Analysis and Adaptive Control of the Track Induced Self-excited Vibration for the Maglev Transport
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摘要: 本文针对中低速磁浮交通的轨排自激振动问题, 首先建立了包括轨枕、导轨在内的多跨磁浮轨排动力学模型, 通过理论方法分析轨排的模态振型、频率等关键参数. 其次, 建立了包含一体化电磁铁的悬浮模块的动力学模型, 并与轨排模型结合建立轨排 − 悬浮模块耦合模型, 分析了耦合系统失稳发生自激振动的原因. 提出了一种带辨识器的自适应振动控制方法, 能够实时辨识轨排的主要动力学参数, 并由此产生自适应振动控制律.相比现有的轨排振动控制方法, 该方法具有更好的稳定性和环境适应性.Abstract: Taking the track-induced self-excited vibration problem in the medium-low speed maglev transport as the object, the model of the multi-span track structure, which consists of sleepers and rails, is firstly established, and crucial parameters related to the mode shapes and mode frequencies are obtained through theoretical analysis. Secondly, the dynamic model of the levitation module which includes an integrated electromagnet is developed, and together with the track model, a track-levitation module coupled system is formed; the reason that leads to the instability of the coupled system is further investigated. Besides, an adaptive vibration control scheme with a state observer is proposed, which is capable of identifying the major dynamic parameters of the track, and producing adaptive vibration control laws accordingly. Compared with the existing vibration control methods, this method behaves better in stability and adaptability.
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磁浮列车具有摩擦小、噪音低、爬坡能力强、运行阻力小等优点, 适合城市轨道交通应用. 近年来磁浮交通技术迎来了研究和应用热潮. 2016年, 国内第一条中低速磁浮交通线 —— 长沙磁浮快线开通运营; 2017年12月, 北京S1磁浮线开通运营; 韩国仁川机场磁浮线也于2016年宣布试运营. 国内外很多城市对中低速磁浮交通都表现出了很高的兴趣.
随着磁浮线路的修建, 很多问题也随之暴露出来. 其中一个关键的问题是磁浮列车的车-轨耦合振动问题. 中低速磁浮交通的悬浮系统需要主动控制, 当轨道结构存在弹性时, 悬浮系统和轨道耦合作用可能产生自激振动现象. 其表现为当列车静浮或慢速运动时, 轨道和车辆同时出现垂向大幅振动的现象[1]. 严重的时候, 这种自激振动甚至会导致悬浮电磁铁撞击轨道而导致失稳. 文献[2]指出美国的AMT磁浮列车在老多米诺大学的高架轨道梁上产生了严重的车桥耦合振动, 最终这一问题无法解决而导致项目无法进展. 文献[3]指出韩国的磁浮车在KIMM试验线上也出现过车轨耦合自激振动导致悬浮失稳的情况. 针对这一问题, 文献[4]测量了磁浮车辆静浮以及通过不同类型的桥梁时车辆和轨道的振动问题, 结果表明悬浮系统在一阶模态频率低的轨道梁上的稳定性更好. 国内的磁浮试验线和商业线也出现过此类问题. 文献[5]提到我国上海高速磁浮线存在车辆通过道岔时产生振动过大的问题, 设计方被迫在道岔梁中间安装了减震器. 文献[6]提到上海磁浮车在慢起慢落过程中会和钢轨道框架产生33 Hz的共振, 通过改变钢轨道框架立柱的侧向刚度可以改变轨道框架的自振频率, 从而可以使系统在慢起慢落过程中稳定. 由轨排弹性引发的自激振动也是中低速磁浮交通里比较常见的现象. 这种振动的频率较高, 通常会产生较大的噪声, 同时会导致轨排结构疲劳损伤. 目前中低速磁浮交通已经在我国长沙和北京投入运营, 但在运行中发现, 车辆和轨排之间的耦合振动问题在个别路段仍然存在. 以北京S1线为例, 该线路在个别路段仍会出现频率为数十赫兹的轨排自激振动, 由于线路车辆往返频率较高, 这个轨排振动问题曾导致轨排固定螺栓产生疲劳断裂的现象.
在磁浮系统自激振动的机理研究方面, 大部分学者认为自激振动是由轨道的弹性导致的. 在时域内, 有学者认为轨道的每个弹性模态会导致闭环控制系统多出一对靠近虚轴的共轭虚根, 当控制参数不合理时, 这些虚根会穿越虚轴到达右半平面而致失稳[7]. 从频域观点, 有学者认为轨道的弹性模态会在开环系统的幅频特性中产生尖峰, 而该尖峰对应的增益过高则会引发闭环失稳. 另有一些学者把自激振动归结于轨道的模态频率和悬浮控制系统的固有频率或悬浮结构的固有频率接近导致的[8]. 然而悬浮系统的固有频率是不容易直观定义的. 此外, 也有学者认为反馈信号的延迟会导致闭环系统出现Hopf分岔, 从而引发等幅振荡[9]. 然而这一模型与轨道的关联度不大, 且真实系统的信号延迟不会达到如此量级.
在研究磁浮系统的车 − 轨耦合振动问题时, 很多学者都会对轨道模型进行简化. 例如, 早期很多文献简单地把磁浮轨道简化为一个简支梁, 或者多跨连续梁. 然而这种简化模型无法体现轨排模态振型的实际情况, 得出的结论会产生很大偏差. 最近, 文献[10]针对磁浮轨排的多轨枕支撑结构, 把轨排每侧的导轨等效为一个由多个弹性节点支撑的多跨梁结构, 用模态叠加法分析了这种结构的模态和频率, 得到相对精确的结果. 然而这一模型仍不能反映真实轨排中轨枕、支撑垫等部件的弹性. 要提高轨道模型的精度, 应把轨枕和两侧导轨同时考虑在内, 构建完整的多跨、多部件组合钢架结构模型. 然而, 这种复杂轨排结构的建模相关文献较少. 文献[11]针对柔性L型梁结构进行分析, 应用哈密顿变分原理建立了这种结构的动力学方程, 结合边界条件通过求解线性偏微分方程组得到组合梁的固有频率和模态函数. 这种多梁结构的动力学方程假设条件可以为复杂轨排结构的建模提供一定的参考. 多柔性梁组合结构的建模问题是本文研究的重点内容之一.
由于轨排结构复杂, 螺栓松动、控制参数不合理等很多因素均可导致轨排自激振动, 且自激振动的频率和振型不尽相同, 控制难度较大. 因此, 要解决轨排自激振动问题, 必须采用具有自适应特性的振动控制算法. 文献[12]提出了一种带补偿的最小均方误差(Least mean square, LMS)自适应振动控制算法, 可以消除混叠在控制信号中的振动成分. 然而该算法需要采用滤波器组产生所需的振动参考信号, 复杂度较高. 最近, Zhou等[13]又提出了一种自适应有限冲击响应(Finite impulse response, FIR)滤波器来产生振动对消信号, 采用LMS算法来实时调谐FIR滤波器的参数. 这种方法的优点是可以对轨排的振动频率具有自适应性, 且鲁棒性较好. 此外, 邹东升等[14]提出了一种自适应陷波器的方法来抑制磁浮系统的车轨耦合共振, 利用递推最小二乘法辨识振动的参数并更新陷波器的系数. 这种适时辨识振动特性的思路是值得借鉴的.
然而, 目前文献上列举的振动控制方法通常将轨排的模型视为“黑匣子” , 把轨排的振动当成外部干扰进行处理, 且所建立的模型均为单悬浮点结构, 无法体现磁浮列车中一体化悬浮模块对轨排自激振动的特殊影响. 针对这些问题, 本文将建立一体化悬浮模块的动力学模型, 并与全尺寸轨排模型结合, 采用递推最小二乘法设计轨排模型辨识器, 实时估计磁浮列车运行过程中轨排的模态传递函数, 并分析自激振动产生的途径, 从而有针对性地设计反馈控制律来抑制振动的发生. 这种方法能够从本质上对轨排自激振动进行抑制.
