Observer-based Longitudinal Control for Connected and Automated Vehicles Platoon Subject to Communication Delay
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摘要: 考虑通信延时影响的车辆队列控制问题, 提出一种基于观测器的分布式车辆队列纵向控制器. 首先, 基于分层控制策略分别设计上下层控制器, 通过上层控制器优化期望加速度、下层控制器克服车辆模型非线性实现期望加速度和实际加速度的一致. 上层控制器设计过程中, 基于三阶线性化车辆模型, 考虑观测器、车辆动态耦合特性和通信延时, 提出一种通信延时环境下基于观测器的车辆队列控制器, 利用观测器估计领导车辆加速度信息从而减轻通信负担. 然后, 利用Lyapunov-Krasovskii方法分析车辆队列的稳定性, 并得出通信延时上界, 同时利用传递函数方法分析了串稳定性. 最后, 通过数值仿真验证上层控制器的有效性和稳定性. 在此基础上, 利用PreScan软件中高保真车辆动态模型, 验证了该分层控制策略的有效性.Abstract: This paper proposes a distributed longitudinal controller subject to communication delay based on the observer. Firstly, the high-level and low-level controllers are designed respectively based on the hierarchical control strategy, where the desired acceleration is optimized by the high-level controller and the low-level controller is proposed to follow it. In the design process of the high-level controller, a new distributed controller is proposed based on the third order dynamics model jointly the communication delays, observer, and dynamic coupling characteristics of vehicles. In particular, the acceleration of the leader vehicle is estimated by the observer for reducing the communication costs. Then, the stability of the proposed controller is analyzed using the Lyapunov-Krasovskii method, and an estimate of the delay bound is provided. The string stability of the platoon is analyzed using the transfer function method. Finally, the effectiveness and stability of the high-level controller are verified by numerical simulation. Furthermore, the effectiveness of the proposed controller is verified by simulations using a high-fidelity vehicle dynamic model in PreScan.
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近年来, 智能网联车辆队列因其在提高安全性、增加交通容量和降低能耗方面的好处而得到了广泛的研究[1-4]. 车辆队列的主要目标是开发合适的控制器, 使车辆队列中的车辆以相同的速度和期望的间距组成队列, 并保证车辆队列串稳定性.
诸多学者已经开展关于车辆队列控制方法的广泛研究, 主要分为基于串稳定性的方法[5-11]和基于一致性的方法[12-17]两大类. 基于串稳定性的方法确保扰动从队列中的第一辆车到最后一辆车传播时呈衰减趋势. 基于一致性协议的方法侧重于队列中车辆位置和速度的一致.
对基于串稳定性的方法, 文献[5]提出一种考虑参数不确定性影响的控制算法. 文献[6]提出一种基于滚动优化的车辆队列控制方法, 用于研究系统的渐近稳定性和车辆队列串稳定性. 文献[7]提出一种用于有限通信距离的车辆队列控制方法, 并推导出了串稳定性的频域充要条件. 文献[8]提出一种分布式有限时间自适应积分滑模控制方法, 以保证每辆车的有限时间稳定性和串稳定性. 文献[9]提出一种基于干扰观测器的方法, 保证了在车辆动力学的不确定性和前车加速度信息缺失影响下的单车稳定性和车辆队列串稳定性. 然而, 上述文献没有考虑延时对车辆队列的影响. 针对延时的问题, 文献[10]研究异质延时对车辆队列的串稳定性的影响, 并提出一种协同自适应巡航控制算法. 文献[11]考虑外部扰动和通信延时, 提出一种基于鲁棒控制的车辆队列控制方法, 保证了单车稳定性和队列的串稳定性. 上述研究关注的是车辆队列串稳定性, 将车辆作为一个独立的节点, 忽略了车辆间的动态耦合特性, 导致车辆队列在移动过程中的车辆间距误差为负, 这意味着相邻车辆间可能出现碰撞问题.
对基于一致性协议的方法, 文献[12]提出一种基于三阶状态空间模型的一致性算法, 实现了队列中车辆位置、速度以及加速度的一致性. 文献[13]提出一种在无向通信拓扑条件下的车辆队列协同控制算法. 进一步, 考虑通信延时的影响, 文献[14]提出一个分布式控制方法来补偿延迟效应并抑制稳态误差. 文献[15]研究了异质时变通信延时下的车辆队列控制问题, 利用Lyapunov-Krasovskii方法推导了一致性和稳定性的充要条件. 文献[16]提出一种考虑恒定通信延时影响的一致性方法, 推导出了车辆队列内部稳定性的充要条件. 值得注意的是, 现有的控制方法[12-14]表明加速度信息的使用可以增加控制精度, 是保证串稳定性的必要条件. 然而它们依赖于通过车−车(Vehicle-to-vehicle, V2V)通信技术接收前方车辆的加速度信息, 这无疑会增加通信负担, 当无线通信带宽被过度使用时, 无线网络的可靠性会降低[18]. 文献[17]考虑通信延时影响设计了基于观测器的车辆队列协同控制方法, 利用观测器估计前车速度信息, 提高了交通容量以及减少了通信链路数量. 同样, 上述研究忽略了车辆间的动态耦合特性, 这可能导致负的间距误差, 负速度以及不合理的加/减速度.
随着车辆队列控制理论的逐步发展, 针对车辆间的动态耦合特性以及通信延时的影响引起了学者的关注[19-20]. 文献[19]基于二阶积分模型提出一种考虑通信延时的车辆队列非线性控制器. 进一步, 文献[20]基于三阶线性模型提出一种考虑通信延时影响的异质车辆队列非线性控制器. 然而, 上述研究仅通过数值仿真验证了车辆队列控制器的有效性, 并未考虑车辆非线性动力学特性.
本文旨在研究通信延时环境下的车辆队列协同控制方法, 为了减轻通信负担并考虑通信延时以及车辆动态耦合特性的影响, 提出一种基于观测器的车辆队列控制器, 利用分层控制策略, 克服车辆动力学非线性扰动, 在PreScan/Simulink联合仿真平台中验证控制器的有效性. 本文主要贡献有以下3点: 1)与文献[5-17]设计的车辆队列控制器不同, 本文提出一种考虑车辆动态耦合特性的车辆队列控制器, 避免出现负的间距误差和不合理的加/减速度; 2)与文献[12-14]考虑加速度信息影响的控制器不同, 本文利用观测器估计了领导车辆的加速度信息, 减轻通信负担; 3)与文献[5-16, 19-20]仅进行数值仿真验证控制算法的控制性能不同, 本文基于PreScan中高保真车辆动态模型, 验证了控制器的有效性.
本文结构如下: 第1节为问题描述与预备知识; 第2节介绍基于观测器设计考虑通信延时和车辆动态耦合特性的车辆队列协同控制器, 进行稳定性、通信延时上界以及串稳定性分析; 第3节为数值仿真和PreScan/Simulink联合仿真平台验证本文所提控制器的有效性; 第4节进行总结.
1. 问题描述与预备知识
1.1 问题描述
如图1 所示的交通场景, 车辆队列由在直道上的$N + 1$辆智能网联车组成, 其中包含1个领导车辆编号$i = 0$, $N$个跟随车辆编号$i = 1, 2,\cdots , N$, 使用前车−领导者跟随式(Predecessor-leader following, PLF)通信拓扑描述智能网联车辆之间的连通性, 这意味着通过V2V通信技术, 队列中的每一个跟随车辆可以获得队列内前车和领导车辆实时状态信息.
为了详细说明这一拓扑, 定义一个有向图${\cal{G}} = ({\cal{V}},{\cal E},{\cal{M}})$. 其中节点的集合表示为${\cal{V}} = 1,2, \cdots ,N$, ${\cal E} = {\cal{V}} \times {\cal{V}}$表示图${\cal{G}}$中两两节点的边集, 即跟随车辆间的通信连接. ${\cal{M}} = {[{m_{ij}}]_{N \times N}}$表示邻接矩阵, 如果车辆$i$能够获得车辆$j$的信息, 则${m_{ij}} = 1$; 否则, ${m_{ij}} = 0$. 拉普拉斯矩阵${\cal{L}} = [{l_{ij}}] \in {{\bf{R}}^{N \times N}}$和图${\cal{G}}$的关系可表示为: 如果$i \ne j$, 则${l_{ij}} = - {m_{ij}}$; 如果$i = j$,则${l_{ij}} = \displaystyle\sum\nolimits_{k \;=\; 1}^N {{m_{ik}}}$.
图${\cal{G}}$和拉普拉斯矩阵${\cal{L}}$表示跟随车辆之间的通信拓扑. 假设领导车辆只能传送状态信息, 因此领导车辆和跟随车辆间的通信拓扑定义为一个对角矩阵.
$${\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}& \cdots &0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{b_N}} \end{array}} \right] $$ 如果第$i$辆跟随车辆可以成功接收到领导车辆发送的状态信息, 则${b_i} = 1$, 否则${b_i} = 0$.
对于PLF拓扑, 如果$j = i - 1$, 邻接矩阵中的元素${m_{ij}} = 1$, 否则${m_{ij}} = 0$. 队列中跟随车辆都可以接收到领导车辆状态信息, 意味着${b_i} = 1$, $i =1, 2, \cdots ,N$.
1.2 预备知识
引理1[15]. 设$f:{\boldsymbol{I}} \subseteq {\bf{R}} \to {\bf{R}}$是定义在实数区间${\boldsymbol{I}}$上的凸映射, 那么下列不等式成立:
$$f\left(\frac{{a + b}}{2}\right) \le \frac{1}{{b - a}}\int_a^b {f(x){\rm{d}}x \le \frac{{f(a) + f(b)}}{2}} $$ (1) 式中, $a,b \in {\boldsymbol{I}}$并且$a > b$.
