Fault Detection and Diagnosis Based on Residual Dissimilarity in Dynamic Principal Component Analysis
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摘要: 针对动态主元分析方法中残差自相关性降低过程故障检测率问题, 提出基于动态主元分析残差互异度的故障检测与诊断方法. 首先, 应用动态主元分析(Dynamic principal component analysis, DPCA)计算动态过程数据的残差得分; 接下来, 应用滑动窗口技术并结合互异度指标(Dissimilarity)来监控过程残差得分状态; 最后, 利用基于变量贡献图的方法进行过程故障诊断分析. 本文方法通过DPCA捕获过程的动态特征, 同时互异度指标区别于传统的平方预测误差(Square prediction error, SPE), 它可以有效地对具有自相关性的残差得分进行过程状态监控. 通过一个数值例子和Tennessee Eastman (TE)过程的仿真实验并与传统方法对比分析, 仿真结果进一步证实了本文方法的有效性.Abstract: Aiming at the problem of reducing process fault detection rate because of residual autocorrelation in dynamic principal component analysis, a novel fault detection and diagnosis based on residual dissimilarity in dynamic principal component analysis is proposed in this paper. Firstly, Dynamic principal component analysis (DPCA) is used to calculate residual score of a dynamic process. Next, moving window technology and dissimilarity index are utilized to monitor the status of this process in residual score. Finally, a fault diagnosis method based on contribution chart of monitored variables is used for discovering the reason causing abnormal change of this process. The proposed method to capture dynamic characteristics of a process through DPCA, meanwhile, the proposed dissimilarity index, which is different from the conventional squared prediction error (SPE), can effectively monitor the process in which the residual scores contain significant autocorrelation. The effectiveness of DPCA-Diss is tested in a numerical case and the Tennessee Eastman (TE) process.
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近年来, 张量方法在控制理论及其应用的各个领域得到了广泛的应用, 如基于张量数据表示的深度学习模型[1]、基于非负张量分析的时序链路预测方法[2]、局部图像描述中基于结构张量的HDO (Histograms of dominant orientations)算法[3]、二维解析张量投票算法[4]等.
张量动力系统已经广泛应用于Volterra系统识别[5]、张量乘积TP (Tensor product)模型变换[6]、人体动作识别[7-8]和塑性模型[9]等各个领域.因此, 由于在张量常微分方程解中的关键作用, 张量指数函数的计算已经成为一个重要的研究领域.
考虑如下常微分方程[9]
$$ \begin{align}\label{equation1-1} \left\{ \begin{array}{ll} \dot{\mathcal{Y}}(t)=\mathcal{A}\mathcal{Y}(t) \\ {\mathcal{Y}}(t_0)=\mathcal{Y}_{0} \end{array} \right. \end{align} $$ (1) 这里$\mathcal{A}$和$\mathcal{Y}_{0}$是给定张量, 一般是非对称的, 那么关于系统(1)的张量指数函数${\rm exp}(\cdot)$有如下唯一解:
$$ \begin{align}\label{equation1-2} {\mathcal{Y}}(t)={\rm exp}[(t-t_0)\mathcal{A}]{\mathcal{Y}}_{0} \end{align} $$ (2) 对于一般的张量$\mathcal{A}$, 它的指数函数可以表示为它的级数形式:
$$ \begin{align*}{\rm exp}(\mathcal{A})=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\mathcal{A}^n\end{align*} $$ 目前计算张量指数函数(2)通常使用的方法是截断法[10], 其实质就是将张量指数函数展开成无穷级数后, 取前$n_{\rm{max}}$项, 得到近似解, 即:
$$ \begin{align*}{\rm exp}(\mathcal{A}) \approx \sum\limits_{n=0}^{n_{\rm{max}}} \frac{1}{n!}\mathcal{A}^n\end{align*} $$ 张量指数函数选取的项数$n_{\rm{max}}$受限于所需的精度:
$$ \begin{align*}\frac{1}{n_{\rm{max}}!}\|\mathcal{A}^{n_{\rm{max}}}\|\le \epsilon_{\rm{tol}}\end{align*} $$ 显然有截断法的精度与张量指数函数选取的项数$n_{\rm{max}}$有关, 保留的项数越多, 精度越高, 但是需要进行的张量乘积次数也就越多; 保留的项数越少, 计算量越少, 但是精度也就越低.因此, 计算张量指数函数的截断法有待改进.
为研究上述问题, 本文首次定义了张量的一种广义逆, 并以此为基础构造了张量广义逆Padé逼近GITPA (Generalized inverse tensor Padé approximation)的一种$\varepsilon$-算法. GITPA方法的优势在于:在计算过程中, 不必用到张量的乘积, 也不要计算张量的逆, 另外, 该方法对奇异张量也是适用的.目前在国内外, 关于计算张量的逆还没有找到一种比较可行的计算方法.作为GITPA方法的一个重要应用, 本文在后面给出计算张量指数函数的数值实验, 来说明$\varepsilon$-算法的有效性.
本文组织如下:第1节简单介绍本文用到的张量基础知识, 并定义张量的一种广义逆; 第2节, 首先给出广义逆张量Padé逼近的定义, 并以此为基础给出张量$\varepsilon$-算法; 第3节将$\varepsilon$-算法用来计算张量指数函数值, 并与通常使用的的级数截断法相比较; 最后给出简单的小结.
1. 一种张量广义逆
1.1 张量基础知识
本节介绍本文将要用到的张量基础知识.张量是一种多维数组, 其中向量是一阶张量, 矩阵是二阶张量, 特别地, 一个$ p $阶张量拥有$ p $个下标, 是$ p $个拥有独立坐标系的向量空间的外积(张量积).一个$ p $阶$ n_1\times n_2\times \cdots \times n_p $维张量可以表示为:
$$ \mathcal{A} = (a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}})\in {\bf C}^{n_{1}\times n_{2}\times\cdots \times n_{p}} $$ 文献[11]提出了张量的切片方法.对一个三阶张量, 可以固定其中任意一个下标, 从而得到该张量的一种表示形式.设$ \mathcal{A} = (a_{i_{1}i_{2}i_{3}})\in {\bf C}^{2\times 2\times3} $, 固定其第三个下标, 则张量可以表示为
$$ \begin{align*} \mathcal{A} = \, &\left[ \begin{array}{c|c|c} \mathcal{A}_{1} &\mathcal{A}_{2}& \mathcal{A}_{3} \end{array}\right] = \nonumber\\ &\left[ \begin{array}{cc|cc|cc} a_{111} & a_{121} & a_{112} & a_{122} & a_{113} & a_{123}\\ a_{211} & a_{221} & a_{212} & a_{222} & a_{213} & a_{223}\\ \end{array} \right] \end{align*} $$ 下面定义两个三阶张量的$ t $-积, 可以通过递归自然地推广到高阶张量的$ t $-积.
