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摘要: 复杂仿真模型一般具有多个不同类型且带有相关性的输出，现有验证方法存在变量信息缺失、变量相关性度量不准确等问题.为此，提出基于变量选择和概率分布差异相结合的多变量仿真结果验证方法，考虑不确定性的影响，对选取到具有相关性的多个变量进行联合验证.首先，引入分形维数和互信息方法对多元异类输出进行相关性分析，提取相关变量子集.而后对相关变量子集中的各变量提取数据特征，进而计算各相关变量子集关于数据特征的联合概率分布，采用概率分布差异法度量仿真输出和参考输出联合概率分布的差异，并将其转化为一致性程度；在此基础上综合多个验证结果得到模型可信度.通过实例应用及对比实验，验证了方法的有效性.Abstract: Complex simulation models often generate the multivariate and different types of output, some problems such as the lacking variables information and the inaccuracy correlation measurement are involved in the existing validation methods. A novel validation method combining variables selection with area metric is proposed, the multiple outputs with correlation are selected for the associated validation under uncertainty. The fractal dimension and mutual information methods are primarily applied to analyze the correlation among multivariate and divise responses and extract the correlated variable subsets. Next, the interesting data characteristics of all variables are extracted in subset and the corresponding joint cumulative distribution function (JCDF) of each subset related to any characteristic is calculated. The area metric is used to measure the difference between the simulation and reference output JCDFs of multivariate characteristics in each subset, and the differences are transformed into the consistency degrees. Then the multiple validation results are integrated to obtain the model credibility. Finally, the method is validated through the application case and comparison experiments.
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由于工业过程固有的非线性, 当线性模型无法准确描述过程的动态特性时, 使用单一的线性模型设计的控制器的性能会大大缩减.工业过程中, 经常遇到工作点由于经济考虑或环境变量的变化而不可避免地发生变化, 从而改变了工业过程的动态特性[1-2].通常, 由质量、动量、能量守恒等构建的机理模型可以描述非线性过程的全局特性.然而, 由于机理建模的复杂性和难度, 导出的模型通常是非线性的并且难以求解, 这使得控制器的设计非常复杂, 甚至是不可行的.因此, 众多学者在寻找描述非线性过程的相对简单的模型结构方面已经做出很大努力.
上世纪90年代, 变增益控制技术理论逐渐成熟, 但该技术局限于控制器参数的开环改变, 没有来自闭环系统性能的反馈作用, 并且缺乏严格的稳定性理论证明.为此, Shamma等[3]提出了LPV系统, 解决了传统变增益控制技术不足, 更重要的是可以从理论上证明系统的稳定性. 在众多文献的结果中, 线性参数变化(Linear parameter varying, LPV)模型由于其线性的模型结构和良好的描述复杂非线性系统的能力而引起了许多研究者的关注[4-7]. 由于LPV描述具有线性模型结构, 因此可以使用成熟的线性控制理论进行控制器设计.通常选取一个或多个可测或可计算的时变信号作为可以反映系统动态特性的调度变量. LPV模型可以看作是介于线性模型和非线性模型之间的一种模型描述, 它既具有简单的线性结构, 同时它的时变模型参数使之具有精确描述非线性或时变系统的能力[8].目前, LPV系统的研究已成为国际学术界的一项重要热点领域.然而, 随着LPV理论研究的不断深入, 对于LPV系统的辨识方法的研究却十分有限, 对于实际过程中普遍存在的问题(时滞系统、多率系统等)较少关注; 控制系统的保守性高, 计算量大, 系统复杂等问题凸显; 虽然LPV对非线性系统具有精确的描述能力, 但其目前的应用却主要在于航空航天、车辆控制等领域, LPV的研究仍然存在着巨大的潜力.
本文旨在对LPV的基本结构、辨识方法、控制理论及其应用领域等方面的发展现状, 进行较为全面的总结, 重点综述LPV的一些代表性改进工作和应用研究, 并指出LPV在多方面的若干进一步的研究内容.
1. LPV系统的模型描述
LPV模型的参数是时变的, 在一定的模型结构下, 其参数通常表示为可测量调度信号的多项式函数, 便能够充分表达系统的非线性.多数采用的是状态空间模型(LPV-SS (Sterte space))和输入输出模型(LPV-IO (Input output))两种结构形式.其中连续LPV-SS模型通常描述为
$$ \begin{align} {\boldsymbol {\dot{x}}}(t)={\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {\rho}}(t)){{\boldsymbol {x}}}(t)+\boldsymbol {B}(\boldsymbol{ \rho}(t)){\boldsymbol {u}}(t) \\{\boldsymbol {y}}(t)=\boldsymbol {C}({\boldsymbol {\rho}}(t)){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {\rho}}(t)){\boldsymbol {u}}(t) \end{align} $$ (1) 式中, $ {\boldsymbol x(t)}$为状态向量, $ {\boldsymbol y(t)}$为输出向量, $ {\boldsymbol u(t)}$为输入向量, $ {\boldsymbol \rho(t)}$为调度变量.
离散LPV-SS模型通常描述为
$$ {\boldsymbol {x}}(k)= {\boldsymbol {A}}(\boldsymbol\rho(k)){\boldsymbol {x}}(k-1)+{\boldsymbol {B}}(\boldsymbol{\rho}(k)){\boldsymbol {u}}(k-1) \\{\boldsymbol {y}}(k)= {\boldsymbol {C}}(\boldsymbol{\rho} (k)){\boldsymbol {x}}(k)+{\boldsymbol {D}}(\boldsymbol{\rho}(k)){\boldsymbol {u}}(k) $$ (2) 式中, $ {\boldsymbol x(k)}$为状态向量, $ {\boldsymbol y(k)}$为输出向量, $ {\boldsymbol u(k)}$为输入向量, $ {\boldsymbol \rho (k)}$为调度变量.
