Output Feedback Model Predictive Control for Interval Type-2 T-S Fuzzy Networked Control Systems
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摘要: 针对干扰作用下的非线性网络控制系统，给出了带一个自由控制作用的输出反馈预测控制方法.首先，利用区间二型T-S模糊模型描述具有参数不确定性的非线性对象，采用马尔科夫链描述系统中的随机丢包过程，由此建立了丢包网络环境下的非线性网络控制系统的数学模型.然后，通过引入二次有界技术得到了干扰作用下网络控制系统的稳定性描述方法，并在此基础上给出了状态观测器的线性矩阵不等式条件.最后，基于估计状态，通过将无穷时域控制作用参数化为一个自由控制作用加一个线性反馈律得到了输出反馈预测控制方法.论文的特色在于构建了在线更新误差椭圆集合的基本方法，满足了约束条件下输出反馈预测控制保证稳定性的要求.仿真例子验证了所提方法的有效性.Abstract: For non-linear networked control systems with bounded disturbances, this paper presents an output feedback predictive control approach with one free control move. Firstly, an interval type-2 T-S fuzzy model is employed to describe the non-linear plant which is subject to parameter uncertainties, and a Markov chain is introduced to characterize the process of stochastic packet loss of the system, thus a mathematical model of non-linear networked control system with packet loss is established. Then, a method of describing the stability for a networked control system with bounded disturbances is obtained by using the technique of quadratic boundedness. With the help of the provided method, the linear matrix inequality conditions of the state observer are given. Finally, based on the estimated state, an output feedback predictive control algorithm is developed which parameterizes the infinite horizon control moves into one free control move and a linear feedback law. The main feature of this paper is that an essential formula for on-line refreshing ellipsoidal bounds of estimation errors is introduced, which meets the requirement of guaranteeing the stability of output feedback predictive control with input constraints. An example is given to demonstrate the effectiveness of the proposed method.
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Key words:
- Networked control systems /
- predictive control /
- interval type-2 /
- quadratic boundedness
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预测控制作为一种具有处理约束优化控制问题能力的先进控制算法, 已经引起了工业界和学术界的广泛关注[1].纵观预测控制的发展过程, 它经历了从上世纪70年代以动态矩阵控制, 模型算法控制为代表的经典预测控制算法, 到上世纪90年代以具有稳定性保证为特色的预测控制综合方法的质的飞跃[2-4].就预测控制综合方法而言, 文献[5]基于不变集理论和线性矩阵不等式(Linear matrix inequality, LMI)技术首次提出了一种能够保证稳定性的预测控制综合算法.从那以后, 预测控制综合方法的研究有了长足的进步, 其主要进展来自于以下两个方面:首先, 通过设计新的Lyapunov函数, 如参数依赖Lyapunov函数, 或者在优化问题中增加自由控制作用等方法来提高系统的控制性能, 如文献[6-8].其次, 通过离线求解控制序列或者采用集结策略来降低在线计算量, 如文献[9-11].然而, 上述文献的结果均基于状态可测的情况, 即状态反馈预测控制.对于实际系统而言, 状态变量往往是不可测的.因此, 输出反馈预测控制综合方法的研究更具实际意义.近年来, 已有学者对这一问题展开了深入研究, 并取得了很多有意义的结果.文献[12]针对具有模型不确定性的线性时变约束系统, 给出了一种基于离线状态观测器和离线反馈控制律的输出反馈预测控制方法.文献[13]在文献[12]的基础上, 提出了一种基于"quasi-min-max"的输出反馈预测控制, 其算法主要由离线设计的状态观测器和在线的输出反馈控制器构成.关于输出反馈预测控制综合方法的其他研究请参考文献[14-17].
与此同时, 网络控制系统因其可靠性高、易于安装和维护、能实现信息资源共享等优势, 已经成为学术界的重点研究领域之一[18-22].对网络控制系统的研究, 其主要挑战是如何降低网络的特有属性, 如数据丢包, 带给控制系统性能的不利影响.为此, 学术界已经提出了各种方案来解决这一难题, 如$H_\infty$控制[23-26], 切换系统理论[27], 预测控制[28]等.文献[23-24]都采用伯努利随机分布描述丢包现象, 分别设计了具有指数稳定且满足$H_\infty$性能的输出反馈控制器和滤波器.文献[25]研究了双频采样和丢包情况下的$H_\infty$控制问题, 并给出了系统稳定性判据和控制器设计方法.文献[26]将采集器端数据采样周期, 数据传输时滞和数据丢包统一转化为零阶保持器的数据更新周期, 实现了$H_\infty$跟踪控制.文献[27]研究了切换频度同Markov切换系统稳定性的关系, 保证了网络控制系统的随机指数镇定.文献[28]将丢包问题当作时延问题处理, 提出了基于双线性系统结构特性的预测控制算法.
预测控制因其滚动优化、滚动实施、鲁棒性强的特点, 对处理网络数据丢包等问题有着天然优势.近年来, 很多学者对网络控制系统的预测控制问题进行了广泛研究, 并取得了一定的成果.但现有网络预测控制文献多采用预测控制的设计方法, 即得到控制器后分析系统稳定性, 如文献[29-30].而对于预测控制的综合方法-具有稳定性保证的预测控制的研究则较少, 这种综合方法的优势在于只要优化可行则系统稳定, 如文献[31-32].文献[31]考虑具有双通道数据丢包的网络控制系统, 从鲁棒分析的角度建立了网络控制系统模型, 通过构造无穷时域的约束优化问题, 给出了具有稳定性和可行性保证的预测控制.文献[32]在文献[5]的基础上, 通过引入马尔科夫随机丢包, 并扩展相关约束条件, 在随机系统框架下, 得到了丢包网络环境下的预测控制综合方法.更多相关研究请参考文献[33-35].然而, 上述文献均考虑状态可测情况下的网络预测控制.如果状态不可测, 则文献[31-35]中的方法不再适用.此外, 这些文献都不考虑非线性对象及干扰问题.文献[36]采用了T-S模糊模型来描述具有伯努利随机丢包的非线性网络控制系统, 并利用分段Lyapunov稳定性分析方法, 设计了能够保证闭环系统随机稳定的模糊控制器, 但并未考虑干扰问题.文献[37]解决了干扰作用下基于马尔科夫丢包的非线性系统的稳定性问题, 但只适用于状态可测的情况.因此, 对网络预测控制这一问题的研究还有很多工作可以做.
本文研究干扰作用下的非线性网络控制系统的输出反馈预测控制问题.利用区间二型T-S模糊模型[38-41]描述具有参数不确定性的非线性对象, 采用马尔科夫链描述系统中的随机丢包过程.通过引入二次有界技术, 得到了描述干扰作用下的网络控制系统稳定性的一般方法.本文所提算法包含两个部分: 1)利用二次有界条件和S-过程, 离线设计了状态观测器; 2)通过将无穷时域控制作用参数化为一个自由控制作用加一个线性反馈控制律得到了输出反馈预测控制.最后, 论文讨论了估计误差集合的在线更新方法.
