Neural Network Embedded Learning Control for Nonlinear System With Unknown Dynamics and Disturbance
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摘要:
针对带有不确定性与扰动的非线性系统的性能优化问题, 提出一种基于神经网络嵌入的学习控制方法. 对一类常见的 Lyapunov 函数导数形式, 将神经网络控制器集成到某种对系统稳定的基准控制器中, 其意义在于将原控制器改进为满足Lyapunov稳定的神经网络参数可调控制器, 从而能够利用先进的神经网络学习技术实现控制器的在线优化. 建立了跟踪误差的等效目标函数, 避免了对系统输入–输出的辨识问题. 建立了一种未知非线性与扰动等效值自适应方法, 并依此方法设计基准控制器. 以RBF (Radial basis function) 反步自适应控制、基于卷积神经网络的滑模控制和深度强化学习控制为对比方法, 对带有死区、饱和、三角函数等数值与物理非线性模型进行仿真分析以测试方法有效性, 并针对上肢康复机器人控制问题进行虚拟实验以验证该方法的实用性. 仿真与实验结果表明, 该方法能在Lyapunov 稳定条件下有效优化基础控制器性能, 对比结果证实了该方法的实用性与先进性.
Abstract:To address the problem of controlling performance optimization for the nonlinear uncertain system with disturbance, a neural network embedded learning control scheme is proposed in this paper. This method works on a common formal derivative of Lyapunov function, in which a neural network controller is integrated with a benchmark controller that is stable for the system. The main contribution of our work lies in that the benchmark controller is improved to a new one with tunable parameters under Lyapunov stability condition, and the new controller can be online optimized by using frontier technology of neural network. Hence an equivalent objective function based on tracking errors is characterized in this paper, avoiding identification to the relations between inputs and outputs of system. We use a value adaptive method for estimating equivalent term composed of unknown nonlinear function and disturbance, and the benchmark controller is designed based on this method. Some baseline methods are employed for comparison with the proposed method, which contain adaptive control based on RBF (Radial basis function)-backstepping, sliding mode control based on convolutional neural network and deep reinforcement learning control. And for verifying the effectiveness of our method we test some numerical and physical nonlinear model simulations, which contain trigonometric function saturation and dead zone nonlinearities. And virtual experiments of robot arm controlling of upper limb rehabilitation to be tested to verify the practicability of our method. These results show that the method proposed is able to optimize control performance of benchmark controller with Lyapunov stability. And the results of comparisons of tests show our method is efficient and advanced.
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高超声速飞行器一般是指飞行速度大于 5 马赫的飞行器. 由于高超声速飞行器在巡航侦察、远程快速通信、远程精确打击等领域具有独特的优势, 近年来在民用和军用领域得到相当多的关注, 并成为世界各国研究的热点[1-9]. 高超声速飞行器在飞行过程中具有快时变、强非线性、强耦合等特点, 且与传统的飞行器相比, 还具有飞行环境复杂、飞行包线跨度大、气动特性变化剧烈等特点, 这使其控制系统的设计成为一项极具挑战的研究课题[2]. 在高超声速飞行器模型处理方面, 文献[3]针对高超声速飞行器的小扰动线性化模型, 基于模糊方法设计动态输出反馈控制器. 当高超声速飞行器进行大跨度机动飞行时, 飞行条件有可能发生改变, 这种小扰动的模型简化可能会导致控制系统性能变差甚至失效. 输入输出线性化方法由于放松了在平衡点附近这一约束, 受到大量学者的关注, 并与其他非线性控制方法如自适应滑模控制律[4]、鲁棒控制律[5]和高阶动态滑模控制律[6]相结合广泛应用于高超声速飞行器的控制系统设计.
与传统的渐近稳定控制相比, 有限时间控制因其具有高精度、对干扰的强鲁棒性和快速收敛等特性, 在高超声速飞行器控制方面受到广泛的关注[10-14]. 文献[9]研究存在外部干扰时高超声速飞行器的有限时间跟踪控制问题. 文献[15]研究高超声速飞行器纵向模型存在外界干扰和模型参数不确定情形下的有限时间跟踪问题. 文献[16]基于扰动观测器研究高超声速飞行器的固定时间控制问题. 在传统的有限时间控制中, 收敛时间是依赖于初始状态的, 即使是稍后提出的固定时间控制器, 其收敛时间也是依赖于初始状态的, 但其收敛时间具有一个不依赖初始条件的上界. 在实际工程中, 尤其高超声速飞行器飞行环境比较复杂, 初始条件无法事先获得也很难精确在线测量, 因此实际收敛时间难以得到. 近年来, 一种基于时变高增益的指定时间控制方法又重新受到学者们的重视. 此方法至少可以追溯到经典的最优控制方法[17-18]. 此后, 这种方法被经典的导弹比例制导所采用[19]. 文献[20]针对单输入非线性标准型系统, 基于状态变换提出一种系统性的指定时间控制器设计方法. 借助参量Lyapunov方程的一些性质, 文献[21]和文献[22]针对一般线性系统给出有限时间和指定时间设计方法, 并提出有界线性时变控制器.
在高超声速飞行器有限时间/固定时间控制中, 滑模控制和反步法是常用方法[9, 23-24], 然而此类方法在控制设计过程中会带来一些缺陷. 在滑模控制中, 由于系统惯性, 状态在到达滑模面时, 仍有一定的速度, 因此会来回穿越滑模面, 从而形成高频抖振. 这会严重影响系统的控制性能. 目前针对抖振问题的研究有很多, 许多学者从不同的角度提出一些削弱抖振的方法, 如“边界层”[25]、趋近律[26]、高阶滑模[27]、扇形区域[28]、降低切换项增益[29]等方法. 但是这些方法只能削弱抖振, 并不能从根本上消除抖振. 反步法采用从上而下的递归设计思路, 设计思路简单, 但是对高超声速飞行器这样的高阶系统进行控制器设计时会出现多次求导, 造成“级数膨胀”, 增加计算复杂度. 为解决此问题, 一些学者通过在每一级设计过程中采用滤波以避免求导[1, 30], 但是此类方法仍然比较复杂.
基于以上的分析, 本文采用高超声速飞行器纵向输入输出线性化模型进行控制系统的设计. 将高超声速飞行器输入位置的干扰转化为线性系统在匹配干扰下的控制器设计问题. 借助参量Lyapunov方程的性质, 设计一种光滑的指定时间时变高增益控制律. 相比于传统的有限时间/固定时间控制方法, 该算法不会出现抖振现象, 同时收敛时间不依赖于初始状态且可以事先设定. 该控制器可以使高度和速度在指定时间跟踪到参考信号.
1. 数学模型和问题描述
美国国家航空航天局兰利研究中心提出了如下的高超声速飞行器纵向运动模型[4-5]
$$\left \{ \begin{aligned} \dot{v} & =\frac{F\cos \left( \alpha \right) -D}{m}-\frac{\mu \sin \left( \eta \right) }{r^{2}} \\ \dot{\eta} & =\frac{L+F\sin \left( \alpha \right) }{mv}-\frac{\left( \mu-v^{2}r\right) \cos \left( \eta \right) }{vr^{2}} \\ \dot{h} & =v\sin \left( \eta \right) \\ \dot{\alpha} & =q-\dot{\eta} \\ \dot{q} & =\frac{M_{yy}}{I_{yy}} \end{aligned} \right. $$ (1) 其中, $ L=\bar{q}SC_{\mathrm{L}} $, $ D=\bar{q}SC_{\mathrm{D}} $, $ F=\bar{q}SC_{\mathrm{T}} $, $M_{yy}= \bar{q}S\bar{c}\left[ C_{\mathrm{M}}\left( \alpha \right) +C_{\mathrm{M}}\left( \delta _{\mathrm{E}}\right) +C_{\mathrm{M}}\left( q\right) \right]$, $ r=h+R_{\mathrm{e}} $, $C_{\mathrm{L}}= 0.620\,3\alpha$, $C_{\mathrm{D} }=0.645\,0\alpha^{2}+0.004\,337\,8\alpha+0.003\,772$,
$$ C_{\mathrm{T}}=\left \{ \begin{aligned} &0.025\,76\beta, & \beta \leq1 \\ &0.022\,4+0.003\,36\beta, & \beta>1 \end{aligned} \right. $$ $C_{\mathrm{M}}\left( \alpha \right) =-0.035\alpha^{2} + 0.036\,617\alpha +5.326\,1 \times 10^{-6}$, $C_{\mathrm{M}}( q)\, =\,q(-6.796\alpha^{2}\;+$ $0.301\,5\alpha^{2}-\,0.228\,9 )\;\bar{c}/( 2v)$, $C_{\mathrm{M} }( \delta_{\mathrm{E}}) =c_{\mathrm{e}}( \delta _{\mathrm{E}}+d_{2}( t) -\alpha )$, 这里$\bar{q}=\dfrac{1}{2}\rho v^{2}$是动压, $ v,\eta,h,\alpha $和$ q $分别是高超声速飞行器的速度、飞行航迹角、高度、攻角和俯仰角速率. $F,D,L,M_{yy}, \delta_{\mathrm{E}}$和$ \beta $分别是发动机推力、阻力、升力、俯仰力矩、升降舵偏角和发动机节流阀开度, $m,\rho,I_{yy},S, \mu, R_{\mathrm{e}},\bar{c},c_{\mathrm{e}},d_{2}\left( t\right)$分别表示高超声速飞行器的质量、空气密度、绕$ y $轴的转动惯量、参考面积、重力常数、地球半径、平均气动弦长、升降副翼弦长和有界匹配扰动.