引理2[21]. 对于任意${\boldsymbol{c}},{\boldsymbol{d}} \in {{\bf{R}}^n}$和任意正定矩阵${\boldsymbol{F}} \in {{\bf{R}}^{n \times n}}$, 则有:
$$2{{\boldsymbol{c}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{d}} \le {{\boldsymbol{c}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Fc}} + {{\boldsymbol{d}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{F}}^{ - 1}}{\boldsymbol{d}}$$ (2) 考虑如下延时微分方程:
$$\dot {\boldsymbol{x}}(t) = f(t,{{\boldsymbol x}_t}),\;\;\;\;\;t \ge {t_0}$$ (3) 式中, ${\boldsymbol{x}}(t) \in {{\bf{R}}^n}$是系统状态向量. ${{\boldsymbol{x}}_t} \in \bf C([ \tau ,0],{{\bf{R}}^n})$表示状态轨迹的传递算子, 定义为${{\boldsymbol{x}}_t}(\theta ) = {\boldsymbol{x}}(t + \theta ), \forall \theta \in [ - \tau ,0]$. 函数$f(t,{x_t})$对于${{\boldsymbol{x}}_t}$是连续的, 满足$f(t,0) = 0$. ${{\boldsymbol{x}}_{t0}} ={\boldsymbol{ \phi}}$是函数的初始条件.
定理1[22]. Lyapunov-Krasovskii 稳定性定理假设$f:{\bf{R}} \times \bf C \to {{\bf{R}}^{n}}$是把${\bf{R}} \times \bf C$映射入${{\bf{R}}^n}$的有界子集, $u(s)$、$v(s)$和$\omega (s)$为连续非负非减函数, 同时当$s > 0$时, $u(s) > 0$, $v(s) > 0$, $u(0) = v(0) = 0$. 如果存在一个连续可微的函数$E:{\bf{R}} \times {{\bf C}} \to {{\bf{R}}^n}$使得:
$$u(\left\| {{\boldsymbol{\phi}} (0)} \right\|) \le V(t,{\boldsymbol{\phi}} ) \le v({\left\| {\boldsymbol{\phi}} \right\|_c})$$ (4) 以及$\dot V(t,{\boldsymbol{\phi}} ) \le - \omega (\left\| {{\boldsymbol{\phi}} (0)} \right\|)$成立, 则${\boldsymbol{x}} = 0$是一致稳定的. 此外, 如果$\omega (s) > 0$对于$s > 0$, 那么它是一致渐近稳定的, 如果${\lim _{s \to \infty }}u(s)$ $= \infty$, 则它是全局一致渐近稳定的.
2. 控制器设计与稳定性分析
在车辆队列协同控制中广泛采用分层控制策略, 这种策略减小了车辆参数和外界参数变化对系统稳定性和鲁棒性的影响. 上层控制器的目的是为了优化所需的加速度, 考虑通信时延的影响, 保证车辆队列的稳定性和串稳定性; 下层控制器的目的是在车辆模型非线性和不确定性的影响下, 保证车辆实际加速度与上层控制器所计算加速度一致.
2.1 上层控制器设计
上层车辆纵向动力学模型采用线性化的三阶模型, 其表达式如下[12, 20]:
$$\left\{ {\begin{aligned} & {{{\dot s}_i}(t) = {q_i}(t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\ & {{{\dot q}_i}(t) = {a_i}(t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\ & {{{\dot a}_i}(t) = - T_i^{ - 1}{a_i}(t) + T_i^{ - 1}{u_i}(t)} \end{aligned}} \right.,\;\forall i \in \{ 0\} \cup {\cal{V}}$$ (5) 式中, ${s_i}(t)$、${q_i}(t)$、${a_i}(t)$分别表示队列中车辆$i$在$t$时刻的位置、速度和加速度. ${u_i}(t)$表示车辆$i$的控制输入, ${T_i}$表示动力传动系统的惯性时间.
车辆队列的目标是队列中的所有车辆保持相同速度和期望的安全距离行驶, 因此队列控制目标可以表示为:
$$\left\{ {\begin{aligned} & {\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {s_0}(t) - {s_i}(t) - i \cdot ({l_c} + D) = 0} \\ & {\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {q_0}(t) - {q_i}(t) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\ & {\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {a_0}(t) - {a_i}(t) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \end{aligned}} \right.$$ (6) 式中, ${l_c}$表示车辆长度, $D$表示相邻两车的安全车辆间距.
针对上述车辆队列控制问题, 考虑车辆位置、速度、加速度的一致性, 通信延时和车辆动态耦合特性, 设计分布式控制器:
$$\begin{split} {u_i}(t) = &\;\alpha ({V_i}(\Delta {s_{ij}}(t - \tau (t))) - {v_i}(t - \tau (t))) \;+\\ &{g_{o,1}}{e_{s,ij}}(t - \tau (t)) + {g_{o,2}}{e_{q,ij}}(t - \tau (t))\; +\\ &{g_{o,1}}{e_{s,i0}}(t - \tau (t)) + {g_{o,2}}{e_{q,i0}}(t - \tau (t)) \;+\\ &{g_{o,3}}{e_{a,i0}}(t - \tau (t)) \end{split} $$ (7) 式中, ${e_{s,i0}}(t) = {s_0}(t) - {s_i}(t) - i \cdot ({l_c} + D)$表示车辆$i$和领导车辆之间的位置误差. ${e_{s,ij}}(t) = {e_{s,i0}}(t) \;-\; {e_{s,j0}}(t) = {s_j}(t) - {s_i}(t)$$ - (i - j)({l_c} + D)$表示车辆$j$和车辆$i$之间的位置误差. ${e_{q,i0}}(t) = {q_0}(t) - {q_i}(t)$表示车辆$i$和领导车辆之间的速度误差. ${e_{q,ij}}(t) = {e_{q,i0}}(t)\; - {e_{q,j0}}(t) = {q_j}(t) - {q_i}(t)$表示车辆$j$和车辆$i$之间的速度误差. ${e_{a,i0}}(t) = {a_0}(t) - {a_i}(t)$表示车辆$i $和领导者车辆之间的加速度误差. $\tau (t)$表示时变通信延时. $\alpha $和${\boldsymbol{G}} = {[{g_{o,1}},{g_{o,2}},{g_{o,3}}]^{\rm{T}}}$表示反馈控制增益. 车辆动态耦合特性采用最优速度表示[19-20]:
$${V_i}(\Delta {s_{ij}}(t)) = {V_1} + {V_2}\tanh ({C_1}\Delta {s_{ij}}(t) - {C_2})$$ (8) 式中, ${V_1}$、${V_2}$、${C_1}$和${C_2}$是描述车辆动态耦合特性的正常数. 定义车辆$j$和车辆$i$之间的平均距离表示如下:
$$ \begin{split} \Delta {s_{ij}}(t) =& {\frac{{s_j}(t) - {s_i}(t) - (i - j) \cdot {l_c}} {i - j}}, \\ & i \ne j \end{split} $$ (9) 注1. 在现实中, 通过无线通信信道共享信息的车辆通信延迟是不可避免的[23], 与文献[24-26]一样, 本文基于前一延时时刻信息设计控制器(7), 以补偿时变延迟引起的误差.
注2. 与文献[12-14]所提控制器相同, 控制器(7)以车辆间通信为代价, 需要领导者的加速度信息保证车辆队列的串稳定性.
为了降低车辆间通信成本, 根据文献[17], 设计观测器估计领导车辆和车辆$i$之间的加速度误差.
定义已知变量${z_{1,i}}(t)$和未知变量${z_{2,i}}(t)$如下:
$${z_{1,i}}(t) = {e_{q,i0}}(t - \tau (t))$$ (10) $${z_{2,i}}(t) = {e_{a,i0}}(t - \tau (t))$$ (11) ${z_{1,i}}(t)$和${z_{2,i}}(t)$的关系表示如下:
$$\left\{\begin{aligned} & {{\dot z}_{1,i}} = {z_{2,i}} \\ & {{\dot z}_{2,i}} = {{\dot e}_{a,i0}} \end{aligned}\right. $$ (12) 使用如下观测器对状态${z_{2,i}}(t)$进行估计:
$$\left\{\begin{aligned} & {{\dot{ \hat {z}}}_{1,i}} = {{\hat z}_{2,i}} + {h_1}({z_{1,i}} - {{\hat z}_{1,i}}) \\ & {{\dot{ \hat {z}}}_{2,i}} = {h_2}({z_{1,i}} - {{\hat z}_{1,i}}) \end{aligned} \right.$$ (13) 式中, ${\boldsymbol{H}} = {[{h_1},{h_2}]^{\rm{T}}}$表示观测器控制增益.
综合考虑控制器(7)和观测器的输出${\hat z_{2,i}}(t)$, 基于观测器的分布式控制器表示如下:
$$\begin{split} {u_i}(t) =&\; \alpha ({V_i}(\Delta {s_{ij}}(t - \tau (t))) - {v_i}(t - (\tau (t)))) \; +\\ &{g_{o,1}}{e_{s,ij}}(t - \tau (t)) + {g_{o,2}}{e_{q,ij}}(t - \tau (t))\; +\\ &{g_{o,1}}{e_{s,i0}}(t - \tau (t)) + {g_{o,2}}{e_{q,i0}}(t - \tau (t))\; +\\ &{g_{o,3}}{{\hat z}_{2,i}}(t) \\[-10pt]\end{split} $$ (14) 注3. 不同于文献[12-17]所设计控制器, 控制器(14)不仅考虑了车辆动态耦合特性, 避免出现负的车辆间距和不合理的加/减速度. 而且利用观测器估计了自身车辆与领导车辆的加速度误差, 减轻了通信负担.
2.2 下层控制器设计
下层控制器需要解决的一个关键问题是车辆模型非线性和不确定性. 针对发动机的静态非线性、不连续的齿轮传动比、空气阻力和节气门/刹车的切换控制等车辆模型非线性特性, 可通过逆模型进行补偿[27]:
$$\left\{\begin{aligned} & {T_{edes}} = \frac{{{r_w}}}{{{i_g}{i_0}{\eta _{\rm{T}}}}}(M{a_{des}} + {C_A}{v^2} + Mgf) \\ &\theta = {\rm{MA}}{{\rm{P}}^{ - 1}}({\omega _e},{T_{edes}}) \end{aligned} \right.$$ (15) $$\left\{\begin{aligned} &{F_{bdes}} = M{a_{des}} + {C_A}{v^2} + Mgf \qquad \qquad\\ &{P_{brkdes}} = \frac{1}{{{K_b}}}{Fbdes} \end{aligned}\right. $$ (16) 式中, ${r_w}$表示车辆轮胎的滚动半径, ${i_g}$表示变速器传动比, ${i_0}$表示主减速器传动比, ${\eta _{\rm{T}}}$表示传动系统的机械效率, ${\omega _e}$表示发动机转速, ${T_{edes}}$表示期望的发动机转矩, $M$表示车辆的质量, ${C_A}$表示空气阻力系数, $g$表示重力加速度, $f$表示滚动阻力系数, $\theta $表示期望的节气门开度, ${\rm{MA}}{{\rm{P}}^{ - 1}}( \cdot , \cdot )$表示发动机扭矩特性逆模型, 其作用是通过期望发动机转矩和当前发动机转速推算期望节气门开度, 如图2 所示. ${P_{brkdes}}$表示期望的制动压力, ${F_{bdes}}$表示期望的制动力, ${K_b}$表示制动力与制动压力比例系数.
