An Enhanced Ant Colony Optimization Combined With Clustering Decomposition for Solving Complex Green Vehicle Routing Problem
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摘要: 针对带时间窗的低能耗多车场多车型车辆路径问题(Low-energy-consumption multi-depots heterogeneous-fleet vehicle routing problem with time windows, LMHFVPR_TW), 提出一种结合聚类分解策略的增强蚁群算法(Enhanced ant colony optimization based on clustering decomposition, EACO_CD)进行求解. 首先, 由于该问题具有强约束、大规模和NP-Hard等复杂性, 为有效控制问题的求解规模并合理引导算法在优质解区域搜索, 根据问题特点设计两种基于K-means的聚类策略, 将LMHFVPR_TW合理分解为一系列带时间窗的低能耗单车场单车型车辆路径子问题(Low-energy-consumption vehicle routing problem with time windows, LVRP_TW); 其次, 本文提出一种增强蚁群算法(Enhanced ant colony optimization, EACO)求解分解后的各子问题(LVRP_TW), 进而获得原问题的解. EACO不仅引入信息素挥发系数控制因子进一步动态调节信息素挥发系数, 从而有效控制信息素的挥发以提高算法的全局搜索能力, 而且设计基于4种变邻域操作的两阶段变邻域局部搜索(Two-stage variable neighborhood search, TVNS)来增强算法的局部搜索能力. 最后, 在不同规模问题上的仿真和对比实验验证了所提EACO_CD的有效性.Abstract: In this paper, an enhanced ant colony optimization combined with clustering decomposition strategy (EACO_CD) is proposed for solving the low-energy-consumption multi-depots heterogeneous-fleet vehicle routing problem with time windows (LMHFVPR_TW). Firstly, since the considered problem is a complex one with strong constraints, large scale and NP-hardness, In order to control the scale of problem and reasonably guide the algorithm to search in the high-quality solution region, two kinds of clustering methods based on K-means strategies are designed to reasonably decompose it into a series of subproblems (i.e., the low-energy-consumption vehicle routing problems with time windows (LVRP_TW) by utilizing the problem characteristics. Secondly, an enhanced ant colony optimization (EACO) to solve the decomposed subproblems (LVRP_TW) for obtaining the solution of the original problem is proposed. Not only a control factor of pheromone decay parameter in EACO is added to adjust the pheromone decay parameter dynamically so as to control the volatilization of pheromone effectively and improve the global search ability of ACO, but also a two-stage variable neighborhood search (TVNS) is designed based on four variable neighborhood operations to enhance its the local search ability. Finally, simulation experiments and comparisons on instances with different scales demonstrate the effectiveness of proposed EACO_CD.
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现代过程工业中存在着一类间歇过程[1], 如半导体加工、制药、注塑、发酵等.间歇过程通常具有重复特性, 且对跟踪精度要求较高, 是典型的非连续操作.其控制任务是在每个生产批次内跟踪给定的参考轨迹[2].迭代学习控制(Iterative learning control, ILC)能够利用过去批次的信息进行优化学习, 不断调整控制输入轨迹, 逐步提高跟踪性能, 实现对参考轨迹的高精度跟踪, 因此被广泛应用于间歇过程控制中[3].但是由于ILC是典型的开环控制, 因此不能保证控制系统的时域稳定性, 难以处理实时干扰.模型预测控制(Model predictive control, MPC)作为先进过程控制技术[4], 不仅广泛应用于工业过程的优化控制[5-6], 同时也成功应用于轨迹跟踪控制[7].它通过预测未来的系统状态及输出, 进行滚动时域优化, 能及时处理实时干扰, 保证时域跟踪性能及闭环系统稳定性, 弥补ILC的不足.迭代学习模型预测控制(Model predictive iterative learning control, MPILC)结合了MPC与ILC的优点, 因此成为控制间歇过程的有效方法.
早期的MPILC算法大多基于输入输出模型, 如受控自回归积分滑动平均(CARIMA)模型[8-9], 脉冲响应模型[10].而近年来基于状态空间模型的MPILC算法研究受到了更多关注, 研究对象包括线性定常状态空间模型[11]、带干扰项的状态空间模型[12]以及含不确定性的状态空间模型[13].其控制器设计通常需要进行状态增广以构造二维误差模型.为加强控制器鲁棒性, 很多学者在此基础上提出控制器结构改进算法, 如构造分段优化[14], 改善学习机制[15].
典型的间歇过程通常具有强非线性, 而现有的MPILC算法大都是针对线性系统构造的.文献[14$-$15]将原非线性系统在工作点简单线性化, 文献[10]沿参考轨迹进行线性化.由线性化带来的模型失配问题会在一定程度上影响时域跟踪性能以及迭代学习速度, 这在实际生产上将造成原料浪费以及经济效率下降.近年来许多学者在MPILC研究中通过各种建模手段来近似非线性系统, 包括T-S模糊建模[16]、神经网络建模[17]、数据驱动建模[18]等.但是这些方法需要大量过程数据的支持, 以及极其复杂的调参、学习过程才能建立较为精确的模型.
线性参变(Linear parameter varying, LPV)蕴含技术是处理复杂非线性的有效手段, 已被广泛应用于非线性模型预测中[19].原非线性系统在工作区间的动态特性可以包含在由LPV系统构成的多胞里.因此, 只要保证基于LPV模型的控制系统的稳定, 就能够保证非线性控制系统的稳定[20].由于LPV模型中存在的参数不确定性, 其控制求解一般通过线性矩阵不等式(Linear matrix inequality, LMI)约束下的目标函数优化来实现.
间歇过程的参考轨迹会由于不同的产品规格、生产效率以及外在干扰而发生改变.比如半导体制造中的蚀刻系统必须跟踪不同的操作轨迹来生产不同规格的晶片[21].而一旦参考轨迹发生变化, 经典迭代预测控制需要重新进行初始化, 并经历多个批次的学习来跟踪新轨迹[10], 适应能力较差.近年来许多学者提出改进的自适应ILC算法来解决变参考轨迹跟踪控制问题.文献[21]针对随机系统变轨迹跟踪问题, 提出两种自适应ILC策略, 一是在控制器设计中选择当前批次的输出轨迹与下一批次的参考轨迹的差值作为新的状态变量, 另一种是在每一个批次的末尾利用卡尔曼滤波器重新进行系统辨识; 文献[22]针对离散非线性系统, 设计模糊自适应ILC控制器, 通过不断更新模糊参数来近似变参考轨迹下的系统动态; 文献[23]设计基于数据驱动的自适应ILC控制器, 引入未来批次的参考轨迹作为反馈, 并将过去批次的参考轨迹作为前馈以实现对变参考轨迹的跟踪.这些基于ILC的控制策略通常要求已知所有采样时刻上的参考轨迹变化量, 并且由于算法内缺少预测环节导致了跟踪性能和学习效率的下降.针对该问题, 可将参考轨迹变化量视为迭代域中存在的有界扰动, 构造限制参考轨迹变化量对系统控制性能影响的$H_\infty$约束.这样只要在每个采样时刻的优化中满足此$H_\infty$约束, 就可有效抑制变参考轨迹带来的跟踪误差波动, 且只需已知下一采样时刻的参考轨迹变化量. $H_\infty$控制[24]可与MPILC算法有效结合, 利用预测控制的滚动时域优化提高时域跟踪性能, 从而加快学习速度.
本文提出一种基于LPV模型的鲁棒迭代学习模型预测控制(Robust model predictive iterative learning control, RMPILC)算法, 实现间歇过程对变参考轨迹的跟踪.采用LPV模型描述非线性系统动态特性, 并通过状态增广建立二维误差模型.为保证变参考轨迹下的跟踪性能, 引入$H_\infty$约束条件.将变轨迹跟踪问题转化为LMI约束下的凸优化问题.通过针对数值例子以及CSTR系统的仿真验证了所提出算法的有效性.
1. 模型推导
1.1 非线性系统的LPV蕴含
假设非线性间歇系统由下式表示:
$ \left\{ \begin{array}{l} x(t+1)=f(x(t), u(t))\\ y(t)=g(x(t)) \\ \end{array} \right. $
(1) 其中, $x\in {\bf R}^{n_x}$是状态变量, $u\in{\bf R}^{n_u}$是控制输入, $y\in{\bf R}^{n_y}$为输出变量. $t\in(0, N]$, $N$为批次长度.
假设对任意$x(t)$、$u(t)$ $(t\in{(0, N]})$存在矩阵
$ \aleph(t)\in\Omega(\Im) $
满足
$ \left[\begin{array}{c} x(t+1)\\ y(t) \end{array} \right]=\aleph(t) {\left[\begin{array}{c} x(t)\\ u(t) \end{array} \right]} $
其中, $\Omega(\Im)=co\{A(\theta), B(\theta), C(\theta), {\theta}\in{\Im}\}$为多胞集合, 其中$\theta$为某一有界过程参数, 且存在$l$个非负系数$\theta_q~(q=1, 2, \cdots, l)$满足
$ A(\theta)=\sum\limits_{q=1}^l{{\theta_q}{A_q}}, B(\theta)=\sum\limits_{q=1}^l{{\theta_q}{B_q}}\\ C(\theta)=\sum\limits_{q=1}^l{{\theta_q}{C_q}}, \sum\limits_{q=1}^l{\theta_q}=1\\ $
那么, 非线性系统(1)的动态特性可由LPV系统描述:
$ \begin{cases} x(t+1)=A(\theta)x(t)+B(\theta)u(t)\\ y(t)=C(\theta)x(t)\\ \end{cases} $
(2) 即任何关于LPV系统(2)的性质适用于非线性系统(1).
