滑模控制(Sliding-mode control, SMC)凭借其结构简单、对系统的外部扰动和参数摄动具有强鲁棒性等优势, 被广泛应用于电气、机械、航空和航天等领域^[1]. 非匹配扰动及参数摄动存在于系统的非控制通道中, 传统的线性滑模和终端滑模^[2-4]控制输入不能直接对其补偿, 只能迫使非匹配不确定多输入多输出(Multi-input multi-output, MIMO)系统的输出在有限时间内收敛到零附近的邻域^[5-7]. 非匹配扰动及参数摄动广泛存在于实际系统中, 如电机驱动控制系统中的负载转矩扰动、新能源发电并网系统中网侧逆变器的负载电流突变等^[8]. 因此, 研究针对非匹配不确定MIMO系统的强鲁棒、高动态性能的控制方法具有重要的理论意义和应用价值.

非匹配不确定MIMO系统的控制通常采用虚拟控制策略, 须满足虚拟控制增益矩阵的右伪逆矩阵存在. 实际控制系统中的控制量维数$ m $与系统阶数$ n $普遍存在两种关系: 1)$ m\geq{n/2} $; 2)$ m<{n/2} $. 在$ m\geq{n/2} $型系统中, 虚拟控制增益矩阵的右伪逆矩阵存在, 此时虚拟控制信号的维数$ m $大于或等于非匹配不确定性矢量的维数$ n-m $, 系统拥有较多的控制输入量且控制律设计相对容易. 然而, $ m< {n/2} $的情况在实际应用系统中也很常见, 由于控制输入量维数$ m<n-m $, 此时虚拟控制增益的右伪逆矩阵不存在, 大大增加了虚拟控制律的设计难度, 以致虚拟控制量无法直接对非匹配不确定性进行补偿^[9-10]. 目前大多数文献所提出的控制策略通常建立在虚拟控制增益矩阵的右伪逆存在这一严格的前提下, 鲜有涉及$ m<n/2 $的情况^[11-13]. 因此, 实现控制量维度全类型的非匹配不确定MIMO系统的高性能控制, 依然存在较大挑战.

现存文献中所提出的方法通常将非匹配扰动及参数摄动的函数类型局限于$ H_2 $范数有界型和时不变/慢时变型, 不能有效补偿函数模型更为普遍的或快速变化的非匹配扰动^[14-16]. 文献[17]针对不匹配不确定性系统提出了鲁棒开关积分滑模控制方法, 使得各子系统对不确定性扰动鲁棒稳定; 文献[18-20]均利用基于扰动观测器的滑模控制(Disturbance observer based sliding mode, DOBSM), 实现了对非匹配不确定性的补偿. 但是以上两类方法均依赖于非匹配不确定性满足时不变或慢时变的假设, 对于函数模型更一般的不确定性, 则无法控制系统的输出严格地收敛到零, 只能收敛到零附近的邻域. 不同于传统的二阶滑模和高阶滑模控制方法, 文献[21]将非匹配不确定系统中的非匹配不确定性上界函数类型由常数型推广为更加一般的正函数型, 并基于该种类型的扰动边界来设计相应的二阶滑模(Second-order sliding mode, SOSM)控制律, 但不能很好地抑制抖振现象; 文献[22]虽然将非匹配不确定性上界函数类型推广为更为普遍的类型, 但也没能抑制控制信号中的高频抖振. 另外, 文献[21]和[22]虽然考虑了实际应用中更为普遍的扰动函数型, 但皆为时间和输出变量的函数, 并未考虑当增益矩阵存在参数摄动时, 扰动输入函数模型中含有控制信号的情况, 而是仅把不确定性视作集总扰动来处理, 将导致控制系统出现代数环问题^[23-25]. 代数环问题广泛存在于不确定系统之中, 例如机器人系统中含有关节加速度信号的不确定性、电机控制系统中转动惯量、电阻和电感等参数不确定性、新能源并网逆变器中滤波电感和电容的不确定性, 都将引入代数环动态干扰问题, 然而, 目前鲜有控制策略能够抑制其带来的影响.

