Hybrid Discrete Teaching-learning-based Optimization Algorithm for Solving Complex Parallel Machine Scheduling Problem
-
摘要: 针对制造行业中广泛存在的一类复杂并行机调度问题, 即带到达时间、多工序、加工约束和序相关设置时间的并行机调度问题(Parallel machine scheduling problem with arrival time, multiple operations, process restraints and sequence-dependent setup times, PMSP_AMPS), 建立问题的排序模型并提出一种混合离散教与学优化算法进行求解, 优化目标为最小化最大完工时间.首先, 根据标准教与学算法(Teaching-learning-based optimization, TLBO)中两阶段个体更新公式的特点, 在保留每一阶段个体更新公式框架不变的前提下, 对公式中具体改变实数个体或向量的每个核心操作均用所设计的排列操作进行替换, 使其可直接在离散问题解空间中执行基于标准教与学算法机理的全局搜索, 从而明显提高了原算法的全局搜索效率.其次, 采用交换操作和插入操作构造了一种简洁有效地变邻域局部搜索, 对全局搜索发现的优质解区域进行细致搜索, 从而进一步增强了算法的性能.通过对不同测试问题的仿真实验和算法比较, 验证了所提算法可有效求解PMSP_AMPS.Abstract: This paper proposes a hybrid discrete teaching-learning-based optimization algorithm and set up the scheduling model for solving the parallel machine scheduling problem with arrival time, multiple operations, process restraints, and sequence-dependent setup times (PMSP_AMPS), which widely exists in the manufacturing process. The criterion is to minimize the maximum completion time. Firstly, according to the characteristics of the two stage individual updating formulas in the standard teaching-learning-based optimization (TLBO) algorithm, under the premise of keeping the framework of individual updating formulas at each stage unchanged, each core operation that specifically changes the real number or vector in the formula is replaced with proposed arrangement operation, so that it can execute the global search directly in the discrete solution space based on the TLBO mechanism, which significantly improve the TLBO's global exploration ability. Secondly, a simple but effective variable-neighborhood local search is constructed by using interchange and insert operations, which can perform a detailed search of the high-quality solution regions found by the global search, thereby further enhancing the performance of the algorithm. Simulation experiments and comparisons on different instances demonstrate that the proposed algorithm can effectively solve PMSP_AMPS.
-
Key words:
- Parallel machine scheduling problem (PMSP) /
- multiple operations /
- sequence-dependent setup times /
- arrival times /
- discrete teaching-learning-based optimization
-
近些年来, 由于多智能体系统的分布式协同控制在编队控制[1-2]、蜂拥[3-4]等多领域的应用, 现受到许多学者广泛关注. 目前为止, 多智能体系统的一致性研究已经由一阶[5]、二阶[6]逐步发展到高阶[7-8]. 一致性的基本思想是每个智能体通过自身和邻居信息来更新自身信息, 从而使得所有个体最终收敛于同一状态.
在实际的工程应用中, 智能体自身能量和通讯信道带宽往往都是有限的, 因此, 在设计控制协议时需要考虑智能体能量的损耗, 让其能有更长的运作时间. 由此, 将事件触发机制引入到多智能体系统具有很大意义. 文献[9]将事件触发策略引入多智能体系统的研究, 控制器不再连续更新控制输入, 而是依赖于与测量误差相关的事件触发函数, 当测量误差达到某一临界状态才更新控制输入. 文献[10]给出了一阶多智能体系统的事件触发控制协议, 设计了与智能体系统状态有关的触发条件. 文献[11]研究了在有向拓扑下, 带有扰动多智能体系统的均方一致性问题, 智能体最终收敛到系统初始状态的平均值, 并且进一步分析了切换拓扑的一致性. 在大多数已有的成果中, 对于触发条件的设计, 不仅与自身的触发时间有关, 还与其邻居的触发时间有关. 这样将会增加通讯负担和控制器的更新频率. 为了解决这个问题, 文献[12]提出了联合测量误差, 能减少智能体之间的通信次数. 为了进一步的减小通讯负担和控制器的更新频次, 文献[13]将事件触发机制引入到间歇控制, 给出了集中式和分布式两种事件触发控制策略.
值得注意的是, 大部分已有的基于事件触发控制策略只是基于渐近收敛. 然而, 在一些实际的工程应用中, 尤其在一些要求较高精度和较高收敛速度的控制问题中, 经常需要达到有限时间收敛. 因此, 基于事件触发的有限时间一致性问题有很大研究价值. 文献[14]研究了在无向拓扑下, 针对有领导者和无领导者两种情形, 通过将有限时间一致性控制器与事件触发相结合, 设计了两种控制协议, 然而, 并没有排除Zeno行为. 文献[15]在此基础上, 设计了新的事件触发条件, 给出了排除Zeno行为的证明和数值仿真. 文献[16]在文献[14]基础上, 研究了在有向拓扑下的有限时间一致性问题, 给出了两种事件触发条件. 尽管上述文献很好地解决了基于事件触发的有限时间一致性, 但是设置的收敛时间都与智能体的初始状态有关, 当系统初始状态很大时, 系统收敛时间会受较大影响. 为了排除这一影响, 文献[17]设计了两种控制协议: 1)通过引入符号函数来抑制外部扰动的固定时间一致性协议; 2)为消除前者符号函数所带来的抖振现象, 引入饱和函数, 并给出事件触发的条件.
上述文献大部分都是关于普通一致性问题, 文献[18]研究了比例一致性问题, 即各个智能体最终的状态能够趋于指定的比例, 而不是同一定值. 文献[19]研究了切换拓扑下带有通信时延的比例一致性问题. 文献[20]研究了一阶和二阶分组比例一致性问题, 设计了两种分布式控制协议. 文献[21]研究了带有外部扰动的比例一致性问题, 给出了基于渐近收敛、有限时间收敛和固定时间收敛三种控制策略.
本文研究了基于事件触发二阶多智能体系统的固定时间比例一致性问题, 提出了一种新的基于事件触发的比例一致性控制协议, 该控制协议包含基于状态信息和速度信息的分段式触发条件: 当智能体在追踪虚拟速度时, 采用与系统速度有关的触发条件; 当完成虚拟速度追踪后, 切换为基于状态信息的触发条件, 能有效的减小系统能量耗散及控制器更新频次. 基于Lyapunov稳定性理论、线性矩阵不等式和代数图论证明了所提事件触发控制策略能有效地实现二阶多智能体系统的固定时间比例一致性, 并且不存在Zeno行为. 相较于文献[14]、[16], 本文所给出的收敛时间不再依赖于系统的初始状态. 在文献[17]的基础上, 本文进一步拓展, 对二阶多智能体系统进行了研究, 同时多智能体不再收敛于同一状态, 而是按照既定的比例, 收敛到不同状态. 相较于文献[18]、[20], 本文采用事件触发的策略来设计控制协议, 能在达到比例一致性的同时有效节约系统资源.
1. 预备知识及问题描述
1.1 图论
$ N $ 个智能体可视为$ N $ 个节点, 可以用无向图$ G = $ $ (V,E,A) $ 表示,$V = \{ {v_1},\cdots,{v_N}\}$ 表示节点集合,$ E \subseteq $ $ V \times V $ 表示边集.$A = [{a_{ij}}] \in {{\bf R}^{n \times n}}$ 是具有元素$ {a_{ij}} $ 的加权矩阵, 其对角线元素$ {a_{ii}} = 0 .$ 如果$ ({v_i},{v_j}) \notin $ $ E $ ,$ {a_{ij}} = 0 $ , 否则$ {a_{ij}} > 0 . $ 若$ ({v_i},{v_j}) \in E = ({v_j},{v_i}) \in $ $ E $ ,$ {e_{ij}} = ({v_i},{v_j}) $ 表示第$ i $ 个智能体与第$ j $ 个智能体之间互相传输信息, 则图$ G $ 为无向图; 若$({v_i},{v_j}) \in $ $ E \ne ({v_j},{v_i}) \in E$ ,$ {e_{ij}} = ({v_i},{v_j}) $ 表示第$ i $ 个智能体向第$ j $ 个智能体传输信息, 则图$ G $ 为有向图, 从节点$ i $ 到节点$ j $ 的有向路径被称为有向边. 度矩阵$D \in $ $ {{{\bf R} ^{N \times N}}}$ 定义为$ D = {\rm diag}\{ {d_i}\} $ , 其中$ {d_i} = \sum\nolimits_{{v_j} \in V} {{a_{ij}}} . $ Laplacian矩阵$L \in {{{\bf R}^{N \times N}}}$ 被定义为$ L = [{l_{ij}}] $ ,$ L =$ $ D - A $ , 其中,$ {l_{ii}} = \sum\nolimits_{p \ne i}^n {a{}_{ip}} $ ,$ {l_{ij}} = - {a_{ij}},\forall i \ne j $ .1.2 相关引理
引理1[22].
