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摘要:
针对现有图像超分辨率重建方法恢复图像高频细节能力较弱、特征利用率不足的问题, 提出了一种多尺度特征融合反投影网络用于图像超分辨率重建. 该网络首先在浅层特征提取层使用多尺度的卷积核提取不同维度的特征信息, 增强跨通道信息融合能力; 然后,构建多尺度反投影模块通过递归学习执行特征映射, 提升网络的早期重建能力; 最后,将局部残差反馈结合全局残差学习促进特征的传播和利用, 从而融合不同深度的特征信息进行图像重建. 对图像进行×2 ~ ×8超分辨率的实验结果表明, 本方法的重建图像质量在主观感受和客观评价指标上均优于现有图像超分辨率重建方法, 超分辨率倍数大时重建性能相比更优秀.
Abstract:Aiming at the problems that existing image super-resolution reconstruction methods have weak ability to restore image high-frequency details and insufficient feature utilization, a multi-scale feature fusion back projection network is proposed for image super-resolution reconstruction. The network first uses multi-scale convolution kernels in the shallow feature extraction layer to extract feature information of different dimensions to enhance cross-channel information fusion; then builds a multi-scale back projection module to perform feature mapping through recursive learning to improve the early reconstruction capabilities of the network; Finally, local residual feedback is combined with global residual learning to promote the spread and utilization of features, thereby fusing feature information of different depths for image reconstruction. The experimental results of ×2 ~ ×8 SR on the images show that the quality of SR image of this method is better than the existing image super-resolution method in subjective perception and objective evaluation index, and the reconstruction performance is relatively better when the scale factors is large.
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Key words:
- Image super-resolution /
- multi-scale convolution /
- feature fusion /
- back-projection
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列车自动运行系统(Automatic train operation, ATO)能否产生可靠的牵引与制动控制信号是高速列车安全可靠运行的关键问题之一, 即需要针对ATO系统, 建立可靠的牵引与制动控制算法[1]. 而高速列车运行过程中的运行阻力, 未知的车间力, 不可预测的执行器故障以及复杂的运行环境[2], 使得高速列车系统具有高度的不确定性和非线性. 因此, 开展高速列车牵引与制动控制算法的研究变得更加重要且更具挑战性.
目前已有学者针对高速列车上述部分特性建立了牵引与制动控制算法(如:
$ H_\infty $ 控制[3]、反步控制[4]等)以实现稳定的位移与速度跟踪控制, 但很大部分研究成果多将研究重点放在系统的稳态性能上, 即证明高速列车速度与位移跟踪控制系统是Lyapunov 渐进稳定的, 这意味着该闭环系统最快的收敛速度是无限时间内的指数收敛, 从而限制了系统获得更好的收敛性能[5]. 为适应实际应用的需要, 有限时间稳定性(Finite-time stability, FTS)应运而生. 有限时间稳定性指在某一个固定的时间区间内系统的状态轨迹不会超过预先设定的界限, 即着重于固定时间间隔内系统的性能指标和状态轨迹, 并强调系统响应的瞬态行为[6]. 近年来, 针对大多数实际系统, 基于Lyapunov的有限时间控制算法因其可处理外界扰动和稳定时间可调等优点而得到广泛应用. 例如, 文献[7]提出了一种快速终端滑模(Fast terminal sliding mode, FTSM)控制算法, 利用切换函数消除了奇异性问题并实现了飞行器姿态的有限时间跟踪控制, 但该控制器限制了控制参数的选取. 文献[8]在考虑系统不确定性以及外界干扰的情况下, 提出了一种非奇异快速滑模控制算法以实现不确定动态系统的轨迹跟踪, 同时该控制器扩展了控制参数的选取范围. 分数阶微积分(Fractional calculus, FC)将积分和微分扩展到非整数阶算子, 即其包含所有整数阶的理论, 并在传统整数阶的基础上增加了一维(自由度)[9]. 对于相同的控制对象, 基于已有的研究成果, 文献[10]指出分数阶控制器会表现出比整数阶控制器更好的控制性能. 分数阶控制器的优越性得益于分数阶积分的遗传衰减特性, 从能量传递的角度来看, 该性质能使得能量缓慢释放, 从而抑制抖振现象以提高跟踪控制精度[11]. 目前, 针对分数阶控制器的研究已有些成果. 例如: 针对旋转柔性关节轨迹跟踪系统, 文献[12]设计了一种分数阶积分控制器并实现了更高的控制精度. 在文献[13]中通过设计分数阶PID控制器抑制了并联机器人跟踪任务中的外部干扰. 目前, 基于分数阶稳定性原理的分数阶有限时间控制器也已有部分研究成果, 比如: 为实现一类分数阶非线性系统的有限时间控制, 文献[14]设计了一种新颖的快速终端滑模控制器. 文献[15]设计了状态反馈控制器和输出反馈控制器以实现分数阶正切换系统有限时间稳定.事实上, 事关生命财产安全的高速列车牵引与制动控制系统是一个需要较快反应速度的系统, 通常的Lyapunov稳定往往不能达到预期的控制效果, 甚至可能会因为多种扰动与不确定因素导致超调量过大, 反应缓慢等影响列车运行安全的现象发生. 同时, 随着列车速度的提高, 其对跟踪精度的要求也越来越高[16]. 因此, 有必要为其设计具有高鲁棒性和抗干扰能力的控制器以提高跟踪控制系统的暂态和稳态性能. 受有限时间控制理论和分数阶稳定性原理以及现有研究成果的启发, 本文设计了一种分数阶有限时间控制器以实现高速列车位移与速度有限时间内更高精度的跟踪控制. 该控制器具有以下优点: 1)可同时改善系统暂态和稳态性能; 2)独立于模型, 仅需已知列车位移与速度即可, 易于应用且成本不高; 3)可实时且有效地补偿执行器故障, 实现“故障后被动处理”到“故障前主动预防”的根本转变; 4)在系统运行工况变化的情况下, 无需重新设计或规划控制参数, 便于应用. 稳定性分析和仿真研究均可证明该控制器的有效性; 相比于传统PID控制器的仿真结果, 验证了该控制器的优越性.
