Un-modeled Dynamics Increment Compensation Driven Nonlinear PID Control and Its Application
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摘要: 针对一类具有强非线性、机理不清且动态特性随不同运行条件而变化的复杂过程, 将基于数据的建模技术与基于模型的控制策略相结合, 提出了未建模动态及其未知增量补偿驱动的非线性PID控制方法. 所提的算法将一步超前最优控制策略应用于PID控制器的参数设计, 并结合非线性补偿技术进行综合设计, 从理论上给出了PID控制器参数以及非线性补偿器设计的一般原则和方法, 为解决传统PID控制器参数难于整定的问题提供了方法和途径. 在此基础上, 分析了闭环系统的稳定性和收敛性. 最后, 将所提的控制算法进行数值仿真实验以及Pendubot系统平衡控制的对比实验, 实验结果表明, 在Pendubot的精确摩擦力模型未知的情况下, 所提算法能有效地消除系统未知时变不确定性的影响, 并尽可能地减少Pendubot摆角的波动, 将摆角控制在规定的目标值范围内.Abstract: For a class of complex industrial process whose structure is unclear and the dynamic characteristics changing strongly with different operating conditions, unmodeled dynamics driven nonlinear PID control method is proposed in this paper, the algorithm combined the data modelling technologies and control strategy based on process model and is applied to the Pendubot balance control system. One step ahead of the optimal control strategy is used to design the parameters of the PID controller, which combined with the nonlinear compensation technology for integrated design. The general principle and method of choosing PID controller parameters and nonlinear compensator design are given theoretically, which provides ways and means to solve the problem that the traditional PID controller parameters are difficult to design. Then, the stability and convergence of the closed-loop system are analyzed. Finally, through the numerical simulation and the comparative experiment on Pendubot balance control system, the results show that the proposed algorithm can effectively eliminate the influence of the unknown time-varying uncertainty of the system when the accurate friction model of Pendubot is unknown, and reduce Pendubot angular fluctuations as far as possible, the swing angle is controlled within the specified target value range.
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Key words:
- Data driven /
- increment of unmodeled dynamics /
- PID controller /
- stability /
- Pendubot
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复杂工业过程如磨矿的再磨过程[1]、氢氧化镍钴矿浆中和过程[2-3]、Pendubot起摆及摆角的平衡控制过程[4-5]往往具有强非线性、机理不清和难以建立精确数学模型的综合复杂性. 对这类系统采用传统的控制方法难以取得理想的控制效果. 因此, 复杂非线性系统的控制方法一直以来都是过程控制领域内的研究热点.
目前, 针对动态特性具有较强不确定性的非线性系统已有了较为广泛的研究. 典型的方法包括文献[6-10]提出的基于神经网络与多模型的非线性切换控制算法以及文献[11-14]提出的一系列数据驱动控制方法等. 然而大多数数据驱动的方法都或多或少地利用被控对象的结构特性以便于控制器设计. 为此, 文献[15]提出了一种虚拟未建模动态驱动的非线性控制方法, 为一类结构未知并难以建立精确数学模型的复杂过程的控制问题提供了新途径. 文献[3]在文献[15]的基础上, 以氢氧化镍钴矿浆中和过程末槽出口矿浆pH值的控制为应用背景, 提出了一种非线性PID控制方法并取得了满意的控制效果, 但所提的方法没有对未知的未建模动态增量进行估计和补偿. 针对Pendubot系统, 文献[16-18]提出了几种不同的控制策略, 但均要求Pendubot系统模型精确已知. 当系统参数未知时, 文献[19-20]提出了一种模糊PID控制方法; 文献[21]提出了一种自适应滑模控制方法. 但文献[19-21]都没有考虑Pendubot的未知摩擦力对系统的影响. 文献[5]提出了一种补偿信号驱动法的非线性自适应平衡控制, 取得了良好的控制效果, 但所提的算法使得闭环系统方程较为复杂, 难以给出有效的PID控制器参数选择方案.
本文基于上述文献并结合文献[15]所提的控制思想, 将未建模动态及其未知增量补偿算法与PID控制相结合, 提出了未建模动态及其未知增量补偿驱动的非线性PID控制方法, 并应用于Pendubot平衡控制系统, 给出了PID控制器参数选择方法以及未建模动态补偿器设计的一般原则和方法. 在此基础上, 分析了闭环系统稳定性和收敛性. 最后, 将所提算法在Pendubot平衡控制系统上进行实验. 实验结果表明, 在Pendubot的精确摩擦力模型不能完全得到的情况下, 所提算法能有效地消除系统未知非线性特性的影响, 并尽可能地减少Pendubot摆角的波动, 将摆角控制在规定的目标值范围内.