注1. $I$表示相应维数的单位阵. $P>0$($\geq0$)表示$P$是对称正定(半正定)矩阵. $\|{\pmb x}\|_P$表示$\sqrt{{\pmb x}^{\rm{T}}P{\pmb x}}$.在对称矩阵中, 符号${\ast}$表示对称部分. ${\rm{diag}}\{\cdots\}$表示对角阵. $\mathfrak{L}_M:=\{{\pmb x}|{\pmb x}^{\rm{T}}M{\pmb x}\leq1\}$表示关于正定对称矩阵$M$的椭圆. $\lambda_{\rm{{min}}}(M)$表示矩阵$M$的最小特征值. ${E}_{{\pmb x}}$代表关于${\pmb x}$的条件期望.
1. 问题阐述
1.1 区间二型T-S模糊模型
区间二型T-S模糊模型用IF-THEN规则可以描述为:
Rule $i$: IF $g_1(\mu(k))$ is $H_{i1}$, $g_2(\mu(k))$ is $H_{i2}$, ${\cdots}$, $g_{\vartheta}(\mu(k))$ is $H_{i{\vartheta}}$, THEN
$ \begin{align}\label{1.1} &{\pmb x}(k+1)=A_i{\pmb x}(k)+B_i{\pmb u}(k)+D_iw(k) \nonumber \\ &{\pmb y}(k)=C_i{\pmb x}(k)+E_iw(k) \end{align} $
(1) $g_1(\mu(k))$, $g_2(\mu(k))$, $\cdots$, $g_{\vartheta}(\mu(k))$是前件变量, $H_{il}$, $i=1, 2, \cdots, r; \ l=1, 2, \cdots, \vartheta$是规则$i$的区间二型模糊集. ${\pmb x}(k)\in{{\pmb {\rm{R}}}^{n_x}}$, ${\pmb u}(k)\in{{\pmb {\rm{R}}}^{n_u}}$, $w(k)\in{{\pmb {\rm{R}}}^{n_w}}$和${\pmb y}(k)\in{{\pmb {\rm{R}}}^{n_y}}$分别代表状态向量, 控制输入, 系统干扰, 系统输出. $A_i, \ B_i, \ C_i, \ D_i, \ E_i$是适当维数的常数矩阵, 第$i$个模糊规则的激活强度为:
$ \begin{align*} m_i(\mu(k))&=\left[\underline{m}_i(\mu(k)), \ \overline{m}_i(\mu(k))\right] \end{align*} $
其中$\underline{m}_i(\mu(k))=\prod_{l=1}^{\vartheta}{\underline{\nu}}_{H_{il}}(g_{l}(\mu(k)))\geq0$和$\overline{m}_i(\mu(k))=\prod_{l=1}^{\vartheta}{\overline{\nu}}_{H_{il}}(g_{l}(\mu(k)))\geq0$分别是函数$g_{l}(\mu(k))$的上下隶属度, ${\underline{\nu}}_{H_{il}}(g_{l}(\mu(k)))\in[0, 1]$, ${\overline{\nu}}_{H_{il}}(g_{l}(\mu(k)))\in[0, 1]$分别代表上下隶属函数, 且${\underline{\nu}}_{H_{il}}(g_{l}(\mu(k)))\leq{\overline{\nu}}_{H_{il}}(g_{l}(\mu(k)))$, $\underline{m}_i(\mu(k))\leq\overline{m}_i(\mu(k))$.区间二型T-S模糊系统可描述为:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{x}}(k + 1) = \sum {_{i = 1}^r} {m_i}(\mu (k))[{A_i}\mathit{\boldsymbol{x}}(k) + }\\ {\qquad {B_i}\mathit{\boldsymbol{u}}(k) + {D_i}w(k)]}\\ {\mathit{\boldsymbol{y}}(k) = \sum {_{i = 1}^r} {m_i}(\mu (k))[{C_i}\mathit{\boldsymbol{x}}(k) + {E_i}w(k)]} \end{array}} \right. $
(2) 其中 $m_i(\mu(k))=\underline{m}_i(\mu(k))\underline{\xi}_i(\mu(k))+\overline{m}_i(\mu(k))\overline{\xi}_i(\mu(k))$, $\underline{\xi}_i(\mu(k))+\overline{\xi}_i(\mu(k))=1$, $m_i(\mu(k))\in[0, 1]$, ${\sum_{i=1}^{r}}m_{i}(\mu(k))=1$. $\underline{\xi}_i(\mu(k))$和$\overline{\xi}_i(\mu(k))$是关于参数不确定的非线性函数.
假设1. 假设状态不可测, $(A_i, \ C_i)$可观测, 不可测干扰有界且满足$\|w(k)\|^2\leq1$.
区间二型模糊控制器第$j$个模糊规则可描述为:
Rule $j$: IF $d_1(\mu(k))$ is $L_{j1}$, $d_2(\mu(k))$ is $L_{j2}$, ${\cdots}$, $d_{\theta}(\mu(k))$ is $L_{j{\theta}}$, THEN
$ \begin{align*} {\pmb {u_d}}(k)=K_j(k){\hat{\pmb x}}(k) \end{align*} $
其中$d_1(\mu(k))$, $d_2(\mu(k))$, $\cdots$, $d_{\theta}(\mu(k))$是前件变量, $L_{j\iota}$, 是规则$j$的区间二型模糊集. ${\pmb u_d}(k)\in{{\pmb {\rm{R}}}^{n_u}}$是控制器输出, ${\hat {\pmb x}}(k)\in{\pmb {\rm{R}}}^{n_x}$是估计状态.第$j$个模糊规则的激活强度为:
$ \begin{align*} \omega_j(\mu(k))&=\left[\underline{\omega}_j(\mu(k)), \overline{\omega}_j(\mu(k))\right] \end{align*} $
其中$\underline{\omega}_j(\mu(k))=\prod_{\iota=1}^{\theta}{\underline{\sigma}}_{L_{j\iota}}(d_{\iota}(\mu(k)))\geq0$, $\overline{\omega}_j(\mu(k))=\prod_{\iota=1}^{\theta}{\overline{\sigma}}_{L_{j\iota}}(d_{\iota}(\mu(k)))\geq0$分别代表函数$d_{\iota}(\mu(k))$的上下隶属度. ${\underline{\sigma}}_{L_{j\iota}}(d_{\iota}(\mu(k)))\in[0, 1]$, ${\overline{\sigma}}_{L_{j\iota}}(d_{\iota}(\mu(k)))\in[0, 1]$分别代表上下隶属函数, 且${\underline{\sigma}}_{L_{j\iota}}(d_{\iota}(\mu(k)))\leq{\overline{\sigma}}_{L_{j\iota}}(d_{\iota}(\mu(k)))$, $\underline{\omega}_j(\mu(k))\leq\overline{\omega}_j(\mu(k))$.区间二型模糊控制器可表述为:
$ \begin{align*} &{{\pmb u_d}(k)}={\sum\limits_{j=1}^{r}}\omega_{j}(\mu(k))K_j(k){\hat {\pmb x}}(k) \end{align*} $
其中 , ${\sum_{j=1}^{r}}\omega_{j}(\mu(k))=1$.定义$\underline{\zeta}_j(\mu(k))$, $\overline{\zeta}_j(\mu(k))$为非线性函数, 且满足$\underline{\zeta}_j(\mu(k))$ .
