Parallel Systems and Digital Twins: A Data-driven Mathematical Representation and Computational Framework
-
摘要: 旨在为平行系统及ACP方法建立一种数据驱动的数学形式和计算框架, 该形式与框架也适用于数字孪生系统.首先, 基于动态系统状态方程方法论, 给出了平行系统的虚实双系统表示方法, 基于此表示方法为平行系统问题提供了一种数学表示.围绕该表示, 讨论了虚实系统互动、平行系统与数字孪生系统异同等问题.然后, 为ACP方法提供了一种计算框架, 详细解释了人工系统(Artificial systems, A)、计算实验(Computational experiments, C)、平行执行(Parallel execution, P)的数学计算求解过程, 并讨论了“学习与训练”、“实验与评估”、“管理与控制”、灵捷–聚焦–收敛(AFC)、小数据-大数据-小智能等概念的相关数学表示, 并讨论了智能科学与平行系统数学架构的关系以及平行智能的内涵.最后, 以大学校园园区能源管理系统为案例, 为平行系统数学架构和方法提供一个直观的算例.Abstract: This paper aims to provide a mathematical representation and computational framework for parallel systems and the ACP approach, which are also applicable to digital systems. Based on the system state equation methodology, the dual real-virtual system representation for parallel systems is presented, based on which the parallel system problem is described in mathematical forms. Further, the computational framework for the ACP approach, which explain in details the mathematical processes for artificial systems (A), computational experiments (C) and parallel execution (P). Based on the ACP approach framework, concepts such as "learning and training", "experiments and evaluation", "management and control" are mapped into ACP0s mathematical computational framework, as well as related concepts such as AFC (AgileFocus-Convergence) and "small data, big data, small intelligence". The synergy of parallel system framework and artificial intelligence technology is also discussed and investigated, leading to the origin and implications of "parallel intelligence". A campus-wide energy management problem with considerations of human factors is utilized as an illustrative example of applying the parallel system mathematical representation and computational framework in power and energy systems.
-
Key words:
- Parallel systems /
- digital twins /
- ACP /
- hybrid human-machine enhanced intelligence
-
信息物理融合系统(Cyber-physical systems, CPS)作为一种新型智能系统应运而生, 它是一类集成计算、网络和物理实体的复杂系统, 将三者进行有机融合与深度协作, 从而达到对大型物理系统与信息系统的实时感知, 动态控制和信息服务等[1], 典型CPS包括工控系统[2]、供水网络[3]等.智能电网从总体上可以视为由信息网和电力网这两个相互依存的网络构成的一个复合网络, 也是一个典型的CPS[4].同步相量测量装置(Phasor measurement units, PMUs)、广域测量系统(Wide-area measurement systems, WAMS)、变电站自动化等技术为智能电网的实现提供了坚实的基础, 但同时也增加了智能电网对信息资源的依赖.一旦信息网出错或崩溃, 电力网一般很难保持正常运行.这也为电力系统安全稳定运行带来了新的问题[5]:首先, 随着PMUs布点的增多, 调度数据网中传送的PMUs数据的比例将会越来越大, PMUs长期不间断且高刷新频率的传送导致海量的状态和控制信息等在通信网络上传送, 可能会产生网络拥塞, 影响数据实时传送; 其次, 与电力的物理系统相比, 信息系统对恶意攻击具有更明显的脆弱性.由于通信网络的开放性, 会导致电力系统面临各种类型网络攻击, 造成失稳甚至毁坏.如2015年12月23日乌克兰电网遭受协同攻击导致近8万用户家庭突发停电事故, 这次事故被认为是第一起由于网络攻击直接导致停电事故的案例.
针对上述问题, 已有一些学者进行了相关的研究[5-10].文献[6]首次将事件触发机制引入多域电力系统负荷频率控制(Load frequency control, LFC)中, 有效减少了数据传输量; 文献[8]提出了一种弹性事件触发机制, 应用于多域电力系统LFC当中, 在考虑网络攻击的情况下保证电力系统的稳定性, 并减少了传输的数据量; 文献[9]提出一种针对电力系统状态估计的错误数据注入攻击防御与检测机制, 从保护和检测两方面入手; 基于保护的防御, 主要是识别和保护关键的传感器, 使系统更能抵御攻击; 基于检测的防御, 设计了基于空间和基于时间的检测方案, 以准确识别数据注入攻击.文献[10]介绍了DoS攻击下电网的LFC方法, 通过将电力系统建模为切换系统, 检测DoS (Denial-of-service, DoS)攻击的存在, 以双域电力系统为例, 分析了系统性能问题.由于电动汽车(Electric vehicles, EVs)具有良好的环境特征, 如温室气体排放量少, 噪声污染低等, 并且可用于提高电力系统的可靠性和灵活性[11].本文将EVs引入智能电网中, 与负荷频率控制相结合, 快速抑制系统扰动所引发的频率变化.在考虑DoS攻击的情况下, 对电力CPS进行稳定性分析, 并对事件触发机制和控制器进行联合设计, 从而达到理想的控制效果.
1. 系统模型
在本文中, 假设存在大量可用的EVs, 即存在足够的电能储备以达到协助传统电力单元实现负荷频率调节的目的, 控制中心通过聚合器对EVs进行集中管理, 聚合器将分散的各EVs的信息和状态收集起来, 发送给控制中心.
由于EVs的接入, LFC系统中产生了新的时变时延.本文假设所有的同步电机都有再热热涡轮机, 为了便于说明, 对于电力CPS, 我们将每个域的$M$个EVs等效为一个, 控制器的输出按比例分配给EVs和再热电机, 其中表示分配比例.如图 1所示, 不考虑弹性事件触发机制和网络环境下, 包含EVs的电力CPS动态模型可以描述为[12]
$ \begin{align} \begin{cases} \dot{{\pmb x}}(t)=A{\pmb x}(t)+B_{0}{\pmb u}(t)+\\ \quad\qquad\sum\limits_{i=1}^{n}\hat{B}_i{\pmb u} (t-\tau_i(t))+ F{\pmb\Delta P_{d}}(t)\\ {\pmb y}(t)=C{\pmb x}(t) \end{cases} \end{align} $
(1) $ \begin{align*} &{\pmb x}(t)=[{\pmb x_1}^{\rm T}(t) \ {\pmb x_2}^{\rm T}(t) \ \cdots \ {\pmb x_n}^{\rm T}(t) ]^{\rm T}\\ &{\pmb y}(t)=[{\pmb y_1}^{\rm T}(t) \ {\pmb y_2}^{\rm T}(t) \ \cdots \ {\pmb y_n}^{\rm T}(t) ]^{\rm T}\\ &{\pmb u}(t)=[{\pmb u_1}^{\rm T}(t) \ {\pmb u_2}^{\rm T}(t) \ \cdots \ {\pmb u_n}^{\rm T}(t) ]^{\rm T}\\ &{\pmb \Delta P_{d}}(t)=[\Delta P_{d1} \ \Delta P_{d2} \ \cdots \ \Delta P_{dn}]^{\rm T}\\ &{\pmb y_i}(t)=[ACE_i \ \int ACE_i{\rm d}t]^{\rm T}\\ &A=\left[\begin{array}{cccc} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\\ \end{array}\right] \end{align*} $
图 1 基于弹性事件触发机制的电力CPS负载频率控制模型Fig. 1 Grid CPS LFC model with a resilient event-triggered$ \begin{align*} &A_{ii}= \left[\begin{array}{ccccccc} -\dfrac{D_i}{M_i}&\dfrac{1}{M_i}&0&0&\dfrac{1}{M_i}&-\dfrac{1}{M_i}&0\\[3mm] 0&-\dfrac{1}{T_{ci}}&\dfrac{1}{T_{ci}}&0&0&0&0\\[3mm] -\dfrac{F_{pi}}{R_iT_{gi}}&0&-\dfrac{1}{T_{ri}}&\dfrac{T_{gi}-F_{pi}T_{ri}} {T_{ri}T_{gi}}&0&0&0\\[3mm] -\dfrac{1}{R_iT_{gi}}&0&0&-\dfrac{1}{T_{gi}}&0&0&0\\[3mm] 0&0&0&0&-\dfrac{1}{T_{EVi}}&0&0\\ 2\pi\sum\limits_{j=1, j\ne i}^{n}T_{ij}&0&0&0&0&0&0\\ \beta_i&0&0&0&0&1&0 \end{array}\right]\\ &{\pmb x_i}(t)=[\Delta f_i \ \Delta P_{gi} \ \Delta P_{mi} \ \Delta X_{gi} \ \Delta P_{EVi} \ \Delta P_{tie-i} \ \int ACE_i{\rm d}t ]^{\rm T} \end{align*} $