定义1[12]. (块循环矩阵)令$ \mathcal{A} \in {\bf R}^{l\times p\times n} $, 则$ \mathcal{A} $的块循环矩阵被定义为
$$ \begin{equation*} bcirc(\mathcal{A}) = {\left[ \begin{array}{ccccc} \mathcal{A}_{1} & \mathcal{A}_{n} & \mathcal{A}_{n-1} & \cdots & \mathcal{A}_{2} \\ \mathcal{A}_{2} & \mathcal{A}_{1} & \mathcal{A}_{n} & \cdots & \mathcal{A}_{3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathcal{A}_{n} & \mathcal{A}_{n-1} & \cdots & \mathcal{A}_{2} & \mathcal{A}_{1} \\ \end{array} \right]}_{ln\times pn} \end{equation*} $$ 定义一个展开算子: $ unfold(\cdot)$[12], 用以下方式将一个${p\times m\times n}$的张量展开成一个${pn\times m}$的矩阵:
$$ \begin{equation*} unfold(\mathcal{B}) = \left[ \begin{array}{c} \mathcal{B}_{1}^{\rm{T}} \mathcal{B}_{2}^{\rm{T}} \cdots \mathcal{B}_{n}^{\rm{T}}\\ \end{array} \right]^{\rm{T}} \end{equation*} $$ 这里$fold(\cdot)$[12]是它的逆算子, 它会将一个$ {pn\times m} $的矩阵转化成$ {p\times m\times n} $的张量.因此,
$$ \begin{equation*} fold(unfold(\mathcal{B})) = \mathcal{B} \end{equation*} $$ 定义2[12-13]. (张量$ t $-积)令$ \mathcal{A} $是一个$ l\times p\times n $的张量, $ \mathcal{B} $是一个$ p\times m\times n $的张量, 则张量$ t $-积$ \mathcal{A}*\mathcal{B} $将得到一个$ l\times m\times n $的张量, 定义如下:
$$ \begin{equation*} \mathcal{A}\ast \mathcal{B} = fold(bcirc(\mathcal{A}) \cdot unfold(B)) \end{equation*} $$ 例1. 设$ \mathcal{A}, \mathcal{B}\in {\bf R}^{2\times 2\times3} $, 现固定其第三个下标, 分别产生
$$ \begin{align*} \begin{array}{rl} \mathcal{A} = &\left[ \begin{array}{cc|cc|cc} 1 & 2 & 5 & 6 & 9 & 10 \\ 3 & 4 & 7 & 8 & 11 & 12 \\ \end{array} \right]\\ \mathcal{B} = &\left[ \begin{array}{cc|cc|cc} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\end{array} \end{align*} $$ 则由定义2得到
$$ \begin{align*} \begin{array}{rl} \mathcal{A}\ast\! \mathcal{B} = \\&fold\left[ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{ccc} \mathcal{A}_{1} & \mathcal{A}_{3} & \mathcal{A}_{2} \\ \mathcal{A}_{2} & \mathcal{A}_{1} & \mathcal{A}_{3} \\ \mathcal{A}_{3} & \mathcal{A}_{2} & \mathcal{A}_{1} \\ \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{c} \mathcal{B}_{1} \\ \mathcal{B}_{2} \\ \mathcal{B}_{3} \\ \end{array} \right] \\ \end{array} \right] = \\ &fold\left[ \begin{array}{c} \mathcal{A}_{1}\mathcal{B}_{1}+\mathcal{A}_{3}\mathcal{B}_{2}+\mathcal{A}_{2}\mathcal{B}_{3} \\ \mathcal{A}_{2}\mathcal{B}_{1}+\mathcal{A}_{1}\mathcal{B}_{2}+\mathcal{A}_{3}\mathcal{B}_{3} \\ \mathcal{A}_{3}\mathcal{B}_{1}+\mathcal{A}_{2}\mathcal{B}_{2}+\mathcal{A}_{1}\mathcal{B}_{3} \\ \end{array} \right] = \\ &\left[ \begin{array}{cc|cc|cc} 68 & 53 & 40 & 49 & 72 & 81 \\ 90 & 75 & 62 & 71 & 94 & 103 \\ \end{array} \right] \end{array} \end{align*} $$ 下面定义张量的范数.令$ \mathcal{A}\in {\bf C}^{n_{1}\times n_{2}\times\cdots \times n_{p}} $, 张量的范数就等于它所有元素平方和的平方根[11], 即
$$ \begin{align} \|\mathcal{A}\| = \sqrt{\sum^{n_{1}}_{i_{1} = 1}\sum^{n_{2}}_{i_{2} = 1}\cdots\sum^{n_{p}}_{i_{p} = 1}a^2_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}} \end{align} $$ (3) 这和矩阵的$ Frobenius $-模是类似的.两个大小相同的张量$ \mathcal{A} $, $ \mathcal{B}\in {\bf C}^{n_{1}\times n_{2}\times\cdots \times n_{p}} $的内积等于它们对应元素的乘积的和[11], 即
$$ \begin{align} (\mathcal{A}, \mathcal{B}) = \sum^{n_{1}}_{i_{1} = 1}\sum^{n_{2}}_{i_{2} = 1}\cdots\sum^{n_{p}}_{i_{p} = 1}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}b_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}} \end{align} $$ (4) 于是显然成立$ (\mathcal{A}, \mathcal{A}^\ast) = \|\mathcal{A}\|^2 $, 其中记号"$ \ast $''表示取复共轭.