然而, 车辆模型中还存在变矩器耦合等非线性无法通过逆模型方法补偿, 因此利用比例−积分−微分(Proportional-integral-derivative, PID)控制器补偿控制误差, 进而通过前馈控制器和PID控制器的联合控制以实现期望加速度和实际加速度的一致.
$${e_a} = {a_i} - {a_{act}}$$ (17) $${a_{des}} = {a_i} + {k_P}{e_a} + {k_I}\int {{e_a}{\rm{d}}t} + {k_D}\frac{{{\rm{d}}{e_a}}}{{{\rm{d}}t}}$$ (18) 式中, ${a_{des}}$是前馈控制器和PID控制器组合的输出, ${a_{act}}$表示PreScan中车辆的加速度输出, ${a_i}$表示上层控制器的加速度输出. ${k_P}$、${k_I}$和${k_D}$表示PID控制器参数.
值得注意的是, 节气门控制和刹车控制不能同时使用, 因此设计了一个切换策略实现节气门和刹车控制的协同工作, 该策略中引入阈值$\vartheta $避免频繁切换, 如图3 所示, 具体工作过程如下:
1)当${a_{des}} \ge {a_{mdec}} + \vartheta $时, 控制状态为节气门控制, 主要控制车辆实现加速;
2)当${a_{des}} \le {a_{mdec}} - \vartheta$时, 控制状态为刹车控制, 主要控制车辆实现减速;
3)当$( {a_{mdec}} - \vartheta ) < {a_{des}} < ({a_{mdec}} + \vartheta) $时, 控制状态保持不变, 不进行控制逻辑切换. 其中${a_{mdec}}$表示不同初始车速下的车辆最大减速度.
为更好阐述上层控制器和下层控制器的关系, 定义基于观测器的控制器示意图见图4.
2.3 稳定性分析
为证明控制器(14)作用下的车辆队列的渐近稳定性, 根据定理1构造Lyapunov-Krasovskii泛函加以证明, 其详细证明过程如下.
定义达到期望队列平衡状态式(6)的误差状态方程如下:
$${{\boldsymbol{f}}_i} = {\left[ {{f_{1,i}},{f_{2,i}},{f_{3,i}}} \right]^{\rm{T}}}$$ (19) 式中, ${f_{1,i}} = {s_0}(t) - {s_i}(t) - i \cdot ({l_c} + D)$, ${f_{2,i}} = {q_0}(t) \;- {q_i}(t)$, ${f_{3,i}} = - {a_i}(t)$分别表示车辆$i$的位置、速度和加速度误差. 闭环状态空间模型定义如下:
$${\dot {\boldsymbol{f}}_i}(t) = {{\boldsymbol{A}}_1}{{\boldsymbol{f}}_i}(t) + {{\boldsymbol{B}}_f}{\varepsilon _i}(t)$$ (20) 式中, ${{\boldsymbol{A}}_1} = \left[ {\begin{aligned} 0\quad 1 \qquad 0 \;\; \\ 0\quad 0\qquad 1 \;\;\\ 0\quad 0\quad { - \dfrac{1}{{{T_i}}}} \end{aligned}} \right]$, ${{\boldsymbol{B}}_f} = \left[ 0 \quad 0\quad { - \dfrac{1}{{{T_i}}}} \right]^{\rm{T}},$
$$\begin{split} {\varepsilon _i}(t) = &\;\alpha ({V_i}(\Delta {s_{ij}}(t - \tau (t))) - {v_i}(t - \tau (t))) \; +\\ &{g_{o,1}}{e_{s,ij}}(t - \tau (t)) + {g_{o,2}}{e_{q,ij}}(t - \tau (t)) \; +\\ &{g_{o,1}}{e_{s,i0}}(t - \tau (t)) + {g_{o,2}}{e_{q,i0}}(t - \tau (t)) \; +\\ &{g_{o,3}}{{\hat z}_{2,i}}(t) \end{split} $$ 基于式 (8), 利用泰勒公式, 可得:
$$\begin{split} {V_i}(\Delta {s_{ij}}(t - &\tau (t))) = {V_i}(\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t))) \;+\\ &{{V'}_i}(\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t)))\; \times \\ &(\Delta {s_{ij}}(t - \tau (t)) - \Delta s_{ij}^*(t - \tau (t))) \;+\\ &\frac{{f''(\sigma )}}{{2!}}{(\Delta {s_{ij}}(t - \tau (t)) - \Delta s_{ij}^*(t - \tau (t)))^2} \end{split} $$ (21) 式中, ${V_i}(\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t))) = {v_0}(t - \tau (t))$, $\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t)) \;= D$, $\sigma $是$\Delta {s_{ij}}(t - \tau (t))$和$\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t))$ 之间的某个值.
值得注意的是, $\Delta {s_{ij}}(t - \tau (t)) - \Delta s_{ij}^*(t - \tau (t)) =$${e_{s,ij}}(t - \tau (t))/(i - j),$根据式(21), 可得:
$$\begin{split} {V_i}(\Delta {s_{ij}}(t \;-\;& \tau (t))) = {v_0}(t - \tau (t)) \;+\\ &\frac{{{{V'}_i}(\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t)))}}{{i - j}} \times{e_{s,ij}}(t - \tau (t)) \;+\\ &\frac{{f''(\sigma )}}{{2!}} {\frac{{e_{s,ij}}(t - \tau (t)} {(i - j)^2}} \\[-15pt] \end{split} $$ (22) 根据式(22), 式 (20) 中的${\varepsilon _i}(t)$可改写为:
$$\begin{split} {\varepsilon _i}(t) =\,&\alpha ({\xi _{ij}} \times {e_{s,ij}}(t - \tau (t)) + {v_0}(t - \tau (t))\;-\\ &{v_i}(t - \tau (t))\;{\rm{ + }}\;{R_1}(\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t)))) \; +\\ &{g_{o,1}}{e_{s,ij}}(t - \tau (t)) + {g_{o,2}}{e_{q,ij}}(t - \tau (t)) \; +\\ &{g_{o,1}}{e_{s,i0}}(t - \tau (t)) + {g_{o,2}}{e_{q,i0}}(t - \tau (t)) \;+ \\ &{g_{o,3}}{{\hat z}_{2,i}}(t) \\[-10pt]\end{split} $$ (23) 式中, ${\xi _{ij}} = {V'_i}(\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t)))/(i - j)$, ${R_1}(\Delta s_{ij}^*(t\; -$$\tau (t))) = {{f''(\sigma )}}/{{2!}}(\Delta {s_{ij}}(t - \tau (t))- \Delta s_{ij}^*(t - \tau (t)){)^2}$.
根据泰勒中值定理, 可知:
$$\mathop {\lim }\limits_{{e_{s,ij}}(t - \tau (t)) \to 0} \frac{{{R_1}(\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t)))}}{{{e_{s,ij}}(t - \tau (t))}} = 0$$ (24) 上式可改写为:
$$\frac{{\left\| {{R_1}(\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t)))} \right\|}}{{\left\| {{e_{s,ij}}(t - \tau (t))} \right\|}} \to 0$$ (25) 由下列线性系统(26)的稳定性, 可得非线性系统(20)在原点处的稳定性[28]:
$$\begin{split} {\varepsilon _i}(t) =\,& \alpha ({\xi _{ij}} \times {e_{s,ij}}(t - \tau (t)) + {v_0}(t - \tau (t)) \;-\\ &{v_i}(t - \tau (t))) + {g_{o,1}}{e_{s,ij}}(t - \tau (t)) \; +\\ &{g_{o,2}}{e_{q,ij}}(t - \tau (t)) + {g_{o,1}}{e_{s,i0}}(t - \tau (t))\;+\\ &{g_{o,2}}{e_{q,i0}}(t - \tau (t)) + {g_{o,3}}{{\hat z}_{2,i}}(t) \\[-10pt] \end{split} $$ (26) 由于${z_{1,i}}(t) = {e_{q,i0}}\left( {t - \tau (t)} \right)$ 和${\hat z_i} =[ {{{\hat z}_{1,i}}}\quad{{{\hat z}_{2,i}}} ]^{\rm{T}}$, 观测器的状态空间方程可表示为:
$${{\dot {\hat {\boldsymbol{z}}}}_i}(t) = ({{\boldsymbol{A}}_z} - {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_z}){\hat {\boldsymbol{z}}_i}(t) + {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_{zf}}{{\boldsymbol{f}}_i}(t - \tau (t))$$ (27) 式中, ${{\boldsymbol{A}}_z} = \left[ {\begin{aligned} 0\quad 1 \\ 0\quad 0 \end{aligned}} \right]$, ${{\boldsymbol{C}}_z} = [1\quad 0]$, ${\boldsymbol{H}} = {[ {{h_1}}\quad{{h_2}} ]^{\rm{T}}}$, ${{\boldsymbol{C}}_{zf}} = [ 0\quad 1\quad 0 ]$.
根据式(26)和式(27) , 可改写为:
$$\begin{split} {\varepsilon _i}(t)=\,& {{\boldsymbol{K}}_1}[{{\boldsymbol{f}}_i}(t - \tau (t)) - {{\boldsymbol{f}}_j}(t - \tau (t))] \; +\\ &{{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{f}}_i}(t - \tau (t)) + {{\boldsymbol{K}}_3}{{\hat {\boldsymbol{z}}}_i}(t) \end{split} $$ (28) 式中, ${{\boldsymbol{K}}_1} = [\alpha {\xi _{ij}} + {g_{o,1}}\;{g_{o,2}}\;\;0]$, ${{\boldsymbol{K}}_2} = [{g_{o,1}}\;{g_{o,2}} \;+ \alpha \;\;0]$, ${{\boldsymbol{K}}_3}{\rm{ = [0 }}\;\;{{{g}}_{o,3}}{\rm{]}}$, ${\xi _{ij}} = {V'_i}(\Delta s_{ij}^*(t - \tau (t))/(i - j)$.
