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摘要: 平行于第Ⅰ部分中提出的非线性系统的全驱性概念, 本文提出了非线性系统的全量测性概念.首先给出了非线性系统的一种能观规范型, 并证明了任何与该类非线性系统能观规范型等价的系统, 以及任何能观的线性系统, 都等价于一个高阶全量测系统.然后据此提出了一般动态系统的完全能观性定义, 同时指出线性系统的完全能观性等同于其通常意义下的能观性.最后提出了非线性全量测系统观测器设计的一种简洁方法.基于这种设计, 可以使观测误差系统为线性定常系统, 并且可以任意配置其特征多项式的系数矩阵.Abstract: Parallel to the concept of fully-actuated systems proposed in Part Ⅰ, this paper defines for nonlinear systems the concept of fully-measured systems. Firstly, it is proposed for nonlinear systems an observability canonical form, and proven that an observable linear system, or a nonlinear system in the defined observability canonical form, is equivalent to a high-order fully-measured system. Based on such a fact, complete observability of a dynamical system with an arbitrary order is then defined. As a result, the complete observability of a linear constant system is simply consistent with the observability of the system in the conventional sense. Finally, a very simple approach for observer design of nonlinear fully-measured systems is proposed, with which the observation error system is turned into a linear constant one, with the coefficient matrices of its eigen-polynomial arbitrarily assignable.
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Key words:
- Observability /
- complete observability /
- high-order systems /
- fully-measured systems /
- observability canonical forms
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1. 引言
文献[1]指出了基于一阶系统方法的卡尔曼能控性体系的一些问题, 然后证明了线性定常系统能控的充要条件是它能化成一个高阶全驱系统, 并将这一结果在一定程度上推广到非线性系统的情形, 进而定义了一般动态系统的完全能控性, 明确其重要意义在于存在控制律使得闭环系统为一线性定常的高阶系统, 并且可以任意配置闭环特征多项式的系数矩阵.本文旨在获得与文献[1]相对应的能观性方面的结果.
非线性系统的能观性和观测器设计是两个密切相关的问题, 受到了国内外学者广泛关注.
1.1 非线性系统的能观性
对于"线性+扰动"形式的系统, 文献[2]给出了系统局部能观的充分条件, 并证明当这个条件成立时状态估计问题有解.对于无输入非线性系统, 文献[3]在某种"正"假设下给出了系统局部能观和局部正能观的充要条件.
仿射非线性系统是非线性系统中备受关注的一类.若仿射非线性系统可以在平衡点线性化, 且其线性化部分能观, 则原系统亦完全能观[4].对于一类具有仿射结构的非线性大系统, 文献[5]指出其弱能观的充要条件是各个子系统均弱能观, 但文中给出的子系统弱能观性的秩条件仍只是充分条件.关于具有分布式仿射结构的系统, 其状态弱局部能观的充分条件可见文献[6], 该条件是传统秩条件的推广.
一般的不具备仿射结构的系统的能观性问题是很难的[7], 文献[8]给出了弱能观的一个秩判据; 关于一类隐函数形式的一般非线性系统, 文献[9]给出了系统局部能观的充分条件.综述论文[7]总结了非线性系统能观性判别的一些已有研究成果, 并着重介绍了一类特殊的非线性系统, 即Morse-Smale系统, 给出了能观的充分条件.
除上述结果之外, 许多相关问题也得到了研究, 如非线性系统的范数能观性[10]、具有非线性范德波尔边界条件的一维波动方程的边界能观性[11]、能控能观标准分解与最小实现问题[12]等.另外, 离散时间系统的能观性也得到关注[13-15], 文献[15]还考虑了状态和控制存在时滞的情形.非线性系统的能观性分析方法也被应用到了一些实际系统上[16].
在一阶状态空间系统框架下的能控性和能观性的定义依赖于系统的解.这一根本性出发点决定了问题的难度, 因为一般的非线性系统的解在过去、现在和未来都是大难题.这也注定了上述关于能观性分析各种结果的局限性.
1.2 非线性系统观测器设计
关于非线性系统的观测器设计, 许多研究都集中在特殊的系统上[7].关于仿射系统的状态观测器设计问题, 文献[17]建立了存在条件, 并讨论了具体的构造方法.针对一类特殊的下三角系统的观测器设计问题, 文献[18]基于一致能观的假设, 提出了一种递归设计方法.对于没有控制输入的非线性自治系统, 文献[19]首先定义了一种标准型, 然后提出了一种基于此标准型的观测器设计方法; 文献[20]则研究了局部观测器设计问题, 在较强的假设条件下设计了局部观测器, 可以使观测误差系统以任意快的速度收敛, 且不需要计算能观性映射的逆.关于非线性系统状态观测器设计的其他一些方法及其假设条件和设计步骤可见综述论文[7].
关于离散非线性系统的观测器设计问题, 文献[21]证明了当系统的初始状态和控制输入在一个紧集中时, 传统理论中所要求的一致能观性是不必要且可以被放宽的.另外, 与观测器设计相关的动态补偿器设计问题也得到了讨论[4].
总体来说, 与一阶系统方法下的非线性系统控制器设计问题一样, 一阶系统方法下的非线性系统观测器设计问题也无法回避非线性的影响.因此, 很多情况下只能获得局部性的结果, 对于一些复杂非线性的情况, 可能连局部性的结果也无法得到.
1.3 关于一阶系统方法
根据动量(矩)定理和拉格朗日方程所建立的物理系统的原始模型都是二阶或高阶的[22-23], 基于状态空间的一阶系统方法[24]把它们化成一阶系统处理, 为控制系统的响应分析问题带来了很大的方便, 但对于控制系统的能控、能观性分析所带来的益处却不明显.
控制系统的能控、能观性定义完全局限于基于状态空间描述的一阶系统上, 自然也导致人们在这方面的工作也局限在一阶系统的框架之下.其优点是为数学工具的介入提供了方便.现有许多控制系统的能控、能观性分析工作, 从问题描述、理论推导到结果表达, 都使用了抽象数学工具, 但不足是所得的结果难以理解, 距离实际应用较远, 另外实用性也不明确.
20世纪80年代初期, 有人将非线性系统能控、能观性等方面的一些研究描述成"是相对无害的活动.充满了许多愉快的意外和轻微的失望, 而最终则是白费力气"[25-26], "非线性系统的能控性(结果)和镇定之间的关系是不明显的"[25-27]. 1994年的综述论文[28]也指出, "弱能观性和局部能观性都有实际的应用意义, 但是至今我们还不能将这种能观性定义和系统的观测器设计联系起来".虽然二十多年过去了, 但这种局面并没有太大改变.
