psi ]^{\text{T}}}$ 为输出变量.${\boldsymbol{f}}{(}{\boldsymbol{x}})$ 和$ {{\boldsymbol{D}}_{\boldsymbol{u}}} $ 定义为:$$ {\boldsymbol{f}}{(}{\boldsymbol{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{T_o} - {\mu _f}{N_2} - {\mu _l}{N_{1l}} - {\mu _r}{N_{1r}} - {{\bar \rho }_D}V_x^2}}{m}} \\ {{V_y}} \\ {\dfrac{{ - {K_m}{\beta _{1l}} - {K_m}{\beta _{1r}} + Z}}{m}} \\ {\dfrac{{{\mu _l}{N_{1l}}{r_w}}}{{{J_R}}}} \\ {\dfrac{{{\mu _r}{N_{1r}}{r_w}}}{{{J_R}}}} \\ r \\ {\dfrac{{({F_{x1r}} - {F_{x1l}})c - 2\left( {{F_{1l}} + {F_{1r}}} \right)b}}{{2J}}} \end{array}} \right],$$ $$ {{\boldsymbol{D}}_{\boldsymbol{u}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&{\dfrac{{{{\bar \rho }_\delta }V_x^2}}{m}}&{ - \dfrac{{{K_n}}}{m}} \\ { - \dfrac{1}{{{J_R}}}}&0&0&0 \\ 0&{ - \dfrac{1}{{{J_R}}}}&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&{\dfrac{{{{\bar \rho }_\delta }V_x^2{b_\delta }}}{J}}&{\dfrac{{{K_n}a}}{J}} \end{array}} \right]$$ (21) 利用欧拉法将式(20)进行离散化处理, 设采样周期为
$ \Delta t $ , 可得离散系统状态空间表达式为:$$ \left\{ \begin{aligned} &{\boldsymbol{x}}(k + 1) = ({\boldsymbol{f}}({\boldsymbol{x}}(k)) + {{\boldsymbol{D}}_{\boldsymbol{u}}}{\boldsymbol{u}}(k))\Delta t + {\boldsymbol{x}}(k) \hfill \\ &{\boldsymbol{y}}(k + 1) = {\boldsymbol{Hx}}(k) \end{aligned} \right. $$ (22) 将上式改写为:
$$ \left\{ \begin{aligned} & {\boldsymbol{x}}(k + 1) = F_c^k({\boldsymbol{x}}(k),{\boldsymbol{u}}(k)) \hfill \\ & {\boldsymbol{y}}(k + 1) = {\boldsymbol{Hx}}(k) \end{aligned} \right. $$ (23) 其中,
$ {\boldsymbol{x}}(k) $ 为$ k $ 时刻的状态变量,$ {\boldsymbol{u}}(k) $ 为当前时刻的控制输入,$ F_c^k\left( \cdot \right) $ 表示当前时刻系统的向前预测函数,$ {\boldsymbol{x}}(k + 1) $ 为$ k + 1 $ 时刻的状态变量,$ {\boldsymbol{H}} $ 是输出矩阵, 其表达式为:$$ {\boldsymbol{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0 \end{array}} \right] $$ (24) 在飞机高速滑跑过程中, 前轮转角不能大幅度进行转弯纠偏, 通过脚刹在
$ \left(-5°, 5°\right) $ 之间进行前轮转弯. 此外, 飞机刹车力矩及飞机尾部方向舵转向也有一定的限制, 尾部方向舵转向在$ \left(-30°, 30°\right) $ 之间进行纠偏. 因此, 对飞机的状态变量和控制变量进行如下约束:$$ {\boldsymbol{x}}(k) \in X,{\boldsymbol{u}}(k) \in U $$ $$ \left\{ \begin{aligned} &X = \left\{ {x \in {\bf{R}}\left| {{X_{\min }} \leq x \leq {X_{\max }}} \right.} \right\} \hfill \\ & U = \left\{ {u \in {\bf{R}}\left| {{U_{\min }} \leq u \leq {U_{\max }}} \right.} \right\} \end{aligned} \right. $$ (25) 其中,
$ X $ 为状态变量约束集合,$ {X_{\min }} $ 和$ {X_{\max }} $ 分别为系统状态变量的上下限,$ U $ 为控制变量约束集合,$ {U_{\min }} $ 和$ {U_{\max }} $ 分别为系统控制变量的上下限.在飞机滑跑刹车过程中, 存在三个重要的约束条件: 1) 飞机要以最大结合系数进行刹车, 以达到最短刹停的目的; 2) 要保证飞机的轨迹不偏离跑道, 以防止飞机冲出跑道; 3) 要求飞机姿态为跑道中心线方向, 以使飞机航向正确. 针对上述目标, 将优化目标函数设计为:
$$ {J_1} = \sum\limits_{i = 0}^{{N_P} - 1} {\left\| {{\boldsymbol{x}}(k + i\left| {k) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + i)} \right.} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2} $$ (26) 其中,
$ {\boldsymbol{Q}} $ 代表系统状态变量误差惩罚项权重矩阵,$ {\boldsymbol{x}}(k + i|k) $ 是在第$ k $ 秒下预测第$ k + i $ 秒的系统状态,$ {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + i) $ 是$ k + i $ 秒的期望系统状态,$ {N_P} $ 为预测步长.为保证飞机较为平稳地进行防滑刹车, 需要在优化目标函数中加入控制量增量惩罚项. 同时, 为避免刹车过度, 需要加入控制量惩罚项:
$$\begin{split} {J_2} =\;& \sum\limits_{i = 0}^{{N_C} - 1} {\left\| {{\boldsymbol{u}}(\left. {k + i} \right|k} \right.} \left. ) \right\|_{{{\boldsymbol{P}}_{{1}}}}^2+\\ & \sum\limits_{i = 0}^{{N_C} - 1} {\left\| {{\boldsymbol{u}}(\left. {k + i + 1} \right|k} \right.} \left. {) - {\boldsymbol{u}}(\left. {k + i} \right|k)} \right\|_{{{\boldsymbol{P}}_{{2}}}}^2 \end{split}$$ (27) 其中,
$ {{\boldsymbol{P}}_{{1}}} $ 为控制量惩罚项权重矩阵,$ {{\boldsymbol{P}}_{{2}}} $ 为控制量增量惩罚项权重矩阵,$ {\boldsymbol{u}}(\left. {k + i} \right|k) $ 为在第$ k $ 秒下预测第$ k + i $ 秒的控制量,$ {N_C} $ 为控制步长.此外, 需要对系统状态的终端性能进行约束, 其定义为:
$$ {V_F}({\boldsymbol{x}}(k + {N_P}\left| k \right.)) = \left\| {{\boldsymbol{x}}(k + {N_P}\left| k \right.) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P})} \right\|_{\boldsymbol{F}}^2 $$ (28) 式(28)中,
$ {\boldsymbol{x}}(k + {N_P}\left| k \right.) $ 为非线性模型预测的终端状态,$ {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P}) $ 为终端期望值, 对飞机的终端期望值的约束为$ {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k) \in {X_F} $ ,$ {X_F} $ 为终端约束集, 且$ {X_F} \subset X $ . 设计$ {\boldsymbol{F}} $ 为满足下式的对称正定矩阵[29]:$$\begin{split} &{({{{\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{BK}}}})^{\text{T}}}{\boldsymbol{F}}({{{\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{BK}}}}) - {\boldsymbol{F}} + {\boldsymbol{Q}} \;+\\ &\qquad {{\boldsymbol{K}}^{\text{T}}}({{\boldsymbol{P}}_{{1}}}+{{\boldsymbol{P}}_{{2}}}){\boldsymbol{K}} \leq 0\end{split} $$ (29) 其中,
$ {\boldsymbol{K}} $ 是使系统线性化后稳定的反馈增益矩阵,$ {\boldsymbol{A}} $ 和$ {\boldsymbol{B}} $ 为系统在平衡点$ {x_0} $ 线性化处理后的矩阵:$$ {\boldsymbol{A}} = {\left. {\frac{{\partial {\boldsymbol{f}}{(}{\boldsymbol{x}}) + \partial {{\boldsymbol{D}}_{\boldsymbol{u}}}{\boldsymbol{u}}}}{{\partial {\boldsymbol{x}}}}} \right|_{{x_0}}},\;{\boldsymbol{B}} = {\left. {\frac{{\partial {\boldsymbol{f}}{(}{\boldsymbol{x}}) + \partial {{\boldsymbol{D}}_{\boldsymbol{u}}}{\boldsymbol{u}}}}{{\partial {\boldsymbol{u}}}}} \right|_{{x_0}}} $$ (30) 此外对于系统状态进行如下约束:
$$ \left\{ \begin{aligned} & {\boldsymbol{K}}({\boldsymbol{x}} - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}) \in U,\;\forall {\boldsymbol{x}} \in {X_F} \hfill \\ & F_c^k({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{K}}({\boldsymbol{x}} - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}})) \in {X_F},\;\forall {\boldsymbol{x}} \in {X_F} \end{aligned} \right. $$ (31) 综上所述, 目标函数设计为:
$$ \begin{split} \mathop {\min }\limits_{{\boldsymbol{u}}(k)} J =\;& \sum\limits_{i = 0}^{{N_P} - 1} \left\| {{\boldsymbol{x}}(k + i\left| {k) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + i)} \right.} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 +\\ & \sum\limits_{i = 0}^{{N_C} - 1} {\left\| {{\boldsymbol{u}}(\left. {k + i} \right|k} \right.} \left. ) \right\|_{{{\boldsymbol{P}}_1}}^2 + \\ &\sum\limits_{i = 0}^{{N_C} - 1} {\left\| {{\boldsymbol{u}}(\left. {k + i + 1} \right|k} \right.} \left. {) - {\boldsymbol{u}}(\left. {k + i} \right|k)} \right\|_{{{\boldsymbol{P}}_{{2}}}}^2 + \\ &\left\| {{\boldsymbol{x}}(k + {N_P}\left| k \right.) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P})} \right\|_{\boldsymbol{F}}^2 \end{split} $$ $$ {\text{s}}.\;{\text{t}}.\left\{ \begin{aligned} & {\boldsymbol{x}} \in X \hfill \\ &{\boldsymbol{x}}(k + 1\left| k \right.) = F_c^k({\boldsymbol{x}}(k\left| k \right.),{\boldsymbol{u}}(k\left| k \right.)) \hfill \\ & {\delta _{\min }} < \delta (k) < {\delta _{\max }} \hfill \\ & 0 < {P_l},{P_l}(k) < {P_{\max }} \hfill \\ & {\theta _{\min }} < \theta < {\theta _{\max }} \hfill \\ & F_c^k(x,K({\boldsymbol{x}} - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}})) \in {X_F} \end{aligned} \right. $$ (32) 在此, 采用序列二次规划(Sequential quadratic programming, SQP)求解此最小值优化问题, 即可获得路径跟踪控制的输入变量序列:
$$ {{\boldsymbol{u}}^{{*}}} = {[ {{\boldsymbol{u}}(k\left| k \right.)}\;\;{{\boldsymbol{u}}(k + 1\left| k \right.)}\;\; \cdots \;\;{{\boldsymbol{u}}(k + {N_c}\left| k \right.)} ]^{\text{T}}} $$ (33) 其中, 首元素即为控制器在下一时刻输出的控制量:
$$ {\boldsymbol{u}} = [ 1\;\;0\;\; \cdots \;\;0 ]{{\boldsymbol{u}}^{{*}}} $$ (34) 设计非线性模型预测控制的算法如下.
算法 1. 飞机防滑刹车及纠偏模型预测控制算法
步骤 1. 设定预测步数、控制步数以及惩罚权重系数, 初始化
$ k $ 为零时刻, 求解优化目标函数(32)可以得到初始的输入变量序列${{\boldsymbol{u}}^{{*}}}$ , 将首元素作用于控制系统(20);步骤 2. 在时刻
$k\,(k > 0)$ 时, 利用模型(23)预测未来一段时间内系统状态的变化;步骤 3. 根据时刻
$k\,(k > 0)$ 的系统状态, 计算期望系统状态, 并代入优化目标函数;步骤 4. 根据步骤2和步骤3求解优化目标函数(32)可以得到时刻
$ k $ 的输入变量序列${{\boldsymbol{u}}^{{*}}}$ , 将首元素作用于控制系统(20);步骤 5. 判断是否达到系统停止条件(
$ {V_x} \leq 20 $ m/s), 如果是则跳转步骤6, 否则返回步骤2开始新的控制周期;步骤 6. 终止计算, 算法结束.