1. 磁浮交通轨排建模
中低速磁浮列车的轨排由一系列轨枕和两侧的导轨(F轨)组成, 磁浮车的电磁力作用在轨排两侧的导轨上, 如图1所示. 这里以三轨枕轨排为例, 分析其动力学模型, 更多跨的模型也可以仿照相同的方法建模. 图2所示为简化的轨排模型. 考虑到实际情况下, 每个轨枕下部由两个矩形支撑面支撑于水泥底座上, 在轨枕和水泥底座之间往往会加装减震垫, 故在建模时将每个支撑节点用一个垂向直线弹簧和一个扭转弹簧组合表示. 其中扭转弹簧用于模拟矩形支撑面对轨枕扭转方向的约束. 图中
$ EI_x $ 表示轨排中各个梁的抗弯刚度,$ \rho_x $ 代表各个梁的线密度, 梁的每跨长度用$ l_x $ 表示. 此外, 各弹簧的刚度见图2标注.由于构成磁浮轨排的材料相对比较细长, 且为等截面材料, 故这里暂将轨排的每段材料等效为欧拉 − 伯努利梁, 它们的运动方程满足
$ EI_m \frac{\partial ^4y_m \left( {x_m ,t} \right)}{\partial x_m ^4}+\rho _m \frac{\partial ^2y_m \left( {x_m ,t} \right)}{\partial t^2} = f_m \left( {x,t} \right) $
(1) 其中, E是轨排材料的弹性模量, Im是截面惯性距, 下标
$ m $ 表示第$ m $ 个梁,$ f_m \left( {x_m ,t} \right) $ 为作用在第$ m $ 个梁上的力. 对于单个轨排元件来说, 其坐标系原点在梁的最左(下)侧,$ x_{m} $ 沿元件的轴向延伸,$ y_{m} $ 则沿铅垂方向向上. 对于自由振动来说,$ f_m \left( {x_m ,t} \right) = 0 $ , 采用分离变量法, 式(1)的解可表示为$ y_m \left( {x_m ,t} \right) = \phi _m \left( {x_m } \right)\sin \omega t $
(2) 代入式(1)可得
$ EI_m \frac{\partial ^4\phi _m \left( {x_m ,t} \right)}{\partial x_m ^4}-\rho _m \omega ^2\phi _m \left( {x_m ,t} \right) = 0 $
(3) 满足式(3)的
$ \phi _m \left( {x_m ,t} \right) $ 的形式有4种函数, 分别是正弦、余弦、双曲正弦和双曲余弦函数. 这里将其组合起来并定义为[15]$ \left\{ {\begin{aligned}& K_1 \left( {\lambda x} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos \lambda x+\cosh \lambda x} \right) \\ & K_2 \left( {\lambda x} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin \lambda x+\sinh \lambda x} \right) \\ & K_3 \left( {\lambda x} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cosh \lambda x-\cos \lambda x} \right) \\& K_4 \left( {\lambda x} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sinh \lambda x-\sin \lambda x} \right) \\ \end{aligned}} \right. $
(4) 显然,
$ K_{1} $ (0) = 1,$ K_{2} $ (0) =$ K_{3} $ (0) =$ K_{4} $ (0) = 0. 这种定义可以简化后续的计算. 于是$ \phi _m \left( {x_m ,t} \right) $ 可以表示成这4种函数的组合. 将式(4)的表达式代入式(3), 可得$ EI_m \lambda ^4 = \rho _m \omega ^2 $
(5) 这是梁的空间频率同时间频率的平衡方程, 它由梁的材料属性决定.
定理1. 对于由
$ m $ 个柔性梁组合的结构来说, 假定这些梁根据支撑条件可以分为$ j $ 段, 那么这个多梁结构的自由振动可以由4$ \times j $ 个方程组联立求解$ A\left( {\lambda _1 ,\cdots ,\lambda _m } \right){ X} = 0 $
(6) 其中,
$ { X} = \left[ {C_{11} ,C_{12} , \cdots ,C_{j4} } \right]^{\rm{T}} $ , 是式(4)表述的函数的待定系数;$ \lambda $ $ _{m} $ 是第$ m $ 个柔性梁的空间波长; A是$ 4j\times 4j $ 的方阵, 其取值和梁的边界条件相关.该定理的推导过程见附录A. 对于图2所示的轨排结构来说, 轨排个数
$ n = 3$ , 显然有$ m = 5 $ ,$ j = 17$ . 于是总共可以得到68个平衡方程, 可以将它们写成矩阵的形式$ A\left( {\lambda _1 ,\cdots ,\lambda _5 } \right){ X} = 0 $
(7) 其中,
$ { X} = \left[ {C_{11} ,C_{12} ,\cdots ,C_{174} } \right]^{\rm{T}} $ . 构成轨排的各个梁之间虽然空间波长不同, 但对于轨排的第$ k $ 阶模态振型来说, 所有梁的模态频率是相等的, 由此当给定其中一个梁(如第1个轨枕)的模态波长时, 可以由式(5)确定其他各梁的模态波长$ \lambda _m = \lambda _1 \sqrt[4]{\frac{EI_1 \rho _m }{EI_m \rho _1 }} $
(8) 将式(8)代入式(7), 可以得到
$ A\left( {\lambda _1 } \right) { X} = 0 $
(9) 这是一个高阶超越方程, 难以得到解析解, 通常可以通过数值搜索方法寻根. 这里采用二分法原理进行寻根. 首先按照一定的步长计算
$ \lambda $ $ _{1} $ 从0到设定值(如10)之间函数$ f \left( {\lambda _{1i} } \right) = \left| A \left( {\lambda _{1i} } \right) \right| $ 的所有值, 寻找该函数所有过零点的值; 其次, 将每个过零点作为种子, 设定初始搜索步长, 采用二分法逐步逼近真实的过零点. 当寻根的步长小于设定的阈值时就得到了满足方程(9)的精确的根.对于每一个使方程(9)有解的
$ \lambda_{1} $ , 都对应一个特定的振动模态. 得到${{X}} $ 的解后, 便可以代入式(A2) (见附录A)得到各阶模态的振型.按照以上方法, 将轨枕和F轨的抗弯刚度、线密度等参数代入各式, 便可计算得到轨排的模态振型和模态频率. 经过计算, 中低速磁浮交通的F轨抗弯刚度约为2.1×106 Nm2, 线密度约为130 kg/m; 轨枕的抗弯刚度约为1.7×107 Nm2, 线密度约为115 kg/m. 取轨枕支撑等效直线弹簧的刚度为2×108 N/m, 扭转弹簧的刚度为2.5×107 Nm/rad, 则可以得到三轨枕轨排的前三阶模态振型和模态频率, 如图3所示. 图中虚线所示的位置代表轨排的初始零位和轨枕支撑点所在的位置. 从图中可以看出, 由于考虑了轨枕的刚度和轨枕支撑点的弹性, 各阶模态振型中均包含轨枕的变形, 这在以往的简化轨排模型分析中是难以体现的. 其次, 分析得出的轨排前三阶模态频率比较接近, 这也与以往的简化模型得出的结论有所不同.
图 3 模态分析法计算得到的轨排前三阶模态振型Fig. 3 The first three order mode shapes of the track obtained by mode superposition method为了验证这种方法的可信度, 这里通过有限元分析方法对相同尺寸的真实轨排进行模态分析. 所建的三维模型如图4所示. 将该模型导入ANSYS软件, 仿真得到的前三阶模态振型如图5所示. 图中,“Modal”代表模态分析结果. 前三阶模态频率分别是103.98 Hz, 117.28 Hz, 127.15 Hz. 与图3所示的模态振型对比可以看出, 采用前述的理论分析方法可以得到和有限元方法比较吻合的模态振型, 对应的模态频率也比较接近. 二者的误差主要来源于: 1) 理论模型中难以考虑F轨的悬臂结构对模态振型的影响, 这也是后续研究可以细化的一个方面; 2) 理论分析时轨枕的支撑弹簧和扭转弹簧的参数和真实值可能存在差异, 而这些参数在实际中难以精确测量. 但是这些误差在可接受的范围之内, 不影响后续的悬浮稳定性分析.