发动机动力学方程可以表示为如下二阶微分方程的形式
$$ \ddot{\beta}=-2\xi \omega_{n}\dot{\beta}-\omega_{n}^{2}\beta+\omega_{n} ^{2}\beta_{\mathrm{c}}+\bar{d}_{1}\left( t\right) $$ 其中, $ \beta_{\mathrm{c}} $表示发动机节流阀开度指令, $ \omega_{n} $表示发动机动力学的无阻尼自然频率, $ \xi $为阻尼比, $ \bar{d}_{1}\left( t\right) $表示有界外部扰动. 由于$ \omega_{n}\neq0 $, 因此发动机动力学方程可进一步写成如下形式[4]
$$ \begin{equation} \ddot{\beta}=-2\xi \omega_{n}\dot{\beta}-\omega_{n}^{2}\beta+\omega_{n} ^{2}\left( \beta_{\mathrm{c}}+d_{1}\left( t\right) \right) \end{equation} $$ (2) 其中, $ d_{1}\left( t\right) =\bar{d}_{1}\left( t\right) /\omega_{n}^{2} $表示有界匹配扰动.
注 1. 本文参考了文献[4, 7, 9], 研究的高超声速飞行器气动外形是锥形体, 锥形体冲压发动机对攻角不敏感, 即$ C_{\mathrm{T}} $不包含$ \alpha $. 同时考虑到升降舵面积比较小, 因而升降舵偏转产生的升力可以忽略不计, 即$ C_{\mathrm{L}} $只包含$ \alpha $.
1.1 输入输出线性化模型
通过对速度求三次导、对高度求四次导可以使得控制输入出现在输出量的导数中, 因此系统(1)和(2)的相对阶是$3+4 = 7 $, 这恰好等于系统(1)和(2)的阶数. 因此可以利用反馈线性化方法来对系统(1)和(2)进行控制器设计. 具体过程如下[4]. 设
$$ \dot{v}=f_{1}\left( {\boldsymbol{x}}\right) ,\ddot{v}=\frac{{{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{1}}}\dot{{\boldsymbol{x}}}}{m},\dddot {v}=\frac{{{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{1}}}\ddot{{\boldsymbol{x}}}+\dot{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}{{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{2}}}\dot{{\boldsymbol{x}}}}{m} $$ 以及
$$ \begin{align*} &h^{\left( 1\right) }= v\sin \left( \eta \right) \\& h^{\left( 2\right) }= \dot{v}\sin \left( \eta \right) +v\dot{\eta} \cos \left( \eta \right) \\ &h^{\left( 3\right) }= \ddot{v}\sin \left( \eta \right) +2\dot{v} \dot{\eta}\cos \left( \eta \right) -v\dot{\eta}^{2}\sin \left( \eta \right)+ \\ & \qquad\quad v\ddot{\eta}\cos \left( \eta \right) \\ &h^{\left( 4\right) }= \dddot{v}\sin \left( \eta \right) +3\dddot{v} \dot{\eta}\cos \left( \eta \right) -3\dot{v}\dot{\eta}^{2}\sin \left( \eta \right)+ \\ &\quad\qquad 3\dot{v}\ddot{\eta}\cos \left( \eta \right) -3v\dot{\eta}\ddot{\eta} \sin \left( \eta \right)- \\ &\qquad\quad v\dot{\eta}^{3}\cos \left( \eta \right) +v\dddot{\eta}\cos \left( \eta \right) \end{align*} $$ 其中, $ {\boldsymbol{x}}=\left[ v,\eta,\alpha,\beta,h\right] ^{\mathrm{T}} $, ${{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{1}}}=m\frac{\partial f_{1}\left( {\boldsymbol{x}}\right)} {\partial {\boldsymbol{x}}},{{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{2}}} = \frac{\partial {{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{1}}}}{\partial {\boldsymbol{x}}}. {{\boldsymbol{\varphi}}_{\bf{1}}}=\frac{\partial f_{2}\left( {\boldsymbol{x}}\right) }{\partial {\boldsymbol{x}}},{{\boldsymbol{\varphi}}_{\bf{2}}}=\frac{\partial {{\boldsymbol{\varphi}}_{\bf{1}}}}{\partial {\boldsymbol{x}} }$,
$$ \begin{align*} \dot{\eta} & =f_{2}\left( {\boldsymbol{x}}\right) \\ \ddot{\eta} & ={{\boldsymbol{\varphi}}_{\bf{1}}}\dot{{\boldsymbol{x}}} \\ \dddot{\eta} & ={{\boldsymbol{\varphi}}_{\bf{1}}}\ddot{{\boldsymbol{x}}}+\dot{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}{{\boldsymbol{\varphi}}_{\bf{2}}}\dot{{\boldsymbol{x}}} \end{align*} $$ 通过对$ \alpha $和$ \beta $求二阶导, 有
$$ \begin{align*} \ddot{\alpha} & =\ddot{\alpha}_{0}+\frac{c_{{\rm{e}}}\rho v^{2}S\bar{c}}{2I_{yy} }\left( \delta_{\mathrm{E}}+d_{2}\left( t\right) \right) \\ \ddot{\beta} & =\ddot{\beta}_{0}+\omega_{n}^{2}\left( \beta_{\mathrm{c} }+d_{1}\left( t\right) \right) \end{align*} $$ 其中
$$ \begin{align*} \ddot{\alpha}_{0} & =\frac{1}{2I_{yy}}\rho v^{2}S\bar{c}\left( C_{\mathrm{M}}\left( \alpha \right) +C_{\mathrm{M}}\left( q\right) -c_{\mathrm{e}}\alpha \right) -\ddot{\eta} \\ \ddot{\beta}_{0} & =-2\xi \omega_{n}\dot{\beta}-\omega_{n}^{2}\beta \end{align*} $$ 定义$ {\boldsymbol{\varpi}}=[\ddot{v},\ddot{\eta},\ddot{\alpha}_{0},\ddot{\beta }_{0},\ddot{h}]^{\mathrm{T}} $, 则$ v^{\left( 3\right) } $和$ h^{\left( 4\right) } $可以写成如下形式
$$ \begin{align} \left[ \begin{array} [c]{c} v^{\left( 3\right) }\\ h^{\left( 4\right) } \end{array} \right] = & \left[ \begin{array} [c]{c} v_{0}^{\left( 3\right) }\\ h_{0}^{\left( 4\right) } \end{array} \right] +{\boldsymbol{B}}\left[ \begin{array} [c]{c} \beta_{\mathrm{c}}\left( t\right) \\ \delta_{\mathrm{E}}\left( t\right) \end{array} \right] +{\boldsymbol{B}}\left[ \begin{array} [c]{c} d_{1}\left( t\right) \\ d_{2}\left( t\right) \end{array} \right] \end{align} $$ (3) 其中
$$ \begin{align*} {\boldsymbol{B}}=\; & \left[ \begin{array} [c]{cc} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right] \\ v_{0}^{\left( 3\right) }=\; & \frac{{{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{1}}}{\boldsymbol{\varpi}}+\dot{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T} }{{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{2}}}\dot{{\boldsymbol{x}}}}{m} \\ h_{0}^{\left( 4\right) }= \;& 3\ddot{v}\dot{\eta}\cos \left( \eta \right) -3\dot{v}\dot{\eta}^{2}\sin \left( \eta \right) +3\dot{v}\ddot{\eta} \cos \left( \ddot{\eta}\right)- \\ & 3v\dot{\eta}\ddot{\eta}\sin \left( \eta \right) -v\dot{\eta}^{2} \cos \left( \eta \right)+ \\ & \frac{\left( {{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{1}}}{\boldsymbol{\varpi}}+\dot{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}{{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{2}}}\dot {{\boldsymbol{x}}}\right) \sin \left(\eta\right)}{m}\;+\\ & v\cos \left( \eta \right) \left( {{\boldsymbol{\varphi}}_{\bf{1}}}{\boldsymbol{\varpi}}+\dot{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T} }{{\boldsymbol{\omega}}_{\bf{2}}}\dot{{\boldsymbol{x}}}\right) \end{align*} $$ 以及