间歇过程的LPV建模问题已经得到了广泛关注[25].其中, 选择合适的参数至关重要.对于简单非线性系统, 可以通过直接计算非线性项的上下界确定.若被控系统的非线性比较复杂, 可以基于系统平衡点, 采用数学变换的方法获得合适的表达式[26].
1.2 增广迭代误差模型
建立相邻迭代次序之间的动态关系, 得到
$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta{x_{k}(t+1)}=A(\theta)\Delta{x_{k}(t)}+B(\theta)\Delta{u_{k}(t)}\\ \Delta{y_{k}(t)}=C(\theta)\Delta{x_{k}(t)}\\ \end{array} \right. $
(3) 其中
$ \Delta{x_{k}(t)}=x_{k}(t)-x_{k-1}(t)\\ \Delta{u_{k}(t)}=u_{k}(t)-u_{k-1}(t)\\ \Delta{y_{k}(t)}=y_{k}(t)-y_{k-1}(t) $
定义输出参考轨迹为$y{_k^r}(t)$, 那么跟踪误差可以定义为
$ e_{k}(t)=y{_k^r}(t)-y_{k}(t) $
(4) 将式(4)代入式(3), 得到沿迭代轴的增广迭代误差状态空间模型:
$ \begin{cases} \overline{x}_{k}(t+1)=\overline{A}(\theta) \overline{x}_{k}(t)+\overline{B}(\theta)\Delta{u_{k}(t)} +\Upsilon_{k}(t+1)\\ \overline{y}_{k}(t)=\overline{C}\overline{x}_{k}(t) \end{cases} $
(5) 其中
$ \begin{align*} &\overline{y}_{k}(t)=\Delta{e_{k}(t)},\overline{x}_{k}(t)= \left[\begin{array}{c} \Delta{x_{k}(t)}\\ \Delta{e_{k}(t)} \end{array} \right]\in{\bf R}^{n_x+n_y} \\& \Delta{e_{k}(t)}=e_{k}(t)-e_{k-1}(t),\Delta{y{_k^r}(t)}= y{_k^r}(t)-y{_{k-1}^r}(t) \\& \overline{A}(\theta)=\left[\begin{array}{cc} A(\theta)&0\\ -C(\theta){A}(\theta)&0 \end{array} \right]\\ &\overline{B}(\theta)=\left[\begin{array}{c} B(\theta)\\ -C(\theta){B}(\theta) \end{array} \right] \\& \overline{C}=\left[\begin{array}{cc} 0&I_{n_y\times{n_y}} \end{array} \right],\Upsilon_{k}(t+1)=\left[\begin{array}{c} 0\\ \Delta{y{_k^r}(t+1)} \end{array} \right] \end{align*} $
这里, $\Delta{y{_k^r}}$项代表了参考轨迹变化量.
1.3 二维增广误差模型
由第1.2节可知, 系统(5)的输出$\overline{y}_{k}(t)$为相邻迭代次序跟踪误差的变化量$\Delta{e_{k}(t)}$.则在第$k$次迭代中, 为了将跟踪误差$e_{k}(t)$控制到0, $\overline{y}_{k}(t)$的参考轨迹应为$\overline{y}{_k^r}(t)=-e_{k-1}(t)$.定义:
$ \tilde{e}_{k}(t)=\overline{y}{_k^r}(t)-\overline{y}_k(t) $
(6) 联立式(5)和式(6), 得到同时包含迭代域和时域动态特性的二维增广误差模型
$ \tilde{x}_{k}(t+1)=\tilde{A}(\theta)\tilde{x}_{k}(t)+\tilde{B}(\theta)\delta\Delta{u}_{k}(t)+R_{k}(t+1) $
(7) 其中
$\begin{align*} &\tilde{A}(\theta)=\begin{bmatrix} I_{n_y\times{n_y}}&-\tilde{C}\overline{A}(\theta)\\ 0&\overline{A}(\theta) \end{bmatrix}\nonumber\\&\tilde{B}(\theta)=\begin{bmatrix} -\tilde{C}\overline{B}(\theta)\\ \overline{B}(\theta) \end{bmatrix} \\& \tilde{x}_{k}(t)=\begin{bmatrix} -\tilde{e}_{k}(t)\\ \delta\overline{x}_{k}(t) \end{bmatrix},\delta\Delta{u}_{k}(t)=\Delta{u}_{k}(t)-\Delta{u}_{k}(t-1) \\& \delta\overline{x}_{k}(t)=\overline{x}_{k}(t)-\overline{x}_{k}(t-1) \\& R_{k}(t+1)=\begin{bmatrix} \delta\overline{y}{_k^r}(t+1)-\delta\Delta{y}{_k^r}(t+1)\\ \Upsilon_{k}(t+1)-\Upsilon_{k}(t) \end{bmatrix} \\& \delta\overline{y}{_k^r}(t+1)=\overline{y}{_k^r}(t+1)-\overline{y}{_k^r}(t) \\& \delta\Delta{y}{_k^r}(t+1)=\Delta{y}{_k^r}(t+1)-\Delta{y}{_k^r}(t) \end{align*} $
且满足
注1. $R_{k}(t+1)$包含了参考轨迹变化量, 为已知有界时变量, 与状态变量、控制输入变量均无关, 可以看作迭代域上的有界外部干扰.
注2. 模型(7)与典型的二维Rosser模型[27]不同, 它将在同一个状态方程中建立时域与迭代域上动态关系, 其中$\tilde{x}_{k}(t)$、$\delta\Delta{u}_{k}(t)$以及$R_{k}(t+1)$都是同时包含时域及迭代域信息的二维变量.
因此, 系统(1)的轨迹跟踪问题可以转化为系统(7)的零点跟踪问题.其控制任务包括:
1) 将(7)中的状态$\tilde{x}_{k}(t)$控制到0;
2) 限制参考轨迹变化量$R_{k}(t+1)$对控制性能的影响;
3) 防止控制输入波动过大.
2. RMPILC算法
2.1 问题描述
根据控制任务1)和3), 结合鲁棒$H_\infty$控制, 定义控制性能指标$z_k(t)\in{\bf R}^{n_x+2n_y+n_u}$
$ z_k(t)=C_{\infty}\tilde{x}_{k}(t)+D_{\infty}\delta\Delta{u}_{k}(t) $
(8) 其中
${\small\begin{align*} &C_\infty=\\ &\left[ \begin{array}{ccc} m_1 & & \\ & \ddots & \\ & & m_{n_x+2n_y} \\ \textbf{0}_{n_u\times1} & \cdots & \textbf{0}_{n_u\times1} \\ \end{array} \right]\in {\bf R}^{(n_x+2n_y+n_u)\times{n_x+2n_y}} \\ &D_{\infty}=\\ &\left[ \begin{array}{ccc} \textbf{0}_{(n_x+2n_y)\times1} & \cdots & \textbf{0}_{(n_x+2n_y)\times1} \\ n_1 & & \\ & \ddots & \\ & & n_{n_u} \\ \end{array} \right]\in{\bf R}^{(n_x+2n_y+n_u)\times{n_u}} \end{align*}} $
$m_i~(i=1, 2, \cdots, n_x+2n_y), n_j~(j=1, 2, \cdots, n_u)$为可调权重系数.显然, $C_\infty^{\rm T}{D_\infty}=0$.目标函数可表述为$z_k(t)$的二次型:
$ J{_k^\infty}(t)=\sum\limits_{i=0}^\infty{z_k^{\rm T}(t+i|t){z_k(t+i|t)}} $
(9) 为实现控制任务2), 引入$H_\infty$范数$\|T_{zR}\|{_\infty^2}$ :
$ \|T_{zR}\|{_\infty^2}=\frac{\sum\limits_{i=0}^{\infty}{\|z_k(t+i|t)\|^2}}{\sum\limits_{i=0}^ \infty{\|R_k(t+i+1)\|^2}} $
(10) 设置$H_\infty$性能指标
$ \|T_{zR}\|{_\infty^2}\leq\varepsilon $
(11) 其中, $\varepsilon>0$为给定的$H_\infty$性能上界.不等式(11)表示参考轨迹变化量$R_k(t+1)$对跟踪性能指标$z_k(t)$的影响被限制在由$\varepsilon$定义的范围内.
因此, 满足以上三项控制任务的优化问题可以描述为:
$ \underset{\delta\Delta{u}_{k}(t)}{\min\max} {J{_k^\infty}(t)} $
(12) 满足式(8)和式(12).
2.2 鲁棒稳定状态反馈控制律
定义状态反馈控制律
$ \delta\Delta{u}_{k}(t+i|t)=F_k(t)\tilde{x}_{k}(t+i|t), i\geq 0 $
(13) 其中, $\delta\Delta{u}_{k}(t+i|t)$、$\tilde{x}_{k}(t+i|t)$为当前时刻$t$对未来时刻$t+i$的预测值.