注2. 从文献[39-40]可知, 与将$\underline{\zeta}(\mu(k))$和$\overline{\zeta}(\mu(k))$取为定值相比, 将$\underline{\zeta}(\mu(k))$和$\overline{\zeta}(\mu(k))$定义为非线性函数可以减小控制器设计的保守性, 故本文采用了文献[39]的做法.此外, 为了提高控制器的灵活性, 文中的控制器与被控对象选取不同的隶属函数.
1.2 网络描述
网络控制系统如图 1所示.引入随机变量$\gamma(k)\in\{0, 1\}$来表示数据在采样时刻$k$的传输状态(1表示数据传输成功, 0表示发生丢包).假定丢包过程是在$\{0, 1\}$之间的离散齐次马尔科夫链, 且转移矩阵, 其中$p={\rm{Prob}}(\gamma(k+1)=0|\gamma(k)=1)\in[0, 1]$, $q={\rm{Prob}}(\gamma(k+1)=1|\gamma(k)=0)\in[0, 1]$分别代表丢包率和恢复率.如果在$k$时刻数据传输成功, 则${\pmb u}(k)={\pmb u_d}(k)$; 如果在$k$时刻发生丢包, 则采用上一时刻的控制输入, ${\pmb u}(k)={\pmb u}(k-1)$, 即:
$ \begin{align}\label{11} {\pmb u}(k)={\gamma(k)}{\pmb u}_d(k)+(1- {\gamma(k)}){\pmb u}(k-1) \end{align} $
(3) 即只有在数据成功传输的采样时刻才更新控制输入.则根据式(2), (3), 可得闭环模型
$ \begin{align}\label{13} {\pmb x}(k+1)=&{\sum\limits_{i=1}^{r}}m_{i}(\mu(k))[A_i{\pmb x}(k)+{\gamma(k)}{B}_i{\pmb u_d}(k)+ \nonumber\\ &(1-{\gamma(k))}B_i{\pmb u}(k-1)+D_iw(k)] \end{align} $
(4) 注3. 本文采用了文献[42]的做法, 通过附加通信链路的方式将当前时刻实际实施的控制输入${\pmb u}(k)$传送到观测器环节.
注4. 根据式(3)可知, ${\pmb u}(k)$表示发生$\eta$次连续丢包后的控制输入, 即${\gamma(k)}={\gamma(k-1)}=\cdots={\gamma(k-\eta+1)}=0$, $\eta\in\{1, \cdots, \chi_{\rm{max}}\}$代表连续丢包次数, $\chi_{\rm{max}}$为连续丢包上界, 则最新的控制输入${\pmb u}(k)={\pmb u}(k-\eta)$.
定义1. 对于任意初始状态, 若满足
$ \begin{align*} {E}_{{\pmb x}(0)}\left\{\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\pmb x}^{\rm{T}}(k){\pmb x}(k)\right\}<\infty \end{align*} $
则闭环系统(4)随机稳定.
文献[43]采用二次有界技术, 解决了有界干扰影响下线性时不变系统的稳定性问题.本文将此方法推广到了区间二型T-S模糊网络控制系统.
定义2. 对所有允许的$w(k+h)$, $h\geq0$, 系统(4)关于Lyapunov矩阵$P$二次有界, 则${\pmb x}^{\rm{T}}(k+h|k)P{\pmb x}(k+h|k)\geq1$等价于${\pmb x}^{\rm{T}}(k+h+1|k)P{\pmb x}(k+h+1|k)\leq{\pmb x}^{\rm{T}}(k+h|k)P{\pmb x}(k+h|k)$.
引理1[43]. 对所有允许的$w(k+h)$, $h\geq0$, 如下结果等价:
a) 系统(4)关于Lyapunov矩阵$P$二次有界;
b) 椭圆$\mathfrak{L}_P:=\{{\pmb x}|{\pmb x}^{\rm{T}}P{\pmb x}\leq1\}$为系统(4)的正不变集.
2. 离线状态观测器的设计
由于状态未知, 引入如下状态观测器来估计系统状态:
$ \begin{align} {\hat{\pmb x}}(k+1)=&{\sum\limits_{i=1}^{r}}m_{i}(\mu(k))[A_i{\hat{\pmb x}}(k)+B_i{\pmb u}(k)+ \nonumber\\ &L_p({\pmb y}(k)-C_i{\hat{\pmb x}}(k))]\label{3} \end{align} $
(5) 其中${\hat{\pmb x}}(k)\in{{\pmb {\rm{R}}}^{n_x}}$是估计状态, $L_p$是观测器增益.定义估计误差${\pmb e}(k)={\pmb x}(k)-{\hat{\pmb x}}(k)$, 可得如下误差方程:
$ \begin{align}\label{4} {\pmb e}(k+1)=&{\sum\limits_{i=1}^{r}}m_{i}(\mu(k))[(A_i-L_pC_i){\pmb e}(k)+ \nonumber\\ &(D_i-L_pE_i)w(k)] \end{align} $
(6) 令$ E({\pmb e}(k+h|k))={\pmb e}^{\rm{T}}(k+h|k)H_0{\pmb e}(k+h|k), \ H_0>0$如果$E({\pmb e}(k+h|k))$满足引理1的二次有界条件:
$ \begin{align}\label{18} &E({\pmb e}(k+h|k))\geq1 \nonumber \\ & \Longrightarrow E({\pmb e}(k+h+1|k))- E({\pmb e}(k+h|k))\leq0 \end{align} $
(7) 则对于充分大的$h$, 必有${\pmb e}(k+h|k)\in\mathfrak{L}_{H_0}$.
定理1. 如果存在$H_0>0$, $G_e=H_0L_p$, $\lambda_i\in(0, 1)$满足
$ \begin{align}\label{19} &\left[ \begin{matrix} (1-\lambda_i)H_0&\ast&\ast\\ 0&\lambda_iI&\ast\\ H_0A_i-G_eC_i&H_0D_i-G_eE_i&H_0 \end{matrix} \right]\geq0, \nonumber\\ &\qquad i=1, 2, \cdots, r \end{align} $
(8) 则${\pmb e}(k+h|k)$收敛于$\mathfrak{L}_{H_0}$, 且$L_p=H_0^{-1}G_e$.