在上述模型(1)和模型(2)中, 当调度变量为系统的状态变量时, 该模型则称为准LPV模型.
对于输入输出模型, 一般针对的是带随机干扰的离散时间最小二乘结构形式, 离散LPV-IO模型通常描述为
$$ \begin{align} y(k)= &\sum\limits_{i=1}^{n_a} a_i ({\boldsymbol\rho} (k))y(k-i) +\nonumber\\ & \sum\limits_{j=1}^{n_b} b_j ({\boldsymbol\rho} (k))u(k-j) +\xi (k) \end{align} $$ (3) 式中, $ { y(k)}$为$ k$时刻的输出, $ { u(k)}$为$ k$时刻的输入, $ n_a$和$ n_b$分别为模型的自回归部分和滑动平均部分的阶次, $ { \xi(k)}$代表均值为零方差有限的白噪声, $ { {\boldsymbol\rho}(k)}$为调度变量.
通常, 根据控制对象的特性来选择LPV-SS或者LPV-IO模型.对于系统特性认识清晰, 可通过机理分析建立系统模型的被控对象, 通常采用LPV-SS模型, 如文献[2, 4, 6, 9-13], 而对于系统机理特性不够明确的被控对象, 如果能够定性的认识影响对象特性的主导参数, 通常根据其输入输出数据辨识得到LPV-IO模型, 如文献[1, 5, 7-8, 14-17].在LPV-IO模型中, 一些学者将LPV模型与现有的一些特殊模型结构相结合, 分别提出了LPV Box-Jenkins模型[14], LPV-ARX模型[5], LPV-FIR模型[15], LPV-OE模型[16]和LPV-HoKalman模型[17].
2. LPV系统的建模方法与参数辨识
2.1 局部建模方法
局部建模方法最为常见且应用最为广泛, 目前多用于航天、能源等领域. LPV系统的模型结构主要依赖于调度变量, 当调度变量为固定值时, 该模型可以看作是一个线性时不变(Linear time-invariant, LTI)系统模型.根据这个思想, 局部建模一般先采用机理建模方法, 得到对象的动力学方程, 然后选取一定的工况点线性化, 得到一组固定参数的LTI模型集, 然后对该模型集进行插值, 最终得到LPV模型, 代表性的有文献[9-12].该建模方法要求熟悉实际过程中所涉及到的基本定律, 需要对系统有全面的了解. Marcos等[17]分析了3种由系统线性模型转换为LPV模型的方法: 雅克比线性化(Jacobain linearization)、状态变换(State transformation) 和方程替换(Function substution), 其中雅克比线性化方法最为普遍.
常用的插值方法有参数插值策略[18]和输出插值策略[19]. Chen等[20]考虑了具有不确定调度变量的非线性系统的局部辨识问题, 引入状态空间模型来描述调度变量和测量过程变量之间的函数关系.将期望最大化(Expectation maximization, EM)算法和粒子滤波器用于处理辨识问题.该方法在文献[21]中进行了扩展, 以处理多个相关的调度变量. Mercere等[18]对换热器建立LPV模型, 采用参数插值策略, 将LPV模型参数写为调度变量的多项式函数, 利用预测误差方法辨识局部模型, 并通过求解最小二乘问题来计算参数多项式函数的系数.但是, 参数插值策略要求所有局部模型具有相同的模型结构类型, 并且通过参数插值获得与局部模型结构相同的全局LPV模型. LPV域中不同模型类型之间的转换可能导致参数估计的偏差和困难, 同时参数多项式函数的高阶次也会增加估计的难度. Xu等[22]提出了一种具有输出插值策略的局部LPV辨识方法, 根据若干工作点处的数据建立局部模型, 使用由过程数据估计出的加权函数来组合不同工作点处的局部模型.
2.2 全局建模方法
尽管局部建模方法的操作方便, 但是很多工业过程不允许调度变量或工作点在长时间内保持不变, 以保证能够收集足够的数据来进行局部模型辨识和解决模型过渡期的逼近和平滑问题.同时, 局部工作点的选择, 以及插值引起的过渡区间的逼近误差等, 可能极大地影响局部建模方法的性能[23].为了避免这些问题, 全局建模方法提供了一个很好的替代方案, 并且可以生成一个能够准确描述整个工作范围内系统动态的模型.在全局方法中, 调度变量在整个调度空间中变化, 并且全局LPV模型参数函数的系数是直接从所有采集到的过程数据估计的.因此, 近年来全局建模方法得到了广泛的关注[13-14, 24-25].全局建模方法需要使用所有采样时刻的输入输出数据和调度变量数据, 这意味着需要在整个过程中对系统进行持续激励.因此, Bamieh等[26]根据输入和参数轨迹, 给出了系统持续激励的基本条件.在此基础上, Bamieh等[27]提出了一种全局LPV模型参数辨识方法, 使用最小二乘法和递归最小二乘法来估计模型参数. Zhao等[28]将预测误差方法扩展到LPV系统辨识, 通过使用数值优化算法优化预测误差函数来估计加权函数的参数. Golabi等[29]提出使用贝叶斯方法来辨识LPV模型. Marcos等[17]提出了一种具有静态仿射依赖结构的LPV离散时间状态空间模型的全局辨识方法, 并提出了一种基于LPV-HoKalman的模型降阶方案. Wingerden等[30]提出了一种在开环和闭环条件下仿射参数依赖的LPV系统的子空间模型辨识方法. Paijmans等[14]提出了一种在有色噪声情况下辨识LPV-OE模型和LPV-BJ模型的最优精选工具变量方法. Cerone等[31]考虑输出和调度参数的测量都受有界噪声影响时的线性变参数模型的辨识问题, 将参数不确定性区间的计算问题转化为非凸优化问题, 采用半定优化的方法来估计LPV模型参数的不确定区间.