$ \begin{align*} &B_0=\left[\begin{array}{cccc} B_{011}&0&\cdots&0\\ 0&B_{022}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&B_{0nn}\\ \end{array}\right]\\ &C={\rm diag}\{C_1, \ C_2, \ \cdots, \ C_n\}\\ &B_{0ii}=\left[0 \ 0 \ \frac{F_{pi}\alpha_{i0}}{T_{gi}} \ \frac{\alpha_{i0}}{T_{gi}} \ 0 \ 0 \ 0\right]^{\rm T}\\ &C_i=\left[\begin{array}{ccccccc} \beta_i&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0&1 \end{array}\right]\\ &F={\rm diag}\{F_1, \ F_2, \ \cdots, \ F_n\}\\ &F_i=\left[-\frac{1}{M_i} \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0\right]^{\rm T}\\ &\hat{B}_{i}=\left[\begin{array}{ccccc} 0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&B_{iii}&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&0 \end{array}\right]\\ &B_{iii}=\left[0 \ 0 \ 0 \ 0 \ \frac{K_{EVi}\alpha_{i1}}{T_{EVi}} \ 0 \ 0\right]^{\rm T}\\ &A_{ij}=\left[\begin{array}{cccc} 0&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -2\pi T_{ij}&0&\cdots&0 \end{array}\right] T_{ij}=T_{ji} \end{align*} $
表 1给出了系统中具体的符号意义.每个区域$i$的ACE (Area control error)信号定义为频率偏差与区域之间联络线电力交换之和:
表 1 带EVs电力CPS负载频率控制模型参数($i=1, 2, \cdots, n$)Table 1 Parameters of power CPS LFC model including EV aggregators ($i=1, 2, \cdots, n$)参数符号Parameter notations 物理含义Physical meanings $M_i$ 惯性常数 Inertia constant $D_i$ 负载阻尼常数 Load-damping constant $T_{gi}$ 调速器时间常数 Time constant of governor $T_{ci}$ 涡轮机时间常数 Time constant of turbine $T_{ri}$ 再热时间常数 Time constant of reheat $F_{pi}$ 总涡轮功率分数 Fraction of total turbine power $R_i$ 转速 Speed droop $\beta_i$ 频率偏差系数 Frequency bias factor $K_{EVi}$ 电池系数 Battery coefficient $T_{EVi}$ 电池时间常数 Time constant of battery $T_{ij}$ 联络线同步系数 Synchronizing coefficient of tie-line $\Delta f_i$ 频率偏差 Deviation of frequency $\Delta P_{tie-i}$ 联络线的功率交换 Power transfer of tie-line $ \begin{equation*} ACE_i=\beta_i \Delta f_i+\Delta P_{tie-i} \end{equation*} $
假设传输线路为无损传输, 电力CPS控制各区域之间的联络线功率交换满足$\sum_{i=1}^n \Delta P_{tie-i}=0$.
PI型LFC可以写成
$ \begin{align} {\pmb u}(t)&=-K{\pmb y}(t) \end{align} $
(2) 其中, $K={\rm diag}\{{\pmb K_1}$, ${\pmb K_2}$, $\cdots$, ${\pmb K_n}\}$, ${\pmb K_i}=[K_{Pi}~K_{Ii}]$, $K_{Pi}$, $K_{Ii}$分别为比例增益和积分增益.
注1[13].EVs参与负载频率控制可分为两种模式, SOC (State of charge)可控模式和SOC空闲模式. SOC空闲模式, 即EV从电网中消耗电能或释放电能不考虑EV电池的充电状态, 此时第$m$辆EV的增益$K_{Em}=\bar{K_{e}}$, 其中$\bar{K_{e}}=1$.而SOC可控模式中由于EV使用者的需要, 第$m$辆EV参与负载频率控制时需要考虑SOC, 因此通过SOC计算和当前SOC的值可以获得EV的增益$K_{Em}=\bar{K_e}-\bar{K_e}g_m(t)$, 其中$g_m(t)=(\frac{{\rm SOC}_m-{\rm SOC}_{{\rm low(high)}, m}}{{\rm SOC}_{{\rm max(min)}, m}-{\rm SOC}_{{\rm low(high)}, m}})^{v_m}$, $v_m$表示电池的设计规格, ${\rm SOC_{low(high)}}$为低(高)电池SOC, ${\rm SOC_{max(min)}}$为最大(最小)电池SOC.假设在$t$时刻, 区域$i$中有$Me$辆EVs参与LFC, 其中$Me_1$表示处于SOC空闲模式的EVs, $Me_2=Me-Me_1$表示处于SOC可控模式的EVs, 则区域$i$总的EVs增益$K_{EVi}=\sum_{m=1}^{Me}\frac{K_{Em}}{Me}=\frac{Me_1}{Me}\bar{K_e}+\frac{1}{Me}\bar{K_e}(Me_2-\sum^{Me}_{m=Me_1+1}g_m(t))$.
2. 事件触发通信机制
2.1 传统事件触发机制
早期事件触发机制是所谓的连续事件触发, 需要特殊硬件对状态进行连续监测.此外, 在触发机制设计中, 必须确保任意两个事件触发时刻之间的最小时间间隔严格大于零, 如果最小事件间隔时间为零, 就会出现无限事件发生在有限时间内的奇诺(Zeno)现象[14].为了解决这两个问题, 文献[15]提出一种基于采样数据的离散型事件触发机制:
$ \begin{eqnarray} [{\pmb x}(t_k+jh)-{\pmb x}(t_k)]^{\rm T}\Omega[{\pmb x}(t_k+jh)-{\pmb x}(t_k)]\leq\nonumber\\ \sigma {\pmb x}^{\rm T}(t_k)\Omega {\pmb x}(t_k), j\in {\bf N} \end{eqnarray} $
(3) 当上述条件违背时, 传感器将采样数据传输给控制器.其中$t_k$为事件触发时刻, $\Omega>0$为触发矩阵, $\sigma\in(0, 1)$为触发参数, $h$为采样周期.该触发机制可以保证最小事件间隔$T_{etc}\geq h$, 避免出现Zeno现象, 并且不需要特殊硬件对状态进行连续监测.
2.2 弹性事件触发机制
本文假设DoS攻击的能量是有限的, 即DoS攻击的持续时间是有限的, 当DoS攻击发生时通信中断. DoS攻击的发生将直接导致通信信道上正在传输的数据丢失, 因此并不是所有事件触发时刻的状态都能成功传输到控制器侧.假设DoS攻击发生时, 连续丢包量为$\tau_M$, 那么DoS攻击的持续时间$\tau_{\rm dos}\leq \tau_M T_{etc}$, 为了简单起见, 取$\tau_{\rm dos}\leq \tau_M h$.此时, 传统事件触发机制(3)将不能直接用于判断采样数据传输与否.为了消除DoS攻击所产生的影响, 提出下列弹性事件触发机制:
$ \begin{eqnarray} [{\pmb x}(r_k+jh)-{\pmb x}(r_k)]^{\rm T}\Omega[{\pmb x}(r_k+jh)-{\pmb x}(r_k)]\leq\nonumber\\ \sigma_r {\pmb x}^{\rm T}(r_k)\Omega {\pmb x}(r_k), j\in {\bf N} \end{eqnarray} $
(4) $\sigma_r$为事件触发参数.通常, $\sigma_r < \sigma$, 也就是说弹性事件触发机制将会产生更多的触发状态用以消除DoS攻击对系统所造成的影响.此时, 将存在三个时刻, 采样时刻$kh$, 触发时刻$r_k$和成功传输到控制器侧的时刻$t_k$.令$S_0=\{0, h, 2h, 3h, \cdots, jh\}, ~ j\in {\bf N}$, $S_1=\{0, r_1, r_2, r_3, \cdots, r_k\}, r_k/h\in {\bf N}$, $S_2=\{0, t_1, t_2, t_3, \cdots, t_k\}, t_k/h\in {\bf N}$, 则$S_2\subseteq S_1\subseteq S_0$.当$\sigma_r=\sigma$时, 意味着没有DoS攻击发生.下文将推导出系统所能容忍的DoS攻击最大持续时间.