证明. 对于满足$\|w(k+h)\|^2\leq1$的任意$w(k+h)$, 式(7)等价于
$ \begin{align}\label{1267} &E({\pmb e}(k+h|k))\geq w^{\rm{T}}(k+h)w(k+h) \nonumber \\ &\Longrightarrow E({\pmb e}(k+h+1|k))- E({\pmb e}(k+h|k))\leq0 \end{align} $
(9) 利用S-过程, 当且仅当存在$\lambda(k+h|k):={\sum_{i=1}^{r}} m_{i}(\mu(k+h|k))\lambda_i$, 使得
$ \begin{align}\label{1.7} &E({\pmb e}(k+h|k))-E({\pmb e}(k+h+1|k))-\nonumber \\ &\qquad \lambda(k+h|k)(E({\pmb e}(k+h|k))-\nonumber \\ &\qquad w^{\rm{T}}(k+h)w(k+h))\geq0 \end{align} $
(10) 则式(9)成立.上式等价于
$ \begin{align}\label{22} &\left[ \begin{matrix} {\pmb e}(k+h|k)\\ w(k+h) \end{matrix} \right]^{\rm{T}} \bigg\{ \left[ \begin{matrix} (1-\lambda_i)H_0&0\\ 0&\lambda_i{I} \end{matrix} \right]-\nonumber\\ &\qquad \left[ \begin{matrix} (A_i-L_pC_i)^{\rm{T}}\\ (D_i-L_pE_i)^{\rm{T}} \end{matrix} \right]{H_0} \left[ \begin{matrix} (A_i-L_pC_i)^{\rm{T}}\\ (D_i-L_pE_i)^{\rm{T}} \end{matrix} \right]^{\rm{T}} \bigg\}\times\nonumber\\ &\qquad\left[ \begin{matrix} {\pmb e}^{\rm{T}}(k+h|k)&w^{\rm{T}}(k+h) \end{matrix} \right]^{\rm{T}} \geq0 \end{align} $
(11) 易知, 式(11)成立, 则必有下式成立
$ \begin{align}\label{guceqi} &\left[ \begin{matrix} (1-\lambda_i)H_0&0\\ 0&\lambda_i{I} \end{matrix} \right]- \left[ \begin{matrix} (A_i-L_pC_i)^{\rm{T}}\\ (D_i-L_pE_i)^{\rm{T}} \end{matrix} \right]\times \nonumber\\ %\end{align} %\begin{align} &\qquad{H_0} \left[ \begin{matrix} (A_i-L_pC_i)&(D_i-L_pE_i) \end{matrix} \right] \geq0 \end{align} $
(12) 将$G_e=H_0L_p$代入式(12)并根据Schur补引理, 可得式(8).
注5. 由状态观测器(5)来估计系统状态时, ${\pmb u}(k)$可通过式(3)得到.但由定理1可知, 所设计的观测器仅需基于误差方程(6), 采用二次有界条件得到, 并不需要求出${\pmb u}(k)$的具体值.
3. 在线输出反馈预测控制方法
在带一个自由控制作用的输出反馈预测控制中, ${\pmb u_d}(k|k)$是控制序列的第一个元素, 其余元素为:
$ \begin{align*}%\label{2.2} &{{\pmb u_d}(k+h|k)}=K_j{\hat{\pmb x}}(k+h|k), \ h\geq1 \end{align*} $
定义${\pmb z}(k)=[{\hat{\pmb x}}^{\rm{T}}(k) \ \ {\pmb u}^{\rm{T}}(k-1) \ \ {\pmb e}^{\rm{T}}(k)]^{\rm{T}}$, 并由式(3), 式(5)和式(6)可得如下的扩展状态模型:
$ \begin{align}\label{3.14} {\pmb z}(k+1) =&{\sum\limits_{i=1}^{r}}{\sum\limits_{j=1}^{r}}m_{i}(\mu(k))\omega_j(\mu(k))\times \nonumber \\ &\left(\Upsilon{{\pmb z}}(k)+ \left[ \begin{matrix} L_pE_i\\ 0\\ D_i-L_pE_i \end{matrix} \right] w(k)\right) \end{align} $
(13) 其中
$ \begin{align*} \Upsilon= \left[ \begin{matrix} A_i+{\gamma(k)}B_i{}K_j&(1-{\gamma(k))}B_i &L_pC_i\\ {\gamma(k)}{}K_j&(1-{\gamma(k))}I&0\\ 0&0&A_i-L_pC_i\\ \end{matrix} \right] \end{align*} $
定义性能指标函数
$ \begin{align*} J^{\infty}_0(k)=&{E}_{{\pmb z}(k)}\{\|{\pmb z}(k|k)\|^2_S+\|{\pmb u}(k|k)\|^2_R\}+ \\ &\sum\limits_{h=1}^{\infty}{E}_{{\pmb z}(k)}\{\|{\pmb z}(k+h|k)\|^2_S+\|{\pmb u}(k+h|k)\|^2_R\} \end{align*} $
其中$S={\rm{diag}}\{S_1, 0, 0\}>0$, $R>0$代表适当维数的加权矩阵.定义二次Lyapunov函数为: $V({\pmb z}(k+h|k))={\pmb z}^{\rm{T}}(k+h|k) {\Omega_{\gamma(h|k)}}{{\pmb z}(k+h|k)}$.其中${\Omega_{\gamma(h|k)}}={\rm{diag}}\{M_{\gamma(h|k)}, N_{\gamma(h|k)}, Q_{\gamma(h|k)}\}$, 且$M_{\gamma(h|k)}>0$, $N_{\gamma(h|k)}>0$, $Q_{\gamma(h|k)}>0$, $\gamma(h|k)\in\{0, 1\}$表示$\gamma$在$k+h$时刻的预测值.
在每个采样时刻, 施加如下约束
$ \begin{align}\label{25} {E}_{{\pmb z}(k)}&\{V({\pmb z}(k+h|k))\}\geq\varepsilon(k) \Longrightarrow \nonumber\\ &{E}_{{\pmb z}(k)}\{V({\pmb z}(k+h+1|k))-V({\pmb z}(k+h|k))\}\leq \nonumber\\ &-{E}_{{\pmb z}(k)}\{\|{\pmb z}(k+h|k)\|^2_S+\|{\pmb u}(k+h|k)\|^2_R\}, \nonumber\\ &\qquad\ h\geq1 \end{align} $
(14) 且令$\varepsilon(k)$满足如下条件:
$ \begin{align}\label{26} \|{\hat{\pmb x}}&(k|k)\|^2_{S_1}+\|{\pmb u}(k|k)\|^2_R+ \nonumber\\ &{E}_{{\pmb z}(k)}\left\{{V({\pmb z}(k+1|k))}\right\}\leq{\varepsilon}(k) \end{align} $
(15) 则本文需要求解的输出反馈预测控制优化问题可描述为
$ \text{min}\ \varepsilon \ \ \text{s}.\text{t}.\text{ }\left( 14 \right)\tilde{\ }\left( 15 \right) $
(16) 另外, 考虑输入约束:
$ \begin{align}\label{shuru} {E}\{\|u_t(k+h|k)\|_2\}\leq{u_{t\rm{max}}} \ (t\in\{1, \ \cdots, \ {n_u}\}) \end{align} $
(17) 其中$u_{t\rm{max}}$是一个正标量, $u_t(k+h|k)$代表向量${\pmb u}(k+h|k)$的第$t$个分量.