为表达简洁, 推导过程的书写省略$\theta$.考虑二次型函数$V(\tilde{x})=\tilde{x}^{\rm T}P\tilde{x}$, 可得
$ \begin{align} & V(\tilde{x}_{k}(t+i+1|t))-V(\tilde{x}_{k}(t+i|t))=\nonumber\\&\qquad \begin{bmatrix} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \end{bmatrix}^{\rm T}\times\nonumber\\&\qquad \begin{bmatrix} (\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))^{\rm T}P(\tilde{A}+ \tilde{B}F_{k}(t))-P & \ast \\ P(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t)) & P \end{bmatrix}\times\nonumber\\&\qquad \begin{bmatrix} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \end{bmatrix} \end{align} $
(14) 将式(14)从$i=0$累加至$i=\infty$, 可得
$\begin{align} &V(\tilde{x}_{k}(\infty|t))\!-\!V(\tilde{x}_{k}(t|t))\!=\! \sum_{i=0}^\infty \begin{bmatrix} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \\ \end{bmatrix}^{\rm T}\!\!\times \nonumber\\&\qquad \begin{bmatrix} (\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))^{\rm T}P (\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))-P & \ast \\ P(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t)) & P \\ \end{bmatrix}\times\nonumber\\&\qquad \begin{bmatrix} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \\ \end{bmatrix} \end{align} $
(15) 根据控制任务1), $\tilde{x}_k(\infty|t)$应为0, 即$V(\tilde{x}_k(\infty|t)=0$, 则
$ \begin{align} &-V(\tilde{x}_{k}(t|t))=\sum_{i=0}^\infty \begin{bmatrix} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \\ \end{bmatrix}^{\rm T}\times\nonumber\\&\qquad \begin{bmatrix} (\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))^{\rm T}P(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))-P & \ast \\ P(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t)) & P \\ \end{bmatrix}\times\nonumber\\&\qquad \begin{bmatrix} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \\ \end{bmatrix} \end{align} $
(16) 由于$C_\infty^{\rm T}{D_\infty}=0$, 因此将式(8)代入式(9)可得
$ \begin{align} J{_k^\infty}(t)=\,&\varepsilon\sum_{i=0}^\infty{R_k^{\rm T}(t+i+1)R_k(t+i+1)}+ \nonumber\\&\sum_{i=0}^\infty \begin{bmatrix} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \\ \end{bmatrix}^{\rm T} \begin{bmatrix} C_\infty^{\rm T}C_\infty & \ast \\ 0 & -\varepsilon{I} \\ \end{bmatrix}\times\nonumber\\& \begin{bmatrix} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \\ \end{bmatrix} \end{align} $
(17) 联立式(16)和(17), 目标函数(9)有以下形式
$ J{_k^\infty}(t)= V(\tilde{x}_{k}(t|t))+\\ \varepsilon\sum\limits_{i=0}^\infty{R_k^{\rm T}(t+i+1)R_k(t+i+1)}+\\\sum\limits_{i=0}^\infty \begin{bmatrix} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \\ \end{bmatrix}^{\rm T}\Phi \begin{bmatrix} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \\ \end{bmatrix} $
(18) 其中
$ \begin{align*} \Phi=\begin{subarray}{l}\begin{bmatrix} (\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))^{\rm T}P(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t)) -P+&\ast\\C_\infty^{\rm T}C_\infty+F_k^{\rm T}(t)D_\infty^{\rm T}D_\infty{F_k(t)} & \\ P(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))& P-\varepsilon{I}\\ \end{bmatrix}\end{subarray} \end{align*} $
引理1. 当且仅当$\Phi<0$, 能够满足$H_\infty$性能指标(11).
证明. 在式(14)两端同时加上$z_k^{\rm T}(t+i|t)z_k(t+i|t)-\varepsilon{R_k^{\rm T}(t+i+1)R_k(t+i+1)}$, 可得
$V(\tilde{x}(t+i+1|t))-V(\tilde{x}(t+i|t))=\\ \qquad -\|z_k(t+i|t\|^2+\varepsilon\|R_k(t+i+1)\|^2 +\\ \qquad\left[ \begin{array}{c} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \\ \end{array} \right]^{\rm T}\Phi\left[ \begin{array}{c} \tilde{x}_{k}(t+i|t) \\ R_{k}(t+i+1) \\ \end{array} \right] $
(19) 若$\Phi<0$, 则有
$V(\tilde{x}_{k}(t+i+1|t))-V(\tilde{x}_{k}(t+i|t))\leq\\ \qquad -\|z_k(t+i|t)\|^2+\varepsilon\|R_k(t+i+1)\|^2 $
(20) 由于$V(\tilde{x}_{k}(\infty|t)=0$, $V(\tilde{x}_{k}(0|0)=0$, 将式(21)从$i=0$到$i=\infty$进行累加, 可得
$ \sum\limits_{i=0}^\infty{\|z_k(t+i|t)\|^2}\leq\varepsilon\sum\limits_{i=0}^\infty{\|R_k(t+i+1)\|^2} $
(21) 式(22)与$H_\infty$约束(12)等价.
在$\Phi<0$的条件下, 可以得到目标函数$J{_k^\infty}(t)$的上界
$ J{_k^\infty}(t)\leq {V(\tilde{x}_{k}(t|t))}+\\ \varepsilon\sum\limits_{i=0}^\infty{R_k^{\rm T}(t+i+1)R_k(t+i+1)} $
(22) 根据式(7)中$R_k(t+1)$的定义可知, $\sum_{i=0}^\infty{R_k^{\rm T}(t+i+1)R_k(t+i+1)}$为有界值.设
$\sum\limits_{i=0}^\infty{R_k^{\rm T}(t+i+1)R_k(t+i+1)}\leq{B_{R_k(t)}^2} \\ V(\tilde{x}_{k}(t|t))\leq\gamma $
(23) 联立式(22)和(23), 得
$ J{_k^\infty}(t)\leq\gamma+\varepsilon{B_{R_k(t)}^2} $
(24) 也就是说$J{_k^\infty}(t)$有上界$\gamma+\varepsilon{B_{R_k(t)}^2}$, 其中只有$\gamma$为变量.因此, 优化问题(12)可以改写为以最小化$\gamma$为优化目标, 以$F_{k}(t)$为优化变量的典型凸优化问题:
$ \underset{F_{k}(t)}{\min\max}{\gamma} $
(25a) 满足
$ V(\tilde{x}_{k}(t|t))\leq\gamma $
(25b) $ \Phi<0 $
(25c) 引理2. 若优化问题(25)在当前时刻可行, 当满足不等式
$ \tilde{x}_{k}^{\rm T}(t|t)P\tilde{x}_{k}(t|t)+\varepsilon{B_{R_k(t)}^2}\leq\gamma $
(26) 时, 由RMPILC算法控制的闭环系统是鲁棒稳定的.
证明. 联立式(14)及条件(26), 可得
$\tilde{x}_{k}^{\rm T}(t+i+1|t)P\tilde{x}_{k}(t+i+1|t)-\\ \qquad \tilde{x}_{k}^{\rm T}(t+i+1|t)P\tilde{x}_{k}(t+i+1|t)\leq\\ \qquad \varepsilon{R_k^{\rm T}(t+i+1)R_k(t+i+1)} $
(27) 将式(28)从$i=0$到$i=p-1~(p\in[1, \infty))$进行累加, 可得
$ \begin{array}{l} \tilde x_k^{\rm{T}}(t + p|t)P{{\tilde x}_k}(t + p|t) \le \tilde x_k^{\rm{T}}(t|t)P{{\tilde x}_k}(t|t) + \\ \varepsilon \sum\limits_{i = 0}^{p - 1} {R_k^{\rm{T}}(t + i + 1){R_k}(t + i + 1)} \end{array} $
(28) 联立式(23)、(26)和(28), 可以推出
$ \tilde{x}_{k}^{\rm T}(t+p|t)P\tilde{x}_{k}(t+p|t)\leq\gamma $
(29) 因此, 对于任意未来时刻$t+p$, 其状态$\tilde{x_k}(t+p|t)$属于不变集$\Omega_{\tilde{x_k}}$:
$ \Omega_{\tilde{x_k}}=\{x|x^{\rm T}\gamma^{-1}Px\leq1\} $
(30) RMPILC控制下的闭环系统是鲁棒稳定的.
注3. 若参考输出保持不变, 即$R_k(t+1)=0$, 那么RMPILC控制下的闭环系统是Lyapunov意义下稳定的.
证明. 根据式(27), 若$R_k(t+1)=0$, 能推出
$ \tilde{x}_{k}^{\rm T}(t+1|t)P\tilde{x}_{k}(t+1|t)\leq\tilde{x}_{k}^{\rm T}(t)P\tilde{x}_{k}(t) $
选择$V_k(t)=\tilde{x}_{k}^{\rm T}(t)P\tilde{x}_{k}(t)$作为Lyapunov函数, 可得到$V_k(t)$随时间衰减.因此, 闭环系统是Lyapunov稳定的.
2.3 LMI求解
为获得满足在鲁棒稳定条件(26)下优化问题(25)的最优解, 将其转化为线性矩阵不等式的形式.