图 5 用有限元方法得到的轨排前三阶模态振型Fig. 5 The first three order mode shapes of the track obtained by finite analysis method2. 基于悬浮模块的轨排自激振动机理分析
在以往的轨排自激振动问题研究中, 大部分学者都是将悬浮控制系统简化为一个单点悬浮控制系统, 只考虑一个悬浮模块中的单个悬浮单元. 实际上, 在中低速磁浮列车中, 两个悬浮单元构成一个悬浮模块, 它们通过一个一体化电磁铁组成一个整体, 如图6所示. 显然, 两个悬浮单元之间是存在机械耦合的, 这种耦合对于轨排自激振动是有影响的.
图 6 悬浮模块和轨排相对位置示意图Fig. 6 Demonstration of the relative position of thelevitation module and the track为便于分析, 将模块悬浮系统和轨排的结构进行简化, 如图7所示.
图中,
$ x_{0} $ 是悬浮模块左端的初始位置,$ y_{01} $ 和$ y_{02} $ 分别是F轨在垂向的位移. 对于轨排的第$ k $ 阶模态振型来说, 其受迫振动的响应可以表示为[15]$ \ddot {q}_k \left( t \right)+2\zeta _k \omega _k \dot {q}_k \left( t \right)+\omega _k^2 q_k \left( t \right) = \frac{F_k \left( t \right)}{M_k } $
(10) 其中,
$ q_{k} $ 是F轨的第$ k $ 阶模态的广义位移,$ F_{k} $ 是作用在该阶模态上的广义力,$ M_{k} $ 是该阶模态的广义质量. 这里假定模态阻尼系数为$ \zeta _{k} $ . 由于轨排的位移通常很小, 因此可以认为作用在F轨上的电磁力是均布力, 于是有$ F_k \left( t \right) = \frac{\alpha _1 }{l}F_1 \left( t \right)+\frac{\alpha _2 }{l}F_2 \left( t \right) $
(11) $ M_k = \rho \int_0^L {\phi _k^2 \left( x \right){\rm{d}}x} \quad\quad\quad\; $
(12) 其中,
$ \rho $ 是F轨的线密度,$ \alpha_1 = \int_{x_0 }^{x_0 +l} {\phi _k \left( x \right){\rm{d}}x} $ ,$\alpha _2 = $ $ \int_{x_0 +l}^{x_0 +2l} {\phi _k \left( x \right){\rm{d}}x} $ . 为便于分析, 这里省略了标示梁的标号的下标. 于是F轨在两个传感器处的垂向位移可以表示为$ y_{01} \left( t \right) = q_k \left( t \right)\phi _k \left( {x_0 } \right)\quad\;\;\; $
(13) $ y_{02} \left( t \right) = q_k \left( t \right)\phi _k \left( {x_0 +2l} \right) $
(14) 由于悬浮模块的俯仰角非常小, 因此左右两侧的悬浮传感器测量的悬浮间隙应为
$ \delta _1 \left( t \right) = y_{11} \left( t \right)-y_{01} \left( t \right) = y_{1m} \left( t \right)+l\theta \left( t \right)-q_k \left( t \right)\phi _k \left( {x_0 } \right) $
(15) $\begin{split} \!\!\! \delta _2 \left( t \right) =\;& y_{12} \left( t \right)-y_{02} \left( t \right) = \\ &y_{1m} \left( t \right)-l\theta \left( t \right)-q_k \left( t \right)\phi _k \left(\! {x_0 +2l} \right) \end{split}\hspace{22pt}$
(16) 然而, 由于悬浮力是均布在轨道极面上, 因此悬浮力所对应的平均悬浮间隙为
$\begin{split} \bar {\delta }_1 \left( t \right) = &\ \frac{1}{l}\int_{x_0 }^{x_0 +l} \left[ y_{1m} \left( t \right)+l\theta \left( t \right)-\theta \left( t \right)\left( {x-x_0 } \right)- \right.\\ &\left. q_k \left( t \right)\phi _k \left( x \right) \right]{\rm{d}}x \end{split}$
(17) $ \begin{split} \bar {\delta }_2 \left( t \right) = &\ \frac{1}{l}\int_{x_0 +l}^{x_0 +2l} \left[ y_{1m} \left( t \right)-\theta \left( t \right)\left( {x-x_0 -l} \right)-\right.\\& \left. q_k \left( t \right)\phi _k \left( x \right) \right]{\rm{d}}x \end{split} $
(18) 经过推导, 可得
$ \bar {\delta }_1 \left( t \right) = y_{1m} +\frac{1}{2}l\theta -\frac{\alpha _1 }{l}q_k $
(19) $ \bar {\delta }_2 \left( t \right) = y_{1m} -\frac{1}{2}l\theta -\frac{\alpha _2 }{l}q_k $
(20) 显然, 由于轨道形变的存在, 平均间隙和悬浮测量间隙是不相等的. 对于悬浮系统来说, 由于电磁铁的线圈是两两串联的, 因此对于左侧悬浮单元来说, 其电压平衡方程为
$ \frac{u_1 \left( t \right)}{2} = i_1 \left( t \right)R+\frac{\mu _0 AN_c^2 }{2\bar {\delta }_1 \left( t \right)}\dot {i}_1 \left( t \right)-\frac{\mu _0 AN_c^2 i_1 \left( t \right)}{2\bar {\delta }_1^2 \left( t \right)}\dot {\bar {\delta }}_1 \left( t \right) $
(21) 其中,
$ u_{1} $ 和$ i_{1} $ 分别是左侧悬浮单元的控制电压和电磁铁电流,$ R $ 是单个线圈的直流电阻,$ \mu _{0} $ 是真空磁导率,$ A $ 是单个线圈对应的磁极面积,$ N_{c} $ 是单个线圈的匝数. 根据电磁力的经验公式, 可得悬浮单元1产生的悬浮力为$ F_1 \left( t \right) = \frac{\mu _0 AN_c^2 }{2}\left( {\frac{i_1 \left( t \right)}{\bar {\delta }_1 \left( t \right)}} \right)^2 $
(22) 由于左右两个悬浮单元的参数具有对称性, 因此右侧悬浮单元的电压平衡方程、电磁力方程和左侧单元是一样的, 这里不再列出. 电磁铁在垂向的运动方程和旋转运动方程分别为
$ m\ddot {y}_m = mg+F_{01} +F_{02} -F_1 -F_2 $
(23) $ J\ddot \theta = \left( {F_2 - F_1 + F_{02} - F_{01} } \right){l \over 2} \hspace{18pt}$
(24) 其中,
$ m $ 和$ J $ 分别是悬浮模块的质量和转动惯量,$ g $ 是重力加速度,$ F_{01} $ 和$ F_{02} $ 是车体载荷通过左右两个空气弹簧施加在悬浮模块上的力. 由于空气弹簧的减震隔离作用, 可以把这两个力看作常数. 电流环串级PID控制[16]和状态反馈控制是磁悬浮控制里比较常见的控制方法, 为便于阐述轨排耦合自激振动的发生原因, 以状态反馈为例$ u_1 = k_1 \left( {\delta _1 -z_0 } \right)+k_2 \dot {\delta }_1 +k_3 i_1 +2i_{10} R $
(25) $ u_2 = k_1 \left( {\delta _2 -z_0 } \right)+k_2 \dot {\delta }_2 +k_3 i_2 +2i_{20} R $
(26) 其中,