3. LPV模型辨识的若干典型研究方向
目前, 关于LPV的控制理论和工业应用的研究得到广泛的关注, 但在实际的工业应用中存在着诸如参数变化时滞, 不确定量测或数据缺失, 多率系统, 鲁棒参数估计等无法避免的问题, 国内外学者对这些问题进行了细致的研究, 提出了大量解决方案.
3.1 时滞系统的LPV模型辨识
时滞现象在工业生产过程中广泛存在, 时滞的存在会降低系统控制性能和稳定性, 这就需要在系统设计时准确估计时滞参数. LPV系统中的时滞多为定常时滞和参数变化时滞[32].现有的时滞系统辨识方法大多将模型参数和时滞参数分开辨识, 而时滞参数估计误差极大的影响着系统的模型精度和控制性能. Jin等[33]将期望最大化算法(EM)引入LPV模型辨识, 通过极大似然方法(ML)辨识模型未知参数.在此基础上, Yang等[34]采用EM算法对具有变参数时滞和定常时滞的LPV系统进行多模型辨识, 同时处理该过程的参数变化特性和时滞特性. Yang等[11]考虑了具有输出误差(Output error, OE)的单输入单输出时滞系统的LPV模型参数估计问题.采用多模型LPV结构, 使用全局最大法为每个工况点估计出具有外部输入的自回归(Auto-regressive model with extra inputs, ARX)时滞模型, 再根据这组模型和输入输出数据, 采用极大似然法来辨识全局LPV-OE模型.
3.2 带有不确定量测或数据缺失系统的LPV模型辨识
实际工业过程中, 系统数据的测量和采集往往由于多种原因出现缺失或误差较大, 这就导致难以获得准确的系统模型.现有的研究成果大多采用局部辨识方法来处理具有不确定量测或数据缺失的LPV系统. Gopaluni等[35]等提出了一种非线性过程辨识方法, 当系统的部分输出数据缺失时, 通过使用EM算法用于处理丢失的数据, 结合粒子滤波器, 推导得到LPV模型. Deng等[36]在预先选择的工作点上确定几个局部非线性模型, 并通过用归一化指数函数插值局部非线性模型, 从而获得系统的全局LPV模型. Yang等[10]采用广义最大期望(GEM)算法来处理该问题, 采用多模型LPV结构, 通过局部模型来获得有限脉冲响应(FIR) LPV模型.为了减轻潜在的过度参数化问题, 通过FIR模型进行先验估计, 改良GEM算法对多模LPV-FIR模型进行后验估计. Liu等[37]研究了一类带噪声(不确定)调度变量的LPV-ARX模型的辨识问题. 用ARX模型描述系统特性, 用非线性状态空间模型对噪声调度变量进行建模, 利用基于序列蒙特卡罗法(SMC) 的粒子滤波器对不确定调度变量进行估计, 在EM算法的框架下, 根据输出数据辨识LPV-ARX模型中的所有未知参数.
3.3 多率系统的LPV模型辨识
实际工业过程中, 由于一些无法通过传感器直接获得的数据需进一步处理, 或者由于过程中不同通道之间的特性差别较大等原因, 使得系统中存在不同的采样周期, 产生了多率数据.现有的研究成果大多采用在线系统辨识方法. Yang等[38]通过建立输出误差模型来解决LPV双速率系统辨识问题, 该系统由于随机的测量延迟导致低速输出数据损坏. Yan等[39]研究了具有缓慢采样输出的系统的辨识, 使用具有多模型结构的LPV模型来解决该问题, 将输出误差(OE)方法用于估计模型参数, 提出了一种将过程知识与最终输出误差标准(FOE)相结合的工程方法来辨识系统参数. Hooshmandi等[40]解决了多率LPV系统的鲁棒性和稳定性问题, 考虑输入延迟及实际参数和测量参数之间的误差, 为任意依赖于参数的LPV系统推导出新的稳定性条件.
3.4 LPV模型鲁棒参数估计
实际工业过程收集的数据集通常并不理想, 并且诸如异常值, 缺失测量值和时间延迟等问题在工业过程中经常遇到并且是不可避免的[41-42].异常值可能是由传感器故障、数据写入或读取错误, 系统干扰、数据传输错误等引起的.异常值也可以是从过程分布模型中抽取的真实数据.当直接应用于具有异常值的数据集时, 诸如线性平方方法、工具变量方法和极大似然方法(或EM算法)之类的传统辨识方法可能遭受性能劣化.这是因为这些方法基本上在正常数据点和异常值上分配等效权重, 从而导致参数估计的偏差甚至估计的模型无效.因此, 在辨识过程中应特别注意处理异常值. Yang等[43]为了处理过程建模中的异常值, 用广义期望最大化(GEM)算法来处理鲁棒LPV建模问题.在该算法中, 噪声建模采用学生氏t分布模型而不是使用传统的高斯分布, 通过GEM算法自适应地调整鲁棒性.在此基础上, Yang等[44]讨论了LPV双速率系统的鲁棒全局辨识和快速速率输出估计问题, 其中输出测量受到随机时间延迟和系统外部因素的影响; 给出了LPV双速率模型, 并利用拉普拉斯分布处理鲁棒的全局辨识和输出估计问题.在GEM算法框架中推导出用于估计所有未知参数和输出数据的鲁棒辨识算法, 并且在辨识过程中自适应地处理输出数据中的随机时间延迟和异常值.