1. 高速列车动态模型
根据牛顿第二定律, 高速列车的纵向动力学模型为[2]:
$(I+R)M{{\ddot{ X}}} = \Lambda {{{ F}_{u}}}-{{{ F}_{d}}}+(T-I){ {{ F}_{{{in}}}}}$ , 其中$ R =$ ${\rm diag}\{r_i\}$ 是旋转质量系数构成的矩阵;$M = {\rm diag} $ $ \{m_i\}$ 是每节车厢质量构成的矩阵;$ \Lambda = {\rm diag}\{\lambda_i\}$ 是效能分配常数构成的牵引/制动分配矩阵, 用来确定每节车厢贡献的牵引/制动力;${{ F}_{ d}} = [f_{d1},f_{d2},\cdots, $ $ f_{dn}]^{\rm T}$ 是阻力向量;$T = [0_{1\times(n-1)}, 1; I_{(n-1)\times(n-1)}, $ $ {0_{(n-1)\times1}}]$ 表示各车辆间相互作用力系数的矩阵, 其中$ I $ 代表单位矩阵.${{{ F}_{{in}}}} =$ $ [f_{in_1},f_{in_2},\cdots,f_{in_n}]^{{\rm T}} $ 是车间力向量;$ { X} $ 是位移向量;$ {\dot{ X}} $ 是速度向量;$ {\ddot{ X}} $ 是加速度向量;${{{ F}_{ u}}} = h(\Re { F}+{{\Delta}}{\bf{(}}{{F}}{\bf{)}})+{{{\Upsilon}}}$ 是考虑了输入非线性和执行器故障的实际牵引力, 其中$ h = {\rm diag}{\{h_i}\} $ 表示每节车厢的执行器健康参数构成的矩阵,$\Re = {\rm diag}\{\varrho_i\}$ 是斜率矩阵,$ F $ 表示需要设计的牵引/制动力,${{\Delta}}{\bf{(}}{{F}}{\bf{)}} = [\varepsilon_1(f_1),\varepsilon_2(f_2),\cdots, \varepsilon_n(f_n)]^{\rm T}$ 是截距向量,$||{{\Delta}}{\bf{(}}{{F}}{\bf{)}}||\leq \varepsilon_0$ , 其中$ \varepsilon_0 $ 代表未知的正常数,${{{{\Upsilon}}}} = [\nu_1,\nu_2,\cdots,\nu_n]^{\rm T}$ 表示由执行器故障引起的不确定部分, 且$ \nu_i\leq\bar{\nu}<\infty $ , 存在$\|{{{{\Upsilon}}}}\|\leq\nu_0 < \infty$ . 在上述描述中$ i = {1,2,\cdots,n} $ 是高速列车包含的车厢数量. 令$ \bar{M} = (I+R)M $ , 则有$$ \begin{split} \bar{M}{\ddot{ X}} =\;& \Lambda h\Re { F}+\Lambda h {{\Delta}}{\bf{(}}{{F}}{\bf{)}} +\Lambda{{{{\Upsilon}}}}+\\ &[(T-I){{ F}_{{in}}}-{{ F}_{ d}}] \end{split} $$ (1) 本文的控制目标为: 设计控制力
$ { F} = [f_{1},f_{2},\cdots,$ $ f_{n}]^{\rm T} $ 以保证实际的位移$ { X} $ 和速度$ {\dot{ X}} $ 分别以较高的精度跟踪期望的位移${{ X}_{ d}}$ 和速度${\dot{ X}}_{ d}$ , 并确保位移和速度的跟踪误差${ E} = { X}-{{ X}_{ d}}$ 和${\dot{ E}} = {\dot{ X}}-{\dot{ X}}_{d}$ 有限时间内一致最终有界.$ { X} = [x_1,x_2,\cdots,x_n]^{\rm T} $ 和$ {\dot{ X}} = [\dot{x}_1, \dot{x}_2,\cdots,\dot{x}_n]^{\rm T} $ 分别表示位移和速度向量;${\dot{ X}}_{ d}$ 和${{ X}_{d}}$ 是期望的速度和位移向量, 假设其光滑且有界.2. 分数阶有限时间控制器设计
首先, 为设计分数阶有限时间控制器, 定义滤波变量
${{ S}_{0}}$ 为$$ {{ S}_{ 0}} = {\dot{ E}}+\gamma_1{ E}+\gamma_2\left\{ {\begin{aligned}&{\rm sig}^\nu({ E}), &{\text{若}} \,|e_i|\geq\epsilon\\ &{ E}^{\rm T}{ E}{\rm sign}({ E}), &{\text{若}}\,|e_i|<\epsilon\end{aligned}} \right. $$ (2) 其中
$ \gamma_1 = {\rm diag}{\{\gamma_{1i}}\} $ ,$ \gamma_2 = {\rm diag}{\{\gamma_{2i}}\} $ ,$ \gamma_1>0 $ ,$ \gamma_2>0 $ 以及$ 0<\nu<1 $ 均由设计者选取;$ \epsilon $ 为设计者选取的小正常数;$ {\rm sig}^{\nu}(\cdot) $ 被定义为${\rm sig}^{\nu}({ E}) = [|e_1|^{\nu}$ ${\rm sign}(e_1), $ $ |e_2|^{\nu}{\rm sign} (e_2), \cdots,|e_n|^{\nu}{\rm sign}(e_n)]^{\rm T}$ .定理1.
${{ S}_{0}}$ 如式(2)中定义, 若${{ S}_{0}}$ 是有限时间内一致最终有界的, 则位移和速度跟踪误差$ { E} $ 和$ {\dot{ E}} $ 也是有限时间内一致最终有界的.证明. 由于
${{ S}_{0}}$ 是一致最终有界的, 则可假设其满足$||{{ S}_{0}}||\leq\Delta,$ 结合式(2), 有${{ S}_{ 0}} = {{\phi}},$ 其中,$||{{\phi}}||\leq $ $ \Delta,$ ${{\phi}} = [\phi_1, $ $ \phi_2,\cdots,\phi_n]^{\rm T} $ 表示位于${{S}}_0$ 的收敛域中的某个点.下述证明以标量形式开展以便于理解, 包括以下两种情况:
情况1. 考虑
$ |e_i|\geq\epsilon $ 成立, 且$|S_{0i}| = |\phi_i|\leq\Delta$ $(i = 1,2,\cdots,n)$ , 则结合式(2)有$$ \dot{e}_i+\gamma_{1i}e_i+\gamma_{2i}|e_i|^\nu {\rm sign}(e_i) = \phi_i,\quad |\phi_i|\leq \Delta $$ (3) 整理上式可得
$$ \dot{e}_i = -\theta_{1i}e_i-\theta_{2i}|e_i|^\nu {\rm sign}(e_i) $$ (4) 其中,
$ \theta_{1i} = \gamma_{1i}-\dfrac{\phi_i}{2e_i} $ ,$ \theta_{2i} = \gamma_{2i}-\dfrac{\phi_i}{2|e_i|^\nu {\rm sign}(e_i)} $ .选取Lyapunov候选函数
$$ V_1 = \dfrac{e_i^2}{2} $$ (5) 根据式(4),
$ V_1 $ 对时间的导数可表示为$$ \dot{V_1} = -\theta_{1i}e_i^2-\theta_{2i}|e_i|^{\nu+1} $$ (6) 若