1.2 张量广义逆
参考复数、向量和矩阵的倒数, 容易得到以下结论:
1) 若$ b $是一个复数, $ b\in {\bf C} $, 则$ bb^\ast = |b|^2 $, $ {1}/{b} = b^{-1} = {b^\ast}/{|b|^2} $;
2) 若$ {\pmb v} $是一个向量, $ {\pmb v}\in {\bf C}^n $, 则$ {\pmb v}\cdot {\pmb v}^\ast = |{\pmb v}|^2 $, $ {1}/{{\pmb v}} = {\pmb v}^{-1} = {{\pmb v}^\ast}/{|{\pmb v}|^2} $ (见Graves-Morris [14]);
3) 若$ A = a_{ij} $, $ B = b_{ij}\in {\bf C}^{s\times t} $, 则$ A\cdot B = \sum^s_{i = 1}\sum^t_{j = 1}(a_{ij}b_{ij})\in {\bf C} $, $ {1}/{A} = A_r^{-1} = {A^\ast}{\|A\|^2} $ (见顾传青[15-17]).因此, 下面张量的广义逆可以看作是向量和矩阵的推广:
定义3. 令$ \mathcal{A}, \mathcal{B}\in {\bf C}^{n_1\times n_2\times \cdots\times n_p} $, 其内积为
$$ \begin{equation*} (\mathcal{A}, \mathcal{B}) = \sum\limits^{n_{1}}_{i_{1} = 1}\sum\limits^{n_{2}}_{i_{2} = 1}\cdots\sum\limits^{n_{p}}_{i_{p} = 1}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}b_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}} \end{equation*} $$ $ \mathcal{A}\cdot\mathcal{A}^\ast = \parallel\mathcal{A}\parallel^2 $, 则张量$ \mathcal{A} $的广义逆被定义为
$$ \begin{align} \begin{aligned} \mathcal{A}_r^{-1}& = \frac{1}{\mathcal{A}} = \frac{\mathcal{A}^\ast}{\parallel\mathcal{A}\parallel^2}, \mathcal{A}\neq 0, \mathcal{A}\in {\bf C}^{n_1\times n_2\times \cdots\times n_p} \end{aligned} \end{align} $$ (5) 其中张量的范数由式(3)给出.
引理1. 令$ \mathcal{A}, \mathcal{B}\in {\bf C}^{n_1\times n_2\times \cdots\times n_p}, \mathcal{A}, \mathcal{B}\neq0 $且$ b\in {\bf R}, b\neq0 $, 则下列关系成立:
1) $ \frac{b}{\mathcal{A}} = \frac{1}{\mathcal{B}}\Longleftrightarrow\mathcal{A} = b\mathcal{B} $;
2) $ (\mathcal{A}^{-1}_r)^{-1}_r = \mathcal{A}, (b\mathcal{A})^{-1}_r = \frac{1}{b}\mathcal{A}^{-1}_r $.
证明. 根据定义3, 结论2)是显然的.现在证明结论1).因为$ \mathcal{A}, \mathcal{B}\neq0 $, 从$ \mathcal{A} = b\mathcal{B} $, 容易推得$ \frac{b}{\mathcal{A}} = \frac{1}{\mathcal{B}} $.利用定义3, 得到引理1的左端, $ \frac{b\mathcal{A}^\ast}{\|\mathcal{A}\|^2} = \frac{\mathcal{B}^\ast}{\|\mathcal{B}\|^2} $, 即
$$ \begin{align*} \mathcal{A}^\ast = \frac{\parallel\mathcal{A}\parallel^2}{b\parallel\mathcal{B}\parallel^2}\mathcal{B}^\ast, \mathcal{A} = \frac{\parallel\mathcal{A}\parallel^2}{b\parallel\mathcal{B}\parallel^2}\mathcal{B} \end{align*} $$ 因此
$$ \begin{align*} \parallel\mathcal{A}\parallel^2 = \mathcal{A}\cdot\mathcal{A}^\ast = \frac{\parallel\mathcal{A}\parallel^4\parallel\mathcal{B}\parallel^2}{b^2\parallel\mathcal{B}\parallel^4} \end{align*} $$ 即$ b^2 = \frac{\parallel\mathcal{A}\parallel^2}{\parallel\mathcal{B}\parallel^2} $, 所以$ \mathcal{A} = b\mathcal{B} $.
2. 张量广义逆$ \pmb{\varepsilon} $-算法
2.1 广义逆张量Padé逼近的定义
设$ f(t) $是给定的张量多项式, 其系数为张量, 即
$$ \begin{equation} f(t) = \mathcal{C}_0+\mathcal{C}_1t+\mathcal{C}_2t^2+\cdots+\mathcal{C}_nt^n+\cdots \end{equation} $$ (6) $$ \begin{equation*} \mathcal{C}_i = (c_i^{(i_1i_2\cdots i_p)})\in {\bf C}^{n_{1}\times n_{2}\times\cdots \times n_{p}}, t\in {\bf C} \end{equation*} $$ 定义4. 令$ C^{n_1\times n_2\times \cdots\times n_p}[t] $是一个$ p $阶张量的多项式集合, 维数分别为$ n_1\times n_2\times \cdots\times n_p $.一个张量多项式$ \mathcal{A}(t) = (a_{i_1i_2 \cdots i_p}(t))\in {\bf C}^{n_1\times n_2\times \cdots\times n_p}[t] $是$ m $阶的, 表示为$ \partial\mathcal{A}(t) = m $, 若$ \partial(a_{i_1i_2 \cdots i_p}(t))\leq m $对于所有$ i_i = 1, 2, \cdots, n_i, 1\leq i\leq p $都成立, 且$ \partial(a_{(i_1i_2 \cdots i_p)}(t)) = m $对于某些$ i_i = 1, 2, \cdots, n_i, 1\leq i\leq p $成立.
定义5. 定义$ [\frac{n}{2k}] $型广义逆张量Padé逼近(GITPA)是一个张量有理函数
$$ \begin{equation} \mathcal{R}(t) = \frac{\mathcal{P}(t)}{q(t)} \end{equation} $$ (7) 其中, $ \mathcal{P}(t) $是一个张量多项式, $ q(t) $是一个数量多项式, 满足以下条件:
1) $ \partial{ \mathcal{P}(t)}\leq n, \partial{q(t)} = 2k; $
2) $ q(t)\mid \parallel\mathcal{P}(t)\parallel^2; $
3) $ q(t)f(t)-\mathcal{P}(t) = O(t^{n+1}); $
其中, $ \mathcal{P}(t) = (p_{(i_1i_2 \cdots i_p)}(t))\in {\bf C}^{n_1\times n_2\times \cdots \times n_p} $, 其范数$ \|\mathcal{P}(t)\|^2 $由式(3)给出, 而整除性条件2)表明分母数量多项式$ q(t) $能够整除分子张量多项式$ \mathcal{P}(t) $范数的平方.