定理 2. 在满足式(34)的控制器输入下, 非线性动力学模型(20)可以实现对
$ {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}} $ 的跟踪. 如果算法中的优化问题在初始时刻存在可行解, 则可得闭环系统渐近稳定, 且系统状态最终可以收敛至$ {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}} $ 在状态可行域上的集合$ \Theta $ 上.$$ \Theta = \left\{ {\left\| {{\boldsymbol{x}}(k) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k)} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 \leq \gamma } \right\} $$ (35) 其中,
$$ \begin{split} \gamma =\;& 2\left\| {{\boldsymbol{u}'}({k_0} + {N_P}\left| {{k_0} + 1} \right.)} \right\|_{{\boldsymbol{P}_2}}^2 \times\\ &\left\| {{\boldsymbol{u}'}({k_0} + {N_P} - 1\left| {{k_0} + 1} \right.)} \right\|_{{\boldsymbol{P}_2}}^2 + \\ & \left\| {{\boldsymbol{u}'}({k_0} + {N_P} - 1\left| {{k_0} + 1} \right.)} \right\|_{{\boldsymbol{P}_2}}^2 + \\ & \left\| {{\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}({k_0} + {N_P}) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}({k_0} + {N_P} + 1)} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 + \\ & 2\left\| {{\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}({k_0} + {N_P}) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}({k_0} + {N_P} + 1)} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 \times \\ & \left\| {({\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{K}}^{{-}1}} + {\boldsymbol{B}}){\boldsymbol{u}'}({k_0} + {N_P} - 1\left| {{k_0} + 1} \right.)} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 \end{split} $$ 证明. 假设优化问题
$ J({\boldsymbol{x}}({k_0}),{k_0}) $ 在$ {k_0} $ 时刻的最优解序列为${\boldsymbol{U}}_{{{{k}}_{{0}}}}^{{*}}$ , 对应的最优状态序列为${\boldsymbol{X}}_{{{{k}}_{{0}}}}^{{*}}$ , 则可以分别表示为:$$ \left\{ \begin{aligned} {\boldsymbol{U}}_{{{{k}}_{{0}}}}^{{*}}=\;& [ {{{\boldsymbol{u}}^*}({k_0}| {{k_0}} )}\;\;{{{\boldsymbol{u}}^*}({k_0} + 1| {{k_0}} )}\;\; \cdots \\ &{{\boldsymbol{u}}^*}({k_0} + {N_P} - 1| {{k_0}} ) ]^{\text{T}} \hfill \\ {\boldsymbol{X}}_{{{{k}}_{{0}}}}^{{*}} =\;& [ {{{\boldsymbol{x}}^*}({k_0}| {{k_0}} )}\;\;{{{\boldsymbol{x}}^*}({k_0} + 1| {{k_0}} )}\;\; \cdots \\ &{{\boldsymbol{x}}^*}({k_0} + {N_P} - 1| {{k_0}} ) ]^{\text{T}} \end{aligned} \right. $$ (36) 构造优化问题
$ J({\boldsymbol{x}}({k_0} + 1),{k_0} + 1) $ 在$ {k_0} + 1 $ 时刻的备选最优解序列${{\boldsymbol{U}'}_{{{{k}}_{{0}}} + 1}}$ 记为:$$\begin{split} {{\boldsymbol{U}'}_{{{{k}}_{{0}}} + 1}}=\;&[ {{\boldsymbol{u}'}({k_0} + 1| {{k_0} + 1} )}\;\;{{\boldsymbol{u}'}({k_0} + 2| {{k_0}} + 1)}\;\; \cdots \\ &{\boldsymbol{u}'}({k_0} + {N_P}| {{k_0} + 1} ) ]^{\text{T}}\\[-10pt] \end{split}$$ (37) 将
${{\boldsymbol{U}'}_{{{{k}}_{{0}}} + 1}}$ 和${\boldsymbol{U}}_{{{{k}}_{{0}}}}^{{*}}$ 对比, 最优解序列各项可表示为:$$ \left\{ \begin{aligned} & {\boldsymbol{u}'}({k_0} + j + 1\left| {{k_0}} \right. + 1) = {{\boldsymbol{u}}^{{*}}}({k_0} + j + 1\left| {{k_0}} \right.),\\ &\qquad\forall j = 0,1, \cdots ,{N_P} - 2 \hfill \\ & {\boldsymbol{u}'}({k_0} + {N_P}\left| {{k_0}} \right. + 1) = {\boldsymbol{K}}({{\boldsymbol{x}}^{{*}}}({k_0} + {N_P}\left| {{k_0}} \right.) \\ &\qquad- {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}({k_0} + {N_P})) \end{aligned} \right. $$ (38) 备选最优解的变化量在
$ {k_0} + 1 $ 时刻表示为:$$ \begin{split} &\Delta {\boldsymbol{u}'}({k_0} + j + 1\left| {{k_0}} \right. + 1) = {\boldsymbol{u}'}({k_0} + j + 1\left| {{k_0}} \right. + 1)-\\ &\qquad{\boldsymbol{u}'}({k_0} + j\left| {{k_0}} \right. + 1),\forall j = 1,2, \cdots ,{N_P} - 1 \end{split} $$ (39) 记系统状态序列为