$ k_{1}\sim k_{3} $ 是三个反馈系数,$ z_{0} $ 是设定的悬浮间隙,$ i_{10} $ 和$ i_{20} $ 分别是左右两个悬浮单元的稳态悬浮电流. 对于实际的悬浮系统而言, 轨排自激振动引起的悬浮间隙变化幅值相对稳态悬浮间隙$ z_{0} $ 来说可以忽略不计, 故在平衡状态时可以将式(21)和式(22)进行线性化, 以简化分析$ L_1 \dot {i}_1 = \frac{u_1 }{2}-Ri_1 +F_{i1} \dot {\bar {\delta }}_1 $
(27) $ F_1 = 2F_{i1} i_1 -2F_{z1} \bar {\delta }_1 \hspace{19pt}$
(28) 在平衡状态时稳态悬浮电流产生的悬浮力和悬浮模块的重力以及空气弹簧的外力平衡, 相关变量可以消去. 取状态变量
$ x_1 = y_{1m} $ ,$ x_2 = \dot {y}_{1m} $ ,$ x_3 = \theta $ ,$ x_4 = \dot {\theta } $ ,$ x_5 = i_1 $ ,$ x_6 = i_2 $ ,$ x_7 = q_k $ ,$ r = \dot {q}_k $ , 然后综合式(11)$ , (12), (15)$\sim $ (20), (23)$\sim $ (28), 可以得到在轨排第$ k $ 阶模态振型激励下悬浮系统的模型$ \dot { X}' = {A'} { X}'+ Br $
(29) 由式(11)可得
$ F_k = C { X}' $
(30) 其中, 矩阵A, B, C如式(31)
$\sim $ (33) (见本页下方)所示.由式(29)和式(30)可以得出在轨道
$ k $ 阶模态广义速度激励下两个悬浮单元的电磁力产生的广义力$ {F_k}\left( s \right) = G\left( s \right)r\left( s \right) $
(34) 其中
$ G\left( s \right) = C{\left( {s{{I}} - A'} \right)^{ - 1}}B $
(35) 而由式(10)可得在广义力作用下轨排第
$ k $ 阶模态的广义速度响应$ r\left( s \right) = sq\left( s \right) = H\left( s \right){F_k}\left( s \right) $
(36) 其中
$ H\left( s \right) = \frac{s}{{\left( {{s^2} + 2{\zeta _k}{\omega _k} + \omega _k^2} \right){M_k}}} $
(37) 式(34)和式(36)表征的两个子系统相互耦合组成一个闭环系统. 需要注意的是, 由矩阵
$A' $ 的表达式可以看出,$ G(s) $ 的参数受$ \alpha $ $ _{1} $ 、$ \alpha $ $ _{2} $ 的影响, 而这两个变量同悬浮模块的位置$ x_0 $ 紧密相关, 因此闭环系统的稳定性在很大程度上受$ x_0 $ 以及第$ k $ 阶振型的形状的影响. 作为示例, 这里以轨排一阶模态振型为例, 取控制参数为$ k_1 = 4.5 \times 10^5 $ ,$ k_2 = 1.35 \times 10^4 $ ,$ k_3 = –90 $ , 该参数可以保证悬浮系统在刚性轨道条件下具有良好的动态性能. 然而对于耦合系统来说, 其稳定性可能因轨道的模态振型而发生改变. 绘制出闭环系统的根随$ x_0 $ 变化的轨迹, 如图8所示. 其中,$ r_7 $ 和$ r_8 $ 两个共轭虚根是由轨道的一阶模态引起的, 它们受$ x_0 $ 的影响较大. 当$ x_0 $ 在一定范围内变化时, 这两个根的实部可能变成正值, 如图9所示.
图 8 考虑轨排一阶模态时耦合系统的根随x0变化的轨迹Fig. 8 Root locus of the coupled system as x0 changes when the track first order mode is taken into account
图 9 考虑一阶模态时$r_7$ 和$r_8$ 的实部随$x_0$ 变化的规律Fig. 9 Real parts of$r_{7 }$ and$r_{8 }$ as$x_{0}$ changes同理, 可以考察轨排的二阶和三阶模态对闭环系统最靠近虚轴的根的影响, 如图10所示. 可以看出, 在轨排二阶模态作用下, 闭环系统总是稳定的; 而对三阶模态来说, 当
$ x_0 $ 位于0.16$\sim $ 0.4 m之间时, 闭环系统会失稳.
图 10 二阶和三阶模态时$r_{7}$ 和$r_{8}$ 的实部随$x_{0}$ 变化的规律Fig. 10 Real parts of$r_{7 }$ and$r_{8 }$ as$x_{0}$ changes when the second and third order modes are taken into account$ { A'} = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {\frac{2\left( {F_{z1} +F_{z2} } \right)}{m}} & 0 & {\frac{\left( {F_{z1} -F_{z2} } \right)l}{m}} & 0 & {-\frac{2F_{i1} }{m}} & {-\frac{2F_{i2} }{m}} & {\frac{2\left( {F_{z1} \alpha _1 -F_{z2} \alpha _2 } \right)}{ml}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ {\frac{\left( {F_{z1} -F_{z2} } \right)l}{J}} & 0 & {\frac{\left( {F_{z1} +F_{z2} } \right)l^2}{2J}} & 0 & {-\frac{F_{i1} l}{J}} & {\frac{F_{i2} l}{J}} & {\frac{F_{z1} \alpha _1 +F_{z2} \alpha _2 }{J}} \\ {\frac{k_1 }{2L_1 }} & {\frac{k_2 +2F_{i1} }{2L_1 }} & {\frac{k_1 l}{2L_1 }} & {\frac{k_2 l+F_{i1} l}{2L_1 }} & {\frac{k_3 -2R}{2L_1 }} & 0 & {-\frac{k_1 \varphi _k \left( {x_0 } \right)}{2L_1 }} \\ {\frac{k_1 }{2L_2 }} & {\frac{k_2 +2F_{i2} }{2L_2 }} & {-\frac{k_1 l}{2L_2 }} & {-\frac{k_2 l+F_{i2} l}{2L_2 }} & 0 & {\frac{k_3 -2R}{2L_2 }} & {-\frac{k_1 \varphi _k \left( {x_0 +2l} \right)}{2L_2 }} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} }} \right] $
(31) $ B = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&{ -\frac{{{k_2}{\phi _k}\left( {{x_0}} \right)l + 2{F_{i1}}{\alpha _1}}}{{2{L_1}l}}}&{ - \frac{{{k_2}{\phi _k}\left( {{x_0} + 2l}\right)l + 2{F_{i2}}{\alpha _2}}}{{2{L_2}l}}}&1 \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad\;\;\;\; \quad $
(32) $ C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{2\left( {{F_{z1}} + {F_{z2}}} \right)}}{l}}&0&{{F_{z2}}{\alpha _2} - {F_{z1}}{\alpha _1}}&0&{\frac{{2{F_{i1}}{\alpha _1}}}{l}}&{\frac{{2{F_{i2}}{\alpha _2}}}{l}}&{\frac{{2\left( {{F_{z2}}\alpha _2^2 - {F_{z1}}\alpha _1^2} \right)}}{{{l^2}}}} \quad \quad \quad\quad\quad \end{array}} \right] $
(33) 为了验证这一结论, 取
$ x_0 $ = 0.35 m, 并对轨排二阶和三阶模态作用下的闭环耦合系统进行仿真. 在仿真中采用式(21)和(22)描述的非线性模型代替式(27)和(28)描述的线性模型, 得到左右两悬浮单元的测量间隙, 如图11所示. 可以看出, 轨排二阶模态产生的振动在短时间内就会衰减并趋于稳定, 而三阶模态会导致自激振动的发生.