此时控制器输入${\pmb u}(t)={\pmb u}(t_k), t\in[t_k+d_{\tau_k}, t_{k+1}+d_{\tau_{k+1}})$, $d_{\tau_k}$表示传感器到控制器的传输时延, 最大值为$\bar{d_{\tau}}$, 此时系统(1)可以表示为
$ \begin{eqnarray} \dot{{\pmb x}}(t)=A{\pmb x}(t)+B{\pmb u}(t_k)+F{\pmb\Delta P_{d}}(t) \end{eqnarray} $
(5) 其中, $B=B_{0}+\sum_{i=1}^{n}\hat{B}_i$.利用文献[15]中提出的时滞模型方法对系统进行稳定性分析和控制器设计.
定义
$ \begin{eqnarray*} d(t)= \left\{\begin{aligned} &t-t_{k}, t\in I_{1}\\ &t-t_{k}-lh, t\in I^l_{2}, \quad l=1, 2, \cdots, m_k-1\\ &t-t_{k}-m_kh, t\in I_{3}\\ \end{aligned}\right.\ \end{eqnarray*} $
其中, $I_{1}=[t_{k}+d_{\tau_{k}}, t_{k}+h+\bar{d_\tau}), I^{l}_{2}=[t_{k}+lh+\bar{d_\tau}, t_{k}+lh+h+\bar{d_\tau}), I_{2}=\cup^{m_k-1}_{l=1}I^{l}_{2}$, 和$I_{3}=[t_{k}+m_kh+\bar{d_\tau}, t_{k+1}+d_{\tau_{k+1}})$. $[t_{k}+d_{\tau_{k}}, t_{k+1}+d_{\tau_{k+1}})=I_{1}\cup I_{2}\cup I_{3}$.
因此, 可以得到$0\leq d(t) < \bar{d}$, 其中$\bar{d}=h+\bar{d_\tau}$.对于$\forall t\in[t_{k}+d_{\tau_{k}}, t_{k+1}+d_{\tau_{k+1}})$, 我们定义
$ \begin{eqnarray*} {\pmb e}(t)= \begin{cases} 0, &t\in I_{1}\\ {\pmb x}(t_{k})-{\pmb x}(t_{k}+lh), &t\in I^l_{2}\\ {\pmb x}(t_{k})-{\pmb x}(t_{k}+m_kh), &t\in I_{3}\\ \end{cases} \end{eqnarray*} $
结合$d(t)$和${\pmb e}(t)$定义, 当$t\in[t_{k}+d_{\tau_{k}}, t_{k+1}+d_{\tau_{k+1}})$时, 系统(5)可以变形为
$ \begin{align} \dot{{\pmb x}}(t)=\, &A{\pmb x}(t)-BKC({\pmb e}(t)+\nonumber\\ &{\pmb x}(t-d(t)))+F{\pmb\Delta P_{d}}(t) \end{align} $
(6) 本文的主要目的是在DoS攻击的情况下研究电力系统的稳定性、设计弹性事件触发机制和控制器联合求解方案, 同时系统还满足如下条件:
1) 当负载干扰为零时(即${\pmb\Delta P_d}=0$), 电力系统在DoS攻击下是渐近稳定的;
2) 当系统的初值为零时, 对于任意非零${\pmb\Delta P_d}\in L_2[0, \infty)$, 有$\Vert {\pmb y}(t)\Vert _2 \leq \gamma \Vert {\pmb\Delta P_d}\Vert_2$, 其中$\gamma$是给定的$H_{\infty}$性能.
3. 主要结果
引理1[16].令矩阵$R_1, R_2$为正定矩阵, 标量$a\in(0, 1)$, 以及向量${\pmb \omega_1}, {\pmb\omega_2} \in {\bf R}^m$, 那么对于任意矩阵$Y_1, Y_2 \in {\bf R}^{m\times m}$, 下列不等式成立:
$ \begin{align*} &\frac{1}{a}{\pmb\omega_1}^{\rm T}R_1{\pmb\omega_1}+\frac{1}{1-a}{\pmb\omega_2}^{\rm T}R_2{\pmb\omega_2}\geq \nonumber\\ &~~~~~~~{\pmb\omega_1}^{\rm T}[R_1+(1-a)(R_1-Y_1R_2^{-1}Y_1^{\rm T})]{\pmb\omega_1}+ \nonumber \\ &~~~~~~~{\pmb\omega_2}^{\rm T}[R_2+a(R_2-Y_2^{\rm T}R_1^{-1}Y_2)]{\pmb\omega_2}+ \nonumber\\ &~~~~~~~2{\pmb\omega_1}^{\rm T}[aY_1+(1-a)Y_2]{\pmb\omega_2} \end{align*} $
本节对基于事件触发机制的电力CPS进行稳定性分析, 选择Lyapunov-Krasovskii泛函为
$ \begin{align*} V(t)=\, &V_{1}(t)+V_{2}(t)+V_{3}(t)\\ V_{1}(t)=\, &\left[\begin{array}{cc}{\pmb x}^{\rm T}(t)&\int^{t}_{t-\bar{d}} {\pmb x}^{\rm T}(s){\rm d}s\end{array}\right]\times\\& U\left[\begin{array}{c}{\pmb x}(t)\\\int^{t}_{t-\bar{d}}{\pmb x}(s){\rm d}s\end{array}\right]\\ V_{2}(t)=\, &\int_{t-\bar{d}}^{t}\left[\begin{array}{cc}{\pmb x}^{\rm T}(t)&\bar{d}{\pmb x}^{\rm T}(s)\end{array}\right]Q\left[\begin{array}{c}{\pmb x}(t)\\\bar{d}{\pmb x}(s)\end{array}\right]{\rm d}s\\ V_{3}(t)=\, &\bar{d}\int_{t-\bar{d}}^{t}\int_{v}^{t}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s{\rm d}v \end{align*} $
其中, $U$, $Q$对称, $R>0$.应用Jensen不等式,
$ \begin{align*} V_{2}(t)\geq\, &\frac{1}{\bar{d}}\int_{t-\bar{d}}^{t}\left[\begin{array}{c}{\pmb x}(t)\\ \bar{d}{\pmb x}(s)\end{array}\right]^{\rm T}{\rm d}s\times\\ &Q\int_{t-\bar{d}}^{t}\left[\begin{array}{c}{\pmb x}(t)\\ \bar{d}{\pmb x}(s)\end{array}\right]{\rm d}s=\\ &\bar{d}\left[\begin{array}{c}{\pmb x}(t)\\ \int^{t}_{t-\bar{d}}{\pmb x}(s){\rm d}s\end{array}\right]^{\rm T}\times\\&Q\left[\begin{array}{c}{\pmb x}(t)\\ \int^{t}_{t-\bar{d}}{\pmb x}(s){\rm d}s\end{array}\right] \end{align*} $
从而得到:
$ \begin{align*} &V(t)\geq\left[\begin{array}{cc}{\pmb x}^{\rm T}(t)&\int^{t}_{t-\bar{d}}{\pmb x}^{\rm T}(s){\rm d}s\end{array}\right](U+\bar{d}Q)\times\\ &~~\left[\begin{array}{c}{\pmb x}(t)\\\int^{t}_{t-\bar{d}}{\pmb x}(s){\rm d}s\end{array}\right] +\bar{d}\int_{t-\bar{d}}^{t}\int_{v}^{t}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s{\rm d}v\\ \end{align*} $
由上式, 当矩阵$U$和$Q$满足$U+\bar{d}Q>0$, $V(t)>0$, 此时并不需要$U, Q$和$R$都正定.对$V(t)$进行求导,