1. 控制问题描述
复杂工业过程中一类难以用精确数学模型描述的单输入单输出(Single input single output, SISO)非线性被控对象可以描述为
$$\begin{split} y{\rm{(}}k{\rm{)}} =&\; f{\rm{[}}y{\rm{(}}k - 1{\rm{),}} \cdots {\rm{,}}y{\rm{(}}k - {n_A}{\rm{),}}u{\rm{(}}k - d{\rm{),}}\cdots {\rm{,}}\\ &u{\rm{(}}k - d - {n_B}{\rm{)]}} \end{split}$$ (1) 其中,
$ u(k) $ ,$ y(k) $ 分别为被控对象的输入和输出;$ d $ 为系统的时滞,$ d>1 $ ;$ n_A $ 和$ n_B $ 为模型阶次;$ f(\cdot)\in {\bf R} $ 是未知的非线性函数.在工作点附近, 可将式(1)化为由低阶线性模型和非线性项组成的形式, 即
$$ A\left({z^{ - 1}}\right)y(k + d) = B\left({z^{ - 1}}\right)u(k) + v(k) $$ (2) 其中,
$ A(z^{-1}) $ 和$ B(z^{-1}) $ 为关于$ z^{-1} $ 的多项式, 且$$ \begin{array}{c} A\left({z^{ - 1}}\right) = 1 + {a_1}{z^{ - 1}} + \cdots + {a_{{n_A}}}{z^{ - {n_A}}}\\ B\left({z^{ - 1}}\right) = {b_0} + {b_1}{z^{ - 1}} + \cdots + {b_{{n_B}}}{z^{ - {n_B}}} \end{array} $$ 其中,
$ a_{i}\,(i = 1,\cdots,n_{A}),b_{j}\,(j = 1,\cdots,n_{B}) $ 为在工作点处的一阶Taylor系数, 分别为$$ \begin{split} {a_i} = & - {\rm{ }}{\left. {\frac{{\partial f{\rm{[}}y{\rm{(}}k - 1{\rm{),}} \cdots {\rm{,}}u{\rm{(}}k - d - {n_B}{\rm{)]}}}}{{\partial y{\rm{(}}k - i{\rm{)}}}}} \right|_{ y{\rm{ = }}{y^{\rm{*}}} \atop u{\rm{ = }}{u^{\rm{*}}} }},\\ &\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad\quad\;\;\;\; i = 1, \cdots ,{n_A} \end{split} $$ (3) $$ \begin{split} {b_j} = &{\left. {\frac{{\partial f{\rm{[}}y{\rm{(}}k - 1{\rm{),}} \cdots {\rm{,}}u{\rm{(}}k - d - {n_B}{\rm{)]}}}}{{\partial u{\rm{(}}k - d - j{\rm{)}}}}} \right|_{ y{\rm{ = }}{y^ * } \atop u{\rm{ = }}{u^ * } }},\\ &\quad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\;\;\;\;\;\;\;\;\; j = 0, \cdots ,{n_B} \end{split} \quad $$ (4) $ v(k) $ 是高阶非线性函数, 称为未建模动态.由式(2)可知
$$ v(k) = y(k + d) + \bar A\left({z^{ - 1}}\right)y(k) - B\left({z^{ - 1}}\right)u(k) $$ (5) 其中,
$ \bar{A}(z^{-1}) = z^{-d}[A(z^{-1})-1] $ .从式(5)可以看出, 虽然
$ \bar{A}(z^{-1}) $ 和$ B(z^{-1}) $ 可通过系统的数据信息间接获得, 但$ y(k+d) $ 未知, 因而$ v(k) $ 未知. 考虑到未建模动态前$ d $ 拍的数据$ v(k-d) $ 可测, 因此, 当前时刻的$ v(k) $ 可间接地表示为可测的$ v(k-d) $ 与未知的未建模动态增量$ \Delta v(k) $ 之和, 即$$ v(k) = v(k-d)+\Delta v(k) $$ (6) 其中,
$ \Delta = 1-z^{-{{d}}} $ .于是, 模型(2)可以表示为
$$ A\left(z^{-d}\right)y(k+d) = B\left(z^{-1}\right)u(k)+v(k-d)+\Delta v(k) $$ (7) 本文针对式(7)进行控制器设计, 然后将控制算法应用于Pendubot平衡过程, 该过程的控制目标是: 针对Pendubot设计基于数据与未建模动态补偿的非线性PD (I = 0)控制器, 保证Pendubot平衡过程的输出
$ y(k) $ 跟踪设定值$ w(k) $ , 并使稳态误差小于预先确定的值$ {\varepsilon\,(\varepsilon\geq0)} $ , 即$$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\mid e(k)\mid = \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\mid w(k)-y(k)\mid\;\leq\varepsilon $$ (8) 由式(5)可以看出,
$ v(k) $ 与系统的输入和输出数据密切相关, 因此, 本文要求未建模动态$ v(k) $ 满足如下线性有界条件[22-23]:条件1.
$ \mid v(k)\le\gamma(k) \mid,\;\forall k $ ,$ \gamma(k) $ 是$ v(k) $ 的上界函数, 定义为$$ \gamma(k) = \varepsilon_{1}\|{{x}}(k)\|+\varepsilon_{2} $$ (9) 其中,
$ 0\leq\varepsilon_{1}<1 $ ,$\varepsilon_{2} > 0 $ .$ {{x}}(k) $ 是维数为$ p = n_A+ $ $ n_B+1 $ 的数据向量, 定义如下$$\begin{split} {{x}}(k)\,=&\;[y(k),\cdots ,y(k-n_{A}-1),u(k-d),\cdots,\\ &u(k-d-n_{B})]^{\rm{T}} \end{split}$$ 注1. 符合条件1的这种非线性被控对象在实际中广泛存在, 如柴油发动机动力传动系统的锤击声, 它随着柴机油功率的增大而增大. 再如DVD存储驱动系统、轴流式压缩机系统等[22-27].
2. 控制方法
2.1 控制器设计
采用文献[7]提出的控制器结构, 并结合本文对未建模动态的处理方式, 设计出带有未建模动态补偿的非线性PID控制方程如下:
$$ \begin{split} u(k) = \,&u(k - 1) + {K_P}\left[ {e(k) - e(k - 1)} \right] + {K_I}e(k) + \\ &{K_D}\left[ {e(k) - 2e(k - 1) + e(k - 2)} \right] - \\ &\bar K({z^{ - 1}})[v(k - d){\rm{ + }}\Delta v(k)] \\[-10pt]\end{split} $$ (10) 其中,
$ K_p $ ,$ K_I $ ,$ K_D $ 分别是PID控制器的比例、积分和微分系数,$ \bar{K}(z^{-1}) $ 是$ z^{-1 } $ 的多项式.$ e(k) $ 为跟踪误差, 定义为$$ e(k) = w(k)-y(k) $$ (11) 其中,
$ w(k) $ 是理想输出, 在Pendubot平衡过程控制中表示Pendubot的摆臂输出角度的设定值.$ v(k-d) $ 可利用被控过程的数据信息间接得到, 即$$ v(k-d) = A\left(z^{-1}\right)y(k)-B\left(z^{-1}\right)u(k-d) $$ (12) 由式(10), 利用单位迟滞算子