定义 ${\boldsymbol{F}} = {[{\boldsymbol{f}}_1^{\rm{T}}, \cdots ,{\boldsymbol{f}}_N^{\rm{T}}]^{\rm{T}}}$, $\hat {\boldsymbol{Z}} = {[\hat {\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}, \cdots ,\hat {\boldsymbol{z}}_N^{\rm{T}}]^{\rm{T}}}$, ${\cal{E}} = {[{\varepsilon _1}, \cdots ,{\varepsilon _N}]^{\rm{T}}}$. 根据式(27)可得:
$$\begin{split} { \dot {\hat {\boldsymbol{Z}}}}(t) =\, &\left( {{{\boldsymbol{I}}_N} \otimes ({{\boldsymbol{A}}_z} - {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_z})} \right)\hat {\boldsymbol{Z}}(t) \; +\\ &({{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_{zf}}){\boldsymbol{F}}(t - \tau (t)) \end{split} $$ (29) 将式(27)和式(28)代入式(20), 可得:
$$\begin{split} \dot {\boldsymbol{F}}(t) =& \left( {{{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {{\boldsymbol{A}}_1}} \right){\boldsymbol{F}}(t) + \left( {{{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {{\boldsymbol{B}}_f}{{\boldsymbol{K}}_3}} \right)\hat {\boldsymbol{Z}}(t) \; +\\ &\left( {{{\boldsymbol{B}}_f}({\cal{L}} \otimes {{\boldsymbol{K}}_1} + {{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {{\boldsymbol{K}}_2})} \right){\boldsymbol{F}}(t - \tau (t)) \end{split} $$ (30) 定义${\boldsymbol{X}}(t) = {[{{\boldsymbol{F}}^{\rm{T}}}(t),{\hat {\boldsymbol{Z}}^{\rm{T}}}(t)]^{\rm{T}}}$, 式(29)和式(30)可改写为如下延时系统形式:
$$\dot {\boldsymbol{X}}(t) = {{\boldsymbol{A}}_0}{\boldsymbol{X}}(t) + {{\boldsymbol{A}}_d}{\boldsymbol{X}}(t - \tau (t))$$ (31) 式中, ${{\boldsymbol{A}}_0}\; =\;\left[\;\; {\begin{aligned} {{{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {{\boldsymbol{A}}_1}}\qquad\qquad {{{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {{\boldsymbol{B}}_f}{{\boldsymbol{K}}_3}} \quad\\ {{{\boldsymbol{0}}_{2N \times 3N}}}\qquad {{{\boldsymbol{I}}_N} \otimes ({{\boldsymbol{A}}_z} - {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_z})} \end{aligned}} \;\;\right] \qquad$, $\qquad\qquad{{\boldsymbol{A}}_d} = \left[ {\begin{aligned} {({\cal{L}} \otimes {{\boldsymbol{B}}_f}{{\boldsymbol{K}}_1} + {{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {{\boldsymbol{B}}_f}{{\boldsymbol{K}}_2})}\quad {{{\boldsymbol{0}}_{3N \times 2N}}} \\ {({{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_{zf}})}\qquad\qquad {{{\boldsymbol{0}}_{2N}}}\quad \end{aligned}} \right]$.
根据牛顿−莱布尼兹公式, 可得:
$${\boldsymbol{X}}(t - \tau (t)) = {\boldsymbol{X}}(t) - \int_{ - \tau (t)}^0 {\dot {\boldsymbol{X}}(t + \rho )} {\rm{d}}\rho $$ (32) 将式(31) 代入式(32), 可得:
$$\begin{split} {\boldsymbol{X}}(t - \tau (t)) =\,& {\boldsymbol{X}}(t) - \int_{ - \tau (t)}^0 {({{\boldsymbol{A}}_o}{\boldsymbol{X}}(t + \rho )} \;+\\ &{{\boldsymbol{A}}_d}({\boldsymbol{X}}(t + \rho - \tau (t + \rho ))){\rm{d}}\rho \end{split} $$ (33) 将(33)代入式(31), 因此系统(31) 可定义为:
$$\begin{split} \dot {\boldsymbol{X}}(t) = \,&{{\boldsymbol{A}}_a}{\boldsymbol{X}}(t) - {{\boldsymbol{A}}_m}\int_{ - \tau (t)}^0 {{\boldsymbol{X}}(t + \rho )} {\rm{d}}\rho \; -\\ &{\boldsymbol{A}}_d^2\int_{ - \tau (t)}^0 {{\boldsymbol{X}}(t + \rho - \tau (t + \rho ))} {\rm{d}}\rho \end{split} $$ (34) 式中, ${{\boldsymbol{A}}_a} = {{\boldsymbol{A}}_o} + {{\boldsymbol{A}}_d}$, ${{\boldsymbol{A}}_m} = {{\boldsymbol{A}}_d}{{\boldsymbol{A}}_o}$.
定理2. 选择控制参数$\alpha > 0$, ${g_{o,1}} > 0$, ${g_{o,2}} > 0$, ${g_{o,3}} > 0$, ${h_1} > 0$和${h_2} > 0$满足下列条件(35), 则在式(34)中的矩阵${{\boldsymbol{A}}_a}$是Hurwitz稳定.
$$\left\{\begin{aligned} &{b_1} > 0 \\ & {b_5} > 0 \\ &{b_1}{b_2} - {b_3} > 0 \\ & {b_1}({b_2}{b_3} + {b_5} - {b_1}{b_4}) > 0 \\ &{b_1}({b_2}{b_3} + {b_5} - {b_1}{b_4})({b_1}{b_4} - {b_5}) - {b_5}{({b_1}{b_2} - {b_3})^2} > 0 \end{aligned}\right. $$ (35) 式中
$$\begin{split}&{b_1} = \dfrac{{1 + {h_2}{T_i}}}{{{T_i}}}\\ &{b_2} = \dfrac{{2{g_{o,2}} + {h_1}}}{{{T_i}}}- \dfrac{{{h_2}(2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{ij}} + T_i^2)}}{{T_i^2}}\\ &{b_3} = \dfrac{{2({g_{o,1}} + {g_{o,2}}{h_1})}}{{{T_i}}} + \dfrac{{({g_{o,3}} - 1){h_2}}}{{{T_i}}} - \\ &\qquad \dfrac{{(2{g_{o,1}}({h_1} + {\xi _{ij}}) + \alpha \xi _{ij}^2){h_2}}}{{T_i^2}}\\ &{b_4} = \dfrac{{2{g_{o,1}}{h_1} - 2{g_{o,2}}{h_2}}}{{{T_i}}} + \dfrac{{(2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{ij}})(h_2^2 - {h_1}{h_2}{\xi _{ij}})}}{{T_i^2}} \\ &{b_5} = \dfrac{{((2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{ij}}){h_2}{\xi _{ij}} - 2{g_{o,1}}{T_i}){h_2}}}{{T_i^2}} \end{split}$$ 详细证明过程见附录A.
定理3. 考虑延时系统(31), 设置控制参数$\alpha $、${\boldsymbol{G}} = {[{g_{o,1}},{g_{o,2}},{g_{o,3}}]^{\rm{T}}}$和${\boldsymbol{H}} = {[ {{h_1}}\quad {{h_2}} ]^{\rm{T}}}$满足矩阵${{\boldsymbol{A}}_a}$是Hurwitz稳定. 假设时变通信延时$\tau (t)$有界, 即$0 \le \tau (t) \le {\tau ^*}$, $0 \le \dot \tau (t) \le r$, $\forall t$ 和$r \le 1$. 则系统(31) 渐近稳定, 即:
$$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\boldsymbol{X}}(t) = 0$$ (36) 详细证明过程见附录B.
2.4 串稳定性分析
定义1 (串稳定性) [29]. 车辆队列的误差传递函数定义为${G_i}(s): = {E_i}(s)/{E_{i{\rm{ - }}1}}(s)$, 其中${E_i}(s)$为相邻车辆间距误差${e_{s,ii - 1}}(t) = {s_{i - 1}}(t) - {s_i}(t) - ({l_c} + D)$的拉氏变换, 如果满足$\left\| {{G_i}(s)} \right\| \le 1, \forall i \in {\cal{V}}$, 则车辆队列满足串稳定性.
定理4. 考虑通信延时最大情形, 即选取${\tau ^*}$作为系统的通信延时, 设置参数满足以下条件:
$${W_i}({{j}}\omega ) < 1$$ (37) 则车辆队列的串稳定性可以得到保证, 即:
$$\left\| \dfrac {{E_i}(s)} {{E_{i - 1}}(s)} \right\| \le 1$$ (38) 式中, ${W_i}(\cdot)$的表达式和详细证明过程见附录C.
3. 仿真验证
本节通过数值仿真和基于PreScan仿真实验验证本文提出的控制器(14)的有效性. 针对如图1所示的车辆队列交通场景, 采用1辆领导车辆和5辆跟随车辆组成的车辆队列. 根据定理3, 可得到满足式(B15)和式(38)的时滞理论上界${\tau ^*} = 0.2251\;{\rm{s}}$, 其中${\tau ^*}$处于合理的IEEE802.11p车联网通信延时范围以内[30]. 设置无延时和通信延时随机均匀分布在$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$的通信延时场景.
车辆队列初始位置设置为: $s(0) = [75,\;58,\;42,$ $27,\;13,\;0{]^{\rm{T}}}\;{\rm{m}}$, 车辆队列初始速度设置为: $q(0) = {[7,\;7,\;7,\;7,\;7,\;7]^{\rm{T}}}\;{\rm{m/s}}$, 领导车辆速度如式(35)所示. 控制器参数设置如表1所示. 动力传动系统的惯性时间设置为: $T = {[0.5,\;0.5,\;0.5,\;0.5,\;0.5]^{\rm{T}}}$. 期望的安全距离设置为: $D = 5\;{\rm{m}}$. 选择PreScan中Roewe 550S车辆模型实现车辆行驶状态仿真, 车辆模型相关参数设置见表2, 变速器传动比${i_g}$设置见图5.