本文打破一阶系统方法框架的束缚, 将动态系统的能观性与高阶系统的全量测性联系起来, 定义了一般非线性动态系统的完全能观性, 并给出了完全能观非线性系统观测器设计的有效方法.
2. 能观规范型
李文林和高为炳[29]将线性系统的能控规范型推广到非线性系统, 本节模仿文献[29]将线性系统的能观规范型推广到非线性系统.
2.1 单输入单输出系统的情形
对于单输入非线性系统
$$ \begin{align} \label{eq1} \begin{cases} \dot {x}=g(x, t, u), & x\in {\bf R}^n, \;\mbox{ }u\in {\bf R} \\ y=h(x), \;\mbox{ }&y\in {\bf R} \\ \end{cases} \end{align} $$ (1) 其中$g(x, t, u)$和$h(x)$均为关于其自变量的光滑函数, 我们定义其下述形式的能观规范型
(2) 其中$\alpha_i, ~i=0, 1, \cdots, n-1$为一组实数, $\beta_{i} ({\bar {x}_n}, u), ~i=0, 1, \cdots, n-1 $为充分光滑的标量函数, $y=c( \bar {x}_n) $是由$\bar{x}_n$到$y$的微分同胚, 因此$\bar {x}_n$亦可由输出$y$完全决定.
当
$$ \begin{align} \label{eq3} \begin{cases}c( \bar{x}_n)=\bar{x}_n= \begin{bmatrix}0&\cdots&0&1 \end{bmatrix}\bar{x}\\ \beta_i ({\bar{x}_n}, u)=\beta_iu, \quad i=0, 1, \cdots, n-1 \end{cases} \end{align} $$ (3) 时, 上述系统(2)化为
(4) 此即为下述单输入线性定常系统的能观规范型[30].
命题 1. 单输入线性定常系统
$$ \begin{align} \label{eq5} \begin{cases} \dot {x}=Ax+bu, & A\in {\bf R}^{n\times n}, b\in {\bf R}^n \\ y=cx, &c\in {\bf R}^{1\times n} \end{cases} \end{align} $$ (5) 能观的充要条件是其等价于Luenberger第二能观测规范型(4), 其中$\alpha _{i}, ~i=0, 1, \cdots , n-1 $为矩阵$A$的特征多项式系数, 由下式决定:
$$ \begin{align} \label{eq6} \det (sI-A)=s^n+\alpha _{n-1} s^{n-1}+\cdots +\alpha _1 s+\alpha _0 \end{align} $$ (6) $\beta _{i} , ~i=0, 1, \cdots , n-1 $为如下定义的一组常数:
$$ \begin{align} \label{eq7} \begin{cases} \beta _{n-1} =cb \\ \beta _{n-2} =cAb+\alpha _{n-1} cb \\ \qquad \qquad\vdots \\ \beta _1 =cA^{n-2}b+\alpha _{n-1} cA^{n-3}b+\cdots +\alpha _2 cb \\ \beta _0 =cA^{n-1}b+\alpha _{n-1} cA^{n-2}b+\cdots +\alpha _1 cb \\ \end{cases} \end{align} $$ (7) 线性系统能观的充要条件是其可以化成Luenberger第二能观规范型(4), 但是显然不是所有能观的非线性系统(1)都能化成上述规范型(2).
值得说明的是, 上面定义的非线性系统的能观规范型(2)具有下述特点:
1) 与线性系统的能观规范型(4)一样, 其输出方程只与$\bar{x}_n $有关;
2) 状态方程中的非线性部分也只与$\bar{x}_n $有关.
2.2 多输入多输出系统的情形
对于多输入多输出非线性系统
$$ \begin{align} \label{eq8} \begin{cases} \dot{x}=g(x, t, u), & x\in {\bf R}^n, \;\mbox{ }u\in {\bf R}^r \\ y=h(x), \;\mbox{ }&y\in {\bf R}^m \end{cases} \end{align} $$ (8) 其中$g(x, t, u)$和$h(x)$均为关于其自变量的光滑向量函数, 我们定义其下述形式的能观规范型
$$ \begin{align} \label{eq9} \begin{cases} \dot{\tilde{x}}=\tilde{A}\tilde{x}+\tilde{B}(\tilde {x}_{1\mu _1} , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m }, u)\\ y=\tilde {C}(\tilde {x}_{1\mu _1} , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m }) \end{cases} \end{align} $$ (9) 其中$\mu _i , ~i=1, 2, \cdots, m$为一组正整数, 满足
$$ \begin{align*} \mu _1 +\mu _2 +\cdots +\mu _m =n \end{align*} $$ $y=\tilde {C}(\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } )$是由$\tilde {x}_{i\mu _i}, ~i=1, 2, \cdots, m $到$y$的微分同胚,
$$ \begin{align} \label{eq10} \tilde {x}= \begin{bmatrix} {\tilde {x}_1 }\\ {\tilde {x}_2 }\\ \vdots\\ {\tilde {x}_m }\\ \end{bmatrix}, \quad \tilde {x}_i =\begin{bmatrix} {\tilde {x}_{i1} }\\ {\tilde {x}_{i2} }\\ \vdots\\ {\tilde {x}_{i\mu _i } }\\ \end{bmatrix}\in {\bf R}^{\mu _i }, \quad y=\begin{bmatrix} {y_1 }\\ {y_2 }\\ \vdots\\ {y_m }\\ \end{bmatrix} \end{align} $$ (10) $$ \begin{align} \label{eq11} \tilde{A}=\begin{bmatrix} {\tilde {A}_{11} }& \cdots& {\tilde {A}_{1m} }\\ \vdots&\ddots& \vdots\\ {\tilde {A}_{m1} }& \cdots& {\tilde {A}_{mm} }\\ \end{bmatrix} \end{align} $$ (11) (12) $$ \begin{align} \label{eq13} \tilde {A}_{ij} =\begin{bmatrix} 0& \cdots& 0& -\alpha_{ij}^0\\ \vdots&\ddots& \vdots& \vdots\\ 0& \cdots& 0& -\alpha_{ij}^{\mu_j-1}\\ \end{bmatrix}, \quad i\ne j \end{align} $$ (13) $$ \begin{align} \label{eq14} \tilde {B}=\begin{bmatrix} {\tilde {B}_1 (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m };\, \;u)}\\ {\tilde {B}_2 (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } ;\, \;u)}\\ \vdots\\ {\tilde {B}_m (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } ;\, \;u)} \end{bmatrix} \end{align} $$ (14) $$ \begin{align} \label{eq15} \tilde {B}_i =\begin{bmatrix} {b_{i0} (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } ;\, \;u)}\\ {b_{i1} (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } ;\, \;u)}\\ \vdots\\ {b_{i, \mu _i -1} (\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } ;\, \;u)}\\ \end{bmatrix}\in {\bf R}^{\mu _i } \end{align} $$ (15) 同样, 上述非线性系统的能观规范型也是线性多输入多输出系统能观规范型的自然推广.