$$ \begin{align*} b_{11}=\; & \frac{\rho v^{2}Sc_{\beta}\omega_{n}^{2}}{2m}\cos \alpha \\ b_{12}=\; & -\frac{\rho v^{2}Sc_{\mathrm{e}}\bar{c}}{2mI_{yy}}\left( F\sin \alpha+D_{\alpha}\right) \\ b_{21}=\; & \frac{\rho v^{2}Sc_{\beta}\omega_{n}^{2}}{2m}\sin \left( \alpha+\eta \right) \\ b_{22}=\; & \frac{\rho v^{2}S\bar{c}c_{\mathrm{e}}}{2mI_{yy}}\left( F\cos \left( \alpha+\eta \right) +L_{\alpha}\cos \left( \eta \right) -\right. \\ & \left. D_{\alpha}\sin \left( \eta \right) \right) \\ D_{\alpha}=\; & \frac{\partial D}{\partial \alpha} \\ L_{\alpha}=\; & \frac{\partial L}{\partial \alpha} \\ c_{\beta}=\; & \frac{\partial C_{\mathrm{T}}}{\partial \beta}=\left \{ \begin{split} 0.025\,76,\beta \leq1\\ 0.003\,36,\beta>1 \end{split} \right. \end{align*} $$ 由于在巡航过程中飞行航迹角$ \eta $比较小, 因此这里可以假设矩阵$ {\boldsymbol{B}} $是可逆的[4-5, 9].
1.2 指定时间稳定性理论
考虑非线性系统
$$ \begin{equation} \dot{{\boldsymbol{x}}}={\boldsymbol{f}}\left( t,{\boldsymbol{x}}\right) ,t\geq0 \end{equation} $$ (4) 其中, $ {\boldsymbol{x}}\in {\bf{R}}^{n} $是状态向量, $ {\boldsymbol{f}}\left( t,{\boldsymbol{x}}\right) :{\bf{R}}_{\geq0}\times {\bf{R}}^{n}\rightarrow {\bf{R}}^{n} $关于$ {\boldsymbol{x}} $是连续的、关于$ t $是分段连续的函数, 并且$ {\boldsymbol{f}}\left( t,{\bf{0}}\right) ={\bf{0}},\forall t\in {\bf{R}}_{\geq0} $.
定义 1[22]. 考虑非线性系统(4), 假设: 1)系统是一般意义下稳定的, 即对任意的常数$ \varepsilon>0 $, 存在一个常数$ \delta \left( \varepsilon \right) $, 使得$\left \Vert {\boldsymbol{x}}\left( 0\right) \right \Vert \leq \delta \left( \varepsilon \right) \Rightarrow \left \Vert {\boldsymbol{x}}\left( t\right) \right \Vert \leq \varepsilon, \forall t > 0$; 2)原点是有限时间吸引的, 即存在一个常数$ d>0 $, 使得对于任意的${\boldsymbol{x}}( 0) \in {\boldsymbol{B}}_{d} = \left \{ {\boldsymbol{x}}\in {\bf{R}}^{n} : \left \Vert {\boldsymbol{x}}( t) \right \Vert \leq d\right \}$, 存在一个时间常数$ T>0 $, 使得当时间$ t $从左边趋于$ T $时, $ \left \Vert {\boldsymbol{x}}\left( t\right) \right \Vert $趋于零, 记为 $\lim_{t\uparrow T}\left \Vert {\boldsymbol{x}}\left( t\right) \right \Vert = 0$ (后文极限记号与此同义). 则称系统(4)是局部$ T $有限时间稳定的(Locally finite-time stable with convergence time $ T $, 局部$ T $-FTS), 并且${\boldsymbol{B}}_{d}$称作系统(4)的吸引域. 进一步地, 如果$d\rightarrow \infty$, 则称系统(4)是全局$ T $有限时间稳定的(全局$ T $-FTS).
$$ \begin{equation} \dot{y}\left( t\right) =\mu \left( t\right) y\left( t\right) ,\;t\in \lbrack0,T) \end{equation} $$ (5) 其中, $ \mu \left( t\right) :[0,T)\rightarrow {\bf{R}} $是连续函数$ . $
定义 2[22]. 给定正常数$ T $, 1)如果连续函数$ \rho \left( t\right) :[0,T)\rightarrow {\bf{R}} $满足$ \lim_{s\uparrow T}\rho \left( t\right) =\infty $, 则称$ \rho \left( t\right) $是$ T $有限时间逃逸($ T $-finite-time escaping, $ T $-FTE$ ) $函数; 2)如果对应的标量线性时变系统(5)在定义 1意义下是$ T $-FTS 的, 则称连续函数$\mu \left( t\right) :[0,T)\rightarrow {\bf{R}}$是$ T $-FTS 函数, 或等价于
$$ \rho \left( t\right) =-\int_{0}^{t}\mu \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau $$ 是$ T $-FTE函数.
引理 1[22]. 给定正常数$ T $, 假设存在两个函数$ v_{1} ,v_{2}\in \mathcal{K} $, 连续函数$ \mu \left( t\right) :[0,T)\rightarrow {\bf{R}} $, 常数$ \kappa_{0}>0 $, 连续函数$ \kappa \left( t\right) :[0,T)\rightarrow \lbrack \kappa_{0},\infty) $, 函数$V\left( t,{\boldsymbol{x}}\right) : [0,T)\times {\bf{R}}^{n}\rightarrow {\bf{R}}_{\geq0}$, 使得下述不等式成立:
$$ \begin{align*} &\kappa \left( t\right) v_{1}\left( \left \Vert {\boldsymbol{x}}\right \Vert \right) \leq V\left( t,{\boldsymbol{x}}\right) ,\; \forall {\boldsymbol{x}}\in {\bf{R}}^{n},\forall t\in \lbrack0,T) \\& V\left( 0,{\boldsymbol{x}}\right) \leq v_{2}\left( \left \Vert {\boldsymbol{x}}\right \Vert \right) ,\; \forall {\boldsymbol{x}}\in {\bf{R}}^{n} \\ &\dot{V}\left( t,{\boldsymbol{x}}\right) \leq \mu \left( t\right) V\left( t,{\boldsymbol{x}}\right) ,\; \forall {\boldsymbol{x}}\in {\bf{R}}^{n},\forall t\in \lbrack0,T) \end{align*} $$ 定义$ \rho \left( t\right) :[0,T)\rightarrow {\bf{R}} $
$$ \rho \left( t\right) =\ln \kappa \left( t\right) -\int_{0}^{t}\mu \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau $$ 如果$ \rho \left( t\right) $是定义 2下的$ T $-FTE函数, 则非线性系统(4)是全局$ T $-FTS. 进一步地, 有
$$ v_{1}\left( \left \Vert {\boldsymbol{x}}\left( t\right) \right \Vert \right) \leq \frac {\exp \left( \int_{0}^{t}\mu \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau \right) }{\kappa \left( t\right) }v_{2}\left( \left \Vert {\boldsymbol{x}}\left( 0\right) \right \Vert \right) $$ 根据以上预备性知识, 本文将需解决的问题描述如下.