图 11 悬浮模块左右两点悬浮间隙的仿真结果Fig. 11 Levitation gaps of the levitation module in the simulation振动的幅值在经历一段暂态变化后会最终趋于稳定, 而且在振幅稳定后平均悬浮间隙会比无振动时大, 这与实际的中低速磁浮列车上观察到的现象一致. 产生这种现象的原因在文献[17]中有详细分析, 这里不再讨论. 此外, 从图11还可以看出, 自激振动发生时, 悬浮模块左右两个悬浮单元的振动幅值并不相等, 这与它们所处的位置有关. 两个悬浮单元之间通过两个途径产生相互影响: 1) , 每个悬浮单元的激励力可以通过轨排的模态变形对另外的悬浮单元的间隙产生扰动; 2) , 每个单元的悬浮力通过一体化电磁铁耦合到另外一个悬浮单元, 使之产生受迫振动. 因此, 对于模块悬浮系统来说, 可能会出现一个悬浮单元处于“激振”状态, 而另外一个悬浮单元处于“受迫振动”状态. 这种情形对于单点悬浮模型来说, 是无法得出相应结论的.
3. 轨排自激振动的自适应控制方法
对于弹性结构的控制, 通常需要对弹性结构的变形进行测量并在适当的位置施加控制力来实现. 如文献[18]对浮式海洋热能转换系统的柔性管道系统进行建模, 利用安装在柔性结构边界处的传感器和执行器, 通过设计控制律来抑制管道振动. 然而对于本文研究的车轨耦合系统来说, 车辆相对轨道的位置是随机的, 直接测量轨道的变形是困难的, 且执行器(电磁铁)是分布力, 其位置也是时变的. 这是本系统区别于传统柔性结构控制的特殊之处.
3.1 自适应振动控制方案介绍
从前面的分析可以看出, 轨排的自激振动发生条件和轨排的模态振型以及悬浮模块所处的位置有很大的关系, 而轨排的模态振型、模态频率和轨排的长度、支撑条件等直接相关, 因此, 在实际中, 轨排自激振动的发生往往是具有随机性的, 振动的频率也是不固定的. 例如, 在磁浮试验线中观测发现, 轨排自激振动的频率可在50
$\sim $ 130 Hz之间出现. 鉴于这种情况, 具有自适应功能的振动控制算法在实际应用中将更有实际意义. 考虑到轨排自激振动的发生跟轨排的动力学模型紧密相关, 因此, 如果能将轨排的动力学模型实时辨识出来, 则可以辨别引起耦合系统失稳的原因, 从而引入相应的控制律来使系统稳定.对于轨排子系统来说, 其第
$ k $ 阶模态的广义受迫振动方程由式(10)确定, 而其输入输出的增益则分别由式(11), (13)和(14)决定. 这三个式子的相关系数均和悬浮模块的位置$ x_0 $ 相关, 于是轨排子系统的任何一阶模态对于悬浮控制器来说, 其总增益均可能为正, 也可能为负. 这种增益符号上的差异往往是决定闭环系统稳定与否的关键因素. 现考虑对轨排子系统的动力学模型进行实时辨识. 对于关注的系统来说, 悬浮系统和轨排系统构成一个闭环耦合系统, 因此对轨排子系统的辨识需要考虑悬浮子系统的影响. 文献[19]针对磁悬浮系统的模型辨识问题, 首先设计控制器使闭环稳定, 然后利用最小二乘法对悬浮系统的线型模型进行辨识, 得到了较为准确的数学模型. 由于轨排子系统的振动幅值通常较小, 模型非线性特性不明显, 因此利用最小二乘辨识法也可以得到较为精确的辨识结果.对于式(37)的二阶系统来说, 其离散化的形式可以表示为
$ H\left( z \right) = \frac{Q\left( z \right)}{F_k \left( z \right)} = \frac{b_0 +b_1 z^{-1}+b_2 z^{-2}}{1+a_1 z^{-1}+a_2 z^{-2}} $
(38) 展开后, 可得
$ \begin{aligned} Q\left( n \right) =& {b_0}{F_k}\left( n \right) + {b_1}{F_k}\left( {n - 1} \right) + {b_2}{F_k}\left( {n - 2} \right)- \\ &{a_1}Q\left( {n - 1} \right) - {a_2}Q\left( {n - 2} \right) \\[-10pt] \end{aligned} $
(39) 定义
$ \beta _1 = \varphi _k \left( {x_0 } \right) $ ,$ \beta _2 = \varphi _k \left( {x_0 +2l} \right) $ , 联合式(11), (13)和(14), 可得$ \begin{align} y_{01} \left( n \right) =\;& \frac{\alpha _1 \beta _1 b_0 }{l}F_1 \left( n \right)+\frac{\alpha _1 \beta _1 b_1 }{l}F_1 \left( {n-1} \right)+ \\ &\frac{\alpha _1 \beta _1 b_2 }{l}F_1 \left( {n-2} \right) +\frac{\alpha _2 \beta _1 b_0 }{l}F_2 \left( n \right) +\\ &\frac{\alpha _2 \beta_1 b_1 }{l}F_2 \left( {n-1} \right)+\frac{\alpha _2 \beta _1 b_2 }{l}F_2 \left( {n-2} \right) -\\ &a_1 y_{01} \left( {n-1} \right)-a_2 y_{01} \left( {n-2} \right) \\[-10pt]\end{align} $
(40) $ \begin{align} y_{02} \left( n \right) =\; &\frac{\alpha _1 \beta _2 b_0 }{l}F_1 \left( n \right)+\frac{\alpha _1 \beta _2 b_1 }{l}F_1 \left( {n-1}\right) +\\ &\frac{\alpha _1 \beta _2 b_2 }{l}F_1 \left( {n-2} \right) +\frac{\alpha _2 \beta _2 b_0 }{l}F_2 \left( n \right) +\\ &\frac{\alpha _2 \beta _2 b_1 }{l}F_2 \left( {n-1} \right)+\frac{\alpha _2 \beta _2 b_2 }{l}F_2 \left( {n-2} \right)- \\ &a_1 y_{02} \left( {n-1} \right)-a_2 y_{02} \left( {n-2} \right) \\[-10pt]\end{align} $
(41) 因此, 如果能利用式(40)和式(41)进行辨识, 则不仅可以得出决定轨排模态频率和阻尼特性的
$ a_{1} $ 和$ a_{2} $ 两个参数, 还可以得出$ \alpha_{1}\beta _{1} $ ,$ \alpha_{2}\beta_{1} $ ,$ \alpha_{1}\beta_{2} $ ,$ \alpha_{2}\beta_{2} $ 这4个决定轨排输入输出增益的参数的相对大小. 这4个参数对应的物理意义是明确的:$ \alpha_{i}\beta_{j} $ 代表第$ i $ 个电磁力作用在轨排第$ k $ 阶振动模态上引起轨排在第$ j $ 个悬浮单元传感器处产生的位移大小.然而, 要对式(40)和式(41)进行辨识, 需要知道
$ F_{1} $ ,$ F_{2} $ ,$ y_{01} $ ,$ y_{02} $ 的值, 但它们是不能直接测量的. 在实际系统中, 可以实时获取的状态包括电磁铁左右两端的悬浮间隙、垂向加速度、以及两个悬浮单元的电磁铁电流. 为此, 可以利用这些信息将上述未知变量估计出来. 由于$ \ddot {\theta } = \frac{\ddot {y}_{12} -\ddot {y}_{11} }{2l} $
(42) $ \ddot {y}_m = \frac{\ddot {y}_{11} +\ddot {y}_{12} }{2} $
(43) 注意到式(23)和式(24), 可得
$ F_1 = \left( {\frac{J}{2l^2}-\frac{m}{4}} \right)\ddot {y}_{11} -\left( {\frac{J}{2l^2}+\frac{m}{4}} \right)\ddot {y}_{12} $
(44) $ F_2 = -\left( {\frac{J}{2l^2}+\frac{m}{4}} \right)\ddot {y}_{11} +\left( {\frac{J}{2l^2}-\frac{m}{4}} \right)\ddot {y}_{12} $
(45) 其中,