${{\boldsymbol{X}'}_{{{{k}}_{{0}}} + 1}}$ , 在$ {k_0} + 1 $ 时刻表示为:$$ \begin{split} {{\boldsymbol{X}'}_{{{{k}}_{{0}}} + 1}} = \;&[ {{\boldsymbol{x}'}({k_0} + 1\left| {{k_0} + 1} \right.)}\;\;{{\boldsymbol{x}'}({k_0} + 2\left| {{k_0}} \right. + 1)}\;\; \cdots \\ &{{\boldsymbol{x}'}({k_0} + {N_P} + 1\left| {{k_0}} \right. + 1)} ]^{\text{T}}\\[-10pt]\end{split} $$ (40) 针对
$\forall j = 0,1, \cdots ,{N_P} - 1$ 可以推出:$$ \left\{ \begin{aligned} &{\boldsymbol{x}'}({k_0} + 1\left| {{k_0} + 1} \right.) = {{\boldsymbol{x}}^{{*}}}({k_0} + 1\left| {{k_0}} \right.) \hfill \\ &{\boldsymbol{x}'}({k_0} + 2\left| {{k_0} + 1} \right.) = {{\boldsymbol{x}}^{{*}}}({k_0} + 2\left| {{k_0}} \right.) \hfill \\ & \qquad\qquad\qquad\vdots \hfill \\ &{\boldsymbol{x}'}({k_0} + j + 1\left| {{k_0} + 1} \right.) = {{\boldsymbol{x}}^{{*}}}({k_0} + j + 1\left| {{k_0}} \right.) \end{aligned} \right. $$ (41) 当
$ j = {N_P} $ 时, 终端状态表示为:$$ \begin{split} &{\boldsymbol{x}'}({k_0} + {N_P} + 1\left| {{k_0} + 1} \right.) = F_c^k({{\boldsymbol{x}}^{{*}}}({k_0} + j\left| {{k_0}} \right.),\\ &\qquad{\boldsymbol{K}}({{\boldsymbol{x}}^{{*}}}({k_0} + {N_P}\left| {{k_0}} \right.) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}({k_0} + {N_P})))\end{split} $$ (42) 由于在
$ {k_0} $ 时刻, 优化问题存在最优解序列及相应的最优状态序列, 表明最后一个元素成立. 根据系统约束, 可以推出$ {\boldsymbol{x}'}({k_0} + {N_P} + 1\left| {{k_0} + 1} \right.) \in {X_F} $ , 说明在$ {k_0} + 1 $ 时刻, 优化问题存在可行解. 又因为在$ k = 0 $ 时存在可行解, 因此在$ k > 0 $ 的所有时刻, 优化问题都存在可行解.根据上述分析, 现记
$ k $ 时刻的最优解序列所对应的最小性能指标函数为$ {J'_{vk}} $ , 在本文中假设控制步长与预测步长大小一样, 则该最小性能指标函数可以表示为:$$ \begin{split} {{J'}_{vk}} =\;& \sum\limits_{j = 0}^{{N_P} - 1} \Big\{ \left\| {{{\boldsymbol{x}}^{{*}}}(k + j\left| k \right.) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + j)} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 +\\ & \| {{{\boldsymbol{u}}^{{*}}}(k + j\left| k \right.)} \|_{{\boldsymbol{P}}_1}^2 + \\ & \| \Delta {{\boldsymbol{u}}^{{*}}}(k + j| k) \|_{{\boldsymbol{P}}_2}^2 \Big\} + \| {{\boldsymbol{x}}^{{*}}}(k + {N_P}| k ) -\\ & {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P}) \|_{\boldsymbol{F}}^2 \end{split} $$ (43) 记
$ k + 1 $ 时刻的最小性能指标函数为$ {J'_{v(k + 1)}} $ , 可以表示为:$$ \begin{split} {{J'}_{v(k + 1)}} =\;& \sum\limits_{j = 0}^{{N_P} - 2} \Big\{ \| {\boldsymbol{x}'}(k + j + 1| k + 1) \;-\\ &{{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + j + 1) \|_{\boldsymbol{Q}}^2\; + \\ & \left\| {{\boldsymbol{u}'}(k + j + 1\left| k \right. + 1)} \right\|_{{\boldsymbol{P}_1}}^2 +\\ & \left\| { \Delta {\boldsymbol{u}'}(k + j + 1\left| k \right. + 1)} \right\|_{{\boldsymbol{P}_2}}^2 \Big\} + \\ & \left\| {{\boldsymbol{u}'}(k + {N_P}\left| k \right. + 1)} \right\|_{{\boldsymbol{P}_1}}^2+ \\ & \left\| { \Delta {\boldsymbol{u}'}(k + {N_P}\left| k \right. + 1)} \right\|_{{\boldsymbol{P}_2}}^2 + \\ & \left\| {{\boldsymbol{x}'}(k + {N_P} + 1| k ) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P} + 1)} \right\|_{\boldsymbol{F}}^2 \;+ \\ & \left\| {{\boldsymbol{x}'}(k + {N_P}\left| k \right. + 1) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P})} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 \end{split} $$ (44) 根据最优解序列相关表达式可以推出:
$$ \begin{split} {{J'}_{v(k + 1)}} \leq\;& {{J'}_{vk}} + \gamma -\| {{\boldsymbol{x}}^{{*}}}(k| k ) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k) \|_{\boldsymbol{Q}}^2 \;- \\ &\| {{{\boldsymbol{u}}^{{*}}}(k| k )} \|_{{\boldsymbol{P}_1}}^2 - \\ & \| { \Delta {{\boldsymbol{u}}^{{*}}}(k| k )} \|_{{\boldsymbol{P}_2}}^2 -\| {{\boldsymbol{x}}^{{*}}}(k + {N_P}| k ) \;-\\ &{{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P})\|_{\boldsymbol{F}}^2\; + \\ & \| {{{\boldsymbol{x}}^{{*}}}(k + {N_P}\left| k \right.) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P})} \|_{\boldsymbol{Q}}^2 + \\ & \| {{\boldsymbol{K}}({{\boldsymbol{x}}^{{*}}}(k + {N_P}\left| k \right.) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P}))} \|_{{\boldsymbol{P}_1}}^2 + \\ & \| {{\boldsymbol{K}}({{\boldsymbol{x}}^{{*}}}(k + {N_P}\left| k \right.) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P}))} \|_{{\boldsymbol{P}_2}}^2 + \\ & \| ({\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{BK}})({{\boldsymbol{x}}^{{*}}}(k + {N_P}\left| k \right.) \;-\\ & {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k + {N_P}))\|_{\boldsymbol{F}}^2 \\[-10pt] \end{split} $$ (45) 由式(29)易知:
$$ \begin{split} {{J'}_{v(k + 1)}} \leq \;&{{J'}_{vk}} + \gamma - \left\| {{{\boldsymbol{x}}^{{*}}}(k\left| k \right.) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k)} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 - \\ & \left\| {{{\boldsymbol{u}}^{{*}}}(k\left| k \right.)} \right\|_{{\boldsymbol{P}_1}}^2 - \left\| { \Delta {{\boldsymbol{u}}^{{*}}}(k\left| k \right.)} \right\|_{{\boldsymbol{P}_2}}^2\leq \\ & {{J'}_{vk}} + \gamma - \left\| {{{\boldsymbol{x}}^{{*}}}(k\left| k \right.) - {{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{r}}}(k)} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 \end{split} $$ (46) 假设系统状态一直在收敛集合
$ \Theta $ 外, 即${J'_{v(k + 1)}} < {J'_{vk}}$ 成立, 表明$ {J'_v} $ 为严格单调递减函数, 这与二次型性能指标存在最小值相矛盾, 故假设不成立. 因此系统状态在无外界扰动的情况下, 一定会在某时刻进入并一直处于收敛集合$ \Theta $ 内, 使得闭环系统稳定. □本文所提出的非对称运动下的双侧机轮协调控制架构如图6所示. 非对称运动下的双侧机轮飞机地面滑跑动力学模型有效描述了滑跑阶段系统的横纵运动状态; 利用横向速度和尾舵转角变量构建滑模干扰观测器, 对侧风干扰进行实时估计, 并通过调整微分器设计参数以实现对侧风干扰的有效抑制; 通过跑道辨识方法实时获取最大结合系数, 并为非线性模型预测控制器提供最佳滑移率, 以提升飞机防滑刹车效率; 利用飞机运动状态信息、侧风扰动观测量以及最佳滑移率设计非线性模型预测控制器, 其优化函数同时兼顾了防滑、纠偏、控制输出以及终端性能, 在系统约束下通过SQP规划算法获取最优控制输出, 以实现飞机防滑刹车和纠偏的协调控制.
图 6 飞机防滑刹车及纠偏控制架构Fig. 6 Aircraft anti-skid braking and deviation correction control architecture3. 仿真验证
为了验证本文所提出建模方法的正确性和所提出控制策略的有效性, 下面将分别从干扰估计、跑道辨识、防滑刹车与纠偏几个方面设计仿真实验. 相关的飞机模型参数的设置来源于文献[30], 符合实际工况要求. 设置飞机初始滑跑速度为
$ {V_x} = 72 $ m/s, 仿真终止条件为$ {V_x} \leq 20 $ m/s.仿真1. 首先设计仿真实验对侧风干扰进行有效估计. 飞机的侧力计算公式为[31]:
$$ Z = \rho {S_w}{C_Y}V_{{\rm{wind}}}^2 $$ (47) 其中,
$ \rho $ 为空气密度,$ {S_w} $ 为机翼面积,$ {C_Y} $ 为侧力系数,${V_{{\rm{wind}}}}$ 为侧风速度. 参考MIL-F-8785C军事规范中“1−余弦”侧风干扰模型[32], 并假设侧风速度存在轻微起伏波动, 设计侧风速度满足如下条件:$$ {V_{{\rm{wind}}}} = \left\{ {\begin{aligned} & 0,&{t < 0}\;\,\;\qquad \\ &{\frac{{{V_m}}}{2}\left( {1{{ - {\rm{cos}}(}}\frac{{\pi t}}{{{t_m}}}{\text{)}}} \right)},&{0 \leq t \leq {t_m}} \;\\ & {{V_m}\left( {1{\text{ + }}\frac{{{\text{sin}}\left( {\pi \left( {t - {t_m}} \right)} \right)}}{{100}}} \right)},&{t > {t_m}}\qquad \end{aligned}} \right. $$ (48) 其中,
$ {V_m} $ 是侧风幅度,$ {t_m} $ 是侧风时间点,$ t $ 是时间. 式(47)和式(48)中具体参数如表5所示.表 5 侧风干扰数据参数Table 5 Crosswind disturbance data parameters参数 值 侧风角度 90 ° 空气密度$ \rho $ 1.225 kg/m3 机翼面积$ {S_w} $ 121.86 m2 侧力系数$ {C_Y} $ 0.94 侧风幅度$ {V_m} $ 15 m/s 侧风时间$ {t_m} $ 3 s 图7给出了在上述侧风力扰动条件下进行干扰估计的实验结果. 如图所示, 设计的干扰观测器能够对侧风扰动进行实时准确估计, 并保证了侧风观测误差在合理范围内.