2.2 张量$ \pmb\varepsilon $-算法
给定张量多项式(6), 根据张量广义逆(5), 定义张量$ \varepsilon $-算法如下:
$$ \begin{align*} &\varepsilon_{-1}^{(j)} = 0 , j = 0, 1, 2, \cdots \end{align*} $$ (8) $$ \begin{align*} &\varepsilon_0^{(j)} = \sum\limits_{i = 0}^j C_i z^i , j = 0, 1, 2, \cdots \end{align*} $$ (9) $$ \begin{align*} &\varepsilon_{k+1}^{(j)} = \varepsilon_{k-1}^{(j+1)}+(\varepsilon_k^{(j+1)}-\varepsilon_k^{(j)})^{-1} , j, k\ge0 \end{align*} $$ (10) 类似于矩阵情况, 根据式(8)$ \, \sim\, $(10), 上述张量$ \varepsilon $-算法组成了一个称为$ \varepsilon $-表的二维数组:
其中, 根据$ \varepsilon $-算法产生的元素$ \varepsilon_{k+1}^{(j)} $, 它的上标$ j $表示斜行数, 下标$ k+1 $表示列数.每个元素的产生与一个菱形有关, 例如, 由$ \varepsilon_0^{(1)}, \varepsilon_1^{(0)}, \varepsilon_1^{(1)}, \varepsilon_2^{(0)} $所组成的菱形, 现在要计算$ \varepsilon_2^{(0)} $, 由式(10), 将$ \varepsilon_1^{(1)} $减去$ \varepsilon_1^{(0)} $, 再取广义逆(3), 然后将结果加上$ \varepsilon_0^{(1)} $, 从而得到$ \varepsilon_2^{(0)} $.
定理1. (恒等定理)利用张量广义逆(5), 根据$ \varepsilon $-算法(8)$ \, \sim\, $(10)构造$ \varepsilon_{2k}^{(j)} $, 如果在计算过程中没有出现分母为零的情形, 则广义逆Padé逼近$ [\frac{j+2k}{2k}]_f $存在, 且成立恒等式:
$$ \begin{equation} \varepsilon_{2k}^{(j)} = \left[\frac{j+2k}{2k}\right]_f, j, k\ge 0 \end{equation} $$ (11) 证明. 该证明与矩阵情况类似, 可以参考文献[15].
设张量指数函数为
$$ \begin{equation} {\rm exp}(\mathcal{A}t) = \mathcal{I}+\mathcal{A}t+\frac{1}{2!}\mathcal{A}^2t^2+\frac{1}{3!}\mathcal{A}^3t^3+\cdots \end{equation} $$ (12) 给出计算张量指数函数(9)的张量$ \varepsilon $-算法如下:
算法1. (计算张量指数函数的$ \varepsilon $-算法):
输入:张量$ \mathcal{A} $、自变量$ t $和需要逼近的阶数$ j_{\rm{max}} $和$ k_{\rm{max}} $ (偶数)的值.
1) 计算$ \varepsilon $-表的第一列,
$ \varepsilon_{-1}^{(j)} = 0, j = 0, 1, 2, \cdots, j_{\rm{max}}+1 $.
2) 计算$ \varepsilon $-表的第二列,
$ \varepsilon_0^{(j)} = \sum_{i = 0}^j \frac{1}{i!}\mathcal{A}^it^i, j = 0, 1, 2, \cdots, j_{\rm{max}} $.
3) 逐列计算$ \varepsilon $-表的第三列至第$ k_{\rm{max}}+2 $列,
$ \varepsilon_{k+1}^{(j)} = \varepsilon_{k-1}^{(j+1)}+(\varepsilon_k^{(j+1)}-\varepsilon_k^{(j)})^{-1}, j, k\ge0 $.
输出:计算结果$ \varepsilon_{2k}^{(j)} = [\frac{j+2k}{2k}]_e $, 即为所求张量指数的$ [\frac{j+2k}{2k}] $型广义逆Padé逼近, 其中在第2)步计算$ \mathcal{A}^i $时用到定义1给出的张量$ t $-积.
2.3 张量$ \pmb\varepsilon $-算法的常用格式
给定张量指数函数(12), 下面给出张量$ \varepsilon $-算法的几个常用格式:
格式Ⅰ: $ \varepsilon_2^{-1} = [\frac{1}{2}]_e = \varepsilon_{0}^{(0)}+(\varepsilon_1^{(0)}-\varepsilon_1^{(-1)})^{-1} $, 其中
$$ \begin{align*} &\varepsilon_{0}^{(0)} = \mathcal{I}, \varepsilon_{0}^{(1)} = \mathcal{I}+\mathcal{A}t\\ &\varepsilon_{1}^{(0)} = (\varepsilon_0^{(1)}-\varepsilon_0^{(0)})^{-1} = \frac{1}{\mathcal{A}t}\\ &\varepsilon_{0}^{(-1)} = 0, \varepsilon_{1}^{(-1)} = (\varepsilon_0^{(0)}-\varepsilon_0^{(-1)})^{-1} = \frac{1}{\mathcal{I}} \end{align*} $$ 格式Ⅱ: $ \varepsilon_2^{0} = [\frac{2}{2}]_e = \varepsilon_{0}^{(1)}+(\varepsilon_1^{(1)}-\varepsilon_1^{(0)})^{-1} $, 其中
$$ \begin{align*} &\varepsilon_{1}^{(1)} = (\varepsilon_0^{(2)}-\varepsilon_0^{(1)})^{-1} = \frac{2}{\mathcal{A}^2t^2}\\ &\varepsilon_{0}^{(2)} = \mathcal{I}+\mathcal{A}t+\frac{\mathcal{A}^2t^2}{2} \end{align*} $$ 格式Ⅲ: $ \varepsilon_2^{1} = [\frac{3}{2}]_e = \varepsilon_{0}^{(2)}+(\varepsilon_1^{(2)}-\varepsilon_1^{(1)})^{-1} $, 其中
$$ \begin{align*} &\varepsilon_{1}^{(2)} = (\varepsilon_0^{(3)}-\varepsilon_0^{(2)})^{-1} = \frac{6}{\mathcal{A}^3t^3}\\ &\varepsilon_{0}^{(3)} = \mathcal{I}+\mathcal{A}t+\frac{\mathcal{A}^2t^2}{2}+\frac{\mathcal{A}^3t^3}{6} \end{align*} $$ 格式Ⅳ: $ \varepsilon_4^{-1} = [\frac{3}{4}]_e = \varepsilon_{2}^{(0)}+(\varepsilon_3^{(0)}-\varepsilon_3^{(-1)})^{-1} $, 其中