对于下述线性定常系统
$$ \begin{align} \label{eq16} \begin{cases} \dot {x}=Ax+Bu \\ y=Cx \\ \end{cases} \end{align} $$ (16) 其中$x\in {\bf R}^n$为系统的状态向量, $A\in {\bf R}^{n\times n}$, $B\in {\bf R}^{n\times r}$, $C\in {\bf R}^{m\times n}$为系统的系数矩阵, 根据线性系统能观性理论[30]可知下述命题成立.
命题 2. 线性系统(16)能观的充要条件是其代数等价于下述Luenberger第二能观规范型:
$$ \begin{align} \label{eq17} \begin{cases} \dot{\tilde{x}}=\tilde{A}\tilde{x}+\tilde{B}u \\ y=\tilde{C}\tilde{x} \end{cases} \end{align} $$ (17) 其中$\tilde{x}$, $\tilde{A}$由式(10)$\sim$(13)给出, 矩阵$\tilde{B}$, $\tilde{C}$具有下述特殊结构:
$$ \begin{align} \label{eq18} \tilde {B}=\begin{bmatrix} {\tilde {B}_1 }\\ {\tilde {B}_2 }\\ \vdots\\ {\tilde {B}_m }\\ \end{bmatrix}, \quad \tilde {B}_i =\begin{bmatrix} {b_{i0} }\\ {b_{i1} }\\ \vdots\\ {b_{i, \mu _i -1} }\\ \end{bmatrix}\in {\bf R}^{\mu _i \times r} \end{align} $$ (18) $$ \begin{align} \label{eq19} \begin{array}{l} \tilde {C}=\begin{bmatrix} {C_1 }& {C_2 }& \cdots& {C_m }\\ \end{bmatrix} \\ C_i =\begin{bmatrix} 0& \cdots& 0& 0\\ \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ 0& \cdots& 0& 0\\ 0& \cdots& 0& 1\\ 0& \cdots& 0& {c_{i+1, i} }\\ \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ 0& \cdots& 0& {c_{m, i} }\\ \end{bmatrix}\in {\bf R}^{m\times \mu _i } \\ \end{array} \end{align} $$ (19) 由式(19)中矩阵$C$的结构可见, 线性系统能观标准型(17)中的输出方程只与一批主向量$\tilde {x}_{1\mu _1 } , \tilde {x}_{2\mu _2 } , \cdots , \tilde {x}_{m\mu _m } $相关.同样, 非线性系统的能观规范型(9)$\sim$(15)中的输出方程也只与这些主向量相关, 而且其状态方程中的非线性部分也只是这些向量的函数.事实上, 规范型的这一点要求并不苛刻, 文献[19]已经从理论上证明了许多非线性系统都可以通过状态变换化成类似的形式.但是, 这一特点却为我们后面设计完全能观非线性系统的状态观测器提供了极大的方便.
3. 完全能观性与全量测性
考虑下述一阶系统
$$ \begin{align} \label{eq20} \begin{cases} E\dot {x}=f(x, t, u) \\ y=Cx \\ \end{cases} \end{align} $$ (20) 其中$x\in {\bf R}^n$为状态向量, $u\in {\bf R}^r$为输入向量, $y\in {\bf R}^m$为输出向量, $f(x, t, u)\in {\bf R}^n$为一关于其自变量足够光滑的向量函数, $E\in {\bf R}^{n\times n}$为一常数矩阵, 可以是奇异的.
如果$m=n, $且系数矩阵$C\in {\bf R}^{n\times n}$可逆, 我们称上述系统(20)为全量测的.此时系统(20)的状态全部可由系统的输出获得, 因而可以直接用状态反馈来实现系统的控制.但遗憾的是, 这样的一阶全量测系统现实中并不十分多见.
一般情况下, 我们有$m<n$.此时系统的输出不能直接给出系统状态的全部信息.在这种情况下, 我们能否把系统(20)转化成一个高阶系统, 使得系统的输出$y$全部给出高阶系统的基础状态呢？这种要寻找的系统就是所谓的全量测系统.
考虑如下的高阶系统
$$ \begin{align} \label{eq21} \begin{cases} Ez^{(m)}=f(z, \dot {z}, \cdots , z^{(m-1)};u, \dot {u}, \cdots , u^{(m-1)}) \\ y=C(z, u) \end{cases} \end{align} $$ (21) 其中$z\in {\bf R}^n$和$y\in {\bf R}^m$分别为系统的基础状态向量和输出向量; $u\in {\bf R}^r$为输入向量; $E\in {\bf R}^{n\times n}$为一个常数矩阵, $f(\cdot )\in {\bf R}^n$和$C(\cdot )\in {\bf R}^m$为两个足够光滑的向量函数.
定义 1. 如果$m=n$且对于任何的$u\in {\bf R}^r$, $ y=C(z, u)$均是由$z$到$y$的微分同胚, 则称式(21)为一个$m$阶全量测系统.
本节将证明上节定义的能观标准型可以等价地化为一个高阶全量测系统.这一结论揭示了能观性的本质.
3.1 单输入单输出系统的情形
下述定理说明单输入单输出非线性系统的能观规范型(2)等价于某一高阶全量测系统.
定理 1. 单输入单输出非线性系统能观规范型(2)等价于下述高阶全量测系统:
$$ \begin{align} \label{eq22} \begin{cases} z^{(n)} +\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\alpha _i z^{(i)}} =\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\beta _i ^{(i)}(z, u)} \\ y=c(z) \\ \end{cases} \end{align} $$ (22) 其中$\alpha _i, ~\beta _i(z, u), ~i=0, 1, \cdots, n-1$, 同能观规范型(2)中定义, $y=c(z)$是由$z$到$y$的微分同胚.
证明. 我们先证明能观规范型系统(2)可以表示为系统(22)的形式.