4. LPV系统的控制
在过去十几年中, 国内外学者都将LPV控制作为多变量系统的传统增益调度的替代方案.增益调度是对大部分动态系统设计控制器的标准方法.它是一个通过一系列局部线性化的控制器进行插值而得到的全局控制器.这种方法的缺点在于工况点的选择, 不合理的工况点无法保证系统的稳定性和性能, 尤其在调度变量快速变化时尤为明显.采用LPV模型的增益调度控制技术与传统增益控制先设计局部控制器, 然后不停切换控制器的方式不同, 该方法可以直接设计全局控制器, 这样能够在选定的参数变化范围内保证系统的稳定性和其他性能指标.
由于控制器基于动态的调度参数, 可以自行调节, 所以不必设计复杂的调度计划.设计控制器时, 先固定调度参数, 为每一个线性系统设计控制器, 最后的控制器必须依赖于调度变量$ {\boldsymbol \rho (t)}$, 连续状态空间形式的控制器如下:
$$ \begin{align} {\boldsymbol {\dot{x}}}(t)={\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {\rho}}(t)){\boldsymbol {x}}(t)+\boldsymbol{ B}({\boldsymbol {\rho}}(t)){\boldsymbol {y}}(t) \\ {\boldsymbol {u}}(t)={\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {\rho}}(t)){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {D}}(\boldsymbol {\rho}(t)){\boldsymbol {y}}(t) \end{align} $$ (4) 式中, $ {\boldsymbol x(t)}$为状态向量, $ {\boldsymbol y(t)}$为测量输出向量, $ {\boldsymbol u (t)}$为控制输入向量, $ {\boldsymbol \rho (t)}$为调度变量.
随着LPV控制理论的不断发展, 保守性高, 计算量大, 系统设计复杂等问题凸显出来, 国内外学者对这些问题进行了细致的研究, 提出了多种解决方案.
4.1 LPV鲁棒变增益控制
虽然传统的变增益控制已在实际工程应用中发挥着良好的效果, 但该方法只能在所选择的工作点上保证系统稳定, 而不能保证在整个工作区间内有良好的稳定性和鲁棒性. 1994年, Apkarian等[45]为保证全局$ H_\infty$性能, 针对一类仿射参数依赖系统, 提出一种鲁棒变增益控制器, 引起了学者们的广泛关注. Bianchi等[46]提出基于LPV系统的增益调度控制来解决质子交换膜燃料电池的稳定性和高性能需求问题, 确保能源的高效转换的同时避免了对聚合物膜的损害. Dabiri等[47]针对具有输入饱和约束的离散时间LPV系统, 开发了一种增益调度状态反馈控制器, 提出一种特殊的控制器结构及相应的求解方法, 并应用于匝道流量控制. Wang等[48]针对离散时滞系统设计LPV状态反馈控制器, 提出参数依赖的Lyapunov函数$ H_2/ H_\infty$性能标准, 通过引入松弛变量, 提出了改进的参数依赖的$ H_2/ H_\infty$性能标准. Robert等[49]针对一类具有时变采样周期的系统, 提出以采样周期为调度变量, 设计一种$ H_\infty$ LPV控制器, 应用于T型倒立摆, 该方法不仅极大的降低了系统的保守性并且简化了系统的计算. Jiang等[50]针对一类同时具有参数不确定性和外界干扰的非线性系统, 设计连续时间多胞LPV系统变增益$ H_2/H_\infty$输出反馈控制.将满足期望性能的混合目标鲁棒动态输出反馈控制问题转化为线性矩阵不等式(Linear matrix inequality, LMI)框架内的有限维凸优化问题, 进一步降低了系统的保守性.
4.2 多胞LPV控制
对LPV系统设计控制器时, 通常将问题转化为求解调度变量$ {\boldsymbol \rho (t)}$的变化轨迹上的一组LMI, 当在参数变化范围内的所有LMI都有解时, 才能保证系统稳定.然而, 调度参数通常是连续变化的, 这就意味着需要求解无穷个LMI, 这显然很难实现.将系统模型转化为多胞结构便是一种有效的解决方案.多胞体集合属于一个多顶点的凸集合, 整个系统可以通过这些不同的顶点来描述.这样, 对于整个系统的分析可以转化为对这些顶点的分析, 即可以将求解无穷多个LMI的问题简化为求解有限顶点的LMI问题. Jabali等[51]采用不确定的多胞LPV模型, 在期望的LMI区域内, 利用极点配置约束来分配闭环系统的极点.基于系统的期望状态轨迹, 利用拉格朗日方程, 建立了系统的不确定多胞LPV模型.通过求解LMI, 推导出控制器的控制增益矩阵, 使得$ H_2/H_\infty$混合性能满足要求.但该方法需要用到大量的LMI, 使得计算量较大. 黄金杰等[52]等针对输入电压和输出负载发生变化会影响Buck变换器动态特性的问题, 建立了Buck变换器多胞LPV模型, 同时引入多胞优化技术, 基于LMI最优化的方法, 利用状态反馈将闭环系统的极点配置到满足动态响应要求的特定区域, 设计了一种基于多胞LPV模型的Buck变换器的鲁棒变增益控制器.该方法极大地简化了计算, 易于实现, 同时有较强的抑制干扰的能力, 鲁棒性更好.