引理3. 满足约束(25b)、(25c)及鲁棒稳定条件(26)的状态反馈矩阵$F_k(t)$可通过$F_k(t)=YQ^{-1}$计算得到, 其中$Q=\gamma P^{-1}$, $Y$为下述LMI约束下优化问题的解:
$ \underset{Y, Q}{\min}{\gamma} $
(31a) 对所有$q=1, 2, \cdots, l$, 满足
$ \left[ \begin{array}{ccccc} -Q & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0 & -\varepsilon\gamma I & \ast & \ast & \ast \\ \tilde{A}_qQ+\tilde{B}_qY & \gamma I & -Q & \ast & \ast \\ C_\infty Q & 0 & 0 & -\gamma I & \ast \\ D_\infty Y & 0 & 0 & 0 & -\gamma I \\ \end{array} \right] $
(31b) $ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \ast & \ast \\ \varepsilon{B_{R_k(t)}^2}& \gamma\varepsilon{B_{R_k(t)}^2} & \ast \\ \tilde{x}_{k}(t) & 0 & Q \\ \end{array} \right] $
(31c) 证明. 采用Schur补定理[28], 式(25c)等价于
$ \left[ \begin{array}{ccccc} -P & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0 & -\varepsilon I & \ast & \ast & \ast \\ \tilde{A}_qQ+\tilde{B}_qF_k(t) & I & -P^{-1} & \ast & \ast \\ C_\infty & 0 & 0 & -I & \ast \\ D_\infty & 0 & 0 & 0 & -I \\ \end{array} \right] $
(32) 分别左乘右乘diag$\{P^{-1}, I, I, I, I\}$, 得
$ \left[ \begin{array}{ccccc} -P^{-1} & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0 & -\varepsilon I & \ast & \ast & \ast \\ (\tilde{A}_qQ+\tilde{B}_qF_k(t))P^{-1} & I & -P^{-1} & \ast & \ast \\ C_\infty P^{-1} & 0 & 0 & -I & \ast \\ D_\infty P^{-1} & 0 & 0 & 0 & -I \\ \end{array} \right] $
(33) 将$P=\gamma Q^{-1}$, $F_k(t)=YQ^{-1}$代入式(33), 式(31b)可以被推出.
注意式(26)为式(25b)的充分条件, 也就是说只需要要满足式(26), 式(25b)也能被满足.将$P=\gamma Q^{-1}$代入式(27), 利用Schur补定理, 即可得到矩阵不等式(31c).
根据优化得到的$F_k(t)$, 通过下式计算控制输入$u_k(t)$:
$ u_k(t)= \delta\Delta{u_k(t)}+\Delta{u_k(t-1)}+u_{k-1}(t)=\\ F_k(t)\tilde{x}_{k}(t|t)+\Delta{u_k(t-1)}+u_{k-1}(t)=\\ YQ^{-1}\tilde{x}_{k}(t|t)+\Delta{u_k(t-1)}+u_{k-1}(t) $
(34) 其中, $\Delta{u_k(t-1)}$、$u_{k-1}(t)$为当前批次当前时刻的已知量. $\tilde{x}_{k}(t|t)$等于当前状态$\tilde{x}_{k}(t)$.
2.4 控制输入约束
间歇过程中需要考虑的控制输入约束包括$u_k(t)$、$\Delta{u_k(t)}$和$\delta{u_k(t)}$, 通常表述为
$ \left\{ \begin{array}{l} \|u_k(t)\|^2\leq u_h^2\\ \|\Delta u_k(t)\|^2\leq \Delta u_h^2\\ \|\delta u_k(t)\|^2\leq \delta u_h^2 \end{array} \right. $
(35) 推导$u_k(t)$, $\Delta{u_k(t)}$, $\delta{u_k(t)}$与$\delta\Delta{u_k(t)}$的关系
$ \left\{ \begin{array}{l} u_k(t)=\delta\Delta{u_k(t)}+\Delta{u_k(t-1)}+u_{k-1}(t)\\ \Delta u_k(t)=\delta\Delta{u_k(t)}+\Delta{u_k(t-1)}\\ \delta u_k(t)=\delta\Delta{u_k(t)}+\delta{u_{k-1}(t)} \end{array} \right. $
(36) 从式(36)可以看出, $u_k(t)$, $\Delta{u_k(t)}$, $\delta{u_k(t)}$都可以表示成$\delta\Delta{u_k(t)}$与其他已知量的和的形式.将其表述为以下通式
$ u_c=H\delta\Delta{u_k(t)}+u_m $
(37) 其中, $u_c$是被约束量, $u_m$是已知量, $H$是用于选择$\delta\Delta{u_k(t)}$中某一控制输入的向量.
式(35)中的约束条件可以统一表述为
$ \|u_c\|^2\leq\mu^2 $
(38) 其中, $\mu$代表约束上界.
结合式(37), 对不等式(38)进行放缩
$ \begin{align} & \|{{u}_{c}}{{\|}^{2}}=\|H\delta \Delta {{u}_{k}}(t)+{{u}_{m}}{{\|}^{2}}= \\ & \|H\delta \Delta {{u}_{k}}(t){{\|}^{2}}+2{{u}_{m}}H\delta \Delta {{u}_{k}}(t)+ \\ & u_{m}^{2}\le \|HY{{Q}^{-\frac{1}{2}}}{{Q}^{-\frac{1}{2}}}{{{\tilde{x}}}_{k}}(t|t){{\|}^{2}}+ \\ & 2{{u}_{m}}Y{{Q}^{-1}}{{{\tilde{x}}}_{k}}(t|t)+u_{m}^{2}\le \\ & \|HY{{Q}^{-\frac{1}{2}}}{{\|}^{2}}+2{{u}_{m}}Y{{Q}^{-1}}{{{\tilde{x}}}_{k}}(t|t)+u_{m}^{2}= \\ & \|HY{{Q}^{-\frac{1}{2}}}+{{u}_{m}}{{{\tilde{x}}}_{k}}{{(t|t)}^{\text{T}}}{{Q}^{-\frac{1}{2}}}{{\|}^{2}}+u_{m}^{2}- \\ & \|{{u}_{m}}{{Q}^{-\frac{1}{2}}}{{{\tilde{x}}}_{k}}(t|t){{\|}^{2}}= \\ & \|HY{{Q}^{-\frac{1}{2}}}+{{u}_{m}}{{{\tilde{x}}}_{k}}{{(t|t)}^{\text{T}}}{{Q}^{-\frac{1}{2}}}{{\|}^{2}}+ \\ & u_{m}^{2}(1-\beta )\le {{\mu }^{2}} \\ \end{align} $
(39) 其中, $0\leq\beta=\tilde{x}_{k}^{\rm T}(t|t)Q^{-1}\tilde{x}_{k}(t|t)$.由式(29)可知, $\tilde{x}_{k}^{\rm T}(t|t)Q^{-1}\tilde{x}_{k}(t|t)\leq1$.因此$\beta\in[0\;\;\;1]$.则式(39)可以写成以下线性矩阵不等式形式:
$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} \mu^2-u_m^2(1-\beta) & \ast \\ Y^{\rm T}H^{\rm T}+u_m\tilde{x}_{k}(t|t) & Q \\ \end{array} \right] \end{equation} $
(40) 因此控制输入约束下的鲁棒迭代预测控制优化问题可以描述为:
$ \underset{Y, Q}{\min}{\gamma} $
(41) 满足式(31b), 式(31c), 式(40).
3. 收敛性分析
MPILC控制系统的收敛性指的是当迭代次数趋近于无穷时, 跟踪误差收敛到零, 即对于任意$t\in[0, N]$, 当$k\rightarrow\infty$时, $e_k(t)\rightarrow0$.文献[29]在$x_{k-1}(N)=x_{k}(0)$的前提下, 证明了经典MPILC算法的收敛性.而近年研究中, 设计附加条件使$\|e_{k+1}(t)\|\leq a\|e_{k}(t)\|~(0<a<1)$成为保证收敛性更为常用的方法[9, 11].在本文提出的RMPILC算法中, 基于包含参考轨迹变化量的LPV模型(7), $\|e_{k+1}(t)\|\leq a\|e_{k}(t)\|$可以转化为有关增广状态$\tilde{x}_{k}(t)=[\tilde{e}_{k}(t)^{\rm T}\delta\overline{x}_k(t)^{\rm T}]^{\rm T}$的约束, 将其加入到实时优化中, 就可以保证原非线性系统在RMPILC控制下沿迭代轴的收敛性.
首先, 提出以下符合实际过程情况的假设:
1) 优化问题(31)在初始时刻可行;
2) 对于$t\in[0, N-1]$, 存在满足约束式(31b), 式(31c), 式(40)的控制序列$u_k(t)$令跟踪误差$e_k(t+1)$等于0;
3) 在$t$时刻, 已知$t+1$时刻的参考轨迹变化量.
定理1. 若在每个采样时刻的优化中, 对于$q=1, 2, \cdots, l$, $j=1, 2, \cdots, n_y$满足LMI约束
$ \left[ \begin{align} & {{a}^{2}}e_{k-1}^{j}{{(t+1)}^{2}}-(1+R_{k}^{\text{T}}(t+1)\times \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ * \\ & {{R}_{k}}(t+1)){{L}_{j}}L_{j}^{\text{T}} \\ & Q{{{\tilde{A}}}_{q}}L_{j}^{\text{T}}+{{Y}^{\text{T}}}\tilde{B}_{q}^{\text{T}}L_{j}^{\text{T}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{Q}{1+R_{k}^{\text{T}}(t+1){{R}_{k}}(t+1)} \\ \end{align} \right] $
(42) 那么RMPILC控制下的跟踪误差沿迭代轴收敛到零.其中$e{_{k-1}^j}(t)$表示向量$e_{k-1}(t)$的第$j$个元素, $L_j$是用于选择向量$\tilde{e}_k(t)$第$j$个元素的给定向量.
证明. 在当前时刻$t$, 为保证下一时刻的跟踪误差沿迭代轴收敛, 即$\|e_{k+1}(t)\|\leq a\|e_{k}(t)\|$, 应满足以下不等式条件:
$ |e{_{k}^j}(t+1)|<a|e{_{k-1}^j}(t+1)| $
(43) 其中, $j=1, 2, \cdots, n_y$.
