Application of Neural-symbol Model Based on Stacked Denoising Auto-encoders in Wafer Map Defect Recognition
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摘要: 深度神经网络是具有复杂结构和多个非线性处理单元的模型, 通过模块化的方式分层从数据提取代表性特征, 已经在晶圆缺陷识别领域得到了较为广泛的应用. 但是, 深度神经网络在应用过程中本身存在“黑箱”和过度依赖数据的问题, 显著地影响深度神经网络在晶圆缺陷识别的工业可应用性. 提出一种基于堆叠降噪自编码器的神经–符号模型. 首先, 根据堆叠降噪自编码器的网络特点采用了一套符号规则系统, 规则形式和组成结构使其可与深度神经网络有效融合. 其次, 根据 网络和符号规则之间的关联性提出完整的知识抽取与插入算法, 实现了深度网络和规则之间的知识转换. 在实际工业晶圆表面图像数据集WM-811K上的试验结果表明, 基于堆叠降噪自编码器的神经–符号模型不仅取得了较好的缺陷探测与识别性能, 而且可有效提取规则并通过规则有效描述深度神经网络内部计算逻辑, 综合性能优于目前经典的深度神经网络.Abstract: Deep neural network is a model with complex structure and multiple non-linear processing units. It has achieved great successes in wafer map pattern recognition through deep feature learning. In order to solve the problem of unexplained “black box” and excessive dependence on data in the applications of deep neural networks, this paper proposes a neural-symbol model based on a stacked denoising auto-encoders. Firstly, the symbolic rule system is designed according to the characteristics of stacked denoising auto-encoders. Secondly, according to the inner association between the network and the rules, a knowledge extraction and insertion algorithm is proposed to describe the deep network and improve the performance of the network. The experimental results on the industrial wafer map image set WM-811K show that the neural-symbol model based on stacked denoising auto-encoders not only achieves better defect pattern recognition performance, but also can effectively describe the internal logic of the neural network through rules, and its comprehensive performance is better than that of the current classical classification model.
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Key words:
- Wafer map defect /
- deep learning /
- stacked denoising auto-encoders /
- symbolic rule /
- knowledge discovery
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T-S (Takagi-Sugeno)模糊模型通过简单的IF-THEN模糊规则, 利用一系列的局部线性子系统结合模糊隶属度函数可精确描述非线性系统, 广泛用于非线性系统的建模与控制, 受到了国内外控制团队的极大关注[1-2]. 该模型结构简单, 数学描述方便, 有利于系统分析和控制器设计. 因此, T-S模糊模型系统的各种问题得到广泛研究[2-9], 如
$ H_{\infty} $ 跟踪控制问题[6]、非脆弱滤波控制问题[7]、鲁棒耗散控制问题[8]、故障检测问题[9]等.采样控制系统具有安装简单、可靠性高、维护成本低、效率高等优点而广泛应用于实际工程中. 采样控制系统是一个包含连续时间信号
$ x(t) $ 和离散时间信号$ x(t_{k}) $ 的混杂系统, 它的控制信号在任意一个采样间隔内只刷新一次(只在数据采样时刻刷新), 与连续控制系统相比, 这极大减少了信息的传输量, 增加了带宽使用效率且控制更加高效. 因此, 采样控制系统得到众多学者的广泛研究, 并取得了丰富的成果[10-19]. 文献[10-11]和文献[12]分别利用离散时间方法和脉冲模型方法研究了采样控制系统的稳定和镇定问题. 文献[13]提出了基于L-K (Lyapunov-Krasovskii)泛函的输入时滞方法, 该方法是目前分析采样控制系统综合问题的主要方法之一, 其基本思想是将采样控制系统转换为时变时滞系统, 再利用L-K泛函和时滞系统理论分析采样控制系综合问题. 近些年, 许多学者基于输入时滞方法提出了一些新的分析方法, 如时间相关L-K泛函方法[14]、闭环L-K泛函方法[15]、不连续L-K泛函方法[16-17]和双边闭环L-K泛函方法[18-19]等. 这些方法也已用于处理其他复杂系统的控制问题, 文献[20]利用时间相关L-K泛函方法研究了基于T-S模糊模型的混沌采样控制系统指数镇定问题. 文献[21]使用基于Wirtinger不等式的不连续L-K泛函和模糊比例采样控制分析了混沌系统的镇定控制问题. 文献[22]利用基于自由矩阵的不连续L-K泛函讨论了T-S模糊混沌采样控制系统的镇定控制问题. 文献[23]通过双边闭环函数讨论了时变时滞神经网络的采样同步控制问题.耗散性理论是Kalman-Yakubovich引理, 无源性理论以及圆判据的推广, 它通过能量相关的输入输出描述方式给出了控制系统设计和分析的新框架, 已成为非线性系统, 鲁棒控制系统设计的重要工具. 耗散性将无源性能和
$ H_{\infty} $ 性能进行了统一, 为控制系统设计提供了一种更灵活, 保守性更小的方法. 另外, 在耗散性能的基础上, 还可引入扩展耗散性能[24], 这个性能可将$ H_{\infty} $ 性能、$ L_2 $ ~$ L_{\infty} $ 性能和无源性能纳入一个统一的框架. 因此, 研究各类动态系统的耗散控制问题具有重要意义. 文献[25]针对具有随机扰动的模糊切换系统, 讨论了其鲁棒耗散滤波控制问题并给出了滤波控制器的设计方法. 文献[26]研究了时变时滞神经网络的耗散性问题, 建立了确保系统严格耗散的充分条件. 文献[27]分析了一类具有执行器故障的奇异Markovian跳变系统的有限时间耗散控制问题. 文献[28]研究了T-S模糊Markovian跳变系统的可靠耗散控制问题. 文献[29]研究具有执行器故障的T-S模糊采样控制系统的可靠耗散控制问题. 文献[30]针对一类T-S模糊采样控制系统, 利用时间相关L-K泛函方法研究了系统的鲁棒耗散控制问题, 获得了系统严格耗散的充分条件并给出了模糊采样控制器的设计方案. 由于它只考虑了采样间隔$ [t_k,t) $ 的系统特征信息, 忽视了采样间隔$ [t,t_{k+1}) $ 的系统特征信息. 因此, 这种设计方法的保守性较大. 考虑这种情况, 文献[31]利用整个采样间隔$ [t_k,t_{k+1}] $ 的系统特征信息, 提出一个双边闭环L-K泛函, 进一步研究了T-S模糊采样控制系统的耗散控制问题. 虽然文献[31]的设计方案比文献[30]的设计方案保守性更小, 但文献[31]没有考虑模糊前提变量, 只是设计了一个线性的采样控制器, 同时, 它构造的双边闭环函数还忽视了一些有效的特征信息. 因此还有很大的改进空间.针对文献[30]和文献[31]存在的问题, 本文进一步研究T-S模糊采样控制系统的鲁棒耗散控制问题. 主要贡献有以下几点: 1)基于2阶的B-L不等式, 提出基于B-L不等式的双边时间相关不连续L-K泛函, 该泛函充分考虑了整个采样间隔
$ [t_k,t_{k+1}) $ 的特征信息和系统的不连续特性, 相对现有的L-K泛函方法来说, 可更加有效地捕获采样控制系统的锯齿结构特征; 2)提出了一个改进的自由矩阵不等式, 对L-K泛函导数的估计更为精确; 3)利用提出的L-K泛函和自由矩阵不等式, 建立了一个低保守性的鲁棒耗散性条件, 基于这个条件, 提出了T-S模糊采样控制器的设计方案. 通过一个卡车拖车系统来验证设计方法的有效性和优越性.本文采用如下记号:
$ {\bf R}^n $ ,$ {\bf R}^{n \times m} $ 分别表示实数域的$ n $ 维向量空间和$ {n \times m} $ 矩阵空间;$ {\bf N} $ 表示自然数集;$ 0 $ 和$ I $ 分别代表合适维数的零矩阵和单位矩阵;$ R>0 $ 表示矩阵$ R $ 是正定矩阵;$ \rm{Sym} $ $ \{M\} = M+M^{\rm T} $ 代表矩阵$ M $ 与矩阵$ M $ 转置之和;$ \rm{diag}\{\cdot\} $ 表示块对角矩阵; “*”表示对称矩阵的对称项;$ L_2[0,+\infty) $ 表示平方可积无穷序列.1. 系统描述
针对一类连续非线性采样控制系统, 考虑以下IF-THEN模糊规则描述的T-S模糊模型.
被控对象规则
$ i $ : IF$ \varrho_1(t) $ is$ G_{i1} $ ,$ \varrho_2(t) $ is$ G_{i2} $ , and$\cdots $ and$ \varrho_p(t) $ is$ G_{ip} $ , THEN$$ \left\{ \begin{aligned} &\dot{{\pmb x}}(t) = A_{i}{\pmb x}(t)+B_{1i}{\pmb u}(t)+D_{1i}{\pmb w}(t)\\ & {\pmb z}(t) = C_{i}{\pmb x}(t)+B_{2i}{\pmb u}(t)+D_{2i}{\pmb w}(t) \end{aligned} \right. $$ (1) 其中,
$ i \in {\bf N} = \{1,2,\cdots,r\} $ ,$ r $ 为IF-THEN模糊规则条数;$ \varrho_1(t) $ ,$ \varrho_2(t),\; \cdots$ ,$ \varrho_p(t) $ 表示前提变量;$ G_{i1} $ ,$ G_{i2},\;\cdots $ ,$ G_{ip} $ 是模糊集合;$ {\pmb x}(t) \in {\bf R}^n $ 是系统状态向量;$ {\pmb u}(t) \in {\bf R}^m $ 控制输入向量;$ {\pmb w}(t) $ 为外部扰动输入向量, 满足$ L_2[0,+\infty) $ ;$ {\pmb z}(t) $ 是控制输出向量;$ A_{i} $ ,$ B_{1i} $ ,$ D_{1i} $ ,$ C_{i} $ ,$ B_{2i} $ ,$ D_{2i} $ 是合适维数的常数矩阵.定义
$ \varrho(t) = [\varrho_1(t), \varrho_2(t),\cdots, \varrho_p(t)] $ , 以及$$\begin{split} &{\zeta _i}(\varrho (t)) = \prod\limits_{j = 1}^p {{G_{ij}}} ({\varrho _j}(t))\\ &{h_i}(\varrho (t)) = \frac{{{\zeta _i}(\varrho (t))}}{{\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^r {{\zeta _j}} (\varrho (t))}} \end{split}$$ 其中,
$ G_{ij}(\varrho_j(t)) $ 为$ \varrho_j(t) $ 属于模糊集合$ G_{ij} $ 的隶属度, 对$ \forall t $ , 有$ \zeta_{i}(\varrho(t))\ge 0 $ ,$ h_{i}(\varrho(t))\ge 0 $ ,$ i \in {\bf N} = \{1,2,\cdots, $ $r\} $ , 且$ \sum_{i = 1}^r h_{i}(\varrho(t)) = 1 $ . 此时, 基于T-S模糊模型的采样控制系统可由上面的各个子系统的加权平均表示为$$ \left\{ \begin{aligned}& \dot{{\pmb x}}(t) = A(t){\pmb x}(t)+B_{1}(t){\pmb u}(t)+D_{1}(t){\pmb w}(t)\\ & {\pmb z}(t) = C(t){\pmb x}(t)+B_{2}(t){\pmb u}(t)+D_{2}(t){\pmb w}(t) \end{aligned} \right. $$ (2) 其中,
$$\begin{split} &A(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}} (\varrho (t)){A_i},\;C(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}} (\varrho (t)){C_i}\\ &{B_1}(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}} (\varrho (t)){B_{1i}},\;{B_2}(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}} (\varrho (t)){B_{2i}}\\ &{D_1}(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}} (\varrho (t)){D_{1i}},\;{D_2}(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}} (\varrho (t)){D_{2i}} \end{split}$$ 控制信号由零阶保持器(Zero-order holder, ZOH)输出产生. 基于并行分布补偿控制 (Parallel distributed control, PDC)的思想, 针对系统(1), 给出下面的T-S模糊采样状态反馈控制器.