$ \begin{align*} \dot{V}_{1}(t)=\, &2\left[\begin{array}{cc}{\pmb x}^{\rm T}(t)&\int^{t}_{t-\bar{d}}{\pmb x}^{\rm T}(s){\rm d}s\end{array}\right]U \times\\ &\left[\begin{array}{c}\dot{{\pmb x}}(t)\\{\pmb x}(t)-{\pmb x}(t-\bar{d})\end{array}\right]\\ \dot{V}_{2}(t)=\, &\left[\begin{array}{cc}{\pmb x}^{\rm T}(t)&\bar{d}{\pmb x}^{\rm T}(t)\end{array}\right]Q\left[\begin{array}{c}{\pmb x}(t)\\\bar{d}{\pmb x}(t)\end{array}\right]-\\ &\left[\begin{array}{cc}{\pmb x}^{\rm T}(t)&\bar{d}{\pmb x}^{\rm T}(t-\bar{d})\end{array}\right]Q\left[\begin{array}{c}{\pmb x}(t)\\\bar{d}{\pmb x}(t-\bar{d})\end{array}\right]+\\ &2\int_{t-\bar{d}}^{t}\left[\begin{array}{cc}{\pmb x}^{\rm T}(t)&\bar{d}{\pmb x}^{\rm T}(s)\end{array}\right]Q\left[\begin{array}{c}\dot{{\pmb x}}(t)\\0\end{array}\right]{\rm d}s \end{align*} $
$ \begin{align*} \dot{V}_{3}(t)%=\bar{d}^2\dot{x}^{T}(t)R\dot{x}(t)-\bar{d}\int_{t-\bar{d}}^{t}\dot{x}^T(s)R\dot{x}(s)ds\\ =\, &\bar{d}^2\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(t)R\dot{{\pmb x}}(t)-\bar{d}\int_{t-d(t)}^{t}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s-\\ &\bar{d}\int_{t-\bar{d}}^{t-d(t)}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s \end{align*} $
3.1 不考虑DoS攻击情况下的$\pmb{H_{\infty}}$性能分析
为了便于描述, 定义${\pmb\xi_1}:=\text{col}\{{\pmb x}(t)$, ${\pmb x}(t-d(t))$, ${\pmb x}(t-\bar{d})$, $\frac{1}{d(t)}\int_{t-d(t)}^{t}{\pmb x}(s){\rm d}s$, $\frac{1}{\bar{d}-d(t)}\int_{t-\bar{d}}^{t-d(t)}{\pmb x}(s){\rm d}s$, $\frac{1}{d^2(t)}\int_{t-d(t)}^{t}(t-s){\pmb x}(s){\rm d}s$, $\frac{1}{(\bar{d}-d(t))^2}\int_{t-\bar{d}}^{t-d(t)}(t-d(t)-s){\pmb x}(s){\rm d}s$, ${\pmb e}(t)$, ${\pmb\Delta P_d}(t)\}$.
应用文献[17]中的Lemma 1,
$ \begin{align} & \bar{d}\int_{t-\bar{d}}^{t-d(t)}{{{{\mathit{\boldsymbol{\dot{x}}}}}^{\text{T}}}}(s)R\mathit{\boldsymbol{\dot{x}}}(s)\text{d}s\ge \frac{1}{a}{{({{\Gamma }_{1}}{{\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\xi\!\!\text{ }}_{1}}(t))}^{\text{T}}}\hat{R}({{\Gamma }_{1}}{{\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\xi\!\!\text{ }}_{1}}(t)) \\ & \bar{d}\int_{t-d(t)}^{t}{{{{\mathit{\boldsymbol{\dot{x}}}}}^{\text{T}}}}(s)R\mathit{\boldsymbol{\dot{x}}}(s)\text{d}s\ge \frac{1}{1-a}{{({{\Gamma }_{2}}{{\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\xi\!\!\text{ }}_{1}}(t))}^{\text{T}}}\hat{R}({{\Gamma }_{2}}{{\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\xi\!\!\text{ }}_{1}}(t)) \\ & {{\Gamma }_{1}}:=\text{col}\{{{e}_{2}}-{{e}_{3}}, {{e}_{2}}+{{e}_{3}}-2{{e}_{5}}, {{e}_{2}}-{{e}_{3}}-6{{e}_{5}}+12{{e}_{7}}\} \\ & {{\Gamma }_{2}}:=\text{col}\{{{e}_{1}}-{{e}_{2}}, {{e}_{1}}+{{e}_{2}}-2{{e}_{4}}, {{e}_{1}}-{{e}_{2}}-6{{e}_{4}}+12{{e}_{6}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ } \\ & \hat{R}=\text{diag}\{R, 3R, 5R\} \\ \end{align} $
其中, $a=\frac{\bar{d}-d(t)}{\bar{d}}$.进一步应用引理1, 可以得到:
$ \begin{align*} &\bar{d}\int_{t-d(t)}^{t}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s+\\ &~~~~~\bar{d}\int_{t-\bar{d}}^{t-d(t)}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s\geq\\ %&~~~~\geq\frac{1}{a}(\Gamma_1\xi_1(t))^T\hat{R}(\Gamma_1\xi_1(t))\\ %&~~~~~+\frac{1}{1-a}(\Gamma_2\xi_1(t))^T\hat{R}(\Gamma_2\xi_1(t))\\ &~~~~~{\pmb\xi_1}^{\rm T}(t)[(2-a)\Gamma_1^{\rm T}\hat{R}\Gamma_1+(1+a)\Gamma_2^{\rm T}\hat{R}\Gamma_2+\\ &~~~~~{\rm Sym}\{\Gamma_1^{\rm T}[aY_1+(1-a)Y_2]\Gamma_2\}-\Pi_2]{\pmb\xi_1}(t)\\ &\Pi_2=a\Gamma_2^{\rm T}Y_2^{\rm T}\hat{R}^{-1}Y_2\Gamma_2+(1-a)\Gamma_1^{\rm T}Y_1\hat{R}^{-1}Y_1^{\rm T}\Gamma_1 \end{align*} $
因此
$ \begin{align*} \dot{V}(t)\leq\,&{\pmb \xi}_1^{\rm T}(t)(\Pi_1+\Pi_2){\pmb \xi_1}(t)\\ \Pi_1:=\, &\ell_1^{\rm T} Q\ell_1-\ell_2^{\rm T} Q\ell_2+\bar{d}^2\ell_0^{\rm T} R\ell_0-\\ &(2-a)\Gamma_1^{\rm T}\hat{R}\Gamma_1-(1+a)\Gamma_2^{\rm T}\hat{R}\Gamma_2+\\ &{\rm Sym}\{\ell_3^{\rm T}U\ell_4+ \bar{d}\ell_4^{\rm T}Q\ell_5-\\ &\Gamma_1^{\rm T}[aY_1+(1-a)Y_2]\Gamma_2\}\\ \ell_0:=\, &Ae_1-BKC(e_2+e_8)+Fe_9\\ \ell_1:=\, &{\rm col}\{e_1, \bar{d}e_1\}, \ell_2={\rm col}\{e_1, \bar{d}e_3\}\\ \ell_3:=\, &{\rm col}\{\ell_0, e_1-e_3\}\\ \ell_4:=\, &{\rm col}\{e_1, d(t)e_4+(\bar{d}-d(t))e_5\}\\ \ell_5:=\, &{\rm col}\{\ell_0, 0\} \end{align*} $
结合传统事件触发机制(3), 对于$t\in[t_k+d_{\tau_k}$, $t_{k+1}+$ $d_{\tau_{k+1}})$, 我们可以得到:
$ \begin{align*} \dot{V}(t)\leq\,&{\pmb\xi_1}^{\rm T}(t)(\hat{\Pi}_1+\Pi_2){\pmb\xi_1}(t)-\\ &{\pmb y}^{\rm T}(t){\pmb y}(t)+\gamma^2{\pmb \Delta P}^{\rm T}_d(t){\pmb \Delta P_d}(t)\\ \hat{\Pi}_1=\, &\Pi_1+\sigma (e_2+e_8)^{\rm T}\Omega (e_2+e_8)-e_8^{\rm T}\Omega e_8+\\ &e_1^{\rm T}C^{\rm T}Ce_1-\gamma^2 e_9^{\rm T}e_9 \end{align*} $
使用Schur补, 可以得到当存在$R>0$, 对称矩阵$U, Q$, 实矩阵$Y_1$, $Y_2$以及标量$\bar{d}$, 满足$U+\bar{d}Q>0$, 并且LMIs (7)和(8)成立时, 系统(6)渐近稳定.