1)无向图
$ G $ 的Laplacian矩阵$ L $ 为半正定, 有一个特征值为0. 如果无向图$ G $ 是连通的, 则除0以外的特征值均正定;2)无向图
$ G $ 的Laplacian矩阵$ L $ 的第二小特征值$ {\lambda _2}(L) $ 满足:$$ {\lambda _2}(L) = \mathop {\min }\limits_{||x|| \ne 0,\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i} = 0} } \frac{{{x^{\rm{T}}}Lx}}{{||x|{|^2}}} > 0 $$ 当
$\sum_{i = 1}^n {x_i} = 0$ 时, 有:$${x^{\rm T}}Lx \ge {\lambda _2}(L){x^{\rm{T}}}x $;$ 3)对于任意
$x = {({x_1},{x_2},\cdots,{x_N})^{\rm{T}}} \in {{{\bf R}^N}}$ 有:$$ {x^{\rm{T}}}Lx = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^N {\sum_{j = 1}^N {{a_{ij}}{{({x_j} - {x_i})}^2}} } $.$ 引理2[23]. 如果存在一个连续的径向无界函数
$ V:{{{\bf R}^N}} \to {{{\bf R}_ + }} \cup \{ 0\} $ 满足:1)
$ V(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 $ ;2)系统任意的解
$ x(t) $ 满足:$$ {{D}^*}V(x(t)) \le - \alpha {V^p}(x(t)) - \beta ({V^q}(x(t)) $$ 其中,
$ \alpha ,\beta > 0 $ ,$ p = 1 - \dfrac{1}{{2\kappa }} $ ,$ q = 1 + \dfrac{1}{{2\kappa }} $ ,$ \kappa > 1 $ , 则系统在固定时间达到全局稳定, 且收敛时间$ T $ 满足$ T \le {T_{\max }} = \dfrac{{ {\text{π}} \kappa }}{{\sqrt {\alpha \beta } }} $ .引理3[24]. 假设
${w_1},{w_2},\cdots,{w_N} \ge 0$ ,$ 0 < p \le 1 $ ,$ q > 1 $ , 有:$$ \sum\limits_{i = 1}^N {w_i^p} \ge \left(\sum\limits_{i = 1}^N {w_i}\right){^p} ,\sum\limits_{i = 1}^N {w_i^q} \ge {N^{1 - q}}\left(\sum\limits_{i = 1}^N {w_i}\right){^q} $.$ 1.3 问题陈述
考虑到二阶多智能体系统由
$ N $ 个智能体组成, 智能体$ i $ 的动力学方程可写为:$$ \left\{ {\begin{aligned} &{{{\dot x}_i}(t) = {v_i}(t)}\\ &{{{\dot v}_i}(t) = {u_i}(t)} \end{aligned}} \right.,\quad i = 1,\cdots,N $$ (1) 上式中,
$ {x_i}(t) \in {\bf R} $ 表示为智能体$ i $ 的状态变量,$ {v_i}(t) \in {\bf R} $ 表示为智能体$ i $ 的速度变量,$ {u_i}(t) \in {\bf R} $ 表示为系统的控制输入,$x(t) = [{x_1}(t),{x_2}(t),\cdots,$ $ {x_N}(t)]^{\rm{T}} $ .定义1[20]. 对于给定的控制器
${u_i},i = 1,2,\cdots,N$ , 如果对于给定的任何初始值${x_i}(0),i = 1,2,\cdots,N$ , 存在一个与初始值有关的正数$ T $ 以及固定的常数$ {T_{\max }} > $ $ 0 $ ,$ T < {T_{\max }} $ , 于任意的$i,j = 1,2,\cdots,N$ 有:$$ \mathop {\lim }\limits_{t \to T} |{s_i}{x_i}(t) - {s_j}{x_j}(t)| = 0 $$ $$ \mathop {\lim }\limits_{t \to T} {v_i}(t) = 0 $$ $$ {s_i}{x_i}(t) = {s_j}{x_j}(t),v{}_i(t) = {v_j}(t),\quad\forall t \ge T $$ (2) 则称闭环系统达到固定时间比例一致性, 其中
$ {s_i}, $ $i = 1,2,\cdots,N$ , 为比例系数.2. 基于事件触发的固定时间比例一致性
受文献[7]、[25]的启发, 采用反推法来设计控制器, 引入虚拟速度:
$$ \begin{split} v_i^* =\;& - {c_1}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j})} } \right]^\alpha } - \\ &{c_2}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j})} } \right]^\beta } \end{split} $$ (3) 定义
$ sig{[m]^k} = {\rm sign}(m)|m{|^k} $ ,${\rm sign}(\cdot)$ 为符号函数. 其中,$i = 1,2,\cdots,N$ ,$ {c_1} > 0 $ ,$ {c_2} > 0 $ ,$ \alpha \in (0,1) $ ,$ \beta > 1 $ .定义速度跟踪误差:
$$ {\bar v_i} = {v_i} - v_i^* $$ (4) 令
$\bar v = {({\bar v_1},{\bar v_2},\cdots,{\bar v_N})^{\rm{T}}}$ , 式(3)、(4)求导得:$$ \begin{split} {{{\dot {\bar v}_i}}} =\;& {u_i} + {c_1}\alpha {\rm sign}({s_i})|\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}} ({s_i}{x_i} - \\ &{s_j}{x_j}){|^{\alpha - 1}}\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{v_i} - {s_j}{v_j})} + \\ &{c_{\rm{2}}}\beta {\rm sign}({s_i})|\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}} ({s_i}{x_i} - \\ &{s_i}{x_j}){|^{\beta - 1}}\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{v_i}} - {s_j}{v_j}) \end{split} $$ (5) 为设计智能体的事件触发策略, 对于每一个智能体
$ i $ 定义,$$ {\hat x_i}(t) = {s_i}{x_i}(t_i^k) $$ (6) $$ {\hat v_i}(t) = {s_i}{v_i}(t_i^k) $$ (7) 其中,
$ t_i^k $ 表示智能体$ i $ 第$ k $ 次事件触发时刻. 当$t \in $ $ [t_i^k, t_i^{k + 1}) $ 时, 定义:$$ \begin{split} \hat v_i^*(t) = \;&- {c_1}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat x}_i}(t) - {{\hat x}_j}(t))} } \right]^\alpha } - \\ &{c_2}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat x}_i}(t) - {{\hat x}_j}(t))} } \right]^\beta }\\[-15pt] \end{split} $$ (8) $$ {{\hat {\bar v}_i}}(t) = \frac{1}{{{s_i}}}{\hat v_i}(t) - \hat v_i^*(t) $$ (9) 经过以上分析, 给出基于事件触发的控制协议如下:
$$ \begin{split} &{u_i} = - {c_3}sig{\left[ {{{{\hat {\bar v}_i}}}} \right]^p} - {c_4} sig{\left[ {{{{\hat {\bar v}_i}}}} \right]^q} - \\ &\;\;\quad{c_1}\alpha {\rm sign}({s_i}){\left| {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat x}_i} - {{\hat x}_j})} } \right|^{\alpha - 1}}\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat v}_i} - {{\hat v}_j})} - \\ &\;\;\quad{c_2}\beta {\rm sign}({s_i}){\left| {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat x}_i} - {{\hat x}_j})} } \right|^{\beta - 1}}\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat v}_i} - {{\hat v}_j})} \end{split} $$ (10) 其中,
$ {c_3} $ 、$ {c_4} $ 为正常数, 且$ p \in (0,1),q > 1 $ . 定义$ x = $ ${({x_1},{x_2},\cdots,{x_N})^{\rm{T}}}$ . 为书写方便, 令$$ \begin{split} {\rho _i} = \;&{c_1}\alpha {\rm sign}({s_i})|\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat x}_i} - } \\ &{{\hat x}_j}){|^{\alpha - 1}}\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat v}_i}} - {{\hat v}_j}) + \\ &{c_2}\beta {\rm sign}({s_i})|\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat x}_i} - } \\ &{{\hat x}_j}){|^{\beta - 1}}\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat v}_i}} - {{\hat v}_j}) \end{split} $$ $$ \begin{split} {\varsigma _i} =\;& {c_1}\alpha {\rm sign}({s_i})|\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - } \\ & {s_j}{x_j}){|^{\alpha - 1}}\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{v_i}} - {s_j}{v_j}) + \\ & {c_2}\beta {\rm sign}({s_i})|\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - } \\ & {s_j}{x_j}){|^{\beta - 1}}\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{v_i} - {s_j}{v_j})} \end{split} $$ 当
$ t \in [0,{T_1}] $ 时, 定义测量误差为:$$ \begin{split} {e_i} =\;& {c_3}sig{\left[ {{{{\hat {\bar v}_i}}}} \right]^p} + {c_4}sig{\left[ {{{{\hat {\bar v}_i}}}} \right]^q} + {\rho _i} - \\ &{c_3}sig{\left[ {{{\bar v}_i}} \right]^p} - {c_4}sig{\left[ {{{\bar v}_i}} \right]^q} - {\varsigma _i} \end{split} $$ (11) 令
$e = {({e_1},{e_2},\cdots,{e_N})^{\rm{T}}}$ .定理1. 假设多智能体系统的固定通信拓扑图