控制器规则
$ i $ : IF$ \varrho_1(t) $ is$ G_{i1} $ ,$ \varrho_2(t) $ is$ G_{i2} $ , and$\cdots $ and$ \varrho_p(t) $ is$ G_{ip} $ , THEN$$ {\pmb u}(t) = K_{i}{\pmb x}(t_k),\; t \in [t_k, t_{k+1}), i \in \mathbb{N} $$ (3) 其中,
$ K_i \in {\bf{R}}^{m \times n} $ 是局部状态反馈控制器的增益矩阵. 全局状态反馈T-S模糊采样控制器为$$ {\pmb u}(t) = K(t_k){\pmb x}(t_k),\; t \in [t_k, t_{k+1}) $$ (4) 其中,
$ K(t_k) = \sum_{i = 1}^r h_{i}(\varrho(t_k))K_{i} $ ,$ {\pmb x}(t_k) $ 为$ {\pmb x}(t) $ 在采样时刻$ t_k $ 的离散测量值.采样周期为两个相邻连续采样时刻之间的间隔时间, 假设满足
$$ t_{k+1}-t_{k} = h_k \in [h_1,h_2] $$ (5) 其中,
$ h_1 $ 和$ h_2 $ $ (h_2\ge h_1 \ge 0) $ 分别表示采样周期(采样间隔)的最小值和最大值.将式(4)代入式(2), 可得下面的闭环采样控制系统
$$ \left\{ \begin{aligned}& \dot{{\pmb x}}(t) = A(t){\pmb x}(t)+B_{1}(t)K(t_{k}){\pmb x}(t_k)+D_{1}(t){\pmb w}(t)\\ & {\pmb z}(t) = C(t){\pmb x}(t)+B_{2}(t)K(t_{k}){\pmb x}(t_k)+D_{2}(t){\pmb w}(t) \end{aligned} \right. $$ (6) 为了分析系统(6)的耗散性能, 定义下面的能量供给率函数
$$\begin{split} {\pmb r}(z,w) =\;& {{\pmb z}^{\rm{T}}}(t)\mathcal{Q}{\pmb z}(t) + 2{{\pmb z}^{\rm{T}}}(t)\mathcal{S}{\pmb w}(t)\; +\\ &{{\pmb w}^{\rm{T}}}(t)\mathcal{R}{\pmb w}(t) \end{split}$$ (7) 其中,
$ \mathcal{Q} = \mathcal{Q}^{\rm T} $ ,$ \mathcal{S} $ ,$ \mathcal{R} = \mathcal{R}^{\rm T} $ 是实数矩阵且$ \mathcal{Q} \le 0 $ . 定义$ \tilde{\mathcal{Q}}\_ = (-\mathcal{Q})^{\frac{1}{2}} $ , 此时, 引入下面的耗散性定义.定义 1[32]. 在零初始条件下, 如果存在任意的
$ \gamma>0 $ , 使下面成立$$ {\int_{0}^{t_f} {\pmb r}(z,w){\rm d}t} \ge \gamma {\int_{0}^{t_f} {\pmb w}^{\rm T}(t){\pmb w}(t){\rm d}t}, \;\; \forall t_f>0 $$ (8) 则称系统(6)是严格(
$ \mathcal{Q} $ ,$ \mathcal{S} $ ,$ \mathcal{R} $ )-$ \gamma $ -耗散的.本文目的是为系统(6)设计一个T-S模糊采样控制器(4), 且满足指定的耗散性能(8).
为了推导主要结论, 给出下面两个引理.
引理 1 (2阶B-L不等式)[33-34]. 对给定矩阵
$ R\in {\bf R}^{n \times n} $ , 对所有在$ [{a}, {b}]\to {{\bf R}^n} $ 上连续可微的函数$ {\pmb x} $ , 满足$$\begin{split} &-({b-a}){\int_{a}^{b} {\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)} R{\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s}} \le \\ & \qquad -{\pmb \varpi}_i^{\rm T}(t){\Sigma^{\rm T}_i}{{\Omega^{\rm T}_i}}{\bar{R}_p}{\Omega_i{\Sigma_i}}{\pmb \varpi}_i(t), \;\;i=1,2 \end{split}$$ (9) 其中,
$$\begin{split} &{{\bar R}_p} = {\rm{diag}}\left\{ {R,3R,5R} \right\}\\ &{\Omega _1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I&0&0\\ I&{\; - 2I}&0\\ I&{\; - 6I}&{\;6I} \end{array}} \right] \end{split} \hspace{48pt}$$ (10) $${\Omega _2} = {\rm{diag}}\left\{ {I,\; - I,\;I} \right\}{\Omega _1} \hspace{50pt}$$ (11) $${\displaystyle\Sigma _1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I&{\; - I}&{\;\;0}&{\;\;0}\\ 0&{\; - I}&{\;\;I}&{\;\;0}\\ 0&{\; - I}&{\;\;0}&{\;\;2I} \end{array}} \right] \hspace{34pt}$$ (12) $${\displaystyle\Sigma _2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I&{\; - I}&{\;0}&{\;0}\\ I&{\;0}&{\; - I}&{\;0}\\ I&{\;0}&{\;0}&{\; - 2I} \end{array}} \right] \hspace{24pt}$$ (13) $$ \begin{split} &\pmb{\text{π}} _{1}(t) = \left[{\pmb x}^{\rm T}(b),{\pmb x}^{\rm T}(a),\pmb{\text{π}} ^{\rm T}_{11}(t),\pmb{\text{π}} ^{\rm T}_{12}(t)\right]^{\rm T} \\ &\pmb{\text{π}} _{2}(t) = \left[{\pmb x}^{\rm T}(b),{\pmb x}^{\rm T}(a),\pmb{\text{π}} ^{\rm T}_{21}(t),\pmb{\text{π}} ^{\rm T}_{22}(t)\right]^{\rm T} \\ & \pmb{\text{π}} _{1i}(t) = \frac{1}{(b-a)^i}{\int_{a}^{b}(b-s)^{i-1}{\pmb x}(s){\rm d}s} \\ & \pmb{\text{π}} _{2i}(t) = \frac{1}{(b-a)^i}{\int_{a}^{b}(s-a)^{i-1}{\pmb x}(s){\rm d}s} \end{split} $$ 引理 2 (改进的自由矩阵不等式).对给定矩阵
$ R\in {\bf R}^{n \times n} $ , 任意向量$ \pmb\xi_0 $ 和自由权矩阵$ N $ , 对所有在$ [{a}, {b}]\to {{\bf{R}}^n} $ 上连续可微的函数$ x $ , 满足$$ \begin{split} & -{\int_{a}^{b} \dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s) R\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s} \le (b-a)\pmb\xi_0^{\rm T} N^{\rm T}{\bar{R}^{-1}_p}N\pmb\xi_0\;+ \\ & \qquad 2\pmb\xi_0^{\rm T} {N}^{\rm T}{\Omega_i{\Sigma_i}}{\pmb\varpi}_i(t),\;\; i = 1,2 \end{split} $$ (14) 其中,
$ \Omega_i $ ,$ \Sigma_i $ ,$ \bar{R}_p $ 和$ {\pmb\varpi}_i(t) $ 的定义见引理1.证明. 将文献[35]中的辅助向量
$\pmb\zeta(s) = [\pmb\varpi^{\rm T}_1(t), $ $ f_1(s)\pmb\varpi^{\rm T}_1(t),f_2(s)\pmb\varpi^{\rm T}_1(t)]^{\rm T} $ 修改为$ \pmb\zeta(s) = [\pmb\xi^{\rm T}_0 $ $ , f_1(s)\pmb\xi^{\rm T}_0, $ $ f_2(s)\pmb\xi^{\rm T}_0]^{\rm T} $ (即将向量$ {\pmb\varpi}_1(t) $ 修改为任意向量$ \pmb\xi_0 $ ), 类似于文献[35]引理1的证明可得引理2中$ i = 1 $ 的情形. 另外, 由$ \pmb{\text{π}}_{12}(t) = \pmb{\text{π}}_{21}(t)-\pmb{\text{π}}_{22}(t) $ , 可得$ {\Omega_1\times} $ $ {\Sigma_1}{\pmb\varpi}_1(t) = {\Omega_2{\Sigma_2}}{\pmb\varpi}_2(t) $ . 因此, 不难得出引理2中的$ i = 2 $ 的情况. □注 1. 若在引理2 (i = 1的情形)中, 设
$ \pmb\xi_0 = $ $ {\pmb\varpi}_1(t) $ , 可得文献[35]中引理1 (自由矩阵不等式); 若在引理2中, 设$ \pmb\xi_0 = {\pmb\varpi}_i(t) $ 和$ N = -\bar{R}_p\Omega_i{\Sigma_i}/(b-a) $ ,$ i = 1,2 $ , 可得引理1 (2阶B-L不等式). 即自由矩阵不等式和2阶B-L不等式是引理2的一种特例.2. 主要结果及证明
为了简化系统的分析与设计以及推导过程, 定义如下标记符:
$$ \begin{align} \; \; & h(t) = t-t_{k},\; \; h_k-h(t) = t_{k+1}-t \\ \; \; & \pmb\alpha_i(t) = \frac{1}{(t-t_k)^i}{\int_{t_k}^{t}(t-s)^{i-1}{\pmb x}(s){\rm d}s}, \;\;i = 1,2 \\ \; \; & \pmb\beta_i(t) = \frac{1}{(t_{k+1}-t)^i}{\int_{t}^{t_{k+1}}(s-t)^{i-1}{\pmb x}(s){\rm d}s},\;\; i = 1,2\\ \; \; &\pmb\vartheta_1(t) = {\pmb x}(t)-{\pmb x}(t_k),\; \; \pmb\vartheta_2(t) = {\pmb x}(t)-{\pmb x}(t_{k+1})\\ \; \; &\pmb\eta_{1}(t) = [(h_k-h(t))\pmb\vartheta^{\rm T}_1(t),\; h(t)\pmb\vartheta^{\rm T}_2(t)]^{\rm T} \\ \; \; & \pmb\eta_{2}(t) = [\pmb\vartheta^{\rm T}_1(t),\pmb\vartheta^{\rm T}_2(t)]^{\rm T},\pmb\eta_{3k} = [{\pmb x}^{\rm T}(t_k),{\pmb x}^{\rm T}(t_{k+1})]^{\rm T}\\ \; \; & \pmb\eta_{4}(t) = [\pmb\alpha^{\rm T}_1(t),\pmb\beta^{\rm T}_1(t),\pmb\alpha^{\rm T}_2(t),\pmb\beta^{\rm T}_2(t)]^{\rm T} \\ \; \; & \pmb\eta_{5}(t) = [{\pmb x}^{\rm T}(t),{\pmb x}^{\rm T}(t_k),\pmb\alpha^{\rm T}_1(t),\pmb\alpha^{\rm T}_2(t)]^{\rm T} \\ \; \; & \pmb\xi(t) = [{\pmb x}^{\rm T}(t),\pmb\eta^{\rm T}_{3k},\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(t),\pmb\eta^{\rm T}_{4}(t),{\pmb w}^{\rm T}(t)]^{\rm T}\\ \; \; & e_j = [0_{n \times (j-1)n},I_n, 0_{n \times (8-j)n},0_{n \times q}],\;\;j = 1,\cdots,8\\ \; \; & e_9 = [0_{q \times 8n},I_q] \end{align} $$ 首先, 对模糊采样控制器增益矩阵已知的情况, 给出闭环采样控制系统(6)满足耗散性能(8)的充分条件如下.