定理2. 考虑区间二型T-S模糊系统(2), 对于给定的收敛速度$\lambda_i$和标量$\kappa$, 如果存在$\varepsilon$, $\alpha$, ${\pmb u_d}$, 对称矩阵$\overline{M}_0$, $\overline{N}_0$, $\overline{Q}_0$, $\overline{M}_1$, $\overline{N}_1$, $\overline{Q}_1$, $\overline{W}$, $\overline{T}$, ${\overline{M}_{0.s}}$, ${\overline{N}_{0.s}}$, ${\overline{Q}_{0.s}}$及矩阵$Y_j$满足
$ \begin{align*} \underset{{\varepsilon}, {\alpha}, {{\pmb u_d}(k)}, {\Im}, {\overline{W}}, {\overline{T}}, Y_j}{\rm{min}}\varepsilon %\nonumber \end{align*} $
s.t.
$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1& * & * & * & * & * \\ I&\alpha & * & * & * & * \\ {S_1^{\frac{1}{2}}\mathit{\boldsymbol{\widehat x}}(k)}&0&{\varepsilon I}& * & * & * \\ {{R^{\frac{1}{2}}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_d}(k)}&0&0&{\varepsilon I}& * & * \\ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_d}(k)}&0&0&0&{\bar T}& * \\ {\mathit{\boldsymbol{\widehat x}}(k + 1|k)}&0&0&0&0&{\bar W} \end{array}} \right] \ge 0 $
(18) $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1& * & * & * & * & * \\ I&\alpha & * & * & * & * \\ {S_1^{\frac{1}{2}}\mathit{\boldsymbol{\widehat x}}(k)}&0&{\varepsilon I}& * & * & * \\ {{R^{\frac{1}{2}}}\mathit{\boldsymbol{u}}(k - 1)}&0&0&{\varepsilon I}& * & * \\ {\mathit{\boldsymbol{u}}(k - 1)}&0&0&0&{\bar T}& * \\ {\mathit{\boldsymbol{\widehat x}}(k + 1|k)}&0&0&0&0&{\bar W} \end{array}} \right] \ge 0 $
(19) $ \left[ \begin{align} & {{\Gamma }_{1}}\ \ \ \ * \\ & {{\Gamma }_{2}}\ \ {{\Gamma }_{3}} \\ \end{align} \right]\ge 0,~i,j=1,2,\cdots ,r $
(20) $ \left[ \begin{matrix} {{\Gamma }_{4}} & * \\ {{\Gamma }_{5}} & {{\Gamma }_{6}} \\ \end{matrix} \right]\ge 0 $
(21) $ \left[ \begin{matrix} {{\Gamma }_{7}} & * \\ {{\Gamma }_{8}} & {{\Gamma }_{3}} \\ \end{matrix} \right]\ge 0,~\ i=1,2,\cdots ,r $
(22) $ \left[ \begin{matrix} {{\Gamma }_{4}} & * \\ {{\Gamma }_{9}} & {{\Gamma }_{6}} \\ \end{matrix} \right]\ge 0 $
(23) $ \left[ \begin{matrix} {{{\bar{\Gamma }}}_{1}} & * \\ {\bar{\Gamma }} & {{{\bar{\Gamma }}}_{1}} \\ \end{matrix} \right]\ge 0,~\ i,j=1,2,\cdots ,r $
(24) $ \left[ \begin{matrix} {{{\bar{\Gamma }}}_{1}} & * \\ {\bar{\Gamma }} & {{\Gamma }_{0.1}} \\ \end{matrix} \right]\ge 0,~\ i,j=1,2,\cdots ,r $
(25) $ \begin{align} & \left[ \begin{matrix} {{\Gamma }_{0.s}} & * \\ {{{\bar{\Gamma }}}_{0.s}} & {{{\bar{\Gamma }}}_{1}} \\ \end{matrix} \right]\ge 0, \\ & \ \ \ \ \ \ \ s=1,\cdots ,{{\chi }_{\text{max}}},\ i=1,2,\cdots ,r \\ \end{align} $
(26) $ \begin{align} & \left[ \begin{matrix} {{\Gamma }_{0.s}} & * \\ {{{\bar{\Gamma }}}_{0.s}} & {{\Gamma }_{0.s+1}} \\ \end{matrix} \right]\ge 0,\ \ \ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s=1,\cdots ,{{\chi }_{\text{max}}}-1,\ i=1,2,\cdots ,r \\ \end{align} $
(27) $ \left[ \begin{matrix} \mathit{\boldsymbol{u}}_{\text{max}}^{2}I & * \\ Y_{j}^{\text{T}}(k) & {{{\bar{M}}}_{1}}(k) \\ \end{matrix} \right]\ge 0,~\ j=1,2,\cdots ,r $
(28) 其中
$ \begin{align*} &{\Im}:=\{{\overline{M}_0}, {\overline{N}_0}, {\overline{Q}_0}, {\overline{M}_1}, {\overline{N}_1}, {\overline{Q}_1}, {\overline{M}_{0.s}}, {\overline{N}_{0.s}}, {\overline{Q}_{0.s}}\}\\ &\Gamma_1={\rm{diag}}\{(1-\kappa)\overline{M}_1, (1-\kappa)\overline{N}_1, (1-\kappa)\overline{Q}_1, \kappa\varepsilon{I}\}\end{align*} $
$ {{\Gamma }_{2}}=\left[ \begin{matrix} {{\mathfrak{D}}_{1}} & 0 & {{L}_{p}}{{C}_{i}}{{{\bar{Q}}}_{1}} & {{L}_{p}}{{E}_{i}} \\ {{Y}_{j}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {{\mathfrak{D}}_{2}} & {{D}_{i}}-{{L}_{p}}{{E}_{i}} \\ {{{\bar{M}}}_{1}} & 0 & 0 & 0 \\ {{Y}_{j}} & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] $
$ {{\mathfrak{D}}_{1}}={{A}_{i}}{{{\bar{M}}}_{1}}+{{B}_{i}}{{Y}_{j}} $
$ {{\mathfrak{D}}_{2}}={{A}_{i}}{{{\bar{Q}}}_{1}}-{{L}_{p}}{{C}_{i}}{{{\bar{Q}}}_{1}} $