$ z^{-1} $ 可以推出$$ \begin{split} \left[1 - {z^{ - 1}}\right]u(k) = & \left[{{\bar g}_0} + {{\bar g}_1}{z^{ - 1}} + {{\bar g}_2}{z^{ - 2}}\right]e(k) - \\ &\bar K\left({z^{ - 1}}\right)\left[v(k - d){\rm{ + }}\Delta v(k)\right] \end{split} $$ (13) 其中,
$$ \bar{g}_{0} = K_{P}+K_{I}+K_{D} $$ (14) $$ \bar{g}_{1} = -K_{P}-2K_{D } \quad $$ (15) $$ \bar{g}_{2} = K_{D} \qquad\qquad\quad $$ (16) 由式(11), 式(10)可写为
$$ \begin{split} \bar H\left({z^{ - 1}}\right)u(k) =\, & \bar G\left({z^{ - 1}}\right)w(k) - \bar G\left({z^{ - 1}}\right)y(k) - \\ &\bar K\left({z^{ - 1}}\right)[v(k - d){\rm{ + }}\Delta v(k)] \end{split} $$ (17) 其中,
$ \bar{H} $ 、$ \bar{G} $ 和补偿项$ \bar{K} $ 都是$ z^{-1} $ 的加权多项式,$ \bar{H} $ 和$ \bar{G} $ 的阶次分别为$ {n_{\bar H}} = 1, {n_{\bar G}} = 2 $ ,$$ \bar{H}\left(z^{-1}\right) = 1-z^{-1} \quad\quad \quad\quad \quad $$ (18) $$ \bar{G}\left(z^{-1}\right) = \bar{g}_{0}+\bar{g}_{1}z^{-1}+\bar{g}_{2}z^{-2} $$ (19) 将控制器方程(17)代入被控对象模型(7)可得到闭环系统方程
$$ \begin{split} &\left[\bar H\left({z^{ - 1}}\right)A\left({z^{ - 1}}\right) + {z^{ - d}}B\left({z^{ - 1}}\right)\bar G\left({z^{ - 1}}\right)\right]y(k + d) = \\ &\qquad\qquad B\left({z^{ - 1}}\right)\bar G\left({z^{ - 1}}\right)w(k) + \\ &\qquad\qquad \left[\bar H\left({z^{ - 1}}\right) - B\left({z^{ - 1}}\right)\bar K\left({z^{ - 1}}\right)\right]v{\rm{(}}k - d{\rm{)}} +\\ &\qquad\qquad \left[\bar H\left({z^{ - 1}}\right) - B\left({z^{ - 1}}\right)\bar K\left({z^{ - 1}}\right)\right]\Delta v{\rm{(}}k{\rm{)}}\\[-10pt] \end{split} $$ (20) 从闭环系统方程(20)可以看出, 通过选择
$ \bar{G}(z^{-1}) $ , 即选择PID控制器的参数$ K_{P} $ ,$ K_{I} $ ,$ K_{D} $ 可以使$ \dfrac{B(z^{-1})\bar{G}(z^{-1})}{\bar{H}(z^{-1})A(z^{-1})+z^{-d}B(z^{-1})\bar{G}(z^{-1})} $ 的稳态增益为1. 通过选择$ \bar{K}(z^{-1}) $ 可以使$ \bar{H}(z^{-1}) $ 与$ B(z^{-1})\bar{K}(z^{-1}) $ 的差尽可能小, 以减小未建模动态$ v(k) $ 对被控对象输出的影响, 从而使被控对象的输出尽可能地跟踪理想输出.为确定PID控制器方程中的参数, 引入下列性能指标:
$$ \begin{split} J = &\left[ {P\left({z^{ - 1}}\right)y(k{\rm{ + }}d) - G\left({z^{ - 1}}\right)w(k) + Q\left({z^{ - 1}}\right)u(k)} \right.+ \\ &\left. {K\left({z^{ - 1}}\right)(v(k - d) + \Delta v(k))} \right]^2 \\[-10pt]\end{split} $$ (21) 其中,
$ P(z^{-1}) $ ,$ G(z^{-1}) $ ,$ Q(z^{-1}) $ ,$ K(z^{-1}) $ 均为关于$ z^{-1} $ 的加权多项式.令
$ P(z^{-1})y(k+d) $ 为广义输出$ \phi(k+d) $ , 即$$ \phi(k+d) = P\left(z^{-1}\right)y(k+d) $$ (22) 令
$$G(z^{-1})w(k)-Q(z^{-1})u(k)-K(z^{-1})(v(k-d)+\Delta v(k))$$ 为广义理想输出
$ y^{*}(k+d) $ , 即$$ \begin{split} {y^*}(k{\rm{ + }}d) =\, & G\left({z^{ - 1}}\right)w(k) - Q\left({z^{ - 1}}\right)u(k) - \\ &K\left({z^{ - 1}}\right)(v(k - d) + \Delta v(k)) \end{split} $$ (23) 广义输出与广义理想输出之间的误差定义为广义误差, 用
$ e_{g}(k+d) $ 表示, 即$$ \begin{split} {e_g}(k{\rm{ + }}d) &= P\left({z^{ - 1}}\right)y(k{\rm{ + }}d) - G\left({z^{ - 1}}\right)w(k)+\\ &Q\left({z^{ - 1}}\right)u(k)+K\left({z^{ - 1}}\right)(v(k - d) + \Delta v(k)) \end{split} $$ (24) 引入如下Diophantine方程
$$ P\left(z^{-1}\right) = F\left(z^{-1}A\left(z^{-1}\right)\right)+z^{-d}G\left(z^{-1}\right) $$ (25) 其中,
$$ n_{F} = d-1 \qquad\qquad\qquad\qquad$$ (26) $$ \bar{G}\left(z^{-1}\right) = \bar{g}_{0}+\bar{g}_{1}z^{-1}+\bar{g}_{2}z^{-2} $$ (27) 由式(7)和式(25)可得:
$$ \begin{split} P\left({z^{ - 1}}\right)&y(k{\rm{ + }}d)\,{\rm{ = }}\,G\left({z^{ - 1}})y(k\right) +H\left({z^{ - 1}}\right)u(k) + \\ &F\left({z^{ - 1}}\right)[v(k - d){\rm{ + }}\Delta v(k)] \\[-12pt]\end{split} $$ (28) 其中,
$$ H\left(z^{-1}\right) = F\left(z^{-1}\right)B\left(z^{-1}\right) $$ (29) 由式(22)和式(28)可得:
$$ \begin{split} \phi (k{\rm{ + }}d) = \,& G\left({z^{ - 1}}\right)y(k) + H\left({z^{ - 1}}\right)u(k)+ \\ & F\left({z^{ - 1}}\right)[v(k - d){\rm{ + }}\Delta v(k)] \end{split} $$ (30) 将式(30)代入式(21)使
$ J $ 最小化, 可得带有未建模动态补偿的非线性PID最优控制律为$$ \begin{split} &\left[H\!\left({z^{ - 1}}\right)\! +\! Q\!\left({z^{ - 1}}\right)\right]\!u(k) \!=\\&\qquad G\left({z^{ - 1}}\right)\!w(k) \!-\!G\!\left({z^{ - 1}}\right)\!y(k) -\\ &\qquad \left[ { K\left( {{z^{ - 1}}} \right) + F\left( {{z^{ - 1}}} \right)} \right]\left[ {v\left( {k - d} \right) + \Delta v\left( k \right)} \right] \end{split} $$ (31) 其中,