$ \theta_{1i}>0 $ 和$ \theta_{2i}>0 $ 成立, 则有$$ \dot{V_1}\leq-2{\rm min}(\theta_{1i})V_1-2^{\frac{\nu+1}{2}}{\rm min}(\theta_{2i})V_1^{\frac{\nu+1}{2}} $$ (7) 根据文献[17]中定义1, 若
$ \theta_{1i}>0 $ 和$ \theta_{2i}>0 $ 成立, 则位移跟踪误差$ e_i $ 是一致最终有界稳定的, 且稳定时间满足$$ T_1\leq\dfrac{1}{\theta'_{1i}(1-\nu)} \ln\dfrac{\theta'_{1i}V_1^{\frac{\nu-1}{2}}(e_i(0))+2^{\frac{\nu-1}{{2}}}\theta'_{2i}}{2^{\frac{\nu-1}{{2}}}\theta'_{2i}} $$ 其中,
$ e_i(0) $ 为位移跟踪误差初值,$\theta'_{1i} \!=\! {\rm min}(\theta_{1i})$ ,$\theta'_{2i} \!=$ $ {\rm min}(\theta_{2i}) $ . 由$ \gamma_{1i}-\dfrac{\phi_i}{2e_i}>0 $ 和$ \gamma_{2i}-\dfrac{\phi_i}{2|e_i|^\nu {\rm sign}(e_i)}>0 $ , 可得$ |e_i|>\Delta/2\gamma_{1i} $ ,$ |e_i|>(\Delta/2\gamma_{2i})^{1/\nu} $ . 结合$ |e_i|\geq \epsilon $ , 可知位移跟踪误差$ e_i $ 可在有限时间内收敛到$ \Delta_e: = {\rm max}(\epsilon,\Delta/$ $ 2\gamma_{1i}, (\Delta/2\gamma_{2i})^{1/\nu}) $ , 根据式(3), 速度跟踪误差$ \dot{e}_i $ 可在有限时间内收敛到$|\dot{e}_i|\leq |\phi_i|+ $ $\gamma_{1i}|e_i|+\gamma_{2i}|e_i|^\nu \leq \Delta+ {\rm max}{\{\gamma_{1i}}\} \Delta_e+{\rm max}{\{\gamma_{2i}}\}\Delta_e^\nu = \Delta_\varpi.$ 情况2. 考虑
$ |e_i|<\epsilon $ , 此时, 位移跟踪误差$ e_i $ 已在区域$ \Delta'_e = {\{|e_i|<\epsilon}\} $ 中. 基于式(2), 有$\dot{e}_i+\gamma_{1i}e_i+$ $\gamma_{2i}e_i^2{\rm sign}(e_i) =\phi_i,\, |\phi_i|\leq \Delta$ , 则速度跟踪误差$ \dot{e}_i $ 可收敛到$|\dot{e}_i|\leq $ $ \gamma_{1i}\epsilon+\gamma_{2i}\epsilon^2+\Delta = \Delta'_\varpi $ .综合以上两种情况, 可知若
$ {{ S}_{0}} $ 是有限时间内一致最终有界的, 则位移跟踪误差$ { E} $ 将会在有限时间内收敛到区域$ \Delta_{{ E}}: = {\rm max}{\{\epsilon, \Delta/2||\gamma_1||, (\Delta/2||\gamma_2||)^{1/\nu}}\} $ 中, 同时, 速度跟踪误差$ {\dot{ E}} $ 也是有限时间内一致最终有界的. □其次, 为引入分数阶积分算子以提高控制器的控制精度, 定义滤波变量
$ { S} $ 为$$ { S} = {{ S}_{0}}+\gamma_3\; _0^CD_t^{-r}{{ S}_{0}}+\gamma_4\; _0^CD_t^{-r}\left({\rm sig}^{\nu}({{ S}_{0}})\right) $$ (8) 其中,
$ \gamma_3 = {\rm diag}{\{\gamma_{3i}}\} $ ,$ \gamma_4 = {\rm diag}{\{\gamma_{4i}}\} $ $(i = 1,2,\cdots, n),$ $ \gamma_3>0 $ ,$ \gamma_4>0 $ 以及$ 0<\nu<1 $ 均由设计者选取.根据定理1, 为确保位移和速度误差
$ { E} $ 和$ {\dot{ E}} $ 有限时间内一致最终有界, 需证明${{ S}_{0}}$ 的有限时间稳定性. 因此, 结合$ { S} $ 的定义提出以下定理.定理2.
$ { S} $ 如式(8)中定义, 若$ { S} $ 有限时间内一致最终有界, 则当$ t>T_2 $ 时,${{ S}_{ 0}}$ 一致最终有界.证明. 若
$ { S} $ 是一致最终有界的, 则可假设其收敛于$ \Delta_1 $ , 即$ ||{ S}||\leq\Delta_1 $ 成立, 有$ { S} = {{\psi}} $ , 其中$||{{\psi}}||\leq $ $ \Delta_1$ 且$ {{\psi}} = [\psi_{1},\psi_{2},\cdots,\psi_{n}]^{\rm T} $ 代表位于${S}$ 的收敛域中的某个点.根据分数阶性质: 若存在两个常数满足
$ \alpha_1>$ $ \alpha_2>0 $ , 则$ \;_{t_0}^CD_t^{\alpha_1}\;_{t_0}^CD_t^{-\alpha_2}f(t) = \;_{t_0}^CD_t^{\alpha_1-\alpha_2}f(t) $ 成立. 根据式(8)两边同取$ r $ 阶导数得$$ _0^CD_t^{r}{{ S}_{\bf 0}} +\gamma_{3}{{ S}_{\bf 0}}+\gamma_{4}{\rm sig}^{\nu}({{ S}_{\bf 0}}) = \,_0^CD_t^{r}{{\psi}} $$ (9) 其中,
$ r $ 满足$ 0<r = r_1/r_2<1 $ ,$ r_2 $ 为奇数, 以使$ \;_0^CD_t^{r}{{\psi}} $ 存在且满足$ ||\; _0^CD_t^{r}{{\psi}}||\leq \Delta_2 $ .相似地, 下述证明仍以标量形式展开:
情况1. 考虑
$ s_{0i} $ 满足$ |s_{0i}|\geq \varepsilon $ , 其中$ \varepsilon>0 $ 是一个小正常数, 且$ |\,_0^CD_t^{r}s_{0i}|\leq\Delta_2 $ 成立, 则有$$ _0^CD_t^{r}s_{0i} = -\bar{\gamma}_{3i}s_{0i}-\gamma_{4i}{\rm{sig}}^\nu (s_{0i}) $$ (10) 其中,
$ \bar{\gamma}_{3i} = \gamma_{3i}-\;_0^CD_t^{r}\psi_{i}/s_{0i} $ .选取Lyapunov候选函数
$$ V_2 = \dfrac{s_{0i}^2}{2} $$ (11) 根据分数阶性质: 当
$ 0<r<1 $ 且$ x(t) $ 是连续可微时,$ \dfrac{1}{2}\;_{t_0}^CD_t^rx^2(t)\leq x(t)\;_{t_0}^CD_t^rx(t) $ , 结合式(10)得$$ \begin{split} _0^CD_t^{r}V_2 = \;_0^CD_t^{r}\left(s_{0i}^2\right)/2\leq s_{0i}\;_0^CD_t^{r}s_{0i}=\\ -\bar{\gamma}_{5i}s_{0i}^2-\gamma_{6i}|s_{0i}|^{\nu+1} \quad\quad\quad\quad \end{split} $$ (12) 因此, 若