$ {{\Gamma }_{3}}=\text{diag}\{\bar{W},\bar{T},\phi \alpha {{H}_{0}}^{-1},\varepsilon S_{1}^{-1},\varepsilon {{R}^{-1}}\} $
$ {{\Gamma }_{4}}=\text{diag}\{\bar{W},\bar{T},\phi \alpha {{H}_{0}}^{-1}\} $
$ {{\Gamma }_{5}}=\left[ \begin{matrix} {{p}^{\frac{1}{2}}}\bar{W} & 0 & 0 \\ {{(1-p)}^{\frac{1}{2}}}\bar{W} & 0 & 0 \\ 0 & {{p}^{\frac{1}{2}}}\bar{T} & 0 \\ 0 & {{(1-p)}^{\frac{1}{2}}}\bar{T} & 0 \\ 0 & 0 & {{p}^{\frac{1}{2}}}\phi \alpha {{H}_{0}}^{-1} \\ 0 & 0 & {{(1-p)}^{\frac{1}{2}}}\phi \alpha {{H}_{0}}^{-1} \\ \end{matrix} \right] $
$ {{\Gamma }_{6}}=\text{diag}\{{{\bar{M}}_{0}},{{\bar{M}}_{1}},{{\bar{N}}_{0}},{{\bar{N}}_{1}},{{\bar{Q}}_{0}},{{\bar{Q}}_{1}}\} $
$ {{\Gamma }_{7}}=\text{diag}\{(1-\kappa ){{\bar{M}}_{0}},(1-\kappa ){{\bar{N}}_{0}},(1-\kappa ){{\bar{Q}}_{0}},\kappa \varepsilon I\} $
$ {{\Gamma }_{8}}=\left[ \begin{matrix} {{A}_{i}}{{{\bar{M}}}_{0}} & {{B}_{i}}{{{\bar{N}}}_{0}} & {{L}_{p}}{{C}_{i}}{{{\bar{Q}}}_{0}} & {{L}_{p}}{{E}_{i}} \\ 0 & {{{\bar{N}}}_{0}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {{A}_{i}}{{{\bar{Q}}}_{0}}-{{L}_{p}}{{C}_{i}}{{{\bar{Q}}}_{0}} & {{D}_{i}}-{{L}_{p}}{{E}_{i}} \\ {{{\bar{M}}}_{0}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {{{\bar{N}}}_{0}} & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] $
$ {{\Gamma }_{9}}=\left[ \begin{matrix} {{(1-q)}^{\frac{1}{2}}}\bar{W} & 0 & 0 \\ {{q}^{\frac{1}{2}}}\bar{W} & 0 & 0 \\ 0 & {{(1-q)}^{\frac{1}{2}}}\bar{T} & 0 \\ 0 & {{q}^{\frac{1}{2}}}\bar{T} & 0 \\ 0 & 0 & {{(1-q)}^{\frac{1}{2}}}\phi \alpha {{H}_{0}}^{-1} \\ 0 & 0 & {{q}^{\frac{1}{2}}}\phi \alpha {{H}_{0}}^{-1} \\ \end{matrix} \right] $
$ {{\bar{\Gamma }}_{1}}=\left[ \begin{matrix} {{{\bar{\Omega }}}_{1}} & * \\ 0 & I \\ \end{matrix} \right],\ {{\Gamma }_{0.1}}=\left[ \begin{matrix} {{{\bar{\Omega }}}_{0.1}} & * \\ 0 & I \\ \end{matrix} \right], $
$ {{\Gamma }_{0.s}}=\left[ \begin{matrix} {{{\bar{\Omega }}}_{0.s}} & * \\ 0 & I \\ \end{matrix} \right] $
$ {{\bar{\Omega }}_{1}}=\text{diag}\{{{\bar{M}}_{1}},{{\bar{N}}_{1}},{{\bar{Q}}_{1}}\} $
$ {{\bar{\Omega }}_{0.1}}=\text{diag}\{{{\bar{M}}_{0.1}},{{\bar{N}}_{0.1}},{{\bar{Q}}_{0.1}}\} $
$ {{\bar{\Omega }}_{0.s}}=\text{diag}\{{{\bar{M}}_{0.s}},{{\bar{N}}_{0.s}},{{\bar{Q}}_{0.s}}\} $
$ {{\Gamma }_{0.s+1}}=\left[ \begin{matrix} {{{\bar{\Omega }}}_{0.s+1}} & * \\ 0 & I \\ \end{matrix} \right] $
$ \begin{align*} &\overline{\Gamma}=\\ &\left[ \begin{matrix} A_i{\overline{M}_1}+B_i{}Y_j&0&L_pC_i\overline{Q}_1&L_pE_i\\ {}Y_j&0&0&0\\ 0&0&A_i\overline{Q}_1-L_pC_i\overline{Q}_1&D_i-L_pE_i\\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right]\\ &\overline\Gamma_{0.s}= \left[ \begin{matrix} A_i{\overline{M}_{0.s}}&{\delta}B_i{\overline{N}_{0.s}}&L_pC_i\overline{Q}_{0.s}&L_pE_i\\ 0&{\delta}{\overline{N}_{0.s}}&0&0\\ 0&0&\mathfrak{D}_3&D_i-L_pE_i\\ 0&0&0&0\\ \end{matrix} \right]\\ &\mathfrak{D}_3=A_i\overline{Q}_{0.s}-L_pC_i\overline{Q}_{0.s} \end{align*} $
则控制器增益$K_j(k)=Y_j(k)\overline{M}_1(k){^{-1}}$.另外, 估计误差的界满足:
$ \begin{align} & {{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\text{T}}}(k+1){{H}_{0}}\mathit{\boldsymbol{e}}(k+1)\le \phi (k+1) \\ & \phi (k+1)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \phi (1), & \text{若}k=0 \\ \aleph , & \text{若}~k>0 \\ \end{array} \right. \\ \end{align} $
$ \begin{align} & \aleph =\text{min}\{\frac{\tilde{\phi }(k+1)}{\beta (k-1)},1+(1-\lambda (k))(\phi (k)-1)\} \\ & \tilde{\phi }(k+1)=\varepsilon (k-1)-(1-\kappa )(\|\widehat{\mathit{\boldsymbol{x}}}(k-1)\|_{{{S}_{1}}}^{2}+ \\ & \|\mathit{\boldsymbol{u}}(k-1)\|_{R}^{2})-\|\widehat{\mathit{\boldsymbol{x}}}(k)\|_{{{S}_{1}}}^{2}-\|\mathit{\boldsymbol{u}}(k|k-1)\|_{R}^{2}- \\ & \|\widehat{\mathit{\boldsymbol{x}}}(k+1|k-1)\|_{W(k)}^{2}-\|\mathit{\boldsymbol{u}}(k|k-1)\|_{T(k)}^{2} \\ \end{align} $
(29) 其中$\phi{(1)}$为估计误差界的初始值.