将式(2)写成下述分量形式
$$ \begin{align} \label{eq23} \begin{cases} \dot{\bar {x}}_1 =-\alpha _0 \bar {x}_n +\beta _0 (\bar {x}_n , u) \\ \dot{\bar {x}}_2 =\bar {x}_1 -\alpha _1 \bar {x}_n +\beta _1 (\bar {x}_n , u) \\ \quad \quad \vdots \\ \dot {\bar {x}}_{n-1} =\bar {x}_{n-2} -\alpha _{n-2} \bar {x}_n +\beta _{n-2} (\bar {x}_n , u) \\ \dot {\bar {x}}_n =\bar {x}_{n-1} -\alpha _{n-1} \bar {x}_n +\beta _{n-1} (\bar {x}_n , u) \end{cases} \end{align} $$ (23) 再对上式中的第$i$式求$i-1$阶导数, 可得
$$ \begin{align} \label{eq24} \begin{cases} \dot {\bar {x}}_1 =-\alpha _0 \bar {x}_n +\beta _0 (\bar {x}_n , u) \\ \ddot {\bar {x}}_2 =\dot {\bar {x}}_1 -\alpha _1 \dot {\bar {x}}_n +\dot {\beta }_1 (\bar {x}_n , u) \\ \quad \vdots \\ \bar {x}^{(n-1)}_{n-1} =\bar {x}^{(n-2)}_{n-2} -\alpha _{n-2} \bar {x}^{(n-2)}_n +\beta _{n-2}^{(n-2)} (\bar {x}_n , u) \\ \bar {x}^{(n)}_n =\bar {x}^{(n-1)}_{n-1} -\alpha _{n-1} \bar {x}^{(n-1)}_n +\beta _{n-1}^{(n-1)} (\bar {x}_n , u) \end{cases} \end{align} $$ (24) 将上式中等号两边的各项对应相加, 可得
$$ \begin{align*} \bar {x}_n^{(n)} +\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\alpha _i \bar {x}_n^{(i)} } =\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\beta _i ^{(i)}} (\bar {x}_n , u) \end{align*} $$ 最后记$z=\bar {x}_n $, 上式便给出式(22)表述的标准高阶全量测系统.
另一方面, 设式(22)成立, 往证式(2).
令
$$ \begin{align} \label{eq25} \rho \buildrel \Delta \over = z^{(n)} +\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\alpha _i z^{(i)}} -\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\beta _i ^{(i)}(z, u)} \mbox{=}0 \end{align} $$ (25) 再记$\alpha _n =1$, 并取状态向量如下:
$$ \begin{align} \label{eq26} \begin{cases} {\bar {x}_n =z} \\ {\bar {x}_{n-1} =\alpha _n \dot {z}+\alpha _{n-1} z-\beta _{n-1} (z, u)} \\ {\quad \quad \quad \vdots } \\ {\bar {x}_2 =\sum\limits_{i=2}^n {\alpha _i z^{(i-2)}} -\sum\limits_{i=2}^{n-1} {\beta _i ^{(i-2)}} (z, u)} \\ {\bar {x}_1 =\sum\limits_{i=1}^n {\alpha _i z^{(i-1)}} -\sum\limits_{i=1}^{n-1} {\beta _i ^{(i-1)}} (z, u)} \\ \end{cases} \end{align} $$ (26) 利用式(26)中各式和式(25)容易验证
$$ \begin{align*} \begin{cases} \dot {\bar {x}}_1 -\rho =-\alpha _0 \bar {x}_n +\beta _0 (z, u) \\ \dot {\bar {x}}_2 -\bar {x}_1 =-\alpha _1 \bar {x}_n +\beta _1 (z, u) \\ \quad \quad \quad \vdots \\ \dot {\bar {x}}_{n-1} -\bar {x}_{n-2} =-\alpha _{n-2} \bar {x}_n +\beta _{n-2} (z, u) \\ \dot {\bar {x}}_n -\bar {x}_{n-1} =-\alpha _{n-1} \bar {x}_n +\beta _{n-1} (z, u) \\ \end{cases} \end{align*} $$ 此即是规范型(2)的分量形式.
借助于命题1, 我们易得定理1的下述推论.
推论 1. 单输入单输出线性系统(5)能观的充要条件是其等价于下述高阶全量测系统
$$ \begin{align} \label{eq27} \begin{cases} z^{(n)} +\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\alpha _i z^{(i)}} =\sum\limits_{i=0}^{n-1} {\beta _i u^{(i)}} \\ y=z \\ \end{cases} \end{align} $$ (27) 其中$\alpha _i , \mbox{ }\beta _i , \mbox{ }i=0, 1, \cdots, n-1$, 由式(6), (7)给出.
3.2 多输入多输出系统的情形
下述定理说明多输入多输出非线性系统的能观规范型(9)$\sim$(15)也和某高阶全量测系统等价.
定理 2. 多输入多输出非线性系统能观规范型(9)$\sim$(15)等价于下述形式的高阶全量测系统:
$$ \begin{align} \label{eq28} \begin{cases} \sum\limits_{i=0}^\mu {A_i z^{(i)}} =\sum\limits_{i=0}^{\mu -1} {B_i ^{(i)}(z, u)} \\ y=C(z) \\ \end{cases} \end{align} $$ (28) 其中$z\in {\bf R}^m$, $y=C(z)$是由$z$到$y$的微分同胚,
$$ \begin{align} \label{eq29} \mu =\max \left\{ {\mu _i , \mbox{ }i=1, 2, \cdots, m} \right\} \end{align} $$ (29) $$ \begin{align}\begin{array}{c} A_k =\left[ {\alpha _{ij}^k } \right]_{m\times m} , \;\mbox{ }B_k =\left[ {\begin{array}{l} b_{1k} (z, u) \\ \quad \;\;\vdots \\ b_{mk} (z, u) \\ \end{array}} \right] \\ k=0, 1, \cdots, \mu \\ \end{array}\end{align} $$ (30) 而$\mu _i , \mbox{ }i=1, 2, \cdots, m$为一组正整数, 满足
$$ \begin{align*} \mu _1 +\mu _2 +\cdots +\mu _m =n \end{align*} $$ $\alpha _{ij}^k , \;k, \mbox{ }j=1, 2, \cdots, \mu _i ;\mbox{ }i=1, 2, \cdots, m$和$b_{ij} (z, u), \quad j=1, 2, \cdots, \mu _i ;\mbox{ }i=1, 2, \cdots, m$均由规范型(9)$\sim$(15)决定, 这里约定
$$ \begin{align} \label{eq30} \begin{cases} \alpha _{ij}^k =0, \mbox{ }k>\mu _i , \mbox{ }j\ne k, \mbox{ }j=1, 2, \cdots, \mu _i \\ \alpha _{ii}^{\mu _i } =1, \mbox{ }i=1, 2, \cdots, m \\ \end{cases} \end{align} $$ (31) 证明. 我们先证明规范型(9)$\sim$(15)可以表为式(28)的形式.