$ \gamma_{4i}>0 $ 和$ \bar{\gamma}_{3i}>0 $ 成立, 则基于分数阶Lyapunov稳定性理论,$ s_{0i} $ 将会渐近地收敛到区域$ \Delta_{s_{0i}}: = {\rm max}{\{\varepsilon,\;\Delta_2/\gamma_{3i}}\} $ .情况2. 考虑
$ s_{0i} $ 满足$ |s_{0i}|\leq \varepsilon $ . 显然,$ s_{0i} $ 已在区域$ \Delta_{s_{0i}} $ 中.至此, 可证明出当
$ t\rightarrow\infty $ 时,$ s_{0i} $ 是一致最终有界的. 为证明$ s_{0i} $ 的有限时间稳定性, 开展以下分析.基于文献[18]定理3以及
$ \alpha>0 $ ,$ \beta>1 $ , 有$$ \; _0^CD_t^{r}\left(\int_0^t\dot{V}_2 {\rm d}\tau\right) \leq-\alpha V_2^{\frac{1}{\beta}} $$ (13) 由于Riemann_Liouville分数阶积分
$ _0D_t^{r} $ 是一个单调算子, 则上式两边同时取$ r $ 阶积分, 可得$$ _0D_t^{-r}\;_0^CD_t^{r}\left(\int_0^t\dot{V}_2 {\rm d}\tau\right)\leq -\alpha\; _0D_t^{-r} V_2^{\frac{1}{\beta}} $$ (14) 根据分数阶性质: 若
$ 0<r<1 $ ,$ f(t)\in L_p(a,b) $ 且满足初始条件$f(t) \!=\! f(t_0) \!=\! 0$ , 则$\;_{t_0}D_t^{-r} \left(_{t_0}^CD_t^rf(t)\right) \!=\! $ $ f(t)$ 在$ [a,b] $ 上成立. 结合$\int_0^t\dot{V}_2 {\rm{d}}\tau|_{t = 0} = 0$ , 可得$$ \int_0^t\dot{V}_2 {\rm d}\tau\leq-\alpha\; _0D_t^{-r} V_2^{\frac{1}{\beta}} $$ (15) 基于Riemann_Liouville分数阶积分的定义, 上述不等式可重写为
$$ \int_0^t\dot{V}_2 {\rm d}\tau\leq-\frac{\alpha}{\Gamma(r)}\int_0^t(t-\tau)^{r-1} V_2^{\frac{1}{\beta}} {\rm d}\tau $$ (16) 为求稳定时间, 整理上式为
$ \int_0^t\frac{1}{V_2^{1/\beta}}{\rm d}V_2\leq-\alpha\frac{1}{\Gamma(r)}$ $ \int_0^t(t-\tau)^{r-1}{\rm d}\tau $ , 则稳定时间$$ \begin{split} T_2\le\;&\Bigg[\frac{\beta\Gamma(1+r)}{\alpha(\beta-1)}\times\bigg(V_2^{\frac{\beta-1}{\beta}} (0,s_{oi}(0))-\\ &V_2(t,s_{0i}(t)) ^{\frac{\beta-1}{\beta}}\bigg)\Bigg]^{\frac{1}{1-r}} \end{split}$$ 因此,
${{S}}_0$ 有限时间内一致最终有界. □至此, 结合定理1和定理2, 为确保位移和速度跟踪误差
$ { E} $ 和$ {\dot{ E}} $ 有限时间内一致最终有界, 需设计合适的控制器以确保$ { S} $ 在有限时间内一致最终有界. 为设计分数阶有限时间控制器, 结合$ { S} $ 和$ {{ S}_{\bf 0}} $ 的定义和系统模型(1), 可得$$\bar{M}{\dot{ S}} = \Lambda h\Re { F} + \Lambda h{{\delta}}{\bf{(}}{{F}}{\bf{)}}+\Lambda{{\Upsilon}}+ [(T-I){{ F}_{{in}}}-{{ F}_{ d}}]+{{L}}{\bf{(}}{{\cdot}}{\bf{)}} $$ 其中,
$$\begin{split} {{L}}{\bf{(}}{{\cdot}}{\bf{)}} = \bar{M}(\gamma_3\;_0^CD_t^{1-r}{{ S}_{\bf 0}}+ \;\gamma_4 \;_0^CD_t^{1-r}{\rm sig}^\nu({{ S}_{ 0}})-\quad\\{\ddot{ X}}_{{d}}+\gamma_1 {\dot{ E}})+ \gamma_2 \bar{M} \left\{ {\begin{aligned} & \nu {\rm diag}({\dot{ E}}){\rm sig}^{\nu-1}({ E}),&{\text{若}} |e_i|\geq\epsilon\\ & { E}^{\rm T}\dot{{ E}}{\rm sign}({ E}),&{\text{若}} |e_i| < \epsilon \end{aligned}} \right. \end{split}$$ 令
${{G}}{\bf{(}}{{\cdot}}{\bf{)}} \!=\! \Lambda h{{\delta}}{\bf{(}}{{F}}{\bf{)}}\!+\!\Lambda{{\Upsilon}}\!+\![(T\!-\!I){{ F}_{{in}}}\!-\!{{ F}_{d}}]+{{L}}{\bf{(}}{{\cdot}}{\bf{)}}$ , 则系统可描述为$$ \bar{M}{\dot{ S}} = \Lambda h\Re { F} + {{G}}{\bf{(}}{{\cdot}}{\bf{)}} $$ (17) $ {{G}}{\bf{(}}{{\cdot}}{\bf{)}} $ 是一个矢量非线性函数. 若利用神经网络直接逼近, 则可能会陷入代数循环. 因此, 标量化处理${{G}}{\bf{(}}{{\cdot}})\!\!:$ $\|{{G}}{\bf{(}}{{\cdot}}{\bf{)}}\|\!\leq\!||\Lambda h||\varepsilon_0+||\Lambda||\nu_0+\|{{L}}{\bf{(}}{{\cdot}}{\bf{)}}\|+\|(T-I)\times$ ${{ F}_{{in}}}- {{ F}_{d}}\|= \sigma(\cdot)$ , 进而, 可转化为逼近标量函数$ \sigma(\cdot) $ . 径向基神经网络(Radial basis function neural network, RBFNN)因其简单、快速学习和可广泛逼近的特性而广受欢迎[19]. 所以, 利用RBFNN逼近$ \sigma(\cdot) $ , 即$\sigma(\cdot) = { W}^{\rm T}{{\Phi}}{\bf{(}}{{Z}}{\bf{)}}+{{\delta}}{\bf{(}}{{Z}}{\bf{)}}$ , 其中,${{\Phi}}{\bf{(}}{{Z}}{\bf{)}} = $ $ [\phi_1(Z),\phi_2(Z),\cdots,$ $\phi_N(Z)]^{\rm T}\!\in\! {\bf R}^{ N}$ 是关于${ Z} \!=\! [{ X},{{{ X}_{ d}}}]^{\rm T}$ 的基函数, 且$ { W}\in {\bf R}^{N} $ 是最优的常数向量.$\phi_k(\cdot) = $ $ {\rm exp}(-\Sigma_{j = 1}^q (z_j-c_{kj})^2/ 2b_{kj}^2) ,$ 其中,$k \!=\! 1,\cdots,N,$ ${ Z} \!= $ $ [z_1,\cdots,z_q]$ 是RBFNN的输入向量.${{ C}_{{kj}}} = [c_{k1},\cdots, $ $ c_{kq}]$ ,${{ B}_{{kj}}} = [b_{k1},\cdots,b_{kq}]$ 分别是与输入向量每个元素均相关的高斯分布函数的中心状态和标准偏差, 其中,$j = 1,2,\cdots,q,$ $ q $ 是第$ k $ 层的神经元数量,$ N $ 代表隐藏层的数量. 根据通用的逼近理论, 神经网络的重构误差可合理的假设为$ ||{{\delta}}{\bf{(}}{{Z}}{\bf{)}}||\leq$ $\delta_{{\rm{max}}} < \infty.$ 为分析分数阶有限时间控制器的稳定性,