$ \begin{eqnarray} \left[\begin{array}{cc} \hat{\Pi}_1&\Gamma_2^{\rm T}Y_2^{\rm T}\\ *&-\hat{R}\\ \end{array}\right]<0 \end{eqnarray} $
(7) $ \begin{eqnarray} \left[\begin{array}{cc} \hat{\Pi}_1&\Gamma_1^{\rm T}Y_1\\ *&-\hat{R}\\ \end{array}\right]<0 \end{eqnarray} $
(8) 同时, 当LMIs (7)和(8)成立时, 我们可以得到:
$ \begin{align*} \dot{V}(t)\leq -{\pmb y}^{\rm T}(t){\pmb y}(t)+\gamma^2{\pmb \Delta P}^{\rm T}_d(t){\pmb \Delta P_d}(t) \end{align*} $
因为${\pmb x}(t)$在$t$上连续, 所以$\dot{V}(t)$在$t$上也连续.因此对不等式两边同时从$0$到$\infty$对$t$进行积分, 可得:
$ \begin{align*} V(\infty)-V(0)\leq &\int^{\infty}_{0}[-{\pmb y}^{\rm T}(t){\pmb y}(t)+\\ &\gamma^2{\pmb \Delta P}^{\rm T}_d(t){\pmb \Delta P_d}(t)]{\rm d}s \end{align*} $
从而在零初始条件下,
$ \begin{align*} \int^{\infty}_{0}[-{\pmb y}^{\rm T}(t){\pmb y}(t)+\gamma^2{\pmb\Delta P}^{\rm T}_d(t){\pmb\Delta P_d}(t)]{\rm d}s \geq 0 \end{align*} $
即, 对任意非零${\pmb\Delta P_d}(t) \in L_2[0, +\infty)$以及给定的$\gamma$, $\Arrowvert {\pmb y}(t)\Arrowvert_2 \leq \gamma\Arrowvert {\pmb\Delta P_d}\Arrowvert_2 $.在${\pmb\Delta P_d}(t)=0$的情况下, 存在$\varepsilon>0$使得${\pmb x}(t)\ne 0$时, $\dot{V}(t)\leq -\varepsilon \Arrowvert {\pmb x}(t)\Arrowvert_2$.因此, 系统(6)渐近稳定并具$H_{\infty}$范数界.
3.2 考虑DoS攻击情况下的${\pmb H_\infty}$稳定性分析
本节将在DoS攻击发生时, 基于弹性事件触发机制(4)对系统进行稳定性分析, 找出弹性触发参数$\sigma_r$以及所能容忍的最大DoS攻击持续时间.
定理1.对于给定的标量$\sigma>0$, $\bar{d}>0$, $\gamma>0$, 当存在实矩阵$R>0$, $\Omega>0$, 对称矩阵$Q, U$满足$U+\bar{d}Q>0$, 实矩阵$Y_1$, $Y_2$以及给定的控制器增益矩阵$K$使得LMIs (7)和(8)成立, 那么在弹性事件触发机制(4)下, 系统(1)渐近稳定, 并且$\sigma_r$满足:
$ \begin{equation} \sigma_r \leq (\sqrt[\tau_M+1]{\sqrt{\sigma}+1}-1)^2 \end{equation} $
(9) 同时, 当$\sigma_r$已知的情况下, 由式(10)可以得到系统所能容忍的最大DoS攻击持续时间
$ \begin{equation} \tau_{\rm dos}\leq \tau_{M}h \leq \lfloor[{\rm log}_{1+\sqrt{\sigma_r}}(1+\sqrt{\sigma})]\rfloor h \end{equation} $
(10) 其中, $\lfloor*\rfloor$表示向下取整.
证明.为了符号表示方便, 我们假设在两次成功传输时刻的区间$[t_k, t_{k+1})$存在$\tau_M$个由于DoS攻击所造成的未成功传输但是触发的状态${\pmb x}(r_j)$, 其中$t_k=r_0 < r_1 < r_2 < \cdots < r_{\tau_M} < r_{\tau_M+1}=t_{k+1}$.
因此, 区间$[t_k, t_{k+1})$可以分为多个小区间$[r_j, r_{j+1}), j\in\{0, 1, 2, \cdots, \tau_M\}$.
$ \begin{align*} &\vert {\pmb e}(t)\vert=\vert {\pmb x}(t)-{\pmb x}(t_k)\vert\leq\\ &~~~~~~~~~~~~\sum^{j-1}_{p=0}\vert {\pmb x}(r_{p+1})-{\pmb x}(r_p) \vert+\vert {\pmb x}(t)-{\pmb x}(r_j)\vert \end{align*} $
其中, $t\in[r_j, r_{j+1}), t=r_j+lh, l\in {\bf N}$.应用弹性事件触发机制(4),
$ \begin{align*} &\vert {\pmb x}(t)-{\pmb x}(r_j)\vert \leq \sqrt{\sigma_r}\vert {\pmb x}(r_j)\vert \\ &\vert {\pmb x}(r_{p+1})-{\pmb x}(r_p)\vert \leq \sqrt{\sigma_r}\vert {\pmb x}(r_{p})\vert \end{align*} $
因此
$ %\begin{align*} %&\vert e(t)\vert=\vert x(t)-x(t_k)\vert\\ %&~~~~~~~~~~~~\leq \sum^{j-1}_{p=0}\sqrt{\sigma_r}\vert x(r_p) \vert+\sqrt{\sigma_r}\vert x(r_j)\vert\\ %&~~~~~~~~~~~~=\sum^{j}_{p=0}\sqrt{\sigma_r}\vert x(r_p) \vert %\end{align*} \begin{align*} &\vert {\pmb e}(t)\vert=\vert {\pmb x}(t)-{\pmb x}(t_k)\vert=\sum^{j}_{p=0}\sqrt{\sigma_r}\vert {\pmb x}(r_p) \vert \end{align*} $
又由$\vert {\pmb x}(r_{p+1})-{\pmb x}(r_p)\vert \leq \sqrt{\sigma_r}\vert {\pmb x}(r_{p})\vert$可以得到$\vert {\pmb x}(r_{p+1})\vert \leq (1+\sqrt{\sigma_r})\vert {\pmb x}(r_{p})\vert$, 进一步可得,
$ \begin{align*} &\vert {\pmb x}(r_{p+1}) \vert \leq (1+\sqrt{\sigma_r})^{p+1}\vert {\pmb x}(t_k)\vert, \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~p=0, 1, \cdots, j-1 \end{align*} $
所以
$ \begin{align} &\vert {\pmb e}(t)\vert=\vert {\pmb x}(t)-{\pmb x}(t_k)\vert\leq\nonumber \\ &~~~~~~~~~~~\sum^{j}_{p=0}\sqrt{\sigma_r}(1+\sqrt{\sigma_r})^{p}\vert {\pmb x}(t_k) \vert \leq\nonumber \\ &~~~~~~~~~~~((1+\sqrt{\sigma_r})^{\tau_M+1}-1)\vert {\pmb x}(t_k)\vert \end{align} $
(11) 由于$t\in[r_j, r_{j+1})$, 数据包没有成功传输, 因此,
$ \begin{align} \vert {\pmb x}(t)-{\pmb x}(t_k)\vert \leq \sqrt{\sigma} \vert {\pmb x}(t_k)\vert \end{align} $
(12) 结合式(11)和(12)即可以得到定理1.
3.3 弹性事件触发机制和负载频率控制器协同设计
本节将在第3.1节和第3.2节稳定性分析的基础上, 对弹性事件触发矩阵和控制器进行联合设计, 从而达到理想的控制效果.