将式(9)中的方程分组写成分量形式, 有
$$ \begin{align} \label{eq31} \begin{cases} \dot {\tilde {x}}_{k1} =-\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^0 \tilde {x}_{j\mu _j } +b_{k0} (\cdot , u)} \\ \dot {\tilde {x}}_{k2} =\tilde {x}_{k1} -\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^1 \tilde {x}_{j\mu _j } +b_{k1} (\cdot , u)} \\ \qquad \qquad\vdots \\ \dot {\tilde {x}}_{k, \mu _k -1} =\tilde {x}_{k, \mu _k -2} -\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -2} \tilde {x}_{j\mu _j } +\\ \qquad\qquad b_{k, \mu _k -2} (\cdot , u) \\ \dot {\tilde {x}}_{k\mu _k } =\tilde {x}_{k, \mu _k -1} -\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -1} \tilde {x}_{j\mu _j } +\\ \qquad\qquad b_{k, \mu _k -1} (\cdot , u) \\ \qquad\quad k=1, 2, \cdots, m \\ \end{cases} \end{align} $$ (32) 然后对上式中的第$i$式求$i-1$阶导数, 可得
$$ \begin{align} \label{eq32} \begin{cases} \dot {\tilde {x}}_{k1} =-\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^0 \tilde {x}_{j\mu _j } +b_{k0} (\cdot , u)} \\ \ddot {\tilde {x}}_{k2} =\dot {\tilde {x}}_{k1} -\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^1 \dot {\tilde {x}}_{j\mu _j } +\dot {b}_{k1} (\cdot , u)} \\ \qquad\qquad \vdots \\ \tilde {x}^{(\mu _k -1)}_{k, \mu _k -1} =\tilde {x}^{(\mu _k -2)}_{k, \mu _k -2} -\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -2} \tilde {x}^{(\mu _k -2)}_{j\mu _j } +\\ \qquad \qquad b_{k, \mu _k -2}^{(\mu _k -2)} (\cdot , u) \\ \tilde {x}^{(\mu _k )}_{k\mu _k } =\tilde {x}^{(\mu _k -1)}_{k, \mu _k -1} -\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -1} \tilde {x}^{(\mu _k -1)}_{j\mu _j } +\\ \qquad\qquad b_{k, \mu _k -1}^{(\mu _k -1)} (\cdot , u) \\ \qquad\qquad k=1, 2, \cdots, m \\ \end{cases} \end{align} $$ (33) 再将上式各方程中等号两边各项对应相加, 可得
$$ \begin{align} \label{eq33} \tilde {x}^{(\mu _k )}_{k\mu _k }& +\sum\limits_{i=0}^{\mu _k -1} {\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^i \tilde {x}^{(i)}_{j\mu _j } } } =\sum\limits_{i=0}^{\mu _k -1} {b_{ki}^{(i)} (\cdot , u)} \nonumber\\ &\quad k=1, 2, \cdots, m \end{align} $$ (34) 注意到式(31), 可将式(34)进一步写为
$$ \begin{align} \label{eq34} \sum\limits_{i=0}^{\mu _k } \sum\limits_{j=1}^m {\alpha }_{kj}^i \tilde{x}^{(i)}_{j\mu _j }=\, & \sum\limits_{i=0}^{\mu _k -1} b_{ki}^{(i)} (\cdot , u) \nonumber \\& \quad k=1, 2, \cdots, m \end{align} $$ (35) 令
$$ \begin{align} \label{eq35} z=\begin{bmatrix} {\tilde {x}_{1\mu _1 } }& {\tilde {x}_{2\mu _2 } }& \cdots & {\tilde {x}_{m\mu _m } }\\ \end{bmatrix}^{\rm T} \end{align} $$ (36) 再利用式(30)$\sim$(31)便可将式(35)表示成式(28).
反过来, 设式(28)成立, 下面证明式(9)$\sim$(15)成立.
利用式(30)$\sim$(31)及式(36)可将式(28)写为式(34)给出的分量形式.基于式(34)再补充定义下述变量:
$$ \begin{align} \label{eq36} \begin{array}{l} \begin{cases} \tilde {x}_{k, \mu _k -1} =\sum\limits_{i=\mu _k -1}^{\mu _k } {\alpha _{kk}^i \dot {\tilde {x}}^{(i-\mu _k +1)}_{k\mu _k } } +\gamma _{\mu _k -1} -\\ \qquad\qquad b_{\mu _k -1} (z , u) \\ {\quad \quad \qquad \vdots } \\ {\tilde {x}_{k2} =\sum\limits_{i=2}^{\mu _k } {\alpha _{kk}^i \dot {\tilde {x}}^{(i-2)}_{k\mu _k } } +\gamma _2 -\sum\limits_{i=2}^{\mu _k -1} b^{(i-2)}_i (z , u)} \\ {\tilde {x}_{k1} =\sum\limits_{i=1}^{\mu _k } {\alpha _{kk}^i \dot {\tilde {x}}^{(i-1)}_{k\mu _k } } +\gamma _1 -\sum\limits_{i=1}^{\mu _k -1} b^{(i-1)}_i (z , u)} \end{cases} \\ \quad \quad \qquad k=1, 2, \cdots, m \\ \end{array} \end{align} $$ (37) 其中
$$ \begin{align*} \gamma _l =\sum\limits_{i=l}^{\mu _k -1} {\sum\limits_{\begin{array}{l} j=1 \\ j\ne k \\ \end{array}}^m {\alpha _{kj}^i \tilde {x}^{(i)}_{j\mu _j } } } , \mbox{ }l=1, 2, \ldots , \mu _k -1 \end{align*} $$ 然后利用定理1的充分性证明中的技巧, 令
$$ \begin{align} \label{eq37} \rho _k \buildrel \Delta \over = \sum\limits_{i=0}^{\mu _k } \sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^i \tilde {x}^{(i)}_{j\mu _j } -\sum\limits_{i=0}^{\mu _k -1} {b_{ki}^{(i)} (z , u)} } =0 \end{align} $$ (38) 利用式(37)中各式和式(38), 经过一定的推导容易验证
$$ \begin{align} \label{eq38} \begin{cases} \dot {\tilde {x}}_{k1} -\rho _k =-\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^0 \tilde {x}_{j\mu _j } +b_{k0} (z , u)} \\ \dot {\tilde {x}}_{k2} -\tilde {x}_{k1} =-\sum\limits_{j=1}^m {\alpha _{kj}^1 \tilde {x}_{j\mu _j } +b_{k1} (z , u)} \\ \quad \quad \quad \qquad \vdots \\ \dot {\tilde {x}}_{k, \mu _k -1} -\tilde {x}_{k, \mu _k -2} =-\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -2} \tilde {x}_{j\mu _j } +\\ \qquad\qquad b_{k, \mu _k -2} (z , u) \\ \dot {\tilde {x}}_{k\mu _k } -\tilde {x}_{k, \mu _k -1} =-\sum\limits_{j=1}^m \alpha _{kj}^{\mu _k -1} \tilde {x}_{j\mu _j } + \\ \qquad\qquad b_{k, \mu _k -1} (z , u) \\ \qquad\quad k=1, 2, \cdots, m \\ \end{cases} \end{align} $$ (39) 由此可以推出规范型(9)$\sim$(15)的分量形式(32), 即规范型(9)$\sim$(15)成立.