$$ \begin{align*} &\varepsilon_{3}^{(0)} = \varepsilon_{1}^{(1)}+(\varepsilon_2^{(1)}-\varepsilon_2^{(0)})^{-1}\\ &\varepsilon_{3}^{(-1)} = \varepsilon_{1}^{(0)}+(\varepsilon_2^{(0)}-\varepsilon_2^{(-1)})^{-1} \end{align*} $$ 格式Ⅴ: $ \varepsilon_4^{0} = [\frac{4}{4}]_e = \varepsilon_{2}^{(1)}+(\varepsilon_3^{(1)}-\varepsilon_3^{(0)})^{-1} $, 其中
$$ \begin{align*} &\varepsilon_{3}^{(1)} = \varepsilon_1^{(2)}+(\varepsilon_2^{(2)}-\varepsilon_2^{(1)})^{-1} \end{align*} $$ 格式Ⅵ: $ \varepsilon_4^{1} = [\frac{5}{4}]_e = \varepsilon_{2}^{(2)}+(\varepsilon_3^{(2)}-\varepsilon_3^{(1)})^{-1} $, 其中
$$ \begin{align*} &\varepsilon_{3}^{(2)} = \varepsilon_1^{(3)}+(\varepsilon_2^{(3)}-\varepsilon_2^{(2)})^{-1} \end{align*} $$ 例2. 设张量$ \mathcal{A}\in {\bf R}^{2\times 2\times 2} $, 其张量指数函数为
$$ \begin{equation*} \label{equation3-8} \begin{aligned} {\rm exp}(\mathcal{A}t) = \, &\left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] +\\ &\left[ \begin{array}{cc|cc} 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 & -1 \\ \end{array} \right]t+\\ &\left[ \begin{array}{cc|cc} 0 & -2 & 0 & -\dfrac{5}{2} \\ 0 & \dfrac{5}{2} & 0 & 2 \\ \end{array} \right]t^2 +\end{aligned} \end{equation*} $$ $$ \begin{align} &\left[ \begin{array}{cc|cc} 0 & \dfrac{13}{6} & 0 & \dfrac{7}{3} \\ 0 & -\dfrac{7}{3} & 0 & -\dfrac{13}{6} \\ \end{array} \right]t^3+\\ &\left[ \begin{array}{cc|cc} 0 & -\dfrac{5}{3} & 0 & -\dfrac{41}{24} \nonumber\\ 0 & \dfrac{41}{24} & 0 & \dfrac{5}{3} \nonumber\\ \end{array} \right]t^4+\cdots = \\ &\mathcal{I}+\mathcal{A}t+\frac{1}{2!}\mathcal{A}^2t^2+ \frac{1}{3!}\mathcal{A}^3t^3+\\ &\frac{1}{4!}\mathcal{A}^4t^4+\cdots \end{align} $$ (13) 计算$ [\frac{2}{2}] $型GITPA.
由常用格式Ⅱ得
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} &\varepsilon_2^{(0)} = \left[\frac{2}{2}\right]_e = \varepsilon_{0}^{(0)}+(\varepsilon_1^{(0)}-\varepsilon_1^{(-1)})^{-1} = \\ &\mathcal{I}+\mathcal{A}t+\frac{1}{\frac{2}{\mathcal{A}^2t^2}-\frac{1}{\mathcal{A}t}} = \\ &\frac{\left[ \begin{array}{cc|cc} a_1 & a_2 & 0 & a_3\\ 0 & a_1-a_3 & 0 & -a_2\\ \end{array} \right]}{a_1} = \frac{\mathcal{P}_2(t)}{q_2(t)} \end{aligned} \end{equation*} $$ 其中
$$ \begin{array}{rl} a_1 = &41+140t+125t^2\\ a_2 = &40t^2+41t\\ a_3 = &155t^2+82t \end{array} $$ 由定义5, $ \varepsilon_2^{(0)} = \frac{\mathcal{P}_2(t)}{q_2(t)} $是式(13)的$ [\frac{2}{2}] $型GITPA, 满足以下条件:
1) $ \partial{\mathcal{P}_2(t)} = 2, \partial{q_2(t)} = 2; $
2) $ q_2(t)\mid \parallel\mathcal{P}_2(t)\parallel^2; $这里
$$ \begin{align*} \|\mathcal{P}_2(t)\|^2 = \, &2(a_1^2+a_2^2+a_3^2)-2a_1a_3 = \\ &2(a_1^2+205t^2a_1-a_1a_3) = \\ &2a_1(a_1+205t^2-a_3) \end{align*} $$ 3) $ q_2(t){\rm exp}(\mathcal{A}t)-\mathcal{P}_2(t) = O(t^{3}) $.
3. 数值实验
本节计算张量$\varepsilon$-算法的近似值和精确值的误差, 并将本文的方法与计算张量指数函数的截断法进行比较.首先给出目前通常使用的无穷序列截断法:
算法2. (无穷序列截断法[10])
输入:张量$\mathcal{A}$、自变量$t$和误差限$\epsilon_{\rm{tol}}$的值.
1) 初始化$n=0$和${\rm exp}(\mathcal{A}t):=\mathcal{I}$.
2) $n:=n+1$.
3) 计算$\frac{t^n}{n!}$和$\mathcal{A}^n$.
4) 将该项计算结果加到
$$ {\rm exp}(\mathcal{A}t):={\rm exp}(\mathcal{A}t)+\frac{t^n}{n!}\mathcal{A}^n $$ 5) 判断是否停止, 若
$$ \begin{equation*} \frac{\|\mathcal{A}^n\|t^n}{n!} <\epsilon_{\rm{tol}} \end{equation*} $$ 则停止, 否则回到第2)步.
输出: ${\rm exp}(\mathcal{A}t)$.