定理 1. 若存在合适维度矩阵
$ P>0 $ ,$ R_1>0 $ ,$ R_2>0 $ ,$ R_3>0 $ ,$ X_1 $ ,$ X_2 $ ,$ Z_1 = Z^{\rm T}_1 $ ,$ Z_2 = Z^{\rm T}_2 $ ,$ F_1 $ ,$ F_2 $ ,$ F_3 $ ,$ N_{ij} $ ,$ M_{ij} $ ,$ i,j \in {\bf N} $ , 使得对$ h_k\in [h_1, h_2] $ , 满足下面的线性矩阵不等式(Linear matrix inequality, LMI), 即$$ \left[\begin{array}{ccc} \Phi_{1ij} &\sqrt{h_k}M^{\rm T}_{ij} &\Pi^{\rm T}_{2ij}\tilde{\mathcal{Q}}^{\rm T}_\_\\ \ast &-\bar{R}_{2p} &0 \\ \ast &\ast &-I \end{array}\right]<0 \hspace{10pt}$$ (15) $$ \left[\begin{array}{ccc} \Phi_{2ij} &\sqrt{h_k}N^{\rm T}_{ij} &\Pi^{\rm T}_{2ij}\tilde{\mathcal{Q}}^{\rm T}_\_\\ \ast &-\bar{R}_{1p} &0 \\ \ast &\ast &-I \end{array}\right]<0\; \; \; \; \; $$ (16) 其中,
$$ \;\;\begin{split} & \Phi_{1ij} = \Psi_1+\Psi_{2ij}+h_k\Psi_{3}\\ &\Phi_{2ij} = \Psi_1+\Psi_{2ij}+h_k\Psi_{4}\\ & \Psi_1 = {\rm{Sym}}\big\{e^{\rm T}_{1}Pe_{4}+{\Xi^{\rm T}_{1}}(X_1\Xi_{4}+X_2\Xi_{5})-{\Xi^{\rm T}_{12}}{\Sigma^{\rm T}_1}\times\\ &\quad\qquad{{\Omega^{\rm{T}}_1}}{\bar{R}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{14}\big\}+h^2_2e^{\rm T}_{4}R_3e_{4}-{\Xi^{\rm T}_{12}}{\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}\times\\ &\quad\qquad{\bar{R}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{12}\\ & \Psi_{2ij} = {\rm{Sym}}\big\{N^{\rm T}_{ij}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{12} + M^{\rm T}_{ij}{\Omega_2{\Sigma_2}}\Xi_{13} + \Xi^{\rm T}_{16}\Pi_{1ij}\,- \\ &\quad\qquad\Pi^{\rm T}_{2ij}\mathcal{S}e_{9}\big\}+e^{\rm T}_{9}(\gamma I-\mathcal{R})e_{9}\end{split} $$ $$ \;\;\begin{split} &\Psi_{3} = {\rm{Sym}}\big\{{\Xi^{\rm T}_{2}}(X_1\Xi_{4}+X_2\Xi_{5})+{\Xi^{\rm T}_{6}}X_1\Xi_{8}+{\Xi^{\rm T}_{9}}Z_2\times\\ &\quad\qquad\Xi_{10}\big\}+e^{\rm T}_{4}R_{1}e_{4}+{\Xi^{\rm T}_{5}}Z_1\Xi_{5}+{\Xi^{\rm T}_{9}}Z_2\Xi_{9} \\ &\Psi_{4} = {\rm{Sym}}\big\{{\Xi^{\rm T}_{3}}(X_1\Xi_{4}+X_2\Xi_{5})+{\Xi^{\rm T}_{7}}X_1\Xi_{8}+{\Xi^{\rm T}_{9}}Z_2\times\\ &\quad\qquad\Xi_{11}-{\Xi^{\rm T}_{12}}{\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}{\bar{R}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{15}\big\}+e^{\rm T}_{4}R_{2}e_{4}-\\ &\quad\qquad{\Xi^{\rm T}_{5}}Z_1\Xi_{5}-{\Xi^{\rm T}_{9}}_2\Xi_{9}\\ & \bar{R}_{lp} = {\rm diag}\left\{R_l,3R_l,5R_l\right\},\;\;l = 1,2,3\\ &\Xi_{1} = [{e^{\rm T}_{2}}-{e^{\rm T}_{1}},{e^{\rm T}_{1}}-{e^{\rm T}_{3}}]^{\rm T} \\ &\Xi_{2} = [{e^{\rm T}_{4}},0]^{\rm T} \\ &\Xi_{3} = [0,{e^{\rm T}_{4}}]^{\rm T}\\ & \Xi_{4} = [{e^{\rm T}_{1}}-{e^{\rm T}_{2}},{e^{\rm T}_{1}}-{e^{\rm T}_{3}}]^{\rm T} \\ &\Xi_{5} = [{e^{\rm T}_{2}},{e^{\rm T}_{3}}]^{\rm T}\\ & \Xi_{6} = [{e^{\rm T}_{1}}-{e^{\rm T}_{2}},0]^{\rm T} \\ &\Xi_{7} = [0,{e^{\rm T}_{1}}-{e^{\rm T}_{3}}]^{\rm T} \\ &\Xi_{8} = [{e^{\rm T}_{4}},{e^{\rm T}_{4}}]^{\rm T} \\ &\Xi_{9} = [{e^{\rm T}_{5}},{e^{\rm T}_{6}},{e^{\rm T}_{7}},{e^{\rm T}_{8}}]^{\rm T} \\ & \Xi_{10} = [{e^{\rm T}_{1}}-{e^{\rm T}_{5}},0,{e^{\rm T}_{5}}-2{e^{\rm T}_{7}},0]^{\rm T} \\ & \Xi_{11} = [0,{e^{\rm T}_{6}}-{e^{\rm T}_{1}},0,2{e^{\rm T}_{8}}-{e^{\rm T}_{6}}]^{\rm T} \\ & \Xi_{12} = [{e^{\rm T}_{1}},{e^{\rm T}_{2}},{e^{\rm T}_{5}},{e^{\rm T}_{7}}]^{\rm T}\\ & \Xi_{13} = [{e^{\rm T}_{3}},{e^{\rm T}_{1}},{e^{\rm T}_{6}},{e^{\rm T}_{8}}]^{\rm T} \\ & \Xi_{14} = [0,0,{e^{\rm T}_{1}}-{e^{\rm T}_{5}},{e^{\rm T}_{5}}-2{e^{\rm T}_{7}}]^{\rm T} \\ & \Xi_{15} = [{e^{\rm T}_{4}},0,0,0]^{\rm T} \\ &\Xi_{16} = [e^{\rm T}_1F_1+e^{\rm T}_2F_2+e^{\rm T}_4F_3]^{\rm T} \\ & \Pi_{1ij} = A_ie_{1}+B_{1i}K_je_{2}+D_{1i}e_{9}-e_{4} \\ & \Pi_{2ij} = C_ie_{1}+B_{2i}K_je_{2}+D_{2i}e_{9} \\[-10pt]\end{split} $$ (17) 其中,
$ \Sigma_i $ ,$ \Omega_i $ ,$ i = 1,2 $ 的定义见式(10) ~ (13). 那么, 系统 (6)是严格($ \mathcal{Q} $ ,$ \mathcal{S} $ ,$ \mathcal{R} $ )-$ \gamma $ -耗散的.证明. 构造基于B-L不等式的双边时间相关不连续L-K泛函为
$$ \begin{align} {V}(t) = V_c(t)+V_{BL}(t),\; t \in [t_k, t_{k+1}) \end{align} $$ (18) 其中,
${V}_{c}(t) = \sum_{j = 1}^6 {{V}_{j}}(t)$ ,$ {{V}_{j}}(t) $ 定义为$$ \begin{align} &{{V}_{1}}(t) = {\pmb x}^{\rm T}(t)P{\pmb x}(t) \\ &{{V}_{2}}(t) = 2\pmb\eta^{\rm T}_1(t)[X_1\pmb\eta_2(t)+X_2\pmb\eta_{3k}] \\ &{{V}_{3}}(t) = (h_k-h(t))h(t)\pmb\eta^{\rm T}_{3k}Z_1\pmb\eta_{3k} \\ &{{V}_{4}}(t) = (h_k-h(t))h(t)\pmb\eta^{\rm T}_{4}(t)Z_2\pmb\eta_4(t) \\ &{{V}_{5}}(t) = (h_k-h(t))\int^{t}_{t_k}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R_{1}\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s\\ &{{V}_{6}}(t) = -h(t)\int^{t_{k+1}}_{t}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R_{2}\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s \end{align} $$ 另外,
$ V_{BL}(t) $ 定义为$$ \begin{align} {{V}_{BL}}(t) =\;& h^2_2\int^{t}_{t_k}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R_{3}\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s- \\ & h(t)\pmb\eta^{\rm T}_{5}(t)[{\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}{\bar{R}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}]\pmb\eta_5(t) \end{align} $$ 其中,