推论 2. 设${\rm rank}C=m$, 则多输入多输出线性定常系统(16)能观的充要条件是其等价于如下高阶全量测系统
$$ \begin{align} \label{eq39} \begin{cases} \sum\limits_{i=0}^\mu {A_i z^{(i)}} =\sum\limits_{i=0}^{\mu -1} {B_i u^{(i)}} \\ y=Cz \\ \end{cases} \end{align} $$ (40) 其中$z\in {\bf R}^m$,
$$ \begin{align} \label{eq40} \begin{array}{c} A_k =\left[ {\alpha _{ij}^k } \right]\in {\bf R}^{m\times m}, \; B_k = \begin{bmatrix} b_{1k} \\ \quad \vdots \\ b_{mk} \end{bmatrix}\in {\bf R}^{m\times r}\; \\ k=0, 1, \cdots, \mu =\max \left\{ {\mu _i , \mbox{ }i=1, 2, \cdots, m} \right\} \\ \end{array} \end{align} $$ (41) $$ \begin{align} \label{eq41} C=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1& 0& \cdots& 0\\ {c_{21} }& 1& \ddots& \vdots\\ \vdots& \ddots& \ddots& 0\\ {c_{m1} }& \cdots& {c_{m, m-1} }& 1\\ \end{array} }} \right] \end{align} $$ (42) 而$\mu _i , \mbox{ }i=1, 2, \cdots, m$, $c_{ij} , \mbox{ }j=1, 2, \cdots, i$; $i=1, 2, \cdots, $ $m$, 如前所述.
众所周知, 控制系统的能控、能观性是对于状态空间描述的一阶系统定义的.高阶系统没有直接的能控、能观性定义.文献[1]建立了控制系统的能控性和高阶系统的全驱性的关系, 定义了控制系统的完全能控性.受上述定理1和定理2的启发, 我们亦可给出高阶非线性系统的能观性定义.
现在考虑如下一般的动态系统
$$ \begin{align} \label{eq42} \begin{cases} F(x, \dot {x}, \cdots , x^{(v)};\;u, \dot {u}, \cdots, u^{(l)};\;t)=0 \\ y=G(x, \dot {x}, \cdots , x^{(v)}) \\ \end{cases} \end{align} $$ (43) 其中$x$、$y\in {\bf R}^m$和$u\in {\bf R}^r$分别为系统的状态、输出和控制输入, $F(\cdot )$和$G(\cdot )$为满足适当条件的向量函数, $v$和$l$为两个正整数, 一般情况下有$l\le v$.
定义 2. 动态系统(43)称为完全能观的, 如果存在适当的变换将其等价化为如下形式的高阶全量测系统
$$ \begin{align} \label{eq43} \begin{cases} Ez^{(m)}+\sum\limits_{i=0}^{m-1} {A_i z^{(i)}} =\sum\limits_{i=0}^{m-1} {B_i ^{(i)}} (z, u) \\ y=C(z, u) \end{cases} \end{align} $$ (44) 其中$z$和$y\in{\bf R}^n$分别为系统的基础状态向量和输出向量; $u\in {\bf R}^r$为输入向量; $E\in {\bf R}^{n\times n}$为一个常数矩阵, $A_i \in {\bf R}^{n\times n}, \;i=0, 1, \cdots, m-1$为一组系数矩阵, $B_i (x, u)\in {\bf R}^n, \;i=0, 1, \cdots, m-1$为一组足够光滑的向量函数, $y=C(z, u)$对于任何$u\in {\bf R}^r$均是由$z$到$y$的微分同胚.
4. 观测器设计
由上述定义2可知, 任何一个完全能观系统都等价于一个形如式(44)的高阶全量测系统.本节考虑高阶全量测系统(44)的观测器设计问题.