例3. 设张量$\mathcal{A}\in {\bf R}^{2\times 2\times 2}$, $\mathcal{A}$中的元素为
$$ a_{121}=\frac{1}{2}, a_{221}=-\frac{2}{3}, a_{122}=-\frac{1}{2}, a_{222}=\frac{2}{3} $$ 其余均为0, 它的指数函数展开式为
$$ \begin{equation}\label{equation4-1} \begin{aligned} {\rm exp}(\mathcal{A}t)=\, &\left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] +\\ &\left[ \begin{array}{cc|cc} 0 & \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{2}{3} \\[2mm] 0 & -\dfrac{2}{3} & 0 & -\dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right]t+\\ &\left[ \begin{array}{cc|cc} 0 & -\dfrac{1}{3} & 0 & -\dfrac{15}{72} \\[2mm] 0 & \dfrac{15}{72} & 0 & \dfrac{1}{3} \\ \end{array} \right]t^2+\\ &\left[ \begin{array}{cc|cc} 0 & \dfrac{19}{144} & 0 & \dfrac{43}{324} \\[2mm] 0 & -\dfrac{43}{324} & 0 & -\dfrac{19}{144} \\ \end{array} \right]t^3+\\ &\left[ \begin{array}{cc|cc} 0&-\dfrac{25}{648}&0&-\dfrac{128}{3315}\\[2mm] 0&\dfrac{128}{3315}&0&\dfrac{25}{648}\\ \end{array} \right]t^4+\cdots=\\ &\mathcal{I}+\mathcal{A}t+\frac{1}{2!}\mathcal{A}^2t^2+ \frac{1}{3!}\mathcal{A}^3t^3+\\ &\frac{1}{4!}\mathcal{A}^4t^4+\cdots \end{aligned} \end{equation} $$ (14) 用$\varepsilon$-算法和截断法计算该指数函数.
3.1 $\pmb{[\frac{4}{4}]}$型GITPA的数值实验
由常用格式V计算$[\frac{4}{4}]$型GITPA, 数值实验结果见表 1.
表 1 $[\frac{4}{4}]$型GITPA-算法数值实验Table 1 The numerical experiment of $[\frac{4}{4}]$ type GITPA-algorithm$x$ $(1, 2, 1)$ $(2, 2, 1)$ $(1, 2, 2)$ $(2, 2, 2)$ $ RES $ 0.2 $E$值 0.08766299 0.87955329 0.12044671 -0.08766299 $5.69\times10^{-13}$ $A$值 0.08766327 0.87955283 0.12044717 -0.08766327 0.4 $E$值 0.15420167 0.78130960 0.21869040 -0.15420167 $3.74\times10^{-10}$ $A$值 0.15420895 0.78129804 0.21870196 -0.15420895 0.6 $E$值 0.20408121 0.70078192 0.29921808 -0.20408121 $1.40\times10^{-8}$ $A$值 0.20412606 0.70071136 0.29928864 -0.20412606 0.8 $E$值 0.24081224 0.63444735 0.36555265 -0.24081224 $1.63\times10^{-7}$ $A$值 0.24096630 0.63420702 0.36579298 -0.24096630 1 $E$值 0.26715410 0.57953894 0.42046106 -0.26715410 $1.01\times10^{-6}$ $A$值 0.26753925 0.57894247 0.42105753 -0.26753925 表 1中由常用格式V计算的近似值记作$A$值, 根据截断法即算法2取指数函数展开式(14)前15项计算得到的结果为精确值, 记作$E$值.表 1中分别列出张量下标为(1, 2, 1), (2, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 2, 2)在点0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1相应的近似值与精确值.表 1中最后一列表示近似值与精确值残差的范数的平方, 记作$RES$, 其计算公式如下:
$$ \begin{equation*} RES(t)=\|{\rm exp}(\mathcal{A}t)-\left[\frac{4}{4}\right]_{e^{\mathcal{A}t}}(t)\|^2 \end{equation*} $$ 其中, 模范数$\|\cdot\|$由式(3)定义.
表 1显示, 张量$\varepsilon$-算法得到的近似值能够达到较高的计算精度.可以发现, 自变量的值越接近0, 张量$\varepsilon$-算法的逼近效果越好, 计算结果基本符合理论预期.
3.2 两个算法数值实验的比较
首先, 在张量指数函数(14)中令$t=2$, 取前15项计算得到的精确值为
$$ \begin{equation*} \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & ~~0.3098~~&~~0 & ~~0.5932 \\ 0 & ~~0.4068~~&~~0 & ~~-0.3098 \\ \end{array} \right] \end{equation*} $$ 根据算法1分别计算$[\frac{2}{2}], [\frac{4}{4}], [\frac{6}{6}]$型GITPA, 并与截断算法2进行比较, 得到的数值实验结果见表 2.
表 2 算法1和算法2的数值实验比较Table 2 The numerical experiment comparison of Algorithm 1 and Algorithm 2$[\frac{j+2k}{2k}]$ 张量$\varepsilon$-算法 $n_{\rm{max}}$ $\sum^{n_{\rm{max}}}_{n=0}\frac{1}{n!}\mathcal{A}^nt^n $ $a_{121}$ $a_{221}$ $a_{122}$ $a_{222}$ $a_{121}$ $a_{221}$ $a_{122}$ $a_{222}$ $[\frac{2}{2}]$ 0.4235 0.3513 0.6487 -0.4235 1 1.0000 -0.3333 1.3333 -1.0000 $[\frac{4}{4}]$ 0.3049 0.4141 0.5859 -0.3049 2 -0.3333 1.0556 -0.0556 0.3333 $[\frac{6}{6}]$ 0.3098 0.4068 0.5932 -0.3098 3 0.7222 -0.0062 1.0062 -0.7222 - - - - 4 0.1049 0.6116 0.3884 -0.1049 - - - - 5 0.3931 0.3234 0.6766 -0.3931 - - - - 6 0.2810 0.4355 0.5645 -0.2810 - - - - 7 0.3184 0.3981 0.6019 -0.3184 - - - - 8 0.3075 0.4090 0.5910 -0.3075 - - - - 9 0.3103 0.4062 0.5938 -0.3103 - - - - 10 0.3097 0.4069 0.5931 -0.3097 - - - - 11 0.3098 0.4067 0.5933 -0.3098 - - - - 12 0.3098 0.4068 0.5932 -0.3098 表 2显示, $[\frac{6}{6}]$型GITPA计算的数值结果与截断法取前13项相加的数值结果的精确度相近, 由此说明本文给出的张量$\varepsilon$-算法是有效的.
3.3 两个算法计算复杂度的比较
下面从计算复杂度的角度来对两种算法进行比较.由于需要自乘, 前两维的维数必须相等.对于一个$l\times l\times n$的三阶张量$\mathcal{A}$, 1次张量$t$-积的计算复杂度为$ {\rm O}(l^3n^2)$; 而1次张量的广义逆等价于2次张量的数乘计算, 其计算复杂度为$ {\rm O}(l^2n)$.因此, 随着张量维数的增大, 计算张量$t$-积显然要比计算张量的广义逆付出更大的成本.