$ G(z^{-1}) $ 由Diophantine方程(25)唯一确定.首先离线选择
$ P(z^{-1}) $ 和$ Q(z^{-1}) $ , 使得:$$ \left| P\left(z^{-1}\right)B\left(z^{-1}\right)+Q\left(z^{-1}\right)A\left(z^{-1}\right)\right| \neq0,\quad \left| z \right| >1 $$ (32) 由选定的
$ P(z^{-1}) $ 和$ Q(z^{-1}) $ , 通过式(25)和式(33)可以获得$ \bar{G}(z^{-1}) $ .选择
$ \bar{K}(z^{-1}) $ 应满足$$ Q\left(z^{-1}\right) = B\left(z^{-1}\right)K\left(z^{-1}\right) $$ (33) 2.2 基于ANFIS的未建模动态增量估计算法
类似于文献[15], 采用由数据处理、基于自适应神经网络的模糊推理系统(Adaptive network-based fuzzy inference system, ANFIS)估计器、误差校正器和
$ \Delta v(k) $ 的估计值计算所组成的估计结构来估计未知的未建模动态增量$ \Delta v(k) $ . 与文献[15]的方法不同, 本文将低阶线性系统的参数变化以及未建模动态本身的变化量全部归于未建模动态, 并充分利用被控过程的历史大数据信息获得未建模动态的可测数据, 从而无需建立整个未建模动态的估计模型, 只需建立$ \Delta v(k) $ 的估计模型, 简化了估计模型的复杂度和估值计算的负担. 用估计值$ \Delta \hat{v}(k) $ 代替未知的$ \Delta v(k) $ 进行控制器设计, 并通过补偿器的设计来消除未建模动态对闭环系统的影响.当采用文献[15]的算法估计未建模动态未知增量
$ \Delta v(k) $ 时, 由于ANFIS具有万能逼近性[28], 因此, 只要选择合适的参数并充分训练ANFIS网络系统, 则对任意的正数$ \xi\geq0 $ , 由万能逼近定理可知, 必存在一个理想的ANFIS使得估计误差可以任意小, 定义估计误差为$ \bar{e}(k) $ , 则$ \bar{e}(k) $ 满足$$ \left| {\bar e(k)} \right|{\rm{ = }}\left| {\Delta v(k) - \Delta \hat v(k)} \right| \le \xi $$ (34) 由此, 带有未建模动态增量估计的非线性PID控制器方程为
$$ \begin{split} &\left[H\!\left({z^{-1}}\right)\! + \!Q\!\left({z^{ - 1}}\right)\right]\!u(k) \!=\\ &\qquad\qquad\; G\left({z^{-1}}\right)\!w(k) \!-\! G\!\left({z^{ - 1}}\right)\!y(k)\!-\!\\ &\qquad\qquad\; \left[K\left({z^{-1}}\right) + F\left({z^{-1}}\right)\right][v(k - d){\rm{ + }}\Delta \hat v(k)] \end{split} $$ (35) 注2. 在实际控制过程中需要实时计算ANFIS的输出, 随着网络结构复杂程度的增加, 计算量也会随之增加, 从而使整个控制器的复杂程度增加. 通过实验, 将网络的复杂程度与物理对象的实时性要求综合考虑, 将ANFIS的隶属度函数选为高斯型, 对ANFIS的每个输入量划分为3个模糊子集, 并将该结构固定, 使得计算复杂度不至发生急剧性增加.
2.3 控制器参数选择
为了使PID控制器参数设计简单, 令
$ d = 3 $ , 由式(26)可知,$ n_{F} = d-1 = 2 $ , 即$$ F\left(z^{-1}\right) = 1+f_{1}z^{-1}+f_{2}z^{-2} $$ (36) 由式(17), 式(29)和式(31)可知
$$ \begin{split} Q\left(z^{-1}\right) =\; &\bar{H}\left(z^{-1}\right)-H\left(z^{-1}\right) = \\ &1-z^{-1}-F\left(z^{-1}\right)B\left(z^{-1}\right) \end{split} $$ (37) 因此,
$ n_{Q} = 3 $ , 即$$ Q\left(z^{-1}\right) = q_{0}+q_{1}z^{-1}+q_{2}z^{-2}+q_{3}z^{-3} $$ (38) 由于低阶线性模型
$ A(z^{-1}) $ 的阶次为$ n_{A} = 3 $ ,$ n_{B} = 1 $ . 由于$ G(z^{-1}) $ 的阶次为$ n_{G} = 2 $ ,$ d = 3 $ , 则由式(25)可知,$ P(z^{-{1}}) $ 的阶次$ n_{P} = 5 $ , 即$$ \begin{split} P\!\left(z^{-1}\right) =\,p_{0}\!+\!p_{1}z^{-1}\!+\!p_{2}z^{-2}\!+\!p_{3}z^{-3}\!+\!p_{4}z^{-4}\!+\!p_{5}z^{-5} \end{split} $$ (39) 不等式(32)给出了离线选择
$ P(z^{-1}) $ 和$ Q(z^{-1}) $ 的原则, 当被控对象为最小相位时, 可设$ Q(z^{-1}) =$ $ Q_{1}(z^{-1})B(z^{-1}) $ , 由式(33)可知$ K(z^{-1}) = Q_{1}(z^{-1}) $ . 但在一般情况下, 因为$ Q(z^{-1}) $ 已经选定,$ B(z^{-1}) $ 已知,$ K(z^{-1}) $ 未知, 要使式(33)有解, 方程中各多项式$ Q(z^{-1}) $ ,$ B(z^{-1}) $ ,$ K(z^{-1}) $ 的阶次必须满足下列关系:$$ n_{K}+1\ge n_{B}+n_{K}+1,\quad n_{K}+1\ge n_{Q}+1 $$ (40) 即方程中未知数的个数大于或等于方程的个数, 故要求
$ n_{B} = 0 $ . 当$ n_{B}>0 $ 时, 式(33)只能求得$ K\left(z^{-1}\right) $ 的最小二乘解, 可补偿未建模动态, 但不能消除未建模动态. 当$ k\rightarrow\infty $ 且$ v(\infty) $ 为常数时, 选择$ K(z^{-1}) $ 为常数$ K(1) $ 且须满足$$ Q(1)-B(1)K(1) = 0 $$ (41) 此时, 可消除
$ v(\infty) $ 对被控对象输出的影响.根据试凑的多项式$ P(z^{-1}) $ , 可得$ G(z^{-1}) $ 的系数为$$ \left\{ \begin{aligned} &{g_0} = {p_3} - {a_{\rm{1}}}{p_{\rm{2}}}{\rm{ + }}a_1^2({p_{\rm{1}}} - {a_{\rm{1}}}) - {a_{\rm{2}}}{p_{\rm{1}}} + 2{a_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}} - {a_{\rm{3}}}\\ &{g_{\rm{1}}} = {p_4} - {a_{\rm{2}}}{p_{\rm{2}}}{\rm{ + }}a_1^{}{a_{\rm{2}}}({p_{\rm{1}}} - {a_{\rm{1}}}) - {a_{\rm{3}}}{p_{\rm{1}}} + a_2^2 + {a_{\rm{1}}}{a_{\rm{3}}}\\ &{g_{\rm{2}}} = {p_5} - {a_{\rm{3}}}{p_{\rm{2}}}{\rm{ + }}a_1^{}{a_{\rm{3}}}({p_{\rm{1}}} - {a_{\rm{1}}}) + {a_{\rm{2}}}{a_{\rm{3}}} \end{aligned} \right. $$ (42) 因此, PID参数计算公式为