证明. 1)约束式(15)的处理.在采样时刻$k$, 引入松弛矩阵${\Psi}={\rm{diag}}\{W, T, H\}$, 分别考虑$1\longrightarrow1$, $1\longrightarrow0$和$0\longrightarrow1$, $0\longrightarrow0$ (1指$\gamma(h|k)=1$, 0指$\gamma(h|k)=0$)两种情况, 有:
$ \begin{align*} &{E}_{{\gamma(0|k)}}\{\Omega_{{\gamma(0|k)}}\}=p{\Omega_0}+(1-p){\Omega_1}\leq{\Psi}\\ &{E}_{{\gamma(0|k)}}\{\Omega_{{\gamma(0|k)}}\}=(1-q){\Omega_0}+q{\Omega_1}\leq{\Psi} \end{align*} $
由上述不等式, 可得
$ \begin{align*} &{E}_{\gamma(1|k)}\{V({\pmb z}(k+1|k))\} \leq{{\pmb z}^{\rm{T}}}(k+1|k) \Psi {\pmb z}(k+1|k) \end{align*} $
则有
$ \begin{align}\label{2378} &\|{\hat{\pmb x}}(k|k)\|^2_{S_1}+\|{\pmb u}(k|k)\|^2_R+\|{\hat{\pmb x}} (k+1|k)\|^2_{W(k)}+ \nonumber \\ &\quad\|{\pmb u}(k|k)\|^2_{T(k)}+\|{\pmb e}(k+1|k)\|^2_{H(k)}\leq\varepsilon(k) \end{align} $
(30) 由${\pmb e}^{\rm{T}}(k+1)H_0{\pmb e}(k+1)\leq\phi(k+1)$, 并令$H(k)=\frac{\varepsilon(k)}{\phi(k+1)\alpha(k)}{H_0}$, 且$\alpha(k)>0$, 则
$ \begin{align}\label{9876} &\|{\hat{\pmb x}}(k|k)\|^2_{S_1}+\|{\pmb u}(k|k)\|^2_R+\|{\hat{\pmb x}}(k+1|k)\|^2_{W(k)}+ \nonumber \\ &\quad\|{\pmb u}(k|k)\|^2_{T(k)}\leq(1-\frac{1}{\alpha(k)})\varepsilon(k) \end{align} $
(31) 上式可保证式(30)成立.根据式(3), 需要讨论$\gamma(k)=1$和$\gamma(k)=0$两种情况.
如果$\gamma(k)=1$, 则数据传输成功, ${\pmb u}(k)={\pmb u_d}(k)$.对式(31), 利用Schur补引理, 可得式(18), 其中$\overline{W}={\varepsilon}W^{-1}$, $\overline{T}={\varepsilon}T^{-1}$.
如果$\gamma(k)=0$, 则发生丢包, ${\pmb u}(k)={{\pmb u}(k-1)}$.对式(31), 利用Schur补引理, 可得式(19).
2) 约束式(14)的处理.根据扩展状态模型(13), 二次有界条件(14)等价于
$ \begin{align*} &{E}_{{\pmb z}(k)}\big\{{E}_{{\pmb z}(k+h|k)}\big\{{\pmb z}^{\rm{T}}(k+h|k){\Upsilon}^{\rm{T}}{\Omega}_{{\gamma}(h+1|k)}{\Upsilon}\times \nonumber\\ &\quad{{\pmb z}}(k+h|k)\big\}-\|{\pmb z}(k+h|k)\|^2_{{\Omega}_{{\gamma}(h|k)}}\big\}+ \nonumber\\ &\quad{{E}}_{{\pmb z}(k)}\big\{\|{\pmb z}(k+h|k)\|^2_S+\|{\pmb u}(k+h|k)\|^2_R\big\}\leq0 \end{align*} $
因为$w(k+h)$满足$\|w(k+h)\|^2\!\!\!\!\leq\!\!\!\!1$, 所以${E}_{{\pmb z}(k)}\{V({\pmb z}(k+h|k))\}\!\!\geq\!\varepsilon(k)$等价于${E}_{{\pmb z}(k)}\{V({\pmb z}(k+h|k))\}\geq\varepsilon(k)w^{\rm{T}}(k+h)w(k+h)$.利用S-过程, 式(14)等价于
$ \begin{align}\label{39} &\|{\hat{\pmb x}}\|^2_{M_{\gamma(h|k)}}+\|{\pmb u}\|^2_{N_{\gamma(h|k)}}+\|{\pmb e}\|^2_{Q_{\gamma(h|k)}}-\|(A_i+ \nonumber\\ &\quad{\gamma(h|k)}{B_i}{K_j}){{\hat{\pmb x}}}+(1-{\gamma(h|k)})B_i{\pmb u}+L_pC_i{\pmb e}+ \nonumber\\ &\quad L_pE_i{w}(k+h)\|^2_{M_{\gamma(h+1|k)}}-\|{\gamma(h|k)}{}K_j{\hat{\pmb x}}+(1-\nonumber\\ &\quad{\gamma(h|k)}){{\pmb u}}\|^2_{N_{\gamma(h+1|k)}}-\|(A_i-L_pC_i){{\pmb e}}+(D_i- \nonumber\\ &\quad L_pE_i){w}(k+h)\|^2_{Q_{\gamma(h+1|k)}}-\big[\|{\hat{\pmb x}}\|^2_{S_1}+\|K_j{\hat{\pmb x}}\|^2_{R}\big]- \nonumber\\ &\quad\kappa\big[\|{\hat{\pmb x}}\|^2_{M_{\gamma(h|k)}}+\|{\pmb u}\|^2_{N_{\gamma(h|k)}}+\|{\pmb e}\|^2_{Q_{\gamma(h|k)}}- \nonumber\\ &\quad\varepsilon(k)\|w(k+h)\|^2\big]\geq0 \end{align} $
(32) 其中$\kappa\in(0, 1)$.
如果${\gamma(k+h|k)}=1$, 考虑数据丢包率, 则${E}_{\gamma(h|k)}\{\Omega_{\gamma(h+1|k)}\}=p{\Omega_0}+(1-p){\Omega_1}$.如果满足
$ \begin{align} & \text{diag}\{{{\mathcal{W}}_{1}},(1-\kappa ){{N}_{1}},(1-\kappa ){{Q}_{1}},\kappa \varepsilon I\}- \\ & \Phi _{1}^{\text{T}}\Psi {{\Phi }_{1}}\ge 0 \\ \end{align} $
(33) $ p{{\Omega }_{0}}+(1-p){{\Omega }_{1}}\le \Psi $
(34) 则式(32)可以成立.其中$\mathcal{W}_1=(1-\kappa)M_1-S_1-K_j^{\rm{T}}RK_j$, $\Phi_{1}$是$\gamma(h|k)=1$时$\Upsilon$的值.式(33)分别左乘diag, 右乘其转置, 利用Schur补引理, 并代入$\varepsilon{M_1^{-1}}=\overline{M}_1$, $\varepsilon{N_1^{-1}}=\overline{N}_1$, $\varepsilon{Q_1^{-1}}=\overline{Q}_1$, $H(k)=\frac{\varepsilon(k)}{\phi(k+1)\alpha(k)}H_0$, 可得式(20).式(34)分别左乘diag$\{W^{-1}, T^{-1}, H^{-1}\}$, 右乘其转置, 可得式(21).