$ \Omega_1 $ 和$ \Sigma_1 $ 的定义见式(10)和式(12),$ {\bar{R}_{3p}} $ 的定义见式(17). 注意到泛函$ V_c(t) $ 满足$$ \begin{split} & \lim_{t \to t_k}V_1(t) = V_1(t_k) \ge 0 \\ & \lim_{t \to t^-_k}V_i(t) = \lim_{t \to t^+_k}V_i(t)= V_i(t_k) = 0, \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\;\; \; \; \; \; \; \; i = 2,\cdots,6 \end{split} $$ (19) 由式(19)知, 泛函
$ V_c(t) $ 在时间上是连续的, 即$\lim_{t \to t_k}$ $ V_c(t) = V_c(t_k)\ge0 $ . 满足条件(19)的L-K泛函称为时间相关连续型L-K泛函[13-14]. 这类泛函的特征在于它只需要在采样时刻正定, 不需要在整个采样区间内正定. 这样可以通过放松L-K泛函中的矩阵变量来降低系统保守性(如泛函$ V_c(t) $ 中的矩阵变量$ X_1 $ ,$ X_2 $ ,$ Z_1 $ 和$ Z_2 $ ). 因此, 它广泛应用于处理采样控制系统的综合控制设计问题[12-17].另外,
$ {{V}_{BL}}(t) $ 在$t = t_k$ 是不连续的, 因为${{V}_{BL}}(t_k) \neq$ $\lim_{t \to t^-_k}{{V}_{BL}}(t)$ . 因此, 需要证明$ {{V}_{BL}}(t) $ 是正定的和$ {{V}_{BL}}(t) $ 在$ t_k $ 跳变前后不是增大的.对
$ R_3>0 $ , 由引理1可知$$ \begin{split} {{V}_{BL}}(t)\ge\;&h^2(t)\int^{t}_{t_k}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R_{3}\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s -\\ &h(t)\pmb\eta^{\rm T}_{5}(t)[{\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}{\bar{R}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}]\pmb\eta_5(t) = \\ &h(t)\Big\{h(t)\int^{t}_{t_k}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R_{3}\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s - \\ &\pmb\eta^{\rm T}_{5}(t)[{\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}{\bar{R}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}]\pmb\eta_5(t)\Big\} > 0 \end{split} $$ (20) 因此,
$ {{V}_{BL}}(t) $ 在区间$ t \in (t_k,t_{k+1}) $ 上是正定的. 显然, 对$t \in [t_k,t_{k+1})$ , 有${{V}_{BL}}(t) \ge 0$ 且$ \lim_{t \to t^+_k}{{V}_{BL}}(t) = $ $ {{V}_{BL}}(t_k) = 0 $ . 即$ {{V}_{BL}}(t) $ 在$ t_k $ 跳变前大于0, 跳变后等于0, 没有出现增大的情况. 此时, 下式成立$$ \begin{split} &\lim_{t \to t^-_k}{{V}}(t)-\lim_{t \to t^+_k}{{V}}(t) =\\ &\qquad\lim_{t \to t^-_k}(V_{c}(t)+V_{BL}(t))-\lim_{t \to t^+_k}(V_{c}(t)+V_{BL}(t)) = \\ &\qquad (V_{c}(t_k)+\lim_{t \to t^-_k}V_{BL}(t))- V_{c}(t_k) = \\ &\qquad\lim_{t \to t^-_k}V_{BL}(t)) \ge 0\\[-10pt] \end{split} $$ (21) 也就是说,
$ V(t) $ 在每一个采样时刻$ t_0 $ ,$ t_1 $ ,$ t_2 $ ,$ \cdots $ , 跳变后是减小的, 即$$ \begin{align} &\begin{matrix} \lim_{t \to t^-_k}V(t)\end{matrix}\ge V(t_k)\ge 0 \end{align} $$ (22) 注 2. 基于引理1的2阶B-L不等式, 首次提出了一个新的时间相关不连续项
$ V_{BL}(t) $ ,$ V_{BL}(t) $ 通过时间相关项$ h(t)\pmb\eta^{\rm T}_{5}(t){\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}{\bar{R}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}\pmb\eta_5(t) $ 建立了各状态(即$ {\pmb x}(t) $ ,$ {\pmb x}(t_k) $ ,$ \pmb\alpha_1(t) $ ,$ \pmb\alpha_2(t) $ )之间的耦合关系, 意味着利用了更多的系统采样锯齿结构特征信息. 在$ V_{BL}(t) $ 中, 如果用$ {\rm diag}\{I,I,0\}\Omega_1 $ 将$ \Omega_1 $ 进行替换, 可得基于Wirtinger不等式的不连续L-K泛函项$ V_W(t) $ [16, 21]. 也就是说, 文献[16, 21]中的不连续项$ V_W(t) $ 是$ V_{BL}(t) $ 的一个特例. 另外, 与基于自由矩阵的不连续L-K泛函项$ V_F(t) $ [17]相比,$ V_{BL}(t) $ 有效地减少了矩阵变量, 并且考虑了更多的信息, 如二重积分状态项$ \pmb\alpha_2(t) $ 与向量$ \pmb\eta_5(t) $ 的交叉信息.注 3. 最近, 文献[18, 31]提出一种更为有效的方法 — 双边闭环L-K泛函方法(闭环L-K泛函是指泛函
$ \bar{V}(t) $ 满足条件$ \bar{V}(t_k) = \bar{V}(t_{k+1}) = 0) $ , 它的有效性在分析采样控制系统的稳定性中得以验证[18, 31]. 它的特征在于它既考虑了采样区间$ [t_k,t) $ 的状态信息(即$ {\pmb x}(t_{k}),{\pmb x}(t) $ ), 也考虑了采样区间$ [t, t_{k+1}) $ 的状态信息(即$ {\pmb x}(t) $ ,$ {\pmb x}(t_{k+1}) $ ), 但是忽视了采样区间$ [t_k, $ $ t) $ 和$ [t,t_{k+1}) $ 的状态积分信息. 而本文构造的$ V_c(t) $ 克服了这个缺陷, 它通过$ V_4(t) $ 利用了被文献[18, 31]所忽视的状态积分信息(即$ \pmb\alpha_i(t),\pmb\beta_i(t) $ ,$ i = $ $ 1,2 $ ).计算双边时间相关不连续L-K泛函(18)对时间
$ t $ 的导数$$ \begin{align} \dot{V}(t) = \dot{V}_c(t)+\dot{V}_{BL}(t),\; t \in [t_k, t_{k+1}) \end{align} $$ (23) 其中,
$\dot{V}_{c}(t) = \sum_{j = 1}^6 {\dot{V}_{j}}(t)$ , 以及$$ \begin{align} {\dot{V}_{1}(t)} = \;&2{\pmb x}^{\rm T}(t)P\dot{{\pmb x}}(t) = 2\pmb\xi^{\rm T}(t){e^{\rm T}_1}P{e_4}\pmb\xi(t) \\ {\dot{V}_{2}}(t) =\; &2\pmb\xi^{\rm T}(t)\Big\{\Xi^{\rm T}_1(X_1\Xi_4+X_2\Xi_5)+ (h_k-h(t)) \times \\ & \big[\Xi^{\rm T}_2(X_1\Xi_4+X_2\Xi_5)+\Xi^{\rm T}_6X_1\Xi_8\big]+h(t) \times \\ &\big[\Xi^{\rm T}_3(X_1\Xi_4+X_2\Xi_5)+\Xi^{\rm T}_7X_1\Xi_8\big]\Big\}\pmb\xi(t) \\ {\dot{V}_{3}}(t) =\;& \big[(h_k-h(t)) -h(t)\big]\pmb\xi^{\rm T}(t)\Xi^{\rm T}_5Z_1\Xi_5\pmb\xi(t) \quad \\ {\dot{V}_{4}}(t) =\; &\pmb\xi^{\rm T}(t)\big[(h_{k}-h(t))(\Xi^{\rm T}_9Z_2\Xi_9+ 2\Xi^{\rm T}_9Z_2\Xi_{10}) + \\ &h(t)(2\Xi^{\rm T}_9Z_2\Xi_{11}-\Xi^{\rm T}_9Z_2\Xi_9)\big]\pmb\xi(t) \\ {\dot{V}_{5}}(t) = \;&(h_k-h(t))\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(t)R_1\dot{{\pmb x}}(t) - \\ &\int^{t}_{t_k}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R_{1}\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s \\ {\dot{V}_{6}}(t) = \;&h(t)\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(t)R_2\dot{{\pmb x}}(t)-\int^{t_{k+1}}_{t}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R_{2}\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s \\ {\dot{V}_{BL}}(t) =\;& \pmb\xi^{\rm T}(t)\big[h^2_2e^{\rm T}_{4}R_3e_{4}-{\Xi^{\rm T}_{12}}{\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}{\bar{R}_{3p}}\times \\ &{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{12}-2{\Xi^{\rm T}_{12}}{\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}{\bar{R}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{14}\;- \\ &2h(t){\Xi^{\rm T}_{12}}{\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}{\bar{R}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{15} \big]\pmb\xi(t) \end{align} $$ 使用引理2中的积分不等式估计