指定正常数$ T $, 期望速度$ v_{\mathrm{d}}( t) $和期望高度$ h_{\mathrm{d}}( t) $, 且$ v_{\mathrm{d}}^{( 1) }( t) $, $ v_{\mathrm{d}}^{( 2) }( t) $, $ v_{\mathrm{d}}^{( 3) }( t) $, $ h_{\mathrm{d}}^{( 1) }( t) $, $ h_{\mathrm{d} }^{( 2) }( t) $, $ h_{\mathrm{d} }^{( 3) }( t) $, $ h_{\mathrm{d}}^{( 4) }( t) $对于所有$ t\geq0 $有界, 并且$ v_{\mathrm{d}}^{\left( 3\right) }\left( t\right) $和$ h_{\mathrm{d}}^{\left( 4\right) }\left( t\right) $是时间$ t $的分段连续函数, 设计控制律$ \beta_{\mathrm{c} }= \beta_{\mathrm{c}}\left( t\right) $, $ \delta_{\mathrm{E}}=\delta _{\mathrm{E}}\left( t\right) $, 使得系统速度$ v\left( t\right) $和高度$ h\left( t\right) $在指定时间$ T $跟踪到期望速度$ v_{\mathrm{d}}\left( t\right) $和期望高度$ h_{\mathrm{d}}\left( t\right) $.
定义速度误差$ e_{v}\left( t\right) =v\left( t\right) -v_{\mathrm{d}}\left( t\right) $, 高度误差$ e_{h}\left( t\right) =h\left( t\right) -h_{\mathrm{d}}\left( t\right) $, $ {{\boldsymbol{x}}_{\bf{1}}}\left( t\right) =[e_{v}\left( t\right) $, $ \dot{e}_{v}\left( t\right) $, $ \ddot{e} _{v}\left( t\right) ]^{\mathrm{T}} $ ,$ {{\boldsymbol{x}}_{\bf{2}}}\left( t\right) =[e_{h}\left( t\right) $, $ \dot{e}_{h}\left( t\right) $, $ \ddot{e} _{h}\left( t\right) $, $ \dddot{e}_{h}\left( t\right) ]^{\mathrm{T}} $, 则可以将高超声速飞行器速度$ v\left( t\right) $和高度$ h\left( t\right) $的跟踪控制问题转化为状态$ {{\boldsymbol{x}}_{\bf{1}}}\left( t\right) $和$ {{\boldsymbol{x}}_{\bf{2}}}\left( t\right) $的镇定问题.
2. 控制器设计
定义$ n\times n $矩阵$ {\boldsymbol{A}}_{n} $和$ n\times 1 $向量$ {\boldsymbol{b}}_{n} $如下
$$ {\boldsymbol{A}}_{n}=\left[ \begin{array} [c]{cccc} 0 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 0 & 1\\ & & & 0 \end{array} \right] ,{\boldsymbol{b}}_{n}=\left[ \begin{array} [c]{c} 0\\ 0\\ \vdots \\ 1 \end{array} \right] $$ 设$ {\boldsymbol{P_{n}}}(\gamma)>0 $为参量Lyapunov方程[22]
$$ \begin{equation} {\boldsymbol{A}}_{n}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{n}+{\boldsymbol{P}}_{n}{\boldsymbol{A}}_{n}-{\boldsymbol{P}}_{n}{\boldsymbol{b}}_{n}{\boldsymbol{b}}_{n}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{n}=-\gamma {\boldsymbol{P}}_{n} \end{equation} $$ (6) 的解, 其中$ \gamma>0 $为待设计的(时变)标量. 考虑控制器
$$ \begin{split} & \left[ \begin{array} [c]{c} \beta_{\mathrm{c}}\left( t\right) \\ \delta_{\mathrm{E}}\left( t\right) \end{array} \right] = \\ & \quad\;\;{\boldsymbol{B}}^{-1}\left[ \begin{array} [c]{c} v_{\mathrm{d}}^{\left( 3\right) }-v_{0}^{\left( 3\right) }-p_{1} {\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}\left( \gamma_{1}\left( t\right) \right) {\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) \\ h_{\mathrm{d}}^{\left( 4\right) }-h_{0}^{\left( 4\right) }-p_{2} {\boldsymbol{b}}_{4}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{4}\left( \gamma_{2}\left( t\right) \right) {\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) \end{array} \right] \end{split} $$ (7) 其中, $p_{1}= \dfrac{1}{2} +\lambda_{1}b_{11}^{2}+\lambda_{2} b_{12}^{2},$ $p_{2}=\dfrac{1}{2} + \lambda_{3}b_{21}^{2}+\lambda_{4}b_{22}^{2}$是两个与飞行参数相关的函数, $ \lambda_{1} $, $ \lambda_{2} $, $ \lambda_{3} $, $ \lambda_{4}>0 $是4个可调节的常数,
$$ \begin{align} \gamma_{1}\left( t\right) & =\frac{T\gamma_{0,1}}{T-t} \end{align} $$ (8) $$ \begin{align} \gamma_{2}\left( t\right) & =\frac{T\gamma_{0,2}}{T-t} \end{align} $$ (9) 是两个单调递增的$ T $-FTE函数, 其中的参数如下所示
$$ \begin{align*} \gamma_{0,1} & =\frac{3+\delta_{\mathrm{c},1}}{3\left( 1-s_{1}\right) T},\ \gamma_{0,2} =\frac{4+\delta_{\mathrm{c},2}}{4\left( 1-s_{2}\right) T} \\ \delta_{\mathrm{c},1} & =3\left( 1+\lambda_{\max}\left( {\boldsymbol{E}}_{3}+{\boldsymbol{P}}_{3}\left( 1\right) {\boldsymbol{E}}_{3}{\boldsymbol{P}}_{3}^{-1}\left( 1\right) \right) \right) \\ \delta_{\mathrm{c},2} & =4\left( 1+\lambda_{\max}\left( {\boldsymbol{E}}_{4}+{\boldsymbol{P}}_{4}\left( 1\right) {\boldsymbol{E}}_{4}{\boldsymbol{P}}_{4}^{-1}\left( 1\right) \right) \right) \end{align*} $$ $ {\boldsymbol{E}}_{3}=\mathrm{diag}\left \{ 2,1,0\right \} ,{\boldsymbol{E}}_{4}=\mathrm{diag}\left \{ 3,2,1,0\right \} $, $0 < s_{1} < 1$, $0 <s_{2} < 1$, ${\boldsymbol{P}}_{3}\left( \gamma_{1}\right)和\;{\boldsymbol{P}}_{4}\left( \gamma_{2}\right)$是参量 Lyapunov方程(6)的唯一正定解.