仿真2. 考虑在0 s ~ 3 s湿跑道、3 s ~ 6 s干跑道、6 s ~ 12 s积雪跑道以及12 s ~ 15 s湿跑道情况下的跑道辨识仿真实验.
图8给出了跑道切换条件下跑道辨识的仿真结果. 如图所示, 由于飞机机轮触地时, 前轮荷载从零开始迅速增长, 会依次通过积雪跑道和湿跑道的门限值, 因此跑道辨识会出现由积雪跑道变为湿跑道的过程. 仿真结果表明, 在多个跑道切换的情况下, 本文提出的基于前轮荷载状态门限特征和结合系数阈值范围特征的分析方法能够迅速准确地对切换跑道进行辨识.
仿真3. 考虑在0 s ~ 5 s干跑道和5 s后湿跑道条件下的防滑刹车与纠偏控制仿真实验.
由仿真结果(图9)所示, 飞机机轮速度在跑道切换时能够快速反应, 总体滑跑减速平缓且无较大波动. 图9(b)和图9(c)给出了飞机左右机轮滑移率及结合系数的变化情况, 整体波动幅度较小且在合理范围内. 图9(d)显示飞机在整个滑跑过程中都无偏航且滑跑姿态较好. 仿真主要性能指标如表6 所示, 左右机轮结合系数效率相同可以达到99.85%, 刹车距离为699.20 m, 刹车时间为15.90 s.
图 9 无侧风、偏航状态下飞机防滑刹车及纠偏仿真结果Fig. 9 Simulation results of aircraft anti-skid braking and deviation correction under no crosswind and yaw conditions表 6 飞机防滑刹车性能指标Table 6 Performance index of aircraft anti-skid braking性能指标 仿真 3 仿真 4 左机轮结合系数效率 (%) 99.85 99.81 右机轮结合系数效率 (%) 99.85 99.84 刹车距离 (m) 699.20 700.51 刹车时间 (s) 15.90 15.95 最终偏航距离 (m) 0 0.56 最终偏航角度 (°) 0 0 仿真4. 考虑在仿真实验1中引入侧风干扰, 进行干、湿切换跑道情况下的防滑刹车与纠偏控制仿真实验, 设置初始偏航角3°, 初始偏航距离5 m.
由仿真结果(图10)所示, 由于飞机在刹车过程同时进行纠偏行为, 导致机轮速度会有较小的波动, 但是通过模型预测控制方法能够迅速反应进行纠偏调整.
图 10 有侧风及偏航情况下飞机防滑刹车及纠偏仿真结果Fig. 10 Simulation results of aircraft anti-skid braking and deviation correction under crosswind and yaw conditions图10(b)和图10(c)分别给出飞机左右机轮的滑移率及结合系数的变化情况, 可以看出当飞机转变航向角时, 飞机的左右支持力出现了较大变化, 导致滑移率和结合系数有一个明显的波动, 但其波动均在合理范围内. 图10(d)给出了飞机偏航距离和偏航角度的仿真曲线, 可以看出通过5 s调整, 飞机的偏航距离和偏航角度平缓收敛, 表明纠偏效果良好.
刹车过程中主要性能指标如表6所示, 由于有侧风、纠偏等因素, 左右机轮结合系数效率略有不同, 分别达到99.81%以及99.84%, 刹车距离为700.51 m, 刹车时间为15.95 s.
综上, 本文在双侧机轮非对称运动下建立的飞机地面滑跑模型符合实际工况要求, 所提出的基于干扰观测器和跑道辨识的非线性模型预测控制策略有较好的防滑刹车与纠偏效果.