根据式(5)有
$ e{_{k}^j}(t)=e{_{k-1}^j}(t)+\Delta{e_k(t)} $
(44) 联立式(5)和(6)得
$ \Delta{e{_{k}^j}(t+1)}=-e{_{k}^j}(t+1)-\tilde{e}{_{k}^j}(t+1) $
(45) 联立式(43)、(44)和(45)可以得到
$ |\tilde{e}{_{k}^j}(t+1)|<a|e{_{k-1}^j}(t+1)| $
(46) 为不等式(43)的充分条件. (46)可以转化为系统(7)的状态约束:
$ \tilde{x}_k^{\rm T}(t+1)L_j^{\rm T}L_j\tilde{x}_k(t+1)<a^2e{_{k}^j}(t+1)^2 v $
(47) 为了得到式(47)的LMI表述, 进行以下推导[30]:
$\begin{align} &\tilde{x}_k^{\rm T}(t+1)L_j^{\rm T}L_j \tilde{x}_k(t+1) < a^2e{_{k-1}^j}(t+1)^2=\nonumber\\ &\qquad((\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t)) \tilde{x}_k(t)+R_k(t+1))^{\rm T}L_j^{\rm T}L_j\times\nonumber\\ &\qquad((\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t)) \tilde{x}_k(t)+R_k(t+1))=\nonumber\\ &\qquad\left[ \begin{array}{c} Q^{-\frac{1}{2}}\tilde{x}_k(t) \\ R_k(t+1)\\ \end{array} \right]^{\rm T} \left[ \begin{array}{c} Q^{\frac{1}{2}}(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))^{\rm T} \\ I \\ \end{array} \right]L_j^{\rm T}L_j\times\nonumber\\&\qquad \left[ \begin{array}{c} Q^{\frac{1}{2}}(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))^{\rm T} \\ I \\ \end{array} \right]^{\rm T}\left[ \begin{array}{c} Q^{-\frac{1}{2}}\tilde{x}_k(t) \\ R_k(t+1)\\ \end{array} \right] < \nonumber\\ &\qquad(1+R_k(t+1))^{\rm T}R_k(t+1)))\times\nonumber\\ &\qquad\lambda_{\max}\Bigg(L_j\left[ \begin{array}{c} Q(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))^{\rm T} \\ I \\ \end{array} \right]^{\rm T}\left[ \begin{array}{cc} Q^{-1} & 0 \\ 0 & I \\ \end{array} \right]\nonumber\\ &\qquad\left[ \begin{array}{c} Q(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))^{\rm T} \\ I \\ \end{array} \right]L_j^{\rm T}\Bigg) \end{align} $
(48) 联立式(47)和式(48)可得
$\begin{align} &a^2e{_{k-1}^j}(t+1)^2-\left(1+R_k^{\rm T}(t+1)R_k(t+1)\right) \times\nonumber\\& \qquad\Bigg(L_j\left[ \begin{array}{c} Q(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))^{\rm T} \\ I \\ \end{array} \right]^{\rm T}\left[ \begin{array}{cc} Q^{-1} & 0 \\ 0 & I \\ \end{array} \right]\times\nonumber\\&\qquad\left[ \begin{array}{c} Q(\tilde{A}+\tilde{B}F_{k}(t))^{\rm T} \\ I \\ \end{array} \right]L_j^{\rm T}\Bigg)>0 \end{align} $
(49) 根据Schur补定理, 式(49)等价于式(42).因此, 如果在每次优化中满足LMI (42), 那么有$|e{_{k}^j}(t+1)|<a|e{_{k-1}^j}(t+1)|$, 即$\|e_{k+1}(t)\|\leq a\|e_{k}(t)\|$.所以, 对于任意$t\in[0, N]$, 当$k\rightarrow\infty$时, $e_k(t)\rightarrow0$.
4. 仿真研究
本节设计两组仿真实验以验证所提出的RMPILC在处理变轨迹跟踪问题方面的有效性.仿真1针对非线性数值系统, 侧重于对算法的理论分析和验证; 仿真2针对典型的间歇CSTR系统, 侧重于对RMPILC的实际应用效果检验.为进行对比, 同时设计经典MPILC算法的仿真实验, 其预测模型为:
$ {\pmb e}_k(t+m|t)={\pmb e}_k(t|t)-{G}^m(t)\Delta{\pmb u}{_k^m}(t) $
(50) 其中, $m$代表预测时域和控制时域大小, ${\pmb e}_k\in {\bf R}^{(n_y\times N)\times1}$,
$ \Delta{\pmb u}{_k^m}(t)=\left[ \begin{array}{ccc} \Delta u_k^{\rm T}(t) & \cdots & \Delta u_k^{\rm T}(t+m-1) \\ \end{array} \right]^{\rm T} $
$ {G}=\left[ \begin{array}{cccc} g_{1,0} & 0 & \cdots & 0 \\ g_{2,0} & g_{2,1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ \underbrace{g_{N,0}}_{G(0)} & \underbrace{\cdots}_{G(1)} & \cdots & \underbrace{g_{N,N-1}}_{G(N-1)} \\ \end{array} \right] $
$ {G}^m(t)=\left[ \begin{array}{ccc} G(t) & \cdots & G(t+m-1) \\ \end{array} \right] $
$g_{i, j}\in {\bf R}^{n_y(i)\times n_u(j)}$为$j$时刻施加的单位脉冲信号输入在$i$时刻的脉冲响应矩阵.通常矩阵${G}$可以通过沿参考轨迹进行线性化得到.经典MPILC算法的目标函数为:
$ J{_{\rm MPILC}^k}(t)=\frac{1}{2}\left\{\|{\pmb e}_k(t+m|t)\|_{Q_1}+\|\Delta{\pmb u}{_k^m}\|_{R_1}\right\} $
(51) 其中, $Q_1$和$R_1$为权重系数矩阵.
4.1 仿真1
考虑如下非线性数值系统
$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} x(t+1)=\left[ \begin{array}{cc} 0.5 & 0.125 \\ 0.125 & -0.65+0.15\sin{x_1} \\ \end{array} \right]\cdot\\ \qquad\qquad x(t)+\left[ \begin{array}{c} 0.01 \\ 0.07 \\ \end{array} \right] \\ y(t)=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \end{array} \right] x(t) \\ \end{array} \right. \end{equation} $
(52) 控制输入约束为
$ \|u_k(t)\|^2\leq8^2, \|\Delta u_k(t)\|^2\leq0.6^2, \|\delta u_k(t)\|^2\leq1^2 $
(53) 由于$-1\leq\sin{x_1}\leq1$恒成立, 选择$\theta_1=\frac{\sin{x_1}-(-1)}{1-(-1)}$, $\theta_1=\frac{1-\sin{x_1}}{1-(-1)}$, 非线性系统(52)就可以被如式(2)的LPV模型包含, 其中$l=2$,
$ A_1=\left[ \begin{array}{cc} 0.5 & 0.125 \\ 0.125 & -0.5 \\ \end{array} \right],\quad A_2=\left[ \begin{array}{cc} 0.5 & 0.125 \\ 0.125 & -0.8 \\ \end{array} \right] $
根据式(7), 可以得到
$\begin{align*} &\tilde{A}_1=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0.5 & 0.125 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0.125 & 0 \\ 0 & -0.125 & -0.5 & 0 \\ 0 & -0.5 & -0.125 & 0 \\ \end{array} \right]\\&\tilde{A}_2=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0.5 & 0.125 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0.125 & 0 \\ 0 & -0.125 & -0.8 & 0 \\ 0 & -0.5 & -0.125 & 0 \\ \end{array} \right] \end{align*} $
仿真设置两种参考轨迹如图 1所示.第1批次到第4批次的目标参考轨迹为$y_{r_1}$; 从第5批次开始, 目标参考轨迹变为$y_{r_2}$.仿真时间为10分钟, 采样时间为0.025分钟.
批次长度为400.第1批次的控制输入为零向量. $H_\infty$性能上界$\varepsilon$设为10.初始状态为$x(0)=[0, 0]^{\rm T}$.收敛条件(42)作为每次优化的约束, 保证跟踪误差的收敛性, 其中$a=0.9$.权重矩阵取为
$\begin{align*} &C_\infty=\left[ \begin{array}{c} {\rm diag}\{1,0,0,0\} \\ \textbf{0}_{1\times4} \\ \end{array} \right]\\&D_\infty=\left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0.0002 \\ \end{array} \right]^{\rm T} \end{align*} $
在每个采样时刻, 通过求解约束(42)下的LMI优化问题(41)得到变量$Y$, $Q$, 继而通过式$F_k(t)=YQ^{-1}$计算当前时刻的状态反馈矩阵$F_k(t)$.仿真分析中选择参考轨迹转折点第61个采样时刻来比较变轨迹前后的状态反馈矩阵变化, 其结果如表 1所示. 图 2和3为RMPILC的跟踪曲线及对应的控制输入曲线.
表 1 $F_k(t)$优化值Table 1 Optimized feedback control law批次($k$) $F_k(61)$ 2 [$-$46.7539 $-$24.0899 $-$5.0529 0.0000] 3 [$-$42.9654 $-$25.0475 $-$3.7597 0.0000] 4 [$-$57.4573 $-$29.2520 $-$5.4621 $-$0.0000] 5 [$-$16.9782 $-$7.8604 $-$1.2311 $-$0.0000] 6 [$-$37.0429 $-$26.9746 $-$3.0976 0.0000] 7 [$-$41.3123 $-$27.2625 $-$2.9534 $-$0.0000] 8 [$-$54.1913 $-$32.1226 $-$4.9777 0.0000] 在经典MPILC仿真中, 设置$Q_1=I_{400\times400}$, $R_1=0.00015I_{20\times20}$, $m=20$.其跟踪曲线如图 4所示.