在设计非匹配不确定系统的控制律时, 实际控制信号往往含有虚拟控制信号的一阶导数, 这将导致控制信号出现奇异和抖振问题^[26]. 文献[27]提出了全阶滑模(Full-order sliding-mode, FSM)和反步法相结合的方式来设计虚拟控制律, 避免了虚拟控制信号中的抖振问题, 但是实际控制律中仍存在高频切换项, 不能彻底消除抖振, 仅能通过牺牲控制精度的边界层法来弥补. 而分数阶滑模^[28]将分数阶微积分理论与滑模控制理论结合以降低滑模切换频率, 可以提高控制行为连续性, 其收敛特性如图1所示^[29-30]. 文献[31]提出基于分数阶滑模控制的次同步振荡抑制方法, 利用分数阶微积分算子增加系统自由度实现对振荡的快速抑制, 但抖振问题并未解决; 为削弱抖振现象, 文献[32]提出一种基于非线性干扰观测器的自适应分数阶滑模控制方法, 然而, 以上两种分数阶滑模控制方法只适用于一类满足匹配条件的不确定系统. 文献[33]针对单输入非匹配不确定系统提出了一种基于观测器的分数阶滑模控制策略; 文献[34]设计了自适应律来估计不匹配非线性项的上界, 然而, 这两种方法并不能有效抑制抖振. 目前大多数文献提出的基于分数阶滑模的控制方法通常仅适应于满足匹配条件的系统, 鲜有分数阶滑模控制方法能够在确保抖振有效抑制的前提下克服非匹配不确定性. 因此, 本文针对非匹配不确定MIMO系统提出一种新的分数阶终端滑模(Fractional-order terminal sliding-mode, FOTSM)控制策略, 突破了上述严苛的限制条件并优化了系统的控制速度和精度, 主要贡献包含以下三个方面:

图 1  分数阶与整数阶滑模收敛特性比较

Fig. 1  Comparison of fractional- and integral-order sliding-mode

下载: 全尺寸图片 幻灯片

1)结合非奇异状态变换和反步法实现了$ m<n/2 $型非匹配不确定MIMO系统的控制, 突破了传统反步法控制律设计中虚拟控制增益矩阵的右伪逆必须存在的严苛限制;

2)提出的切换增益自适应的分数阶终端滑模控制策略, 解决了由非匹配扰动输入含有控制增益矩阵摄动而引起的代数环干扰问题;

3)所设计的虚拟控制律和实际控制律均为连续信号, 且有效抑制了抖振, 系统输出能够快速收敛到零而非其邻域.

1.   问题描述

考虑如下$ n $维非匹配不确定MIMO系统^[35]:

式中, $ \bar{{\boldsymbol{x}}}\in{{{\bf {R}}}^{n}} $和$ {\boldsymbol{u}}\in{{{\bf {R}}}^m} $分别为系统状态变量和控制, $ 1\leq{m}\leq{n} $; $ (\bar{{\boldsymbol{A}}}, \bar{{\boldsymbol{B}}}) $为已知可控对; 控制增益矩阵$ \bar{{\boldsymbol{B}}} $满秩且可以转化为分块矩阵$ \bar{{\boldsymbol{B}}}=[{\boldsymbol{B}}_1^{\rm T},{\boldsymbol{B}}_2^{\rm T}]^{\rm T} $, 其中$ {\boldsymbol{B}}_1\in{{{\bf {R}}}^{(n-m)\times{m}}}, {\boldsymbol{B}}_2\in{{{\bf {R}}}^{m\times{m}}} $满足${\rm{det}}({\boldsymbol{B}}_2)\neq 0$; $ \bar{{\boldsymbol{f}}}(t, \bar{{\boldsymbol{x}}}, {\boldsymbol{u}})\in{{{\bf {R}}}^n} $代表包含了外部扰动和内部参数摄动的集总不确定性.

采用如下坐标变换可将非匹配不确定MIMO系统(1)转换为匹配和非匹配子系统的形式^[36]:

式中, $ {\boldsymbol{I}}_{n-m} $为单位矩阵. 经过坐标变换后, 系统$ (1) $可以转化为如下分别含有匹配和非匹配不确定扰动的MIMO系统:

式中, $ {\boldsymbol{x}}=[{\boldsymbol{x}}_1^{\rm T}, {\boldsymbol{x}}_2^{\rm T}]^{\rm T} $, ${\boldsymbol{x}}_1 \in {{\bf {R}}}^{n-m}, {\boldsymbol{x}}_2 \in {{\bf {R}}}^m; {\boldsymbol{y}} \in {{\bf {R}}}^{n-m}$为系统输出; $ {\boldsymbol{u}}\in {{\bf {R}}}^m $为控制; $ {\boldsymbol{f}}_u(t, {\boldsymbol{x}})\in {{\bf {R}}}^{n-m} $和$ {\boldsymbol{f}}_m(t, {\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{u}})\in {{\bf {R}}}^m $分别为未知的匹配不确定性和非匹配不确定性. 假设$ {\boldsymbol{f}}_u(t, {\boldsymbol{x}}) $和$ {\boldsymbol{f}}_m(t, {\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{u}}) $满足如下边界条件:

式中, $ k_u\ge{0} $, $ F_u\ge 0 $ 和 $ 0\le k_m< 1 $为已知常数, $ F_m(\cdot)\ge 0 $为已知函数; $ d_u\ge 0 $, $ D_u\ge 0 $和$0\le d_m < 1$为已知常数, $ D_m(\cdot)\ge 0 $为已知函数.