$ \sigma $ 的上界可表示为$$ \sigma(\cdot)\leq\rho(1+\Phi) $$ (18) 其中,
$\rho = {\rm max}{\{\|{ W}^{\rm T}\|,\delta_{{\rm{max}}}}\}$ 是一个非负常数且$\Phi = $ $ ||{\Phi}{\bf{(}}{{Z}}{\bf{)}}||$ (下同).定理3. 基于式(1)中描述的列车系统, 若建立下列控制律
$$ { F} = -\Lambda^{\rm T}\left(k{ S}+\eta {\rm sig}^{\nu}({ S})\right) $$ (19) $$ k = c_1+c_2\hat{\rho}(1+\Phi)^2 $$ (20) $$ \dot{\hat{\rho}} = -c_3\hat{\rho}+c_2(1+\Phi)^2||{ S}||^2 $$ (21) 其中,
$ { S} $ 如式(8)中所定义,$ c_1>0 $ ,$ c_2>0 $ ,$ c_3>0 $ ,$ 0<\nu<1 $ 以及$\eta = {\rm diag}\{\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{n}\}$ ($ \eta_{i}>0 )$ 均由设计者选取.$ \hat{\rho} $ 是$ \rho $ 的估计. 则当$ t>T_3 $ 时,$ { S} $ 是一致最终有界的, 进而可保证位移和速度跟踪误差$ { E} $ 和$ {\dot{ E}} $ 也是有限时间一致最终有界的.证明. 选取Lyapunov候选函数
$$ V_3 = \frac{{ S}^{\rm T}\bar{M}{ S}}{2}+{\frac{(\rho-\lambda\hat{\rho})^2}{2\lambda}} $$ (22) 依据式(17)以及上述控制律,
$ V_3 $ 对于时间的导数为$$ \begin{split} &\dot{V}_3 = -c_1{ S}^{\rm T}(\Lambda h\Re \Lambda^{\rm T}){ S}- \eta { S}^{\rm T}(\Lambda h\Re \Lambda^{\rm T})sig^{\nu}({ S})-\\ &{ S}^{\rm T}(\Lambda h\Re \Lambda^{\rm T}) { S} c_2\hat{\rho}(1+\Phi)^2+{ S}^{\rm T}G-(\rho-\lambda\hat{\rho})\dot{\hat{\rho}} \end{split} $$ (23) 根据
$ \Lambda h\Re\Lambda^{\rm T} $ 中各量的定义可知,$ \Lambda h\Re\Lambda^{\rm T} $ 是一个$ n $ 维方阵, 则其最小特征值可假设为$\lambda_{\rm{min}}$ . 利用$0< $ $\lambda < \lambda_{\rm{min}}(\Lambda h\Re\Lambda^{\rm T})$ , 可得$$ \begin{split} \dot{V}_3\leq -c_1\lambda||{ S}||^2-c_2\lambda\hat{\rho}(1+\Phi)^2||{ S}||^2+\\ \rho(1+\Phi)||{ S}||-(\rho-\lambda\hat{\rho})\dot{\hat{\rho}} \quad\quad\quad\end{split} $$ (24) 其中,
${ S}^{\rm{T}}(\Lambda h\Re \Lambda^{\rm T}){\rm sig}^{\nu}({ S}) > \lambda \Sigma_{i = 1}^n|s_i|^{v+1}>0$ .基于
$(1+\Phi)||{ S}||\leq\; c_2(1+\Phi)^2\;||{ S}||^2+1/(4c_2),$ 化简上式得$$ \begin{split} \dot{V}_3\leq -c_1\lambda||{ S}||^2 +c_2(\rho-\lambda\hat{\rho})(1+\Phi)^2||{ S}||^2+\\ \frac{\rho}{4c_2}-(\rho-\lambda\hat{\rho})\dot{\hat{\rho}}\quad\quad\quad\quad\quad\quad \end{split} $$ (25) 将
$ \hat{\rho} $ 的更新算法式(21)代入上式, 可得$$ \begin{split} \dot{V}_3\leq -2c_1{\frac{\lambda||{ S}||^2}{2}}-{\frac{c_3(\rho-\lambda\hat{\rho})^2}{2\lambda}}+{\frac{c_3\rho^2}{2\lambda}}+{\frac{\rho}{4c_2 }} \end{split} $$ (26) 其中, 利用了不等式
$ \hat{\rho}(\rho-\lambda\hat{\rho})\leq \dfrac{\rho^2-(\rho-\lambda\hat{\rho})^2}{2\lambda} $ .依据
$ ||\bar{M}|| $ 的实际物理意义, 可合理地假设$ ||\bar{M}||\neq 0 $ , 易得$$ \begin{split} \dot{V}_3 \leq\;& -\frac{2c_1\lambda}{||\bar{M}||}\frac{||\bar{M}||||{ S}||^2}{2}-c_3\frac{(\rho-\lambda\hat{\rho})^2}{2\lambda}+\iota_2 \leq\\ &-\iota_1V_3+\iota_2 \end{split} $$ (27) 其中,
$\iota_1 \!=\! {\rm{min}}{\{2c_1\lambda/||\bar{M}||,c_3}\} > 0$ ,$\iota_2 \!=\! (c_3\rho^2)/(2\lambda)+$ $\rho/(4c_2) < \infty$ .从上式可得, 若
$ { S} $ 在区域${\Omega_1} \!=\! \{{||{ S}||\leq\sqrt{\iota_2/c_1\lambda}}\}$ 外, 则$ \dot{V}_3\leq-c_1\lambda||S||^2+\iota_2<0 $ 成立. 基于Lyapunov稳定性理论,$ { S} $ 会渐近地收敛到区域$ \Omega_1 $ 中, 即$ { S} $ 一致最终有界. 此外, 求解式(27)易得$V_3\leq {\rm{e}}^{-\iota_1t}V_3 $ $ (0) + \iota_2/\iota_1\in\ell_\infty$ . 结合式(22), 可知$ (\rho-\lambda\hat{\rho}) $ 也是一致最终有界的. 因此, 可合理假设存在一个小正常数$ \zeta $ 满足$ (\rho-\lambda\hat{\rho})\leq\zeta $ .至此, 可证明当