定理2.对于给定的参数$\gamma>0$, $\bar{d}>0$, 在弹性事件触发通信机制(4)情况下, 存在正定矩阵$R$, $\Omega$, 对称矩阵$Q$, $U$满足$U+\bar{d}Q>0$, 以及实矩阵$P$, $Y_1$和$Y_2$使得下列不等式成立, 此时系统(1)渐近稳定, $H_{\infty}$控制器增益$K=K_c(CP)^{+}$:
$ \begin{eqnarray} \left[\begin{array}{cc} \widetilde{\widetilde{\Pi}}_1&\Gamma_2^{\rm T}Y_2^{\rm T}\\ *&-\hat{R}\\ \end{array}\right]<0 \end{eqnarray} $
(13) $ \begin{eqnarray} \left[\begin{array}{cc} \widetilde{\widetilde{\Pi}}_1&\Gamma_1^{\rm T}Y_1\\ *&-\hat{R}\\ \end{array}\right]<0 \end{eqnarray} $
(14) 其中
$ \begin{align*} &\widetilde{\widetilde{\Pi}}_1:=\ell_1^{\rm T} Q\ell_1-\ell_2^{\rm T} Q\ell_2+\bar{d}^2e_8^{\rm T}Re_8-\gamma^2e_{10}^{\rm T}e_{10}-\\ &~~~~~~~(1+a)\Gamma_2^{\rm T}\hat{R}\Gamma_2+{\rm Sym}\{\widetilde{\ell}_3^{\rm T}U\ell_4+\bar{d}\ell_4^{\rm T}Q\widetilde{\ell}_5-\\ &~~~~~~~\Gamma_1^{\rm T}[aY_1+(1-a)Y_2]\Gamma_2-(e_1+e_8)^{\rm T}[Pe_8-\\ &~~~~~~~APe_1+BK_c(e_9+e_2)-Fe_{10}]\}-e_9^{\rm T}\Omega e_9+\\ &~~~~~~~\sigma_r (e_2+e_9)^{\rm T}\Omega (e_2+e_9)+e_1^{\rm T}(CP)^{\rm T}CPe_1-\\ &~~~~~~~(2-a)\Gamma_1^{\rm T}\hat{R}\Gamma_1\\ &\widetilde{\ell}_3={\rm col}\{e_8, e_1-e_3\}, \widetilde{\ell}_5={\rm col}\{e_8, 0\} \end{align*} $
证明.选择非奇异实矩阵$P$[18], 令${\pmb x}(t)=P{\pmb z}(t)$.则${\pmb u}(t)=-KC{\pmb x}(t)=-KCP{\pmb z}(t)=-K_c{\pmb z}(t)$, $K_c=KCP$, 当$t\in [t_k+d_{\tau_k}, t_{k+1}+d_{\tau_{k+1}})$系统(1)变形为
$ \begin{align} \dot{{\pmb z}}(t)=\, &P^{-1}AP{\pmb z}(t)-P^{-1}BK_c{\pmb z}(t_k)+\nonumber\\ &P^{-1}F{\pmb\Delta P_d}(t) \end{align} $
(15) 与第2节中相似, 对$d(t)$和${\pmb e_z}(t)$进行定义, 其中$d(t)$的定义与第3节中相同.
$ \begin{eqnarray*} {\pmb e_z}(t)= \begin{cases} 0, &t\in I_{1}\\ {\pmb z}(t_{k})-{\pmb z}(t_{k}+lh), &t\in I^l_{2}\\ {\pmb z}(t_{k})-{\pmb z}(t_{k}+m_kh), &t\in I_{3}\\ \end{cases} \end{eqnarray*} $
则系统(1)可以进一步变形为
$ \begin{align} &\dot{{\pmb z}}(t)=P^{-1}AP{\pmb z}(t)-P^{-1}BK_c({\pmb e_z}(t)+\nonumber\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\pmb z}(t-d(t)))+P^{-1}F{\pmb\Delta P_d}(t) \end{align} $
(16) 本节基于状态${\pmb z}$选择与之前相同的Lyapunov-Krasovskii泛函以及相同的证明方法, 不同的是在第2.1节中控制器增益$K$是预先给出的, 而定理2中可以同时求出控制器增益$K$以及事件触发矩阵.定义${\pmb\xi_2}:=\text{col}\{{\pmb z}(t)$, ${\pmb z}(t-d(t))$, ${\pmb z}(t-\bar{d})$, $\frac{1}{d(t)}\int_{t-d(t)}^{t}{\pmb z}(s){\rm d}s$, $\frac{1}{\bar{d}-d(t)}\int_{t-\bar{d}}^{t-d(t)}{\pmb z}(s){\rm d}s$, $\frac{1}{d^2(t)}\int_{t-d(t)}^{t}(t-s){\pmb z}(s){\rm d}s$, $\frac{1}{(\bar{d}-d(t))^2}\int_{t-\bar{d}}^{t-d(t)}(t-d(t)-s){\pmb z}(s){\rm d}s$, $\dot{{\pmb z}}(t)$, ${\pmb e_z}(t)$, ${\pmb\Delta P_d}(t)\}$.
从而, 可得到
$ \begin{align*} \dot{V}(t)\leq {\pmb\xi_2}^{\rm T}(\widetilde{\Pi}_1+\Pi_2){\pmb\xi_2} \end{align*} $
$ \begin{align*} &\widetilde{\Pi}_1:=\ell_1^{\rm T} Q\ell_1-\ell_2^{\rm T} Q\ell_2+\bar{d}^2e_8^{\rm T}Re_8-(2-a)\Gamma_1^{\rm T}\hat{R}\Gamma_1-\\ &~~~~~~~(1+a)\Gamma_2^{\rm T}\hat{R}\Gamma_2+{\rm Sym}\{\widetilde{\ell}_3^{\rm T}U\ell_4+\bar{d}\ell_4^{\rm T}Q\widetilde{\ell}_5-\\ &~~~~~~~\Gamma_1^{\rm T}[aY_1+(1-a)Y_2]\Gamma_2\}-e_9^{\rm T}\Omega e_9-\gamma^2 e_{10}^{\rm T}e_{10}+\\ &~~~~~~~\sigma_r (e_2+e_9)^{\rm T}\Omega (e_2+e_9)+e_1^{\rm T}(CP)^{\rm T}CPe_1 \end{align*} $
此外
$ \begin{align*} &-2[{\pmb z}(t)+\dot{{\pmb z}}(t)]^{\rm T}[P\dot{{\pmb z}}(t)-AP{\pmb z}(t)+BK_c\times\\ &~~~~~~~~~~~~({\pmb z}(t-d(t))+{\pmb e_z}(t))-F{\pmb\Delta P_d}(t)]=0 \end{align*} $
因此可以得到: $\dot{V}(t)\leq {\pmb\xi_2}^{\rm T}(\widetilde{\widetilde{\Pi}}_1+\Pi_2){\pmb\xi_2}$, 使用Schur补即可得到式(13)和(14).
4. 仿真案例
本节我们将第3节中的相关结论应用于三域LFC控制系统中, 验证所提出的弹性事件触发机制的有效性, 联合求出控制器增益$K$和事件触发矩阵.弹性事件触发通信机制与三域电力系统LFC的统一框架如图 1所示, 其中的相关参数[19]见表 2.
表 2 带EVs三域LFC模型参数($i=1, 2, 3$)Table 2 Parameters of three-area LFC model including EV aggregators ($i=1, 2, 3$)参数 取值 $M_i$ 10 $D_i$ 1.0 $T_{gi}$ 0.1 $T_{ci}$ 0.3 $T_{ri}$ 10 $F_{pi}$ 0.05 $R_i$ 0.05 $\beta_i$ 21 $K_{EVi}$ 1 $T_{EVi}$ 1 $T_{ij}$ 0.026 令$h=0.01$, 控制器增益$K_{Pi}=0.2$, $K_{Ii}=0.2$, $i=1, 2, 3$, 分配比例$\alpha_0=0.9$, $\alpha_1=0.1$.如表 3所示, 给定$\sigma$和$\sigma_r$, 基于定理1我们可以得到DoS攻击最大持续时间$\tau_{\rm dos}$的值.从中可以看出弹性事件触发机制可以容许DoS攻击所造成的数据包丢失, 当攻击持续时间小于$\tau_{\rm dos}$时, 系统保持稳定.此外, 当给定$\sigma$和$\tau_M$时, 也可以求出$\sigma_r$的值.从表 3可以看出, $\sigma_r$越大, $\tau_{\rm dos}$越小, 这是因为$\sigma_r$越大, 信道上传输的数据量越小, 从而在保证系统稳定的情况下, 所能允许的DoS攻击造成的数据丢失量越小, 因此系统所能承受的最大攻击持续时间越小.当$\sigma=\sigma_r=0.01$时, 系统触发次数为389次, 而根据文献[7$-$8]所提方法可以得到触发次数分别为398次和457次, 因此可以看出本文所提方法可以得到更少的触发次数, 有利于节约通信资源.