$ V_5(t) $ 和$ V_6(t) $ 中的积分项, 可得$$ \begin{split} &-\int^{t}_{t_k}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R_{1}\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s\leq \\ &\qquad\pmb\xi^{\rm{T}}(t)\Big[h(t)N^{\rm T}\bar{R}^{-1}_{1p}N+2N^{\rm T}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{12}\Big]\pmb\xi(t) \end{split} \hspace{6pt}$$ (24) $$ \begin{split} &-\int^{t_{k+1}}_{t}\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(s)R_{2}\dot{{\pmb x}}(s){\rm d}s \leq \\&\qquad\pmb\xi^{\rm{T}}(t)\Big[(h_k-h(t))M^{\rm T}\bar{R}^{-1}_{2p}M+2M^{\rm T}{\Omega_2{\Sigma_2}}\Xi_{13}\Big] \times \\ &\qquad \pmb\xi(t) \end{split} $$ (25) 其中,
$$ \begin{align} &N = \sum\limits_{i = 1}^r \sum\limits_{j = 1}^r h_{i}(\varrho(t))h_{j}(\varrho(t_k)) N_{ij} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \nonumber\\ &M = \sum\limits_{i = 1}^r \sum\limits_{j = 1}^r h_{i}(\varrho(t))h_{j}(\varrho(t_k)) M_{ij} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{align} $$ 存在任意合适维数的矩阵
$ F_1 $ ,$ F_2 $ ,$ F_3 $ , 根据系统(6)可知, 下式成立$$ \begin{split} 0 =\; &2\left[{\pmb x}^{\rm T}(t)F_1+{\pmb x}^{\rm T}(t_k)F_2+\dot{{\pmb x}}^{\rm T}(t)F_3\right]\times[A(t){\pmb x}(t)+\\ &B_{1}(t)K(t_k){\pmb x}(t_k)+D_1(t){\pmb w}(t)-\dot{{\pmb x}}(t)] =\\ &2\pmb\xi^{\rm T}(t) \Xi^{\rm T}_{16}\Pi_{1} \pmb\xi(t) \end{split} $$ (26) 其中,
$\Pi_{1} = \sum_{i = 1}^r \sum_{j = 1}^r h_{i}(\varrho(t)) h_{j}(\varrho(t_k))\Pi_{1ij}$ . 此时, 结合$ \dot{V}(t) $ 和式(24) ~ (26), 可得$$ \begin{split} &\dot{V}(t)-{\pmb r}(z,w)+\gamma {\pmb w}^{\rm T}(t){\pmb w}(t)\leq \\ &\qquad \pmb\xi^{\rm{T}}(t)\Big[ \frac{h_k-h(t)}{h_k}\bar\Theta_1+\frac{h(t)}{h_k}\bar\Theta_2 \Big]\pmb\xi(t) \end{split} $$ (27) 其中,
$$ \begin{align} &\bar\Theta_1 = \bar\Phi_{1}+h_kM^{\rm T}\bar{R}^{-1}_{2p}M-\Pi^{\rm T}_2\mathcal{Q}\Pi_2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \nonumber\\ &\bar\Theta_2 = \bar\Phi_{2}+h_kN^{\rm T}\bar{R}^{-1}_{1p}N-\Pi^{\rm T}_2\mathcal{Q}\Pi_2 \nonumber\\ &\bar\Phi_{1} = \sum\limits_{i = 1}^r \sum\limits_{j = 1}^r h_{i}(\varrho(t))h_{j}(\varrho(t_k))\Phi_{1ij}\nonumber\\ &\bar\Phi_{2} = \sum\limits_{i = 1}^r \sum\limits_{j = 1}^r h_{i}(\varrho(t))h_{j}(\varrho(t_k))\Phi_{2ij} \nonumber\\ &\Pi_{2} = \sum\limits_{i = 1}^r \sum\limits_{j = 1}^r h_{i}(\varrho(t))h_{j}(\varrho(t_k))\Pi_{2ij} \end{align} $$ 由式(15)和式(16), 可得
$$ \left[\begin{array}{ccc} \bar\Phi_{1} &\sqrt{h_k}M^{\rm T} &\Pi^{\rm T}_{2}\tilde{\mathcal{Q}}^{\rm T}_\_\\ \ast &-\bar{R}_{2p} &0 \\ \ast &\ast &-I \end{array}\right]<0\; \; \; \; \; $$ (28) $$ \left[\begin{array}{ccc} \bar\Phi_{2} &\sqrt{h_k}N^{\rm T} &\Pi^{\rm T}_{2}\tilde{\mathcal{Q}}^{\rm T}_\_\\ \ast &-\bar{R}_{1p} &0 \\ \ast &\ast &-I \end{array}\right]<0\; \; \; \; \; $$ (29) 根据Schur补引理知, 式(28)和式(29)分别等价于
$ \bar\Theta_1<0 $ 和$ \bar\Theta_2<0 $ . 若$ \bar\Theta_1<0 $ 和$ \bar\Theta_2<0 $ 成立, 则可得$$ \begin{align} &\dot{V}(t)-{\pmb r}(z,w)+\gamma {\pmb w}^{\rm T}(t){\pmb w}(t) \le 0 \end{align} $$ (30) 此时, 对条件(30)在区间
$ [t_0,t_f] $ 上积分, 可得$$ \begin{split} &\gamma\int^{t_{f}}_{0}{\pmb w}^{\rm T}(t){\pmb w}(t) {\rm d}t-\int^{t_{f}}_{0}{\pmb r}(z,w)){\rm d}t \le \\ &\qquad-V(t_f)+V(0) \end{split} $$ (31) 在零初始条件下, 满足耗散性能条件(8). 因此, 系统(6)是严格(
$ \mathcal{Q} $ ,$ \mathcal{S} $ ,$ \mathcal{R} $ )-$ \gamma $ -耗散的. □注 4. 值得指出的是文献[30]仅利用了采样间隔
$ [t_k,t) $ 的部分系统特征信息(即$ {\pmb x}(t_k), {\pmb x}(t) $ ). 而定理1不仅充分利用了采样间隔$ [t_k,t) $ 的系统特征信息(即$ {\pmb x}(t_k) $ ,$ {\pmb x}(t) $ ,$ \pmb\alpha_1(t) $ ,$ \pmb\alpha_2(t) $ ), 还充分利用了采样间隔$ [t,t_{k+1}) $ 的系统特征信息(即$ {\pmb x}(t) $ ,$ {\pmb x}(t_{k+1}) $ ,$ \pmb\beta_1(t) $ ,$ \pmb\beta_2(t) $ ). 因此, 与文献[30]相比, 定理1具有更小的保守性. 这在实例分析部分得以验证.注 5. 文献[30]提供的条件只与变采样周期的上界
$ h_2 $ 相关. 而定理1与变周期采样的上界$ h_2 $ 和下界$ h_1 $ 都相关(即$ (h_1,h_2) $ 相关), 当$ h_1 = 0 $ 时, 定理1可得只与$ h_2 $ 相关的条件; 当$ h_1 $ $ = h_2 $ 时, 定理1也可用于定周期采样的系统. 因此, 定理1提供了一个更普遍的条件.注 6. 文献[31]设计的采样反馈控制器(
$ {\pmb u}(t) = $ $ K{\pmb x}(t) $ ), 没有考虑模糊前提变量$ \varrho(t) $ , 是一个线性控制器. 相反, 定理1中的控制器(${\pmb u}(t) = \sum_{i = 1}^r h_{i}(\varrho(t_k))$ $K_{i} {\pmb x}(t_k) $ )考虑了前提变量$ \varrho(t) $ , 是一个模糊采样控制器.注 7. 定理1提供了一个确保闭环系统(6)严格(
$ \mathcal{Q} $ ,$ \mathcal{S} $ ,$ \mathcal{R} $ )-$ \gamma $ -耗散的充分条件. 设$ \mathcal{Q} = 0 $ ,$ \mathcal{S} = I $ ,$ \mathcal{R} = 2\gamma I $ , 定理1转化为无源控制条件; 设$ \mathcal{Q} = -\gamma \alpha I $ ,$ \mathcal{S} = (1-\alpha)I $ ,$ \mathcal{R} = 2\gamma I $ ,$ \alpha \in [0,1] $ , 定理1转化为混合$ H_\infty $ /无源控制条件基于定理1, 对控制器增益未知的情况, 定理2给出了系统(6)鲁棒耗散控制的充分条件以及T-S模糊控制器的求解方法.