$ t\rightarrow\infty $ 时,$ { S} $ 一致最终有界. 为证明$ { S} $ 的有限时间稳定性, 选择新的Lyapunov候选函数为$$ V_4 = {\frac{{ S}^{\rm T}\bar{M}{ S}}{2}} $$ (28) 应用与式(23)~(25)相似的处理,
$ V_4 $ 对时间的导数为$$ \begin{split} \dot{V}_4 \leq -&c_1\lambda||{ S}||^2-\eta\lambda\sum\limits_{i = 1}^n|s_i|^{\nu+1}+\\ &c_2(\rho-\lambda\hat{\rho})(1+\Phi)^2||{ S}||^2+\frac{\rho}{4c_2} \end{split} $$ (29) 其中,
$0 < { S}^{\rm{T}}\left(\Lambda h\Re \Lambda^{\rm T}\right){\rm{sig}}^{\nu}({ S})< \lambda\sum_{i = 1}^n|s_i|^{\nu+1}$ .基于假设
$ (\rho-\lambda\hat{\rho})\leq\zeta $ , 上式可改写为$$ \begin{split} \dot{V}_4\leq \;&-c_1\lambda||{ S}||^2-\min{\{\eta_{i}}\}\lambda\sum\limits_{i = 1}^n|s_i|^{\nu+1}+\\ &c_2\zeta(1+\Phi)^2||{ S}||^2+\rho/(4c_2) \leq\\ &-\iota_3V_4-\iota_4V_4^{\frac{\nu+1}{2}} \end{split} $$ (30) 其中,
$ \iota_3 = -2\left(c_1-c_2\zeta(1+\Phi)^2\right)/||\bar{M}|| $ ,$\iota_4 = -(2/$ $||\bar{M}||)^{(\nu+1)/2}({\rm{min}}{\{\eta_{i}}\}\lambda-\dfrac{\rho}{4c_2(||S||^2)^{(\nu+1)/2}})$ .根据文献[17]中定义1, 若
$ \iota_3>0 $ 和$ \iota_4>0 $ 成立, 则$ { S} $ 是有限时间稳定的. 即, 若$ c_1>c_2\zeta(1+\Phi)^2 $ 成立, 则当$ t>$ $ T_3 $ 时,$ { S} $ 将会收敛到$ \Omega_2 = \left\{||{ S}||\leq \right. $ $(\dfrac{\rho}{4c_2\lambda \min{\{\eta_{i}\}}})^{1/(\nu+1)}\}$ ,且稳定时间$ T_3 $ 满足$T_3\leq2/ $ $ (\iota_3(1-\nu))\ln((\iota_3V_2^{(1-\nu)/2}({ S}(0))+$ $ \iota_4)/\iota_4) $ .综上所述, 当
$ t>T_3 $ 时,$ { S} $ 将会收敛到区域$ \Omega_{{S}} =$ $ {\rm max}{\{\Omega_1,\Omega_2}\} $ . 结合定理1和定理2, 可确保位移和速度跟踪误差$ { E} $ 和$ {\dot{ E}} $ 有限时间一致最终有界. □3. 仿真研究
为验证所设计控制器的有效性和优越性, 选取具有5节动车3节拖车的CRH-5A型列车进行仿真验证. 每节车厢的相关参数如表1所示. 需要说明的是这些参数仅用于仿真模型的建立, 而在所提出的控制器中是不需要的, 即选择其他合理的参数值同样可行. 列车运行工况包括两个牵引加速阶段, 四个巡航阶段以及三个减速制动阶段. 最后, 为验证所设计控制器的容错性能, 车辆2, 车辆5 和车辆6的执行器设置为部分故障, 并以执行器健康参数
$ h_2 $ ,$ h_5 $ 和$ h_6 $ 的取值来表征. 本仿真研究的控制目标是让实际的速度$ {\dot{ X}} $ 和位移$ {{X}} $ 在有限时间内跟踪上期望的速度${{\dot{ X}}_{{ d}}}$ 和位移${{ X}_{ d}}$ .表 1 列车相关参数Table 1 Parameters of the vehicles变量 参数含义 仿真值 $\varrho_i$ 第$i$节车厢的旋转质量系数 $\varrho_i\in[0.08,0.11]$ $m_i$ 第$i$节车厢的总体质量 $m_i = (50+\Delta m_i)\quad\Delta m_i\in[-6,13]$ $a_{0i},a_{1i},a_{2i}$ 第$i$节车厢的阻力系数 $a_{0i}\in[50,85],\quad a_{1i}\in[30,100],\quad a_{2i} = [0.1,6.5]$ $\Lambda$ 牵引/制动分配矩阵 $\Lambda ={\rm{ diag} }\{0.5, 0.3, 0.5, 0.3, 0.6, 0.4, 0.6, 0.4\}$ $r$ 分数阶阶次 $0<r = r_1/r_2<1$且$r_2$为奇数 $h$ 执行器健康参数 $h2$, $h5$, $h6$ 为验证所设计控制器的优越性, 选取传统的PID控制器作为比较对象, 两控制器的控制参数选择如下:
1) 所设计控制器的控制参数:
$ r = 4/9 $ ,$ \nu = 0.8 $ ,$c_1 = 2\times10^5$ ,$ c_2 = 10 $ ,$ c_3 = 0.01 $ ,$\eta_{i} = 2\times10^5$ ,$\eta = $ $ {\rm diag} {\{\eta_{i}}\},$ $\gamma_{1i} = 0.1,$ $\gamma_1 = \gamma_2 = {\rm diag}{\{\gamma_{1i}}\},$ $ \gamma_{2i} = 1 ,$ $\gamma_3 = $ $ \gamma_4 = {\rm diag}{\{\gamma_{2i}}\}$ .2)传统PID控制器的控制参数:
$k_P = 2\times10^5$ ,$k_D = 2\times10^5$ ,$k_I = 2\times10^6$ .3)径向基神经网络关于
${ Z} = [{ X},{{ X}_{d}}]^{\rm T}$ 的基本函数${{\Phi}}{\bf{(}}{{Z}}{\bf{)}}$ 可通过中心状态$C_1 = [0,0.1, 0.2,0.3,0.4,0.5$ $-0.1,-0.2,-0.3,-0.4]$ 和偏差$B_{1} \!=\! \dfrac{\sqrt{2}}{2}\!\times\!{\rm ones} (10,1)$ 以及实际的速度$ {\dot{ X}} $ 和位移$ { X} $ 和期望的速度${\dot{ X}}_{ d}$ 和位移${{ X}_{ d}}$ 计算获得;$ q = 10 $ 代表隐藏层神经元数量,$ N = 1 $ 代表隐藏层数量;$ \rho $ 的估计可有自适应更新算法(21)获得, 而不需要“试错”过程, 且满足$ \hat{\rho}(0) = 0 $ .4)所设计的控制器的控制参数是以让跟踪误差收敛到可接受的误差范围内的标准选取的, 位移和速度的初始跟踪误差值选择了
$ 0.005 $ 以便于更明显地描述稳定时间.从图1易知, 基于分数阶有限时间控制器的高速列车位移和速度可稳定的跟踪期望的位移和速度; 且相比于传统的PID控制器, 分数阶有限时间控制器可减小高速列车位移和速度跟踪控制误差, 尤其是在列车运行工况转换时. 为更详细的描述在所设计控制器下的位移与速度跟踪误差的稳定时间, 对
$ t\in(0,200) $ 阶段进行了单独仿真, 如图2所示, 位移和速度的跟踪误差可在$ 10 $ s内收敛到可接受的误差范围内. 在此仿真中可接受的位移和速度的误差范围分别是$ \pm0.012 $ m和$ \pm0.0025 $ m/s.