针对系统(1), 控制目标为设计虚拟控制律和实际控制律均为连续信号的控制策略, 不局限于虚拟控制增益$ {\boldsymbol{A}}_{12} $的右伪逆存在这一严格假设, 且能够补偿由于含有虚拟/实际控制增益矩阵摄动的非匹配不确定性, 使得系统输出收敛到零而非其邻域.

1.1   线性滑模控制

针对非匹配MIMO系统(3) ~ (5), 设计滑模面和对应的控制律如下^[1]:

式中, 正定参数矩阵$ {\boldsymbol{C}} $满足$ {\rm eig}( {{{\boldsymbol{A}}_{11}} - {{\boldsymbol{A}}_{12}}{\boldsymbol{C}}})<0 $, 则系统的运动轨迹将在有限时间内到达理想滑动模态$ {\boldsymbol{s}}={\boldsymbol{x}}_2+{\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{x}}_1=0 $:

由于非匹配不确定性$ {\boldsymbol{f}}_u(t,{\boldsymbol{x}}) $的存在, 式(10)中的状态变量不能收敛到平衡点.

1.2   积分滑模控制

积分滑模相比于线性滑模具有更高的稳态精度, 积分滑模面及相应的控制律可设计如下^[1]:

式中, 正定参数矩阵$ {{\boldsymbol{C}}_1} $满足$ {\rm eig}({{\boldsymbol{A}}_{11}} - {{\boldsymbol{A}}_{12}}{{\boldsymbol{C}}_1})<0 $, $ {{\boldsymbol{C}}_2} $满足$ {\rm eig}({{\boldsymbol{A}}_{12}}{{\boldsymbol{C}}_2})>0 $, 可知系统的运动轨迹将在有限时间内到达理想滑动模态$ {\boldsymbol{s}}=0 $:

因此, 若$ {\dot {{\boldsymbol{f}}}_u}(t,{\boldsymbol{x}})\neq 0 $, 则降阶子系统(13) 只能收敛到平衡点的邻域, 且该邻域边界取决于非匹配不确定性导数边界的大小^[37].

1.3   全阶终端滑模控制

全阶终端滑模法结合反步法控制思想, 设计全阶滑模面$ {\boldsymbol{s}}_{11} $和$ {\boldsymbol{s}}_{12} $以及虚拟控制律$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $和实际控制律$ {\boldsymbol{u}} $, 迫使系统非输出状态变量$ {\boldsymbol{x}}_2 $在有限时间内跟踪虚拟控制量$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $, 从而使得系统输出状态变量$ {\boldsymbol{x}}_1 $在有限时间内收敛到零^[3]. 滑模面及控制律设计如下:

式中, 误差矢量$ {\boldsymbol{e}}_{1}={\boldsymbol{x}}_{2}-{\boldsymbol{x}}_{2ref} $, 参数矩阵$ {{\boldsymbol{C}}_{11}} $和$ {{\boldsymbol{C}}_{12}} $均为正定对角阵, $ p $和$ q $为正奇数且满足$ 0<{ p}/{ q}<1 $.

然而, 实际控制律(16)中存在虚拟控制律的一阶导数, 仍包含高频切换函数项$ -\,{{\boldsymbol{A}}}_{12}^+{k_{11}}{\mathop{\rm sgn}}{{{\boldsymbol{s}}}_{11}} $, 因而未能彻底抑制抖振. 同时, 控制律设计依赖于虚拟控制增益$ {\boldsymbol{A}}_{12} $的右伪逆矩阵$ {{\boldsymbol{A}}_{12}^+} $存在, 限制了控制系统类型. 因此, 本文主要考虑控制律设计更为困难的$ m<n/2 $型非匹配不确定MIMO系统. 首先, 给出本文理论分析和推导所需的基本定义和引理.

定义1^[38]. 阶次不同的分数阶微积分运算满足如下复合运算规则:

式中, $ \alpha>0 $, $ \beta>0 $, $ l $为常数.

为证明分数阶微分系统稳定, 现给出引理1如下, 作为设计分数阶滑模面的理论依据.

引理1^[39]. 考虑如下分数阶微分系统:

式中, $ 0<v<2 $, $ {\boldsymbol{x}} \in {{{\bf{R}}}^m} $, $ {\boldsymbol{A}}\in {{{\bf{R}}}^{m \times m}} $, 若矩阵$ {\boldsymbol{A}} $满足$ \left| {\arg ({\rm eig}({\boldsymbol{A}}))} \right| > v\pi /2 $, 则系统的解是渐近稳定的.

为证明有限时间收敛性, 现给出引理2如下, 作为论证滑模面有限时间收敛性的基础理论依据.