4.1 状态空间模型
对于全量测系统式(44)引入下述状态变量[31]
$$ \begin{align} \label{eq44} \begin{cases} {x_m =z} \\ {x_{m-1} =E\dot {z}+A_{m-1} z-B_{m-1} (z, u)} \\ {\quad \quad \quad \vdots } \\ {x_2 =Ez^{(m-2)}+\sum\limits_{i=2}^{m-1} {A_i z^{(i-2)}} -\sum\limits_{i=2}^{m-1} {B_i ^{(i-2)}} (z, u)} \\ {x_1 =Ez^{(m-1)}+\sum\limits_{i=1}^{m-1} {A_i z^{(i-1)}} -\sum\limits_{i=1}^{m-1} {B_i ^{(i-1)}} (z, u)} \end{cases} \end{align} $$ (45) 同定理1和2的充分性证明, 令
$$ \begin{align} \label{eq45} \rho \buildrel \Delta \over = Ez^{(m)}+\sum\limits_{i=0}^{m-1} {A_i z^{(i)}} -\sum\limits_{i=0}^{m-1} {B_i ^{(i)}} (z, u)=0 \end{align} $$ (46) 利用式(45)中各式和式(46)容易验证
$$ \begin{align*} \begin{cases} \dot {x}_1 -\rho =-A_0 x_m +B_0 (x_m , u) \\ \dot {x}_2 -x_1 =-A_1 x_m +B_1 (x_m , u) \\ \quad \quad \quad \vdots \\ \dot {x}_{m-1} -x_{m-2} =-A_{m-2} x_m +B_{m-2} (x_m , u) \\ E\dot {x}_m -x_{m-1} =-A_{m-1} x_m +B_{m-1} (x_m , u) \\ \end{cases} \end{align*} $$ 由此可得全量测系统(44)的下述广义系统形式的状态空间实现[32]
$$ \begin{align} \label{eq46} \begin{cases} E_\Delta\dot {{x}}=\Psi (A_0, A_1, \cdots, A_{m-1})x +B_\Delta(x_m, u)\\ y=C(x_m, u) \end{cases} \end{align} $$ (47) 其中
$$ \begin{align*} x=\begin{bmatrix} x^{\rm T}_1&x^{\rm T}_2&\cdots &x^{\rm T}_{m} \end{bmatrix}^{\rm T} \end{align*} $$ $$ \begin{align} \label{eq47} E_\Delta={\rm diag}\{I_n\quad \cdots\quad I_n\quad E\} \end{align} $$ (48) (49) $$ \begin{align} \label{eq48} B_\Delta(x_m, u)=\begin{bmatrix}B_0(x_m, u) \\ B_1(x_m, u) \\ \vdots \\ B_{m-1}(x_m, u)\end{bmatrix} \end{align} $$ (50) 4.2 观测器设计
鉴于$ y=C(x_m, u)$对于任何$u\in {\bf R}^r$都是由$x_m$到$y$的微分同胚, 有
$$ \begin{align} \label{eq49} x_m =C^{-1}(y, u) \end{align} $$ (51) 借助于上述关系, 我们可以设计系统(47)$\sim$(50)的下述形式的状态观测器
$$ \begin{align} \label{eq50} &E_\Delta\dot {\hat {x}}=\Psi (A_0, A_1, \cdots, A_{m-1})\hat {x} -\nonumber\\&\quad L(C^{-1}(y, u)-\hat {x}_m)+B_\Delta(C^{-1}(y, u), u) \end{align} $$ (52) 其中
$$ L=\begin{bmatrix}L_0 \\ L_1 \\ \vdots \\ L_{m-1}\end{bmatrix}, L_i \in {\bf R}^{n\times n}, \;i=0, 1, \cdots, m-1 $$ 为一设计参数矩阵.
记观测误差向量为
$$ \begin{align} \label{eq51} e=x-\hat {x} \end{align} $$ (53) 再注意到
$$ \begin{align*}L(C^{-1}(y, u)-\hat {x}_m)=L(x_m-\hat {x}_m)=\\\begin{bmatrix}&0&-L_0 \\ &0&-L_1 \\ &\vdots&\vdots \\ &0&-L_{m-1}\end{bmatrix}(x-\hat {x})\end{align*} $$ 则由式(47)和(52)两端相减可得下述线性定常的观测误差方程:
$$ \begin{align} \label{eq52} E_\Delta\dot {e}=\Psi (A_0-L_0, A_1-L_1, \cdots, A_{m-1}-L_{m-1})e \end{align} $$ (54) 下述命题说明了完全能观系统观测器设计的一个重要优越性.
命题 3. 给定高阶全量测系统(44), 或其状态空间实现(47)$\sim$(50), 对于任意给定的定常矩阵$P_i \in {\bf R}^{n\times n}, \mbox{ }i=0, 1, \cdots, m-1$, 都可以选取该系统的状态观测器(52)中的参数矩阵
$$ \begin{align} \label{eq53} L_i=A_i-P_i, \quad i=0, 1, \cdots, m-1 \end{align} $$ (55) 使得系统(47)$\sim$(50)在观测器(52)下的观测误差方程为
$$ \begin{align} \label{eq54} \begin{array}{l} E_\Delta\dot {e}=\Psi(P_0, P_1, \cdots, P_{m-1})e \end{array} \end{align} $$ (56) 注意到
$$ \begin{align} \label{eq55} &{\rm det}(sE_\Delta-\Psi(P_0, P_1, \cdots, P_{m-1}))= \nonumber\\&\qquad {\rm det}(Es^m+P_{m-1}s^{m-1}+\cdots+P_1s+P_0) \end{align} $$ (57) 上述命题说明, 对于非线性完全能观系统, 可以设计其观测器使得观测误差系统为一个线性定常系统, 且其特征多项式的系数矩阵还可以任意配置.
下面进一步说明一下这些系数矩阵$P_i \in {\bf R}^{n\times n}, \mbox{ }i=0, 1, \cdots, m-1$的配置方法.
注意到
$$ \begin{align} \label{eq56} \Psi^{\rm T}(P_0, P_1, \cdots, P_{m-1})=\Psi^{\rm T}(0)-B_\Delta K \end{align} $$ (58) 其中
(59) $$ \begin{align} \label{eq58} K=\begin{bmatrix} P_0&P_1&\cdots &P_{m-1} \end{bmatrix} \end{align} $$ (60) 系数矩阵$P_i \in {\bf R}^{n\times n}, \mbox{ }i=0, 1, \cdots, m-1$的求取问题可以通过求解下述系统
$$ \begin{align} E_\Delta^{\rm T}\dot{ x}=\Psi^{\rm T}(0)x+B_\Delta u \end{align} $$ (61) 的状态反馈特征结构配置来解决.
关于广义线性系统状态反馈特征结构配置问题的求解, 可以参阅相关文献[32-36].特别地, 对于上述这一特殊系统(61)的特征结构配置问题, 文献[37]给出了一种具体的参数化设计方法, 并提供了系统设计中的所有自由度.
文献[1]和[37]针对完全能控非线性系统给出了一种状态控制律设计方法, 使得闭环系统为线性定常的, 且具有希望的闭环特征结构.本文的方法则提供了完全能观非线性系统状态观测器的设计方法.通过两方面的有机结合可以给出完全能控、完全能观非线性系统的基于状态观测器的控制系统设计方法.
4.3 例子
考虑下述二阶动力学系统
$$ \begin{align} \label{eq60} \begin{cases} M(z)\ddot {z}+D(z)\dot {z}+K(z)=u \\ y=z \\ \end{cases} \end{align} $$ (62) 其中$z\in {\bf R}^n$, $u\in {\bf R}^n$, $y\in {\bf R}^n$分别为系统的基础状态向量、控制输入和输出向量; $M(z)$, $D(z)$, $K(z)$为系统的系数矩阵.
