全局优化问题广泛存在于经济、管理、自动控制、工程优化等领域中, 其数学模型可描述为:

其中, $ {{\pmb X}} \in R^D $为决策向量, $ x_i \in [l_i, u_i]{\kern 1pt} {\kern 1pt} (i = 1, 2, \cdots, D) $, $l_i$和$u_i$分别为$x_i$的边界.

对于具有高维、非线性、目标函数不可导等特点的复杂全局优化问题, 传统的优化方法通常不能有效地求解, 而基于群体搜索的智能优化算法对该类问题却获得较好的求解效果.因此, 基于群体搜索的智能优化算法极大地引起了进化计算领域相关学者的关注和研究.在过去的20余年里, 许多基于群体智能的优化算法如粒子群优化算法^[1]、人工蜂群算法^[2]、花朵授粉算法^[3]、差分进化算法^[4]、布谷鸟搜索算法^[5]、鲸鱼优化算法^[6]等相继被提出和用于求解复杂全局优化问题.

灰狼优化(Grey wolf optimizer, GWO)算法是由澳大利亚学者Mirjalili等^[7]于2014年提出的一种新型基于群体智能的优化方法, 它源于对自然界中灰狼群体社会等级制度和捕食行为的模拟, 通过跟踪追捕、包围和攻击等过程, 构建一种有效的优化方案. GWO算法原理简单、易于编程实现、需调节的参数少, 在电力系统^[8]、自动控制^[9]、图像处理^[10]、能源市场战略招标^[11]、机器学习^[12]、航路规划^[13]等领域中有着成功的应用.

然而, 与其他群体智能优化算法相似, GWO算法也存在求解精度低、收敛速度慢和易陷入局部最优等缺点, 在解决复杂高维优化问题时尤甚.为了克服这些缺陷, 研究学者提出了许多性能较好的改进GWO算法, 其大体上分为以下4类:

1) 修改控制参数策略.在GWO算法中, $ {{\pmb A}} $和$ {{\pmb C}} $是两个关键的控制参数, 在平衡算法的勘探和开采能力中起重要作用.然而, $ {{\pmb A}} $又依赖于另一个参数$ {{\pmb a}} $, 因此, 对参数$ {{\pmb a}} $的研究较多. Mittal等^[14]提出一种基于指数衰减函数的控制参数$ {{\pmb a}} $策略以增强算法的全局勘探能力. Rodríguez等^[15]设计出一种基于模糊逻辑动态自适应调整控制参数$ {{\pmb a}} $策略以协调算法的勘探和开采能力.受粒子群优化算法启发, Long等^[16]提出一种基于对数衰减函数的非线性控制参数$ {{\pmb a}} $策略以增强算法的开采能力.魏政磊等^[17]比较采用正弦、余弦、正切、对数和二次函数等非线性策略调整控制参数$ {{\pmb a}} $, 结果表明, 采用余弦和二次函数的策略得到较好的性能.关于控制参数$ {{\pmb C}} $, Rodríguez等^[15]提出一种基于模糊逻辑的动态自适应调整策略.

2) 修改位置更新方程.在GWO算法中, 通过决策层个体($\alpha$、$\beta$和$\delta$)引导进行搜索, 位置更新方程对算法收敛提供了较大的帮助.然而, 在搜索后期易出现早熟收敛现象.为了避免算法陷入局部最优, 研究者提出许多修改位置更新方程策略. Long等^[18]从群体中随机选择个体与当前个体进行差分操作产生新个体, 从而提高群体的多样性, 减少算法陷入局部最优的概率. Rodríguez等^[19]引入平均权重、基于适应度的权重和模糊动态权重修改位置更新方程, 产生更多有潜力的新个体以增强群体多样性. Jaiswal等^[20]引入随机权重系数修改位置更新方程产生新个体, 帮助种群跳出局部最优. Malik等^[21]将权重距离系数引入到位置更新方程中, 该修改方程对复杂多峰函数特别有效.魏政磊等^[22]根据当前个体适应度与群体平均适应度的比值来更新个体位置, 提出一种自适应位置更新方程策略.受粒子群算法启发, Long等^[16]引入惯性权重系数、结合个体自身经历过的最优位置和全局最优个体位置, 构建一种修改的位置更新方程策略.

3) 与其他算法的混合.不同的算法具有不同的搜索能力.因此, 与其他算法混合也是GWO改进的研究方向.一个较直接的思路是将GWO与其他群体智能优化算法混合, 例如:遗传算法^[23]、粒子群算法^[24]、乌鸦搜索算法^[25]、布谷鸟搜索算法^[26]、地理生物学优化算法^[27]等.另一种重要的思路是将GWO与其他局部搜索方法混合, 比如: Powell局部搜索方法^[28]、模式搜索方法^[29].

4) 引入新的算子. Lu等^[30]将拓扑结构算子引入到GWO中, 提出一种细胞GWO算法.每个个体有自身的拓扑邻居, 个体之间的相互作用仅限于邻居, 有助于增强算法的开采能力. Rodríguez等^[19]引入一种新的模糊等级算子, 该算子利用模糊逻辑动态自适应调整每只狼的权重以平衡算法的全局和局部搜索能力. Heidari等^[31]引入Lévy飞行算子以增强GWO算法的全局勘探能力, 避免算法陷入局部最优. Gupta等^[32]将随机步行算子引入到GWO算法中.随机步行算子可以增强种群多样性.

虽然大多数改进GWO算法引入额外的算子或新的机制以改善性能, 但早熟收敛、全局勘探和局部开采能力不平衡的问题仍然存在.因此, 本文提出一种新的改进GWO算法(Lens imaging learning grey wolf optimizer, LIL-GWO).本文的主要贡献描述如下:

1) 设计一种修改的控制参数策略以平衡算法的全局勘探和局部开采能力.

2) 提出一种基于光学透镜成像原理的反向学习策略以帮助群体跳出局部最优.

3) 证明了LIL-GWO算法的收敛性.

1.   背景知识

1.1   灰狼优化算法

GWO算法是模仿自然界中灰狼群体的社会等级和捕食行为而衍生出的一种优化方法^[7].灰狼群体的社会等级分别为$\alpha$狼、$\beta$狼、$\delta$狼和$ \omega $狼.狼群的捕食行为分为三个步骤:跟踪追捕、包围和攻击猎物.

狼群包围猎物的数学模型为^[7]:

其中, $ {{\pmb X}} $和$ {{\pmb X}}_p $分别为灰狼个体和猎物的位置向量, $t$为当前迭代次数, $ {{\pmb A}} $和$ {{\pmb C}} $称为系数向量:

其中, $ {\pmb{r}}_1 $和${\pmb{r}}_2 $分别为$[0, 1]$间的随机向量, $ {{\pmb a}} $称为距离控制参数, 其值随迭代次数增加而从2线性减小到0, 即

式中, $MaxIter$为最大迭代次数.

狼群攻击猎物的数学模型为^[7]:

其中, $ {{\pmb X}}_\alpha $、$ {{\pmb X}}_\beta $和$ {{\pmb X}}_\delta $分别为$\alpha$、$\beta$和$\delta$狼的位置向量, $ {{\pmb A}}_1 $、${{\pmb A}}_2$和${{\pmb A}}_3$的计算相似于${{\pmb A}}$、${{\pmb C}}_1$、${{\pmb C}}_2$和${{\pmb C}}_3$的计算相似于${{\pmb C}}$.

基本GWO算法的伪代码如算法1所示.

算法1.   基本GWO算法.

输入:种群规模$N$, 迭代次数$t$, 最大迭代次数$MaxIter$;

输出: ${ {\pmb X}}_\alpha $

1.在搜索空间中随机初始化$N$个灰狼个体构成初始种群

2.初始化参数${ {\pmb A}}$、${ {\pmb a}}$和${ {\pmb C}}$的值;

3.计算每个灰狼个体的适应度值$f({{\pmb X}}_i)$, $i=1, 2, \cdots, N$;

4.记录${ {\pmb X}}_\alpha $、${ {\pmb X}}_\beta $和${ {\pmb X}}_\delta $的值, 令$t=0$;

5.WHILE $t < MaxIter$;

6. FOR $i=1$ TO $N$ DO;

7.根据式(6)~(9)更新第$i$只灰狼的位置

8. END FOR

9.根据式(4)计算距离控制参数${ {\pmb a}}$的值;

10.根据式(2)和(3)更新参数${ {\pmb A}}$和${ {\pmb C}}$的值;

11.计算每个个体的适应度值$f({ {\pmb X}}_i)$, $i=1, 2, \cdots, N$;

12.更新${{\pmb X}}_\alpha $、${ {\pmb X}}_\beta $和${ {\pmb X}}_\delta $的值;

13. $t=t+1$;

14.END WHILE

1.2   光的透镜成像原理

凸透镜成像规律是一种光学定律, 它是指将物体放在焦点之外, 在凸透镜另一侧成倒立的实像.其原理如图 1所示.

图 1  光的凸透镜成像原理图

Fig. 1  The convex lens image of light

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由图 1可得出透镜成像公式:

其中, $u$为物距, $v$为像距, $f$为透镜焦距.

2.   基于透镜成像学习的GWO算法

在利用群体智能算法求解复杂高维全局优化问题时, 如何平衡算法的收敛性和种群多样性至关重要. GWO作为一种群体智能算法, 也需要解决这个问题.目前, 研究学者为了平衡收敛性和多样性, 提出了一系列的改进GWO算法.没有免费午餐定理(No free lunch, NFL)^[33]指出, 任何一种优化算法不可能解决所有类型的优化问题, 只对某些特定的问题有效.这就是本文改进GWO算法的动机所在.

2.1   修改控制参数C策略

由式(2)可知, GWO算法的全局勘探能力主要取决于控制参数${{\pmb C}}$向量^{[7, 34]}, ${{\pmb C}}$的取值是为了能随机增加$({{\pmb C}} > {\rm{1}})$或减轻$({{\pmb C}} < 1)$灰狼群体靠近猎物的难易程度.然而, 目前对控制参数${{\pmb C}}$的研究鲜有文献报道.为了说明当$ {{\pmb C}}{\rm{ > 1}}$和$ {{\pmb C}}{\rm{ < 1}}$时, GWO算法的全局勘探和局部开采能力的转换, 对多个不同类型的测试函数进行实验, 得出相同的结论.限于篇幅, 图 2只给出了GWO算法求解2个标准测试函数(Sphere和Alpine)的收敛曲线, 其中, Sphere是单峰函数, Alpine是多峰函数, 函数维数设置为$D = 30$, 种群规模为$N = 30$, 最大迭代次数为$MaxIter = 500$.