引理2^[40]. 考虑非Lipschitz自治系统$ \dot{{\boldsymbol{x}}}={\boldsymbol{f}}({\boldsymbol{x}}) $, $ {\boldsymbol{x}}\in {{\bf {R}}}^n $, 满足$ {\boldsymbol{f}}(0)=0 $, 若存在正定连续函数$V({\boldsymbol{x}}): {\rm {\bf{U}}} \to {{\bf {R}}}$, 以及某平衡点附近的邻域$ {\bf U}_0\subset {\bf U} $满足$ \dot V({\boldsymbol{x}}\,+ cV^\alpha ({\boldsymbol{x}})\le 0 $, $ {\boldsymbol{x}}\in {\bf U}_0\backslash \{0\} $, 其中, $ c>0 $且$ 0<\alpha <1 $, 则函数$ V{({\boldsymbol{x}})} $将在有限时间$ t_r $内收敛到平衡点, 收敛时间$ t_r\le V^{1-\alpha}({\boldsymbol{x}}(0))/(c(1-\alpha )) $.

2.   非匹配不确定MIMO系统的分数阶终端滑模控制

假设非匹配不确定子系统(3)中的$ {\boldsymbol{f}}_u(t, {\boldsymbol{x}}) $满足如下匹配条件:

式中, 不确定性矢量函数$ {\boldsymbol{f}}'_u(t, {\boldsymbol{x}}) $满足:

式中, $ d'_u $, $ D'_u $, $ p_u $和$ P_u $均为已知正数.

当虚拟控制增益矩阵$ {\boldsymbol{A}}_{12} $不存在右伪逆矩阵时, 即$ {{\boldsymbol{A}}}_{12}{{\boldsymbol{A}}_{12}^+}\neq{{\boldsymbol{I}}} $, 为实现$ m<n/2 $型非匹配不确定MIMO系统的控制, 首先对非匹配不确定子系统(3)进行两步非奇异状态变换.

对子系统(3)进行非奇异状态变换${\boldsymbol{x}}'={\boldsymbol{F}}_1{\boldsymbol{x}}_1$, $ {\boldsymbol{F}}_1 $为状态变换常数矩阵^[41], 结合式(19)可得如下块能控标准型:

式中, 分块矩阵的维数$ d_i $为: $d_i={\rm rank}({\boldsymbol{B}}_{i,i-1}')= {\rm dim}({\boldsymbol{x}}_i')$, $ i=2,3,\cdots,r, d_1={\rm rank}({\boldsymbol{B}}_{1,0})={\rm dim}({\boldsymbol{x}}_1') $, $ \sum _{i=1}^r d_i=n-m $.

对式(21)进行第二步非奇异状态变换$ {\boldsymbol{x}}'= {\boldsymbol{F}}_2{\boldsymbol{z}} $^[11], 消除块能控标准型中的状态耦合, 可得如下解耦块能控标准型系统:

解耦块能控标准型系统(22)可进一步简写为如下形式:

针对解耦块能控标准型系统设计$ {\boldsymbol{N}}_i= -{\lambda _i}{{\boldsymbol{I}}_{{n_i}}} $, $ i=2,\cdots,r $, 其中, $ -\lambda_ 2<\cdots<-\lambda_ r<0 $, $ n_i $为状态矢量$ {\boldsymbol{z}}_i $的维数, $ {\boldsymbol{I}}_{ni} $为单位矩阵. 当状态矢量$ {\boldsymbol{z}}_{i-1} $依次收敛到零后, 状态矢量$ {\boldsymbol{z}}_i $也将收敛到零.

针对解耦块能控标准型(23)、(24)系统, 设计如下分数阶终端滑模面:

式中, $ 2-\alpha $为分数阶微分的阶次, $ 0<\alpha<1 $, 滑模参数矩阵$ {\boldsymbol{C}}_{21} $为正定对角阵, $ p $和$ q $为正奇数且满足$ 0<{ p}/{ q}<1 $.

推论 1. 考虑分数阶终端滑动面${{\boldsymbol{s}}_{21}} = {D^{2 - \alpha }}{{\boldsymbol{z}}_1}\; + {{\boldsymbol{C}}_{21}}{{\boldsymbol{z}}_1}^{q/p}$, 当系统到达理想滑动模态$ {{\boldsymbol{s}}_{21}}=0 $时, 则系统状态$ {{\boldsymbol{z}}_1} $可收敛到平衡点附近的邻域.

证明. 由定义1可知, $ 1-\alpha $阶积分型终端滑模面可表示为:

式中, $ \boldsymbol{l} $为常值矩阵, 则进一步可得:

且 $ \|\boldsymbol \varpi\| \leq \boldsymbol \zeta $. 将系统的滑动模态解耦成$ j $个子系统:

根据积分型分数阶滑模面的特性, 当$c_{21j}\;- {\varpi_j}/(D^{\alpha-1}z_{1j}^{q / p}) > 0$时, 系统(28)是稳定的^[42], 则$z_{1j} = 0$是$ {\boldsymbol{s}}_{21} = 0 $的解; 当$ D^{\alpha-1}z_{1j}^{q / p}=0 $时, 需要分两种情况进行讨论:

1)若$ D^{\alpha-1} z_{1j}^{q / p}=0 $ 能够长时间保持, 则说明${z_{1j}} = {\dot z_{1j}} = 0$能够确保$ D^{\alpha-1} z_{1j}^{q / p}=0 $成立, 此时系统变量$ {z_{1j}} = 0 $;

2)若$ D^{\alpha-1} z_{1j}^{q / p}=0 $仅是系统的瞬态, 上述分析仍可确保系统状态$ {z_{1j}} $收敛到零. □

命题 1. 若选取如式(25)所示的分数阶终端滑模面$ {\boldsymbol{s}}_{21} $, 设计如下无抖振分数阶积分型滑模虚拟控制律$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $, 并定义跟踪误差矢量$ {\boldsymbol{e}}_{2}={\boldsymbol{x}}_2-{\boldsymbol{x}}_{2ref} $, 当且仅当跟踪误差$ {\boldsymbol{e}}_{2} $收敛至零, 即非输出状态变量$ {\boldsymbol{x}}_2 $精确跟踪虚拟控制量$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $之后, 非匹配不确定MIMO系统(3) ~ (5)的输出变量$ {\boldsymbol{y}} $将收敛到零:

式中, $ {k_{21}}({\boldsymbol{x}}) = \left\| {{{\boldsymbol{B}}_{1,0}}} \right\|\left( {{p_u}\left\| {\boldsymbol{x}} \right\| + {P_u}} \right) + {\eta _{21}} $为时变切换增益, $ p_u $和$ P_u $由式(20)定义, $ \eta_{21} $为很小的正数.

证明. 将$ {{\boldsymbol{e}}_{2}}={\boldsymbol{x}}_2-{{\boldsymbol{x}}_{2ref}} $代入式(24) 得:

误差矢量$ {{\boldsymbol{e}}_{2}} $将在实际控制律作用下由任意初始状态在有限时间内收敛到零, 结合分数阶终端滑模面(25)以及无抖振滑模控制律(29)和(30)可得:

取Lyapunov函数$ {V_1} = 0.5{\boldsymbol{s}}_{21}^{\rm T}{{\boldsymbol{s}}_{21}} $可得:

考虑切换控制律(31)有:

结合非匹配不确定性的边界条件(20), 则有:

将时变切换增益$ k_{21}({\boldsymbol{x}}) $代入上式, 则当Lyapunov函数$ V_1\neq 0 $时, 滑模到达条件成立:

根据引理2可知, 在无抖振分数阶积分型滑模控制律的作用下, 子系统(24)将由任意初始状态$ {\boldsymbol{s}}_{21}(0)\neq 0 $, 在有限时间$ t_{1r} $内到达分数阶终端滑模面$ {\boldsymbol{s}}_{21}=0 $, $ t_{1r}\le \left\| {{{\boldsymbol{s}}_{21}(0)}} \right\|/\eta_{21} $, 并在滑模面上维持理想滑动模态$ {\boldsymbol{s}}_{21}=0 $. 可知, 状态变量$ {\boldsymbol{z}}_1 $将在有限时间内收敛到零, 则系统(23)、(24)的全部状态变量$ {\boldsymbol{z}} $将渐近收敛至零. 因此, 非匹配不确定系统中的输出变量$ {\boldsymbol{y}} $也将收敛到零. □

为实现系统相对阶$ r=0 $的全阶滑动模态, 设计全阶终端滑模面$ {\boldsymbol{s}}_{22}\in {{\bf{R}}}^m $如下:

式中, 误差矢量${\boldsymbol{e}}_{2}={\boldsymbol{x}}_{2}-{\boldsymbol{x}}_{2ref}$, 矩阵${\boldsymbol{C}}_{22}={\rm diag}\{c_{221}, \cdots, c_{22m}\}$, ${\boldsymbol{e}}_2^{q/p} ={\rm diag}\{{e_{21}^{q/p},\cdots, e_{2m}^{q/p}} \}$, $ q $和$ p $为正奇数, 且满足$ 0<q/p<1 $.

定理 1. 若选取全阶终端滑模函数(32)以及无抖振分数阶积分型滑模虚拟控制律$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $, 并设计如下实际无抖振分数阶控制律$ {\boldsymbol{u}} $, 则误差系统的状态轨迹将从任意初始状态$ {\boldsymbol{s}}_{22}(0)\neq 0 $在有限时间$ t_{2r} $内到达全阶终端滑模面$ {\boldsymbol{s}}_{22}=0 $, $ t_{2r}\le \left\| {{{\boldsymbol{s}}_{22}(0)}} \right\|/\eta_{22} $, 并在该滑模面上维持滑动模态, 跟踪误差矢量$ {\boldsymbol{e}}_{2} $也将在有限时间内收敛至零, 则非匹配不确定MIMO系统(3) ~ (5)的输出变量$ {\boldsymbol{y}} $能够收敛到零:

时变切换滑模控制增益函数$ k_{22}({\boldsymbol{x}}) $如下所示:

其中, $ d_m $, $ D_m(\cdot) $, $ d_u' $和$ D_u' $分别由式(7)和式(20)定义, $ \eta _{22} $为很小的正数.