$ G $ 为无向图, 考虑到多智能体系统(1)在控制器(10)的作用下, 给出如下触发函数:$$ \begin{split} {f_i}(t) =\;& {\rm sign}\left( {\left| {{v_i} - v_i^*} \right|} \right)\left(\left\| {{e_i}} \right\| - {\mu _i}{c_4}{N^{\frac{{1 - q}}{{\rm{2}}}}}{\left\| {{{\bar v}_i}} \right\|^q}\right) + \\ &\left[ {1 - {\rm sign}\left( {\left| {{v_i} - v_i^*} \right|} \right)} \right]\Bigg(\left\| {{E_i}} \right\| - \\ &{\varepsilon _i}{c_2}{\left\| {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}\left( {{x_i} - {x_j}} \right)} } \right\|^\beta }\Bigg) \\[-15pt]\end{split} $$ (12) 其中,
$ {E_i} $ 定义为$ t \in ({T_1},T] $ 时的测量误差,$ {T_1} $ 表示智能体速度与虚拟速度达到一致的时间,$ T $ 表示多智能体系统收敛所需时间.$ {\mu _i} \in (0,1),{\varepsilon _i} \in (0,1) $ . 多智能体系统(1)在任意初始条件下均能实现固定时间比例一致性, 且收敛时间满足:$$ \begin{split} T =\;& {T_1} + {T_2} \le {T_{1\max }} + {T_{2\max }}=\\ &\frac{{2{\text{π}} }}{{(q - p)\sqrt {(1 - {\mu _i}){c_3}{c_4}{N^{{{(1 - q)} / 2}}}{2^{\frac{{p + q + 2}}{2}}}} }} + \\ &\frac{{2{\text{π}} }}{{(\beta - \alpha )\sqrt {(1 - {\varepsilon _i}){c_1}{c_2}{N^{{{(1 - \beta )} / 2}}}{{(2{\lambda _2}(L))}^{\frac{{\alpha + \beta + 2}}{2}}}} }} \end{split} $$ (13) $ {T_2} $ 表示智能体达到虚拟速度之后整个系统实现一致性的时间.证明. 由式(5)、(10)、(11)可得:
$$ {{{\dot {\bar v}_i}}} = - {c_3}sig{\left[ {{{\bar v}_i}} \right]^p} - {c_4}sig{\left[ {{{\bar v}_i}} \right]^q} - {e_i} $$ 当
$ t \in [0,{T_1}] $ 时, 选定Lyapunov函数为:$$ {V_1} = \frac{1}{2}{\bar v^{\rm{T}}}\bar v $$ 求导得
$$ \begin{split} {{\dot V}_1} =\;& \sum\limits_{i = 1}^N {{{\bar v}_i}} {{{\dot {\bar v}_i}}}=\\ &\sum\limits_{i = 1}^N {{{\bar v}_i}} ( - {c_3} sig{\left[ {{{\bar v}_i}} \right]^p} - {c_4}sig{\left[ {{{\bar v}_i}} \right]^q} - {e_i})=\\ &- {c_3}\sum\limits_{i = 1}^N {|{{\bar v}_i}{|^{p + 1}} - {c_4}\sum\limits_{i = 1}^N {|{{\bar v}_i}{|^{q + 1}}} } - \sum\limits_{i = 1}^N {{{\bar v}_i}{e_i}} =\\ &- {c_3}\sum\limits_{i = 1}^N {{{(\bar v_i^2)}^{\frac{{p + 1}}{2}}} - {c_4}\sum\limits_{i = 1}^N {{{(\bar v_i^2)}^{\frac{{q + 1}}{2}}}} } - \sum\limits_{i = 1}^N {{{\bar v}_i}{e_i}} \le\\ &- {c_3}{\left(\sum\limits_{i = 1}^N {\bar v_i^2} \right)^{\frac{{p + 1}}{2}}} - {c_4}{N^{\frac{{1 - q}}{2}}}{\left(\sum\limits_{i = 1}^N {\bar v_i^2} \right)^{\frac{{q + 1}}{2}}} - \\ &\sum\limits_{i = 1}^N {{{\bar v}_i}{e_i}}\\[-15pt] \end{split} $$ (14) 上式中
$$ \begin{split} \sum\limits_{i = 1}^N {{{\bar v}_i}{e_i}} =\;& {{\bar v}^{\rm{T}}}e \le \parallel \bar v\parallel \parallel e\parallel =\\ &\dfrac{{\parallel \bar v\parallel \parallel e\parallel {V_1}^{\frac{{1 + q}}{2}}}}{{{V_1}^{\dfrac{{1 + q}}{2}}}}=\\ &\dfrac{{{2^{\frac{{1 + q}}{2}}}\parallel \bar v\parallel \parallel e\parallel {V_1}^{\frac{{1 + q}}{2}}}}{{\parallel \bar v{\parallel ^{1 + q}}}}=\\& {2^{\dfrac{{1 + q}}{2}}}\parallel \bar v{\parallel ^{ - q}}\parallel e\parallel {V_1}^{\frac{{1 + q}}{2}} \end{split} $$ (15) 结合式(14)、(15)有:
$$ \begin{split} {{\dot V}_1} \le \;& - {c_3}{\left(\sum\limits_{i = 1}^N {\bar v_i^2} \right)^{\frac{{p + 1}}{2}}} - {c_4}{N^{\frac{{1 - q}}{2}}}{\left(\sum\limits_{i = 1}^N {\bar v_i^2} \right)^{\frac{{q + 1}}{2}}} + \\ &{2^{\frac{{1 + q}}{2}}}\parallel \bar v{\parallel ^{ - q}}\parallel e\parallel {V_1}^{\frac{{1 + q}}{2}}=\\ &- {2^{\frac{{p + 1}}{2}}}{c_3}V_1^{\frac{{p + 1}}{2}} - {2^{\frac{{q + 1}}{2}}}{N^{\frac{{1 - q}}{2}}}{c_4}V_1^{\frac{{q + 1}}{2}} + \\ &{2^{\frac{{1 + q}}{2}}}\parallel \bar v{\parallel ^{ - q}}\parallel e\parallel {V_1}^{\frac{{1 + q}}{2}}\\[-10pt] \end{split} $$ (16) 由引理2得, 事件触发条件为:
$$ \parallel {e_i}\parallel \le {\mu _i}{c_4}{N^{\frac{{1 - q}}{2}}}\parallel {\bar v_i}{\parallel ^q} $$ (17) 结合式(16)、(17)得:
$$ {\dot V_1} \le - {2^{\tfrac{{p + 1}}{2}}}{c_3}V_1^{\tfrac{{p + 1}}{2}} - (1 - {\mu _i}){2^{\tfrac{{q + 1}}{2}}}{c_4}{N^{\tfrac{{1 - q}}{2}}}V_1^{\tfrac{{q + 1}}{2}} $$ (18) 令
$ \dfrac{{p + 1}}{2} = 1 - \dfrac{1}{{2{\kappa _1}}} $ ,$ \dfrac{{q + 1}}{2} = 1 + \dfrac{1}{{2{\kappa _1}}} $ ,${\kappa _1} = $ $ \dfrac{2}{{q - p}}$ , 由引理2,在时间$ {T_1} $ 时, 虚拟速度的追踪误差$ {\bar v_i} $ 收敛于0, 意味着在固定时间内, 智能体系统能实现对虚拟速度$ v_i^* $ 的追踪, 且收敛时间$ {T_1} $ 满足:$$ \begin{split} {T_1} \le \;&{T_{1\max }}=\\ &\frac{2 \text{π} }{(q - p)\sqrt {(1 - {\mu _i}){c_3}{c_4}{N^{\frac{1 - q}{2}}2^{\frac{p + q + 2}{2}}} }} \end{split} $$ (19) 另一方面, 当
$ t \in [0,{T_1}] $ 时, 由式(18)及引理2知$ {\bar v_i} $ 有界, 再由式(1)、(3)、(4)得:$$ \begin{split} {{\dot x}_i} =\;& - {c_1}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j})} } \right]^\alpha } - \\ &{c_2}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j})} } \right]^\beta } + {{\bar v}_i} \end{split} $$ (20) 根据式(20),由于
$ {\bar v_i} $ 有界, 当$ t \in [0,{T_1}] $ , 要初始状态有界, 则$ {x_i} $ 有界. 同时, 由于$ {x_i} $ 有界, 由式(3)、(4)不难得出$ {v_i} $ 有界.注意到, 当
$ {\bar v_i} = 0 $ 时, 由式(4)得:$$ \begin{split} {v_i} = \;&- {c_1}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j})} } \right]^\alpha } - \\ &{c_2}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j})} } \right]^\beta } \end{split} $$ (21) 考虑到控制器
$ {u_i} $ 是不连续更新控制输入的, 故有:$$ \begin{split} {{\dot x}_i} = \;&- {c_1}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat x}_i} - {{\hat x}_j})} } \right]^\alpha } - \\ &{c_2}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat x}_i} - {{\hat x}_j})} } \right]^\beta } \end{split} $$ (22) 当
$ t \in ({T_1},T] $ 时, 定义测量误差:$$ \begin{split} {E_i} =\;& {c_1}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat x}_i} - {{\hat x}_j})} } \right]^\alpha } + \\ &{c_2}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({{\hat x}_i} - {{\hat x}_j})} } \right]^\beta } - \\ &{c_1}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j})} } \right]^\alpha } - \\ &{c_2}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j})} } \right]^\beta } \end{split} $$ (23) 选取Lyapunov函数为:
$$ {V_2} = \frac{1}{2}{x^{\rm{T}}}{S^{\rm{T}}}LSx $$ 其中,
$S = {\rm diag}\{{s_i}{\rm sign}({s_i})\}$ , 导有:$$ {\dot V_2} = {x^{\rm{T}}}{S^{\rm{T}}}LS\dot x = \sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j}){{\dot x}_i}} } $$ 令