比较图 2和图 4, 在参考轨迹保持不变的第1 $\sim$第4批次, RMPILC从第2批次就能够精确跟踪$y_{r_1}$, 而MPILC直到第4批次才能较好地跟踪${y_{r_1}}$.这是因为RMPILC采用了LPV模型来描述原系统的非线性特性, 避免出现模型失配问题, 从而获得了更快的收敛速度; 在参考轨迹变为$y_{r_2}$的第5 $\sim$第8批次, RMPILC能快速跟踪$y_{r_2}$, 而MPILC难以及时适应变参考轨迹, 需要经过几次迭代才能达到较好的跟踪效果.因而, RMPILC采用$H_\infty$控制有效抑制了变参考轨迹的影响.
图 5为RMPILC和经典MPILC控制下各批次跟踪误差均方差(Main square error, MSE)的变化情况. RMPILC控制下MSE沿迭代轴收敛到零, 且在参考轨迹变化的第5批次, 没有明显波动, 保持收敛趋势, 而MPILC控制下MSE出现较大波动.这证明了RMPILC在变参考轨迹下能够保证跟踪误差沿迭代轴收敛.
RMPILC的控制性能与参考轨迹变化程度以及$H_\infty$性能上界$\varepsilon$的大小有较大关系.由式(11)可知, $\varepsilon$越小越有利于增强抗干扰能力.而式(26)表明$\varepsilon$减小将导致可行域的缩小.当可行域缩小到不能包含当前状态时, 优化问题将无解.因此, 在选择$\varepsilon$时, 要根据实际需要权衡变轨迹适应能力和可行性问题.对于系统(52)能够保证可行性的最小$\varepsilon$值为5.8. 图 6为参考轨迹发生变化的第5批次中, RMPILC在$\varepsilon=5.8$、$\varepsilon=10$和$\varepsilon=15$时的跟踪情况, 表明随着$\varepsilon$增大, RMPILC跟踪性能下降. 图 7为$x(0)=[0.01, 0.05]^{\rm T}$, $\varepsilon$分别取值5.8、10和15时不变集$\Omega_{\tilde{x}_k}=\{x|x^{\rm T}Q^{-1}x\leq1\}$在原状态空间的象集.由于不变集的大小能够反映可行域的大小, 因此图 7表明初始可行域随$\varepsilon$减小而缩小.
图 6 RMPILC控制下第5批次当$\varepsilon=5.8$、$\varepsilon=10$和$\varepsilon=15$时的跟踪曲线Fig. 6 The tracking trajectories in the fifth batch when $\varepsilon=5.8, 10, 15$
图 7 RMPILC控制下$\varepsilon=5.8$、$\varepsilon=10$和$\varepsilon=15$时的不变集$\Omega_{\tilde{x}_k}$在原状态空间的象集Fig. 7 The image set of $\Omega_{\tilde{x}_k}$ when $\varepsilon=5.8, 10, 15$4.2 仿真2: CSTR系统
连续搅拌反应釜系统中进行恒定体积、放热、不可逆化学反应$A\rightarrow B$.其控制任务为重复跟踪给定的反应温度轨迹, 且生成物$B$的产品质量很大程度依赖于跟踪精度.因此, 采用MPILC方法控制CSTR系统能适应其生产过程的重复性, 并且提高产品质量.
CSTR系统具有以下非线性微分方程描述[31]:
$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{C}_A=\frac{q}{V}(C_{Af}-C_A)-k_0\exp\left(\frac{-E} {RT}\right)C_A\\ \dot{T}=\frac{q}{V}(T_f-T)+\frac{-\Delta H}{\rho C_p}k_0\exp\left(\frac{-E}{RT}\right)C_A+ \\ \qquad\frac{UA}{V\rho C_p}(T_c-T) \end{array} \right. $
(54) 其中, 反应温度$T$ (K)为被控量, 冷却剂温度$T_c$ (K)为控制输入.其他参数的物理意义和取值见文献[31].
在间歇反应器控制中, 反应温度$T$的参考轨迹可能会由于调整进料浓度$C_A$、启动速度、批次时间长度等发生变化.为了验证RMPILC在适应频繁变化的参考轨迹的能力, 在仿真中设置三种不同的参考轨迹, 如图 8所示, 包括常规轨迹$y_{r_1}$、慢启动轨迹$y_{r_2}$以及快启动轨迹$y_{r_3}$. $y_{r_3}$中$T$上升较快, 有利于提高产量; $y_{r_2}$中$T$上升较慢, 后续反应更加平稳, 易于控制.在实际生产中可以根据不同的生产需求选择不同的参考轨迹.
图 8 CSTR反应温度$T$参考轨迹Fig. 8 The reference trajectories of CSTR reaction temperature $T$根据文献[32]介绍的替换法, 非线性系统(54)可以表述为如式(2)的LPV模型, 过程如下:
首先, 计算系统(54)的平衡点:
$ \{C{_A^{eq}}, T^{eq}, T{_c^{eq}}\}=\{0.5 {\rm mol} , 350 {\rm K}, 338 {\rm K}\} $
定义状态变量$[x_1, x_2]^{\rm T}=[C_A-C{_A^{eq}}, T-T^{eq}]$, 输入变量$u=T_c-T{_c^{eq}}$, 输出变量$y=x_2$.系统(54)能写成以下的状态方程形式:
$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=\left[ \begin{array}{c} \frac{q}{V}(C_{Af}-x_1-C{_A^{eq}})- \\k_0\exp\left(\frac{-E}{R(x_2+T^{eq})}\right) (x_1+C{_A^{eq}}) \\ \frac{q}{V}(T_f-x_2-T^{eq})+ \frac{-\Delta H}{\rho C_P}\times\\k_0\exp\left(\frac{-E} {R(x_2+T^{eq})}\right)\times\\ (x_1+C{_A^{eq}})+ \frac{UA}{V\rho C_p}(T_c-x_2-T^{eq}) \\ \end{array} \right] \\ y=x_2 \end{array} \right. $
(55) 在给定的输出参考轨迹中, 反应温度满足$\underline{T}\leq T\leq\overline{T}$, 也就是$\underline{T}-T^{eq}\leq x_2<\overline{T}-T^{eq}$.设
$ \underline{x}=\underline{T}-T^{eq}, \overline{x}=\overline{T}-T^{eq} $
定义
$ \begin{align} & {{\varphi }_{1}}({{x}_{2}})={{k}_{0}}\exp \left( \frac{-E}{R({{x}_{2}}+{{T}^{eq}})} \right) \\ & {{\varphi }_{2}}({{x}_{2}})={{k}_{0}}(\exp \left( \frac{-E}{R({{x}_{2}}+{{T}^{eq}})} \right)- \\ & \exp \left( \frac{-E}{R{{T}^{eq}}} \right))C_{A}^{eq}\frac{1}{{{x}_{2}}} \\ & {{\nu }_{1}}({{x}_{2}})={{\varphi }_{1}}({{x}_{2}})-\frac{1}{2}({{\varphi }_{1}}({{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x}}}_{2}})+{{\varphi }_{1}}({{{\bar{x}}}_{2}})) \\ & {{\nu }_{2}}({{x}_{2}})={{\varphi }_{2}}({{x}_{2}})-\frac{1}{2}({{\varphi }_{1}}({{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x}}}_{2}})+{{\varphi }_{1}}({{{\bar{x}}}_{2}})) \\ \end{align} $
选择LPV模型(2)中的参数$\theta$为
$ \theta_1=\frac{1}{2}\frac{\nu_1(x_2)-\nu_1(\underline{x}_2)} {\nu_1(\overline{x}_2)-\nu_1(\underline{x}_2)}, \theta_2= \frac{1}{2}\frac{\nu_1(\overline{x}_2)-\nu_1(x_2)} {\nu_1(\overline{x}_2)-\nu_1(\underline{x}_2)} \\ \theta_1=\frac{1}{2}\frac{\nu_2(x_2)-\nu_2(\underline{x}_2)} {\nu_2(\overline{x}_2)-\nu_2(\underline{x}_2)}, \theta_2= \frac{1}{2}\frac{\nu_2(\overline{x}_2)-\nu_2(x_2)} {\nu_2(\overline{x}_2)-\nu_2(\underline{x}_2)} $
那么系统(55)可以由如式(2)的LPV模型描述, 其多胞形的各顶点为
$\begin{align*} &A_1=\left[ \begin{array}{cc} 0.8227 & -0.00168 \\ 6.1233 & 0.9367 \\ \end{array} \right]\\& A_2=\left[ \begin{array}{cc} 0.9654 & -0.00182 \\ -0.6759 & 0.9433 \\ \end{array} \right] \\& A_3=\left[ \begin{array}{cc} 0.8895 & -0.00294 \\ 2.9447 & 0.9968 \\ \end{array} \right]\\&A_4=\left[ \begin{array}{cc} 0.8930 & -0.00062 \\ 2.7738 & 0.8864 \\ \end{array} \right]\\& B_1=\left[ \begin{array}{c} -0.000092 \\ 0.1014 \\ \end{array} \right],~ B_2=\left[ \begin{array}{c} -0.000097 \\ 0.1016 \\ \end{array} \right] \\&B_3=\left[ \begin{array}{c} -0.000157 \\ 0.1045 \\ \end{array} \right],~ B_4=\left[ \begin{array}{c} -0.000034 \\ 0.0986 \\ \end{array} \right] \\&C=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \end{array} \right] \end{align*} $
仿真基于LPV模型设计控制律, 并将优化得到的控制输入施加都原非线性系统(54)中.