根据张量$\varepsilon$-算法计算$[\frac{6}{6}]$型GITPA所使用的是张量指数函数(14)的前7项, 需要进行5次张量$t$-积和21次广义逆计算, 而达到相同精度, 截断法需要取前13项, 需要进行11次张量$t$-积和12次数乘运算.两种算法的计算复杂度比较见表 3.从表 3可以看出:在计算过程中, 张量$\varepsilon$-算法计算复杂度为$5l^3n^2+42l^2n$, 截断法计算复杂度为$11l^3n^2+12l^2n$.
表 3 算法1和算法2的计算复杂度分析Table 3 The analysis of computational complexity of Algorithm 1 and Algorithm 2计算一次 $\varepsilon$-算法: $[\frac{6}{6}]$型 截断法:取13项 复杂度 计算 计算 $t$-积运算 $l^3n^2$ 5 11 数乘运算 $l^2n$ 21 12 范数运算 $l^2n$ 21 0 总和 $5l^3n^2+42l^2n$ $11l^3n^2+12l^2n$ 例4. 为了比较两种算法所需的时间, 在Matlab中选取$'seed~'=1:100$, 随机生成张量$\mathcal{A}$如下: $3\times 3\times 3, 10\times 10\times 10, 20\times 20\times 20, 30\times 30\times 30, 40\times 40\times 40$各100个张量, 分别使用算法1和算法2计算其张量指数函数(12), 其中, 本文给出的算法1计算的是$[\frac{6}{6}]$型GITPA, 算法2计算的是指数函数展开的前13项之和.两个算法计算所需时间见表 4, 表中数据均是由内存8 GB, 主频2.50 GHz, 操作系统Windows 10, 处理器Inter(R) Core(TM) i5-7300HQ的笔记本电脑的Matlab (R2015b)得到.
表 4 不同维数下两种算法的运行时间表(s)Table 4 The consuming time of two algorithms in different dimensions (s)张量维数 张量$\varepsilon$-算法运行时间 截断法运行时间 $ 3~\times ~3\times ~3$ 1.755262 1.103832 $10\times 10\times 10$ 2.272663 2.164860 $20\times 20\times 20$ 3.831094 4.805505 $30\times 30\times 30$ 6.419004 10.545785 $40\times 40\times 40$ 15.814063 30.012744 图 1显示, 算法1计算$[\frac{6}{6}]$型GITPA与算法2即截断法计算前13项之和相比, 在维数较低的情况下(维数低于$10\times 10\times 10$), GITPA的运行时间略高于截断法; 当维数较高时, 本文的算法1逐渐显示出优越性, 可以很好地降低计算时间.
图 1 不同维数下两种算法运行时间直方图(s)Fig. 1 The time-consuming comparison histogram of two algorithms in different dimensions (s)4. 结论
目前, 国内外还没有看到计算张量的逆和广义逆的有效算法, 本文提出的一种张量广义逆即定义3是一个实用的计算方法, 它是同一类型的向量广义逆(Graves-Morris [14])和矩阵广义逆(顾传青[15-16, 18])在张量上的推广.在该张量广义逆的基础上, 本文得到了计算张量指数函数(12)的张量$\varepsilon$-算法.从计算张量指数函数(14)的数值实验来看, 与目前通用的无穷序列截断法相比较, 在计算精度和计算复杂度上具有一定的优势, 在张量维数比较大时, 这个优势会更加明显.下面的研究工作从两个方面进行, 一是用本文提出的广义逆张量Padé逼近(GITPA)方法来考虑控制论中的模型简化问题, 二是对张量$\varepsilon$-算法的稳定性进行探讨.
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表 1 各种方法故障检测率
Table 1 Fault detection rates using different methods
检测方法 FDR (%) PCA-SPE 4.4 DPCA-SPE 16.6 DPCA-Diss 95.1 
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表 2 各种方法故障检测率(%)
Table 2 Fault detection rates using different methods (%)
故障号 PCA-SPE KPCA-SPE DPCA-SPE Diss DPCA-Diss 1 99.75 93.75 98.88 34.25 96.13 2 91.88 94.50 91.75 8.88 93.63 4 99.88 53.88 4.25 9.75 21.63 5 64.25 7.50 100.00 14.13 99.38 6 100.00 63.38 100.00 96.38 99.88 7 34.25 98.63 20.00 30.25 48.75 8 79.38 40.25 65.25 70.25 96.75 10 56.50 3.63 90.13 30.88 96.63 11 67.38 53.00 7.75 76.75 91.00 12 87.00 57.75 97.75 98.88 99.75 13 94.50 62.00 93.13 65.75 93.50 14 89.13 88.13 7.75 62.00 94.38 15 3.25 3.13 2.50 2.50 77.50 16 56.63 2.88 89.63 54.25 98.38 17 94.88 74.00 71.88 88.50 96.63 18 90.38 85.75 89.50 87.00 89.00 19 51.88 6.00 46.25 73.13 97.13 20 60.13 21.63 87.38 71.00 90.00 21 37.00 5.25 16.75 22.50 33.88
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[1] Qin S J. Survey on data-driven industrial process monitoring and diagnosis. Annual Reviews in Control, 2012, 36(2): 220-234 doi: 10.1016/j.arcontrol.2012.09.004 [2] 刘强, 卓洁, 郎自强, 秦泗钊. 数据驱动的工业过程运行监控与自优化研究展望. 自动化学报, 2018, 44(11): 1944-1956 doi: 10.16383/j.aas.2018.c180207Liu Qiang, Zhuo Jie, Lang Zi-Qiang, Qin S. Joe. Perspectives on Data-driven Operation Monitoring and Self-optimization of Industrial Processes. Acta Automatica Sinica, 2018, 44(44): 1944-1956 doi: 10.16383/j.aas.2018.c180207 [3] Ge Z Q, Song Z H, Gao F R. Review of recent research on data-based process monitoring. Industrial & Engineering Chemistry Researchl, 2013, 52(10): 3543-3562 [4] 张成, 高宪文, 李元. 基于k近邻主元得分差分的故障检测策略. 自动化学报, 待发表 doi: 10.16383/j.aas.c180163Zhang Cheng, Gao Xian-Wen, LI Yuan. Perspectives on Data-driven Operation Monitoring and Self-optimization of Industrial Processes. Acta Automatica Sinica, to be published doi: 10.16383/j.aas.c180163 [5] 冯立伟, 张成, 李元, 谢彦红. 基于双近邻标准化和PCA的多阶段过程故障检测. 化工学报, 2018, 69(07): 3159-3166Feng Li-Wei, Zhang Cheng. Li Yuan, Xie Yan-Hong. DLNS-PCA-based fault detection for multimode batch process. CIESC Journal, 2018, 69(07): 3159-3166 [6] 胡益, 王丽, 马贺贺, 侍洪波. 基于核 PLS 方法的非线性过程在线监控. 化工学报, 2011, 62(09): 2555-2561 doi: 10.3969/j.issn.0438-1157.2011.09.025Hu Yi, Wang Li, Ma He-He, Shi Hong-Bo. Online nonlinear process monitoring using kernel partial least squares CIESC Journal, 2011, 62(09): 2555-2561 doi: 10.3969/j.issn.0438-1157.2011.09.025 [7] Wang L, Shi H B. Improved kernel PLS-based fault detection approach for nonlinear chemical processes. Chinese Journal of Chemical Engineering, 2014, 22(06): 657-663 doi: 10.1016/S1004-9541(14)60088-4 [8] 张成, 郭青秀, 冯立伟, 李元. 