证明. 将式(4)和式(29)代入全阶终端滑模函数(32)中可得:

结合无抖振滑模控制律(33)和(34)有:

取Lyapunov函数$ {V_2} = 0.5{\boldsymbol{s}}_{22}^{\rm T}{{\boldsymbol{s}}_{22}} $, 结合上式并对其求微分可得:

将无抖振切换控制律(35)代入上式得:

考虑匹配不确定性边界条件式(7)和(20)有:

当$ V_2\neq 0 $时, 代入时变切换增益函数$ k_{22}({\boldsymbol{x}}) $有:

根据引理2可知, 跟踪误差系统的状态轨迹将从任意初始状态$ {\boldsymbol{s}}_{22}(0)\neq 0 $出发, 在有限时间$ t_{2r} $内到达全阶终端滑模面$ {\boldsymbol{s}}_{22}=0 $, $ t_{2r}\le \left\| {{{\boldsymbol{s}}_{22}(0)}} \right\|/\eta_{22} $, 并在滑模面上保持滑动模态运动, 误差矢量$ {\boldsymbol{e}}_{2} $将在有限时间内收敛到零点. □

本文的控制目的是设计实际控制律$ {\boldsymbol{u}} $迫使系统的非输出状态变量$ {\boldsymbol{x}}_{2} $在有限时间内跟踪虚拟控制量$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $, 进而虚拟控制律$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $使得系统输出变量$ {\boldsymbol{x}}_{1} $收敛到零. 本文结合分数阶滑模和虚拟控制技术的特点和优势, 创新性地利用$ 2-\alpha $阶积分器处理虚拟控制律$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $中的高频切换函数项, 即$ -{D^{\alpha-2}}{\boldsymbol{B}}_{1,0}^ + {k_{21}}({\boldsymbol{x}}){\mathop{\rm sgn}}({{\boldsymbol{s}}_{21}}) $, 获得了连续的虚拟控制信号; 在设计实际控制律时, 即使需要对虚拟控制律求一阶导数的情况下, 仍然可以保留$ 1-\alpha $阶积分器对实际控制律中的高频切换函数项的处理效果, 即$ -{{\boldsymbol{B}}}_{1,0}^ + {D^{\alpha - 1}}{k_{21}}{\mathop{\rm sgn}} {{\boldsymbol{s}}_{21}} $, 获得连续的实际控制信号, 如式(34)所示. 由于新的分数阶滑模面及其控制律的设计, 高频切换函数项分别利用分数阶和整数阶积分器处理之后输出, 即$ -{{\boldsymbol{B}}}_{1,0}^ + {D^{\alpha - 1}}{k_{21}}{\mathop{\rm sgn}} {{\boldsymbol{s}}_{21}} $和$ \int_0^t {{k_{22}}({\boldsymbol{x}}){\mathop{\rm sgn}}{{\boldsymbol{s}}_{22}}}{\rm d}\tau $. 因此, 抖振被充分抑制, 虚拟和实际控制信号为连续信号.

分数阶滑模控制算法框图如图2所示. 首先对非匹配不确定MIMO系统进行坐标变换得到新的状态变量$ {\boldsymbol{z}} $, 并设计虚拟控制律使得非匹配不确定性得到补偿, 再由实际控制律$ {\boldsymbol{u}} $使得跟踪误差在有限时间收敛到零, 即非输出状态变量$ {\boldsymbol{x}}_2 $精准跟踪虚拟控制量$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $, 从而使系统输出$ {\boldsymbol{y}} $能收敛到零而非其邻域.

图 2  分数阶滑模控制算法框图

Fig. 2  Block diagram of the fractional-order sliding-mode control method

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.   仿真结果及分析

作为控制理论分析中常见非匹配不确定系统, L-1011固定翼巡航飞机侧轴模型为一个满足$ m< n/2 $维度关系($ m $= 2且$ n $= 5)的5阶MIMO系统^[43]:

式中, $ {\boldsymbol{x}}\in {{\bf {R}}}^5 $为倾斜角、偏航角速度、滚转角速度、侧滑角速度、过滤状态组成的状态矢量; $ {\boldsymbol{u}}\in {{\bf {R}}}^2 $为舵偏转和侧翼偏转组成的控制列向量; ${\boldsymbol{f}}_u=[{{f}}_{u1}, 0, 0, {{f}}_{u4}, {{f}}_{u5}]^{\rm T}$为该系统的非匹配不确定性:

匹配不确定性矢量$ {{\boldsymbol{f}}_m}={\boldsymbol{B}}{{\boldsymbol{f}}'_m} $:

同时在控制信道和非控制信道中引入了白噪声干扰.