$$ \left\{ \begin{aligned} {k_P} =\, & -\! \{ 2{p_5} + {p_4} - {a_{\rm{3}}}(2{p_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{p_{\rm{1}}}{\rm{) + (2}}{a_1}{a_{\rm{3}}}{\rm{ + }}{a_1}{a_{\rm{2}}})\times\! \\ &({p_{\rm{1}}} - {a_{\rm{1}}}) + {a_{\rm{2}}}(2{a_{\rm{3}}} - {p_{\rm{2}}} + {a_2}) + {a_{\rm{1}}}{a_{\rm{3}}}\} \\ {k_I} =\, &{p_3} + {p_4} + {p_5}{\rm{ + (}}a_1^2{\rm{ + }}{a_1}{a_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{a_1}{a_{\rm{3}}})({p_{\rm{1}}} - {a_{\rm{1}}}) - \\ &({a_{\rm{1}}} + {a_{\rm{2}}} + {a_{\rm{3}}}){p_{\rm{2}}} - ({a_{\rm{2}}} + {a_{\rm{3}}}){p_{\rm{1}}} + a_2^2 +\\ &2{a_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}} + {a_{\rm{2}}}{a_{\rm{3}}} + {a_{\rm{1}}}{a_{\rm{3}}} - {a_{\rm{3}}}\\ {k_D} = \,&{p_5} - {a_{\rm{3}}}{p_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{a_1}{a_{\rm{3}}}({p_{\rm{1}}} - {a_{\rm{1}}}) + {a_{\rm{2}}}{a_{\rm{3}}} \end{aligned} \right. $$ (43) 由于
$ n_{B} = 1 $ , 由式(39)可知,$ K(z^{-1}) $ 只能有最小二乘解. 设$$ K\left(z^{-1}\right) = \left(k_{0}+k_{1}z^{-1}\right)\left(1-z^{-1}\right) $$ (44) 且该最小二乘解为
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_0}}&{{k_1}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_0}}&0 \end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {b_0^2 + b_1^2}&{{b_0}{b_1}}\\ {{b_0}{b_1}}&{b_0^2 + b_1^2} \end{array}} \right)^{ - 1}} $$ (45) 3. 性能分析
本文给出闭环系统的性能分析. 为此需要首先给出下述引理.
引理1. 当带有未建模动态增量补偿的非线性PID控制器(35)作用于被控对象(7)时, 闭环系统的输入输出方程为
$$ \begin{split} &\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} \Gamma &0\\ 0&\Gamma \end{array}} \!\!\right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {y(k + d)}\\ {u(k)} \end{array}} \right] = \\ & \qquad\qquad\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {B\left({z^{ - 1}}\right)G\left({z^{ - 1}}\right)}\\ {A\left({z^{ - 1}}\right)G\left({z^{ - 1}}\right)} \end{array}} \right]w(k)+\\ &\qquad\qquad\left[\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {Q\left({z^{ - 1}}\right)\!\!\!- B\left({z^{ - 1}}\right)K\left({z^{ - 1}}\right)\!}\\ { - A\left({z^{ - 1}}\right)K\left({z^{ - 1}}\right) - P\left({z^{ - 1}}\right)} \end{array}} \right]v(k - d)+ \\ & \qquad\qquad\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {Q\left({z^{ - 1}}\right) + B\left({z^{ - 1}}\right)K\left({z^{ - 1}}\right)}\\ { - P\left({z^{ - 1}}\right)} \end{array}} \right]\Delta v(k)+\\ &\qquad\qquad\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {B\left({z^{ - 1}}\right)K\left({z^{ - 1}}\right) + H\left({z^{ - 1}}\right)}\\ {FA({z^{ - 1}})} \end{array}} \right]\bar e(k) \\[-25pt]\end{split} $$ (46) 其中,
$$ \varGamma\left(z^{-1}\right) = P\left(z^{-1}\right)B\left(z^{-1}\right)+Q\left(z^{-1}\right)A\left(z^{-1}\right) $$ 证明. 类似于文献[3]的证明方法, 容易证得引理1的结果成立, 这里不再赘述. □
定理1. 假定被控对象(1)满足下列条件:
1)
$ v(k) $ 满足条件1;2) 试凑
$ P(z^{-1}) $ 和$ Q(z^{-1}) $ 使其满足式(32).选择
$ K(z^{-1}) $ 使其在最小二乘意义下满足$$ Q\left(z^{-1}\right) = B\left(z^{-1}\right)K\left(z^{-1}\right) $$ (47) 并且在稳态时满足
$$ Q(z1) = B(1)K(1) $$ (48) 则存在一个正常数
$ \beta_{1} $ , 使得当$ \varepsilon_{1} <\beta_{1} $ 时, 基于数据与未建模动态增量补偿的非线性PID控制器(35)作用于被控对象(7)时, 闭环系统的输入输出信号一致有界(BIBO (Bounded input bounded output)稳定), 即$$ \mid y(k)\mid <\infty,\; \mid u(k)\mid <\infty $$ 并且, 闭环系统的稳态跟踪误差小于预先确定的值, 即
$$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\mid e(k)\mid = \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\mid w(k)-y(k)\mid\le\varepsilon $$ 证明. 由引理1, 根据闭环系统方程(46)以及式(32)可知, 闭环系统的特征多项式是稳定的, 采用类似于文献[3]的证明方法容易证得本定理的结果成立, 这里不再赘述. □
4. 对比实验
为验证本文算法的有效性, 将本文提出的控制算法在欠驱动系统Pendubot的平衡控制中分别进行数值仿真实验和物理实验.
由于驱动器数目少于系统自由度, 因此欠驱动系统具有体积小、重量轻、成本低、灵活性高等优点, 在工业领域得到了广泛应用, 如吊车、移动机器人、无人机等. Pendubot系统是一个典型的欠驱动基准系统, 具有多变量、欠驱动、不稳定、强非线性等综合复杂特性, 能有效反映控制理论中的许多典型问题, 如: 非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题及跟踪问题等, 是验证控制算法有效性的理想实验平台. 此外, 作为一个机械系统, Pendubot不可避免地受到摩擦的影响. 由于摩擦机理不清, 难以用数学模型精确描述, 且具有强非线性及未知时变不确定等综合复杂特性, 因此更增加了控制难度.