基于局部保持投影-加权k近邻规则的多模态间歇过程故障检测策略. 控制理论与应用, 2019, 36(10): 1682-1689 doi: 10.7641/CTA.2019.80858Zhang Cheng, Guo Qing-Xiu, Feng Li-Wei, Li Yuan. Fault detection strategy based on locality preserving projections-weighted k nearest neighbors in multimodal batch processes. Control Engineering of China, 2019, 36(10): 1682-1689 doi: 10.7641/CTA.2019.80858 [9] Lee J M, Yoo C K, Choi S W, Vanrolleghem P A, Lee I B. Nonlinear process monitoring using kernel principal component analysis. Chemical Engineering Science, 2004, 59(1): 223-234 doi: 10.1016/j.ces.2003.09.012 [10] 赵孝礼, 赵荣珍. 全局与局部判别信息融合的转子故障数据集降维方法研究. 自动化学报, 2017 43(4): 560-567Zhao Xiao-Li, Zhao Rong-Zhen. A Method of Dimension Reduction of Rotor Faults Data Set Based on Fusion of Global and Local Discriminant Information. Acta Automatica Sinica, 2017, 43(4): 560-567 [11] Zhang Y W, Ma C. Fault diagnosis of nonlinear processes using multiscale KPCA and multiscale KPLS. Chemical Engineering Science, 2011, 66(1): 64-72 doi: 10.1016/j.ces.2010.10.008 [12] 张成, 郭青秀, 李元, 高宪文. 基于主元分析得分重构差分的故障检测策略. 控制理论与应用, 2019, 36(05): 774-782Zhang Cheng, Guo Qing-Xiu, Li Yuna, Gao Xian-Wen. Fault detection strategy based on difference of score reconstruction associated with principal component analysis. Control Theory & Application, 2019, 36(05): 774-782 [13] 彭开香, 马亮, 张凯. 复杂工业过程质量相关的故障检测与诊断技术综述. 自动化学报, 2017, 43(3): 349-365Peng Kai-Xiang, Ma Liang, Zhang Kai. Review of Quality-related Fault Detection and Diagnosis Techniques for Complex Industrial Processes. Acta Automatica Sinica, 2017, 43(3): 349-365 [14] Ku W, Storer R H, Georgakis C. Disturbance detection and isolation by dynamic principal component analysis. Chemom. Intell. Lab. Syst. , 1995, 30(1): 179-196 doi: 10.1016/0169-7439(95)00076-3 [15] Kano M. Statistical process monitoring based on dissimilarity of process data. AIChE Journal, 2002, 48(6): 1231-1240 doi: 10.1002/aic.690480610 [16] Wang G Z, Liu J C, Li Y. A progressive fault detection and diagnosis method based on dissimilarity of process data. In: Proceedings of the 2014 IEEE International Conference on Information and Automation. Hailar, China: IEEE, 2014. 1211-1216 [17] Zhao C H, Wang F L, Jia M X. Dissimilarity analysis based batch process monitoring using moving windows. AIChE Journal, 2007, 53(5): 1267-1277 doi: 10.1002/aic.11164 [18] Zhang C, Guo Q X, Li Y. Fault detection method based on principal component difference associated with DPCA. Journal of Chemometrics, 2019, 33(1) [19] Rato T J, Reis M S. Fault detection in the Tennessee Eastman benchmark process using dynamic principal components analysis based on decorrelated residuals. Chemom Intel Lab Syst, 2013, 125(7): 101-108 [20] 石怀涛, 刘建昌, 丁晓迪, 谭帅, 王雪梅. 基于混合动态主元分析的故障检测方法. 控制工程, 2012, 19(1): 152-155 doi: 10.3969/j.issn.1671-7848.2012.01.038Shi Huai-Tao, Liu Jian-Chang, Ding Xiao-Di, Tan Shuai, Wang Xue-Mei. Fault detection based on hybrid dynamic principal component analysis. Control Engineering of China, 2012, 19(1): 152-155 doi: 10.3969/j.issn.1671-7848.2012.01.038 [21] Rato T J, Reis M S. Advantage of using decorrelated residuals in dynamic principal component analysis for monitoring large-scale systems. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2013, 52(38): 13685-13698 [22] Wang J, He Q P. Multivariate statistical process monitoring based on statistics pattern analysis. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2010, 49(17): 7858-7869 [23] Li G, Alcala C F, Qin S J, Zhou D H. Generalized reconstruction-based contributions for output-relevant fault diagnosis with application to the Tennessee Eastman process. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2011, 19(5): 1114-1127 doi: 10.1109/TCST.2010.2071415 [24] Yu H, Khan F. Improved latent variable models for nonlinear and dynamic process monitoring. Chemical Engineering Science, 2017, 168: 325-338 doi: 10.1016/j.ces.2017.04.048 [25] Jiang Q C, Yan X F. Non-Gaussian chemical process monitoring with adaptively weighted independent component analysis and its applications. Journal of Process Control, 2013, 23(9): 1320-131 doi: 10.1016/j.jprocont.2013.09.008 [26] Zhang M G, Ge Z Q, Song Z H, Fu R W. Global-Local structure analysis Model and its application for fault detection and identification. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2011, 50(11): 6837-6848 期刊类型引用(1)
1. 蒋祥龙，顾传青. Thiele型张量连分式插值及其在张量指数计算中的应用. 上海大学学报(自然科学版). 2021(04): 650-658 . 
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