$ \ddot {y}_{11} $ 和$ \ddot {y}_{12} $ 可以通过悬浮传感器里集成的加速度计直接测量出来. 利用以上两式可以得到左右悬浮力的估计值$ \hat {F}_1 $ 和$ \hat {F}_2 $ . 对于$ y_{01} $ ,$ y_{02} $ 的估计值, 可以参考文献[7] 中介绍的状态估计器, 利用悬浮间隙传感器的测量值$ \delta_{1} $ ,$ \delta_{2} $ , 以及加速度测量值$ \ddot {y}_{11} $ ,$ \ddot {y}_{12} $ , 得到$ y_{01} $ ,$ y_{02} $ 的估计值$ \hat {y}_{01} $ 和$ \hat {y}_{02} $ $ \left\{ {\begin{aligned} & \dot {z}_{1j} = -\sigma _1 z_{1j} +\ddot {y}_{1j}, \\ & \dot {z}_{2j} = -\sigma _1 z_{1j} +\ddot {y}_{1j}, \\ & \dot {z}_{3j} = z_{2j} ,\\ & \dot {z}_{4j} = -\sigma _2 z_{4j} +\delta _j, \\ & \hat {y}_{0j} = z_{3j} -\sigma _2 z_{4j}, \\ \end{aligned}} \right.\quad\quad j = 1,2 $
(46) 其中,
$ \sigma_{1} $ 和$ \sigma_{2} $ 决定着状态估计器的带宽. 注意$ \sigma_{1} $ 可选择远小于振动频率的正值, 而$ \sigma_{2} $ 则应选择大于振动频率的值. 这种估计器可以在估计出轨道垂向位移的同时滤除混合在加速度传感器信号当中的直流分量. 定义$ {\begin{aligned}{ \varphi} _1 \left( n \right) =& \left[ \!{ \hat {F}_1 \left(\! n \!\right)} \! \!\quad\! \! {\hat {F}_1 \left(\! {n-1} \!\right)} \! \! \quad\! \!{\hat {F}_1 \left(\! {n-2} \!\right)} \!\!\quad\! \! {\hat {F}_2 \left(\! n \!\right)} \right. \\ &\left. {\hat {F}_2 \left(\! {n-1} \!\right)} \!\! \quad\! \! {\hat {F}_2 \left(\! {n-2} \!\right)} \! \!\quad \! \!{\hat {y}_{01} \left(\! {n-1} \!\right)} \!\! \quad\! \! {\hat {y}_{01} \left(\! {n-2} \!\right)}\!\right] ^{\rm{T}} \end{aligned}} $
(47) $ {\begin{aligned} {{ \varphi} _2}\left(\! n \!\right) = &\left[\! {{{\hat F}_1}\left(\! n \!\right)}\!\! \quad\!\! {{{\hat F}_1}\left(\! {n - 1} \!\right)} \!\!\quad\!\!{{{\hat F}_1}\left(\! {n - 2} \!\right)} \!\!\quad\!\!{{{\hat F}_2}\left(\! n \!\right)}\right.\\ &\left. {{{\hat F}_2}\left(\! {n - 1} \!\right)}\!\!\quad\!\!{{{\hat F}_2}\left(\! {n - 2} \!\right)}\!\!\quad\!\!{{{\hat y}_{02}}\left(\! {n - 1} \!\right)}\!\!\quad\!\!{{{\hat y}_{02}}\left(\! {n - 2} \!\right)} \!\right]^{\rm{T}}\end{aligned}} $
(48) $ \begin{split} {{ \theta} _1} =\;& \left[ {\frac{{{\alpha _1}{\beta _1}{b_0}}}{l}}\quad{\frac{{{\alpha _1}{\beta _1}{b_1}}}{l}}\quad{\frac{{{\alpha _1}{\beta _1}{b_2}}}{l}}\quad{\frac{{{\alpha _2}{\beta _1}{b_0}}}{l}}\right.\\ &\quad{\frac{{{\alpha _2}{\beta _1}{b_1}}}{l}}\left.\quad{\frac{{{\alpha _2}{\beta _1}{b_2}}}{l}}\quad{ - {a_1}}\quad{ - {a_2}} \right]^{\rm{T}} \end{split} $
(49) $ \begin{split} {{ \theta} _2} = \;& \left[ {\frac{{{\alpha _1}{\beta _2}{b_0}}}{l}}\quad{\frac{{{\alpha _1}{\beta _2}{b_1}}}{l}}\quad{\frac{{{\alpha _1}{\beta _2}{b_2}}}{l}}\quad{\frac{{{\alpha _2}{\beta _2}{b_0}}}{l}}\right.\\ &\quad{\frac{{{\alpha _2}{\beta _2}{b_1}}}{l}}\left.\quad{\frac{{{\alpha _2}{\beta _2}{b_2}}}{l}}\quad{ - {a_1}}\quad{ - {a_2}} \right]^{\rm{T}}\end{split} $
(50) 便可以用递推最小二乘法进行参数辨识
$ \left\{ \begin{aligned} & {{\hat { \theta} }_j}\left( {n + 1} \right) ={{ \hat { \theta} }_j}\left( n \right) + {{ K}_j}\left( {n + 1} \right)\times\\ &\quad \left[ {{{\hat y}_{0j}}\left( {n + 1} \right) - { \varphi} _j^{\rm{T}}\left( n \right){{\hat { \theta} }_j}\left( n \right)} \right]\\ &{{ K}_j}\left( {n + 1} \right) = \dfrac{{{P_j}\left( n \right){ \varphi} _j^{}\left( {n + 1} \right)}}{{\gamma + { \varphi} _j^{\rm{T}}\left( {n + 1} \right){P_j}\left( n \right){ \varphi} _j^{}\left( {n + 1} \right)}}\;\;\;\\ &{P_j}\left( {n + 1} \right) = \dfrac{1}{\gamma }\left[ {{{I}} - {{ K}_j}\left( {n + 1} \right){ \varphi} _j^{\rm{T}}\left( {n + 1} \right)} \right]{P_j}\left( n \right) \\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad j = 1,2 \end{aligned} \right.$
(51) 其中,
$ \gamma $ 是遗忘因子, 通常取$ 0.95< \gamma <1 $ ;$ P_j $ 是$ 8\times 8 $ 的方阵. 考察${ \theta}_{1} $ 和${ \theta}_{2} $ 的形式可以看出, 当辨识收敛后,$ \hat {{ \theta} }_1 $ 和$ \hat {{ \theta} }_2 $ 中最后两项应是相等的, 而它们的前三项和中间三项应具有相关性. 例如, 对于${ \theta}_{1} $ 来说, 如果辨识收敛, 则其前面三项应收敛到$ \dfrac{\alpha _1 \beta _1 }{l} $ $ \left[ {{{array}{*{20}c} {b_0 } & {b_1 } & {b_2 } \\ {array} }} \right]^{\rm{T}} $ , 而中间的三项则应收敛到$ \dfrac{\alpha _2 \beta _1 }{l}$ $\left[ {{{array}{*{20}c} {b_0 } & {b_1 } & {b_2 } \\ {array} }} \right]^{\rm{T}} $ , 显然它们之间相差一个倍数. 这一点不仅可以辨识出轨排模型(38)分子的相对系数, 还可以描述决定轨排输入输出增益的4个参数$ \alpha_{1}\beta _{1} $ ,$ \alpha_{2}\beta_{1} $ ,$ \alpha_{1}\beta_{2} $ ,$ \alpha_{2}\beta_{2} $ 的符号和相对大小, 由此可以判断自激振动产生的途径.包含辨识器和自适应控制器的闭环系统的框图如图12所示. 图中方框MAG代表电磁铁的动力学模型, CTL1和CTL2分别是左右两侧的悬浮控制器, 虚框内的结构是轨排的动力学模型, EST代表辨识器,