4.1 数值仿真
为了验证所提控制算法的有效性, 首先将所提算法在Pendubot平衡控制中进行数值仿真实验, 利用文献[29]提出的交替辨识算法并采用文献[30]的系统动态模型作为被控对象的仿真模型, 将本文方法和文献[30]的方法进行仿真对比实验. 仿真时, 被控对象模型表示如下:
$$ \begin{split} {{\ddot y}_1} = & \frac{1}{{{\theta _1}{\theta _2} - {\theta _3}^2{{\cos }^2}{y_2}}}\left[ {{\theta _2}{\theta _3}\sin {y_2}{{\left( {{{\dot y}_1} + {{\dot y}_2}} \right)}^2} + } \right.\\ &{\theta _3}^2\cos {y_2}\sin {y_2}{{\dot y}_1}^2 + {\theta _3}{\theta _5}g\cos {y_2}\cos \left( {{y_1} + {y_2}} \right) - \\ &\left. {{\theta _2}{\theta _4}g\cos {y_1} - {\theta _2}{f_1}\left( {{{\dot y}_1}} \right) + {\theta _2}u} \right]\\ {{\ddot y}_2} = & \frac{1}{{{\theta _1}{\theta _2} - {\theta _3}^2{{\cos }^2}{y_2}}}\times \\ &\left[ { - {\theta _3}\left( {{\theta _2} + {\theta _3}\cos {y_2}} \right)\sin {y_2}{{\left( {{{\dot y}_1} + {{\dot y}_2}} \right)}^2} } -\right.\\ &\left( {{\theta _1} + {\theta _3}\cos {y_2}} \right){\theta _3}\sin {y_2}{{\dot y}_1}^2 + \left( {{\theta _2} + {\theta _3}\cos {y_2}} \right) \times \\ &{\theta _4}g\cos {y_1} - \left( {{\theta _1} + {\theta _3}\cos {y_2}} \right){\theta _5}g\cos \left( {{y_1} + {y_2}} \right)+\\ &\left( {{\theta _2} + {\theta _3}\cos {y_2}} \right){f_1}\left( {{{\dot y}_1}} \right) - \left. {\left( {{\theta _2} + {\theta _3}\cos {y_2}} \right)u} \right] \end{split} $$ (49) 摩擦
$ f_1 $ 的模型为[30]$$ \begin{split} {f_1} =\; &{\gamma _1}\left( {\tanh {\gamma _2}\dot{{y_1}} - \tanh {\gamma _3}\dot{{y_1}}} \right) +\\ & {\gamma _4}\tanh {\gamma _5}\dot{{y_1}} + {\gamma _6}\dot{{y_1}} \end{split} $$ (50) 其中,
$ \gamma_{1} = 4.18 $ ,$ \gamma_{2} = 1.59 $ ,$ \gamma_{3} = 3.15 $ ,$ \gamma_{4} = 0.09 $ ,$ \gamma_{5} = 3.52 $ ,$ \gamma_{6} = 0.021 $ .线性模型参数为[5]
$$ \begin{split} {{A}} \left( {{z^{ - 1}}} \right) =\, & {{I}}+ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2.001}&0\\ 0&{ - 2.001} \end{array}} \right]{z^{ - 1}} +\\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.001}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]{z^{ - 2}}\\ {{B}} \left( {{z^{ - 1}}} \right) = & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {5.972 \times {{10}^{ - 5}}}\\ { - 4.543 \times {{10}^{ - 5}}} \end{array}} \right] \end{split} $$ 文献[30]基于非线性扰动观测器的平衡控制器为
$$ u = - {{K}} \bar e + {\hat f_1}\left( {{y_1}} \right) $$ 其中,
$ {{K}} $ 为控制器参数,$$ \bar e = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^{\rm{T}}} - y_{sp}^{\rm{T}}}&{{\dot{y}^{\rm{T}}} - \dot{y}_{sp}^{\rm{T}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}},\;\;{y_{sp}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{90}^ \circ }}&{{0^ \circ }} \end{array}} \right]^{\rm{T}} $$ $$ \begin{array}{l} {{\hat f}_1}\left( {{y_1}} \right) = - \left( {{k_{s1}} + {\alpha _1}} \right){{\hat f}_1}\left( {{y_1}} \right) + \frac{{{\mu _1}}}{\Xi }{\mathop{\rm sgn}} \left( {{y_1} - {{\hat y}_1}} \right) + \quad\\ \qquad\qquad \frac{{{\alpha _1}{k_{1s}}}}{\Xi }\left( {{y_1} - {{\hat y}_1}} \right)\\ \Xi = \dfrac{{{\theta _2}}}{{{\theta _1}{\theta _2} - {{\left( {{\theta _3}} \right)}^2}{{\cos }^2}{y_2}}} \end{array} \qquad $$ $$ \begin{array}{l} {{ \dot {\hat y}}_1} = \dfrac{1}{{{\theta _1}{\theta _2} - {{\left( {{\theta _3}} \right)}^2}{{\cos }^2}{y_2}}}\left[ {{\theta _2}{\theta _3}\sin {y_2}{{\left( {{{\dot y}_1}{\rm{ + }}{{\dot y}_2}} \right)}^2} + } \right.\\ \qquad{\left( {{\theta _3}} \right)^2}\cos {y_2}\sin {y_2}{{\dot y}_1}^2 + {\theta _3}{\theta _5}g\cos {y_2}\cos \left( {{y_1} + {y_2}} \right)-\\ \qquad\left. { {\theta _2}{\theta _4}g\cos {y_1} - {\theta _2}{{\hat f}_1}\left( {{{\dot y}_1}} \right) + {\theta _2}u} \right] \end{array} $$ 控制参数为
$ {{K}} \!\!=\![- 63.5\, - 49.7\, - 9.7\,- 4.6], {k_{s1}}\!\! =$ $500, $ $ \alpha \!=\! 250,\,{\mu _1} \!=\! {10^{ - 5}} $ . 系统初始位置为$ {{y}}\left( k \right) = $ $ [ - {{90}^ \circ }\;\;{0^ \circ }]^{\rm{T}} $ , 利用部分反馈线性化[31], 设计$ {K_P} = $ 77.78, KD=5.56, 当$ {y_1}\left( k \right), {y_2}\left( k \right) $ 满足$ {78^ \circ }\le $ ${y_1}\left( k \right) $ $\le {102^ \circ } $ 且$ {-23^ \circ } \le {y_2}\left( k \right) \le$ $ {23^ \circ }$ 时进行切换. 仿真对比实验结果如图1所示.