4.3 切换LPV控制
实际情况中, 一个LPV系统往往具有较大的参数变化范围, 单一的控制器并不能够保证系统的整体稳定性. 通常将参数范围进行划分, 每个区域设置单独的控制器, 通过控制的切换策略来保证系统的性能, 由此, 文献[53] 提出了切换LPV的概念, 能够从理论上保证系统在整个参数轨迹上的鲁棒性及全局稳定性, 从而克服了传统变增益控制中由插值或切换引起的稳定性问题.在此基础上, Xie等[54]研究了具有参数不确定性的切换LPV系统的模型参考自适应控制(MRAC)问题, 设计了具有自适应律的切换LPV控制器并给出了涡扇发动机MRAC的实际例子. Huang等[55]提出了一种用于柔性吸气式高超声速飞行器(FAHV)的LPV切换跟踪控制方案.利用雅可比线性化和张量积(T-P)模型变换方法, 构造了描述FAHV复杂非线性纵向模型的多胞LPV模型.为了降低控制器设计的保守性, 将飞行包线划分为4个子区域, 并针对每个参数子区域设计了一个LPV控制器.然后切换这些LPV控制器, 以保证闭环FAHV系统渐近稳定并满足指定的性能指标.利用LMI求解一个凸约束问题求得该控制器.由于是基于多重Lyapunov函数, 比使用多参数依赖的Lyapunov函数具有更小的保守性. Zhu等[56]考虑了切换LPV系统的$ H_\infty$跟踪控制问题, 提出了一种航空发动机的切换LPV模型.将参数划分为若干个子区域, 为每个参数子区域设计LPV控制器, 以满足整体性能指标.该方法充分表现出LPV系统在参数变化剧烈、大范围飞行情况下的可靠性和灵活性.
4.4 LPV系统的预测控制
非线性模型预测控制在处理实际过程中的非线性特性时, 发挥着良好的作用, 但由于非线性模型预测控制在每个采样时刻, 需要求解一个非凸的非线性优化问题, 在线计算量较大.而使用LPV模型来描述系统, 不仅能够避免求解复杂的非凸非线性优化问题, 而且仍可以使用传统的模型预测控制方法设计控制器, 这吸引了众多学者的关注. Cao等[57]针对输入饱和的多胞型LPV系统提出一种新的模型预测控制(MPC)算法.通过解决LMI的优化问题, 提出了Min-Max MPC算法和一种增益调度MPC算法, 用于设计参数依赖的控制器.该方法在减少每一步的LMI计算量的同时, 保证了系统的快速响应和鲁棒性. Garone等[58]为了解决输入饱和LPV系统的反馈调节问题, 提出了一种基于椭球体微积分和可行性理论的离线模型预测控制方法.为了减少传统鲁棒MPC方案的计算负担和保守性, 提出了一种通过优化状态轨迹的线性调度控制律. Abbas等[59]针对输入输出LPV模型, 提出一种鲁棒模型预测控制器, 将控制器设计问题转化为求解LMI, 并在连续搅拌反应釜实现应用. Li等[60]针对一类具有参数变化有界的LPV系统, 提出了反馈鲁棒模型预测控制(FRMPC).基于有界的参数变化速率和当前系统参数, 模型参数变化可以通过具有相同顶点数的多胞集合来描述.该方法对未来模型参数变化进行预测, 能够获得更好的控制性能. 但是LPV预测控制中, 多步控制集所对应的每一步椭圆集均采用参数增益调度控制律, 使得在线计算量仍然较大.
4.5 LPV系统与T-S模糊控制
T-S模糊控制是一种模糊控制的重要设计方法, 已经成为处理非线性系统稳定性分析及控制器综合的有力工具.事实上, LPV模型与T-S模型有着极其相似的结构, 但是, LPV和T-S系统被视为属于两个不同的领域, 对它们的研究都是独立进行的, 关于LPV的文献与T-S的文献之间的交叉引用也非常少见.部分情况下, 如果将前者的"隶属度函数"视为后者的"调度函数", 则T-S系统可以描述为LPV系统.从分析和设计的角度来看, 很难发现两者之间的明显差异, 甚至可将T-S看做是LPV的特殊形式, 但LPV和T-S系统之间的关系仍然没有明确严格的描述. Rotondo等[61]比较了LPV模型和T-S模型之间的关系, 尝试建立两者之间的联系, 尝试将T-S模型转化为LPV模型, 不过只是在部分特殊情况下才能达成. Wu等[62]将LPV模型与模糊控制理论结合, 提出一种模糊LPV控制器来解决在稀燃点火发动机中存在固有时变延迟和模型参数的高度不确定性. Hu等[63]研究了低于额定风速的风力发电系统(WTGS)的LPV T-S模糊增益调度控制.采用T-S模糊线性化方法处理WTGS的仿射非线性参数变化(ANPV)模型, 得到了具有所需精度的LPV T-S模糊模型.考虑到最大限度的利用风能并减轻机械载荷, 提出了基于LPV T-S模糊控制系统的$ H_\infty$问题. 通过引入参数依赖的分段二次Lyapunov函数, 提出输出反馈$ H_\infty$控制合成程序来处理该问题, 通过LMI形式给出了充分条件.