表 1 控制器参数Table 1 Controller parameters参数 数值 单位 $\alpha $ $0.67$ ${{\rm{s}}^{ - 1}}$ ${g_{o,1}}$ $0.12$ ${{\rm{s}}^{ - 2}}$ ${g_{o,2}}$ $0.52$ ${{\rm{s}}^{ - 1}}$ ${g_{o,3}}$ $0.30$ — ${V_1}$ $6.75$ ${\rm{m/s}}$ ${V_2}$ $7.91$ ${\rm{m/s}}$ ${C_1}$ $0.13$ ${{\rm{m}}^{ - 1}}$ ${C_2}$ $1.59$ — ${h_1}$ $30$ — ${h_2}$ $12$ — ${k_P}$ $10$ — ${k_I}$ $0.30$ — ${k_D}$ $0.10$ — $\vartheta $ $0.10$ ${\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}$ 表 2 PreScan中车辆模型参数Table 2 The parameters of vehicle model in PreScan参数 数值 单位 $m$ $1\,532$ ${\rm{kg}}$ $g$ $9.80$ ${\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}$ ${l_c}$ $4.63$ ${\rm{m}}$ ${C_A}$ $0.31$ ${\rm{kg/m}}$ ${i_0}$ $2.70$ — ${\eta _{\rm{T}}}$ $1.00$ — $f$ $0.01$ — $${q_0}(t) = \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} 7\;{\rm{m/s}}\;{\rm{,}}& 0\;{\rm{s}}\; \le t < 30\;{\rm{s}} \\ \left(7 + \dfrac{8}{{1 + {{\rm{e}}^{ - 0.5t + 26}}}}\right)\;{\rm{m/s,}} & 30\;{\rm{s}}\; \le t < 70\;{\rm{s}} \\ 15\;{\rm{m/s,}}& 70\;{\rm{s}}\; \le t < 80\;{\rm{s}} \\ \left(15 - \dfrac{8}{{1 + {{\rm{e}}^{ - 0.5t + 50}}}}\right)\;{\rm{m/s,}}& {\rm{其他}} \end{array} \right.$$ (39) 3.1 上层控制器性能验证
本节主要验证上层控制器(14)的控制性能, 领导车辆按照式(39)给定的速度行驶, 跟随车辆的初始速度与领导车辆初始速度保持一致为$7\;{\rm{m/s}}$. 文献[12]和本文控制器(14)作用下的位置、速度、加速度和间距误差轨迹如图6 ~ 9所示, 其中V0表示领导者车辆, V1 ~ V5表示跟随者车辆.
图7为车辆的速度图. 基于图7, 当领导车辆在$30\;{\rm{s}} \le t \le 80\;{\rm{s}}$期间, 速度从$7\;{\rm{m/s}}$加速到$15\;{\rm{m/s}}$, 然后最终减速到$0\;{\rm{m/s}}$. 队列中的跟随车辆在文献[12]中控制器和本文控制器(14)的作用下从初始速度(25.0 m/s)减速到峰值速度(9.6 m/s)后, 逐渐减速到$7\;{\rm{m/s}}$, 最终收敛领导车辆速度保持一致. 由图7(b)和图7(d)可以看出, 存在通信延时情况下, 文献[12]中控制器由于未考虑通信延时的补偿, 因此速度产生波动, 从而影响车辆队列的稳定性. 本文控制器对通信延时进行补偿, 缓解了由于通信延时造成的车辆速度波动.
图8为加速度图. 由图8(a)和图8(b)可知, 在文献[12]控制器的作用下, 跟随车辆最大的加/减速度振幅分别为${\rm{20\;m/}}{{\rm{s}}^2}$和${\rm{7\;m/}}{{\rm{s}}^2}$. 并且在通信延时的影响下出现加速度的波动, 其振幅在${\rm{1\;m/}}{{\rm{s}}^2}$左右. 如图8(c)和图8(d) 所示, 在本文控制器(14)的作用下, 跟随车辆的最大加/减速度振幅分别为${\rm{2}}{\rm{.70\;m/}}{{\rm{s}}^2}$和${\rm{0}}{\rm{.44\;m/}}{{\rm{s}}^2}$. 在通信延时的影响下, 加速度没有出现波动. 因此, 本文提出的控制器(14)能够抑制通信延时的干扰, 并且由于考虑了车辆动态耦合特性, 因此有效避免了不合理的加/减速度.
图9为间距误差图(即${s_{i - 1}} - {s_i} - D$). 如图9(a)和图9(b)所示, 间距误差从不同的初始值最终收敛为$0$, 这表明在文献[12]中控制器的作用下, 车辆以队列的形式行驶, 但受到通信延时的影响, 车辆间距出现波动, 同时在减速过程中$(5\;{\rm{s}} \le t \le 10\;{\rm{s}}$和$90\;{\rm{s}} \le t \le 110\;{\rm{s}})$出现负的超调. 如图9(c)和图9(d)所示, 本文所提控制器作用下的车辆间距误差最终收敛到$0$, 其值始终保持一个正常数, 没有出现负的超调. 这意味着队列中的车辆间距(${s_{i - 1}} - {s_i}$)始终是安全的并最终收敛到期望的安全间距$D = 5\;{\rm{m}}$, 本文控制器(14)作用下的车辆队列能够有效避免碰撞, 保证队列安全性. 同时, 由图9(c)和图9(d)可知, $\left\| {{e_5}(t)} \right\| \le \left\| {{e_4}(t)} \right\| \le \cdots \le \left\| {{e_1}(t)} \right\|$满足定理4, 控制器(14)保证了车辆队列的串稳定性.
图10显示了对加速度误差${z_{2,i}}(t)$的估计, 结果表明, 本文设计的观测器在有/无通信延时的情况下, 均能较准确地估计${z_{2,i}}(t)$的值.
图 10 ${z_{2,i}}(t)$和${\hat z_{2,i}}(t)$ ((a)控制器(14)-无延时; (b) 控制器(14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)Fig. 10 ${z_{2,i}}(t)$ and ${\hat z_{2,i}}(t)$ ((a) Controller (14)-no time delay; (b) Controller (14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)3.2 分层协同控制策略性能验证
基于PreScan/Simulink联合仿真平台整体框架如图11所示. PreScan提供高保真车辆模型和交通场景构建, 在Matlab/Simulink中进行算法的加载和仿真实验, PreScan中的辅助软件VisViewer提供3D可视化展示. 本节基于PreScan中高保真车辆模型, 利用本文提出的分层控制策略在PreScan中, 验证本文控制器 (14) 的有效性, 车辆队列在PreScan中的行驶状态如图12所示, 实验结果如图13所示. 基于图12和图13(a) 间距误差图(即${s_{i - 1}} - {s_i} - {l_c} - D$, 其中$({l_c} + D) = 5\;{\rm{m}}$), 队列移动和停止过程中没有车辆碰撞的现象发生. 跟随车辆可以平稳地跟随领导车辆, 并最终收敛到它们的期望位置, 同时相邻两车之间能够保持期望的安全间距从而避免了追尾发生. 图13(b)为速度图, 当领导车辆在$0\;{\rm{s}} \le t \le 150\;{\rm{s}}$内完成加速、匀速和减速阶段, 跟随车辆的速度能够收敛到领导车辆速度. 图13(c)为加/减速度图, 队列中车辆的最大加/减速度分别为${\rm{3}}{\rm{.1\;m/}}{{\rm{s}}^2}$和${\rm{1}}{\rm{.2\;m/}}{{\rm{s}}^2}$, 与图7(d)和图8(d)比较, 队列中的车辆尽管受到车辆动力学非线性和通信延时的干扰, 由于本文控制器(14)和分层控制策略, 车辆的速度和加速度并未出现波动, 因此队列的稳定性和安全性得到保证. 此外, 图13(d)和图13(e)分别为节气门开度图和刹车压力图, 跟随车辆的节气门开度、刹车压力与领导车辆保持一致. 值得注意的是, 节气门和刹车控制没有同时出现, 这符合实际应用场景, 表明本文设计的节气门/刹车控制切换策略(图3)的有效性. 图13(f)显示了对加速度误差${z_{2,i}}(t)$的估计, 结果表明, 本文设计的观测器能较准确地估计${z_{2,i}}(t)$值.
图 11 基于PreScan/Simulink联合仿真平台框架示意图Fig. 11 Framework of the PreScan/Simulink-based co-simulation platform4. 结束语
本文提出一种基于观测器的车辆队列纵向控制器, 首先, 考虑领导车辆加速度、通信延时和车辆动态耦合特性的影响, 设计车辆队列纵向控制器. 然后, 为了减轻车辆间通信负担, 设计了一种估计领导车辆加速度的方法. 接着, 提出一种基于观测器的车辆队列纵向控制器. 为克服车辆模型非线性的影响实现在PreScan软件中的仿真验证, 设计一种分层控制策略. 通过Lyapunov-Krasovskii定理, 证明了本文控制器的稳定性, 并得出通信延时上界. 同时利用传递函数方法, 证明车辆队列的串稳定性. 最后, 考虑无延时和通信延时$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$两种情况, 通过数值仿真、对比实验和PreScan仿真实验, 验证了本文提出控制器的有效性.