图 2  GWO算法对两个测试函数的收敛曲线

Fig. 2  Convergence curves of GWO for two test functions

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从图 2可以清晰地看出, 不管是单峰还是多峰函数, 与$({{\pmb C}} < 1)$相比, 当$({{\pmb C}} > {\rm{1}})$时, GWO算法具有较强的局部开采能力和较快的收敛速度.另外, 在算法搜索前期阶段, $({{\pmb C}} > {\rm{1}})$也具有较强的全局勘探能力.而在前期$({{\pmb C}} < 1)$具有较强的局部开采能力.

为了平衡GWO算法的全局勘探和局部开采能力, 本文提出一种修改的控制参数${{\pmb C}}$策略, 其具体表达式如下:

其中, $ {{\pmb a}} $的值由式(5)计算可得, $ {\pmb{r}}_3 $是$[0.5, ~1.5]$之间的随机向量.

与式(4)相比, 式(11)具有如下特点:一般来说, 在算法迭代前期, 种群具有较好的多样性, 此阶段的目的是加快收敛速度, 式(11)能较好地满足这一目的.原因是由于距离控制参数$ {{\pmb a}} $是随迭代次数增加而从2线性递减到0, 因此, 在算法迭代的前期, 控制参数${{\pmb C}}$的值小于1的几率增大, 这时算法具有较强的开采能力.随着迭代次数的增加, $ {{\pmb a}} $的值逐渐减小, 由式(11)可知, 参数${{\pmb C}}$的值大于1的几率增大, 加快局部精确搜索显得尤为重要.因此, 式(11)能有效地平衡算法的全局勘探和局部开采能力.图 3给出了由式(4)和式(11)计算得到的参数${{\pmb C}}$值的分布, 从图 3中可以更直观地验证式(11)的特点.

图 3  式(4)和式(11)计算得到的${{\pmb C}}$值

Fig. 3  ${{\pmb C}}$ values calculated by Eqs. (4) and (11)

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2.2   透镜成像反向学习策略

由式(6)~(9)可知, 群体中其他狼在$\alpha$狼、$\beta$狼和$\delta$狼的领导下更新自身位置.然而, 如果$\alpha$、$\beta$和$\delta$均处于局部最优时, 则整个群体均聚集在局部最优区域, 导致种群多样性降低, 算法易陷入局部最优.这一情形在求解复杂高维优化问题时尤甚.图 4给出了GWO算法求解Sphere函数时30个种群在不同迭代次数时的分布情况, 为了更好地显示效果, 问题维数设置为2维, 变量的搜索区间设置为$[-10, ~10]$.

图 4  GWO算法求解Sphere函数$(D = 2)$时30个种群个体分布情况

Fig. 4  Population distribution observed at various stages in GWO for solving Sphere function $(D =2)$

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从图 4可以清晰地看出, 在GWO算法进化初期, 灰狼个体能较分散地分布在搜索空间中, 这时, 种群多样性较好, 具有较强的全局勘探能力.随着迭代搜索过程的进行, 群体中其他灰狼个体受$\alpha$、$\beta$和$\delta$狼的引导, 朝最优区域逐渐逼近.在算法进化搜索末期, 种群中所有灰狼个体均聚集在一个狭小的区域, 导致种群多样性降低, 如果$\alpha$是一个局部最优解, 那么GWO算法容易陷入局部最优, 在处理复杂高维优化问题时尤甚.为了增强GWO算法的全局勘探能力, 本文提出一种基于透镜成像原理的反向学习策略, 并将其应用到当前最优个体上产生新的个体, 具体描述过程如下:

定义1.   反向点^[35]:假设$ {{\pmb X}} = (x_1, x_2, \cdots, x_D) $为$D$维空间中的一个点, 且$ x_j \in [a_j, b_j]{\kern 1pt} {\kern 1pt} j = 1, 2, \cdots, D $, 则$ {{\pmb X}} $的反向点表示为$ {{\pmb X}'} = (x'_1, x'_2, \cdots, x'_D) $, 且$ x'_j = a_j + b_j - x_j $.

定义2.   基点^[36]:若$D$维空间中存在若干个点$ o_1, o_2, \cdots, o_m $, 对于任意一点$ {{\pmb X}} = (x_1, x_2, \cdots, x_D) $与其反向点$ {{\pmb X}'} = (x'_1, x'_2, \cdots, x'_D) $到$ o_i$ $(i = 1, $ $2, \cdots, m) $的欧氏距离分别为$ d_i $和$ d'_i $, 令$ k = d_i /d'_i $, 且$ k = 1, 2, \cdots, n $, 则$ o_i $被称为$ {{\pmb X}} $与$ {{\pmb X'}} $在$ k = i $时的基点.

以一维空间为例, 假设有一高度为$h$的个体$P$, 它在坐标轴上的投影为$ x^* $ ($ x^* $为全局最优个体), 基点位置$ o $ (本文取基点为$ [a, b] $的中点)上放置焦距为$f$的透镜, 通过透镜成像过程可得到一个高度为$ h' $的像$ P' $, 它在坐标轴上的投影为$ x'^* $.因此, 可得到全局最优个体$ x^* $基于透镜成像原理的反向学习策略产生反向个体$ x'^* $, 如图 5所示.

图 5  基于透镜成像的反向学习策略示意图

Fig. 5  Opposition learning strategy based on lens image

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在图 5中, 全局最优个体$ x^* $以$ o $为基点得到其对应的反向点$ x'^* $, 由透镜成像原理可以得出:

令$ h/h' = k $, $k$称为缩放因子, 对式(12)进行变换即可得到反向点的计算公式$ x'^* $:

显然, 当$k = 1$时, 式(13)可简化为:

式(14)即为作用在$ x^* $上且中心位置在$ \left[{- \frac{{a + b}}{2}, \frac{{a + b}}{2}} \right] $的一般反向学习策略^[35].由式(13)和式(14)可以清晰地看出, 一般反向学习策略只是透镜成像学习策略的一种特例.基于一般反向学习策略得到的新候选个体是固定的, 通过调整$k$, 基于透镜成像学习策略得到的新候选个体是动态的, 从而更进一步增强群体的多样性.

一般地, 将式(13)所示的基于透镜成像原理的反向学习策略推广到$D$维空间可得到:

其中, $ x^*_j $和$ x'^*_j $分别为$ x^* $和$ x'^* $的第$j$维分量, $ a_j $和$ b_j $分别为决策变量的上下界的第$j$维分量.

2.3   LIL-GWO算法伪代码

综上所述, LIL-GWO的伪代码如算法2所示.

算法2.   LIL-GWO算法.

输入:种群规模$N$, 缩放因子$k$, 迭代次数$t$, 最大迭代次数$MaxIter$

输出: $ {{\pmb X}}_\alpha $

1.在搜索空间中随机初始化$N$个灰狼个体构成初始种群;

2.初始化参数$ {{\pmb A}} $、$ {{\pmb a}} $和$ {{\pmb C}} $的值;

3.计算每个灰狼个体的适应度值$ f({{\pmb X}}_i) $, $ i = 1, 2, \cdots, N $;

4.记录$ {{\pmb X}}_\alpha $、$ {{\pmb X}}_\beta $和$ {{\pmb X}}_\delta $的值, 令$t = 0$;

5.WHILE $ t < MaxIter $;

6. FOR $i = 1$ TO $N$ DO;

7.根据式(6)~(9)更新第$i$只灰狼的位置;

8.利用式(15)对$ {{\pmb X}}_\alpha $进行透镜成像反向学习策略, 产生反向解$ {{\pmb X}'}_\alpha $, 计算$ {{\pmb X}'}_\alpha $的适应度$ f({{\pmb X}'}_\alpha) $;

9. IF ($ f({{\pmb X}}_\alpha) < f({{\pmb X}'}_\alpha) $) DO;

10.将反向解$ {{\pmb X}'}_\alpha $替换$ {{\pmb X}}_\alpha$加入种群参与迭代;

11. END IF

12. END FOR

13.根据式(5)计算距离控制参数$ {{\pmb a}} $的值;

14.根据式(3)更新参数$ {{\pmb A}} $的值;

15.根据式(11)更新参数$ {{\pmb C}} $的值;

16.计算每个个体的适应度值$ f({{\pmb X}}_i) $, $ i = 1, 2, \cdots, N $;

17.更新$ {{\pmb X}}_\alpha $、$ {{\pmb X}}_\beta $和$ {{\pmb X}}_\delta $的值;

18. $t = t + 1$;

19.END WHILE

与基本GWO算法相比, LIL-GWO算法具有以下特点: 1) LIL-GWO算法没有改变基本GWO算法的框架, 仅仅修改了算法参数$ {{\pmb C}} $和引入新的算子; 2)与基本GWO算法中参数$ {{\pmb C}} $设置为完全随机数不同, LIL-GWO算法则引入$ {{\pmb a}} $改进参数$ {{\pmb C}} $以平衡全局勘探和局部开采能力; 3)对当前最优个体执行基于透镜成像的学习策略, 增强种群的多样性, 降低算法陷入局部最优的概率.

2.4   LIL-GWO算法的收敛性证明

文献[37]中给出了基于一般反向学习的群体智能搜索算法收敛性的证明, 这里引入其结论来对LIL-GWO算法收敛性进行证明.需要指出的是, 收敛性证明并不一定能保证算法收敛到全局最优解.由于GWO算法也是群体智能搜索算法, 故有以下定理.

定理1.   若基于一般反向学习的GWO算法收敛, 则LIL-GWO算法也是收敛的.