定理 2. 给定标量
$ \varepsilon_1>0 $ ,$ \varepsilon_2>0 $ , 若存在合适维度矩阵$ \bar P>0 $ ,$ \bar R_1>0 $ ,$ \bar R_2>0 $ ,$ \bar R_3>0 $ ,$ \bar X_1 $ ,$ \bar X_2 $ ,$ \bar Z_1 = \bar Z^{\rm T}_1 $ ,$ \bar Z_2 = \bar Z^{\rm T}_2 $ ,$ L_j $ ,$ \bar N_{ij} $ ,$ \bar M_{ij} $ ,$ i,j \in {\bf N} $ , 使得对$ h_k\in [h_1, h_2] $ , 满足下面的LMI$$ \left[\begin{array}{ccc} \bar\Phi_{1ij} &\sqrt{h_k}\bar{M}^{\rm T}_{ij} &\bar\Pi^{\rm T}_{2ij}\tilde{\mathcal{Q}}^{\rm T}_\_\\ \ast &-\tilde{\bar{R}}_{2p} &0 \\ \ast &\ast &-I \end{array}\right]<0 $$ (32) $$ \left[\begin{array}{ccc} \bar\Phi_{2ij} &\sqrt{h_k}\bar{N}^{\rm T}_{ij} &\bar\Pi^{\rm T}_{2ij}\tilde{\mathcal{Q}}^{\rm T}_\_\\ \ast &-\tilde{\bar{R}}_{1p} &0 \\ \ast &\ast &-I \end{array}\right]<0$$ (33) 其中,
$$ \begin{align} &\bar\Phi_{1ij} = \bar\Psi_1+\bar\Psi_{2ij}+h_k\bar\Psi_{3}\\ &\bar\Phi_{2ij} = \bar\Psi_1+\bar\Psi_{2ij}+h_k\bar\Psi_{4}\\ & \bar\Psi_1 ={\rm{Sym}}\big\{e^{\rm T}_{1}\bar{P}e_{4}+{\Xi^{\rm T}_{1}}(\bar{X}_1\Xi_{4}+\bar{X}_2\Xi_{5})-{\Xi^{\rm T}_{12}}{\Sigma^{\rm T}_1}\times\\ &\;\;\qquad{{\Omega^{\rm T}_1}}{\tilde{\bar{R}}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{14}\big\}+h^2_2e^{\rm T}_{4}\bar{R}_3e_{4}-{\Xi^{\rm T}_{12}}{\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}\times\\ &\;\;\qquad{\tilde{\bar{R}}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{12}\\ & \Psi_{2ij} = {\rm{Sym}}\big\{\bar{N}^{\rm T}_{ij}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{12}+\bar{M}^{\rm T}_{ij}{\Omega_2{\Sigma_2}}\Xi_{13}+\bar\Xi^{\rm T}_{16}\bar{\Pi}_{1ij}-\\ &\;\;\;\;\qquad\bar\Pi^{\rm T}_{2ij}\mathcal{S}e_{9}\big\}+e^{\rm T}_{9}(\gamma I-\mathcal{R})e_{9}\\ &\bar\Psi_{3} ={\rm{Sym}}\big\{{\Xi^{\rm T}_{2}}(\bar{X}_1\Xi_{4}+\bar{X}_2\Xi_{5})+{\Xi^{\rm T}_{6}}\bar{X}_1\Xi_{8}+{\Xi^{\rm T}_{9}}\bar{Z}_2\times\\ &\;\;\qquad\Xi_{10}\big\}+e^{\rm T}_{4}\bar{R}_{1}e_{4}+{\Xi^{\rm T}_{5}}\bar{Z}_1\Xi_{5}+{\Xi^{\rm T}_{9}}\bar{Z}_2\Xi_{9}\\ &\bar\Psi_{4} ={\rm{Sym}}\big\{{\Xi^{\rm T}_{3}}(\bar{X}_1\Xi_{4}+\bar{X}_2\Xi_{5})+{\Xi^{\rm T}_{7}}\bar{X}_1\Xi_{8}+{\Xi^{\rm T}_{9}}\bar{Z}_2\times\\ &\;\;\qquad\Xi_{11}-{\Xi^{\rm T}_{12}}{\Sigma^{\rm T}_1}{{\Omega^{\rm T}_1}}{\tilde{\bar{R}}_{3p}}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{15}\big\}+e^{\rm T}_{4}\bar{R}_{2}e_{4}-\\ &\;\;\qquad{\Xi^{\rm T}_{5}}\bar{Z}_1\Xi_{5}-{\Xi^{\rm T}_{9}}\bar{Z}_2\Xi_{9}\\ &\tilde{\bar{R}}_{lp} = {\rm diag}\left\{\bar{R}_l,3\bar{R}_l,5\bar{R}_l\right\},\;\;l = 1,2,3\\ & \bar\Xi_{16} = [e^{\rm T}_1+\varepsilon_1e^{\rm T}_2+\varepsilon_1e^{\rm T}_4]^{\rm T} \\ & \bar\Pi_{1ij} = A_i\bar{F}^{\rm T}e_{1}+B_{1i}L_je_{2}+D_{1i}e_{9}-\bar{F}^{\rm T}e_{4} \\ & \bar\Pi_{2ij} = C_i\bar{F}^{\rm T}e_{1}+B_{2i}L_je_{2}+D_{2i}e_{9} \end{align} $$ 另外,
$ \Xi_i,i = 1,2,\cdots,15 $ 的定义见定理1. 那么, 系统(6)是严格($ \mathcal{Q} $ ,$ \mathcal{S} $ ,$ \mathcal{R} $ )-$ \gamma $ -耗散的, 且T-S模糊采样控制器增益为$$ \begin{align} K_j = L_j\bar{F}^{-{\rm T}},\;\; j \in {\bf N} \end{align} $$ (34) 证明. 定义如下标识
$$ \begin{align} &\bar{F} = F^{-1}_1, \;\;F_2 = \varepsilon_1F_1,\;\; F_3 = \varepsilon_2F_1\nonumber\\ & L_j = K_j\bar{F}^{\rm T}, \;\;\bar{P} = \bar{F}P\bar{F}^{\rm T}\nonumber\\ & \bar{R}_l = \bar{F}R_l\bar{F}^{\rm T},\;\;l = 1,2,3 \nonumber\\ & \bar{X}_l = \mathcal{V}_{1}X_p\mathcal{V}^{\rm T}_{1},\;\; p = 1,2 \nonumber\\ & \bar{Z}_1 = \mathcal{V}_{1}Z_1\mathcal{V}^{\rm T}_{1},\;\; \bar{Z}_2 = \mathcal{V}_{2}Z_2\mathcal{V}^{\rm T}_{2} \nonumber \\ & \bar{N}_{ij} = \mathcal{V}_{3}{N}_{ij}\mathcal{V}^{\rm T}_{4},\;\; \bar{M}_{ij} = \mathcal{V}_{3}{M}_{ij}\mathcal{V}^{\rm T}_{4}\end{align} $$ 其中,
$$ \begin{align} & \mathcal{V}_{1} = {\rm diag}\{\bar{F},\bar{F}\}\\ &\mathcal{V}_{2} = {\rm diag}\{\mathcal{V}_{1},\mathcal{V}_{1}\} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \nonumber\\ & \mathcal{V}_{3} = {\rm diag}\{\bar{F},\bar{F},\bar{F}\} \nonumber\\ & \mathcal{V}_{4} = {\rm diag}\{\bar{F},\bar{F},\bar{F},\bar{F},\bar{F},\bar{F},\bar{F},\bar{F},I\}\; \; \; \; \; \; \nonumber\\ & \mathcal{V}_{5} = {\rm diag}\{\mathcal{V}_{4},\bar{F},\bar{F},\bar{F},I\} \end{align} $$ 将式(15)和式(16), 左乘
$ \mathcal{V}_{5} $ , 右乘$ \mathcal{V}^{\rm T}_{5} $ , 可得式(32)和式(33). □为了展示不连续泛函项
$ V_{BL}(t) $ 和状态积分信息($ \pmb\alpha_i(t) $ ,$ \pmb\beta_i(t) $ ,$ i = 1,2 $ )的作用. 选择$$ \begin{align} {V}(t) = V_c(t)-V_4(t),\; t \in [t_k, t_{k+1}) \end{align} $$ (35) 作为L-K泛函, 利用类似于定理2的证明过程, 可得下面的推论
推论 1. 给定标量
$ \varepsilon_1>0 $ ,$ \varepsilon_2>0 $ , 若存在合适维度矩阵$ \bar P>0 $ ,$ \bar R_1>0 $ ,$ \bar R_2>0 $ ,$ \bar X_1 $ ,$ \bar X_2 $ ,$ \bar Z_1 = \bar Z^{\rm T}_1 $ ,$ L_j $ ,$ \bar N_{ij} $ ,$ \bar M_{ij} $ ,$ i,j \in {\bf N} $ , 使得对$ h_k\in [h_1, h_2] $ , 满足下面的LMI$$ \left[\begin{array}{ccc} \hat\Phi_{1ij} &\sqrt{h_k}\bar{M}^{\rm T}_{ij} &\bar\Pi^{\rm T}_{2ij}\tilde{\mathcal{Q}}^{\rm T}_\_\\ \ast &-\tilde{\bar{R}}_{2p} &0 \\ \ast &\ast &-I \end{array}\right]<0 $$ (36) $$ \left[\begin{array}{ccc} \hat\Phi_{2ij} &\sqrt{h_k}\bar{N}^{\rm T}_{ij} &\bar\Pi^{\rm T}_{2ij}\tilde{\mathcal{Q}}^{\rm T}_\_\\ \ast &-\tilde{\bar{R}}_{1p} &0 \\ \ast &\ast &-I \end{array}\right]<0 $$ (37) 其中,
$$ \begin{align} &\hat\Phi_{1ij} = \hat\Psi_1+\hat\Psi_{2ij}+h_k\hat\Psi_{3}\\ &\hat\Phi_{2ij} = \bar\Psi_1+\hat\Psi_{2ij}+h_k\hat\Psi_{4}\\ & \hat\Psi_1 = {\rm{Sym}}\big\{e^{\rm T}_{1}\bar{P}e_{4}+{\Xi^{\rm T}_{1}}(\bar{X}_1\Xi_{4}+\bar{X}_2\Xi_{5})\big\}\\ & \Psi_{2ij} = {\rm{Sym}}\big\{\bar{N}^{\rm T}_{ij}{\Omega_1{\Sigma_1}}\Xi_{12}+\bar{M}^{\rm T}_{ij}{\Omega_2{\Sigma_2}}\Xi_{13}+\bar\Xi^{\rm T}_{16}\bar{\Pi}_{1ij}-\\ &\;\;\;\;\qquad \hat\Pi^T_{2ij}\mathcal{S}e_{9}\big\}+e^{\rm T}_{9}(\gamma I-\mathcal{R})e_{9}\nonumber\\ &\hat\Psi_{3} = {\rm{Sym}}\big\{{\Xi^{\rm T}_{2}}(\bar{X}_1\Xi_{4}+\bar{X}_2\Xi_{5})+{\Xi^{\rm T}_{6}}\bar{X}_1\Xi_{8}+{\Xi^{\rm T}_{9}}\bar{Z}_2\times\nonumber\\ &\;\;\qquad\Xi_{10}\big\}+e^{\rm T}_{4}\bar{R}_{1}e_{4}+{\Xi^{\rm T}_{5}}\bar{Z}_1\Xi_{5}\nonumber\\ &\hat\Psi_{4} = {\rm{Sym}}\big\{{\Xi^{\rm T}_{3}}(\bar{X}_1\Xi_{4}+\bar{X}_2\Xi_{5})+{\Xi^{\rm T}_{7}}\bar{X}_1\Xi_{8}+{\Xi^{\rm T}_{9}}\bar{Z}_2\times\nonumber\\ &\;\;\qquad\Xi_{11}\big\}+e^{\rm T}_{4}\bar{R}_{2}e_{4}-{\Xi^{\rm T}_{5}}\bar{Z}_1\Xi_{5}\nonumber \end{align} $$ 其他的符号定义见定理2, 那么, 系统(6)是严格(
$ \mathcal{Q} $ ,$ \mathcal{S} $ ,$ \mathcal{R} $ )-$ \gamma $ -耗散的, 控制器增益为$K_j = $ $ L_j\bar{F}^{-{\rm T}} $ .3. 实例分析
本节提供一个实例来展示提出方法的可行性和有效性. 考虑下面的卡车拖车模型[30, 36], 其卡车拖车模型示意图如图1所示.