附录A
矩阵${{\boldsymbol{A}}_a}$的Hurwitz稳定条件分析:
$${\begin{split} & {{\boldsymbol{A}}_a} =\, {{\boldsymbol{A}}_o} + {{\boldsymbol{A}}_d} = \\ &\;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{I}}_N}\otimes ({{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{B}}_f}{{\boldsymbol{K}}_2}) + {\cal{L}} \otimes {{\boldsymbol{B}}_f}{{\boldsymbol{K}}_1}& {{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {{\boldsymbol{B}}_f}{{\boldsymbol{K}}_2} \\ {{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_{zf}}& {\boldsymbol{I}_N} \otimes ({{\boldsymbol{A}}_Z} - {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_Z}) \end{array}} \right] \end{split} \tag{A1}}$$ 对于PLF通信拓扑来说, 拉普拉斯矩阵$ {\cal{L}}$是一个下三角矩阵并且它的特征值全为1. 因此对于车辆i, 矩阵${{\boldsymbol{A}}_a}$可表示为:
$$ {\bar {\boldsymbol{A}}_a} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{B}}_f}({{\boldsymbol{K}}_1} + {K_2})}&{{{\boldsymbol{B}}_f}{{\boldsymbol{K}}_3}} \\ {{\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_{zf}}}&{{{\boldsymbol{A}}_Z} - {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_Z}} \end{array}} \right]\tag{A2}$$ $\lambda $为矩阵${\bar {\boldsymbol{A}}_a}$的特征根, 则有:
$$\begin{split} & \det (\lambda {{\boldsymbol{I}}_{5 \times 5}} - {{\bar {\boldsymbol{A}}}_a}) \; =\\ & \det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda {{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}} - ({{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{B}}_f}({{\boldsymbol{K}}_1} +{{\boldsymbol{K}}_2}))\;\;{{\boldsymbol{0}}_{3 \times 2}} - {{\boldsymbol{B}}_f}{{\boldsymbol{K}}_3}} \\ {{{\boldsymbol{0}}_{2 \times 3}} - {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_{zf}}\lambda {{\boldsymbol{I}}_{2 \times 2}} - {{\boldsymbol{A}}_Z} + {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{C}}_Z}} \end{array}} \right]} \right) =\\ &\det ({\lambda ^5}{\rm{ + }}\dfrac{{1 + {h_2}{T_i}}}{{{T_i}}}{\lambda ^4} \; + \\ & \dfrac{{(2{g_{o,2}} + {h_1}){T_i} - {h_2}(2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{ij}} + T_i^2)}}{{T_i^2}}{\lambda ^3}\;+\\ & \left(\dfrac{{2{g_{o,1}} + 2{g_{o,2}}{h_1} + {g_{o,3}}{h_2} - {h_2}}}{{{T_i}}}\; -\right. \\ & \left. \dfrac{{(2{g_{o,1}}({h_1} + {\xi _{ij}}) + \alpha \xi _{ij}^2){h_2}}}{{T_i^2}}\right){\lambda ^2}\; + \\ &\left(\dfrac{{2{g_{o,1}}{h_1}}}{{{T_i}}} -\dfrac{{2{g_{o,2}}{h_2}}}{{{T_i}}} + \dfrac{{(2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{ij}})(h_2^2 - {h_1}{h_2}{\xi _{ij}})}}{{T_i^2}}\right)\lambda \;+ \\ & \dfrac{{((2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{ij}}){h_2}{\xi _{ij}} - 2{g_{o,1}}{T_i}){h_2}}}{{T_i^2}} \\[-15pt] \end{split} \tag{A3}$$ 定义
$$\begin{split} & {b_1} = \dfrac{{1 + {h_2}{T_i}}}{{{T_i}}}\\ & {b_2} = \dfrac{{(2{g_{o,2}} + {h_1})}}{{{T_i}}} - \dfrac{{{h_2}(2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{ij}} + T_i^2)}}{{T_i^2}} \\ & {b_3} = \dfrac{{2({g_{o,1}} + {g_{o,2}}{h_1})}}{{{T_i}}}+ \dfrac{{({g_{o,3}} - 1){h_2}}}{{{T_i}}}\; -\\ & \qquad \dfrac{{(2{g_{o,1}}({h_1} + {\xi _{ij}}) + \alpha \xi _{ij}^2){h_2}}}{{T_i^2}} \\ & {b_4} = \dfrac{{2{g_{o,1}}{h_1} - 2{g_{o,2}}{h_2}}}{{{T_i}}} + \dfrac{{(2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{ij}})(h_2^2 - {h_1}{h_2}{\xi _{ij}})}}{{T_i^2}}\\ &{b_5} = \dfrac{{((2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{ij}}){h_2}{\xi _{ij}} - 2{g_{o,1}}{T_i}){h_2}}}{{T_i^2}} \end{split} $$ 式(A3)可以改写为:
$$ \det (\lambda {{\boldsymbol{I}}_{5 \times 5}} - {\bar {\boldsymbol{A}}_a}) = {\lambda ^5} + {b_1}{\lambda ^4} + {b_2}{\lambda ^3} + {b_3}{\lambda ^2} + {b_4}\lambda + {b_5}\tag{A4}$$ 根据Routh-Hurwitz判据, 则该系统的Routh表如式(A5)所示. 当选择参数$\alpha > 0$, ${g_{o,1}} > 0$, ${g_{o,2}} > 0$, ${g_{o,3}} > 0$, ${h_1} > 0$以及${h_2} > 0$, 满足下列条件(A6), 则特征多项式(A4)是稳定的, 这意味矩阵${{\boldsymbol{A}}_a}$和${\bar {\boldsymbol{A}}_a}$是Hurwitz稳定的.
$$ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda ^5}}\\ {{\lambda ^4}}\\ {{\lambda ^3}}\\ {{\lambda ^2}}\\ {{\lambda ^1}}\\ {{\lambda ^0}} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{b_2}}&{{b_4}}\\ {{b_1}}&{{b_3}}&{{b_5}}\\ {{K_1}}&{{K_2}}&{}\\ {{K_3}}&{{b_5}}&{}\\ {{K_4}}&{}&{}\\ {{b_5}}&{}&{} \end{array} \tag{A5}$$ 式中, ${K_1} = ({{{b_1}{b_2} - {b_3}}})/{{{b_1}}},$ ${K_2} = ({{{b_1}{b_4} - {b_5}}})/{{{b_1}}},$ ${K_3} = ({K_1}{b_3} - {K_2}{b_1})/{{{K_1}}},$${K_4}=({{{K_3}{K_2} - {K_1}{b_5}}})/{{{K_3}}}$.
$$ \left\{\begin{aligned} & {b_1} > 0 \\ & {b_5} > 0 \\ & ({b_1}{b_2} - {b_3}) > 0 \\ & {b_1}({b_2}{b_3} + {b_5} - {b_1}{b_4}) > 0 \\ & {b_1}({b_2}{b_3} + {b_5} - {b_1}{b_4})({b_1}{b_4} - {b_5}) - {b_5}{({b_1}{b_2} - {b_3})^2} > 0 \end{aligned}\right. \tag{A6}$$ 附录B
证明. 充分性
构建如下的Lyapunov-Krasovskii函数:
$$ V({\boldsymbol{X}}(t)) = {\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{PX}}(t) + \int_{t - \tau (t)}^t {{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{{(\xi )}}{{\boldsymbol{\Lambda }}} {\boldsymbol{X}}(\xi )} {\rm{d}}\xi \tag{B1}$$ 定义如下的连续非递减正函数:
$$ {\sigma _1}({\boldsymbol{X}}(t)) = {\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{PX}}(t)\tag{B2}$$ $$ \begin{split} {\sigma _2}({\boldsymbol{X}}(t - {\tau ^*})) =\,& {\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{PX}}(t) \; +\\ &\int_{t - {\tau ^*}}^t {{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{{(\xi )}}{{\boldsymbol{\Lambda }}} {\boldsymbol{X}}(\xi )} {\rm{d}}\xi \end{split}\tag{B3} $$ 式中, ${\tau ^*}$表示可能的最大通信延时. 由式(B2)和式(B3)可知, 条件(4)满足, 即:
$$ {\sigma _1}({\boldsymbol{X}}(t)) \le V({\boldsymbol{X}}(t)) \le {\sigma _2}({\boldsymbol{X}}(t - {\tau ^*}))\tag{B4}$$ 对式(B1)求导可得:
$$ \begin{split} \dot V({\boldsymbol{X}}(t)) =\,& \dot {\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{PX}}(t) + {\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{P}}\dot {\boldsymbol{X}}(t) \; +\\ &\left( {{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{{(\xi )}}{{\boldsymbol{\Lambda }}} {\boldsymbol{X}}(\xi )\dot \xi } \right)\left| {_{\xi = t - \tau (t)}^{\xi = t}} \right. \end{split}\tag{B5} $$ 将式(34)代入式(B5), 可得:
$$\begin{split} \dot V({\boldsymbol{X}}(t)) =\,& {\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}\left( {{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_a} + {\boldsymbol{A}}_a^{\rm{T}}{\boldsymbol{P}}} \right){\boldsymbol{X}}(t) \; +\\ &{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{{\boldsymbol{\Lambda }}} {\boldsymbol{X}}(t) - {\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t - \tau (t))}{{\boldsymbol{\Lambda }}} {\boldsymbol{X}}(t - \tau (t)) \; -\\ &2{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}\int_{ - \tau (t)}^0 {{\boldsymbol{X}}(t + \rho )} {\rm{d}}\rho\; -\\ &2{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{PA}}_d^2\int_{ - \tau (t)}^0 {{\boldsymbol{X}}(t + \rho - \tau (t))} {\rm{d}}\rho \\[-15pt] \end{split} \tag{B6}$$ 根据附录A, 设置参数$\alpha $、${\boldsymbol{G}} = {[{g_{o,1}},{g_{o,2}},{g_{o,3}}]^{\rm{T}}}$以及${\boldsymbol{H}} = {[ {{h_1}}\quad {{h_2}} ]^{\rm{T}}}$使得矩阵${{\boldsymbol{A}}_a}$是Hurwitz稳定的, 根据Lyapunov定理, 存在:
$${\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_a} + {\boldsymbol{A}}_a^{\rm{T}}{\boldsymbol{P}} = - {\boldsymbol{Q}}\tag{B7}$$ 式中, ${\boldsymbol{P}} = {{\boldsymbol{P}}^{\rm{T}}} > 0$, ${\boldsymbol{Q}} > 0$.