证明  设$ x_i (t) $和$ x'_i (t) $分别为第$t$代当前解和其反向解, $ x_{i, j} (t) $和$ x'_{i, j} (t) $分别为$ x_i (t) $和$ x'_i (t) $在第$j$维上的值, 问题的全局最优解为$ x^* $.由定理1中条件可知, 对于第$t$代种群中的解$ x_{i, j} (t) $有:

由于$ a_j (t) = \min (x_{i, j} (t))$, $ b_j (t) = \max (x_{i, j} (t)) $, 所以得:

在第$t$代, 由式(15)所示的基于透镜成像原理的反向学习策略产生的当前解的反向解为:

当$ t \to \infty $时, 由式(18)得:

由式(19)可知, 当$ x_i (t) $收敛于$ x^* $时, 基于透镜成像原理反向学习策略产生的反向解$ x'_i (t) $也收敛于$ x^* $.因此, 基于一般反向学习的GWO算法收敛, 则LIL-GWO算法也收敛.

3.   实验结果及分析

为了验证LIL-GWO算法的有效性, 本文选取两组标准测试函数进行仿真实验, 一组为12个国际上通用的标准测试函数, 另一组为来自IEEE CEC2014的30个标准测试函数.

3.1   标准测试函数及实验环境

从已有文献中选取12个国际上通用的标准测试函数, 表 1给出了这些函数的函数名、具体表达式和搜索区间.在表 1中, $f_1-f_6$为单峰函数, 每个函数只有一个全局最优解, 通常用来测试算法的局部开采能力; $f_7-f_{12}$为多峰函数, 主要用来测试算法平衡全局勘探和局部开采的能力. 12个函数的理论全局最优值均为0.

表 1  12个标准测试函数

Table 1  Twelve benchmark test functions

函数名	函数表达式	搜索空间
Sphere	$ f_1 ({{\pmb X}}) =\sum\nolimits_{i = 1}^D {x_i^2 }$	$[-100, 100]$
Schwefel's 2.22	$ f_2 ({{\pmb X}}) =\sum\nolimits_{i = 1}^D {{\rm{|}}x_i {\rm{|}}}+\prod\nolimits_{i = 1}^D {|x_i |}$	$[-10, 10]$
Schwefel's 2.21	$ f_3 ({{\pmb X}}) = \max _i \{|x_i |, 1\le x_i\le D\}$	$[-100, 100]$
Rosenbrock	$ f_4 ({{\pmb X}}) = \sum\nolimits_{i = 1}^D {[100{\kern 1pt} {\kern 1pt} (x_{i + 1} - x_i^2 )^2 + (x_i - 1)^2 ]}$	[-30, 30]
Sum-Power	$f_5 ({{\pmb X}}) = \sum\nolimits_{i=1}^D {|x_i |} ^{(i + 1)}$	[-1, 1]
Elliptic	$f_6 ({{\pmb X}}) =\sum\nolimits_{i =1}^D {(10^6)^{(i - 1)/(n - 1)} x_i^2 }$	[-100, 100]
Rastrigin	$f_7 ({{\pmb X}}) =\sum\nolimits_{i =1}^D {[x_i^2- 10\cos (2\pi x_i) + 10]}$	$[-5.12, 5.12]$
Ackley	$ f_8 ({{\pmb X}}) =- 20\exp\left({ - 0.2\sqrt {{\textstyle{1 \over D}}\sum\nolimits_{i =1}^D {x_i^2 } } } \right) - \exp \left({{\frac{1}{D}}\sum\nolimits_{i =1}^D {\cos (2\pi x_i)} } \right) + 20 + e $	$[-32, 32]$
Griewank	$ f_9 ({{\pmb X}}) = {\textstyle{1\over {4\, 000}}}\sum\nolimits_{i = 1}^D {x_i^2-\prod\nolimits_{i = 1}^D {\cos \left({{\textstyle{{x_i } \over{\sqrt i }}}} \right)} }+ 1$	$[-600, 600]$
Alpine	$ f_{10} ({{\pmb X}}) =\sum\nolimits_{i= 1}^D {|x_i \sin (x_i) + 0.1x_i |} $	$[-10, 10]$
Levy	$ f_{11} ({{\pmb X}}) =\sum\nolimits_{i = 1}^D {(x_i- 1)^2 [1 + \sin ^2 (3\pi x_{i + 1})] + \sin ^2 (3 \pi x_1) + |x_D- 1|} [1 + \sin ^2 (3\pi x_D)] $	$[-10, 10]$
Stretched V-sine	$ f_{12} ({{\pmb X}}) =\sum\nolimits_{i = 1}^{D - 1} {(x_i^2+ 2x_{i + 1}^2)^{0.25}\cdot ((\sin 50(x_i^2+ x_{i + 1}^2)^{0.1})^2+ 1)} $	$[-10, 10]$

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在仿真实验中, 所有程序均在Inter Core Quad, CPU: Q8300、2.50 GHz主频和4.00 GB RAM的计算机上实现, 在Windows 8操作系统下, 程序采用MATLAB 2014a语言实现.

3.2   与基本GWO和改进GWO算法的比较

利用LIL-GWO算法求解表 1中的12个标准测试函数, 并与基本GWO算法、修改GWO算法(Modified GWO, mGWO)^[14]、平均权重GWO算法(Weight average GWO, WAGWO)^[19]、天体物理学启发的GWO (Astrophysics-inspired GWO, AIGWO)算法^[34]和勘探增强的GWO算法(Exploration-enhanced GWO, EEGWO)^[18]进行比较.为了比较的公平性, 6种算法采用相同的适应度函数评价次数(15 000次), 即种群规模为30, 最大迭代次数为500. GWO、mGWO、WAGWO、AIGWO和EEGWO算法的其他参数设置详见各自原文献.在LIL-GWO算法中, 缩放因子$k = 10\, 000$. 12个测试函数的维数$D = 30 $, 6种算法对每个测试函数单独运行30次实验, 分别记录它们的平均值、标准差和基于Friedman's排名检验^[18]的结果, 如表 2所示.

表 2  LIL-GWO与其他5种算法对12个测试函数的结果比较

Table 2  Comparisons of LIL-GWO and other five algorithms for 12 test functions

函数	统计结果	GWO	mGWO	WAGWO	AIGWO	EEGWO	LIL-GWO
	平均值	$ 1.36 \times 10^{ - 29} $	$ 7.89 \times 10^{ - 44} $	$ 7.66 \times 10^{ - 35} $	$ 3.62 \times 10^{ - 42} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_1$	标准差	$ 1.62 \times 10^{ - 29} $	$ 8.68 \times 10^{ - 44} $	$ 1.01 \times 10^{ - 34} $	$ 3.89 \times 10^{ - 42} $	0	0
	排名	6	3	5	4	1	1
	平均值	$ 4.87 \times 10^{ - 18} $	$ 1.16\times 10^{ - 26} $	$ 6.83 \times 10^{ - 21} $	$ 1.38 \times 10^{ - 25} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_2$	标准差	$ 2.58 \times 10^{ - 18} $	$ 6.14\times 10^{ - 27} $	$ 5.18 \times 10^{ - 21} $	$ 1.64 \times 10^{ - 25} $	0	0
	排名	6	3	5	4	1	1
	平均值	$ 1.89 \times 10^{ - 7} $	$ 4.48\times 10^{ - 12} $	$ 6.97 \times 10^{ - 9} $	$ 3.17 \times 10^{ - 12} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_3$	标准差	$ 8.81 \times 10^{ - 8} $	$ 6.38\times 10^{ - 12} $	$ 5.29 \times 10^{ - 9} $	$ 6.34 \times 10^{ - 12} $	0	0
	排名	6	4	5	3	1	1
	平均值	$ 2.72 \times 10^{ 1} $	$ {\bf{2.71 \times 10}}^{\pmb{1}} $	$ 2.75 \times 10^{ 1} $	$ 2.78 \times 10^{ 1} $	$ 2.90 \times 10^{ 1} $	$ 2.89 \times 10^{ 1} $
$f_4$	标准差	$ 9.99 \times 10^{ - 1} $	$ 6.53\times 10^{ - 1} $	$ 9.75 \times 10^{ - 1} $	$ 1.13 \times 10^{ 0} $	$ 5.58 \times 10^{ - 3} $	$ 7.43 \times 10^{ - 2} $
	排名	2	1	3	4	6	5
	平均值	$ 1.44 \times 10^{ - 101} $	$ 4.69\times 10^{ - 152} $	$ 4.08 \times 10^{ - 121} $	$ 4.89 \times 10^{ - 154} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_5$	标准差	$ 1.49 \times 10^{ - 101} $	$ 5.30\times 10^{ - 152} $	$ 5.77 \times 10^{ - 121} $	$ 2.80 \times 10^{ - 154} $	0	0
	排名	6	4	5	3	1	1
	平均值	$ 9.01 \times 10^{ - 26} $	$ 3.12\times 10^{ - 40} $	$ 1.14 \times 10^{ - 31} $	$ 6.74 \times 10^{ - 40} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_6$	标准差	$ 2.81 \times 10^{ - 25} $	$ 3.34\times 10^{ - 40} $	$ 9.06 \times 10^{ - 32} $	$ 1.24 \times 10^{ - 39} $	0	0
	排名	6	3	5	4	1	1
	平均值	$ 2.08 \times 10^{ 0} $	$ {\pmb{0}} $	$ 4.54 \times 10^{ - 14} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_7$	标准差	$ 4.64 \times 10^{ 0} $	0	$ 2.54 \times 10^{ - 14} $	0	0	0
	排名	6	1	5	1	1	1
	平均值	$ 6.84 \times 10^{ - 14} $	$ 1.23\times 10^{ - 14} $	$ 3.29 \times 10^{ - 14} $	$ 1.37 \times 10^{ - 14} $	$ {\pmb{8.88 \times 10}}^{ - {\pmb{16}}} $	$ {\pmb{8.88 \times 10}}^{ - {\pmb{16}}} $
$f_8$	标准差	$ 1.08 \times 10^{ - 14} $	$ 3.89\times 10^{ - 15} $	$ 1.97 \times 10^{ - 15} $	$ 3.18 \times 10^{ - 15} $	0	0
	排名	6	3	5	4	1	1
	平均值	$ 8.52 \times 10^{ - 13} $	$ 4.44\times 10^{ - 16} $	$ 4.17 \times 10^{ - 15} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_9$	标准差	$ 3.03 \times 10^{ - 13} $	0	$ 1.69 \times 10^{ - 15} $	0	0	0
	排名	6	4	5	1	1	1
	平均值	$ 5.25 \times 10^{ - 4} $	$ 1.09\times 10^{ - 24} $	$ 1.05 \times 10^{ - 4} $	$ 9.70 \times 10^{ - 22} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_{10}$	标准差	$ 5.34 \times 10^{ - 4} $	$ 2.18\times 10^{ - 24} $	$ 2.35 \times 10^{ - 4} $	$ 2.13 \times 10^{ - 21} $	0	0
	排名	6	3	5	4	1	1
	平均值	$ 2.59 \times 10^{ - 31} $	$ 4.64\times 10^{ - 45} $	$ 6.40 \times 10^{ - 36} $	$ 2.32 \times 10^{ - 44} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_{11}$	标准差	$ 1.34 \times 10^{ - 31} $	$ 7.73\times 10^{ - 45} $	$ 8.76 \times 10^{ - 36} $	$ 5.97 \times 10^{ - 44} $	0	0
	排名	6	3	5	4	1	1
	平均值	$ 6.12 \times 10^{ - 8} $	$ 3.21\times 10^{ - 12} $	$ 3.82 \times 10^{ - 9} $	$ 1.75 \times 10^{ - 11} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_{12}$	标准差	$ 1.74 \times 10^{ - 8} $	$ 2.24\times 10^{ - 12} $	$ 1.37 \times 10^{ - 9} $	$ 1.33 \times 10^{ - 11} $	0	0
	排名	6	3	5	4	1	1
	平均排名	5.6667	2.9167	4.8333	3.3333	1.4167	1.3333
	最终排名	6	3	5	4	2	1