4. 结论
本文研究了飞机在刹车过程中的防滑刹车与纠偏协调控制问题. 通过综合考虑飞机的刹车滑移率、纠偏距离以及偏航姿态等信息, 并且将强侧风干扰引入到系统建模中, 建立了双侧机轮非对称运动下的飞机地面滑跑动力学模型. 在此基础上, 设计了基于有限时间的滑模干扰观测器对飞机侧风干扰进行有效估计, 并且设计了跑道辨识技术对复杂跑道切换进行精准识别. 通过非线性模型预测控制方法, 将飞机左右机轮滑移率、偏航距离以及偏航姿态作为优化目标, 完成了防滑刹车及纠偏协调控制. 通过数值模拟仿真, 验证了本文提出的非对称运动下刹车系统模型的正确性和所设计的非线性模型预测控制方法的有效性.
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图 2 飞机滑跑轮胎侧偏角及受力分析图
Fig. 2 Tire sideslip angle and stress analysis diagram during aircraft landing
图 5 跑道切换时结合系数变化示意图
Fig. 5 Schematic diagram of adhesion coefficient change during runway switching
图 6 飞机防滑刹车及纠偏控制架构
Fig. 6 Aircraft anti-skid braking and deviation correction control architecture
图 9 无侧风、偏航状态下飞机防滑刹车及纠偏仿真结果
Fig. 9 Simulation results of aircraft anti-skid braking and deviation correction under no crosswind and yaw conditions
图 10 有侧风及偏航情况下飞机防滑刹车及纠偏仿真结果
Fig. 10 Simulation results of aircraft anti-skid braking and deviation correction under crosswind and yaw conditions
表 1 飞机刹车系统参数
Table 1 Aircraft braking system parameters
物理含义 符号 飞机质量 (kg) $ m $ 重力加速度 (m/s2) $ g $ 前轮到飞机重心的投影距离 (m) $ a $ 左右机轮到飞机重心的投影距离 (m) $ b $ 飞机左右机轮之间投影距离 (m) $ c $ 偏航力矩惯性积 (kg·m2) $ J $ 飞机高度 (m) $ h $ 飞机重心 $ cg $ 偏航角 (°) $ \psi $ 飞机重力 (N) $ G $ 侧风干扰力 (N) $ Z $ 飞机剩余推力 (kg) $ {T_o} $ 飞机偏航距离 (m) $ {d_y} $ 飞机纵向阻力系数 $ {\rho _D} $ 飞机偏航系数 $ {\rho _\delta } $ 飞机升力系数 $ {\rho _L} $ 发动机到飞机重心的距离 (m) $ {b_T} $ 尾舵到飞机重心的投影距离 (m) $ {b_\delta } $ 左右机轮角速度 (rad/s) $ {\omega _l} $,$ {\omega _r} $ 
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表 2 结合系数模型参数
Table 2 Parameters of adhesion coefficient model
跑道状态 $ D $ $ C $ $ B $ $ Sp $ 干跑道 0.8 1.5344 14.0326 0.117 湿跑道 0.4 2.0192 8.2098 0.120 积雪跑道 0.2 2.0875 7.2017 0.130
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表 3 典型跑道特征值门限
Table 3 Threshold of characteristic value of typical runway
跑道状态 $ Sp $ $ \mu $ $ {N_2} $ 干跑道 0.117 0.8 100000 湿跑道 0.120 0.4 70000 积雪跑道 0.130 0.2 30000
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表 4 典型跑道切换对应的结合系数变化量
Table 4 Variation of adhesion coefficient corresponding to typical runway switching
跑道状态 干跑道 湿跑道 积雪跑道 干跑道 — $ \left[ { - 0.39, - 0.41} \right] $ $ \left[ { - 0.61, - 0.59} \right] $ 湿跑道 $ \left[ {0.39,0.41} \right] $ — $ \left[ { - 0.21, - 0.19} \right] $ 积雪跑道 $ \left[ {0.59,0.61} \right] $ $ \left[ {0.19,0.21} \right] $ —
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表 5 侧风干扰数据参数
Table 5 Crosswind disturbance data parameters
参数 值 侧风角度 90 ° 空气密度$ \rho $ 1.225 kg/m3 机翼面积$ {S_w} $ 121.86 m2 侧力系数$ {C_Y} $ 0.94 侧风幅度$ {V_m} $ 15 m/s 侧风时间$ {t_m} $ 3 s
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表 6 飞机防滑刹车性能指标
Table 6 Performance index of aircraft anti-skid braking
性能指标 仿真 3 仿真 4 左机轮结合系数效率 (%) 99.85 99.81 右机轮结合系数效率 (%) 99.85 99.84 刹车距离 (m) 699.20 700.51 刹车时间 (s) 15.90 15.95 最终偏航距离 (m) 0 0.56 最终偏航角度 (°) 0 0
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