$$ \left\{ \begin{aligned} &\dot{x}_{1}(t) = -\dfrac{\bar{v}\bar{t}}{L\bar{t}_0}x_1(t)+\dfrac{\bar{v}\bar{t}}{l\bar{t}_0}u(t)+0.1\bar{w}(t)\\ & \dot{x}_{2}(t) = \dfrac{\bar{v}\bar{t}}{L\bar{t}_0}x_1(t)+0.1\bar{w}(t)\\ & \dot{x}_{3}(t) = \dfrac{\bar{v}\bar{t}}{\bar{t}_0}{\rm sin}\left(x_2(t)+\dfrac{\bar{v}\bar{t}}{2L}x_1(t)\right) \end{aligned} \right. $$ (38) 其中,
$ \bar{w}(t) = w_1(t)+w_2(t) $ ,$ x_1(t) $ 表示拖车与卡车间的角度差,$ x_2(t) $ 和$ x_3(t) $ 分别表示拖车的角度和拖车尾端的垂直位置. 选择卡车拖车模型参数为$ \bar{v} = -1 $ ,$ \bar{t}_0 = 0.5 $ ,$ \bar{t} = 2 $ ,$ l = 2.8 $ ,$ L = 5.5 $ .选择前提变量为
$ \varrho(t) = x_2(t)+\left({\bar{v}\bar{t}}/{2L}\right)x_1(t) $ , 并且定义如下模糊隶属度函数$$ \begin{align} & h_{1}\left(\varrho(t) \right) = \left\{ \begin{aligned} &\dfrac{{\rm sin}(\varrho(t))-\bar{g}\varrho(t)}{\varrho(t)(1-\bar{g})}, & \varrho(t)\ne 0\\& 1, & \varrho(t) = 0 \end{aligned} \right.\\ & h_{2}\left(\varrho(t) \right) = 1-h_{1}\left(\varrho(t) \right) \end{align} $$ 其中,
$ \bar{g} = 10^{-2}/{\text{π}}$ . 那么, 这个非线性的卡车拖车系统可通过下面的T-S模糊模型描述规则1.
$ \rm IF $ $ \varrho(t) $ is about$ 0 $ , THEN$$ \begin{align} &\dot{{\pmb x}}(t) = A_{1}{\pmb x}(t)+B_{11}{\pmb u}(t)+D_{11}{\pmb w}(t) \end{align} $$ 规则2.
$ \rm IF $ $ \varrho(t) $ is about$ \pm{\text{π}}$ , THEN$$ \begin{align} &\dot{{\pmb x}}(t) = A_{2}{\pmb x}(t)+B_{12}{\pmb u}(t)+D_{12}{\pmb w}(t) \end{align} $$ 其中,
$ {\pmb x}(t) = \left[x_1(t),x_2(t),x_3(t)\right]^{\rm T} $ ,${\pmb w}(t) = [w_1(t), w_2(t)]^{\rm T}$ , 以及$$ \begin{align} &A_1 = \left[\begin{array}{ccc} -\dfrac{\bar{v}\bar{t}}{L\bar{t}_0} &0 &0\\ \dfrac{\bar{v}\bar{t}}{L\bar{t}_0} &0 &0\\ \dfrac{\bar{v}^2\bar{t}^2}{2L\bar{t}_0} &\dfrac{\bar{v}\bar{t}}{\bar{t}_0} &0 \end{array}\right] ,\; A_2 = \left[\begin{array}{ccc} -\dfrac{\bar{v}\bar{t}}{L\bar{t}_0} &0 &0\\ \dfrac{\bar{v}\bar{t}}{L\bar{t}_0} &0 &0\\ \dfrac{\bar{g}\bar{v}^2\bar{t}^2}{2L\bar{t}_0} &\dfrac{\bar{g}\bar{v}\bar{t}}{\bar{t}_0} &0 \end{array}\right]\\ &B_{11} = B_{12} = \left[\begin{array}{c} \dfrac{\bar{v}\bar{t}}{l\bar{t}_0} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \;D_{11} = D_{12} = \left[\begin{array}{cc} 0.1& 0.1 \\ 0.1& 0.1 \\ 0& 0 \end{array}\right] \end{align} $$ 控制器输出
$ {\pmb z}(t) $ 的矩阵参数为$$ \begin{align} &C_1 = \left[\begin{array}{ccc} 0.1 &0.2 &0.2 \\ 0.3 &0.2 &0.1 \end{array}\right],\; C_2 = \left[\begin{array}{ccc} 0.1 &0.2 &0.2 \\ 0.3 &0.2 &0.1 \end{array}\right]\\ &B_{21} = B_{22} = \left[\begin{array}{c} 1.2 \\ 1.1 \end{array}\right],\; D_{11} = D_{12} = \left[\begin{array}{cc} 0.15& 0 \\ 0 & 0.2 \end{array}\right] \end{align} $$ 耗散性能的矩阵参数选择为
$$ \begin{align} &\mathcal{Q} = \left[\begin{array}{cc} -0.04& 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\\ &\mathcal{S} = \left[\begin{array}{cc} 1.1& 0.5 \\ 3& 2 \end{array}\right], \mathcal{R} = \left[\begin{array}{cc} 3& 0 \\ 0& 1 \end{array}\right] \end{align} $$ 首先, 针对变周期采样的情况(
$ h_1 \ne h_2 $ ), 选择$ \varepsilon_1 = 0.7 $ ,$ \varepsilon_1 = 0.5 $ 和$ h_1 = 0 $ , 对不同采样周期上界$ h_2 $ , 使用定理2和推论1以及文献[30]所得的最优耗散性能指标$ \gamma_{\max} $ 如表1所示. 由表1可知, 与文献[30]相比, 定理2和推论1能提供一个更大的耗散性能指标$ \gamma $ . 特别地, 当$ h_2 = 0.35 $ 时, 文献[30]无可行解, 说明本文提出的方法更加有效. 另外, 从表1还可看出, 定理2比推论1提供的耗散性能指标$ \gamma $ 更大, 这是由于定理2引入了$ V_{BL}(t) $ 和$ V_4(t) $ .表 1 对不同$ h_2 $ 的$\gamma_{\max}$ Table 1$\gamma_{\max}$ for different$ h_2 $ $h_2$ 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.35 文献 [30] 0.9971 0.9671 0.9311 0.8842 0.8193 − 推论 1 1.0636 1.0463 1.0264 0.9978 0.9554 0.7484 定理 2 1.0643 1.0472 1.0272 0.9994 0.9559 0.7564 为了展示变采样周期下界
$ h_1 $ 与耗散性能指标的关系, 选择$ h_2 = 0.35 $ , 对不同$ h_1 $ , 使用定理2计算所得的最大耗散性能指标$ \gamma_{\max} $ 如表2所示, 从表2可以看出, 当变采样周期下界$ h_1 $ 逐渐增大时, 耗散性能指标$ \gamma $ 也逐渐增加.表 2 对不同$ h_1 $ 的$\gamma_{\max}$ Table 2$\gamma_{\max}$ for different$ h_1 $ $h_1$ 0.10 0.15 0.20 0.25 0.3 0.35 定理 2 0.8108 0.8350 0.8546 0.8716 0.8854 0.9026 另外, 选择耗散性能指标
$ \gamma = 0.9311 $ 和变采样周期下界$ h_1 = 0 $ , 使用定理2计算所得变采样周期的最大上界$ h_2 $ 为$ 0.26 $ , 与文献[30]所得结果$ 0.15 $ 相比, 结果改善了73.33%. 此时, 根据式(34)得到相应的T-S模糊采样状态反馈控制器增益为$$ \begin{align} &K_{1} = \left[\begin{array}{ccc} 13.3008 &-11.9993 &2.1053 \end{array}\right]\\ &K_{2} = \left[\begin{array}{ccc} 13.3008 &-11.9993 &2.1053 \end{array}\right] \end{align} $$ 注 8. 值得指出的是, 目前大部分文献[20-22, 29]获得的T-S模糊控制器的各个局部子控制器增益是相等的(即
$ K_1 = K_2 = \cdots = K_r = K $ ,$ r $ 为模糊规则条数), 根据$\sum_{i = 1}^r h_{i}(\varrho(t)) = 1$ , 若各子控制器相等, 则有${\pmb u}(t) = \sum_{i = 1}^r h_{i}(\varrho(t_k))K_{i}{\pmb x}(t_k) = K{\pmb x}(t_k)$ . 由此可知, 全局控制器($ {\pmb u}(t) = K{\pmb x}(t_k) $ )与模糊隶属度函数无关. 也就是说, 当各局部子控制器相等时, 得到的全局控制器($ {\pmb u}(t) = K{\pmb x}(t_k) $ )其实等价于一个线性控制器. 关于局部子控制器出现都相等的情况, 这可能与选择的隶属度函数, 构造的L-K泛函等多方面因素有关. 对于这种情况目前尚没有统一的解决方法或合理的解释, 是一个极具挑战性的课题, 尚需进一步深入研究.选择初始条件
$ x(0) = [-0.5{\text{π}},-0.75{\text{π}},-10]^{\rm T} $ , 外部扰动输入$ w(t) = [{\rm sin}(0.1t){\rm exp}(-0.1t), {\rm sin}(0.1t) \times{\rm exp}$ $(-0.1t)]^{\rm T} $ . 在$ \gamma = 0.9311 $ , 变采样周期$ h_k \in (0,0.26] $ 情况下, 基于获得的控制器, 得到系统相应的状态响应曲线和控制输入曲线如图2和图3所示, 从图2和图3可以看出, 设计的T-S模糊采样控制器保证了系统的稳定性, 且能有效抑制外部扰动信号$ w(t) $ , 具有良好的鲁棒性.