将控制器(7)代入系统(3)得到闭环系统
$$ \begin{align*} \left[ \begin{array} [c]{c} v^{\left( 3\right) }\\ h^{\left( 4\right) } \end{array} \right] = & \left[ \begin{array} [c]{c} v_{\mathrm{d}}^{\left( 3\right) }\\ h_{\mathrm{d}}^{\left( 4\right) } \end{array} \right] +\left[ \begin{array} [c]{c} -p_{1}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}\left( \gamma_{1}\left( t\right) \right) {\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) \\ -p_{2}{\boldsymbol{b}}_{4}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{4}\left( \gamma_{2}\left( t\right) \right) {\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) \end{array} \right]+ \\ & \left[ \begin{array} [c]{c} b_{11}d_{1}\left( t\right) +b_{12}d_{2}\left( t\right) \\ b_{21}d_{1}\left( t\right) +b_{22}d_{2}\left( t\right) \end{array} \right] \end{align*} $$ 根据速度误差$ e_{v}\left( t\right) $和高度误差$ e_{h}\left( t\right) $定义, 可得
$$ \begin{align} e_{v}^{\left( 3\right) }\left( t\right) = & -p_{1}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T} }{\boldsymbol{P}}_{3}\left( \gamma_{1}\right) {\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) +b_{11}d_{1}\left( t\right) +b_{12}d_{2}\left( t\right) \end{align} $$ (10) $$ \begin{align} e_{h}^{\left( 4\right) }\left( t\right) = & -p_{2}{\boldsymbol{b}}_{4}^{\mathrm{T} }{\boldsymbol{P}}_{4}\left( \gamma_{2}\right) {\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) +b_{21}d_{1}\left( t\right) +b_{22}d_{2}\left( t\right) \end{align} $$ (11) 式(10)和式(11)可以进一步写成如下形式
$$ \begin{align*} \dot{{\boldsymbol{x}}}_{1}\left( t\right) & ={\boldsymbol{A}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) +{\boldsymbol{b}}_{3}\left( u_{3}\left( t\right) +g_{1}\left( t\right) \right) \\ \dot{{\boldsymbol{x}}}_{2}\left( t\right) & ={\boldsymbol{A}}_{4}{\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) +{\boldsymbol{b}}_{4}\left( u_{4}\left( t\right) +g_{2}\left( t\right) \right) \end{align*} $$ 其中, $ g_{1}\left( t\right) =b_{11}d_{1}\left( t\right) +b_{12}d_{2}\left( t\right) $, $g_{2}\left( t\right) =b_{21}d_{1}\left( t\right) + b_{22}d_{2}\left( t\right)$是两个与飞行参数和扰动相关的函数, 且
$$ \begin{align*} u_{3}\left( t\right) & =-p_{1}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}\left( \gamma _{1}\left( t\right) \right) {\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) \\ u_{4}\left( t\right) & =-p_{2}{\boldsymbol{b}}_{4}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{4}\left( \gamma _{2}\left( t\right) \right) {\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) \end{align*} $$ 定理 1. 当$ d_{1}\left( t\right) \neq0 $或$ d_{2}\left( t\right) \neq0 $时, 系统(10)和(11)是指定时间吸引的, 即$ \lim_{t\uparrow T}\left \Vert {\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) \right \Vert =0$和$ \lim_{t\uparrow T} \left \Vert {\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) \right \Vert =0 $; 当$ d_{1}\left( t\right) =0 $且$ d_{2}\left( t\right)=0 $时, 系统(10)和(11)是$ T $-FTS的.
证明. 定义Lyapunov函数
$$ \begin{align*}& V_{1}=V_{1}\left( t,{\boldsymbol{x}}_{1}\right) =3\gamma_{1} {\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}\left( \gamma_{1}\right) {\boldsymbol{x}}_{1} \\& V_{2}=V_{2}\left( t,{\boldsymbol{x}}_{2}\right) =4\gamma_{2} {\boldsymbol{x}}_{2}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{4}\left( \gamma_{2}\right) {\boldsymbol{x}}_{2} \\ &V=V\left( t,{\boldsymbol{x}}_{1},{\boldsymbol{x}}_{2}\right) =V_{1}\left( t,{\boldsymbol{x}}_{1}\right) +V_{2}\left( t,{\boldsymbol{x}}_{2}\right) \end{align*} $$ 为表达简便, 在不特别指出的情况下, 以下省略变量的自变量, 如用$ {\boldsymbol{P}}_{3} $和$ {\boldsymbol{P}}_{4} $分别表示$ {\boldsymbol{P}}_{3}( \gamma_{1}) $和$ {\boldsymbol{P}}_{4}(\gamma_{2}) $.
对函数$ V_{1} $求导得
$$ \begin{align*} \dot{V}_{1}=\; & 3\dot{\gamma}_{1}{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1}\;+\\ & 3\gamma_{1}{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}\left( \dot{{\boldsymbol{P}}}_{3}+{\boldsymbol{A}}_{3}^{\mathrm{T}} {\boldsymbol{P}}_{3}+{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{A}}_{3}-{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}\right) {\boldsymbol{x}}_{1}\;+\\ & 6\gamma_{1}{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}\left( b_{11}d_{1}\left( t\right) +b_{12}d_{2}\left( t\right) \right)- \\ & 6\gamma_{1}\left( \lambda_{1}b_{11}^{2}+\lambda_{2}b_{12}^{2}\right) {\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1} \end{align*} $$ 根据三角不等式可以得到
$$ \begin{align*} 6{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}{{b}}_{11}d_{1}\left( t\right) & \leq6\lambda _{1}b_{11}^{2}{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1} +3\frac{d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{1}} \\ 6{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}{{b}}_{12}d_{2}\left( t\right) & \leq6\lambda _{2}b_{12}^{2}{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1} +3\frac{d_{2}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{2}} \end{align*} $$ 根据上述两个不等式, 可以进一步将$ \dot{V}_{1} $放缩为
$$ \begin{align*} \dot{V}_{1}\leq\; & 3\dot{\gamma}_{1}{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1}\;+\\ & 3\gamma_{1}{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}\left( \dot{{\boldsymbol{P}}}_{3}+{\boldsymbol{A}}_{3}^{\mathrm{T}} {\boldsymbol{P}}_{3}+{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{A}}_{3}-{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}\right) {\boldsymbol{x}}_{1}\;+\\ & 3\gamma_{1}\frac{d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{1}}+3\gamma _{1}\frac{d_{2}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{2}}\;+\\ & 6\gamma_{1}\left( \lambda_{1}b_{11}^{2}+\lambda_{2}b_{12}^{2}\right) {\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1}\;-\\ & 6\gamma_{1}\left( \lambda_{1}b_{11}^{2}+\lambda_{2}b_{12}^{2}\right) {\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1}= \\ & 3\dot{\gamma}_{1}{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1}\;+\\ & 3\gamma_{1}{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}\left( \dot{\gamma}_{1}\frac{\mathrm{d} {\boldsymbol{P}}_{3}}{\mathrm{d}\gamma_1} + {\boldsymbol{A}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3} + {\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{A}}_{3} - {\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3} {\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3} \right) {\boldsymbol{x}}_{1}\;+\\ & 3\gamma_{1}\frac{d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{1}}+3\gamma _{1}\frac{d_{2}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{2}} \end{align*} $$ 根据式(6)、式(8)以及附录A中的性质1和性质2, 可以将$ \dot{V}_{1} $进一步写为