4.6 LPV系统的故障诊断与容错控制
故障诊断与容错控制为保证工业控制系统的可靠性与安全性提供了一种有效方案.在第16届地中海控制会议(16th Mediterranean Conference on Control and Automation)中, 设立了基于LPV系统的故障诊断与容错控制的专题, 引起了学者广泛关注. Cui等[64]针对一类状态空间矩阵仿射依赖于时变参数向量的LPV系统, 提出了一种鲁棒$ H_\infty$故障估计器的设计方法, 将故障诊断估计问题转化为鲁棒$ H_\infty$控制问题, 通过同时设计鲁棒控制器和故障估计器来处理一类仿射参数依赖的不确定LPV系统.该方法在减少系统的保守性的同时降低了系统的复杂程度. Houimli等[65]提出一种改进型多胞LPV系统控制器处理执行器的状态估计和故障检测问题.利用LMI来计算设计控制器参数, 降低了二次逼近的保守性.针对车辆半主动悬架系统中的阻尼器故障, 基于LPV控制策略, Nguyen等[66]提出了一种2步设计的容错控制: 1) 通过使用基于未知输入自适应观测器的快速自适应故障估计(FAFE)算法来估计快速时变故障; 2)根据所估计的信息, 在半主动悬架的耗散区域进行调整, 基于LPV和$ H_\infty$的框架设计控制器.该方法保证了阻尼器的耗散性约束和系统的稳定性, 保证了乘客的舒适性, 具有良好的控制性能, 并且易于实现.
5. LPV模型与控制系统的应用领域
LPV模型作为一种良好的非线性系统的描述方法, 可以适用于众多的领域.
5.1 航空航天领域
在航空航天领域, 飞行器的高度、马赫数、温度等参数直接影响着系统动态性能.由于这种航空航天器的非线性特性, 正适合用LPV模型来描述[67-71]. 基于LPV系统的变增益控制克服了传统变增益控制的缺点, 不仅减少了繁杂的前期工作, 也使得系统的稳定性和性能分析在理论上变得简单易用.大多飞行器都可将高度、马赫数等作为调度变量, 通过雅克比线性化的方法进行LPV建模. Tan等[72]通过状态变换的方法得到一种通用导弹的准LPV模型. Li等[73]等得到涡扇发动机控制系统的准LPV模型及改进模型. Pang[74]针对高超声速飞行器具有模型不确定性和参数不确定性、阵风干扰和大跨度机动飞行导致的系统参数剧烈变化等问题, 在LPV系统框架内, 将问题归结为标准的$ H_\infty$问题, 根据多胞LPV系统的特性, 应用仿射参数依赖的Lyapunov方法, 得到了LPV鲁棒变增益控制器, 相较于传统变增益控制器和定常控制器, 具有更加良好的鲁棒性和稳定性. Shao[75]基于鲁棒性能约束和多目标进化算法, 提出了鲁棒LPV-PID变增益控制方法来处理变形无人机变形过程的控制问题, 应用于在变形无人机的暂态控制, 与输出反馈控制器相比, 不仅可以保证整个过程中的鲁棒性和稳定性, 而且提高了控制的精准性.
5.2 能源电力领域
LPV控制系统在风力发电领域中有着广泛的应用[3, 76-85].通常将风速作为调度变量, 通过泰勒展开公式, 将转矩通过风速、转速和转矩角等变量的多项式表示, 从而得到线性模型, 再通过插值得到LPV模型. Inthamoussou等[79]提出了一种采用有功功率控制(APC)的可变桨距风力涡轮机的新型LPV控制器, 同时考虑了抗饱和补偿, 使得控制器可以应用于整个风速变化范围.采用标准解耦螺距和扭矩控制结构代替常规的多变量方法, 从而易于实际应用.与采用LTI方法的APC对比, 具有更加良好的调节速度和稳定性. Liu等[86]将LPV技术用于同步电机(SG) 和柔性交流输电系统(FACTS)的鲁棒控制, 通过在几个工况点周围使用多组线性化模型来增强转子角度稳定性.相对于传统的变增益控制器, 在更大参数范围内, 优化了插值策略, 提高了系统的可靠性, 同时保证了系统的稳定性和鲁棒性.但这种方法很大程度上取决于工况点的选择, 并且原始动力学也没有准确的表示.在此基础上, He等[87]得出了SG的多胞LPV模型, 只要参数保持在规定范围内, 就可以保证稳定性, 具有很好的鲁棒性.由于LPV模型包括调度变量的函数, 导致模型复杂, 难以应用于更复杂的情况.为此, Schaab等[88]通过导出SG的分散且精确的LPV模型来控制转子角度.将电网内的变化和电力系统的SG之间的互连映射到参数范围中, 使得所得到的控制器对所考虑的电网变化具有鲁棒性. Jabli等[89]提出一种基于不确定多胞LPV的电力系统建模和控制方法, 使用参数集映射和主成分分析(PCA), 将电力系统的极点配置在LMI区域中, 使得电力系统的响应对于所有不同的振荡模式具有适当的阻尼比, 相较于其他建模方法更加便利, 但计算量较大.
火力发电具有非常复杂的非线性, 基于LPV模型的控制系统有着优良的表现, 尤其在蒸汽温度控制和锅炉汽轮机协调控制中, 由于系统状态的变化往往取决于发电机组的变化这一特性, LPV系统展现出特有的优势. Wang等[7]提出了一种以机组负荷为调度变量的过热蒸汽温度系统非线性模型辨识方法.利用历史输入输出数据建立LPV模型.在解决高维模型参数估计时, 将演化加速因子引入量子粒子群优化算法中, 对模型参数进行优化辨识.