${y_i} = \sum\nolimits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j})},$ $y = ({y_1},{y_2},\cdots, $ $ {y_N})^{\rm{T}}$ .$$ \begin{split} {{\dot V}_2} =\;& \sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}({s_i}{x_i} - {s_j}{x_j})( - {c_1}{\rm sign}({s_i})sig{{\left[ y \right]}^\alpha }} } - \\ &{c_2}{\rm sign}({s_i})sig{\left[ y \right]^\beta } - {E_i}) \le \\ &- {c_1}\sum\limits_{i = 1}^N {\parallel {y_i}{\parallel ^{\alpha + 1}}} - {c_2}\sum\limits_{i = 1}^N {\parallel {y_i}{\parallel ^{\beta + 1}}} + \\ &\sum\limits_{i = 1}^N {\parallel {E_i}\parallel \parallel {y_i}\parallel }\\[-15pt] \end{split} $$ (24) 于是, 可以得到事件触发条件:
$$ \parallel {E_i}\parallel \le {\varepsilon _i}{c_2}\parallel {y_i}{\parallel ^\beta } $$ (25) 由引理3, 式(24)可以写成:
$$ {\dot V_2} \le - {c_1}{\left[ {\sum\limits_{i = 1}^N {y_i^2} } \right]^{\frac{{\alpha + 1}}{2}}} - (1 - {\varepsilon _i}){c_2}{N^{\frac{{1 - \beta }}{2}}}{\left[ {\sum\limits_{i = 1}^N {y_i^2} } \right]^{\frac{{\beta + 1}}{2}}} $$ (26) 由引理1,
$$ \begin{split} \sum\limits_{i = 1}^N {y_i^2} =\;& {({L^{\frac{1}{2}}}Sx)^{\rm T}}L({L^{\frac{1}{2}}}Sx)\ge\\ &{\lambda _2}(L){x^{\rm T}}SLSx = 2{\lambda _2}(L){V_2} \end{split} $$ 于是式子(26)可以写成:
$$ \begin{split} {{\dot V}_2} \le\;& - {c_1}{\left[ {2{\lambda _2}(L){V_2}} \right]^{\frac{{\alpha + 1}}{2}}} - \\ &(1 - {\varepsilon _i}){c_2}{N^{\frac{{1 - \beta }}{2}}}{\left[ {2{\lambda _2}(L){V_2}} \right]^{\frac{{\beta + 1}}{2}}} \end{split} $$ (27) 其中,
$ {\lambda _2}(L) $ 为矩阵$ L $ 的第二小特征值. 令$\dfrac{{\alpha + 1}}{2} = 1 -$ $ \dfrac{1}{{2{\kappa _2}}} $ ,$ \dfrac{{\beta + 1}}{2} = 1 + \dfrac{1}{{2{\kappa _2}}} $ ,$ {\kappa _2} = \dfrac{2}{{\beta - \alpha }} $ , 由引理2, 当$ {\bar v_i} $ 收敛后,$ {x_i} $ 可以实现固定时间一致性, 且收敛时间$ {T_2} $ 满足:$$ \begin{split} {T_2} \le\;& {T_{2\max }}=\\ &\frac{{2 {\text{π}} }}{{(\beta - \alpha )\sqrt {(1 - {\varepsilon _i}){c_1}{c_2}{N^{{{(1 - \beta )} / 2}}}{{(2{\lambda _2}(L))}^{\frac{{\alpha + \beta + 2}}{2}}}} }} \end{split} $$ (28) 结合式(19)、(28),可得多智能体系统(1)在控制输入(10)及触发条件(12)的作用下, 可以实现固定时间一致性, 且收敛时间T满足:
$$ \begin{split} T =\;& {T_1} + {T_2} \le {T_{1\max }} + {T_{2\max }} = \\ &\dfrac{{2 {\text{π}} }}{{(q - p)\sqrt {(1 - {\mu _i}){c_3}{c_4}{N^{{{(1 - q)} / 2}}}{2^{\frac{{p + q + 2}}{2}}}} }} + \\ &\dfrac{{2 {\text{π}} }}{{(\beta - \alpha )\sqrt {(1 - {\varepsilon _i}){c_1}{c_2}{N^{{{(1 - \beta )} / 2}}}{{(2{\lambda _2}(L))}^{\frac{{\alpha + \beta + 2}}{2}}}} }} \end{split} $$ 考虑到时间
$ {T_1} $ 是不确定的, 对两个事件触发条件进行合并. 由式(29)可以看出, 当$ t \in [0,{T_1}] $ 时, 智能体处于追踪虚拟速度的状态,$ {\rm sign}\left( {\left| {{v_i} - v_i^*} \right|} \right)=$ $ 1 $ , 此时事件触发条件为式(17);当$ t \in ({T_1},T] $ 时, 触发条件为式(25).$$ \begin{split} {f_i}(t) =\;& {\rm sign}\left( {\left| {{v_i} - v_i^*} \right|} \right)\left( {\left\| {{e_i}} \right\| - {\mu _i}{c_4}{N^{\frac{{1 - q}}{2}}}{{\left\| {{{\bar v}_i}} \right\|}^q}} \right) + \\ &\left[ {1 - {\rm sign}\left( {\left| {{v_i} - v_i^*} \right|} \right)} \right]\left( {\left\| {{E_i}} \right\| - {\varepsilon _i}{c_2}{{\left\| {{y_i}} \right\|}^\beta }} \right) \end{split} $$ (29) 定理2. 假设固定通信拓扑图
$ G $ 是无向连通的, 考虑多智能体系统(1)在控制器(10)和触发条件(12)的作用下, 系统能实现一致且不存在Zeno行为.证明. 当
$ t \in [0,{T_1}] $ 时, 定义$ \gamma = \parallel e\parallel /\parallel {\bar v^q}\parallel $ , 每个时间段$ [t_k^i,t_{k + 1}^i)) $ 内有:$$ \begin{split} \dot \gamma =\;& \dfrac{{{{(e)}^{\rm{T}}}(e)'}}{{\parallel e\parallel \parallel {{\bar v}^q}\parallel }} - \dfrac{{\parallel e\parallel }}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }}\frac{{{{({{\bar v}^q})}^{\rm{T}}}({{\bar v}^q})'}}{{\parallel {{\bar v}^q}{\parallel ^2}}}=\\ &- \dfrac{{{{(e)}^{\rm{T}}}(U)'}}{{\parallel e\parallel \parallel {{\bar v}^q}\parallel }} - \dfrac{{\parallel e\parallel }}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }}\frac{{{{({{\bar v}^q})}^{\rm{T}}}({{\bar v}^q})'}}{{\parallel {{\bar v}^q}{\parallel ^2}}} \end{split} $$ 其中,
$ U $ 表示控制器(10)不采用事件触发机制时的控制协议. 定理1中给出了事件触发条件, 并在其后证明了在控制器(10)的作用下多智能体系统的稳定性. 控制器$ U $ 实时更新控制输入, 也就是说, 控制器$ U $ 比控制器(10)更为保守. 不难证明, 在控制器$ U $ 的作用下, 依然能实现多智能体系统的固定时间一致性, 因此$ U' $ 必定是有界的. 假定$ U' $ 绝对值的最大值为$ {G_{\max }} $ ,则有:$$ \begin{split} \dot \gamma \le \;&\dfrac{{{G_{\max }}}}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }} + \gamma \dfrac{{\parallel ({{\bar v}^q})'\parallel }}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }}\le\\ &(1 + \gamma )\dfrac{{{G_{\max }}}}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }} + (1 + \gamma )\dfrac{{\parallel ({{\bar v}^q})'\parallel }}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }}=\\ &(1 + \gamma )\left( {\dfrac{{{G_{\max }}}}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }} + \dfrac{{\parallel ({{\bar v}^q})'\parallel }}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }}} \right)=\\ &(1 + \gamma )\left( {\dfrac{{{G_{\max }}}}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }} + \dfrac{{q\parallel {\bar v}{\parallel ^{q - 1}}\parallel \dot {\bar v}\parallel }}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }}} \right)=\\ &(1 + \gamma )\left( {\dfrac{{{G_{\max }}}}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }} + } \right.\\ &\left. {q\parallel \bar v\parallel ^{q - 1}\dfrac{{\parallel e\parallel + {c_3}\parallel {\bar v}{\parallel ^p} + {c_4}\parallel {\bar v}\parallel ^q}}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }}} \right) \le\\ &q\parallel {\bar v}\parallel ^{q - 1}(1 + \gamma )\left( {\dfrac{{{G_{\max }}}}{{q{N^{1 - q}}\parallel {\bar v}{\parallel ^{2q - 1}}}} + } \right.\\ &\left. {\dfrac{{{c_3}}}{{{N^{1 - q}}}}\parallel {\bar v}\parallel ^{p - q} + \dfrac{{{c_4}}}{{{N^{1 - q}}}} + \gamma } \right) \le\\ &q\parallel {\bar v}\parallel ^{q - 1}\left( {1 + \dfrac{{{G_{\max }}}}{{q{N^{1 - q}}\parallel \bar v{\parallel ^{2q - 1}}}} + } \right.\\ &{\left. {\dfrac{{{c_3}}}{{{N^{1 - q}}}}\parallel {\bar v}\parallel ^{p - q} + \dfrac{{{c_4}}}{{{N^{1 - q}}}} + \gamma } \right)^2} \end{split} $$ 考虑到
$\parallel \bar v\parallel = \sqrt {{{\bar v}^T}\bar v} = \sqrt {2{V_1}} \le \sqrt {2{V_1}(0)}$ , 因此$ 1 + $ $ \dfrac{{{G_{\max }}}}{{q{N^{1 - q}}\parallel \bar v{\parallel ^{2q - 1}}}} + \dfrac{{{c_3}}}{{{N^{1 - q}}}}\parallel \bar v{\parallel ^{p - q}} + \dfrac{{{c_4}}}{{{N^{1 - q}}}} $ 必定存在最大值, 假定其最大值为$ {\omega _2} $ , 上式可以写成:$$ \dot \gamma \le {\omega _1}{({\omega _2} + \gamma )^2} $$ (30) 其中,