$$ \begin{align*} \dot{V}_{1}\leq\; & \left( \frac{\dot{\gamma}_{1}}{\gamma_{1}}-\gamma _{1}\right) V_{1}+\frac{\delta_{\mathrm{c},1}\dot{\gamma}_{1}}{3\gamma_{1} }V_{1}\;+\\ & 3\gamma_{1}\frac{d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{1}}+3\gamma _{1}\frac{d_{2}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{2}}=\\& \frac{\left( 3+\delta_{\mathrm{c},1}\right) \left( \dot{\gamma} _{1}-\frac{3}{3+\delta_{\mathrm{c},1}}\gamma_{1}^{2}\right) }{3\gamma_{1} }V_{1}\;+\\ & 3\gamma_{1}\frac{d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{1}}+3\gamma _{1}\frac{d_{2}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{2}}=-s_{1}\gamma_{1}V_{1}\;+ \end{align*} $$ $$ \begin{align*} & 3\gamma_{1}\frac{d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{1}}+3\gamma_{1}\frac{d_{2}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{2} },\; \forall t\in \lbrack0,T) \end{align*} $$ 同理, 可以得到
$$ \dot{V}_{2}\leq-s_{2}\gamma_{2}V_{2}+4\gamma_{2}\frac{d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{3}}+4\gamma_{2}\frac{d_{2}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{4}},\; \forall t\in \lbrack0,T) $$ 从而有
$$ \begin{align*} \dot{V}\leq\; & -s_{1}\gamma_{1}V_{1}-s_{2}\gamma_{2}V_{2}+3\gamma_{1} \frac{d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{1}}+3\gamma_{1}\frac{d_{2} ^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{2}}\;+\\ & 4\gamma_{2}\frac{d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{3}}+4\gamma _{2}\frac{d_{2}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{4}},\; \forall t\in \lbrack0,T) \end{align*} $$ 选择$ s_{1}=s_{2}=s $, 根据式(8)和式(9), 有$ \gamma_{1}\leq \gamma_{2} $, 则
$$ \begin{equation} \dot{V}\left( t,{\boldsymbol{x}}_{1},{\boldsymbol{x}}_{2}\right) \leq-s\gamma_{1}\left( t\right) V\left( t,{\boldsymbol{x}}_{1},{\boldsymbol{x}}_{2}\right) +\gamma_{1}\left( t\right) q\left( t\right) \end{equation} $$ (12) 其中
$$ \begin{align*} q\left( t\right) = \;& 3\frac{d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{1} }+3\frac{d_{2}^{2}\left( t\right) }{2\lambda_{2}}+\frac{3\left( 4+\delta_{\mathrm{c},2}\right) d_{1}^{2}\left( t\right) }{2\left( 3+\delta_{\mathrm{c},1}\right) \lambda_{3}}\;+\\ & \frac{3\left( 4+\delta_{\mathrm{c},2}\right) d_{2}^{2}\left( t\right) }{2\left( 3+\delta_{\mathrm{c},1}\right) \lambda_{4}} \end{align*} $$ 根据比较引理[32], 式(12)的解满足
$$ \begin{split} & V\left( t,{\boldsymbol{x}}_{1},{\boldsymbol{x}}_{2}\right) \leq \\ & \quad\exp \left( -s\int_{0}^{t}\gamma_{1}\left( \sigma \right) \mathrm{d}\sigma \right) V\left( 0,{\boldsymbol{x}}_{1}\left( 0\right) ,{\boldsymbol{x}}_{2}\left( 0\right) \right) + \\ &\quad \int_{0}^{t}\exp \left( -s\int_{\tau}^{t}\gamma_{1}\left( \sigma \right) \mathrm{d}\sigma \right) \gamma_{1}\left( \tau \right) q\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau \leq \\ &\quad \left( 1-\frac{t}{T}\right) ^{s\gamma_{0,1}T}V\left( 0,{\boldsymbol{x}}_{1}\left( 0\right) ,{\boldsymbol{x}}_{2}\left( 0\right) \right) + \\ &\quad q_{\max}\int_{0}^{t}\exp \left( -s\int_{\tau}^{t}\gamma_{1}\left( \sigma \right) \mathrm{d}\sigma \right) \gamma_{1}\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = \\ &\quad \left( 1-\frac{t}{T}\right) ^{s\gamma_{0,1}T}V\left( 0,{\boldsymbol{x}}_{1}\left( 0\right) ,{\boldsymbol{x}}_{2}\left( 0\right) \right) + \\ &\quad \frac{q_{\max}}{s}\left( 1-\frac{\left( T-t\right) ^{s\gamma_{0,1}T} }{T^{s\gamma_{0,1}T}}\right)\\[-18pt] \end{split} $$ (13) 其中
$$ \begin{align*} q_{\max}= \;& \left( \frac{3}{2\lambda_{1}}+\frac{3\left( 4+\delta _{\mathrm{c},2}\right) }{2\left( 3+\delta_{\mathrm{c},1}\right) \lambda _{3}}\right) \max_{t\in \lbrack0,T)}\{d_{1}^{2}\left( t\right) \}\;+ \\ & \left( \frac{3}{2\lambda_{2}}+\frac{3\left( 4+\delta_{\mathrm{c} ,2}\right) }{2\left( 3+\delta_{\mathrm{c},1}\right) \lambda_{4}}\right) \max_{t\in \lbrack0,T)}\{d_{2}^{2}\left( t\right) \} \end{align*} $$ 根据附录A中的性质1, 可以得到
$$ \begin{align*} & V\left( t,{\boldsymbol{x}}_{1},{\boldsymbol{x}}_{2}\right)\geq \\ &\quad 3\gamma_{1}^{2}\left( t\right) \lambda_{\min}\left( {\boldsymbol{L}}_{3}(\gamma_{0,1}){\boldsymbol{P}}_{3}\left( 1\right) {\boldsymbol{L}}_{3}(\gamma_{0,1})\right) \left \Vert {\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) \right \Vert ^{2}\;+\\ &\quad 4\gamma_{2}^{2}\left( t\right) \lambda_{\min}\left( {\boldsymbol{L}}_{4}(\gamma _{0,2}){\boldsymbol{P}}_{4}\left( 1\right) {\boldsymbol{L}}_{4}(\gamma_{0,2})\right) \left \Vert {\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) \right \Vert ^{2}= \\ &\quad \gamma_{1}^{2}\left( t\right) \left( k_{1}\left \Vert {\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) \right \Vert ^{2}+k_{2}\left \Vert {\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) \right \Vert ^{2}\right) \end{align*} $$ 其中
$$ \begin{align*} k_{1} & =3\lambda_{\min}( {\boldsymbol{L}}_{3}(\gamma_{0,1}){\boldsymbol{P}}_{3}( 1) {\boldsymbol{L}}_{3}(\gamma_{0,1})) \\ k_{2} & =\frac{9( 4+\delta_{\mathrm{c},2}) ^{2}}{4( 3+\delta_{\mathrm{c},1}) ^{2}}\lambda_{\min}( {\boldsymbol{L}}_{4}(\gamma_{0,2}){\boldsymbol{P}}_{4}( 1) {\boldsymbol{L}}_{4}(\gamma_{0,2})) \end{align*} $$ 其中, $ \lambda_{\min}( {\boldsymbol{L}}_{3}(\gamma_{0,1}){\boldsymbol{P}}_{3}( 1) {\boldsymbol{L}}_{3}(\gamma_{0,1})) $表示 ${\boldsymbol{L}}_{3}(\gamma_{0,1})\times {\boldsymbol{P}}_{3}( 1){\boldsymbol{L}}_{3} (\gamma_{0,1})$的最小特征值, $\lambda_{\min}( {\boldsymbol{L}}_{4}(\gamma_{0,2}){\boldsymbol{P}}_{4}( 1) \times$${\boldsymbol{L}}_{4}(\gamma_{0,2}))$表示 $ {\boldsymbol{L}}_{4}(\gamma_{0,2}){\boldsymbol{P}}_{4}( 1) {\boldsymbol{L}}_{4}(\gamma_{0,2}) $的最小特征值, 则
$$ \begin{align*} & k_{1}\left \Vert {\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) \right \Vert ^{2}+k_{2}\left \Vert {\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) \right \Vert ^{2}\leq \\ &\qquad \frac{1}{\gamma_{1}^{2}\left( t\right) }\left( 1-\frac{t} {T}\right) ^{s\gamma_{0}T}V\left( 0,{\boldsymbol{x}}_{1}\left( 0\right) ,{\boldsymbol{x}}_{2}\left( 0\right) \right)+ \\ &\qquad \frac{1}{s\gamma_{1}^{2}\left( t\right) }q_{\max}\left( 1-\frac{\left( T-t\right) ^{s\gamma_{0,1}T}}{T^{s\gamma_{0,1}T}}\right) \end{align*} $$ 即$ \lim_{t\uparrow T} \Vert {\boldsymbol{x}}_{1}(t) \Vert=0 $, $ \lim_{t\uparrow T}\Vert {\boldsymbol{x}}_{2}(t)\Vert =0 $. 当$d_{1}(t) = 0$且$ d_{2}(t)=0 $时, 根据引理1, 系统(10)和(11)是$ T $-FTS的.