图 1 基于分数阶与传统PID控制器的跟踪过程和误差Fig. 1 The tracking process and errors of the fractional-order or PID controller
图 2 分数阶控制器在$ t\in(0,200) $ 的跟踪过程和误差Fig. 2 The tracking process and errors of the designed controller in$ t\in(0,200) $ 因此, 相比于传统的PID控制器, 分数阶有限时间控制器不仅具有更高的跟踪精度(稳态性能), 而且可实现有限时间内的收敛(暂态性能). 同时, 该控制器具有更强的鲁棒性和抗干扰能力.
4. 结论
本文针对具有高度不确定性和非线性特征的高速列车非线性系统, 结合有限时间控制理论和分数阶稳定性原理, 设计了一种分数阶有限时间控制器以实现高速列车位移与速度的更高精度且更快速的跟踪控制. 该控制器不仅可利用分数阶积分的遗传衰减特性提高稳态性能, 而且可利用含有的分数幂项使控制器具有更强的鲁棒性和抗干扰能力. 同时, 该控制器因具有有限时间稳定性而使系统能够具有更好的暂态性能. 此外, 该控制器不需要系统参数的详细信息, 只需已知期望的速度和位移以及当前实际的位移和速度即可, 因此其易于实现且应用成本不高. 而且, 该控制器能够实时有效补偿执行器故障, 并实现了“故障后被动处理”到“故障前主动预防”的根本转变. 特别地, 该控制器的稳定时间可通过选取不同的控制参数以实现一定程度上的调整和估计. 最后, 仿真结果验证了所设计控制器的有效性和优越性.
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图 2 8倍放大下对特征提取模块卷积核大小的分析
Fig. 2 Analysis of kernel size in the feature extraction module on ×8 enlargement
图 3 主流重建算法在Set5数据集上对于×8 SR的平均PSNR和参数数量对比
Fig. 3 Comparison of the average PSNR and the number of parameters of the mainstream reconstruction algorithm for ×8 SR on Set5
图 9 在Manga109上×8 SR的可视化结果(TouyouKidan)
Fig. 9 Visualized results of ×8 SR on Manga109 (TouyouKidan)
图 8 在Urban100上×8 SR的可视化结果(img005)
Fig. 8 Visualized results of ×8 SR on Urban100 (img005)
表 1 输入块大小、参数数量和网络超参数设置
Table 1 The settings of input patch size, number of parameters and network hyperparameters
放大倍数 × 2 × 3 × 4 × 8 参数数量 5016211 6490771 8161939 16812691 输入块尺寸 60 × 60 50 × 50 40 × 40 20 × 20 特征提取模块 特征提取层 ${f_{1 \times 1}}$: Conv(128, 1, 1, 0); ${f_{{\rm{3}} \times {\rm{3}}}}$: Conv (128, 3, 1, 1); ${f_{{\rm{5}} \times {\rm{5}}}}$: Conv(128, 5, 1, 2) 特征融合层 Conv(128×3, 1, 1, 1) 特征映射模块 支路1 Conv1(64, 6, 2, 2) Conv1(64, 7, 3, 2) Conv1(64, 8, 4, 2) Conv1(64, 12, 8, 2) 支路2 Conv2(64, 8, 2, 3) Conv2(64, 9, 3, 3) Conv2(64, 10, 4, 3) Conv2(64, 14, 8, 3) 重建模块 Conv(64×7, 3, 1, 1) 递归次数 7 深度 73 注: Conv(C, K, S, P): C表示通道数, K表示卷积核大小, S表示步长, P表示填充. 
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表 2 对特征提取模块卷积核大小的分析
Table 2 Analysis of the kernel size of the feature extraction module
Scale Method Set5 PSNR/SSIM Set14 PSNR/SSIM BSD100 PSNR/SSIM Urban100 PSNR/SSIM Manga109 PSNR/SSIM ×8 Ours_135 27.13/0.7819 25.02/0.6445 24.86/0.5992 22.59/0.6231 24.85/0.7885 Ours_357 27.09/0.7806 25.03/0.6437 24.86/0.5986 22.57/0.6219 24.78/0.7859
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表 3 对多尺度投影单元的卷积核大小分析
Table 3 Analysis of the kernel size of the multi-scale projection unit
Scale (卷积核尺寸、步长、填充) PSNR (dB) 支路1 支路2 Set5 Set14 BSD100 Urban100 Manga109 ×8 (8, 8, 0) (10, 8, 1) 27.00 24.95 24.82 22.45 24.68 (10, 8, 1) (12, 8, 2) 27.08 24.99 24.84 22.53 24.77 (12, 8, 2) (14, 8, 3) 27.13 25.02 24.86 22.59 24.85
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表 4 ×8模型在Set5和Set14测试集上的深度分析
Table 4 The depth analysis of the ×8 model on Set5 and Set14 datasets
递归次数 网络层数 参数数量 PSNR (dB) Set5 Set14 1 13 16802323 26.50 24.53 3 33 16805779 26.98 24.89 4 43 16807507 27.03 24.94 5 53 16809235 27.05 24.96 6 63 16810963 27.07 24.98 7 73 16812691 27.13 25.02 8 83 16814419 27.13 25.02
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表 5 不同SR算法在×2、×3和×4上的定量评估
Table 5 Quantitative comparison of different algorithms on ×2, ×3, and ×4
Scale Method Set5 PSNR/SSIM Set14 PSNR/SSIM BSD100 PSNR/SSIM Urban100 PSNR/SSIM Manga109 PSNR/SSIM × 2 1. Bicubic 33.68/0.9304 30.24/0.8691 29.56/0.8435 26.88/0.8405 31.05/0.9350 × 2 2. SRCNN 36.66/0.9542 32.45/0.9067 31.36/0.8879 29.51/0.8946 35.72/0.9680 × 2 3. ESPCN 37.00/0.9559 32.75/0.9098 31.51/0.8939 29.87/0.9065 36.21/0.9694 × 2 4. FSRCNN 37.06/0.9554 32.76/0.9078 31.53/0.8912 29.88/0.9024 29.88/0.9024 × 2 5. VDSR 37.53/0.9587 33.05/0.9127 31.90/0.8960 30.77/0.9141 37.16/0.9740 × 2 6. DRCN 37.63/0.9588 33.06/0.9121 31.85/0.8942 30.76/0.9133 37.57/0.9730 × 2 7. LapSRN 37.52/0.9591 32.99/0.9124 31.80/0.8949 30.41/0.9101 37.53/0.9740 × 2 8. DRRN 