首先, 进行式(2)所示的状态变换可得:

式中, $ {\boldsymbol{x}}_1=[x_{11}, x_{12}, x_{13}]^{\rm T} $, $ {\boldsymbol{x}}_2=[x_{21}, x_{22}]^{\rm T} $.

经过状态变换后, 系统(37)可以改写为如下匹配/非匹配子系统的形式:

式中, $ {{\boldsymbol{f}}'_u} $和$ {{\boldsymbol{f}}'_m} $分别为$ {\boldsymbol{f}}_u $和$ {\boldsymbol{f}}_m $关于坐标变换(2)的映射.

根据式(21)和式(22)进行两步非奇异状态变换有:

子系统(39)可进一步转换为如下解耦块能控标准型系统:

选取分数阶终端滑模面(25)和全阶终端滑模面(32), 其中, 滑模面参数矩阵${\boldsymbol{C}}_{21}={\rm diag}\{60,60\}$, ${\boldsymbol{C}}_{22}={\rm diag}\{150,170\}$. 控制器参数设计为: $\eta _{21}= 0.01$, $ \eta_{22}=0.05 $, $ d'_u=0 $, $ D'_u=29.6 $, $ p_u=0 $, $ P_u=20 $, $d_m= 0.005$, ${D_m}( {\boldsymbol{x}} ) = \sqrt {{{( {0.75| {{x_4}} |} )}^2} + {{( {0.06| {{x_5}} |} )}^2}} + 0.0042\; + 0.029\left\| {\boldsymbol{x}} \right\| + 0.005\sqrt {{{\left( {0.025\left| {{x_4}} \right|} \right)}^2} + {{\left( {0.001\left| {{x_5}} \right|} \right)}^2}}$.

根据命题1, 设计无抖振分数阶终端滑模虚拟控制律如下:

根据定理1, 设计无抖振实际控制律如下:

式中, 时变切换增益${k_{22}}({\boldsymbol{x}}) = 0.005\left\| {{{\boldsymbol{u}}_{eq}}} \right\| + {D_m}({\boldsymbol{x}}) \,+ 0.005\| {\int_0^t {{k_{22}}{\mathop{\rm sgn}} {{\boldsymbol{s}}_{22}}} {\rm d}\tau} \|$.

针对非匹配不确定系统(39)、(40), 本文将所提出的分数阶终端滑模(FOTSM)与四种适用于非匹配不确定系统的控制方法做对比分析: 基于扰动观测器的滑模控制(DOBSM)^[18]、二阶滑模控制(SOSM)^[21]、全阶滑模控制(FSM)以及基于饱和函数的全阶滑模控制(Saturation-based full-order sliding-mode, FSM-Sat)^[27], 其控制器主要设计参数如表1所示.

表 1  控制器主要设计参数

Table 1  The design parameters of the controllers

控制方法	控制器参数
DOBSM	$c_1=c_2=10, k_1=k_2=700$, $l_1=l_2=10$
SOSM	$c=60, k=2\;000$
FSM	${\boldsymbol{C} }_{1}={\rm{diag}}\{60,60\}$, ${\boldsymbol{C} }_{2}={\rm{diag}}\{150,170\}$, $p=5, q=3$
FSM-Sat	${\boldsymbol{C} }_{1}={\rm{diag}}\{60,60\}$, ${\boldsymbol{C} }_{2}={\rm{diag}}\{150,170\}$, $\delta=1/8$, $p=5,q=3$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

在五种不同的控制方法对匹配和非匹配不确定性的补偿下, 不确定MIMO系统输出变量均能够收敛至零, 如图3所示. 在图4中, 由于DOBSM通常只可补偿时不变/慢时变型不确定性, 故系统输出的收敛精度不高; SOSM方法下的系统输出变量$ x_{11} $存在高频振动且收敛精度数量级仅为$ 10^{-2} $; 通过对比FSM和FSM-Sat可知, 系统输出变量$ x_{11} $在FSM下收敛精度$ 10^{-4} $明显高于FSM-Sat, 也说明了FSM-Sat在实现控制信号连续性的同时牺牲的是收敛精度; 而在FOTSM控制下系统状态变量$ x_{11} $的收敛精度较高, 说明本文所提的方法在保证控制信号连续的同时能够获得良好的控制精度. 相似的结论也可以在图5所示输出变量$ x_{12} $、图6所示输出变量$ x_{13} $以及图7所示输出变量的2-范数$ \left\|{{\boldsymbol{x}}_1}\right\| $的仿真结果中得出. 综上, 在非匹配不确定系统输出变量$ x_{11} $、$ x_{12} $和$ x_{13} $的收敛精度方面, DOBSM、SOSM和FSM-Sat的收敛精度不高, 而FSM和FOTSM具有相对较高的收敛精度.