图 2 变周期采样$h_k \in (0,0.26]$ 的系统状态响应Fig. 2 State response of system in the case of variable sampling with$h_k \in (0,0.26]$ 
图 3 变周期采样$h_k \in (0,0.26]$ 的系统控制输入Fig. 3 Control input of system (38) in the case of variable sampling with$h_k \in (0,0.26]$ 接下来, 进一步讨论定周期采样的情况(
$h_1 = $ $ h_2 = h $ ). 对不同的采样周期上界$ h_2 $ , 使用定理2计算所得的最大耗散性能指标$\gamma_{\max}$ 见表3. 由表1和表3可以看出, 对相同的采样周期上界$ h_2 $ , 定周期采样($ h_1 = h_2 $ )的情况相比于变周期采样($ h_1\ne h_2 $ )的情况来说, 能获得更大的耗散性能指标. 同时, 从这两个表中, 还可得出这样的结论: 耗散性能指标越大对应的采样周期上界越小. 换句话讲, 可以通过增加采样频率来改善系统的耗散性能指标.表 3 对不同$ h_1 = h_2 $ 的$\gamma_{\max}$ Table 3$\gamma_{\max}$ for different$ h_1 = h_2 $ $h_1=h_2$ 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.35 定理 2 1.0679 1.0572 1.0447 1.0283 1.0072 0.9026 另外, 选择耗散性能指标
$ \gamma = 0.9311 $ , 使用定理2 ($ h_1 = h_2 $ )计算得最大采样周期上界为$ 0.32 $ , 以及相应的T-S模糊采样状态反馈控制器为$$ \begin{align} &K_{1} = \left[\begin{array}{ccc} 8.5761 &-6.2658 &1.0963 \end{array}\right]\\ &K_{2} = \left[\begin{array}{ccc} 8.5761 &-6.2658 &1.0963 \end{array}\right] \end{align} $$ 基于获得的控制器, 可得系统的状态响应和控制输入如图4和图5所示. 由图4可以看出, 设计的控制器能保持系统的稳定性, 展示了提出方法的可行性和有效性.
图 4 定周期采样$h_2 = 0.32$ 的系统状态响应Fig. 4 State response of system in the case of constant sampling with$h_2 = 0.32$ 
图 5 定周期采样$h_2 = 0.32$ 的系统控制输入Fig. 5 Control input of system in the case of constant sampling with$h_2 = 0.32$ 4. 结束语
针对基于T-S模糊模型的采样控制系统鲁棒耗散控制问题. 提出了一个基于B-L不等式的双边时间相关不连续L-K泛函. 建立了一个确保系统严格(
$ \mathcal{Q} $ ,$ \mathcal{S} $ ,$ \mathcal{R} $ )-$ \gamma $ -耗散的充分条件. 基于这个条件, 提出了T-S模糊采样控制器的设计方案. 最后, 使用一个卡车拖车系统说明提出方法的可行性和优越性, 仿真结果表明所提出的设计方案能够实现良好的控制效果.本文提出的方法也很容易扩展到其他复杂系统的分析与综合, 如网络控制系统[5, 37-38]、混沌系统[21-22]和神经网络[23]等, 这将是我们进一步研究的方向.
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图 3 置信度规则初始化网络过程示意图
Fig. 3 The process of network initialization base on confidence rule
图 5 基于KBSDAE的晶圆表面缺陷识别系统
Fig. 5 Wafer surface defect recognition system based on KBSDAE
图 12 SDAE和相应的符号规则的晶圆表面缺陷识别率对比
Fig. 12 Comparison of wafer defect recognition rates between SDAE and corresponding rules
图 13 KBSDAE和SDAE训练过程的均方误差变化对比
Fig. 13 Comparison of mean square errors of KBSDAE and SDAE training processes
图 15 不同微调训练步数的SDAE与KBSDAE分类性能比较
Fig. 15 Comparison of classification performances between SDAE and KBSDAE with different fine-tuning steps
图 16 不同训练数据量下的 KBSDAE 与 SDAE 识别性能比较
Fig. 16 Comparison of classification performances between KBSDAE and SDAE with different training data volumes
表 1 晶圆图像特征集
Table 1 Wafer map feature set
特征类别 特征集 几何特征 区域特征、线性特征、Hu 不变矩 灰度特征 平均值、方差、歪斜度、峰值、能量、熵 纹理特征 能力、对比度、相关性、均匀度、熵 投影特征 峰值、平均幅值、均方根幅值、投影波形特性、
投影峰值、投影脉冲
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表 2 3种控制图的缺陷探测率 (%)
Table 2 Defect detection capabilities of three control charts (%)
模式 原始数据 SDAE KBSDAE Random 62.90 100 97.54 Center 99.40 99.90 97.20 Local 58.02 81.48 88.58 Edge-local 85.03 100 98.75 Scratch 99.27 98.54 86.86 Near-full 0.00 0.00 100 Donut 7.41 97.53 81.48 Edge-ring 91.10 67.19 90.86 平均值 70.89 80.58 93.52
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表 3 部分置信度符号规则
Table 3 Part of Confidence Rule
DAE 置信度规则 DAE 1 $\begin{aligned} & {\rm{0} }{\rm{.55} }:h_{ 2}^1 \Leftrightarrow {x_{\rm{1} } } \wedge \neg {x_{\rm{2} } } \wedge \neg {x_4} \wedge {x_5} \wedge \cdots \wedge {x_{21} } \wedge \neg {x_{22} } \wedge {x_{23} } \wedge \neg {x_{25} } \wedge \cdots \wedge \neg {x_{ {\rm{49} } } } \wedge {x_{50} } \wedge \neg {x_{51} } \\ & 0.65:h_{42}^1 \Leftrightarrow \neg {x_{\rm{1} } } \wedge \neg {x_{\rm{2} } } \wedge \neg {x_3} \wedge {x_4} \wedge \neg {x_5} \wedge \cdots \wedge \neg {x_{24} } \wedge {x_{25} } \wedge \cdots \wedge \neg {x_{ {\rm{49} } } } \wedge \neg {x_{50} } \wedge {x_{51} } \\ & {\rm{0} }{\rm{.56} }:h_{79}^1 \Leftrightarrow {x_{\rm{1} } } \wedge {x_3} \wedge \neg {x_4} \wedge \cdots \wedge {x_{21} } \wedge {x_{22} } \wedge {x_{23} } \wedge \neg {x_{24} } \wedge \neg {x_{25} } \wedge \cdots \wedge {x_{ {\rm{49} } } } \wedge {x_{50} } \wedge {x_{51} } \\ \end{aligned}$ DAE 2 $0.72:h_9^2 \Leftrightarrow \neg h_{\rm{2}}^1 \wedge \neg h_5^1 \wedge h_{\rm{7}}^1 \wedge \neg h_{10}^1 \wedge \neg h_{11}^1 \wedge \neg h_{12}^1 \wedge \cdots \wedge \neg h_{41}^1 \wedge h_{42}^1 \wedge \cdots \wedge \neg h_{77}^1 \wedge \neg h_{78}^1 \wedge \neg h_{{\rm{79}}}^1$
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表 4 部分MofN规则
Table 4 Part of MofN Rule
分类 MofN 规则 类别 1$(C1)$ ${\rm{IF} }\;0.68\times{ {NumberTure}\; }({ {h} }_2^2,{ {h} }_3^2,{ {h} }_4^2,{ {h} }_5^2,{ {h} }_6^2,{ {h} }_7^2,{ {h} }_9^2,{ {h} }_{10}^2,{ {h} }_{12}^2,{ {h} }_{13}^2) - 1.35\times{ { {NumberTure} }\; }({ {h} }_1^2,{ {h} }_8^2,{ {h} }_{11}^2,{ {h} }_{14}^2,{ {h} }_{15}^2) > 0.75\;{ {{\rm{THEN}}} }\;{ {C} }1$ 类别 4$(C4)$ ${\rm{IF} }\;3.45\times{{NumberTure} \;}({ {h} }_5^2,{ {h} }_6^2,{ {h} }_7^2,{ {h} }_8^2) - 0.87\times{{NumberTure} \;}({ {h} }_1^2,{ {h} }_2^2,{ {h} }_3^2,{ {h} }_4^2,{ {h} }_9^2,{ {h} }_{10}^2,{ {h} }_{11}^2,{ {h} }_{12}^2,{ {h} }_{13}^2,{ {h} }_{14}^2,{ {h} }_{15}^2) > 4.73\;{\rm{THEN} }\;{ {C} }4$ 类别 5$(C5)$ ${\rm{IF} }\;0.85\times{ {NumberTure}\; }({ {h} }_2^2,{ {h} }_4^2,{ {h} }_5^2,{ {h} }_6^2,{ {h} }_7^2,{ {h} }_8^2,{ {h} }_9^2,{ {h} }_{10}^2,{ {h} }_{12}^2,{ {h} }_{15}^2) - 1.76\times{ { { {NumberTure} } }\; }({ {h} }_1^2,{ {h} }_3^2,{ {h} }_{11}^2,{ {h} }_{13}^2,{ {h} }_{14}^2,) > 1.44\;{\rm{THEN} }\;{{C} }5$
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表 5 基于 KBSDAE 的晶圆缺陷识别率
Table 5 Recognition rates of defects in wafers based on KBSDAE
模式 Random Center Local Edge-local Scratch Near-full Donut Edge-ring Random 0.91 0 0.06 0 0 0 0 0.03 Center 0.01 0.99 0 0 0 0 0 0 Local 0.01 0.01 0.81 0 0.09 0 0 0.08 Edge-local 0 0.02 0 0.98 0 0 0 0 Scratch 0 0 0.03 0.02 0.83 0 0 0.12 Near-full 0 0 0.01 0 0.25 0.84 0 0 Donut 0 0 0 0.13 0 0 0.87 0 Edge-ring 0 0 0 0 0.02 0 0 0.98
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表 6 结构规则超参数敏感性分析
Table 6 Model hyperparameter sensitivity analysis
隐藏层数 隐节点数 置信度规则数 分类规则数 准确度 (%) 1 20 + 5 1/2 1 89.37 1/2 88.70 1/4 87.57 1/3 1 89.00 1/2 88.80 1/4 88.57 1/5 1 89.80 1/2 88.97 1/4 87.67 2 80, 15 + 5 1/2 1 86.27 1/2 90.02 1/4 89.00 1/3 1 90.00 1/2 91.56 1/4 89.78 1/5 1 90.00 1/2 88.13 1/4 88.90 3 80, 30, 15 + 5 1/2 1 84.23 1/2 89.37 1/4 89.20 1/3 1 83.47 1/2 87.33 1/4 88.07 1/5 1 84.23 1/2 88.62 1/4 89.05
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表 7 各种学习模型的晶圆缺陷识别率 (%)
Table 7 Wafer defect recognition rates for various learning models (%)
数据集 WM-811K 仿真 DBN 80.84 86.34 SDAE 89.87 91.28 SSAE 86.6 87.96 BPNN 80.71 89.25 DenseNet 88.6 90.69 ResNet 86.53 91.89 GoogleNet 74.32 90.63 SVMG 72.54 78.86 SYM-DBN 85.63 90.58 INSS-KBANN 81.96 92.78 JLNDA 90.4 90.84 KBSDAE 91.14 95.28
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