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从表 2可知, 与GWO和WAGWO算法相比, 除了函数$f_4$, LIL-GWO算法分别在其他函数上获得了较好的结果; 然而, GWO和WAGWO算法在函数$f_4$上取得了较好的结果. LIL-GWO分别在10个和1个函数上获得了比mGWO算法较好和相似的结果; 然而, 对于$f_4$, mGWO的结果要优.与AIGWO算法相比, LIL-GWO分别在9个和2个函数上取得了较好和相似的结果; 与EEGWO算法相比, 除了函数$f_4$, LIL-GWO在其他测试函数上取得了相似的结果; 对于$f_4$, LIL-GWO得到了较好的结果.由表 2中Friedman's排名检验结果可知, LIL-GWO算法性能排名第一, EEGWO算法排第二, 而基本GWO算法性能最差.限于论文篇幅, 图 6只给出了6种算法对6个函数的收敛曲线.

图 6  6种算法对6个代表性测试函数的收敛曲线

Fig. 6  Convergence curves of six algorithms for six representative test functions

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从图 6可以清晰地看出, 与GWO、mGWO、WAGWO和AIGWO算法相比, LIL-GWO算法在6个测试函数上具有较高的求解精度和较快的收敛速度.虽然EEGWO算法在6个测试函数上获得了与LIL-GWO算法相似的精度, 但其收敛速度明显要慢于LIL-GWO算法; 对于$f_8$, 两种算法取得了相似的求解精度和收敛速度.

3.3   与其他群体智能优化算法的比较

为了进一步验证其有效性, 将LIL-GWO与8种其他群体智能优化算法进行比较, 它们是协方差矩阵自适应进化策略(Covariance matrix adaptation, CMA-ES)^[38]、改进粒子群优化(Improved particle swarm optimization, IPSO)算法^[39]、基于反向学习的差分进化(Opposition-based differential evolution, ODE)算法^[35]、全局最优指导人工蜂群(Gbest-guided artificial bee colony, GABC)算法^[40]、精英教与学优化算法(Elitist teaching-learning-based optimization, ETLBO)^[41]、改进鲸鱼优化算法(Improved whale optimization algorithm, IWOA)^[42]、引入惯性权重的改进正弦余弦算法(Improved sine cosine algorithm, ISCA)^[43].为了比较的公平性, 8种算法采用相同的适应度评价次数15 000次, 即种群规模为30, 最大迭代次数为500.函数的维数设置为$D = 30$.表 3和表 4分别给出了8种算法对12个测试函数30次独立实验获得的平均值、标准差、Friedman's排名检验结果、多问题Wilcoxon's非参数检验结果和Wilcoxon's秩和检验结果.

表 3  LIL-GWOLIL-GWO与其他7种算法对12个函数的结果比较

Table 3  Comparisons of LIL-GWOLIL-GWO and other seven algorithms for 12 test functions

函数	统计结果	CMA-ES	IPSO	ODE	GABC	ETLBO	IWOA	ISCA	LIL-GWO
	平均值	$ 8.64 \times 10^{ - 11} $	$ 2.82\times 10^{ - 16} $	$ 2.68 \times 10^{ - 49} $	$ 4.00\times 10^{ - 16} $	$ 2.70 \times 10^{ - 119} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_1$	标准差	$ 3.83 \times 10^{ - 11} $	$5.07 \times 10^{ - 16} $	$ 2.50 \times 10^{ - 49} $	$ 3.76\times 10^{ - 16} $	$ 4.29 \times 10^{ - 119} $	0	0	0
	排名	8	6	5	7	4	1	1	1
	平均值	$ 2.03 \times 10^{ - 5} $	$4.03\times 10^{ - 3} $	$ 3.86 \times 10^{ - 31} $	$ 2.59\times 10^{ -7} $	$ 1.19 \times 10^{ - 60} $	$ 2.77 \times 10^{ - 267} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_2$	标准差	$ 1.15 \times 10^{ - 5} $	$ 8.05\times10^{ - 3} $	$ 4.00 \times 10^{ - 31} $	$ 1.98 \times 10^{-8} $	$ 5.87 \times 10^{ - 61} $	0	0	0
	排名	7	8	5	6	4	3	1	1
	平均值	$ 1.38 \times 10^{ - 4} $	$2.13\times 10^{ 0} $	$ 1.47 \times 10^{ - 2} $	$ 1.16\times 10^{ -1} $	$ 2.35 \times 10^{ - 36} $	$ 6.35 \times 10^{ - 95} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_3$	标准差	$ 2.59 \times 10^{ - 5} $	$ 7.32\times10^{ - 1} $	$ 2.66 \times 10^{ - 3} $	$ 2.27 \times 10^{ -2} $	$ 1.82 \times 10^{ - 36} $	$ 1.26 \times 10^{ - 94} $	0	0
	排名	5	8	6	7	4	3	1	1
	平均值	$ {\pmb{1.83 \times 10}}^{\pmb{1}}$	$ 7.98 \times 10^{ 1}$	$ 2.81 \times 10^{ 1} $	$ 2.86 \times 10^{ 1} $	$ 2.50 \times 10^{ 1} $	$ 2.87 \times 10^{ 1} $	$ 2.90 \times 10^{ 1} $	$ 2.89 \times 10^{ 1} $
$f_4$	标准差	$ 3.56 \times 10^{ - 1} $	$ 5.57\times10^{ 1} $	$ 3.45 \times 10^{ - 1} $	$ 1.66\times 10^{ - 1} $	$ 2.65 \times 10^{ - 1} $	$ 5.87 \times 10^{ - 2} $	$ 4.55 \times 10^{ - 1} $	$ 7.43 \times 10^{ - 2} $
	排名	1	8	3	4	2	5	7	6
	平均值	$ 3.91 \times 10^{ - 10} $	$2.17\times 10^{ - 34} $	$ 8.51 \times 10^{ - 149} $	$ 4.02\times 10^{ - 42} $	$ 3.26 \times 10^{ - 278} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_5$	标准差	$ 4.00 \times 10^{ - 10} $	$ 4.21\times10^{ - 34} $	$ 8.47 \times 10^{ - 149} $	$ 6.81 \times10^{- 42} $	0	0	0	0
	排名	8	7	5	6	4	1	1	1
	平均值	$ 2.89 \times 10^{ - 3} $	$5.28\times 10^{ - 8} $	$ 1.91 \times 10^{ - 44} $	$ 1.86\times 10^{ -12} $	$ 1.18 \times 10^{ - 115} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_6$	标准差	$ 2.58 \times 10^{ - 3} $	$6.99\times 10^{ - 8} $	$ 2.23 \times 10^{ - 44} $	$ 1.02\times 10^{ -12} $	$ 1.30 \times 10^{ - 115} $	0	0	0
	排名	8	7	5	6	4	1	1	1
	平均值	$ 1.26 \times 10^{ 2} $	$ 2.57 \times10^{ 1} $	$ 1.14 \times 10^{ - 14} $	$ 9.62 \times 10^{ -15} $	$ 8.96 \times 10^{ 0} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_7$	标准差	$ 6.85 \times 10^{ 1} $	$ 1.54\times 10^{ 0} $	$ 2.54 \times 10^{ - 14} $	$1.88 \times 10^{ - 14} $	$ 6.17 \times 10^{ 0} $	0	0	0
	排名	8	7	5	4	6	1	1	1
	平均值	$ 2.41 \times 10^{ - 6} $	$7.10\times 10^{ - 7} $	$ 1.07 \times 10^{ - 14} $	$ 3.81\times 10^{ - 14} $	$ 2.66 \times 10^{ - 15} $	$ {\pmb{8.88\times 10}}^{ - {\pmb{16}}} $	$ {\pmb{8.88 \times 10}}^{ -{\pmb{16}}} $	$ {\pmb{8.88 \times 10}}^{ - {\pmb{16}}}$
$f_8$	标准差	$ 6.98 \times 10^{ - 7} $	$ 1.54\times10^{ - 6} $	$ 1.85 \times 10^{ - 15} $	$ 2.16 \times 10^{-15} $	$ 9.93 \times 10^{ - 16} $	0	0	0
	排名	8	7	5	6	4	1	1	1
	平均值	$ 6.60 \times 10^{ - 11} $	$2.33\times10^{ - 1} $	$ 2.44 \times 10^{ - 16} $	$ 6.21 \times 10^{ - 16} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_9$	标准差	$ 1.32 \times 10^{ - 11} $	$ 1.30\times10^{ - 1} $	$ 1.45 \times 10^{ - 16} $	$ 9.63\times 10^{ - 16} $	0	0	0	0
	排名	7	8	5	6	1	1	1	1
	平均值	$ 9.71 \times 10^{ - 6} $	$6.32\times 10^{ - 5} $	$ 9.53 \times 10^{ 0} $	$ 1.35\times 10^{ - 6} $	$ 2.21 \times 10^{ - 61} $	$ 7.28 \times 10^{ - 262} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_{10}$	标准差	$ 2.94 \times 10^{ - 6} $	$ 7.25\times10^{ - 5} $	$ 7.79 \times 10^{ 0} $	$ 2.42 \times 10^{ -6} $	$ 2.97 \times 10^{ - 61} $	0	0	0
	排名	6	7	8	5	4	3	1	1
	平均值	$ 4.59 \times 10^{ - 5} $	$1.19\times 10^{ 1} $	$ 2.38 \times 10^{ - 49} $	$ 4.58\times 10^{ - 15} $	$ 2.62 \times 10^{ - 120} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_{11}$	标准差	$ 4.27 \times 10^{ - 5} $	$ 8.43\times10^{ 0} $	$ 3.10 \times 10^{ - 49} $	$ 6.63 \times 10^{ -15} $	$ 3.04\times 10^{ - 120} $	0	0	0
	排名	7	8	5	6	4	1	1	1
	平均值	$ 1.49 \times 10^{ - 1} $	$1.53\times 10^{ 1} $	$ 3.51 \times 10^{ - 15} $	$ 8.06\times 10^{ - 2} $	$ 2.08 \times 10^{ - 28} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $	$ {\pmb{0}} $
$f_{12}$	标准差	$ 5.87 \times 10^{ - 3} $	$ 6.60\times10^{ 0} $	$ 2.45 \times 10^{ - 15} $	$ 1.85 \times 10^{ -2} $	$ 1.35 \times 10^{ - 28} $	0	0	0
	排名	7	8	5	6	4	1	1	1
	平均排名	6.6667	7.4167	5.1667	5.7500	3.7500	1.9167	1.5000	1.4167
	最终排名	7	8	5	6	4	3	2	1