37.74/0.9591 33.23/0.9136 32.05/0.8973 31.23/0.9188 37.92/0.9760 × 2 9. DBPN-R64-7 37.57/0.9589 33.09/0.9132 31.83/0.8951 30.75/0.9133 37.65/0.9747 × 2 10. IDN 37.83/0.9600 33.30/0.9148 32.08/0.8985 31.27/0.9196 38.02/0.9749 × 2 11. SRMDNF 37.79/0.9601 33.32/0.9159 32.05/0.8985 31.33/0.9204 38.07/0.9761 × 2 12. DRFN 37.71/0.9595 33.29/0.9142 32.02/0.8979 31.08/0.9179 33.42/0.9123 × 2 13. MRFN 37.98/0.9611 33.41/0.9159 32.14/0.8997 31.45/0.9221 38.29/0.9759 × 2 Ours 37.82/0.9599 33.35/0.9156 32.04/0.8980 31.49/0.9218 38.23/0.9762 × 3 1. Bicubic 30.40/0.8686 27.54/0.7741 27.21/0.7389 24.46/0.7349 26.95/0.8560 × 3 2. SRCNN 32.75/0.9090 29.29/0.8215 28.41/0.7863 26.24/0.7991 30.48/0.9120 × 3 3. ESPCN 33.02/0.9135 29.49/0.8271 28.50/0.7937 26.41/0.8161 30.79/0.9181 × 3 4. FSRCNN 33.20/0.9149 29.54/0.8277 28.55/0.7945 26.48/0.8175 30.98/0.9212 × 3 5. VDSR 33.66/0.9213 29.78/0.8318 28.83/0.7976 27.14/0.8279 32.01/0.9340 × 3 6. DRCN 33.82/0.9226 29.77/0.8314 28.80/0.7963 27.15/0.8277 32.31/0.9360 × 3 7. LapSRN 33.82/0.9227 29.79/0.8320 28.82/0.7973 27.07/0.8271 32.21/0.9350 × 3 8. DRRN 34.03/0.9244 29.96/0.8349 28.95/0.8004 27.53/0.8377 32.74/0.9390 × 3 9. DBPN-R64-7 33.90/0.9236 29.99/0.8353 28.87/0.7991 27.35/0.8336 32.59/0.9373 × 3 10. IDN 34.11/0.9253 29.99/0.8354 28.95/0.8013 27.42/0.8359 32.69/0.9378 × 3 11. SRMDNF 34.12/0.9254 30.04/0.8382 28.97/0.8025 27.57/0.8398 33.00/0.9403 × 3 12. DRFN 34.01/0.9234 30.06/0.8366 28.93/0.8010 27.43/0.8359 30.59/0.8539 × 3 13. MRFN 34.21/0.9267 30.03/0.8363 28.99/0.8029 27.53/0.8389 32.82/0.9396 × 3 Ours 34.31/0.9265 30.29/0.8408 29.05/0.8035 27.94/0.8472 33.37/0.9433 × 4 1. Bicubic 28.43/0.8109 26.00/0.7023 25.96/0.6678 23.14/0.6574 25.15/0.7890 × 4 2. SRCNN 30.48/0.8628 27.50/0.7513 26.9/0.7103 24.52/0.7226 27.66/0.8580 × 4 3. ESPCN 30.66/0.8646 27.71/0.7562 26.98/0.7124 24.60/0.7360 27.70/0.8560 × 4 4. FSRCNN 30.73/0.8601 27.71/0.7488 26.98/0.7029 24.62/0.7272 27.90/0.8517 × 4 5. VDSR 31.35/0.8838 28.02/0.7678 27.29/0.7252 25.18/0.7525 28.82/0.8860 × 4 6. DRCN 31.53/0.8854 28.03/0.7673 27.24/0.7233 25.14/0.7511 28.97/0.8860 × 4 7. LapSRN 31.54/0.8866 28.09/0.7694 27.32/0.7264 25.21/0.7553 29.09/0.8900 × 4 8. DRRN 31.68/0.8888 28.21/0.7720 27.38/0.7284 25.44/0.7638 29.46/0.8960 × 4 9. DBPN-R64-7 31.92/0.8915 28.41/0.7770 27.42/0.7304 25.59/0.7681 29.92/0.9003 × 4 10. IDN 31.82/0.8903 28.25/0.7730 27.41/0.7297 25.41/0.7632 — × 4 11. SRMDNF 31.96/0.8925 28.35/0.7787 27.49/0.7337 25.68/0.7731 30.09/0.9024 × 4 12. DRFN 31.55/0.8861 28.30/0.7737 27.39/0.7293 25.45/0.7629 28.99/0.8106 × 4 13. MRFN 31.90/0.8916 28.31/0.7746 27.43/0.7309 25.46/0.7654 29.57/0.8962 × 4 Ours 32.31/0.8963 28.71/0.7843 27.66/0.7383 26.30/0.7922 30.84/0.9126
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表 6 不同SR算法在×8上的定量评估
Table 6 Quantitative comparison of different algorithms on ×8
Scale Method Set5 PSNR/SSIM Set14 PSNR/SSIM BSD100 PSNR/SSIM Urban100 PSNR/SSIM Manga109 PSNR/SSIM × 8 1. Bicubic 24.40/0.6580 23.10/0.5660 23.67/0.5480 20.74/0.5160 21.47/0.6500 × 8 2. SRCNN 25.33/0.6900 23.76/0.5910 24.13/0.5660 21.29/0.5440 22.46/0.6950 × 8 3. ESPCN 25.75/0.6738 24.21/0.5109 24.37/0.5277 21.59/0.5420 22.83/0.6715 × 8 4. FSRCNN 25.42/0.6440 23.94/0.5482 24.21/0.5112 21.32/0.5090 22.39/0.6357 × 8 5. VDSR 25.93/0.7240 24.26/0.6140 24.49/0.5830 21.70/0.5710 23.16/0.7250 × 8 6. LapSRN 26.15/0.7380 24.35/0.6200 24.54/0.5860 21.81/0.5810 23.39/0.7350 × 8 7. DRFN 26.22/0.7400 24.57/0.6250 24.60/0.5870 — — × 8 8. MSRN 26.59/0.7254 24.88/0.5961 24.70/0.5410 22.37/0.5977 24.28/0.7517 × 8 9. DBPN-R64-7 26.82/0.7700 24.77/0.6346 24.72/0.5928 22.22/0.6033 24.19/0.7664 × 8 10. EDSR 26.96/0.7762 24.91/0.6420 24.81/0.5985 22.51/0.6221 24.69/0.7841 × 8 Ours 27.13/0.7819 25.02/0.6445 24.86/0.5992 22.59/0.6231 24.85/0.7885
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