$ {\omega _1} = q{(2{V_1}(0))^{{{(q - 1)} / 2}}} $ , 此$ {\dot \gamma _i}(t) $ 满足:$$ {\dot \gamma _i}(t) \le {\phi _i}(t,\phi _0^i) $$ (31) 其中,
$ {\phi _i}(t,\phi _0^i) $ 为下式的解:$$ {\dot \phi _i} = {\omega _1}{({\omega _2} + {\phi _i})^2},{\phi _i}(0,\phi _0^i) = \phi _0^i $$ (32) 上述等式的解为:
$$ {\phi _i}({\tau _i},0) = \frac{{{\tau _i}{\omega _1}\omega _2^2}}{{1 - {\tau _i}{\omega _1}{\omega _2}}} $$ (33) 由事件触发条件(17)得:
$$ \frac{{\parallel e\parallel }}{{\parallel \bar v\parallel ^q}} \le {\mu _{\min }}{c_4}{N^{\frac{{1 - q}}{2}}} $$ (34) 其中,
${\mu _{\min }} = \min \left\{ {{\mu _1},{\mu _2},\cdots,{\mu _N}} \right\}$ . 由引理3得:$$ \frac{{\parallel e\parallel }}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }} \le \frac{1}{{{N^{1 - q}}}}\frac{{\parallel e\parallel }}{{\parallel \bar v{\parallel ^q}}} $$ (35) 于是式(33)可以写成:
$$ \frac{{\parallel e\parallel }}{{\parallel {{\bar v}^q}\parallel }} \le {\mu _{\min }}{c_4}{N^{\frac{{q - 1}}{2}}} $$ (36) 于是在时间间隔
$ [t_k^i,t_{k + 1}^i) $ 内, 有:$$ {\phi _i}({\tau _i},0) = {\mu _{\min }}{c_4}{N^{\frac{{q - 1}}{2}}} $$ (37) 结合等式(32)、(36),可得最小触发时间间隔:
$$ {\tau _i} = \frac{{{\mu _{\min }}{c_4}{N^{\frac{{q - 1}}{2}}}}}{{{\omega _1}\omega _2^2 + {\mu _i}{N^{\frac{{q - 1}}{2}}}{c_4}{\omega _1}{\omega _2}}} $$ (38) 当
$ t \in ({T_1},T] $ 时, 定义$ \ell = {{{\parallel E\parallel } / {\parallel y}}^\beta }\parallel $ , 每个时间段$ [t_h^i,t_{h + 1}^i) $ 内有:$$ \begin{split} \dot \ell =\;& \dfrac{{{{(E)}^{\rm{T}}}(E)'}}{{\parallel E\parallel \parallel {y^\beta }\parallel }} - \dfrac{{\parallel E\parallel }}{{\parallel {y^\beta }\parallel }}\dfrac{{{{({y^\beta })}^{\rm{T}}}({y^\beta })'}}{{\parallel {y^\beta }{\parallel ^2}}}\le\\ & \dfrac{1}{{\parallel {y^\beta }\parallel }}\left[ {{c_1}({y^\alpha })' + {c_2}({y^\beta })'} \right] + \dfrac{{\parallel E\parallel ({y^\beta })'}}{{\parallel {y^\beta }{\parallel ^2}}}=\\ &\dfrac{{{c_1}({y^\alpha })' + {c_2}({y^\beta })'}}{{\parallel {y^\beta }\parallel }} + \ell \dfrac{{({y^\beta })'}}{{\parallel {y^\beta }\parallel }}\le \\ &(1 + \ell )\dfrac{{{ c_1}({y^\alpha })' + (1 + {c_2})({y^\beta })'}}{{\parallel {y^\beta }\parallel }}=\\ &(1 + \ell )\dfrac{{{\alpha c_1}{y^{\alpha - 1}}y' + \beta(1 + {c_2}){y^{\beta - 1}}y'}}{{\parallel {y^\beta }\parallel }}\le\\ & \beta{\rm sign} (y')(1 + \ell )\left[ {{c_1}\parallel {y^{\alpha - 1}}\parallel + (1 + {c_2})\parallel {y^{\beta - 1}}\parallel } \right]\times\\ &\dfrac{{y'}}{{\parallel {y^\beta }\parallel }}\le\beta(1 + \ell )\parallel L\parallel \parallel S\parallel \bigg[ {\dfrac{{{c_1}}}{{\parallel y{\parallel ^{1 - \alpha }}}} + } \\ & {(1 + {c_2}){N^{2 - \beta }}\parallel y{\parallel ^{\beta - 1}}} \bigg]\bigg( {\ell + \dfrac{{{c_1}}}{{{N^{1 - \beta }}\parallel y{\parallel ^{\beta - \alpha }}}} + } \\ & {\dfrac{{{c_2}}}{{{N^{1 - \beta }}}}} \bigg)\le\beta\parallel L\parallel \parallel S\parallel \bigg[ {\dfrac{{{c_1}}}{{\parallel y{\parallel ^{1 - \alpha }}}} + } \\ & {(1 + {c_2}){N^{2 - \beta }}\parallel y{\parallel ^{\beta - 1}}} \bigg]\bigg( {\ell + \dfrac{{{c_1}}}{{{N^{1 - \beta }}\parallel y{\parallel ^{\beta - \alpha }}}} + } \\ &{ {\dfrac{{{c_2}}}{{{N^{1 - \beta }}}} + 1} \bigg)^2} \\[-15pt]\end{split} $$ (39) 由引理1,
$ \sum\nolimits_{i = 1}^N {y_i^2} = {({L^{{1/ 2}}}Sx)^{\rm{T}}}L({L^{{1 / 2}}}Sx) \le \\ {\lambda _{\max }}(L){x^{\rm{T}}}SLSx \le 2{\lambda _{\max }}(L){V_2} \le 2{\lambda _{\max }}(L){V_2}(0) $ 于是不难得到:
$$ \parallel y\parallel \le \sqrt {2{\lambda _{\max }}(L){V_2}(0)} $$ (40) 因此, 式子
$$ \beta\parallel L\parallel \parallel S\parallel \left[ {\frac{{{c_1}}}{{\parallel y{\parallel ^{1 - \alpha }}}} + (1 + {c_2}){N^{2 - \beta }}\parallel y{\parallel ^{\beta - 1}}} \right] $$ 以及
$ \dfrac{{{c_1}}}{{{N^{1 - \beta }}\parallel y{\parallel ^{\beta - \alpha }}}} + \dfrac{{{c_2}}}{{{N^{1 - \beta }}}} + 1 $ 必定存在最大值, 分别假定其最大值为$ {\chi _1},{\chi _2} $ , 结合式(39)、(40),可以得到:$$ \dot \ell \le {\chi _1}{(\ell + {\chi _2})^2} $$ (41) 以下证明类似于
$ t \in [0,{T_1}] $ 的情况, 可得最小触发时间间隔为:$$ {\tau '_i} = \frac{{{\varepsilon _{\min }}{c_2}}}{{{N^{1 - \beta }}{\chi _1}\chi _2^2 + {\varepsilon _i}{c_2}{\chi _1}{\chi _2}}} $$ (42) 其中,
${\varepsilon _{\min }} = \min \left\{ {{\varepsilon _1},{\varepsilon _2},\cdots,{\varepsilon _N}} \right\}$ . 综合上述论证, 在两个时间段内, 事件触发间隔都存在正下界. □3. 实例仿真
实例1. 考虑到多智能体系统由5个智能体组成, 5个智能体互连构成的连通拓扑图如图1所示.
由通信拓扑图不难得到Laplacian矩阵
$ L $ :$$ L = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{ - 1}&0&0\\ { - 1}&3&{ - 1}&0&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1}&3&{ - 1}&0\\ 0&0&{ - 1}&2&{ - 1}\\ 0&{ - 1}&0&{ - 1}&2 \end{array}} \right] $$ 其中,
$ {\lambda _2}(L) = 1.38. $ 选定初始的状态为$ x(0) =[ - 0.5,$ $ - 0.3,0.1,0.2, - 0.1], $ 初始速度为$v(0) = [ - 0.2,0.1,$ $- 0.3, 0.2, - 0.1].$ 设定控制增益分别为:$ {c_1} = 0.22, $ ${c_2} = $ $ 1.2,$ $ {c_3} = 0.85 $ ,$ {c_4} = 0.4 $ . 比例参数设置为:$ {s_1} = - 1.3, $ $ {s_2} = - 1.3, $ $ {s_3} = 0.3, $ $ {s_4} = 0.3, $ $ {s_5} = 1. $ 其他需要设定的参数分别为:$ \alpha = 0.6, $ $ \beta = 1.8, $ $ p = 0.8, $ $ q = 1.1, $ $ {\mu _i} = 0.5, $ $ {\varepsilon _i} = 0.95. $ 由等式(19)不难得出${T_{1\max }} = $ $ 26.9\;{\rm{s}},$ 由等式(26)得$ {T_{2\max }} = 20.9\;{\rm{s}} . $ 系统总的收敛时间满足:$ T = {T_1} + {T_2} \le {T_{1\max }} +{T_{2\max }} =$ $ 47.8\;{\rm{s}}. $ 图2表明每个智能体最后收敛到不同状态. 由图2和图3知, 系统总体的收敛时间在10 s左右, 显然小于47.8 s. 由图4知, 当各个智能体追踪虚拟速度的误差趋近于零时, 所需要的时间小于5 s, 显然小于
${T_{1\max }}.$ 图5和图6表示智能体1在事件触发控制协议(10)及事件触发函数(12)下, 其误差范数的演化过程. 图5表示的是在
$ t \in [0,{T_1}] $ , 用基于速度信息的事件触发条件时, 智能体1误差范数的演化过程. 图6表示在$ t \in ({T_1},T] $ , 当多智能体系统完成虚拟速度追踪时, 切换为基于状态信息的事件触发条件, 智能体1的误差范数演化过程.
图 5 智能体1在触发条件(17)下的测量误差及阈值变化趋势Fig. 5 The evolution of the error norm and the threshold of agent 1 with trigger function (17)
图 6 智能体1在触发条件(25)下的测量误差及阈值变化趋势Fig. 6 The evolution of the error norm and the threshold of agent 1 with trigger function (25)图7中
$ i = 1,2, \cdots ,5 $ 为在控制策略(10)下, 各个智能体触发间隔;$ i = 6 $ 为在时间触发下, 每个智能体触发间隔. 图7表明本文所提出的事件触发控制策略在减小系统的能量耗散和控制器的更新频次的优越性.