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表 4  LIL-GWO与其他7种算法的统计检验结果比较

Table 4  Statistical test results of LIL-GWO and other seven algorithms

算法	$ {\rm{R}}^ +$	$ {\rm{R}}^ -$	$p$-value	$\alpha = 0.05$	$\alpha = 0.1$
LIL-GWO versus CMA-ES	67.0	11.0	$ 2.8848 \times 10^{ - 4} $	Yes	Yes
LIL-GWO versus IPSO	78.0	0.0	$ 4.5561 \times 10^{ - 4} $	Yes	Yes
LIL-GWO versus ODE	67.0	11.0	$ 1.3461 \times 10^{ - 3} $	Yes	Yes
LIL-GWO versus GABC	66.0	12.0	$ 7.0988 \times 10^{ - 4} $	Yes	Yes
LIL-GWO versus ETLBO	62.0	16.0	$ 5.7382 \times 10^{ - 3} $	Yes	Yes
LIL-GWO versus IWOA	40.0	38.0	$ 3.1412 \times 10^{ - 1} $	No	No
LIL-GWO versus ISCA	39.5	38.5	$ 9.8936 \times 10^{ - 1} $	No	No

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从表 3中比较结果可知, 与CMA-ES、ODE和GABC算法相比, LIL-GWO在11个测试函数上获得了较好的结果.然而, 对于函数$f_4$, CMA-ES、ODE和GABC取得了较好的结果.与IPSO相比, LIL-GWO在所有测试函数上得到了较好的性能.与ETLBO相比, LIL-GWO在10个测试函数上取得了较好的性能和1个函数($f_9$)上获得了相似的性能; 然而, 对于$f_4$, ETLBO得到了稍优的结果.与IWOA相比, LIL-GWO在3个测试函数上获得了较好的结果和8个函数上取得了相似的结果; 对于$f_4$, IWOA的结果要优. ISCA是最近提出的一种具有较强竞争力群体智能算法, 与ISCA相比, LIL-GWO在11个测试函数上取得了相似的性能; 对于$f_4$, ISCA得到稍差的结果.从Friedman's排名检验结果可以看出, LIL-GWO排名第一, ISCA排名第二, 依次为IWOA、ETLBO、ODE、GABC、CMA-ES和IPSO.

由表 4可以看出, LIL-GWO算法在所有其他对比情况下所获得的$ {\rm{R}}^ + $值均大于$ {\rm{R}}^ - $值.根据Wilcoxon's秩和检验, 除了LIL-GWO与IWOA相比、LIL-GWO与ISCA相比两种情形, 其他对比算法的$p$值均小于0.05, 这说明LIL-GWO算法的性能明显优于CMA-ES、IPSO、ODE、GABC和ETLBO算法.另外, LIL-GWO与ISCA和IWOA算法的性能没有明显的差异性.总体来说, 与其他群体智能算法相比, LIL-GWO算法的性能具有较强的竞争力.

3.4   与一般反向学习策略的比较

为了比较基于透镜成像学习(Lens image based learning, LIBL)和一般反向学习(Oppositional based learning, OBL)策略的有效性, 将它们嵌入到基本GWO算法中, 分别得到LIBL-GWO和OBL-GWO算法.本小节选取表 1中的12个测试函数进行仿真实验来比较两种算法性能的优劣.参数设置与第3.2节相同.表 5给出了OBL-GWO和LIBL-GWO算法对12个测试函数($D = 30$维) 30次独立实验获得的平均值和标准差结果.

表 5  两种算法对12个函数的实验结果比较

Table 5  Experimental results of two algorithms for functions

函数	OBL-GWO		LIBL-GWO
	平均值	标准差	平均值	标准差
$f_{1}$	$ 2.37 \times 10^{ - 35} $	$ 3.66 \times 10^{ - 35} $	0	0
$f_{2}$	$ 1.27 \times 10^{ - 18} $	$ 7.90 \times 10^{ - 19} $	0	0
$f_{3}$	$ 2.50 \times 10^{ - 33} $	$ 4.36 \times 10^{ - 33} $	0	0
$f_{4}$	$ {\bf{2.87 \times 10}}^{\pmb{1}}$	$ 1.55 \times 10^{ - 1} $	$ 2.89 \times 10^{ 1} $	$ 5.83 \times 10^{ - 2} $
$f_{5}$	$ 1.16 \times 10^{ - 145} $	$ 1.60 \times 10^{ - 145} $	0	0
$f_{6}$	$ 1.46 \times 10^{ - 28} $	$ 2.05 \times 10^{ - 28} $	0	0
$f_{7}$	0	0	0	0
$f_{8}$	$ 4.44 \times 10^{ - 15} $	0	$ {\pmb{8.88 \times10}}^{\bf{-16}} $	0
$f_{9}$	0	0	0	0
$f_{10}$	$ 5.91 \times 10^{ - 19} $	$ 8.32 \times 10^{ - 19} $	0	0
$f_{11}$	$ 2.90 \times 10^{ - 34} $	$ 5.73 \times 10^{ - 34} $	0	0
$f_{12}$	$ 1.68 \times 10^{ - 8} $	$ 1.46 \times 10^{ - 8} $	0	0

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从表 5中结果可知, 与OBL-GWO算法相比, 除了$f_4$、$f_7$和$f_9$, LIBL-GWO算法在其他9个测试函数上均获得了明显的优势; 对于$f_7$和$f_9$, 两种算法取得了相似的实验结果; 然而, OBL-GWO算法在函数$f_4$上得到了稍优的结果.这表明GWO算法采用基于透镜成像学习的策略比采用一般反向学习策略更能避免算法陷入局部最优.

3.5   LIL-GWO算法求解CEC 2014测试问题

为了更进一步验证算法的有效性和可行性, 将LIL-GWO算法应用于求解IEEE CEC2014测试集. CEC2014测试集包含30个函数, 它们比表 1中的测试函数更复杂、求解更困难. 30个测试函数分为4类:单峰函数(F1~F3)、多峰函数(F4~F16)、混合函数(F17~F22)和复杂的合成函数(F23~F30).这些函数的具体表达式详见文献[44].每个测试函数的维数设置为$D = 30$, 每个决策变量的取值范围为$[-100, 100]$.

利用LIL-GWO算法对CEC2014测试集中的30个函数进行求解, 并与7种较先进的群体智能优化技术进行比较, 它们是:和声搜索和模拟退火混合算法(Harmony search and simulated annealing, HS-SA)^[45]、甲壳虫(Pity beetle algorithm, PBA)算法^[46]、组合型差分进化(Composite DE, CoDE)算法^[47]、修改的人工蜂群(Modified ABC, MoABC)算法^[48]、基于动态组策略的教与学优化算法(Dynamic group strategy TLBO, DGS-TLBO)^[49]、混合布谷鸟搜索算法(Hybrid cuckoo search algorithm, HCSA)^[50]和基于拉普拉斯迁移算子的生物地理学优化算法(Laplacian migration biogeography optimization, LM-BBO)^[51]. 7种群体智能优化技术代表了HS、PBA、DE、ABC、TLBO、CSA和BBO, 且它们的性能具有较强的竞争力. 7种算法的参数设置与它们各自的原文献相同.为了进行公平的比较, LIL-GWO与其他7种算法的最大适应度函数评价次数设置相同, 即为300 000次.每种算法对每个测试函数单独运行30次实验, 并分别记录它们的平均误差值、标准差和Fridman's统计排名检验结果, 如表 6所示.