$ K_{f} $ 是反馈补偿增益. 辨识器估计出输入输出增益大小后, 由反馈补偿单元根据辨识的结果计算自适应反馈控制律, 并叠加到原始的状态反馈控制律上. 如果辨识器收敛, 则自适应反馈控制律能够补偿轨排模态振型和悬浮模块力耦合引发的不稳定信号分量. 根据辨识的物理意义, 可以写出反馈控制律为
图 12 模块悬浮系统和轨排耦合模型的控制结构框图Fig. 12 Block diagram of the control system with levitation module and track coupled system$ \left\{ {\begin{aligned} & u_1 = u_{10} +k_f \left( {\frac{\alpha _1 \beta _1 }{l}\hat {y}_{01} +\frac{\alpha _1 \beta _2 }{l}\hat {y}_{02} } \right) \\ & u_2 = u_{20} +k_f \left( {\frac{\alpha _2 \beta _1 }{l}\hat {y}_{01} +\frac{\alpha _2 \beta _2 }{l}\hat {y}_{02} } \right) \\ \end{aligned}} \right. $
(52) 其中,
$ k_{f} $ 是反馈增益, 其大小决定振动抑制的效果以及振动收敛的速度. 该参数越大, 振动抑制效果越好, 振动收敛的速度也越快. 然而该参数的选取不宜过大, 否则容易引起闭环系统不稳定.3.2 自适应振动控制方法仿真
在上述自适应控制结构下, 对轨排 − 悬浮模块耦合系统进行仿真. 在仿真中, 假定轨道的三阶模态阻尼为0.005, 其他参数均按照第1节得出的理论结果选取, 其中三阶模态频率为125.2 Hz. 此时理论上由式(37)描述的轨道离散化传递函数为(采样频率为4 kHz)
$ H\left( z \right) \!=\! {1.90288}\!\times \! {10}^{-5}\!\times\!\frac{{{z}}^{-1}-{{z}}^{-2}}{1-{{1.95952z}}^{-1}\!+\!{{0.99803z}}^{-2}} $
(53) 由式(53)可知, 式(38)中,
$ a_{1} $ 和$ a_{2} $ 的真值应为$ -1.95952 $ 和$ 0.99803 $ ;$ b_{0} $ ,$ b_{1} $ ,$ b_{2} $ 的真值分别为$ 0 $ ,$ 1.90288 \times 10^{-5} $ ,$ -1.90288 \times 10^{-5} $ .首先假定
$ k_{f } = 0 $ , 仅考察辨识器的辨识效果. 此时闭环系统会发生自激振动, 取$ \gamma = 0.998 $ ,$ \hat {{ \theta} }_1 $ 和$ \hat {{ \theta} }_2 $ 中最后两项的辨识结果如图13 所示. 可以看出, 辨识结果在1.5 s左右就收敛到固定值. 此外,$ \hat {{ \theta} }_1 $ 和$ \hat {{ \theta} }_2 $ 中的其他参数也在1.5 s左右就收敛到了稳态值. 为便于比较, 将仿真结束时$ \hat {{ \theta} }_1 $ 和$ \hat {{ \theta} }_2 $ 的后两项的值列于表1, 将前6项估计值列于表2.
图 13$\hat {{ \theta} }_1 $ 和$\hat {{ \theta} }_2$ 后2项参数的辨识结果Fig. 13 Identification of the last two terms in$\hat {{ \theta} }_1 $ and$\hat {{ \theta} }_2$ 表 1$\hat {{ \theta} }_1 $ 和$\hat {{ \theta} }_2 $ 的后2项参数辨识结果Table 1 Identification results of the last two terms of$\hat {{ \theta} }_1 $ and$\hat {{ \theta} }_2$ $n$ $\hat {{ \theta} }_1 (n)$ $\hat {{ \theta}}_2 (n)$ 真值 7 1.95936 1.95936 1.95952 8 −0.99803 −0.99803 −0.99803 表 2$\hat {{ \theta} }_1 $ 和$\hat {{ \theta}}_2 $ 的前6项参数辨识结果Table 2 Identification results of the first six terms of$\hat {{ \theta} }_1 $ and$\hat {{ \theta} }_2$ $n$ $\hat { { \theta} }_1 (n)$ $\hat { { \theta} }_2 (n)$ 1 $-5.1\times10^{-18}$ $2.89 \times 10^{-18}$ 2 $-7.64\times10^{-9}$ $13.1\times10^{-9}$ 3 $7.61\times10^{-9}$ $-13.0\times10^{-9}$ 4 $5.2 \times 10^{-18}$ $-2.9 \times 10^{-18}$ 5 $3.70\times10^{-9}$ $-6.34\times10^{-9}$ 6 $-3.68\times10^{-9}$ $6.31\times10^{-9}$ 对照
$\theta_1 $ 和$\theta_2 $ 的定义可以认为, b0, b1和b2的归一化值为: 0, 1, −1, 对应$\alpha _1 \beta _1/l $ ,$\alpha _2 \beta _1/l $ ,$\alpha _1 \beta _2 /l$ ,$\alpha _2 \beta _2/l$ 的值分别为−7.6 × 10−9, 3.7 × 10−9, 13 × 10−9, −6.3 × 10−9. 显然, 耦合系统的不稳定因素来自$\alpha _1 \beta _1 $ 和$\alpha _2 \beta _2 $ 这两个参数, 因为它们出现了负值. 此外, 由表1可以看出, 左右两个悬浮单元对于a1和a2这两个表征轨排模态传递函数的参数辨识结果相一致. 综合上述b0, b1和b2的辨识结果, 可以得出轨排的传递函数及频率响应, 如图14所示. 从图中可以看出, 辨识出的轨排模态频率是125 Hz, 与上一节得出的轨排三阶模态频率一致. 另外, 图14的幅频曲线尖峰反映的阻尼系数也与仿真设定的模态阻尼系数一致, 约为0.005. 这说明辨识器能够有效辨识引发自激振动的轨排模态特性.为了验证式(52)设计的反馈控制律的振动抑制效果, 重新按照上一节相同的设置进行时域仿真, 并在第3 s时启动自适应振动控制律. 仿真的结果如图15所示. 从图15可以看出, 启动振动控制律后, 自激振动的幅值迅速衰减. 由自激振动状态到稳定状态变化的过程中, 悬浮间隙的平均值发生了明显的变化, 这同样是由于悬浮控制器的电压限幅引起的. 图15的仿真结果说明当辨识器收敛后, 自适应控制算法是有效的.
3.3 自适应振动控制方法的适应性讨论
在工程应用中, 控制算法对环境的适应性是值得关注的重要性能. 在中低速磁浮列车运行过程中悬浮系统在通过轨道接缝时往往会因为接缝错台等因素产生瞬时阶跃扰动, 这种扰动对悬浮控制系统是一个较大的考验, 它通常是导致电磁铁磕碰轨道的重要原因. 对于自适应振动控制算法来说, 阶跃扰动会导致频率估计器、状态观测器工作状态发生突变, 从而产生错误输出, 严重时甚至会导致悬浮系统失稳. 此外, 由于电磁干扰等因素, 悬浮传感器的测量信号往往混杂着噪声, 这同样会影响振动控制算法的性能. 下面考察本文提出的自适应振动控制算法的适应性, 并同现有的振动控制算法进行对比.
为了考察外界阶跃扰动的影响, 在上述仿真条件的基础上, 假定当振动控制算法启动之后再经过1 s, 悬浮间隙突然由8 mm变为10 mm, 从而模拟磁浮列车快速经过高差为2 mm的轨道错台的情形. 此外, 为了模拟真实条件下悬浮传感器的测量噪声, 在测量间隙中添加幅值为0.003 mm的均匀分布随机噪声. 测试结果如图16所示. 从图中可以看出, 当自适应振动控制算法在第3 s启动后, 自激振动的振幅迅速减小; 在第4 s时施加2 mm的阶跃, 使得悬浮间隙突然变大为10 mm, 在此过程中, 悬浮系统保持稳定, 自激振动没有因此而再次激发. 图16中的插图显示的是5.7
$\sim $ 5.8 s时的悬浮间隙细节. 从图中只能看到随机噪声信号而几乎分辨不出周期振动的信号, 这说明本文提出的自适应振动控制算法在设定的干扰条件下具有较好的适应性.