根据引理2, 令${\boldsymbol{c}} = - {{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}$, ${\boldsymbol{d}} = {\boldsymbol{X}}(t + \rho )$, ${\boldsymbol{F}} = {{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}$, 对不等式两边进行积分, 可得:
$$\begin{split} 2{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}&{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}\int_{ - \tau (t)}^0 {{\boldsymbol{X}}(t + \rho )} {\rm{d}}\rho \; \le\\ &\tau (t){\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{\boldsymbol{A}}_m^{\rm{T}}{\boldsymbol{PX}}(t) \;+\\ &\int_{ - \tau (t)}^0 {{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{{(t + \rho )}}{\boldsymbol{P}}} {\boldsymbol{X}}(t + \rho ){\rm{d}}\rho \end{split}\tag{B8} $$ 同理, 可得:
$$\begin{split} 2{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}&{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}\int_{ - \tau (t)}^0 {{\boldsymbol{X}}(t + \rho - \tau (t))} {\rm{d}}\rho \;\le\\ &{t_d}{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{PA}}_d^2{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{({\boldsymbol{A}}_d^2)^{\rm{T}}}{\boldsymbol{PX}}(t) \; +\\ &\int_{ - \tau (t)}^0 {{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{{(t + \rho - \tau (t))}}{\boldsymbol{P}}} {\boldsymbol{X}}(t + \rho - \tau (t)){\rm{d}}\rho \end{split}\tag{B9} $$ 根据引理1, 式(B8)可改写为:
$$\begin{split} 2{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}&{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}\int_{ - \tau (t)}^0 {{\boldsymbol{X}}(t + \rho )} {\rm{d}}\rho \; \le \\ &\tau (t){\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{\boldsymbol{A}}_m^{\rm{T}}{\boldsymbol{PX}}(t)\; +\\ &\frac{{\tau (t)}}{2}({\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{PX}}(t)\;+ \\ &{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t - \tau (t))}{\boldsymbol{PX}}(t - \tau (t))) \end{split} \tag{B10}$$ 式(B9)可改写为:
$$\begin{split} 2{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}&{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}\int_{ - \tau (t)}^0 {{\boldsymbol{X}}(t + \rho - \tau (t))} {\rm{d}}\rho \;\le\\ &\tau (t){\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}{\boldsymbol{PA}}_d^2{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{({\boldsymbol{A}}_d^2)^{\rm{T}}}{\boldsymbol{PX}}(t) \;+\\ &\frac{{\tau (t)}}{2}({\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t - \tau (t))}{\boldsymbol{PX}}(t - \tau (t))\; +\\ &{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t - 2\tau (t))}{\boldsymbol{PX}}(t - 2\tau (t))) \end{split} \tag{B11}$$ 将式(B7)、式(B10)和式(B11)代入式(B6), 可得:
$$\begin{split} \dot V({\boldsymbol{X}}(t)) <& {\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t)}( - {\boldsymbol{Q}} + {{\boldsymbol{\Lambda }}} - {\tau ^*}{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{\boldsymbol{A}}_m^{\rm{T}}{\boldsymbol{P}}\;-\\ &\frac{{{\tau ^*}}}{2}{\boldsymbol{P}} - {\tau ^*}{\boldsymbol{PA}}_d^2{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{({\boldsymbol{A}}_d^2)^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}){\boldsymbol{X}}(t) \;+\\ &{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t - \tau (t))}( - {{\boldsymbol{\Lambda }}} - {\tau ^*}{\boldsymbol{P}}){\boldsymbol{X}}(t - \tau (t)) \; +\\ &{\boldsymbol{X}^{\rm{T}}}{(t - 2\tau (t))}\left( - \frac{{{\tau ^*}}}{2}{\boldsymbol{P}}\right){\boldsymbol{X}}(t - 2\tau (t)) \end{split} \tag{B12}$$ 式中, ${\tau ^*}$表示通信最大延时, $\tau (t) < {\tau ^*},\;\forall p,\;t$.
定义新的误差向量${\boldsymbol{\varepsilon}} (t){\rm{ = [}}{\boldsymbol{X}}(t),{\boldsymbol{X}}(t - \tau (t)),{\boldsymbol{X}}(t\; - 2\tau (t)){]^{\rm{T}}}$, 式(B12)可改写为更简洁形式:
$$\dot V < {{\boldsymbol{\varepsilon}} ^{\rm{T}}}(t){{\Delta}} {\boldsymbol{\varepsilon}} (t)\tag{B13}$$ 式中, $ {{\Delta}} = \left[ {\begin{aligned} &{{\Delta _1}}\quad 0\;\;\quad 0 \\ &\;0\quad \;{{\Delta _2}}\quad 0 \\ &\;0\quad \;\;0\;\quad {{\Delta _3}} \end{aligned}} \right]$.
$$\left\{\begin{aligned} {\Delta _1} = \,& - {\boldsymbol{Q}} + {\boldsymbol{\Lambda }} - {\tau ^*}{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{\boldsymbol{A}}_m^{\rm{T}}{\boldsymbol{P}} - \frac{{{\tau ^*}}}{2}{\boldsymbol{P}}\; -\\ &{\tau ^*}{\boldsymbol{PA}}_d^2{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{({\boldsymbol{A}}_d^2)^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \\ {\Delta _2} =\,& - {\boldsymbol{\Lambda}} - {\tau ^*}{\boldsymbol{P}} \\ {\Delta _3} = \,& - \frac{{{\tau ^*}}}{2}{\boldsymbol{P}} \end{aligned}\right. \tag{B14}$$ 为了保证式 (31) 的一致稳定, 根据定理1, 矩阵${{\Delta}}$为负定矩阵, 在式 (B14) 中的${{\Delta} _2}$和${\Delta _3}$为负定矩阵, 因此, 当${\Delta _1}$是负定矩阵时, 矩阵$\Delta $为负定矩阵, 即:
$${\tau ^*} < \frac{{{{\boldsymbol{\Lambda }}} - {\boldsymbol{Q}}}}{{{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{A}}_m}{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{\boldsymbol{A}}_m^{\rm{T}}{\boldsymbol{P}} + \dfrac{1}{2}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}}_d^2{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{{({\boldsymbol{A}}_d^2)}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}}}\tag{B15}$$ 必要性. 对于任意延时$\tau (t) < {\tau ^*},\;\forall p,\;t$, 式(31) 是渐近稳定的; 令$\tau (t) = 0$, 根据式(30)可得$\dot {\boldsymbol{X}}(t) = {{\boldsymbol{A}}_a}{\boldsymbol{X}}(t)$, 并且由于${{\boldsymbol{A}}_a}$是Hurwitz稳定的, 因此$\dot {\boldsymbol{X}}(t) = {{\boldsymbol{A}}_a}{\boldsymbol{X}}(t)$是渐近稳定的. 根据定理2, 定理3成立, 即$\mathop {\lim }_{t \to \infty } {\boldsymbol{X}}(t) = 0$.
□ 附录C
根据车辆动力学模型 (5) , 可得:
$${\dddot s_i}(t) = - T_i^{ - 1}{a_i}(t) + T_i^{ - 1}{u_i}(t)\tag{C1}$$ 对式 (C1) 进行Laplace变换(${{L(}} \cdot {\rm{)}}$):
$${X_i}(s) = {H_i}(s){U_i}(s) + \frac{{{s_i}(0)}}{s}\tag{C2}$$ 式中, ${X_i}(s) = {{{{L}}}}({s_i}(t))$, ${U_i}(s) = {{{{L}}}}({u_i}(t))$, ${H_i}(s) ={1}/({T_i}{s^2}(s\; + T_i^{ - 1}))$, ${s_i}(0)$为初始条件.
根据式(10)和式(11), 可以得到观测器的传递函数如下:
$$\left\{\begin{aligned} &{{\hat z}_{1,i}}(s) = \frac{{{h_1}s + {h_2}}}{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}(s{X_0}(s) - s{X_i}(s)){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}} \\ &{{\hat z}_{2,i}}(s) = \frac{{{h_2}s}}{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}(s{X_0}(s) - s{X_i}(s)){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}} \end{aligned}\tag{C3} \right.$$ 对控制器(14)进行线性化处理, 对线性化后的控制器${u_i}(t)$做Laplace变换:
当$ i = 1$时,
$$\begin{split} {U_1}(s) =\,& ({g_{o,1}} + \alpha {\xi _{1,0}}){E_1}(s){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\; +\\ &({g_{o,2}} + \alpha )((s{X_0} - s{X_1}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}) \;+\\ &\frac{{{g_{o,3}}s}}{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}((s{X_0} - s{X_1}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}) \end{split} \tag{C4}$$ 当$i = 2, \cdots ,N$时,
$$\begin{split} {U_i}(s) = \,&{g_{o,1}}\left(({X_0} - {X_i}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}} - \frac{{{\kappa _i}}}{s}\right) \;+\\ &({g_{o,2}} + \alpha )((s{X_0} - s{X_i}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}})\; +\\ &{g_{o,3}}\frac{{{h_2}s}}{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}((s{X_0} - s{X_i}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}) \; +\\ &({g_{o,1}} + \alpha {\xi _{i,i \;-\; 1}}){E_i}(s) + {g_{o,2}}(s{X_{i \,-\; 1}} - s{X_i}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}} \end{split}\tag{C5} $$ 式中, ${\kappa _i} = i \cdot ({l_c} + D),\;\forall i = 1,\;2, \cdots ,N$.