接下来证明控制器(7)是有界的. 为此只需要证明高增益项$ {\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}( \gamma_{1}( t) ) {\boldsymbol{x}}_{1}( t) $和$ {\boldsymbol{b}}_{4}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{4}( \gamma_{2}( t) ) {\boldsymbol{x}}_{2}( t) $是有界的. 由附录A中参量Lyapunov方程的性质3和式(13), 可知
$$ \begin{split} & \left \vert {\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1}\right \vert ^{2}={\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T} }{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}{\boldsymbol{x}}_{1}\leq \\ &\qquad {\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}^{\frac{1}{2}}\mathrm{tr}\left( {\boldsymbol{P}}_{3} ^{\frac{1}{2}}{\boldsymbol{b}}_{3}{\boldsymbol{b}}_{3}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{3}^{\frac{1}{2}}\right) {\boldsymbol{P}}_{3} ^{\frac{1}{2}}{\boldsymbol{x}}_{1}= \\ &\qquad V_{1}\left( t,{\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) \right) \leq \\ &\qquad V\left( t,{\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) ,{\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) \right) \leq \\ &\qquad \left( 1-\frac{t}{T}\right) ^{s\gamma_{0,1}T}V\left( 0,{\boldsymbol{x}}_{1}\left( 0\right) ,{\boldsymbol{x}}_{2}\left( 0\right) \right) + \\ &\qquad \frac{q_{\max}}{s}\left( 1-\frac{\left( T-t\right) ^{s\gamma_{0,1}T} }{T^{s\gamma_{0,1}T}}\right) \end{split} $$ (14) 以及
$$ \begin{split} & \left \vert {\boldsymbol{b}}_{4}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{4}{\boldsymbol{x}}_{2}\right \vert ^{2}={\boldsymbol{x}}_{2}^{\mathrm{T} }{\boldsymbol{P}}_{4}{\boldsymbol{b}}_{4}{\boldsymbol{b}}_{4}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{4}{\boldsymbol{x}}_{2}\leq \\ &\qquad {\boldsymbol{x}}_{2}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{4}^{\frac{1}{2}}\mathrm{tr}\left( {\boldsymbol{P}}_{4} ^{\frac{1}{2}}{\boldsymbol{b}}_{4}{\boldsymbol{b}}_{4}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{4}^{\frac{1}{2}}\right) {\boldsymbol{P}}_{4} ^{\frac{1}{2}}{\boldsymbol{x}}_{2}= \\ & \qquad V_{2}\left( t,{\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) \right) \leq \\ & \qquad V\left( t,{\boldsymbol{x}}_{1}\left( t\right) ,{\boldsymbol{x}}_{2}\left( t\right) \right) \leq \end{split} $$ $$ \begin{split} &\qquad\qquad \left( 1-\frac{t}{T}\right) ^{s\gamma_{0,1}T}V\left( 0,{\boldsymbol{x}}_{1}\left( 0\right) ,{\boldsymbol{x}}_{2}\left( 0\right) \right) + \\ & \qquad\qquad\frac{q_{\max}}{s}\left( 1-\frac{\left( T-t\right) ^{s\gamma_{0,1}T} }{T^{s\gamma_{0,1}T}}\right)\\[-9pt] \end{split} $$ (15) 因此, 控制器(7)是有界的.
□ 注 2. 从式(3)可以看出, 矩阵$ {\boldsymbol{B}} $的元素$ b_{11} $, $ b_{12} $, $ b_{21} $和$ b_{22} $是与飞行器速度$ v $、攻角$ \alpha $、飞行航迹角$ \eta $和发动机节流阀开度$ \beta $相关的非线性函数. 在飞行过程中, 飞行器速度$ v $、攻角$ \alpha $、飞行航迹角$ \eta $和发动机节流阀开度$ \beta $是时刻变化甚至是快速变化的, 因此在飞行过程中, $ b_{11} $, $ b_{12} $, $ b_{21} $和$ b_{22} $是快时变、强非线性和强耦合的, 从式(7)可知, 函数$ p_{1} $和$ p_{2} $也是快时变、强非线性和强耦合的. 当系统有匹配扰动$ d_{1} $和$ d_{2} $时, 从式(10)和式(11)可以发现此扰动对系统的影响是混合了系统的飞行状态信息的.目前针对扰动的处理主要是自适应反步法[1]和鲁棒滑模控制[4, 9]. 一方面, 自适应反步法设计复杂, 需要一步一步设计, 不利于系统设计; 另一方面, 鲁棒控制需要知道扰动的上界, 这对于飞行器来说可能难以获得, 且滑模控制固有的高频抖振易激发系统的结构动态特性, 影响系统的闭环性能甚至造成系统的不稳定. 在本定理中, 我们采用三角不等式将式(10)和式(11)中的扰动和飞行状态进行分离, 最后给出Lyapunov 函数$ V(t,{\boldsymbol{x}}_{1},{\boldsymbol{x}}_{2}) $的上界, 即式(13), 然后利用Lyapunov函数$ V(t,{\boldsymbol{x}}_{1},{\boldsymbol{x}}_{2}) $的特点保证闭环系统的指定时间收敛. 从控制器的形式(7)可以发现, 本文所提出的方法是一种光滑的控制方法, 且不依赖于扰动的信息.
注 3. 本文与文献[22]是不同的, 主要体现在以下两个方面: 1)本文研究的是存在未知匹配扰动的非线性系统指定时间控制问题, 而文献[22]针对的是无扰动时一般线性系统的有限时间控制问题; 2)本文给出的是一种全局的控制策略, 而文献[22]研究的是一种局部的控制策略.
注 4. 从$ \gamma_{1}\left( t\right) $和$ \gamma_{2}\left( t\right) $的表达式(8)和(9)可以看出, 当时间$ t $趋近$ T $时, $ \gamma_{1}\left( t\right) $和$ \gamma_{2}\left( t\right) $趋于无穷, 这在仿真中会出现数值计算问题. 对此可以采用文献[21]的截断方法进行处理, 即
$$ \gamma_{1}\left( t\right) =\left \{ \begin{aligned} &\frac{T\gamma_{0,1}}{T-t}, \qquad t<T^{\ast}\\ &\frac{T\gamma_{0,1}}{T-T^{\ast}}, \;\quad t\geq T^{\ast}\;\; \end{aligned} \right. $$ 其中, $ T^{\ast}=T-\varepsilon $, $ \varepsilon $为一个充分小的正数.
3. 数值仿真
本节将通过数值例子来验证本文所提出方法的有效性. 飞行器参数和飞行环境参数如表1 所示[9]. 根据文献[9, 23], 初始速度$v\left( 0\right) = 4\;590.288 \;{\rm{m}}/{\rm{s}}$, 初始高度$h\left( 0\right) = 33\; 528\;{\rm{m}}$, 初始飞行航迹角$\eta(0)= 0 \;{\rm{rad}}$, 初始攻角$\alpha(0)=0.033\;4 \;{\rm{rad}}$, 初始俯仰角速率$q(0)= 0\;\mathrm{rad/s}$, 初始发动机节流阀开度$\beta(0)= 0.180\,2$和初始发动机节流阀开度导数$ \dot{\beta}(0)=0 $, 期望速度$v_{\mathrm{d}}=4\;620.768$ m/s, 期望高度$h_{\mathrm{d}}= 34\ 137.6$ m, 显然, $ v_{\mathrm{d}}^{\left( 1\right) } $, $ v_{\mathrm{d} }^{\left( 2\right) } $, $ v_{\mathrm{d}}^{\left( 3\right) }=0 $且$ h_{\mathrm{d}}^{\left( 1\right) } $, $ h_{\mathrm{d}}^{\left( 2\right) } $, $ h_{\mathrm{d}}^{\left( 3\right) } $, $ h_{\mathrm{d}}^{\left( 4\right) }= 0 $. 我们设置指定时间$ T=60 \;{\rm{s}}$, 选择参数$ \lambda_{1}= $$1/(2\;\times 10^{5}),$ $\lambda_{2}=1/(2 \times 10^{6}),$ $\lambda_{3}= 1/(1 \times 10^{6}),$$\lambda_{4}= 1/(6\;\times 10^{4}).$
表 1 高超声速飞行器参数以及飞行环境参数Table 1 The parameters of the hypersonic vehicle and the flight environment模型参数 符号 值 质量 $m$ 136817.841 kg 地球半径 $R_{{\rm{e}}}$ 6371386.8 m 参考面积 $S$ 334.729653 m2 平均气动弦长 $\bar{c}$ 80 升降副翼弦长 $c_{{\rm{e}}}$ 0.029 2 绕$ y $轴的转动惯量 $ I_{yy} $ 9.4907 × 106 kg$\cdot\; {\rm{m} }^2$ 空气密度 $\rho$ 0.0125 kg/m3 重力常数 $\mu $ 3.9360 × 1014 m3/s2 为说明所提方法的有效性, 本文研究了不同未知有界扰动下系统的变化曲线, 如图1 ~ 5 所示, 其中, Case 1: 同文献[23], $ d_{1}\left( t\right) =$$0.002\,4\sin \left( 0.2t\right)$, $d_{2}( t) =$$ 0.012\sin \left( 0.2t\right) $; Case 2: 同文献[33], $d_{1}( t) =$$ 0.003\sin \left( 0.2t\right) $, $ d_{2}\left( t\right)= $$ 0.1\cos \left( 0.1t\right) $; Case 3: $ d_{1}\left( t\right) =$$ 0.008\sin \left( 0.2t\right) $, $ d_{2}\left( t\right)= $$ 0.2\cos \left( 0.1t\right)+ 0.1\sin(0.3t) $. 由图1、图4和图5可以看出, 本文提出的方法在不同未知有界扰动下均能使速度和高度在指定时间跟踪到期望速度和高度, 这说明了本文所提出的方法具有较好的鲁棒性; 同时, 从图2和图3可以看出, 在不同未知有界扰动下俯仰角速率、发动机节流阀开度及其导数以及控制输入均在允许范围内[34], 这是符合实际情况的. 仿真结果充分验证了本文所提方法的有效性.