5.3 车辆控制领域
在车辆控制领域, 一般采用主动控制与LPV模型相结合, 来解决车辆的稳定运行和转角控制等问题[90-100].大多将车速、角速度等作为调度变量. Alcala等[101]提出了一种基于Lyapunov理论和LMI优化算法的车辆自动驾驶控制策略.为了得到最优的Lyapunov控制器参数, 基于LPV系统模型, 提出一种优化算法来解决LQR-LMI问题, 最终确定控制器参数, 所获得的控制器与轨迹生成模块一起负责车辆的自主引导. Cauet等[102]提出了一种混合动力电动汽车(HEV)传动系统的持续谐波主动控制策略. 主动控制适用于由单缸柴油发动机与永磁同步电机(PMSM)耦合组成的混合动力系统.将速度作为调度变量, 通过对PMSM的扭矩控制证明了LPV控制对减小发动机扭矩波动的适用性. Boshe等[103]采用基于LPV系统的主动控制策略来处理车辆转向角饱和约束, 通过最小化横向位移和速度误差来解决参考跟踪问题.采用具有输入饱和的LPV模型, 同时考虑多胞和范数有界的不确定性, 提出了一种基于LMI的矩阵分解方法, 用于计算构造鲁棒PID控制器参数的控制律增益矩阵, 相较于传统的主动控制策略, 基于LPV系统的主动控制策略具有更好的安全性和稳定性.
LPV系统已广泛应用于其他诸多领域, 如高纯度精馏塔[104]、异步电机[105]、磁轴承系统[106]、电液伺服系统[107]、船舶运动[108]、低温余热发电[109]等.
6. LPV系统的未来研究展望
当前, LPV模型作为一种良好的非线性系统的描述方式, 在国内外的研究已日益广泛而受到重视.但是, 仍有许多工作有待深入开展.
1) 在LPV系统建模时, 如何合理地选取特征点是今后要重点研究解决的一个理论问题.现有的LPV系统建模过程, 都对原非线性系统的特征点有严重依赖, 但特征点的选择目前仍主要依赖于经验, 没有具体的理论或者系统的依据, 过多的特征点使得计算量成倍增加.所以, 如何选取合适的特征点值得深入研究.
2) 现有的LPV建模方法中都存在不足之处.例如函数替换法和状态变换法等虽然与原始非线性模型近似程度高, 但是调度参数不能自由选取, 而且有的对系统的形式有特殊要求, 不具备通用性; 雅克比线性化方法虽然调度参数可以自由选取, 但是在系统具有较强非线性时线性化误差较大.一种通用而且建模误差小的LPV系统建模方法是完善LPV系统控制理论的基础.局部建模方法中, 研究降低模型过度区间的逼近误差的新型参数插值策略是未来的研究课题之一; 全局建模方法中, 研究具有更高精度更高效率的模型辨识方法将是未来的一个研究方向.
3) 时滞广泛存在于各种实际的工业系统中.对于LPV时滞系统, 模型参数和时滞参数的联合辨识问题还没有得到很好的解决.分别针对输入时滞、输出时滞和状态时滞的LPV时滞系统参数辨识, 以及模型参数和时滞参数的联合辨识, 将是今后的一个研究方向.另外, 分别针对时滞独立和时滞依赖的LPV时滞系统的控制问题, 尤其是后者, 也是值得深入研究的, 这方面的成果目前基本还是空白.
4) 针对来自现场数据的辨识问题.由于数据的噪声污染问题不可避免, 因此, 针对存在数据噪声情况下, 具有更强鲁棒性的LPV模型辨识问题仍然是未来需要关注的一项研究内容.
5) 国内外在LPV系统的理论研究方面仍然差距较大.国内对LPV控制理论的研究起步较晚, 多数集中于应用研究.理论研究方面, 未来的工作需要重点关注: 减小预测控制在线优化的计算量; 降低多胞LPV系统和切换LPV系统在稳定性分析和控制器求解方面的保守性.国内外虽已取得了一定的成果, 但仍然是未来的重要课题, 也将是未来LPV系统研究的热门课题.
6) LPV系统鲁棒变增益控制的现有研究成果集中于$ H_\infty$动态输出反馈和状态反馈控制, 而状态反馈由于实际系统中某些状态不可观测而限制了实际应用, 输出反馈与LTI系统的输出反馈一样, 存在控制器阶数过高的问题, 从而限制了实际应用. 因此, LPV系统的鲁棒变增益控制如何克服实际应用中存在的问题是未来的重要课题, 其中之一就是降低控制器阶数的设计问题.
7) LPV与T-S模糊系统具有相似结构, 近年来, 已有学者提出了一些两者之间的转换方法, 但仍不具备通用性.对两者之间的结构等价性分析, 以及两者之间转化方法的深入探索, 是未来的一个研究方向.
8) 国内的应用研究的领域范围较小, 最早应用于飞行控制领域, 而且一直在飞行控制领域应用的最多.在陆地上、水中和太空中运动的机器都可以通过变增益控制实现.然而, 现有的文献大多集中于航天、能源等几个领域, LPV系统在其他领域的应用有着巨大的潜力, 因此, LPV系统的领域拓展具有广阔的应用前景, 如电池、发动机、船舶等领域将是未来的拓展方向.