图 7 各智能体在控制策略(10)下的触发间隔及在时间触发控制策略下的触发间隔Fig. 7 The triggered interval of each agent undercontrol scheme (10) and the trigger interval underthe time trigger control strategy图8给出了智能体1在控制协议(10)下, 与其它智能体之间的状态误差. 当系统达到稳定状态时, 各个智能体收敛于不同的值, 且满足既定的比例关系.
实例2. 为了证明本文给出的结果能够适应更为复杂的多智能体系统, 选用12个智能体组成的复杂多智能体系统, 12个智能体互连构成的连通拓扑图如图9所示. 其中, 取多智能体系统的初始状态、初始速度分别为
$x(0) = [ - 1,2, - 3,4, - 5,6,7, - 8, $ $ 9,10, - 11, - 7], $ $ v(0) = [ - 2, - 1,3,4, - 2, - 6,7,8,9, - 3,$ $ 3.5] $ . 设定控制增益分别为:$ {c_1} = 0.2 $ ,$ {c_2} = 0.3 $ ,${c_3} = $ $ 1.2 $ ,$ {c_4} = 0.4 $ .$ {\lambda _2}(L) = 0.558 $ . 其他需要设定的参数分别为:$ \alpha = 0.4 $ ,$ \beta = 1.8 $ ,$ p = 0.8 $ ,$ q = 1.1 $ ,$ {\mu _i} = 0.5 $ ,$ {\varepsilon _i} = 0.66 $ .由等式(19)不难得出
$ {T_{1\max }} = 32.7\;{\rm{s}} $ , 由等式(26)得$ {T_{2\max }} = 26.2\;{\rm{s}} . $ 系统总的收敛时间满足:$ T = {T_1} + {T_2} \le {T_{1\max }} + {T_{2\max }} = 58.9\;{\rm{s}} $ . 图10表明在控制策略(10)下, 多智能体系统能收敛至5个不同的子群. 图11表示各个智能体速度状态轨迹图. 而图12则表明智能体追踪虚拟速度的误差. 从图中可以看出, 智能体大约在4 s左右实现虚拟速度的追踪, 系统总体的收敛时间在10 s左右, 显然小于58.9 s.4. 结论
本文研究了基于事件触发二阶多智能体系统的固定时间比例一致性. 为使得系统状态收敛到不同状态, 设计了一种基于事件触发的固定时间非线性比例一致控制策略, 该控制协议包含一种基于状态信息和速度信息的分段式触发条件: 当多智能体系统处于追踪虚拟速度的状态时, 采用基于速度信息的事件触发条件; 当完成虚拟速度的追踪时, 采用基于状态信息的事件触发条件, 能有效的减小系统的能量耗散和控制器的更新频次. 利用Lyapunov稳定性理论、线性矩阵不等式和代数图论, 证明在该控制策略下, 二阶多智能体系统能实现固定时间比例一致性, 且不存在Zeno行为.
-
图 1 工序为$ \pi $ = [1 3 2 5 4 1 3 1 3 4]时的甘特图
Fig. 1 The Gantt chart of $ \pi $ = [1 3 2 5 4 1 3 1 3 4]
图 6 各算法在不同时间参数下的均值线及95 %置信度下Tukey$'$s HSD检验的置信区间
Fig. 6 Means plot and 95 % Tukey$'$s HSD confidence intervals for the interaction between the algorithms and the different time factor $ \rho $
图 7 各算法在不同时间参数下的均值线及95 %置信度下Tukey$'$s HSD检验的置信区间
Fig. 7 Means plot and 95 % Tukey$'$s HSD confidence intervals for the interaction between the algorithms and the different time factor $ \rho $
表 1 工序加工约束、序相关设置时间和工件到达时间表($ \pi $ = [1 3 2 5 4 1 3 1 3 4])
Table 1 The schedule of process constraint, sequence setup time and arrival time ($ \pi $ = [1 3 2 5 4 1 3 1 3 4])
可执行操作的设备 序相关设置时间 首次到达设备的时间 操作1 操作2 操作3 工件1 工件2 工件3 工件4 工件5 m1 m2 m3 工件1 m1/m2 m1/m2/m3 m1/m3 — 83 38 39 47 35 34 23 工件2 m1 — — 53 — 66 45 25 38 78 98 工件3 m3 m2/m3 m2 64 57 — 72 46 52 23 32 工件4 m1/m3 m1 — 46 67 83 — 55 132 131 98 工件5 m1/m3 — — 40 66 83 77 — 114 99 112 
下载: 导出CSV
表 2 工件加工时间表($ \pi $ = [1 3 2 5 4 1 3 1 3 4]) ($t$/s)
Table 2 The processing time table ($ \pi $ = [1 3 2 5 4 1 3 1 3 4]) ($t$/s)
操作1 操作2 操作3 m1 m2 m3 m1 m2 m3 m1 m2 m3 工件1 62 44 — 78 86 26 48 — 87 工件2 41 — — — — — — — — 工件3 — — 31 — 58 65 — 42 — 工件4 32 — 31 27 — — — — — 工件5 74 — 36 — — — — — —
下载: 导出CSV
表 3 参数水平设置表
Table 3 Combinations of parameter values
参数 水平 1 2 3 4 $ popsize $ 10 20 30 40 $ TF $ 0 1 2 3 $ r_{m} $ 0.1 0.4 0.7 0.9
下载: 导出CSV
表 4 正交表和AVG统计
Table 4 Orthogonal array and AVG
参数组合 水平 $ AVG $ $ popsize $ $ TF $ $ r_{m} $ 1 1 1 1 500.65 2 1 2 2 503.90 3 1 3 3 497.30 4 1 4 4 498.55 5 2 1 2 489.35 6 2 2 3 491.20 7 2 3 4 485.50 8 2 4 1 488.35 9 3 1 3 482.55 10 3 2 4 481.80 11 3 3 1 482.25 12 3 4 2 483.25 13 4 1 4 483.35 14 4 2 1 484.00 15 4 3 2 483.60 16 4 4 3 482.20
下载: 导出CSV
表 5 各参数响应值
Table 5 Average response value and rank of each parameter
水平 $ popsize $ $ TF $ $ r_{m} $ 1 500.10 488.98 488.81 2 488.60 490.23 490.02 3 482.46 487.16 488.31 4 483.29 488.09 487.30 等级 1 3 2
下载: 导出CSV
表 6 DTLBO与PSO、DTLBO-Ⅰ、标准TLBO和CIWO的比较($ \rho =4 $)
Table 6 Comparisons of DTLBO, DTLBO-Ⅰ, PSO, CIWO, and standard TLBO ($ \rho =4 $)
测试问题 PSO DTLBO-Ⅰ 标准TLBO CIWO DTLBO BST WST AVG BST WST AVG BST WST AVG BST WST AVG BST WST AVG 10$ \times $5 229 235 230.15 228 231 229.45 228 233 230.05 227 246 229.95 227 244 229.3 20$ \times $5 560 587 576.7 546 579 560.3 558 589 574.5 503 554 526.5 506 534 521.4 30$ \times $5 682 708 694.8 638 685 662.3 675 709 697 615 665 635.5 607 638 622.4 40$ \times $5 752 784 771.4 696 748 725.7 728 787 767.75 654 716 690.05 661 716 692.8 50$ \times $5 1 132 1 171 1 157.45 1 093 1 140 1 114.3 1148 1 175 1 161.5 1 019 1 091 1 059.2 1 019 1 078 1 051.85 40$ \times $10 340 357 348.2 307 336 321.3 340 360 351.15 293 326 311.9 284 317 304.3 50$ \times $10 410 429 419.7 373 411 392.75 413 429 421.1 362 391 376.3 353 386 370.75 60$ \times $10 523 548 538.8 497 529 516 538 552 544.3 485 516 499.95 481 516 500.6 70$ \times $10 658 682 672 626 653 641.8 660 684 672.65 604 639 622 597 636 621.75 80$ \times $10 596 619 612.15 567 601 585.55 597 621 612.95 553 589 571.45 553 584 569.5 80$ \times $20 286 298 292.2 265 289 278.85 285 298 291.8 257 282 271.65 259 272 264.7 90$ \times $20 287 299 294.65 271 289 280.55 288 301 297.4 255 284 273.1 255 279 269.05 100$ \times $20 329 340 336 309 328 320.5 333 343 338 304 323 312.65 299 313 306.25 150$ \times $20 479 496 489.2 460 486 472 487 499 492.9 454 476 464.95 449 477 458.45 200$ \times $20 575 593 587.25 557 576 568.5 577 598 589.85 559 575 564.4 547 559 549.55 Average 522.53 543.06 534.71 495.53 525.4 511.32 523.66 545.2 536.19 476.27 511.53 493.97 473.13 503.27 488.84
下载: 导出CSV
表 7 HDTLBO与DPSO、DTLBO-Ⅱ、GA_DR_C和CCIWO的比较($ \rho =4 $)
Table 7 Comparisons of HDTLBO, DPSO, DTLBO-Ⅱ, GA_DR_C, and CCIWO ($ \rho =4 $)
测试问题 DPSO DTLBO-Ⅱ GA_DR_C CCIWO HDTLBO BST WST AVG BST WST AVG BST WST AVG BST WST AVG BST WST AVG 10$ \times $5 227 230 228.75 227 230 228.45 227 230 228.2 227 230 228.2 227 230 227.3 20$ \times $5 521 547 527.15 533 554 543.1 514 551 536.15 494 536 518.1 499 540 520.95 30$ \times $5 612 647 624.1 630 658 645.65 625 656 645.85 617 644 621.95 603 638 617.5 40$ \times $5 652 692 686.75 695 733 710.15 695 735 715.8 657 715 686.15 645 692 681.65 50$ \times $5 1 014 1 074 1 058.4 1 064 1 111 1 090 1 070 1107 1 094.75 1 024 1 088 1 057.05 1 006 1 055 1 035.9 40$ \times $10 303 317 306.14 303 328 316.2 305 325 316.4 292 320 307.7 290 316 303.65 50$ \times $10 365 387 370.95 370 395 387.95 374 400 388.2 362 390 373.85 355 382 369 60$ \times $10 481 503 498.85 498 519 510.9 497 584 541.15 481 515 496.6 481 501 493.05 70$ \times $10 601 639 615.4 626 656 640.15 636 716 694.55 597 639 621.7 597 635 606.75 80$ \times $10 556 590 579 571 596 584.55 561 590 582.75 548 586 568.45 554 575 564.85 80$ \times $20 274 285 277.41 269 285 278 273 285 279.9 275 280 269.3 262 279 273.7 90$ \times $20 269 290 273.33 275 288 282.1 277 292 285.8 268 285 276.25 266 282 272.58 100$ \times $20 304 323 313.7 313 327 320.85 317 328 322.85 300 323 314.6 297 323 310.65 150$ \times $20 472 489 475.34 469 486 476.45 470 488 480.55 469 486 470.7 464 483 469.89 200$ \times $20 553 579 566.5 564 579 573 562 587 578.1 557 583 570.05 549 579 565.2 Average 480.27 506.13 493.45 493.8 516.33 505.83 493.53 524.93 521.73 477.87 508 492.04 473 500.67 487.51