表 6  8种算法对CEC2014测试集30个函数的实验结果比较

Table 6  Comparisons of eight algorithms for 30 test functions from CEC 2014

函数	统计结果	HS-SA	PBA	CoDE	MoABC	DGS-TLBO	HSCA	LM-BBO	LIL-GWO
	平均误差	$ 1.16 \times 10^{ 7} $	$3.50\times 10^{ 7} $	$ 1.21 \times 10^{ 7} $	$ 2.81 \times 10^{7} $	$ 1.04 \times 10^{ 7} $	$ 3.50 \times 10^{ 7} $	${\bf{1.01 \times 10}}^{\bf{7}} $	$ 2.59 \times 10^{ 7} $
F1	标准差	$ 7.89 \times 10^{ 4} $	$2.16 \times 10^{ 7} $	$ 4.48 \times 10^{ 6} $	$ 1.01\times 10^{ 7} $	$ 8.61 \times 10^{ 6} $	$ 2.49 \times 10^{ 7} $	$ 3.81 \times 10^{ 6} $	$ 4.30 \times 10^{ 6} $
	排名	3	7	4	6	2	7	1	3
	平均误差	$ {\bf{1.38 \times 10}}^{\bf{4}} $	$ 3.05\times 10^{ 8} $	$ 1.89 \times 10^{ 7} $	$ 2.88\times10^{ 4} $	$ 4.59 \times 10^{ 6} $	$ 1.95 \times 10^{ 7} $	$ 5.34 \times 10^{ 4} $	$ 1.02 \times 10^{ 7} $
F2	标准差	$ 1.34 \times 10^{ 4} $	$ 1.89\times10^{ 8} $	$ 9.45 \times 10^{ 6} $	$ 4.11 \times 10^{ 4} $	$ 1.11 \times 10^{ 7} $	$ 5.49 \times 10^{ 7} $	$ 2.14 \times 10^{4} $	$ 2.71 \times 10^{ 6} $
	排名	1	8	6	2	4	7	3	5
	平均误差	$ 6.31 \times 10^{ 3} $	$ 6.97\times10^{ 3} $	$ 4.16 \times 10^{ 3} $	$ 1.06 \times 10^{ 4} $	$ {\bf{1.44 \times 10}}^{\bf{1}} $	$ 3.10 \times 10^{ 4} $	$ 1.64 \times 10^{ 4} $	$ 2.24 \times 10^{ 4} $
F3	标准差	$ 6.06 \times 10^{ 3} $	$ 3.96\times10^{3} $	$ 1.89 \times 10^{ 3} $	$ 3.66 \times 10^{ 3} $	$ 1.68 \times 10^{ 1} $	$ 1.36 \times 10^{ 4} $	$ 1.71 \times 10^{ 4} $	$ 2.72 \times 10^{ 4} $
	排名	3	4	2	5	1	8	6	7
	平均误差	$ 1.11 \times 10^{ 2}$	$ 5.78 \times10^{ 2} $	$ 1.44 \times 10^{ 2} $	$ 1.59 \times 10^{ 2} $	$ 1.46 \times 10^{ 2} $	$ 2.03 \times 10^{ 2} $	$ {\bf{9.99 \times 10}}^{\bf{1}}$	$ 2.38 \times 10^{ 2} $
F4	标准差	$ 4.01 \times 10^{ 1} $	$ 3.62\times10^{ 1} $	$ 1.55 \times 10^{ 1} $	$ 2.76\times 10^{ 1} $	$ 3.78 \times 10^{ 1} $	$ 6.69 \times 10^{ 1} $	$ 2.85 \times 10^{ 1} $	$ 4.57 \times 10^{ 1} $
	排名	2	8	3	5	4	6	1	7
	平均误差	$ 2.00 \times 10^{ 1} $	$ 5.21\times10^{ 2} $	$ 2.10 \times 10^{ 1} $	$ 2.04\times 10^{ 1} $	$ 2.10 \times 10^{ 1} $	$ 2.00 \times 10^{ 1} $	$ {\bf{3.06 \times 10}}^{\bf{0}}$	$ 2.04 \times 10^{ 1} $
F5	标准差	$ 3.01 \times 10^{ - 4} $	$ 5.26\times10^{ - 2} $	$ 6.56 \times 10^{ - 2} $	$ 3.53 \times 10^{- 2} $	$ 4.34 \times 10^{ - 2} $	$ 2.28 \times 10^{ - 3} $	$ 7.87 \times 10^{ - 1} $	$ 6.42 \times 10^{ - 2} $
	排名	2	8	6	4	6	2	1	4
	平均误差	$ 1.31 \times 10^{ 1} $	$ 6.16\times10^{ 2} $	$ 5.57 \times 10^{ 1} $	$ 3.78 \times 10^{1} $	$ 1.67 \times 10^{ 1} $	$ 3.23 \times 10^{ 1} $	$ 1.69 \times 10^{ 1} $	$ {\bf{1.25 \times 10}}^{\bf{1}} $
F6	标准差	$ 2.12 \times 10^{ 0} $	$ 2.40\times10^{ 0} $	$ 2.67 \times 10^{ 0} $	$ 2.65 \times 10^{ 0} $	$ 3.45 \times 10^{0} $	$ 3.27 \times 10^{0} $	$ 3.12 \times 10^{0} $	$ 2.10 \times 10^{0} $
	排名	2	8	7	6	3	5	4	1
	平均误差	$ {\bf{1.52 \times 10}}^{\bf{-2}} $	$ 7.04 \times10^{ 2} $	$ 1.20 \times 10^{ 0} $	$ 5.72 \times 10^{ -1} $	$ 1.01 \times 10^{ 0} $	$ 1.79 \times 10^{ 0} $	$ 1.76 \times 10^{ -1} $	$ 7.66 \times 10^{ 0} $
F7	标准差	$ 1.63 \times 10^{ -2} $	$ 1.72 \times 10^{ 0} $	$ 7.20 \times 10^{ - 2} $	$1.36 \times 10^{ - 1} $	$ 1.50 \times 10^{ 0} $	$ 2.19 \times 10^{ 0} $	$ 8.56 \times 10^{ -2} $	$ 4.50 \times 10^{ 0} $
	排名	1	8	5	3	4	6	2	7
	平均误差	$ {\bf{4.10 \times 10}}^{\bf{-5}} $	$ 8.56\times 10^{ 2} $	$ 2.30 \times 10^{ 2} $	$ 1.26\times 10^{ 1} $	$ 7.67 \times 10^{ 1} $	$ 1.71 \times10^{2} $	$ 5.53 \times 10^{ 1} $	$ 3.49 \times 10^{ 1} $
F8	标准差	$ 8.13 \times 10^{ - 6} $	$ 1.48\times10^{ 1} $	$ 1.45 \times 10^{ 1} $	$ 1.74 \times 10^{ 0} $	$ 2.45 \times 10^{ 1} $	$ 3.46 \times 10^{ 1} $	$ 3.78 \times 10^{ 2} $	$ 1.20 \times 10^{ 1} $
	排名	1	8	7	2	5	6	4	3
	平均误差	$ 6.71 \times 10^{ 1} $	$ 1.01\times10^{ 3} $	$ 3.80 \times 10^{ 2} $	$ 2.58 \times 10^{ 2} $	$ 9.84 \times 10^{ 1} $	$ 2.80 \times 10^{ 2} $	$ 7.66 \times 10^{ 1} $	$ {\bf{6.02 \times 10}}^{\bf{1}} $
F9	标准差	$ 1.52 \times 10^{ 1} $	$ 1.33\times10^{1} $	$ 1.89\times 10^{ 1} $	$ 2.83\times 10^{ 1} $	$ 3.08\times 10^{ 1} $	$ 5.16\times 10^{ 1} $	$ 1.61\times 10^{ 1} $	$ 8.59\times 10^{ 0} $
	排名	2	8	7	5	4	6	3	1
	平均误差	$ {\bf{2.01 \times 10}}^{\bf{-1}} $	$ 1.89\times 10^{ 3} $	$ 7.26 \times 10^{ 3} $	$ 2.29\times 10^{ 2} $	$ 2.39 \times 10^{ 3} $	$ 2.66 \times 10^{ 3} $	$ 1.26 \times 10^{ 4} $	$ 1.72 \times 10^{ 3} $
F10	标准差	$ 4.66 \times 10^{ - 2} $	$ 3.68\times10^{ 2} $	$ 3.84 \times 10^{ 2} $	$ 1.07 \times 10^{ 2} $	$ 4.71 \times 10^{2} $	$ 5.34 \times 10^{2} $	$ 1.16 \times 10^{4} $	$ 1.81 \times 10^{2} $
	排名	1	4	7	2	5	6	8	3
	平均误差	$ {\bf{1.99 \times 10}}^{\bf{3}} $	$ 4.49\times 10^{ 3} $	$ 1.21 \times 10^{ 4} $	$ 5.74\times 10^{ 3} $	$ 3.93 \times 10^{ 3} $	$ 4.13 \times 10^{ 3} $	$ 1.23 \times 10^{4} $	$ 2.64 \times 10^{ 3} $
F11	标准差	$ 4.34 \times 10^{ 2} $	$ 5.35\times10^{ 2} $	$ 4.27 \times 10^{ 2} $	$ 3.27 \times 10^{ 2} $	$ 5.45\times 10^{ 2} $	$ 5.35\times 10^{ 2} $	$ 3.42\times 10^{ 2} $	$ 3.12\times 10^{ 2} $
	排名	1	5	7	6	3	4	8	2
	平均误差	$ 2.46 \times 10^{ - 2} $	$1.20\times 10^{ 3} $	$ 2.47 \times 10^{ 0} $	$ 4.71\times 10^{ - 1} $	$ 2.75 \times 10^{ 0} $	$ 5.11 \times 10^{ - 1} $	$ {\bf{1.11 \times 10}}^{\bf{-2}} $	$ 3.20 \times 10^{ - 1} $
F12	标准差	$ 1.26 \times 10^{ - 2} $	$ 1.43\times10^{ -1} $	$ 2.74 \times 10^{ - 1} $	$ 5.73 \times 10^{ -2} $	$ 2.62 \times 10^{ - 1} $	$ 2.56 \times 10^{ - 1} $	$ 1.75 \times 10^{ - 18} $	$ 3.19 \times 10^{ - 1} $
	排名	2	8	6	5	7	4	1	3
	平均误差	$ 5.24 \times 10^{ - 1} $	$1.30\times 10^{ 3} $	$ 6.53 \times 10^{ -1} $	$ 4.51\times 10^{ - 1} $	$ 4.71 \times 10^{ -1} $	$ 4.81 \times 10^{ - 1} $	$ 6.55 \times 10^{ - 1} $	$ {\bf{3.40 \times 10}}^{\bf{-1}} $
F13	标准差	$ 1.04 \times 10^{ - 1} $	$ 9.49\times10^{ -2} $	$ 6.56 \times 10^{ - 2} $	$ 4.11 \times 10^{ -2} $	$ 1.31 \times 10^{ - 1} $	$ 1.17 \times 10^{ - 1} $	$ 1.56 \times 10^{ - 1} $	$ 5.48 \times 10^{ - 2} $
	排名	5	8	6	2	3	4	7	1
	平均误差	$ 4.15 \times 10^{ - 1} $	$1.40\times 10^{ 3} $	$ 4.31 \times 10^{ -1} $	$ 2.98\times 10^{ - 1} $	$ {\bf{2.88 \times 10}}^{\bf{-1}} $	$ 3.08 \times 10^{ - 1} $	$ 6.20 \times 10^{ - 1} $	$ 4.10 \times 10^{ - 1} $
F14	标准差	$ 2.29 \times 10^{ - 1} $	$ 4.57\times10^{ -2} $	$ 8.50 \times 10^{ - 2} $	$ 2.50 \times 10^{ -2} $	$ 4.92 \times 10^{ - 2} $	$ 5.64 \times 10^{ - 2} $	$ 2.96 \times 10^{ - 1} $	$ 2.68 \times 10^{ - 2} $
	排名	5	8	6	2	1	3	7	4
	平均误差	$ 1.64 \times 10^{ 1} $	$ 1.52\times10^{ 3} $	$ 3.78 \times 10^{ 1} $	$ 3.14\times 10^{ 1} $	$ 3.75 \times 10^{ 1} $	$ 9.80 \times 10^{ 1} $	$ 1.55 \times 10^{ 1} $	$ {\bf{1.68 \times 10}}^{\bf{0}} $