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图 2 考虑相关性的多元输出仿真结果验证方法流程
Fig. 2 Procedures of multivariate simulation result validation under correlation
图 3 纵向平面内弹目相对运动几何关系
Fig. 3 Geometrical relationship of relative missile-target movement in longitudinal plane
图 8 飞行器落点X坐标输出散点图
Fig. 8 Scatter diagram of X-direction drop point coordinates of the flight vehicle
图 9 目标终点位置X坐标输出散点图
Fig. 9 Scatter diagram of X-direction terminal point coordinates of the target vehicle
图 10 飞行器落点Z坐标输出散点图
Fig. 10 Scatter diagram of the terminal point of the target in the Z direction
图 11 飞行器落点X坐标与目标终点位置X坐标间的关系
Fig. 11 Relationship of X-direction coordinates between drop point of flight vehicle and terminal point of target
图 12 飞行器落点X方向坐标与Z方向坐标间的关系
Fig. 12 Relationship between X-direction and Z-direction coordinates of the drop point of flight vehicle
图 13 仿真和参考静态输出变量子集Ⅰ的联合CDF对比
Fig. 13 JCDF comparison of variable subset I between static simulation and reference output
图 14 仿真和参考静态输出变量子集Ⅱ的CDF对比
Fig. 14 Comparison of variable subset Ⅱ between static simulation and reference output
表 1 常用变量选择方法对比
Table 1 Comparison of general variable selection methods
变量选择方法 是否为原变量集的子集 是否支持非线性相关关系 个体决策所占比例 是否需要训练样本集 运行速度与变量个数的关系 SVD 否 否 是 否 线性增长 PCA 否 否 是 否 线性增长 KNN 是 是 是 是 指数增长 DT 是 是 是 是 指数增长 BN 是 是 是 是 指数增长 FD 是 是 是 否 线性增长 
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表 2 飞行器末制导过程的不确定参数取值
Table 2 Uncertainty parameters values in the terminal guidance process of flight vehicle
变量名 仿真模型参数分布 参考系统参数分布 大气密度系数${{C}_{{ }\!\!\rho\!\!{ }}}$ $N\left( 0, 0.033 \right)$ $N\left( 0, 0.033 \right)$ 升力系数${{C}_{{D}}}$ $N(0, 0.05)$ $N(0.02, 0.07)$ 阻力系数${{C}_{{L}}}$ $N(0, 0.033)$ $N(0.02, 0.033)$ 初始弹道倾角${{{\theta }_{0}}}~/{{\rm rad}}$ $N\left( 0.17, 0.09 \right)$ $N\left( 0.26, 0.07 \right)$ 初始视线角${{{\lambda }_{0}}}~/{{\rm rad}}$ $N\left( 0.17, 0.09 \right)$ $N\left( 0.17, 0.09 \right)$
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表 3 待验证的模型输出
Table 3 Model outputs to be validated
变量类型 变量名 动态 弹道倾角${\theta }~$(rad) 动态 攻角${\alpha }$ (rad) 动态 视线角${\lambda }~$(rad) 动态 弹目相对距离${{{D}_{{MT}}}}~$(m) 动态 目标速度${{v}_{{T}}}~$(m/s) 静态 飞行器落点X坐标${{{x}_{{f}}}}~$(m) 静态 飞行器落点Z坐标${{{z}_{{f}}}}~$(m) 静态 目标终点位置X坐标${{{x}_{{Tf}}}}~$(m) 静态 目标终点位置Z坐标${{{z}_{{Tf}}}}~$(m)
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表 4 多元输出变量选择结果
Table 4 Variables selection results of multiple outputs
输出类型 变量子集Ⅰ 变量子集Ⅱ 变量子集Ⅲ 动态 $\theta $, $\alpha$, $\lambda$, ${{D}_{{MT}}}$ ${{v}_{{T}}}$ - 静态 ${{x}_{{f}}}$, ${{x}_{{Tf}}}$ ${{z}_{{f}}}$ ${{z}_{{Tf}}}$
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表 5 动态输出均值曲线的一致性分析结果
Table 5 Consistency analysis results of the mean curves of dynamic outputs
变量名 位置特征一致性 形状特征一致性 $\theta $ 0.92 0.74 $\alpha$ 0.63 0.60 $\lambda$ 0.98 0.74 ${{D}_{{MT}}}$ 0.97 0.61
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表 6 仿真和参考输出变量子集的一致性分析结果
Table 6 Consistency analysis results of the variables subset of the simulation and reference outputs
输出变量类型 变量子集标号 累积概率分布差异 可信度结果 动态 变量子集Ⅰ 位置差异: $8.92\times {{10}^{{-8}}}$ 位置特征: 0.99 动态 变量子集Ⅰ 形状差异: $1.1\times {{10}^{{-3}}}$ 形状特征: 0.94 动态 变量子集Ⅱ 0 1 静态 变量子集Ⅰ $1.6\times {{10}^{5}}$ 0.84 静态 变量子集Ⅱ 0.5 0.9 静态 变量子集Ⅲ 0 1
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表 7 验证实验的不确定参数取值
Table 7 Uncertainty parameters values for validation experiments
试验编号 参考系统${{\theta }_{0}}$取值 实验组Ⅰ ${{\theta }_{0}}$取值 实验组Ⅱ ${{\theta }_{0}}$取值 1 $N\left( 0.26, 0.07 \right)$ 0.26 $N\left( 0.15, 0.07 \right)$ 2 $N\left( 0.26, 0.07 \right)$ $N\left( 0.26, 0.04 \right)$ $N\left( 0.21, 0.07 \right)$ 3 $N\left( 0.26, 0.07 \right)$ $N\left( 0.26, 0.07 \right)$ $N\left( 0.26, 0.07 \right)$ 4 $N\left( 0.26, 0.07 \right)$ $N\left( 0.26, 0.1 \right)$ $N\left( 0.31, 0.07 \right)$ 5 $N\left( 0.26, 0.07 \right)$ $N\left( 0.26, 0.13 \right)$ $N\left( 0.37, 0.07 \right)$
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