$${E_i}(s) = ({X_{i - 1}} - {X_i}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}} - \frac{{{l_c} + D}}{s}\tag{C6}$$ 将式(C4)和式(C5)代入式(C2), 可得:
$$\begin{split} {X_i}(s) =\,& {H_i}(s)\Biggr[{g_{o,1}}\left(({X_0} - {X_i}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}} - \frac{{{\kappa _i}}}{s}\right)\; +\\ &({g_{o,2}} + \alpha )((s{X_0} - s{X_i}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}})\;+\\ &{g_{o,3}}\left(\frac{{{h_2}s}}{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}(s{X_0} - s{X_i}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\right)+\\ &({g_{o,1}} + \alpha {\xi _{i,i - 1}}){E_i}(s)\;+\\ &{g_{o,2}}(s{X_{i - 1}} - s{X_i}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\Biggr] +\frac{{{x_i}(0)}}{s} \end{split} \tag{C7}$$ 当$ i = 1$时,
$${X_1}\; = {\Upsilon _1}{E_1} + {\Psi _1}{X_0} + \frac{{{x_1}(0)}}{s}\tag{C8}$$ 式中
$$ \begin{split} &{\Upsilon _1} = {H_1}{g_{o,1}}\Biggr[1 + {H_1}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\Biggr({g_{o,2}} + \alpha \;+\\ & \qquad\quad \dfrac{{{g_{o,3}}s}}{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}\Biggr)\Biggr]^{ - 1} \\ &{\Psi _1} = \left[\dfrac{{{g_{o,3}}s}}{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}} + {g_{o,2}}+ \alpha \right]\Biggr[1\; +\\ &\qquad\ {H_1}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\Biggr({g_{o,2}} + \alpha + \dfrac{{{g_{o,3}}s}}{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}\Biggr)\Biggr]^{ - 1} \end{split} $$ 将式(C8)代入式(C6), 可得:
$$ {E_1}(s) =\frac{{1 - {\Psi _1}}}{{{\Upsilon _1} + {{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}}}{X_0} -\frac{1}{{{\Upsilon _1} + {{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}}}\left[\frac{{{x_1}(0) + ({l_c} + D){{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}}}{s}\right] \tag{C9}$$ 式中, ${x_1}(0) = {\kappa _1} = {l_c} + D$, 式(C9)可改写为更简洁形式:
$${E_1}(s) = {W_1}(s){X_0}(s) + {\Gamma _1}(s)\frac{{{l_c} + D}}{s}\tag{C10}$$ 式中,
$$\begin{split} &{W_1}(s) = \dfrac{{1 - {\Psi _1}}}{{{\Upsilon _1} + {{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}}}\\ &{\Gamma _1}(s) = \dfrac{{ - 1 - {{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}}}{{{\Upsilon _1} + {{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}}}\end{split}$$ 当$ i = 2$时,
$$\begin{split} {X_2}(s) =\,& {H_2}\Biggr[{g_{o,1}}\Biggr(({X_0} - {X_2}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}} - \frac{{{\kappa _2}}}{s}\Biggr) \;+\\ &({g_{o,2}} + \alpha )((s{X_0} - s{X_2}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}})\; +\\ &{g_{o,3}}\Biggr(\frac{{{h_2}s}}{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}(s{X_0} - s{X_2}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\Biggr) \;+\\ &({g_{o,1}} + \alpha {\xi _{i,i - 1}}){E_2}(s)\; + \\ &{g_{o,2}}(s{X_1} - s{X_2}){{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\Biggr] +\frac{{{x_2}(0)}}{s} \end{split} \tag{C11}$$ 假设车辆队列处于稳定状态, 则${\kappa _2} = 2({l_c} + D) = 2{\kappa _1}$, 式(C11)可改写为:
$$\begin{split} {X_2}(s) =\,& \frac{{{H_2}{g_{o,1}}}}{{{B_2}}}{E_1} + \frac{{{C_2}}}{{{B_2}}}{X_0} + \frac{{{H_2}{g_{o,2}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}}}{{{B_2}}}{X_1} \; +\\ &\frac{{{H_2}(2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{i,i - 1}})}}{{{B_2}}}{E_2} + \frac{{{x_2}(0)}}{{{B_2}s}} \end{split} \tag{C12}$$ 式中
$$\begin{split} &{B_2} = 1 + \left(2{g_{o,2}} + \alpha + \frac{{{{g_{o,3}}{h_2}s}}}{{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}}\right)\\ &{C_2} = \left({g_{o,2}} + \alpha +\frac{ {{{g_{o,3}}{h_2}s}}}{{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}}\right)s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\end{split} $$ 根据式(C6)和式(C12)可以改写为:
$$\begin{split} {E_2}(s) =\,& F_2^{ - 1}\left[\frac{{{B_2} - {H_2}{g_{o,2}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}}}{{{B_2}}}{X_1} - \frac{{{C_2}}}{{{B_2}}}{X_0}\; -\right.\\ &\left.\frac{{{H_2}{g_{o,1}}}}{{{B_2}}}{E_1} - \frac{{{x_2}(0)}}{{{B_2}s}} - \frac{{({l_c} + D){{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}}}{s}\right] \end{split} \tag{C13}$$ 式中, ${F_2} = {{{{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}{B_2} - {H_2}(2{g_{o,1}} + \alpha {\xi _{i,i - 1}})} / {{B_2}}}$.
根据式(C8)和式(C9), 将${X_1}$和${X_0}$代入式(C13), 可得:
$$\begin{split} {E_2}(s) =\,& F_2^{ - 1}\left[\left(\frac{{({B_2} - {H_2}{g_{o,2}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}})({\gamma _1} - W_1^{ - 1}{\Psi _1})}}{{{B_2}}} \;-\right.\right.\\ &\left.\frac{{W_1^{ - 1}{C_2} + {H_2}{g_{o,1}}}}{{{B_2}}}\right){E_1} \;-\\ &\frac{{({B_2} - {H_2}{g_{o,2}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}){\Psi _1} - {C_2}}}{{{B_2}}}W_1^{ - 1}{\Gamma _1}\frac{{{\kappa _1}}}{s} \;-\\ &\left.\frac{{{x_2}(0)}}{{{B_2}s}} - \frac{{({l_c} + D){{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}}}{s}\right] \\[-18pt]\end{split}\tag{C14} $$ 式中, ${x_2}(0) = {\kappa _2} = 2({l_c} + D)$, 式(C14)可简化为:
$${E_2}(s) = {W_2}(s){E_1} + {\Gamma _2}(s)\frac{{{l_c} + D}}{s}\tag{C15}$$ 式中
$$ \begin{split} &{W_2}(s) = F_2^{ - 1}\left[\dfrac{{({B_2} - {H_2}{g_{o,2}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}){\gamma _1}}}{{{B_2}}}\;-\right.\\ & \qquad\quad\left. \dfrac{{({B_2} - {H_2}{g_{o,2}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}})W_1^{ - 1}{\Psi _1}}}{{{B_2}}} - \dfrac{{W_1^{ - 1}{C_2} + {H_2}{g_{o,1}}}}{{{B_2}}}\right]\\ &{\Gamma _2}(s) = - \left[\dfrac{{({B_2} - {H_2}{g_{o,2}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}){\Psi _1} - {C_2}}}{{{B_2}}}W_1^{ - 1}{\Gamma _1}\;+\right.\\ &\qquad\quad\left. \dfrac{{2 + {B_2}{{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}}}{{{B_2}s}}\right] \end{split} $$ 同理推广, 可得:
$${E_i}(s) = {W_i}(s){E_{i - 1}} + {\Gamma _i}(s)\frac{{{l_c} + D}}{s}\tag{C16}$$ 式中
$$ \begin{split} &{W_i}(s) = F_i^{ - 1}[{\Upsilon _i} - \frac{{W_{i - 1}^{ - 1}{C_i} + {H_i}{g_{o,1}}}}{{{B_i}}} - {\Lambda _i}]\\ &{\Upsilon _i} = \frac{{({B_i} - {H_i}{g_{o,2}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}){H_{i - 1}}{g_{o,1}}}}{{{B_i}{{[1 + {H_{i - 1}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\Phi ]}^{ - 1}}}}\\ &{\Lambda _i} = - \frac{{({B_i} - {H_i}{g_{o,2}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}})W_{i - 1}^{ - 1}}}{{{B_i}[1 + {H_{i - 1}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\Phi ]}}\\ & \Phi = {g_{o,2}} + \alpha + \frac{{{g_{o,3}}s}}{{{s^2} + {h_1}s + {h_2}}}\\ &{\Gamma _i}(s) = - \Bigg[\frac{{({B_i} - {H_i}{g_{o,2}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}})\Phi - {C_i}}}{{{B_i}[1 + {H_{i - 1}}s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}}\Phi ]}}W_{i - 1}^{ - 1}{\Gamma _{i - 1}}\; +\\ &\quad\qquad\frac{{2 + {B_i}{{\rm{e}}^{{\tau ^*}s}}}}{{{B_i}s}}\Bigg]\\ &{B_i} = 1 + {g_{o,2}} + \Phi ,\; {C_i} = \Phi s{{\rm{e}}^{ - {\tau ^*}s}} \end{split} $$ -
图 6 位置图((a)无延时[12]; (b)$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$[12]; (c)控制器(14)-无延时; (d) 控制器(14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)
Fig. 6 Position profile ((a) No time delay[12]; (b) $\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$[12]; (c) Controller (14)-no time delay; (d) Controller (14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)
图 7 速度图((a)无延时[12]; (b)$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$[12]; (c)控制器(14)-无延时; (d) 控制器(14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)
Fig. 7 Velocity profile ((a) No time delay[12]; (b) $\tau (t) \in [0.1,\;0.2]{\rm{s}}$[12]; (c) Controller (14)-no time delay; (d) Controller (14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)
图 8 加速度图((a)无延时[12]; (b)$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$[12]; (c)控制器(14)-无延时; (d) 控制器(14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)
Fig. 8 Acceleration profile ((a) No time delay[12]; (b) $\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$[12]; (c) Controller (14)-no time delay; (d) Controller (14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)
图 9 间距误差图 ((a)无延时[12]; (b)$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$[12]; (c)控制器(14)-无延时; (d) 控制器(14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)
Fig. 9 Spacing error profile ((a) No time delay[12]; (b) $\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$[12]; (c) Controller (14)-no time delay; (d) Controller (14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)
图 10 ${z_{2,i}}(t)$和${\hat z_{2,i}}(t)$ ((a)控制器(14)-无延时; (b) 控制器(14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)
Fig. 10 ${z_{2,i}}(t)$ and ${\hat z_{2,i}}(t)$ ((a) Controller (14)-no time delay; (b) Controller (14)-$\tau (t) \in [0.1,\;0.2]\;{\rm{s}}$)
图 11 基于PreScan/Simulink联合仿真平台框架示意图
Fig. 11 Framework of the PreScan/Simulink-based co-simulation platform
表 1 控制器参数
Table 1 Controller parameters
参数 数值 单位 $\alpha $ $0.67$ ${{\rm{s}}^{ - 1}}$ ${g_{o,1}}$ $0.12$ ${{\rm{s}}^{ - 2}}$ ${g_{o,2}}$ $0.52$ ${{\rm{s}}^{ - 1}}$ ${g_{o,3}}$ $0.30$ — ${V_1}$ $6.75$ ${\rm{m/s}}$ ${V_2}$ $7.91$ ${\rm{m/s}}$ ${C_1}$ $0.13$ ${{\rm{m}}^{ - 1}}$ ${C_2}$ $1.59$ — ${h_1}$ $30$ — ${h_2}$ $12$ — ${k_P}$ $10$ — ${k_I}$ $0.30$ — ${k_D}$ $0.10$ — $\vartheta $ $0.10$ ${\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}$ 
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表 2 PreScan中车辆模型参数
Table 2 The parameters of vehicle model in PreScan
参数 数值 单位 $m$ $1\,532$ ${\rm{kg}}$ $g$ $9.80$ ${\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}$ ${l_c}$ $4.63$ ${\rm{m}}$ ${C_A}$ $0.31$ ${\rm{kg/m}}$ ${i_0}$ $2.70$ — ${\eta _{\rm{T}}}$ $1.00$ — $f$ $0.01$ —
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