F15	标准差	$ 1.17 \times 10^{ 1} $	$ 3.36\times10^{ 0} $	$ 2.26 \times 10^{ 0} $	$ 6.02 \times 10^{ 0} $	$ 2.19 \times 10^{ 1} $	$ 3.02 \times 10^{ 1} $	$ 5.50 \times 10^{ 0} $	$ 4.92 \times 10^{ - 1} $
	排名	3	8	6	4	5	7	2	1
	平均误差	$ 1.42 \times 10^{ 1} $	$ 1.63\times10^{ 3} $	$ 2.28 \times 10^{ 1} $	$ 1.97\times 10^{ 1} $	$ 1.11 \times 10^{ 1} $	$ 1.27 \times 10^{ 1} $	$ 1.08 \times 10^{ 1} $	$ {\bf{1.03 \times 10}}^{\bf{1}} $
F16	标准差	$ 7.83 \times 10^{ - 1} $	$ 3.78\times10^{ - 1} $	$ 3.26 \times 10^{ - 1} $	$ 4.02 \times 10^{ - 1} $	$ 6.62 \times 10^{ - 1} $	$ 5.01 \times 10^{ - 1} $	$ 5.84 \times 10^{ -1 } $	$ 9.04 \times 10^{ - 1} $
	排名	5	8	7	6	3	4	2	1
	平均误差	$ 2.09 \times 10^{ 6} $	$ 3.40\times10^{ 6} $	$ 1.81 \times 10^{ 5} $	$ 1.01\times 10^{ 7} $	$ {\bf{1.67 \times 10}}^{\bf{5}} $	$ 1.48 \times 10^{ 6} $	$ 1.46 \times 10^{ 6} $	$ 1.29 \times 10^{ 6} $
F17	标准差	$ 1.31 \times 10^{ 6} $	$ 2.12\times10^{ 6} $	$ 1.24 \times 10^{ 5} $	$ 4.96 \times 10^{ 6} $	$ 2.13 \times 10^{ 5} $	$ 1.21 \times 10^{ 6} $	$ 9.34 \times 10^{ 5} $	$ 1.23 \times 10^{ 6} $
	排名	6	7	2	8	1	5	4	3
	平均误差	$ 6.16 \times 10^{ 3} $	$ 1.70\times10^{ 6} $	$ 3.62 \times 10^{ 3} $	$ 9.92\times 10^{ 3} $	$ {\bf{8.71 \times 10}}^{\bf{2}} $	$ 7.67 \times 10^{ 3} $	$ 2.90 \times 10^{ 3} $	$ 4.07 \times 10^{ 5} $
F18	标准差	$ 6.22 \times 10^{ 3} $	$ 1.06\times10^{ 6} $	$ 2.31 \times 10^{ 3} $	$ 9.94 \times 10^{ 3} $	$ 1.02 \times 10^{ 3} $	$ 6.70 \times 10^{ 3} $	$ 4.27 \times 10^{ 3} $	$ 7.27 \times 10^{ 5} $
	排名	4	8	3	6	1	5	2	7
	平均误差	$ 1.89 \times 10^{ 1} $	$ 1.91\times10^{ 3} $	$ 3.62 \times 10^{ 1} $	$ 3.33\times 10^{ 1} $	$ 2.71 \times 10^{ 1} $	$ 5.33 \times 10^{ 1} $	$ 5.19 \times 10^{ 3} $	$ {\bf{1.84 \times 10}}^{\bf{1}} $
F19	标准差	$ 2.46 \times 10^{ 1} $	$ 5.23\times10^{ 0} $	$ 1.08 \times 10^{ 1} $	$ 1.06 \times 10^{ 1} $	$ 2.86 \times 10^{ 1} $	$ 3.63 \times 10^{ 1} $	$ 5.67 \times 10^{ 3} $	$ 3.78 \times 10^{ 0} $
	排名	2	7	5	4	3	6	8	1
	平均误差	$ 6.77 \times 10^{ 3} $	$8.77\times 10^{ 3} $	$ 5.04 \times 10^{ 2} $	$ 3.96\times 10^{ 4} $	$ {\bf{4.28 \times 10}}^{\bf{2}} $	$ 3.93 \times 10^{ 4} $	$ 2.61 \times 10^{ 4} $	$ 1.76 \times 10^{ 4} $
F20	标准差	$ 5.09 \times 10^{ 3} $	$ 4.31\times10^{ 3} $	$ 3.17 \times 10^{ 2} $	$ 1.29 \times 10^{ 4} $	$ 1.77 \times 10^{2} $	$ 2.20 \times 10^{4} $	$ 1.56 \times 10^{4} $	$ 9.12 \times 10^{3} $
	排名	3	4	2	8	1	7	6	5
	平均误差	$ 5.27 \times 10^{ 5} $	$ 4.39\times10^{ 5} $	$ {\bf{2.12 \times 10}}^{\bf{4}} $	$ 7.30\times 10^{ 6} $	$ 2.20 \times 10^{ 4} $	$ 3.54 \times 10^{ 5} $	$ 1.11 \times 10^{6} $	$ 3.27 \times 10^{ 5} $
F21	标准差	$ 3.59 \times 10^{ 5} $	$ 3.40\times10^{ 5} $	$ 1.61 \times 10^{ 4} $	$ 4.36 \times 10^{ 6} $	$ 2.22\times 10^{ 4} $	$ 3.48\times 10^{ 5} $	$ 7.95\times 10^{ 5} $	$ 2.86\times 10^{ 5} $
	排名	6	5	1	8	2	4	7	3
	平均误差	$ 4.88 \times 10^{2} $	$ 2.53\times10^{ 3} $	$ 1.44 \times 10^{ 3} $	$ 1.14\times 10^{ 3} $	$ {\bf{3.14 \times 10}}^{\bf{2}} $	$ 9.47 \times 10^{ 2} $	$ 1.88 \times 10^{ 3} $	$ 1.69 \times 10^{ 3} $
F22	标准差	$ 9.15 \times 10^{ 1} $	$ 1.08\times10^{ 2} $	$ 1.59 \times 10^{ 2} $	$ 1.89 \times 10^{2} $	$ 1.41 \times 10^{ 2} $	$ 3.31 \times 10^{ 2} $	$ 2.04 \times 10^{ 2} $	$ 2.13 \times 10^{ 2} $
	排名	2	8	5	4	1	3	7	6
	平均误差	$ 3.16 \times 10^{ 2} $	$2.60\times 10^{ 3} $	$ 3.55 \times 10^{ 2} $	$ 3.57\times 10^{ 2} $	$ 3.15 \times 10^{ 2} $	$ 3.29 \times 10^{ 2} $	$ 4.11 \times 10^{ 2} $	$ {\bf{2.00 \times 10}}^{\bf{2}} $
F23	标准差	$ 5.74 \times 10^{ - 1} $	$ 3.88\times10^{ 1} $	$ 1.77 \times 10^{ - 1} $	$ 7.30 \times 10^{ 0} $	$ 4.43 \times 10^{ - 1} $	$ 7.51 \times 10^{ 0} $	$ 6.43 \times 10^{ 1} $	0
	排名	3	8	5	6	2	4	7	1
	平均误差	$ 2.31 \times 10^{ 2} $	$2.61\times 10^{ 3} $	$ 2.83 \times 10^{ 2} $	$ 2.71\times 10^{ 2} $	$ {\bf{2.00 \times 10}}^{\bf{2}} $	$ 2.78 \times 10^{ 2} $	$ 1.48 \times 10^{ 4} $	$ {\bf{2.00 \times 10}}^{\bf{2}} $
F24	标准差	$ 5.17 \times 10^{ 0} $	$ 3.98\times10^{ 0} $	$ 1.80 \times 10^{ 0} $	$ 1.78 \times 10^{ 0} $	$ 9.68 \times 10^{ - 4} $	$ 3.11 \times 10^{ 1} $	$ 8.37 \times 10^{ 3} $	0
	排名	3	7	6	4	1	5	8	1
	平均误差	$ 2.05 \times 10^{ 2} $	$ 2.70\times10^{ 3} $	$ 2.18 \times 10^{ 2} $	$ 2.22\times 10^{ 2} $	$ 2.02 \times 10^{ 2} $	$ 2.23 \times 10^{ 2} $	$ 5.29 \times 10^{ 2} $	$ {\bf{2.00 \times 10}}^{\bf{2}} $
F25	标准差	$ 1.51 \times 10^{ 0} $	$ 1.41\times10^{ 0} $	$ 1.94 \times 10^{ 0} $	$ 2.80 \times 10^{ 0} $	$ 3.62 \times 10^{ 2} $	$ 9.39 \times 10^{ 0} $	$ 4.37 \times 10^{ 1} $	0
	排名	3	8	6	4	5	7	2	1
	平均误差	$ 1.38 \times 10^{2} $	$ 2.70\times10^{ 3} $	$ 1.04 \times 10^{ 2} $	$ 1.01\times 10^{ 2} $	$ 1.10 \times 10^{ 2} $	$ 1.00 \times 10^{ 2} $	$ {\bf{2.13 \times 10}}^{\bf{0}} $	$ 1.00 \times 10^{ 2} $
F26	标准差	$ 4.84 \times 10^{ 1} $	$ 1.93\times10^{ 1} $	$ 1.82 \times 10^{ 1} $	$ 6.75 \times 10^{ - 2} $	$ 3.15 \times 10^{ 1} $	$ 1.63 \times 10^{ - 1} $	$ 3.46 \times 10^{ 0 } $	0
	排名	5	8	7	6	3	4	2	1
	平均误差	$ 6.69 \times 10^{ 2} $	$ 3.14\times10^{ 3} $	$ 1.28 \times 10^{ 3} $	$ 1.08\times 10^{ 3} $	$ 7.94 \times 10^{ 2} $	$ 4.27 \times 10^{ 2} $	$ {\bf{1.96 \times 10}}^{\bf{2}} $	$ 2.00 \times 10^{ 2} $
F27	标准差	$ 1.63 \times 10^{ 2} $	$ 6.53\times10^{ 1} $	$ 1.47 \times 10^{ 2} $	$ 3.78 \times 10^{ 2} $	$ 2.15 \times 10^{ 2} $	$ 1.96 \times 10^{ 1} $	$ 1.04 \times 10^{ 2} $	0
	排名	4	8	7	6	5	3	1	2
	平均误差	$ 1.03 \times 10^{ 3} $	$ 3.90\times10^{ 3} $	$ 1.92 \times 10^{ 3} $	$ 2.15 \times 10^{ 3} $	$ 1.43 \times 10^{ 3} $	$ 3.49 \times 10^{ 3} $	$ 1.94 \times 10^{ 3} $	$ {\bf{2.00 \times 10}}^{\bf{2}} $
F28	标准差	$ 1.21 \times 10^{ 2} $	$ 2.16\times10^{ 2} $	$ 1.26 \times 10^{ 2} $	$ 3.42 \times 10^{ 2} $	$ 4.37 \times 10^{ 2} $	$ 5.48 \times 10^{ 2} $	$ 5.49 \times 10^{ 2} $	0
	排名	2	8	4	6	3	7	5	1
	平均误差	$ 1.40 \times 10^{ 3} $	$ 3.59\times10^{ 4} $	$ 2.00 \times 10^{ 4} $	$ 3.32\times 10^{ 3} $	$ 3.08 \times 10^{ 6} $	$ 5.44 \times 10^{ 5} $	$ 1.98 \times 10^{ 7} $	$ {\bf{2.00 \times 10}}^{\bf{2}} $
F29	标准差	$ 4.27 \times 10^{ 2} $	$ 1.64\times10^{ 5} $	$ 7.15 \times 10^{ 3} $	$ 1.46 \times 10^{ 3} $	$ 4.99 \times 10^{ 6} $	$ 2.61 \times 10^{ 6} $	$ 3.96 \times 10^{ 6} $	0
	排名	2	5	4	3	7	6	8	1
	平均误差	$ 4.63 \times 10^{ 3} $	$ 1.55\times10^{ 4} $	$ 1.97 \times 10^{ 4} $	$ 1.61\times 10^{ 4} $	$ 6.47 \times 10^{ 3} $	$ 2.49 \times 10^{ 4} $	$ 6.96 \times 10^{ 6} $	$ {\bf{2.00 \times 10}}^{\bf{2}} $
F30	标准差	$ 2.32 \times 10^{3} $	$ 4.24\times10^{ 3} $	$ 2.00 \times 10^{ 3} $	$ 4.10 \times 10^{ 3} $	$ 3.43 \times 10^{3} $	$ 2.26 \times 10^{4} $	$ 1.03 \times 10^{7} $	0
	排名	2	4	6	5	3	7	8	1
	平均排名	2.9333	7.0333	5.0333	4.7333	3.2667	5.1667	4.6333	3.0000
	最终排名	1	8	6	5	3	7	4	2