两种控制方法的性能比较如表1所示.
表 1 性能评价Table 1 Performance indexes绝对误差累积和 误差均方差 文献[30] 23 396.5 2.7 本文方法 8 156.1 1.8 由图1和表1可以看出, 由于文献[30]采用摩擦观测器存在观测误差, 从而影响控制效果. 采用本文的控制算法时, 控制效果明显优于文献[30], 而且绝对误差累积和与误差均方差都大幅减小.
4.2 三种方法的物理对比实验
为了进一步验证所提控制算法的有效性和实用性, 将所提算法在Pendubot平衡控制中进行物理实验, 并与文献[30]的控制方法及常规PD控制方法进行对比.
实验采用的Pendubot倒立摆系统包含三部分: 上位机、网络化控制器和Pendubot. 其中, 上位机与控制器之间通过局域网连接, 控制器与Pendubot之间通过排线相连接, 如图2所示.
Pendubot主动臂额定空载速度为2 000 r/min, 额定电压为90 V. 测量主动臂和欠驱动臂的角度精度为1 250脉冲/圈. Pendubot系统的初始位置为
$ {{y}}\left( k \right) =$ $ {\left[ { - {{90}^ \circ }\;\;{0^ \circ }} \right]^{\rm{T}}} $ , 选择$ {K_P} = 66.35, {K_D} = 9.92 $ , 切换条件为$ {78^ \circ } \le{y_1}\left( k \right) \le {102^ \circ } $ 且$ {-23^ \circ } \le {y_2}\left( k \right) \le {23^ \circ } $ , 采样周期为2 ms. 模型参数为$$ \begin{split} {{A}}\left( {{z^{ - 1}}} \right) = \,& {{I}} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2.001}&0\\ 0&{ - 2.001} \end{array}} \right]{z^{ - 1}} +\\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{1}}{\rm{.001}}\;\;}&0\\ {0\;\;}&1 \end{array}} \right]{z^{ - 2}}\\ {{B}}\left( {{z^{ - 1}}} \right) = & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3.532 \times {{10}^{ - 4}}}\\ { - 2.843 \times {{10}^{ - 4}}} \end{array}} \right] \end{split} $$ 三种方法的实验结果如图3所示; 三种控制算法的性能比较见表2.
表 2 性能评价Table 2 Performance indexes绝对误差累积和 误差均方差 常规PD 361.1 6.5 文献[30] 337.3 6.1 本文方法 204.3 4.2 由图3和表2可以看出, 采用本文的控制方法时, 系统的各项性能指标均为最小, 与文献[30]的控制方法和常规PD控制方法相比, 本文的控制算法使得系统的绝对误差累积和误差均方差都减小了, 控制效果明显优于文献[30]的控制方法和常规PD控制方法.
注3. 由图3可以看出, 物理实验结果存在小幅震荡, 主要原因在于, 实际中摩擦力(特别是静摩擦)是尚未明悉的物理现象, 依赖模型的补偿能够在一定程度上减小摩擦的影响, 但完全消除摩擦的影响存在一定困难[32], 而且, 为简单起见, 实验中采用未建模动态增量信息近似代替也会影响控制效果.
5. 结论
本文主要针对一类机理不清并具有强非线性特性的复杂过程, 将数据驱动控制、常规PID控制算法、未建模动态补偿技术及其增量估计算法相结合, 提出了未建模动态及其未知增量补偿驱动的非线性PID控制方法, 并应用于Pendubot的平衡控制过程. 为解决PID控制器参数难以整定的问题, 将一步超前最优控制策略与PID控制器参数设计算法相结合, 给出了PID控制器参数以及非线性补偿器的设计方法, 为传统PID控制器参数的整定问题提供了方法和途径. 分析了闭环系统的稳定性和收敛性. 最后, 将所提的控制算法分别进行数值仿真以及在Pendubot平衡过程进行物理实验, 并与文献中的相关方法进行对比, 实验结果表明了所提方法的有效性和实用性.
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[1] 赵大勇, 柴天佑. 再磨过程泵池液位区间与给矿压力模糊切换控制. 自动化学报, 2013, 39(5): 556−564Zhao Da-Yong, Chai Tian-You. Fuzzy switching control for sump level interval and hydrocyclone pressure in regrinding process. Acta Automatica Sinica, 2013, 39(5): 556−564 [2] 贾瑶, 张立岩, 柴天佑. 矿浆中和过程中基于模型预估模糊自适应控制. 东北大学学报, 2014, 35(5): 617−621 doi: 10.3969/j.issn.1005-3026.2014.05.003Jia Yao, Zhang Li-Yan, Chai Tian-You. Based on fuzzy adaptive control of model predictive in slurry neutralization process. Journal of Northeastern University Natural Science, 2014, 35(5): 617−621 doi: 10.3969/j.issn.1005-3026.2014.05.003 [3] Zhang Y J, Jia Y, Chai T Y, Wang D H, Dai W, Fu J. Data-driven PID controller and its application to pulp neutralization process. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2018, 26(3): 828−841 doi: 10.1109/TCST.2017.2695981 [4] Xia D Y, Chai T Y, Wang L Y. Fuzzy neural-network friction compensation-based singularity avoidance energy swing-up to nonequilibrium unstable position control of Pendubot. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2014, 22(2): 690−705 doi: 10.1109/TCST.2013.2255290 [5] 魏萃, 柴天佑, 贾瑶, 王良勇. 补偿信号法驱动的Pendubot自适应平衡控制. 自动化学报, 2019, 45(6): 1146−1156Wei Cui, Chai Tian-You, Jia Yao, Wang Liang-Yong. Compensation signal driven adaptive balance control of the Pendubot. Acta Automatica Sinica, 2019, 45(6): 1146−1156 [6] Chen L, Narendra K S. Nonlinear adaptive control using neural networks and multiple models. Automatica, 2001, 37(8): 1245−1255 doi: 10.1016/S0005-1098(01)00072-3 [7] Fu Y, Chai T Y. Nonlinear multivariable adaptive control using multiple models and neural networks. Automatica, 2007, 43(8): 1101−1110 [8] 柴天佑, 张亚军. 基于未建模动态补偿的非线性自适应切换控制方法. 自动化学报, 2010, 37(7): 773−786Chai Tian-You, Zhang Ya-Jun. Nonlinear adaptive switching control method based on un-modeled dynamics compensation. Acta Automatica Sinica, 2010, 37(7): 773−786 [9] Wang Y G, Chai T Y, Fu J, Zhang Y J, Fu Y. Adaptive decoupling switching control based on generalized predictive control. IET Control Theory and Application, 2012, 12(6): 1−12 [10] Wang Y G, Chai T Y, Fu J, Sun J, Wang H. Adaptive decoupling switching control of the forced-circulation evaporation system using neural networks. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2013, 21(3): 964−974 doi: 10.1109/TCST.2012.2193883 [11] Hou Z S, Jin S T. Data-driven model-free adaptive control for a class of MIMO nonlinear discrete-time systems. IEEE Transactions on Neural Networks, 2011, 22(12): 2173−2188 doi: 10.1109/TNN.2011.2176141 [12] Zhu Y M, Hou Z S. Data-driven MFAC for a class of discrete-time nonlinear systems with RBFNN. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 2014, 25(5): 1013−1020 [13] Dai W, Chai T Y, Yang S X. Data-driven optimization control for safety operation of hematite grinding process. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2015, 62(5): 2930−2941 doi: 10.1109/TIE.2014.2362093 [14] Chi R H, Liu Y, Hou Z S, Jin S T. Data-driven terminal iterative learning control with high-order learning law for a class of non-linear discrete-time multiple-input–multiple output systems. IET Control Theory and Applications, 2015, 9(7): 1075−1082 [15] Chai T Y, Zhang Y J, Wang H, Su C Y, Sun J. Data-based virtual un-modeled dynamics driven multivariable nonlinear adaptive switching control. IEEE Transactions on Neural Networks, 2011, 22(12): 2154−2171 doi: 10.1109/TNN.2011.2167685 [16] Spong M W, Block D J. The Pendubot: A mechatronic system for control research and education. In: Proceedings of the 34th IEEE Conference on Decision and Control.New Orleans, LA, USA: IEEE, 1995. 555−556 [17] Zhang M J, Tzyh-Jong T. Hybrid control of the Pendubot. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2002, 7(1): 79−86 doi: 10.1109/3516.990890 [18] Xin X, Liu Y N. Reduced-order stable controllers for two- link underactuated planar robots. Automatica, 2013, 49(7): 2176−2183 doi: 10.1016/j.automatica.2013.03.027 [19] Sanchez E N, Flores V. Real-time fuzzy PI+PD control for an underactuated robot. In: Proceedings of the 2002 IEEE Internatinal Symposium on Intelligent Control. Vancouver, BC, Canada: IEEE, 2002. 137−141 [20] 侯俊, 王良勇, 柴天佑, 方正. 基于T-S模糊的欠驱动机械臂的平衡控制. 控制工程, 2012, 19(1): 5−8, 85 doi: 10.3969/j.issn.1671-7848.2012.01.002Hou Jun, Wang Liang-Yong, Chai Tian-You, Fang Zheng. Balance control of underactuated manipulator using T-S fuzzy scheme. Control Engineering of China, 2012, 19(1): 5−8, 85 doi: 10.3969/j.issn.1671-7848.2012.01.002 [21] Wang W, Yi J Q, Zhao D B, Liu X J. Adaptive sliding mode controller for an underactuated manipulator. In: Proceedings of the 2004 International Conference on Machine Learning and Cybernetics. Shanghai, China: IEEE, 2004. 882−887 [22] Spall J C, Cristion J A. Model-free control of nonlinear stochastic systems with discrete-time measurements. IEEE Transactions on Automatic Control, 1998, 43(9): 1198−1210 doi: 10.1109/9.718605 [23] Hjalmarsson H, Gevers M, Gunnarsson S, Lequin O. Iterative feedback tuning: Theory and applications. IEEE Control Systems Magazine, 1998, 18(4): 26−41 doi: 10.1109/37.710876 [24] Agnoloni T, Mosca E. Controller falsification based on multiple models. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 2003, 17(2): 163−177 doi: 10.1002/acs.745 [25] Safonov M G, Tsao T C. The unfalsified control concept and learning. IEEE Transactions on Automatic Control, 1997, 42(6): 843−847 doi: 10.1109/9.587340 [26] Campi M C, Lecchini A, Savaresi S M. Virtual reference feedback tuning: A direct method for the design of feedback controllers. Automatica, 2002, 38(8): 1337−1346 doi: 10.1016/S0005-1098(02)00032-8 [27] Markovsky I, Rapisarda P. Data-driven simulation and control. International Journal of Control, 2008, 81(12): 1946−1959 doi: 10.1080/00207170801942170 [28] Jang J S R. ANFIS: Adaptive-network-based fuzzy inference system. IEEE Transactions on System, Man, Cybernetics, 1993, 23(3): 665−685 doi: 10.1109/21.256541 [29] Zhang Y J, Chai T Y, Wang D H. An alternating identification algorithm for a class of nonlinear dynamical systems. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 2017, 28(7): 1606−1617 doi: 10.1109/TNNLS.2016.2547968 [30] Eom M, Chwa D. Robust swing-up and balancing control using a nonlinear disturbance observer for the Pendubot system with dynamic friction. IEEE Transactions on Robotics, 2015, 31(2): 331−343 doi: 10.1109/TRO.2015.2402512 [31] Sun N, Fang Y C, Chen H, Lu B, Fu Y M. Slew/Translation positioning and swing suppression for 4-DOF tower cranes with parametric uncertainties: Design and hardware experimentation. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2016, 63(10): 6407−6418 [32] 王永富, 柴天佑. 一种补偿动态摩擦的自适应模糊控制方法. 中国电机工程学报, 2005, 25(2): 139−143Wang Yong-Fu, Chai Tian-You. Adaptive fuzzy control method for dynamic friction compensation. Proceedings of the CSEE, 2005, 25(2): 139−143 期刊类型引用(5)
1. 赵华荣，彭力，吴治海，谢林柏，于洪年. 随机时延下多输入多输出多智能体系统事件触发双向编队. 控制与决策. 2024(04): 1251-1259 . 
百度学术2. 薛永建，刘高文，马佳乐，白杨，龚文彬，林阿强. 涡轮发动机供气系统流量和压力的控制方案. 航空动力学报. 2024(10): 478-489 . 百度学术3. 徐玉龙，王学林，张磊，王鹏. 欠驱动两自由度机械臂LQG/LTR控制. 科学技术与工程. 2023(06): 2485-2491 . 百度学术4. 孙霄阳，周平. 基于未知状态估计与神经网络补偿的增强PID控制方法. 中国科学:信息科学. 2023(04): 715-736 . 百度学术5. 王树波，那靖，任雪梅. 面向性能增强的双惯量伺服系统状态反馈控制. 自动化学报. 2023(04): 904-912 . 本站查看其他类型引用(14)
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