控制输入$T_c$的约束如下:
$ \|T_c\|^2\leq350^2, \|\Delta T_c\|^2\leq5^2, \|\delta T_c\|^2\leq2.5^2 $
(56) 仿真时间为12分钟(min), 采样时间为0.03分钟(min), 批次长度为400.设置初始参考轨迹为$y_{r_1}$, 在第6批次、第7批次分别变为$y_{r_2}$、$y_{r_3}$, 在第8批次变回$y_{r_1}$.批次1的初始控制输入为幅度为330 K的阶跃信号.初始状态为$[C_A, T]^{\rm T}=[0.7 {\rm mol/L}, 340 {\rm K}]^{\rm T}$. $H_\infty$性能上界选为$\varepsilon=20$.权重系数矩阵选取同仿真1.同样地, 收敛条件(42)在每次优化中作为约束$(a=0.9)$, 状态反馈矩阵$F_k(t)$由$F_k(t)=YQ^{-1}$计算得到, 各批次$F_k(200)$的优化值如表 2所示.
表 2 $F_k(t)$优化值Table 2 Optimized feedback control law批次$k$ $F_k(200)$ 2 [-7.8076 -12.6079 -7.9428 -0.0000] 3 [-8.4202 -12.9000 -8.2264 -0.0000] 4 [-7.8744 -12.6839 -7.9521 -0.0000] 5 [-8.9258 -13.1178 -8.4572 -0.0000] 6 [-9.7286 -13.2893 -9.0092 0.0000] 7 [-6.9490 -11.3713 -7.6883 0.0000] 8 [-7.5195 -12.4532 -8.0074 -0.0000] 9 [-7.7803 -12.6691 -7.9535 -0.0000] 在经典MPILC仿真中, 设置$m=10$, $Q_1=I_{400\times400}$, $R_1=I_{10\times10}$. 图 9和图 11为RMPILC和MPILC控制下的跟踪曲线.相应的RMPILC控制输入如图 10所示.可以看出RMPILC从第2批次开始就可以准确跟踪$y_{r_1}$, 且在批次6 $\sim$ 8能够及时跟踪变化轨迹.而MPILC直至批次5才能跟踪上$y_{r_1}$, 且在批次6 $\sim$ 8不能适应参考轨迹变化.因此与经典MPILC相比, 基于LPV模型的RMPILC快速跟踪变参考轨迹, 有利于提高CSTR的生产效率.
图 9 RMPILC控制下反应温度$T$参考轨迹跟踪曲线Fig. 9 The tracking trajectories for $T$ under RMPILC control
图 10 RMPILC控制下控制输入$T_c$轨迹Fig. 10 The trajectories of control input $T_c$ under RMPILC图 12为变轨迹下RMPILC和MPILC仿真中MSE随迭代次数的变化情况.显然, 变参考轨迹下RMPILC的跟踪误差沿迭代轴收敛, 而MPILC的跟踪误差发生较大波动, 会导致产品质量下降.
5. 结束语
本文针对具有重复特性的非线性间歇过程, 提出一种能跟踪变参考轨迹的鲁棒迭代学习模型预测控制.控制器设计基于包含被控系统非线性动态特性的LPV模型, 将LPV模型进行状态增广建立二维迭代误差模型.在鲁棒$H_\infty$预测控制框架下, 设置$H_\infty$性能上界, 并据此构建LMI约束下的目标函数优化问题.分析RMPILC系统的鲁棒稳定性和迭代收敛性, 将其充分条件作为约束加入每个采样时刻的优化中.仿真结果验证了RMPILC在快速跟踪变参考轨迹方面的优势, 表明采用基于LPV模型的RMPILC算法能显著减少迭代学习次数, 提高生产效率.
在实际生产中, 间歇过程的参考轨迹可能会发生剧烈变化.若要保证鲁棒稳定条件和迭代收敛条件, 可能会导致优化问题不可行, 或是可行域太小以至达不到期望的跟踪精度.因此, 未来的研究方向趋向于构建软约束RMPILC算法.在优化中引入松弛变量来放松约束, 允许控制输入在短时间内超出约束以达到扩大可行域的目的[33].基于软约束的RMPILC算法将能够适应剧烈变化的参考轨迹, 提高间歇过程控制的鲁棒性.
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图 3 3车场K-means未平衡聚类与平衡聚类比较
Fig. 3 Comparison of unbalanced K-means cluster and balanced K-means cluster of three depots
表 1 符号及定义
Table 1 Symbols and definitions
符号 释义 符号 释义 $F_1$ 运输距离费用 $H_{PM}$ 车场P 中有$H_{PM}$辆$M$类型的车辆 $F_2$ 车辆固定成本 $r(A)$ 完成客户子集$A$中所有客户的配送需要的最少车辆数 $F_3$ 燃油消耗费用 $N$ 总共有$N$个客户 $F_4$ 时间窗惩罚费用 $V$ 客户编号集合$\{1,2,\cdots,\ N\} $ (0 表示车场) $C_{M1}$ 第$M$种类型车辆的距离费用系数 $M_t$ 共有$M_t$种类型的车辆 $C_{M2}$ 第$M$种类型车辆的固定发车费用系数 $k$ 车辆编号 $C_{M3}$ 第$M$种类型车辆的燃油费用系数 $x_{PMijk}$ 车场$P$车型$M$的第$k$辆车从客户$i$到客户$j$的决策变量 $C_1$ 配送车辆提前到达的单位惩罚费用 $d_{ij}$ 客户$i$到客户$j$的距离 $C_2$ 配送车辆迟到的单位惩罚费用 ${ET}_i$ 客户$i$要求的最早到达时间 $i$ 客户点$i$ ${LT}_i$ 客户$i$要求的最晚到达时间 $j$ 客户点$j$ $S_i$ 客户$i$要求的卸货时间 $P$ $\{1,2,\cdots,\ P_t\} $ 车场编号$q_i$ 客户i 要求的货物需求量 $P_s$ 全部车场集合 $t_i$ 车辆到达客户$i$的时间 $P_t$ 总共有$P_t$个车场$P$ $M$ 车型编号 $M_s$ 全部车型集合$\{1,2,\cdots,\ M_t\}$ $Q_M$ 第$M$种车型的最大载重量 $H_{PMS}$ 车场$P$中车型$M$的全部车辆集合$\{1,2,\cdots,\ H_{PM}\}$ ${FU}_{Mij}$ 车型为$M$的车辆从客户$i$到客户$j$之间的耗油量 注: 综合燃油消耗模型中的其他相关参数设定参考文献 [25]. 
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表 2 目标函数中的相关系数
Table 2 Coefficients in the object function
符号 数值 $C_{M1}$ 1.5 (元/km) $C_{M2}$ 300 ~ 800 (元/辆) $C_{M3}$ 7.6 (元/l) $C_{1}$ 15 (元/h) $C_{2}$ 20 (元/h)
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表 3 主要参数与水平
Table 3 Main parameters and level
主要参数 水平设置 1 2 3 4 $\alpha$ 1.25 1.5 1.75 2.0 $\beta$ 10 1.5 2.0 2.5 $P_m$ 1.1 1.2 1.3 1.4 $W$ 500 1000 1500 2000
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表 4 参数设置的正交表
Table 4 Orthogonal table of parameter settings
组合编号 水平设置 AVR (元) $\alpha$ $\beta$ $P_m$ $W$ 1 1 1 1 1 9677 2 1 2 2 2 9625 3 1 3 3 3 9613 4 1 4 4 4 9541 5 2 1 2 3 9745 6 2 2 1 4 9624 7 2 3 4 1 9602 8 2 4 3 2 9593 9 3 1 3 4 9836 10 3 2 4 3 9703 11 3 3 1 2 9654 12 3 4 2 1 9612 13 4 1 4 2 9865 14 4 2 3 1 9689 15 4 3 2 4 9656 16 4 4 1 3 9672
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表 5 各参数不同水平下的平均响应值和影响力
Table 5 Average response values and influences table at different levels of each parameter
水平 水平设置 $\alpha$ $\beta$ $P_m$ $W$ 1 9614 9780 9656 9645 2 9641 9660 9659 9684 3 9701 9631 9683 9683 4 9720 9604 9677 9664 极差 106 176 27 39 影响力排名 2 1 4 3
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表 6 4种不同车型相关参数设置
Table 6 Related parameter settings for four different vehicle types
车型
列表车型参数 载重量 (kg) 空车重量(kg) 平均速度(km/h) 固定费用(元) 最大承载货物数 (件) Type 1 200 1600 60 ~ 80 300 ~ 400 20 Type 2 500 2700 50 ~ 70 400 ~ 500 30 Type 3 600 3500 40 ~ 60 500 ~ 600 40 Type 4 800 5000 30 ~ 50 600 ~ 800 50
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表 7 EACO_IBKA与其他算法对比结果
Table 7 Comparison results of EACO_IBKA with other algorithms
N_Pt EACO_IBKA EACO_KM EACO_NNA EACO1 DHACO ${ {T} }({{\rm{s}}} )$ 最优 平均 最差 标准差 最优 平均 最差 标准差 最优 平均 最差 标准差 最优 平均 最差 标准差 最优 平均 最差 标准差 48_2 11118 11800 12163 95 10745 11181 11579 97 11558 12080 12539 99 9650 10390 11026 87 10255 11068 11663 90 10 96_2 17483 18155 18549 183 18037 18379 19146 187 16768 17675 18229 190 15371 17009 17771 169 16011 17559 18161 174 19 144_2 24628 25435 26983 308 24880 25369 27201 314 25435 26710 27702 320 24366 25969 27419 318 24475 26884 28356 328 29 192_2 27522 28546 29649 411 28457 29482 30261 419 28758 29560 31019 428 28379 29838 30618 432 28524 30863 31665 445 38 240_2 31505 32699 34166 508 32517 33677 35235 518 32676 33723 35179 529 32722 34769 35906 534 33643 36475 37487 550 48 288_2 39217 41028 43326 592 40412 42363 44162 604 41179 42142 44696 616 41283 43164 44325 622 42606 43930 45137 641 58 360_2 53748 56268 58544 847 54672 57402 60199 864 55251 57847 59619 881 56276 58653 61938 890 56965 59409 62929 916 72 48_3 10767 11035 11572 83 10221 10827 11115 84 10995 11492 11929 93 9178 9883 10489 81 9754 10529 11095 83 14 96_3 16638 17278 17654 174 17066 17491 18222 182 15957 16821 17349 180 14627 16582 17912 191 15236 17186 18141 184 29 144_3 23443 24211 25685 293 23659 24149 25893 290 24211 25426 26371 302 23194 24720 26101 296 23297 25592 26993 305 43 192_3 26199 27175 28225 392 27090 28066 28826 399 27376 28140 29529 403 27016 28405 29147 407 27153 29381 30145 420 58 240_3 29992 31130 32527 484 30956 32061 33545 494 31108 32105 33491 499 31151 33101 34184 504 32029 34726 35690 519 72 288_3 37337 39062 