图 16 在阶跃和噪声干扰下闭环系统的仿真结果Fig. 16 Simulation result of the closed-loop system in the presence of step and noise interferences图17是对4.5
$\sim $ 6 s的间隙1测量信号进行功率谱分析得到的结果. 为便于观察, 在分析之前已经剔除了信号中的直流分量. 从图中可以看出, 在125 Hz附近存在一个小的尖峰, 这是自激振动在消除过程中残留的信号分量. 但其幅值已经十分微弱.
图 17 在4.5$\sim $ 6 s之间的间隙1信号功率谱密度Fig. 17 Power spectrum density of measured gap 1 signal during 4.5 s to 6 s作为对比, 这里考察文献[13]中提出的磁浮轨排自适应振动控制方法. 该方法需要一个振动频率估计器来实时估计振动的频率并产生同频参考信号、一个参数可调的FIR滤波器来产生振动对消信号以及一个LMS自适应参数调节器. 该方法代表了一类自适应振动控制方法, 这类方法的典型特征是依赖对振动频率的估计. 然而这类方法的最大问题也是频率估计的稳定性. 下面采用文献[13]的自适应振动控制方法, 其自适应参数也同文献[13]的选取一致. 悬浮系统和外界干扰的仿真条件则和本节上一个仿真示例完全一致. 测试结果如图18所示. 从图中可以看出, 该方法在设定的条件下也能够抑制轨排自激振动, 但是对比图16可以发现, 在阶跃扰动发生时该振动控制方法对悬浮控制效果产生了较为明显的干扰. 这体现在悬浮间隙由8 mm向10 mm变化的过程中出现了明显的振荡现象. 由于图16和图18采用的悬浮系统模型和参数完全相同, 因此这说明文献[13]的算法在阶跃扰动发生时出现了明显的暂态不稳定问题. 同时从图18中的插图可以看出在稳态时, 悬浮间隙存在明显的振动分量. 这说明该方法的振动抑制效果不及本文提出的方法.
图19是文献[13]的振动控制算法频率估计结果随时间变化的情况. 从图中可以明显地看出, 由于阶跃扰动的出现, 频率估计器受到了严重干扰, 从而产生错误的输出, 这会导致LMS自适应调节算法工作异常, 从而对悬浮间隙产生较大干扰.
图20是对4.5
$\sim $ 6 s的间隙1测量信号进行功率谱分析得到的结果. 对比图17可以看出, 该方法在125 Hz附近存在一个幅值很大的尖峰, 这说明该方法的振动抑制效果不及本文提出的振动控制方法. 究其原因, 与估计频率的突变以及算法本身的收敛速度有关.
以上对比说明本文提出的轨排自适应振动控制算法稳定性和适应性是比较好的. 这源自以下几点原因: 首先, 本文提出的模型充分考虑了悬浮模块左右两点通过轨道产生振动能量交换的过程, 因而提出的悬浮控制方法更具有针对性; 其次, 本文采用最小二乘方法实时估计轨道的动力学参数, 适当的噪声幅值对于最小二乘估计算法的收敛速度反而是有益的; 再次, 本文提出的方法避免了对振动频率的估计, 因而设计的控制律具有一定的鲁棒性.
4. 结论
本文针对中低速磁浮交通的轨道结构, 建立包含轨枕、F轨的完整轨排的动力学模型, 通过理论方法分析轨排的模态振型、频率等关键参数. 建立了悬浮模块的悬浮模型, 并与轨排模型结合建立轨排 − 悬浮模块耦合模型, 分析了耦合系统的稳定性. 在此基础上提出了一种带辨识器的自适应振动控制方法, 能够实时辨识轨排的模态参数和输入输出增益系数, 从而产生对应的控制律来抑制轨排自激振动. 结果表明本文提出的自适应控制方法能够有效辨识轨排的模态信息, 从而能够有针对性的抑制轨排的自激振动. 相对现有的轨排振动抑制方法, 本文提出的方法在稳定性、适应性方面表现更好. 这种方法易于实施, 可以应用于我国的中低速磁浮交通中.
本文仅考虑了轨排单个模态引发的自激振动的自适应控制问题, 并未考虑多个模态同时引发自激振动的问题. 当前的大多数磁浮列车车轨耦合振动控制方法均未考虑这个问题. 有关多模态同时发生自激振动的辨识和控制问题, 是需要进一步深入研究的, 在此不作讨论. 实际上, 在工程中遇到的轨排自激振动问题基本上都是由轨排的单个模态引发的单一频率的振动, 因此, 本文提出的自适应振动控制算法仍具有较好的实用性.
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图 3 模态分析法计算得到的轨排前三阶模态振型
Fig. 3 The first three order mode shapes of the track obtained by mode superposition method
图 5 用有限元方法得到的轨排前三阶模态振型
Fig. 5 The first three order mode shapes of the track obtained by finite analysis method
图 6 悬浮模块和轨排相对位置示意图
Fig. 6 Demonstration of the relative position of thelevitation module and the track
图 8 考虑轨排一阶模态时耦合系统的根随x0变化的轨迹
Fig. 8 Root locus of the coupled system as x0 changes when the track first order mode is taken into account
图 9 考虑一阶模态时
$r_7$ 和$r_8$ 的实部随$x_0$ 变化的规律Fig. 9 Real parts of
$r_{7 }$ and$r_{8 }$ as$x_{0}$ changes
图 10 二阶和三阶模态时
$r_{7}$ 和$r_{8}$ 的实部随$x_{0}$ 变化的规律Fig. 10 Real parts of
$r_{7 }$ and$r_{8 }$ as$x_{0}$ changes when the second and third order modes are taken into account
图 11 悬浮模块左右两点悬浮间隙的仿真结果
Fig. 11 Levitation gaps of the levitation module in the simulation
图 12 模块悬浮系统和轨排耦合模型的控制结构框图
Fig. 12 Block diagram of the control system with levitation module and track coupled system
图 13
$\hat {{ \theta} }_1 $ 和$\hat {{ \theta} }_2$ 后2项参数的辨识结果Fig. 13 Identification of the last two terms in
$\hat {{ \theta} }_1 $ and$\hat {{ \theta} }_2$
图 16 在阶跃和噪声干扰下闭环系统的仿真结果
Fig. 16 Simulation result of the closed-loop system in the presence of step and noise interferences
图 17 在4.5
$\sim $ 6 s之间的间隙1信号功率谱密度Fig. 17 Power spectrum density of measured gap 1 signal during 4.5 s to 6 s
表 1
$\hat {{ \theta} }_1 $ 和$\hat {{ \theta} }_2 $ 的后2项参数辨识结果Table 1 Identification results of the last two terms of
$\hat {{ \theta} }_1 $ and$\hat {{ \theta} }_2$ $n$ $\hat {{ \theta} }_1 (n)$ $\hat {{ \theta}}_2 (n)$ 真值 7 1.95936 1.95936 1.95952 8 −0.99803 −0.99803 −0.99803 
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表 2
$\hat {{ \theta} }_1 $ 和$\hat {{ \theta}}_2 $ 的前6项参数辨识结果Table 2 Identification results of the first six terms of
$\hat {{ \theta} }_1 $ and$\hat {{ \theta} }_2$ $n$ $\hat { { \theta} }_1 (n)$ $\hat { { \theta} }_2 (n)$ 1 $-5.1\times10^{-18}$ $2.89 \times 10^{-18}$ 2 $-7.64\times10^{-9}$ $13.1\times10^{-9}$ 3 $7.61\times10^{-9}$ $-13.0\times10^{-9}$ 4 $5.2 \times 10^{-18}$ $-2.9 \times 10^{-18}$ 5 $3.70\times10^{-9}$ $-6.34\times10^{-9}$ 6 $-3.68\times10^{-9}$ $6.31\times10^{-9}$
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