表 3 给定不同的$\sigma$和$\sigma_r$, 最大连续丢包量$\tau_M$和攻击持续时间$\tau_{{\rm dos}}$的值Table 3 $\tau_M$ and $\tau_{{\rm dos}}$ for different $\sigma$ and $\sigma_r$$\sigma$ 0.1 0.1 0.3 0.3 0.5 0.5 0.5 $\sigma_r$ 0.01 0.03 0.01 0.03 0.01 0.03 0.05 $\tau_M$ 2 1 4 2 5 3 2 $\tau_{{\rm dos}}$ 0.02 0.01 0.04 0.02 0.05 0.03 0.02 基于定理2, 给定$\sigma_r=0.01$时, 使用Matlab/LMI工具箱, 可以同时得到控制器增益和弹性事件触发矩阵如下:
$ \begin{align*} &K=\left[\begin{array}{cccccc} 2.38&-0.06&0&0&0&0\\ 0&0&2.38&-0.06&0&0\\ 0&0&0&0&2.38&-0.06\\ \end{array}\right]\\ &\Omega={\rm diag}\{\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3\} \end{align*} $
此时, 系统的响应曲线如图 2所示, 由图中可以看出系统处于稳定状态.
$ \begin{align*} &\Omega_i=\left[\begin{array}{ccccccc} 3.64&-172.49&-11.01&85.51&20.83&-35.07&-2.18\\ -172.49&34\, 113.53&-477.46&-13\, 091.96&-15\, 595.51&-2\, 455.89&133.46\\ -11.01&-477.46&2\, 559.74&40\, 074.27&-171.10&339.19&-5.25\\ 85.51&-13\, 091.96&40\, 074.27&992\, 118.76&-1\, 436&-215.22&-11.12\\ 20.83&-15\, 595.51&-171.10&-1\, 436&8\, 599&2\, 037.21&-25.42\\ -35.07&-2\, 455.89&339.19&-215.22&2\, 037.21&1\, 125.41&-2.55\\ -2.18&133.46&-5.25&-11.12&-25.42&-2.55&7.96\\ \end{array}\right], \quad i=1, 2, 3 \end{align*} $
5. 结论
本文将电动汽车引入电力CPS中, 提出了一种弹性事件触发机制, 能够容忍DoS攻击所造成的数据包丢失, 并给出了系统所能承受的最大DoS攻击持续时间.构建新型Lyapunov-Krasovskii泛函, 对系统进行稳定性分析, 并联合求出弹性控制器增益和事件触发矩阵.所得到的时滞依赖稳定性条件中, 矩阵$U$, $Q$只需要对称即可, 放松了对其正定性的要求.由于所提出的弹性事件触发通信机制, 在保证电力CPS稳定的情况下, LFC控制器输入只在需要的时候进行更新, 并可以消除DoS攻击对系统稳定性所造成的不利影响.最后, 通过三域电力系统仿真, 验证了所提出方法的有效性.
-
图 2 美国某大学校园电网的网络拓扑
Fig. 2 The network topology of the campus network of an American university
图 3 校园能源社区系统管控流程
Fig. 3 Management and control process of campus energy community system
图 4 夏季场景中6个目标楼宇的总体社会成本与不同室内温度设置的比较
Fig. 4 Comparison of the total social cost of six target buildings and different indoor temperature settings in summer
表 1 用于训练目标建筑物的隐藏神经元的数量和训练结果的回归R值
Table 1 The number of hidden neurons used to train the target building and the regression R value of training results
编号 建筑名 隐藏神经元(个) R值 1 里奇中心 30 0.88 2 法律大楼 20 0.96 3 斯特姆礼堂 30 0.96 4 丹尼尔大楼 30 0.86 5 纽曼中心 50 0.86 6 奥林中心 5 0.94 
下载: 导出CSV
-
[1] Wang F Y. Shadow Systems: A New Concept for Nested and Embedded Co-simulation for Intelligent Systems. Tucson, Arizona State, USA: University of Arizona, 1994. [2] 王飞跃.平行系统方法与复杂系统的管理和控制.控制与决策, 2004, 19(5): 485-489, 514 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/kzyjc200405002Wang Fei-Yue. Parallel system methods for management and control of complex systems. Control and Decision, 2004, 19(5): 485-489, 514 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/kzyjc200405002 [3] 王飞跃.关于复杂系统的建模、分析、控制和管理.复杂系统与复杂性科学, 2006, 3(2): 26-34 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/fzxtyfzxkx200602004Wang Fei-Yue. On the modeling, analysis, control and management of complex systems. Complex Systems and Complexity Science, 2006, 3(2): 26-34 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/fzxtyfzxkx200602004 [4] 王飞跃.平行控制:数据驱动的计算控制方法.自动化学报, 2013, 39(4): 293-302 doi: 10.3724/SP.J.1004.2013.00293Wang Fei-Yue. Parallel Control: A Method for Data-Driven and Computational Control. Acta Automatica Sinica, 2013, 39(4): 293-302. doi: 10.3724/SP.J.1004.2013.00293 [5] 王飞跃.平行控制与数字孪生:控制理论的回顾与展望.智能科学与技术学报, 2020, 2(3): 213-222Wang Fei-Yue. Parallel control and digital twins: Control Theory revisited and reshaped. Chinese Journal of Intelligent Science and Technology, 2020, 2(3): 213-222 [6] 杨林瑶, 陈思远, 王晓, 张俊, 王成红.数字孪生与平行系统:发展现状、对比及展望.自动化学报, 2019, 45(11): 2001-2031 doi: 10.16383/j.aas.2019.y000002Yang Lin-Yao, Chen Si-Yuan, Wang Xiao, Zhang Jun, Wang Cheng-Hong. Digital twins and parallel systems: State of the art, comparisons and prospect. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(11): 2001-2031 doi: 10.16383/j.aas.2019.y000002 [7] 王飞跃, 刘德荣, 熊刚, 程长建, 赵冬斌.复杂系统的平行控制理论及应用.复杂系统与复杂性科学, 2012, 9(3): 1-12 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/fzxtyfzxkx201203001Wang Fei-Yue, Liu De-Rong, Xiong Gang, Cheng Chang-Jian, Zhao Dong-Bin. Parallel control theory of complex systems and applications. Complex Systems and Complexity Science, 2012, 9(3): 1-12 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/fzxtyfzxkx201203001 [8] Wang F Y, Wang X, Li L X, Li L. Steps toward parallel intelligence. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, 2016, 3(4): 345-348 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/zdhxb-ywb201604001 [9] 李力, 林懿伦, 曹东璞, 郑南宁, 王飞跃.平行学习—机器学习的一个新型理论框架.自动化学报, 2017, 43(1): 1-8 doi: 10.16383/j.aas.2017.y000001Li Li, Lin Yi-Lun, Cao Dong-Pu, Zheng Nan-Ning, Wang Fei-Yue. Parallel learning — a new framework for machine learning. Acta Automatica Sinica, 2017, 43(1): 1-8 doi: 10.16383/j.aas.2017.y000001 [10] Wang F Y, Zhang J, Wei Q L, Zheng X H, Li L. PDP: Parallel dynamic programming. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, 2017, 4(1): 1-5 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/gpxygpfx200512007 [11] Wang F Y, Zhang J J, Zheng X H, Yuan Y, Dai X X, Zhang J, et al. Where does AlphaGo go: From church-turing thesis to alphago thesis and beyond. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, 2016, 3(2): 113-120 http://cn.bing.com/academic/profile?id=1a2559dd75dbcccdd436bdd38af37c14&encoded=0&v=paper_preview&mkt=zh-cn [12] Wei Q L, Li H Y, Wang F Y. Parallel control for continuous-time linear systems: A case study. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, 2020, 7(4): 919-928 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/zdhxb-ywb202004001 [13] 王飞跃. X5.0:平行时代的平行智能体系.