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由表 6可知, 与HS-SA、CoDE和LM-BBO算法相比, LIL-GWO分别在17、21和20个测试函数上获得了较好的结果; 而HS-SA、CoDE和LM- BBO算法则分别在13、9和10个函数上得到了较好的实验结果.与MoABC、HSCA和DGS-TLBO算法相比, LIL-GWO算法分别在20、18和22个测试函数上取得了较好的结果, 在F5、F24和F26上获得了相似的结果.然而, MoABC、HSCA和DGS-TLBO算法分别在9、11和7个函数上得到了较好的结果.与PBA算法相比, 除了函数F3和F20, LIL-GWO算法在其他函数上均获得了较好的结果; 对于F3和F12, PBA算法的结果要优.由表8中Friedman's排名检验结果可知, HS-SA排名第一, LIL-GWO排名第二, 依次是DGS-TLBO、LM-BBO、MoABC、CoDE、HSCA和PBA.

3.6   LIL-GWO用于光伏模型参数辨识

为解决气候变化, 环境污染和经典化石燃料枯竭等问题, 近年来人们越来越关注可再生能源的使用.太阳能因其广泛的实用性和清洁度而被认为是最有前景的可再生能源之一^[52].它通过光伏(Photo-voltaic, PV)系统将太阳能转换为电能.然而, PV系统通常在恶劣的室外环境中运行, 这极大地影响了太阳能的利用效率.为了控制和优化PV系统, 使用基于测量的电流-电压数据的精确模型来评估PV阵列在运行中的实际行为是非常重要的^[52].在众多描述PV系统的模型中, 单二极管模型在实践中被广泛使用^[52].然而, PV模型的准确性主要取决于它们的参数.因此, 准确可靠地辨识模型参数对PV系统的评估、优化和控制不可或缺.

如图 7所示, 单二极管模型包括与二极管并联的电流源、分流电阻和串联电阻.

图 7  单二极管模型的结构

Fig. 7  Structure of single diode model

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由图 7可计算出输出电流IL如下^[52]:

其中, $I_{ph}$为光生电流, $I_d$为二极管电流, $I_{sh}$为并联电阻电流, $I_{sd}$为二极管的反向饱和电流, $V_L$为输出电压, $n$为二极管理想系数, $k = {\rm{1}}{\rm{.3806503}} \times 10^{ - 23} $ J/K为玻尔兹曼常量, $q = 1.60217646$为电子电荷, $T$为电池温度, $R_S$和$R_{sh}$分别为串联和并联电阻.由式(21)可知, 在单二极管模型中, 5个未知参数($I_{ph}$, $I_{sd}$, $R_S$, $R_{sh}$和$n$)需要辨识.

PV模型的参数辨识可转化为优化问题, 其目标是使辨识参数得到的模拟数据与实测数据的误差最小, 可用均方根误差(RMSE)来度量^[52]:

其中, $N$为数据的数量, ${\pmb x}=(I_{ph}$, $I_{sd}$, $R_S$, $R_{sh}$, $n$).

选取文献[53]中的实测数据, 利用LIL-GWO算法对单二极管PV模型的参数进行辨识. LIL-GWO算法参数设置与第3.1节相同, 独立运行30次实验得到一组最优参数, 并与文献[52]中的几种算法进行比较, 结果如表 7所示.

表 7  不同算法对单二极管模型的最优辨识参数比较

Table 7  Comparison among different algorithms on single diode model

算法	$ I_{ph} $ (A)	$ I_{sd}\, (\mu$A)	$R_S\, (\Omega)$	$R_{sh}\, (\Omega)$	$n$	RMSE
BSA	0.7609	0.37749	0.0358	56.5266	1.4970	$ 1.0398 \times 10^{ - 3}$
IBSA	0.7607	0.35502	0.0361	58.2012	1.4907	$ 1.0092 \times 10^{ - 3}$
LBSA	0.7606	0.34618	0.0362	59.0978	1.4881	$ 1.0143 \times 10^{ - 3}$
CLPSO	0.7608	0.34302	0.0361	54.1965	1.4873	$ 9.9633 \times 10^{ - 3}$
BLPSO	0.7607	0.36620	0.0359	60.2845	1.4939	$ 1.0272 \times 10^{ - 3}$
DE-BBO	0.7605	0.32477	0.0364	55.2627	1.4817	$ 9.9922 \times 10^{ - 4}$
GOTLBO	0.7608	0.32970	0.0363	53.3664	1.4833	$ 9.8856 \times 10^{ - 3}$
LIL-GWO	0.7608	0.32363	0.0364	53.7967	1.4814	$ 9.8604 \times 10^{ - 4}$

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由表 7中结果可知, LIL-GWO辨识PV模型参数得到一组最优参数的RMSE值为$ 9.8604 \times 10^{ - 4}$.与BSA、IBSA、LBSA、CLPSO、BLPSO、DE-BBO和GOTLBO算法相比, LIL-GWO辨识最优参数后得到的RMSE值($ 9.8604 \times 10^{ - 4}$)最小.此外, 利用LIL-GWO辨识的最优参数生成的电流-电压(I-V)和功率-电压(P-V)曲线如图 8所示.从图 8可以清晰地看出, 在整个电压范围内, LIL-GWO辨识最优参数后获得的模拟数据与实测数据高度吻合且具有较强的可靠性和鲁棒性.

图 8  单二极管模型的测试数据和LIL-GWO计算数据的比较

Fig. 8  Comparison of the measured data and calculated data obtained by LIL-GWO for the single diode model

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4.   结论

本文提出一种新型的全局灰狼优化算法.首先对GWO算法的控制参数$ {{\pmb C}}$进行了一般性分析, 在此基础上提出一种修改控制参数$ {{\pmb C}}$策略以协调算法的勘探和开采能力.其次, 对群体在不同进化阶段的聚集程度进行了分析, 引入基于光透镜成像原理的反向学习策略, 扩大算法群体搜索的有效范围, 从而降低算法陷入局部最优的概率.然而, 本文对算法失效的场景没有进行讨论.

第1组测试函数仿真实验表明, 与基本GWO算法、改进GWO算法和其他群体智能优化算法相比, LIL-GWO在收敛速度和精度上均具有明显的优势, 在高维问题上也体现出较好的性能, 说明两个改进策略是有效的.

第2组是基于CEC2014的30个更复杂函数的测试, 与7种知名群体智能算法相比, LIL-GWO也同样具有较强的竞争力.

太阳能光伏系统模型参数辨识问题的结果表明, 与所比较的辨识算法相比, LIL-GWO算法获得最优辨识参数的RMSE值最小.