假设$M(z)$对于任意$z\in {\bf R}^n$均可逆, 则式(62)可改写为
$$ \begin{align} \label{eq61} \begin{cases} \ddot {z}=-M^{-1}(z)D(z)\dot {z}-M^{-1}(z)\left[ {K(z)-u} \right] \\ y=z \\ \end{cases} \end{align} $$ (63) 我们令
$$ \begin{align*} &B_0 (z, u)=-M^{-1}(z)\left[ {K(z)-u} \right] \nonumber\\& B_1 (z, \dot {z})=-\int_0^t {M^{-1}(z)D(z)\dot {z}{\rm d}t} \end{align*} $$ 如果$B_1 (z, \dot {z})=B_1 (z)$与$\dot {z}$无关, 则式(63)即化为下述二阶全量测系统:
$$ \begin{align} \label{eq62} \begin{cases} \ddot {z}=\dot {B}_1 (z)+B_0 (z, u) \\ y=z \\ \end{cases} \end{align} $$ (64) 记
$$ \begin{align*}{\tilde D}(z)=M^{-1}(z)D(z)=\begin{bmatrix} {\tilde d}_{ij}(z) \end{bmatrix}_{n\times n}\end{align*} $$ 则有
$$ \begin{align*} B_1 (z, \dot {z})=&-\int_0^t {M^{-1}(z)D(z)\dot {z}{\rm d}t}=\nonumber\\&-\begin{bmatrix} \int_0^t \left(\sum\limits_{j=1}^{n}{\tilde d}_{1j}(z)\dot {z}_j \right){\rm d}t \\ \int_0^t \left(\sum\limits_{j=1}^{n}{\tilde d}_{2j}(z)\dot {z}_j \right){\rm d}t \\\quad \vdots \\\int_0^t \left(\sum\limits_{j=1}^{n}{\tilde d}_{nj}(z)\dot {z}_j \right){\rm d}t \\ \end{bmatrix}=\nonumber\\&- \begin{bmatrix} \sum\limits_{j=1}^{n}\int_{z_j(0)}^{z_j} {\tilde d}_{1j}(z){\rm d} z_j \\ \sum\limits_{j=1}^{n}\int_{z_j(0)}^{z_j} {\tilde d}_{2j}(z){\rm d} z_j \\\quad \vdots \\ \sum\limits_{j=1}^{n}\int_{z_j(0)}^{z_j} {\tilde d}_{nj}(z){\rm d} z_j \\ \end{bmatrix}\triangleq\nonumber\\&B_1 (z)\end{align*} $$ 因此, $B_1 (z, \dot {z})= B_1 (z)$确实与$\dot {z}$无关.
定义
$$ \begin{align*} \begin{cases} x_2=z \\ x_1=\dot {z}-{B}_1 (z)\\ \end{cases} \end{align*} $$ 则系统(64)的状态空间模型为
$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot { {x}}_1 \\ \dot { {x}}_2 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0& 0\\ {I_n }& 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} B_0 (y, u) \\ B_1 (y) \\ \end{bmatrix} \end{align*} $$ 因此, 我们可设计该系统的下述状态观测器
$$ \begin{align} \label{eq63}\begin{bmatrix} \dot {\hat {x}}_1 \\ \dot {\hat {x}}_2 \\ \end{bmatrix}=&\begin{bmatrix} 0& 0\\ {I_n }& 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\hat {x}}_1\\ {\hat {x}}_2 \\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} L_0\\ L_1 \\ \end{bmatrix}(y-{\hat {x}})+\nonumber\\ &\begin{bmatrix} B_0 (y, u) \\ B_1 (y) \\ \end{bmatrix} \end{align} $$ (65) 其中$L_0 $和$L_1 \in {\bf R}^{n\times n}$为两个常值观测器增益矩阵, 二者只需保证下述矩阵
$$ \begin{align*} \Psi (-L_0 , -L_1 )=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 0& {L_0 }\\ {I_n }& {L_1 }\\ \end{array} }} \right] \end{align*} $$ 稳定即可.此时所设计的观测器(65)决定的观测误差
$$ \begin{align*} e= \begin{bmatrix} \dot {x}-\dot {\hat {x}}\\ x-\hat {x} \\ \end{bmatrix} \end{align*} $$ 由下述稳定的线性定常系统决定:
$$ \begin{align*} \dot {e}=\Psi (-L_0 , -L_1 )e \end{align*} $$ 而$\dot {z}$的估计由$\hat{x}_1+B_1 (y)$给出.
由上述可见, 该方法在最后的观测误差方程中完全解耦掉了系统中非线性的影响.一般说来, 一个非线性系统的观测器的观测误差系统仍然是一个非线性系统, 所以通常只能得到局部稳定的观测误差系统.即使在极少数情况下能够得到全局稳定的观测误差系统, 也远不如得到一个稳定的线性定常的观测误差系统.
5. 结论
控制系统中的状态信息如果全靠有关敏感器来获得是很不经济的, 有时也是不现实的.因此研究控制系统的能观性和状态观测器设计问题是非常必要的.对于线性定常系统, 其能观性分析理论和观测器设计理论是较为完备的, 然而关于非线性系统能观性分析方面的有效判据还欠缺, 关于非线性系统观测器设计的方法也很有限, 且往往只适用于非常特殊的系统, 应用范围较窄.
本文发现了控制系统的能观性和高阶系统全量测性之间的关系, 从而提出了非线性系统的完全能观性概念及其相应的标准型, 为更广泛的一类非线性系统的观测器设计提供了充分条件.全量测特性允许我们消除非线性的影响, 得到一个线性定常的观测误差系统, 且可以任意配置误差系统的特征多项式系数矩阵.这一方法的重要性在于把一个非线性系统的设计问题转化成线性系统的设计问题, 从而允许使用线性系统的诸多分析和设计方法.
由于拉格朗日方程、动量(矩)定理等一批物理定律的存在, 现实世界中的二阶或高阶系统远远多于一阶系统.然而在系统与控制的漫长发展过程中人们一直把高阶系统化成一阶系统来处理.本文的工作再一次展示了高阶系统方法的优越性.
有关高阶全驱系统的干扰解耦与抑制、鲁棒镇定与跟踪、自适应控制等问题, 将另文讨论.
致谢: 作者感谢其学生胡艳梅、赵天一、赵琴、王秀博等人协助查找文献、组织材料和检查错误.
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