图 3  五种不同控制方法的系统输出相量${{\boldsymbol{x}}}_1$

Fig. 3  System output ${{\boldsymbol{x}}}_1$ under the five control methods

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 4  五种不同控制方法的系统输出相量${x}_{11}$

Fig. 4  System output ${x}_{11}$ under the five control methods

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 5  五种不同控制方法的系统输出相量${x}_{12}$

Fig. 5  System output ${x}_{12}$ under the five control methods

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 6  五种不同控制方法的系统输出相量${x}_{13}$

Fig. 6  System output ${x}_{13}$ under the five control methods

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 7  五种不同控制方法的系统输出的2范数$\left\| {{\boldsymbol{x}}}_1\right\|$

Fig. 7  2-norm of system output $\left\| {{\boldsymbol{x}}}_1\right\|$ under five methods

下载: 全尺寸图片 幻灯片

FOTSM方法下的系统非输出状态变量$ {\boldsymbol{x}}_{2} $收敛状态以及系统虚拟控制信号$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $的波形如图8所示, 系统非输出状态变量$ {\boldsymbol{x}}_{2} $实现了对虚拟控制信号$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $的精确跟踪. 本文结合反步法的控制思想, 将可测非输出状态变量$ {\boldsymbol{x}}_{2} $看作为子系统的虚拟控制量$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $, 迫使系统的输出变量$ {\boldsymbol{x}}_{1} $对子系统中的非匹配不确定性$ {{\boldsymbol{f}}_u}(\cdot) $具有不变性, 进而$ {\boldsymbol{x}}_{1} $严格收敛到零; 再设计实际控制量$ {\boldsymbol{u}} $迫使虚拟控制量$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $跟踪状态变量$ {\boldsymbol{x}}_{2} $. 因此, 系统输出$ {\boldsymbol{x}}_{1} $可以收敛到零, 而追踪$ {\boldsymbol{x}}_{2} $的虚拟控制量$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $需要补偿非匹配不确定性$ {{\boldsymbol{f}}_u}(\cdot)\ne{0} $, 因而状态变量$ {\boldsymbol{x}}_{2} $为非零信号. 由于非匹配不确定性的存在, 状态变量$ x_{21} $和$ x_{22} $仅能在有限时间内收敛到零附近的邻域.

图 8  分数阶终端滑模控制下状态${\boldsymbol{x}}_{2}$和虚拟控制信号${\boldsymbol{x}}_{2ref}$

Fig. 8  States ${\boldsymbol{x}}_{2}$ and virtual control ${\boldsymbol{x}}_{2ref}$ under FOTSM

下载: 全尺寸图片 幻灯片

五种不同控制算法的控制信号如图9所示, 可见只有FSM-Sat和FOTSM的控制信号是连续的, 其他控制信号均呈现出高频的抖振. 饱和函数的加入虽然能够令FSM控制信号连续, 但却牺牲了一定的控制精度. 而本文所提方法引入$ 2-\alpha $阶分数阶积分, 使得虚拟控制信号$ {\boldsymbol{x}}_{2ref} $为连续平滑的信号, 同时, 含有虚拟控制信号一阶导数的实际控制信号$ {\boldsymbol{u}} $中存在切换控制项的$ 1-\alpha $阶分数阶积分, 使得$ {\boldsymbol{u}} $仍为连续信号. 五种控制方法的性能对比如表2所示. 因此, 本文对抖振的分析与仿真结果是相符合的. 在上述方法中, 只有所提出的FOTSM能够在确保高控制精度的同时有效抑制抖振, 获得连续的控制信号.

图 9  五种不同控制方法的实际控制信号${\boldsymbol{u}}$

Fig. 9  Actual control ${\boldsymbol{u}}$ under the five control methods

下载: 全尺寸图片 幻灯片

表 2  不同控制方法性能对比

Table 2  Performance comparison of the five methods

控制方法	收敛速度	控制精度	控制信号
DOBSM	较快	$\leq0.05$	不连续, 抖振
SOSM	较快	$\leq0.04$	不连续, 抖振
FSM	快	$\leq 1\times10^{-3}$	不连续, 抖振
FSM-Sat	快	$\leq0.06$	连续
FOTSM	快	$\leq4\times10^{-3}$	连续

下载: 导出CSV 

| 显示表格

4.   结论

本文所设计的分数阶终端滑模控制方法通过设计虚拟控制量以补偿非控制信道中的非匹配不确定扰动, 再利用实际控制信号迫使非输出状态变量精确逼近无抖振平滑的虚拟控制量, 从而使得系统输出能够收敛到零, 实现了对$ m<n/2 $型非匹配不确定MIMO控制系统的高精度和强鲁棒控制. 所提出的控制策略解除了虚拟控制增益矩阵的右伪逆须存在的限制条件, 设计的自适应分数阶滑模切换律解决了由控制增益矩阵摄动引起的代数环问题, 在降低切换增益幅值的同时也获得了平滑的虚拟控制和实际控制信号. 最后, 仿真研究验证了本文所提出的控制方法的正确性和优越性.