下载: 导出CSV
表 8 模具各工序加工约束及首次到达时间表
Table 8 The schedule of mold process constraint and arrival time
模具 可执行操作的设备 模具首次到达设备时间 操作1 操作2 操作3 m1 m2 m3 m4 m5 1 m1/m3/m5 m3/m4 m2/m3/m4 7 4 8 4 6 2 m1/m3/m6 m1 — 1 6 2 3 3 3 m3 — — 3 1 8 4 6 4 m2/m3/m5 m1/m2/m3/m4/m5 m2/m3/m4 8 1 6 8 7 5 m1/m3/m4 — — 1 2 6 7 3 6 m2/m5 m1/m4/m5 m1/m4/m5 5 8 3 1 5 7 m2/m4/m5 m2/m3/m4/m5 — 3 8 3 3 6 8 m1/m2/m3/m5 — — 2 6 8 7 7 9 m4/m5 m3 m3/m4 6 3 5 3 7 10 m2 m2/m4 m1/m2/m3 7 4 1 4 6 11 m1/m5 m1 — 6 5 1 8 4 12 m4/m5 m1/m2/m3/m4/m5 m1/m2/m4 5 3 1 8 8 13 m2/m4/m5 m3 m4/m5 7 1 6 6 6 14 m3 m1/m3/m5 2 1 4 6 3 15 m3/m4/m5 — — 8 6 5 3 2 16 m1/m3 m3 — 8 6 6 7 2 17 m3 — — 8 4 6 7 1 18 m4/m5 m2/m4 m5 4 3 5 2 6 19 m1/m2/m4/m5 — — 3 6 2 1 3 20 m1/m4 m3/m5 m2/m4/m5 4 7 5 7 7
下载: 导出CSV
表 9 各模具产品的序相关设置时间表
Table 9 The schedule of sequence setup time between each mold
模具 序相关设置时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 — 2 3 3 4 3 3 3 3 2 1 3 1 4 4 4 2 4 2 1 2 2 — 2 2 3 2 2 1 3 1 2 2 4 4 3 3 4 4 2 4 3 2 3 — 4 3 3 4 2 1 2 3 3 1 4 2 1 3 3 4 3 4 3 1 3 — 4 1 4 2 2 2 1 1 4 1 3 2 2 1 2 3 5 4 4 4 2 — 1 1 1 4 1 1 1 3 2 1 3 2 4 3 3 6 1 2 3 2 3 — 3 2 2 3 4 1 1 3 3 2 4 2 4 1 7 3 4 4 4 1 2 — 1 1 4 2 2 3 2 2 2 4 1 1 2 8 4 2 4 1 4 1 2 — 4 3 3 3 2 4 1 3 4 1 4 1 9 4 2 3 3 2 4 4 1 — 2 2 3 2 1 2 4 2 1 4 3 10 2 4 1 2 2 4 4 3 3 — 1 1 2 3 1 2 1 4 2 1 11 3 4 3 2 2 2 1 2 2 2 — 2 4 3 3 2 1 2 2 2 12 2 1 4 2 4 2 3 2 1 2 3 — 1 1 3 2 3 2 1 2 13 2 1 2 4 2 1 4 2 4 2 4 3 — 4 4 3 4 3 4 1 14 4 4 1 3 2 2 2 4 1 4 1 2 1 — 2 2 1 3 4 1 15 3 2 2 3 1 2 3 4 3 1 2 1 3 1 — 2 3 1 4 4 16 1 4 1 1 4 3 1 3 1 2 4 4 2 3 4 — 4 4 4 1 17 4 3 1 1 3 2 3 1 3 4 1 1 3 2 1 1 — 2 1 1 18 1 2 4 4 2 1 4 1 2 1 4 4 3 2 1 3 1 — 2 2 19 2 3 2 2 2 3 4 1 1 3 2 2 2 3 3 2 4 1 — 2 20 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 1 4 1 1 1 4 1 —
下载: 导出CSV
表 10 模具各工序的加工时间表
Table 10 The processing time table of each mold
模具 操作1 操作2 操作3 m1 m2 m3 m4 m5 m1 m2 m3 m4 m5 m1 m2 m3 m4 m5 1 27 — 18 — 29 — — 27 17 — — 23 29 19 — 2 13 — 26 — 11 13 — — — — — — — — — 3 — — 23 — — — — — — — — — — — — 4 — 10 13 — 12 18 25 11 10 26 — 21 31 27 — 5 9 — 8 16 — — — — — — — — — — — 6 — 9 — — 29 19 — — 25 10 30 — — 26 19 7 — 19 — 22 28 — 10 28 24 27 — — — — — 8 30 23 28 — 17 — — — — — — — — — — 9 — — — 31 24 — — 9 — — — — 8 28 — 10 — 25 — — — — 27 — 13 — 31 20 26 — — 11 25 — — — 24 12 — — — — — — — — — 12 — — — 23 — 17 13 16 — — 22 8 — 30 — 13 — 16 — 19 22 — — 28 — — — — — 27 23 14 28 — 16 — 20 — — 18 — — 16 — 16 — 21 15 — — 28 29 23 — — — — — — — — — — 16 27 — 10 — — — — 8 — — — — — — — 17 — — 26 — — — — — — — — — — — — 18 — — — 12 24 — 13 — 27 — — — — — 17 19 24 19 — 12 14 — — — — — — — — — — 20 17 — — 10 — — — 31 — 20 — 30 — 9 24
下载: 导出CSV
表 11 实例仿真结果
Table 11 Simulation results of the instance
运行次数 DTLBO-Ⅱ GA DPSO CCIWO HDTLBO 1 167 166 166 163 163 2 164 166 164 163 166 3 168 167 167 167 167 4 169 166 164 166 163 5 163 163 165 163 165 6 167 165 166 167 163 7 167 168 163 168 166 8 166 168 167 164 168 9 168 167 164 163 163 10 169 168 165 164 165 11 168 163 164 168 166 12 169 168 169 167 163 13 168 167 165 166 167 14 163 170 166 170 166 15 167 166 168 169 163 16 166 167 166 171 163 17 167 170 163 168 163 18 169 168 164 170 165 19 165 168 163 165 168 20 167 168 164 167 163 Average 166.85 166.95 165.15 166.45 164.8
下载: 导出CSV
-
[1] Pinedo M. Scheduling: theory, algorithms, and systems. Berlin Heidelberg: Springer, 2012. [2] Allahverdi A. Two-machine proportionate flowshop scheduling with breakdowns maximum lateness. Computers & Operations Research, 1996, 23(10): 909-916 [3] Lan X J, Su D D. Research of a mold job shop scheduling optimization based on particle swarm optimization algorithm. Applied Mechanics & Materials, 2015, 757(2): 201-207 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=10.4028/www.scientific.net/AMM.757.201 [4] Sang H Y, Duan P Y, Li J Q. An effective invasive weed optimization algorithm for scheduling semiconductor final testing problem. Swarm & Evolutionary Computation, 2018, 38: 42-53 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=f24ee1e67ed4add61940b0e69b5f0a53 [5] Hu H, Ng KKH, Qin Y C. Robust parallel machine scheduling problem with uncertainties and sequence-dependent setup time. Scientific Programming, 2016: 1-13 [6] Li C L, Cheng T C E. The parallel machine min-max weighted absolute lateness scheduling problem. Naval Research Logistics, 1994, 41(1): 33-46 doi: 10.1002/1520-6750(199402)41:1<33::AID-NAV3220410104>3.0.CO;2-S [7] Ranjbar M, Davari M, Leus R. Two branch-and-bound algorithms for the robust parallel machine scheduling problem. Computers & Operations Research, 2012, 39(7): 1652-1660 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=58dbb13e91377bee19b577c7d4561726 [8] Lee W C, Wang J Y, Lin M C. A branch-and-bound algorithm for minimizing the total weighted completion time on parallel identical machines with two competing agents. Knowledge-Based Systems, 2016, 105(C): 68-82 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=90998daca3d98ce1fbd2b119fbae1b4a [9] Wu L, Wang S. Exact and heuristic methods to solve the parallel machine scheduling problem with multi-processor tasks. International Journal of Production Economics, 2018, 201: 26-40 doi: 10.1016/j.ijpe.2018.04.013 [10] Chen Z L, Powell W B. A column generation based decomposition algorithm for a parallel machine just-in-time scheduling problem. European Journal of Operational Research, 1999, 116(1): 220-232 doi: 10.1016/S0377-2217(98)00136-2 [11] Yin Y, Ye D, Zhang G. Single machine batch scheduling to minimize the sum of total flow time and batch delivery cost with an unavailability interval. Information Sciences, 2014, 274(8): 310-322 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=057211486faaa3fa789b3f4b9a751866 [12] Li D W, Lu X W. Two-agent parallel-machine scheduling with rejection. Theoretical Computer Science, 2017, 703: 66-75 doi: 10.1016/j.tcs.2017.09.004 [13] Yin Y, Cheng S R, Cheng T C E, et al. Just-in-time scheduling with two competing agents on unrelated parallel machines. Omega, 2016, 63: 41-47 doi: 10.1016/j.omega.2015.09.010 [14] Woo Y B, Jung S, Kim B S. A rule-based genetic algorithm with an improvement heuristic for unrelated parallel machine scheduling problem with time-dependent deterioration and multiple rate-modifying activities. Computers & Industrial Engineering, 2017, 109: 179-190 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=f0a6c39ef977f0f9c653802880bf2420 [15] Avalos-Rosales O, Angel-Bello F, Alvarez A. Efficient metaheuristic algorithm and re-formulations for the unrelated parallel machine scheduling problem with sequence and machine-dependent setup times. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2015, 76(9-12): 1705-1718 doi: 10.1007/s00170-014-6390-6 [16] 张嘉琦, 曹政才, 刘民.融合代理模型和差分进化算法的并行机动态调度方法.计算机集成制造系统, 2017, 23(1): 75-81 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/jsjjczzxt201701009Zhang Jia-Qi, Cao Zheng-Cai, Liu Min. Integrated differential evolution algorithm with surrogate model for dynamic parallel machine scheduling. Computer Integrated Manufacturing Systems, 2017, 23(1): 75-81 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/jsjjczzxt201701009 [17] Chen C L. Iterated hybrid metaheuristic algorithms for unrelated parallel machines problem with unequal ready times and sequence-dependent setup times. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2012, 60(5-8): 693-705 doi: 10.1007/s00170-011-3623-9 [18] Damodaran P, Diyadawagamage D A, Ghrayeb O. A particle swarm optimization algorithm for minimizing makespan of nonidentical parallel batch processing machines. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2012, 58(9-12): 1131-1140 doi: 10.1007/s00170-011-3442-z [19] Diana R O M. An immune-inspired algorithm for an unrelated parallel machines$'$ scheduling problem with sequence and machine dependent setup-times for makespan minimisation. Neurocomputing, 2015, 163(C): 94-105 [20] Sels V, Coelho J, Dias A M, et al. Hybrid tabu search and a truncated branch-and-bound for the unrelated parallel machine scheduling problem. Computers & Operations Research, 2015, 53: 107-117 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=a7d0c31a9a95e9f1ce534a14dda1cdb2 [21] Bitar A, Yugma C, Roussel R. A memetic algorithm to solve an unrelated parallel machine scheduling problem with auxiliary resources in semiconductor manufacturing. Journal of Scheduling, 2016, 19(4): 367-376 doi: 10.1007/s10951-014-0397-6 [22] Joo C M, Kim B S. Hybrid genetic algorithms with dispatching rules for unrelated parallel machine scheduling with setup time and production availability. Computers & Industrial Engineering, 2015, 85(C): 102-109 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=fcb17bbd465d8682d2400ec1e2f8025a [23] 罗家祥, 唐立新.带释放时间的并行机调度.问题的ILS & SS算法.自动化学报, 2005, 31(6): 917-924 http://www.aas.net.cn/article/id/15921Luo Jia-Xiang, Tang Li-Xin. A new ILS & SS algorithm for parallel-machine scheduling problem. Acta Automatica Sinica, 2005, 31(6): 917-924 http://www.aas.net.cn/article/id/15921 [24] Lin S W, Ying K C. ABC-based manufacturing scheduling for unrelated parallel machines with machine-dependent and job sequence-dependent setup times. Computers & Operations Research, 2014, 51(3): 172-181 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=5b16d15a9448bceeb8e453a1f542ce32 [25] Rao R V, Savsani V J. and Vakharia D P. Teaching- learning-based optimization: a novel method for constrained mechanical design optimization problems. Computer-Aided Design, 2011, 43(3): 303-315 doi: 10.1016/j.cad.2010.12.015 [26] Waghmare, G. Comments on "a note on teaching-learning-based optimization algorithm". Information Sciences, 2013, 229: 159-169 doi: 10.1016/j.ins.2012.11.009 [27] Shao S W, Pi D C, Shao Z. An extended teaching-learning based optimization algorithm for solving no-wait flow shop scheduling problem. Applied Soft Computing, 2017, 61: 193-210 doi: 10.1016/j.asoc.2017.08.020 [28] Xu Y, Wang L, Wang S Y, et al. An effective teaching--learning-based optimization algorithm for the flexible job-shop scheduling problem with fuzzy processing time. Neurocomputing, 2015, 148: 260-268 doi: 10.1016/j.neucom.2013.10.042 [29] Shao S W, Pi D C, Shao Z. A hybrid discrete optimization algorithm based on teaching-probabilistic learning mechanism for no-wait flow shop scheduling. Knowledge-Based Systems, 2016, 107: 219-234 doi: 10.1016/j.knosys.2016.06.011 [30] Li J Q, Pan Q K, Mao K. A discrete teaching-learning-based optimisation algorithm for realistic flowshop rescheduling problems. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2015, 37: 279-292 doi: 10.1016/j.engappai.2014.09.015 [31] 马永杰, 云文霞.遗传算法研究进展.计算机应用研究, 2012, 29(4): 1201-1206 doi: 10.3969/j.issn.1001-3695.2012.04.001Ma Yong-Jie, Yun Wen-Xia. Research progress of genetic algorithm. Application Rehash of Computers, 2012, 29(4): 1201-1206 doi: 10.3969/j.issn.1001-3695.2012.04.001 [32] Abdoun O, Abouchabaka J. A comparative study of adaptive crossover operators for genetic algorithms to resolve the traveling salesman problem. Computer Science, 2011, 31(11): 49-57 [33] 王凌, 钱斌.混合差分进化与调度算法.北京:清华大学出版社, 2012.Wang Ling, Qian Bin. Hybrid differential evolution and scheduling algorithms. Beijing: Tsinghua University Press, 2012. [34] 潘全科, 王凌, 赵保华.解决零空闲流水线调度问题的离散粒子群算法.控制与决策, 2008, 23(2): 191-194 doi: 10.3321/j.issn:1001-0920.2008.02.014Pan Quan-Ke, Wang Ling, Zhao Bao-Hua. Discrete particle swarm optimization for no-idle flow shop problem. Control and Decision, 2008, 23(2): 191-194 doi: 10.3321/j.issn:1001-0920.2008.02.014 期刊类型引用(13)
1. 胡蓉，伍星，毛剑琳，钱斌. 融入概率学习的混合差分进化算法求解绿色分布式可重入作业车间调度. 控制理论与应用. 2024(03): 512-521 . 
百度学术2. 杨媛媛，胡蓉，钱斌，张长胜，金怀平. 深度强化学习算法求解动态流水车间实时调度问题. 控制理论与应用. 2024(06): 1047-1055 . 百度学术3. 郭琴，郑巧仙. 基于历史最优与接受差解的教与学算法. 计算机工程与设计. 2024(11): 3499-3506 . 百度学术4. 王建华，杨琦，朱凯. 自适应多种群Jaya算法求解绿色并行机调度问题. 计算机集成制造系统. 2023(01): 111-120 . 百度学术5. 王娟，刘美红，祝世兴，陈文博，李遇贤，孙军锋. 指尖密封结构参数的多目标混合教与学优化方法. 机械工程学报. 2023(09): 157-170 . 百度学术6. 翟志波，贾国平，王涛，周鹏鹏，闫汝山，戴玉森. 基于拉普拉斯分布与鲍德温效应的教与学算法及其应用. 计算机集成制造系统. 2023(08): 2611-2621 . 百度学术7. 徐林浩，胡蓉，钱斌，于乃康. 绿色VRP的增强拉格朗日松弛启发式算法. 电子测量技术. 2023(19): 96-103 . 百度学术8. 陶丽文，刘建胜. 一种多班级离散型教与学算法求解路径规划问题. 南昌大学学报(工科版). 2022(03): 282-288 . 百度学术9. 宋君乐，陶翼飞，可晓东，丁小鹏. 分区编码HBGWO算法求解并行机分批调度问题. 机械设计. 2022(10): 48-59 . 百度学术10. 马晓梅，何非. 基于改进遗传算法的标签印刷生产调度技术. 计算机应用. 2021(03): 860-866 . 百度学术11. 曹劲松，熊福力. 基于离散教与学算法的分布式预制流水车间调度研究. 计算机测量与控制. 2021(12): 166-171+183 . 百度学术12. 张梓琪，钱斌，胡蓉. 混合交叉熵算法求解复杂零等待流水线调度问题. 控制理论与应用. 2021(12): 1919-1934 . 百度学术13. 李丽荣，李木子，李崔灿，王培崇. 具有动态自适应学习机制的教与学优化算法. 计算机工程与应用. 2020(19): 62-67 . 百度学术其他类型引用(17)
-
下载:
计量
- 文章访问数: 6411
- HTML全文浏览量: 1563
- PDF下载量: 200
- 被引次数: 30