41251 564 38476 40333 42047 575 39205 41123 42555 581 39305 41096 42202 587 40565 41826 42975 604 86 360_3 51176 53576 55744 806 52056 54656 57320 823 52608 55080 56768 831 53584 55848 58976 839 54240 56568 59920 864 108 48_4 10239 10617 11313 82 9943 10418 10886 84 10807 11144 11671 86 8939 9615 9883 78 9545 10051 10539 80 19 96_4 16062 16943 17257 166 16810 17146 17481 175 15871 16425 17434 160 16012 16907 17336 179 16391 16991 17496 177 38 144_4 22700 23723 25488 279 23650 24242 25187 291 23765 24990 25945 296 22747 24273 25602 288 22841 25114 26506 294 58 192_4 25690 26612 27737 373 26528 27235 27938 383 26846 27620 28988 391 26443 27896 28628 403 26623 28850 29614 411 77 240_4 29375 30447 31877 461 30317 31401 32874 473 30447 31411 32863 483 30545 32484 33502 511 31411 34401 34997 521 96 288_4 36519 38266 40433 537 37624 39493 41240 549 38365 39338 41737 560 38442 40278 41339 583 39692 40974 42135 595 115 360_4 50480 52904 55056 768 51344 53960 56608 786 51904 54392 56088 802 52088 55184 58312 833 53584 55904 59216 850 144 平均值 28183 29377 30724 400 28831 29968 31284 409 29100 30250 31510 416 28634 30289 31553 421 29278 31156 32422 431 —
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表 8 HKMA与其他划分算法的对比结果
Table 8 Comparison results of HKMA and the other dividing algorithms
$ {{N}}\_ {{M}}_{{t}}$ EACO_HKMA EACO_RDA EACO_RAA EACO_KEW EACO2 TSA_RDA $ {T}({{{\rm{s}}}})$ 最优 平均 最差 最优 平均 最差 最优 平均 最差 最优 平均 最差 最优 平均 最差 最优 平均 最差 48_2 12801 13612 13901 13220 14646 15128 12467 13293 13998 12607 13317 13922 12218 13798 14202 13352 14792 15279 15 96_2 16299 16759 17342 17570 19461 20106 16238 17661 18591 16754 17704 18101 16543 17838 18777 17746 19656 20307 29 144_2 22061 23265 24089 23361 25860 26717 22390 23665 24721 22266 23533 24590 22838 23934 25215 23595 26119 26984 44 192_2 24847 25998 26933 25983 26905 28228 26000 27201 28372 26039 26918 28238 26520 27745 28939 26243 27174 28510 57 240_2 25958 27124 28797 26951 28002 29726 29253 30130 30753 29409 30076 30878 30131 31034 31976 27221 28282 30023 72 288_2 32225 33356 33838 33783 34713 36290 32740 35242 37189 32540 35156 37175 34050 36652 38677 34121 35060 36653 87 360_2 48344 50050 51763 50695 52088 54440 49129 52874 55793 48828 52743 53780 51094 54989 58025 51202 52609 54984 108 48_3 11896 12400 13111 12574 13919 14386 11755 11999 13312 11995 12658 13236 11520 12240 13999 12700 14058 14530 21 96_3 15777 15929 16997 16704 18494 19122 16011 16792 17680 15932 16839 17594 16171 16960 17857 16871 18679 19313 44 144_3 20965 21171 22661 22207 24587 25394 21291 22312 23490 21170 22366 23380 21717 22758 23960 22429 24833 25648 65 192_3 23624 24718 25597 24704 25570 26823 24714 25850 26974 24748 25588 26836 25455 26626 27783 24951 25826 27091 87 240_3 24680 25776 27367 25620 26616 28248 27804 28634 29235 27948 28582 29351 28916 29779 30404 25876 26882 28530 108 288_3 30621 31700 32158 32106 32984 34483 31111 33493 35335 30929 33414 35335 32667 35168 37102 32427 33314 34828 129 360_3 45933 47554 48245 48172 49502 51726 46691 50237 53019 47401 50118 51004 49026 52749 55670 48654 49997 52243 162 48_4 10755 10998 12257 11330 12533 12956 10700 11393 11985 10800 11402 11927 10999 11766 11999 11443 12658 13086 29 96_4 14214 14349 14672 15047 16655 17221 14422 15118 15927 14346 15171 15843 14566 15269 16086 15197 16822 17393 57 144_4 18878 19057 20506 19998 22039 22865 19165 20085 21148 19057 20140 21048 19548 20487 21571 20198 22360 23094 87 192_4 21273 22251 23043 22237 23018 24145 22257 23268 24281 22282 23034 24158 22925 23966 25009 22459 23248 24386 116 240_4 22215 23209 24642 23073 23966 25438 25035 25778 26316 25161 25735 26431 26036 26809 27369 23304 24206 25692 144 288_4 27563 28542 29950 28902 29689 31040 28012 30149 31812 27842 30088 31815 29413 31656 33403 29191 29986 31350 173 360_4 41350 42809 44034 43360 44558 46561 42028 45218 47722 41776 43111 45711 44129 47479 50108 43794 45004 47027 216 平均值 24407 25197 25970 25600 26948 28145 25201 26659 27983 25230 26652 27636 26023 27605 28944 25856 27217 28426 —
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表 9 EACO_CD性能验证
Table 9 Performance verification of EACO_CD
$ {{N}}\_{{ P}}_{{t}}\_{{M}}_{{t}}$ EACO_CD (EACO_IBKA_HKMA) IACO_CD (IACO_NNA_SWA) IHGA ${ {T} }({ {{\rm{s}}} })$ 最优值 平均值 最差值 标准差 最优值 平均值 最差值 标准差 最优值 平均值 最差值 标准差 48_2_2 12145 12478 12859 232 12880 13212 13509 241 11632 11967 12227 220 15 96_2_2 16370 16526 16904 295 17800 18071 18381 272 15852 16011 16376 285 31 144_2_2 21010 21305 21704 324 24589 24825 25406 336 21049 21640 22154 348 51 192_2_2 23664 24760 25650 556 26040 27250 28218 576 24863 26010 26948 590 71 240_2_2 24722 25832 27426 588 26707 27903 29640 641 27444 28720 29947 692 96 288_2_2 30690 31768 32227 724 33772 34962 35457 803 35311 36550 37076 824 123 360_2_2 39903 41303 41906 951 43907 45448 46111 1059 45507 46098 47781 1197 162 48_3_2 12999 14064 14425 293 13656 14787 15372 336 12742 13802 14337 304 21 96_3_2 16883 17869 18993 358 18568 20115 20999 343 16800 18283 19011 363 48 144_3_2 21916 23728 24668 456 25647 27774 28874 539 23029 24921 25906 491 76 192_3_2 24257 25492 26408 668 26692 28059 29065 671 26688 28052 29053 746 109 240_3_2 24672 26558 28026 792 27884 30021 31675 740 28382 30554 32236 787 144 288_3_2 30258 31572 32860 907 34814 36319 37797 1017 35414 36956 38450 1092 183 360_3_2 39347 41061 42734 1141 43291 45187 47020 1263 47228 49291 51297 1389 243 48_3_3 12284 13225 13755 280 12830 13906 14446 322 12123 13253 13797 287 29 96_3_3 15867 17082 17860 388 17470 18911 19664 368 16514 17874 18584 478 62 144_3_3 20620 22321 23193 438 22488 24336 25294 490 24128 26136 27154 522 102 192_3_3 22816 23977 24832 631 25108 26383 27320 708 26242 27588 28567 743 145 240_3_3 24209 25982 27348 655 26693 28731 30318 770 27859 29995 31632 803 192 288_3_3 28458 29693 30892 828 32742 34157 35530 957 35582 37120 38622 1048 245 360_3_3 37006 38610 40166 1079 40722 42474 44186 1198 47081 49427 51523 1399 288 平均值 23814 25010 25945 599 26395 27754 28775 650 26737 28107 29175 696 —
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