中国计算机学会通讯, 2015, 11(5): 10-14 http://d.old.wanfangdata.com.cn/NSTLQK/NSTL_QKJJ0210208514/Wang Fei-Yue. X5.0: parallel intelligence in parallel age. Communications of CCF, 2015, 11(5): 10-14 http://d.old.wanfangdata.com.cn/NSTLQK/NSTL_QKJJ0210208514/ [14] (Koller D, Friedman N[著], 王飞跃, 韩素青[译].概率图模型:原理与技术.北京:清华大学出版社, 2015.Koller D, Friedman N[Author], Wang Fei-Yue, Han Su-Qing[Translator]. Probabilistic Graphical Models. Beijing: Tsinghua University Press, 2015. [15] Singhal A. Introducing the knowledge graph: Things, not strings[Online], available: https://www.blog.google/products/search/introducing-knowledge-graph-things-not/, February 26, 2020 [16] 王飞跃.软件定义的系统与知识自动化:从牛顿到默顿的平行升华.自动化学报, 2015, 41(1): 1-8 doi: 10.16383/j.aas.2015.c000001Wang Fei-Yue. Software-defined systems and knowledge automation: A parallel paradigm shift from Newton to Merton. Acta Automatica Sinica, 2015, 41(1): 1-8 doi: 10.16383/j.aas.2015.c000001 [17] Tan K C, Lee T H, Khor E F. Evolutionary algorithms for multi-objective optimization: Performance assessments and comparisons. Artificial Intelligence Review, 2002, 17(4): 251-290 doi: 10.1023-A-1015516501242/ [18] 王飞跃.词计算和语言动力学系统的计算理论框架.模式识别与人工智能, 2001, 14(4): 377-384 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/mssbyrgzn200104001Wang Fei-Yue. Computing with words and a framework for computational linguistic dynamic systems. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2001, 14(4): 377-384 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/mssbyrgzn200104001 [19] 王飞跃.词计算和语言动力学系统的基本问题和研究.自动化学报, 2005, 31(6): 844-852 http://www.aas.net.cn/article/id/15941Wang Fei-Yue. Fundamental issues in research of computing with words and linguistic dynamic systems. Acta Automatica Sinica, 2005, 31(6): 844-852 http://www.aas.net.cn/article/id/15941 [20] 王飞跃, 张俊.智联网:概念、问题和平台.自动化学报, 2017, 43(12): 2061-2070 doi: 10.16383/j.aas.2017.y000006Wang Fei-Yue, Zhang Jun. Internet of minds: The concept, issues and platforms. Acta Automatica Sinica, 2017, 43(12): 2061-2070 doi: 10.16383/j.aas.2017.y000006 [21] 王飞跃, 张军, 张俊, 王晓.工业智联网:基本概念、关键技术与核心应用.自动化学报, 2018, 44(9): 1606-1617 doi: 10.16383/j.aas.2018.y000004Wang Fei-Yue, Zhang Jun, Zhang Jun, Wang Xiao. Industrial internet of minds: Concept, technology and application. Acta Automatica Sinica, 2018, 44(9): 1606-1617 doi: 10.16383/j.aas.2018.y000004 [22] Roweis S T, Saul L K. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, 2001, 290(5500): 2323-2326 doi: 10.1126-science.290.5500.2323/ [23] Almalaq A, Hao J, Zhang J J, Wang F Y. Parallel building: A complex system approach for smart building energy management. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, 2019, 6(6): 1452-1461 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/zdhxb-ywb201906015 [24] 马世乾, 崇志强, 何富林, 郝君, 张俊, 宫晓燕.平行能源系统:博弈的复杂社会技术系统.电力系统及其自动化学报, 2019, 31(8): 59-65, 85 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/dlxtjqzdhxb201908011Ma Shi-Qian, Chong Zhi-Qiang, He Fu-Lin, Hao Jun, Zhang Jun, Gong Xiao-Yan. Parallel energy systems: A game method for composite social-technical systems. Proceedings of the CSU – EPSA, 2019, 31(8): 59-65, 85 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/dlxtjqzdhxb201908011 [25] Zhang J J, Gao D W, Zhang Y C, Wang X, Zhao X Y, Duan D L, et al. Social energy: Mining energy from the society. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, 2017, 4(3): 466-482 http://d.old.wanfangdata.com.cn/OAPaper/oai_arXiv.org_1311.5158 [26] 张俊, 王飞跃, 方舟.社会能源:从社会中获取能源.智能科学与技术学报, 2019, 1(1): 7-20 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/hjbh201018018Zhang Jun, Wang Fei-Yue, Fang Zhou. Social energy: Mining energy from the society. Chinese Journal of Intelligent Science and Technology, 2019, 1(1): 7-20 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/hjbh201018018 [27] Wang F Y, Zhang J J, Qin R, Yuan Y. Social energy: Emerging token economy for energy production and consumption. IEEE Transactions on Computational Social Systems, 2019, 6(3): 388-393 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=10.1177/0306312786016002008 期刊类型引用(17)
1. 刘雪飞，苏师师，胡星，杨文龙，孟祥斌. 移动式平行仓库保障智能系统的研究. 自动化应用. 2025(03): 240-245 . 
百度学术2. 刘雪飞，苏师师，焦冬冬，胡星，孟祥斌，杨文龙. 基于PKS的移动式平行阵地保障智能系统研究. 自动化与仪器仪表. 2025(02): 304-309+315 . 百度学术3. 林飞，王飞跃，田永林，丁显廷，倪清桦，王静，申乐. 平行药物系统：基于大语言模型和三类人的框架与方法. 智能科学与技术学报. 2024(01): 88-99 . 百度学术4. 张腾超，田永林，林飞，倪清桦，宋平，戴星原，李娟娟，伍乃騏，李鼎烈，王飞跃. 平行旅游：基础智能驱动的智慧出游服务. 智能科学与技术学报. 2024(02): 164-178 . 百度学术5. 李相俊，刘晓宇，韩雪冰，杨佳涛，李睿. 电化学储能电站数字化智能化技术及其应用展望. 供用电. 2023(08): 3-12 . 百度学术6. 李诗濛，王飞跃. 平行设计：面向平行制造体系的非标机械方案设计流程. 智能科学与技术学报. 2023(02): 274-282 . 百度学术7. 毛子泉，高家隆，龚建兴，刘权. 虚实结合仿真在军事领域的应用综述. 系统仿真学报. 2023(11): 2289-2311 . 百度学术8. 郭超，鲁越，王晓，易达，王虓，王飞跃. 人机物CPSS智能融合的平行创作架构与关键技术研究. 智能科学与技术学报. 2022(03): 344-354 . 百度学术9. 陈枫，孙传恒，邢斌，罗娜，刘海深. 农业元宇宙:关键技术、应用情景、挑战与展望. 智慧农业(中英文). 2022(04): 126-137 . 百度学术10. 张晓东，许丹丹，王良，梁弘，吕宜生，王飞跃. 基于复杂系统理论的平行城市模型架构与计算方法. 指挥与控制学报. 2021(01): 28-37 . 百度学术11. 孙滔，周铖，段晓东，陆璐，陈丹阳，杨红伟，朱艳宏，刘超，李琴，王晓，沈震，瞿逢重，蒋怀光，王飞跃. 数字孪生网络(DTN):概念、架构及关键技术. 自动化学报. 2021(03): 569-582 . 本站查看12. 李诗濛，李俊青，王斌，王飞跃. 迈向“6S”智慧家居：智能科技与智慧生活. 电器. 2021(09): 46-51 . 百度学术13. 王丹力，郑楠，刘成林. 综合集成研讨厅体系起源、发展现状与趋势. 自动化学报. 2021(08): 1822-1839 . 本站查看14. 袁利，程铭，王磊. 航天器飞行控制仿真与平行系统. 宇航学报. 2021(08): 982-988 . 百度学术15. 梁恩云，高琛，叶少槟，赖粤. 基于数字孪生的自动驾驶交通场景构建研究. 现代计算机. 2021(30): 1-10 . 百度学术16. 李小双，王晓，杨林瑶，田永林，王雨桐，张俊，王飞跃. 元电网MetaGrid:基于平行电网的新一代智能电网的体系与架构. 智能科学与技术学报. 2021(04): 387-398 . 百度学术17. 吕鹏. 人工智能参与社会治理的系统化推进模式. 社会治理. 2020(09): 44-49 . 百度学术其他类型引用(14)
-
下载:
计量
- 文章访问数: 2325
- HTML全文浏览量: 355
- PDF下载量: 670
- 被引次数: 31