图 1 速度、飞行航迹角、高度和攻角变化曲线Fig. 1 The curves of changes in velocity, flight path angle, altitude and angle of attack
图 2 俯仰角速率、发动机节流阀开度及其导数变化曲线Fig. 2 The curves of changes in pitch rate, engine throttle setting and their time-derivative
图 4 速度误差及其导数变化曲线Fig. 4 The curves of changes in velocity errors and their time-derivatives
图 5 高度误差及其导数变化曲线Fig. 5 The curves of changes in altitude errors and their time-derivatives4. 结束语
本文研究了高超声速飞行器的指定时间跟踪控制问题. 首先, 以高度和速度作为系统输出, 得到高超声速飞行器输入输出线性化模型. 然后, 针对高超声速飞行器匹配干扰问题, 借助参量Lyapunov方程的性质构造了相应的Lyapunov函数, 并设计了一种光滑、有界的控制器. 该控制律不依赖于扰动信号(或其上界), 且能将高度和速度在指定时间跟踪到参考信号. 最后, 数值例子验证了所提方法的有效性.
附录 A 参量Lyapunov方程的若干性质
参量Lyapunov方程(6)的一些性质[35]如下.
性质 1. 参量Lyapunov方程(6)的解$ {\boldsymbol{P}}_{n}(\gamma) $可表示为
$$ {\boldsymbol{P}}_{n}\left( \gamma \right) =\gamma {\boldsymbol{L}}_{n}{\boldsymbol{P}}_{n}\left( 1\right) {\boldsymbol{L}}_{n} $$ 其中, ${\boldsymbol{L}}_{n}={\boldsymbol{L}}_{n}\left( \gamma \right) =\mathrm{diag}\left \{ \gamma^{n-1},\gamma^{n-2},\cdots,1\right \}$.
性质 2. 参量Lyapunov方程(6)的解$ {\boldsymbol{P}}_{n}(\gamma) $对$ \gamma $的导数满足
$$ \frac{{\boldsymbol{P}}_{n}\left( \gamma \right) }{n\gamma}\leq \frac{\mathrm{d}{\boldsymbol{P}}_{n}\left( \gamma \right) }{\mathrm{d}\gamma}\leq \frac{\delta_{{\rm{c}}}{\boldsymbol{P}}_{n}\left( \gamma \right)\qquad }{n\gamma},\forall \gamma>0\; $$ $${\boldsymbol{E}}_{n}=\mathrm{diag}\left \{ n-1,n-2,\cdots,1,0\right \}\qquad\qquad $$ $$ \delta_{{\rm{c}}}=n\left( 1+\lambda_{\max}\left( {\boldsymbol{E}}_{n}+{\boldsymbol{P}}_{n}\left( 1\right) {\boldsymbol{E}}_{n}{\boldsymbol{P}}_{n}^{-1}\left( 1\right) \right) \right) $$ 性质 3. 设$ {\boldsymbol{P}}_{n} $ 为参量Lyapunov方程(6)的解, 则
$$ {\boldsymbol{b}}_{n}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{n}{\boldsymbol{b}}_{n} =n\gamma $$
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图 4 算例4对比实验控制性能结果
Fig. 4 The results for comparison test of control performances of the Example 4
图 6 不同体重康复者测试跟踪误差与控制输入MAE
Fig. 6 The MAE of tracking errors and control inputs for tests to rehabilitation clients with different weights
图 7 不同康复任务测试跟踪误差与控制输入MAE
Fig. 7 The MAE of tracking errors and control inputs for tests to different rehabilitation tasks
图 8 带有康复者关节扰动的机器人控制对比实验结果
Fig. 8 Comparison results of robot control methods for joint disturbances created by rehabilitation client
A1 算例1 ~ 3与5.1节、5.2节学习控制器神经网络结构
A1 The architecture of neural network of learning controller in exmples 1 ~ 3 and subsection 5.1 ~ 5.2
A2 算例4学习控制器神经网络结构
A2 The architecture of neural network of learning controller in the example 4
表 1 算例4两种方法控制性能统计数据对比
Table 1 The comparison for control statistical indicators of two methods in the Example 4
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B1
第 1 节变量与符号 说明 $ {\cal{S}} $ $ n $阶$ m $维状态反馈系统 $ {\boldsymbol{F}} $ 未知非线性函数向量 $ {\boldsymbol{d}} $ 有界未知扰动向量 $ {\boldsymbol{b}} $ $ m $阶未知可逆对角常数矩阵 $ V $, $ \dot{V} $ Lyapunov 函数及其导数 $ {\cal{B}} $, $ {\cal{M}} $ $ \dot{V} $中已知函数向量 ${{\varphi} }$ $ \dot{V} $中不含$ {\boldsymbol{u}} $的其余项之和 $ {\boldsymbol{u}}_{{\rm{b}}} $ 基础控制器 $ {\boldsymbol{\mu}}( \cdot | {\boldsymbol{\theta}}) $ 神经网络嵌入控制器 $ {\boldsymbol{u}}_{{\rm{b}}}^{{\boldsymbol{\mu}}} $ 基于$ {\boldsymbol{u}}_{{\rm{b}}} $与$ {\boldsymbol{\mu}}( \cdot | {\boldsymbol{\theta}}) $的学习控制器 $ \circ $ Hadamard 积运算符 $ {\boldsymbol{\vartheta}}(\cdot) $ 嵌入控制器约束函数向量 $ {\cal{L}} $ 系统控制性能的量度
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B2
第 2 ~ 3 节变量与符号 说明 $ {\cal{L}}_{{\cal{S}}} $ 系统$ {\cal{S}} $的性能优化目标函数 $ \psi $ $ {\cal{L}}_{{\cal{S}}} $中其他控制指标正则项 $ {\boldsymbol{b}}_{0} $ $ m $阶已知对角常值矩阵 $ {\cal{F}} $, $ \dot{{\cal{F}}} $ 不确定与扰动值项的等效值与导数 $ \hat{{\cal{F}}} $, $ \dot{\hat{{\cal{F}}}} $ $ {\cal{F}} $的估计值及其导数 $ \tilde{{\cal{F}}} $, $ \dot{\tilde{{\cal{F}}}} $ $ {\cal{F}} $与$ \hat{{\cal{F}}} $的误差及其导数 $ {\boldsymbol{u}}_{{\rm{b}}}^{{\cal{F}}} $ 基于值自适应的基础控制器 ${\boldsymbol{\varpi}}(\cdot)$ 构造$ {\boldsymbol{u}}_{{\rm{b}}}^{{\cal{F}}} $所需函数
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B3
第 4 ~ 5 节变量与符号 说明 $ y_{{\rm{d}}} $ 系统期望输出 $ b_{0} $ 已知系统增益 ($ {\boldsymbol{b}}_{0} $的一维形式) $ \hat{f} $ 待估计不确定项 $ k $ 控制器增益 $ \xi(t) $ 随机变量 $ \theta $, $ \omega $ 电机角度与角速度 $ f_{{\rm{M}}} $ 电机模型未知非线性项 $ \theta_{{\rm{J}}} $, $ \omega_{{\rm{J}}} $ 机械臂关节角度与角速度 $ \gamma $ DRL 方法的奖励函数
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