如果${\gamma(k+h|k)}=0$, 考虑数据恢复率, 则${E}_{\gamma(h|k)}\{\Omega_{\gamma(h+1|k)}\}=(1-q){\Omega_0}+q{\Omega_1}$.如果满足
$ \begin{align} & \text{diag}\{{{\mathcal{W}}_{0}},(1-\kappa ){{N}_{0}}-I,(1-\kappa ){{Q}_{0}},\kappa \varepsilon I\}- \\ & \Phi _{0}^{\text{T}}\Psi {{\Phi }_{0}}\ge 0 \\ \end{align} $
(35) $ (1-q){{\Omega }_{0}}+q{{\Omega }_{1}}\le \Psi $
(36) 则式(32)可成立.其中$\mathcal{W}_0=(1-\kappa)M_0\!-S_1$, $\Phi_{0}$是$\gamma(h|k)$为0时$\Upsilon$的值.然后, 将式(35)分别左乘diag, 右乘其转置, 利用Schur补引理, 并代入$\varepsilon{M_0^{-1}}=\overline{M}_0$, $\varepsilon{N_0^{-1}}=\overline{N}_0$, $\varepsilon{Q_0^{-1}}=\overline{Q}_0$, $H(k)=\frac{\varepsilon(k)}{\phi(k+1)\alpha(k)}H_0$, 可得式(22).式(36)分别左乘diag$\{W^{-1}, T^{-1}, H^{-1}\}$, 右乘其转置, 可得式(23).
由此可得
$ \begin{align*} &{E}_{{\pmb z}(k)}\left\{V({\pmb z}(k+h+1|k))-V({\pmb z}(k+h|k))\right\}\leq \nonumber\\ &\quad -{E}_{{\pmb z}(k)}\{\|{\pmb z}(k+h|k)\|^2_S+\|{\pmb u}(k+h|k)\|^2_R\}= %\nonumber\\ \\ &\quad -{E}_{{\pmb z}(k)}\{\|{\pmb {\hat x}}(k+h|k)\|^2_{(S_1+K_j^{\rm{T}}RK_j)}\} \end{align*} $
于是有
$ \begin{align}\label{213} &{E}_{{\pmb z}(k)}\{V({\pmb z}(k+h+1|k))-V({\pmb z}(k+h|k))\}\leq \nonumber\\ &\quad -\lambda_{\rm{{min}}}(S_1+K_j^{\rm{T}}RK_j){E}_{{\pmb z}(k)}\{\|{\hat{\pmb x}}(k+h|k)\|^2\} \end{align} $
(37) 对于任意的$c\geq1$, 对式(37)两边从$k=0$到$k=c$求和, 可得
$ \begin{align*} &{E}_{{\pmb z}(k)}\{V({\pmb z}(c+h+1|c))\}-V({\pmb z}(0))\leq \\ &\quad -\lambda_{\rm{{min}}}(S_1+K_j^{\rm{T}}RK_j)%\nonumber\\ {E}_{{\pmb z}(k)}\left\{\sum\limits_{k=0}^{c}\|{\hat{\pmb x}}(k+h|k)\|^2\right\} \end{align*} $
即
$ \begin{align*} &{E}_{{\pmb z}(k)}\left\{\sum\limits_{k=0}^{c}\|{\hat{\pmb x}}(k+h|k)\|^2\right\}\leq\lambda_{\rm{{min}}}^{-1}(S_1+K_j^{\rm{T}}RK_j)\times\\ &\qquad \left(V({\pmb z}(0))-{{E}}_{{\pmb z}(k)}\{V({\pmb z}(c+h+1|c))\}\right) \end{align*} $
其中${\pmb z}(0)$是初始条件.由于
$ \begin{align*} \underset{c\rightarrow\infty}{\rm{lim}}{{E}}_{{\pmb z}(k)}\{V({\pmb z}(c+h+1|c))\}\geq0 \end{align*} $
于是
$ \begin{align*} &{E}_{{\pmb z}(k)}\left\{\sum\limits_{k=0}^{c}\|{\hat{\pmb x}}(k+h|k)\|^2\right\}\leq \\ &\quad \lambda_{\rm{{min}}}^{-1}(S_1+K_j^{\rm{T}}RK_j)V({\pmb z}(0))<\infty \end{align*} $
从定义1可知, 闭环系统是随机稳定的.
如果式(32)成立, 则有
$ \begin{align}\label{123} &(1-\kappa)V({\pmb z}(k+h|k))- \nonumber \\ &\quad {E}_{{\pmb z}(k)}\left\{V({\pmb z}(k+h+1|k))\right\}\geq\|{\hat{\pmb x}}(k+h|k)\|^2_{S_1}+ \nonumber \\ &\quad \|{\pmb u}(k+h|k)\|^2_R-\kappa\varepsilon(k)\|w(k+h)\|^2, \ h\geq1 \end{align} $
(38) 当$h=1$时, 根据式(38)可得
$ \begin{align}\label{124} &{E}_{{\pmb z}(k)}\left\{V({\pmb z}(k+2|k))\right\}\leq(1-\kappa)V({\pmb z}(k+1|k))- \nonumber \\ &\quad \|{\hat{\pmb x}}(k+1|k)\|^2_{S_1}-\|{\pmb u}(k+1|k)\|^2_R+ \nonumber \\ &\quad \kappa\varepsilon(k)\|w(k+1)\|^2 \end{align} $
(39) 如果式(15)满足, 则有
$ \begin{align}\label{126} &V({\pmb z}(k+1|k))\leq\varepsilon(k)-\|{\pmb {\hat x}}(k|k)\|^2_{S_1}-\|{\pmb u}(k|k)\|^2_R \end{align} $
(40) 根据式(39)和式(40), 有
$ \begin{align*} &{E}_{{\pmb z}(k)}\left\{V({\pmb z}(k+2|k))\right\}\leq(1-\kappa)\big[\varepsilon(k)- \nonumber \\ &\quad \|{\hat{\pmb x}}(k|k)\|^2_{S_1}-\|{\pmb u}(k|k)\|^2_R\big]- \nonumber \\ &\quad \big[\|{\hat{\pmb x}} (k+1|k)\|^2_{S_1}+\|{\pmb u}(k+1|k)\|^2_R\big]+ \nonumber \\ &\quad \kappa\varepsilon(k)\|w(k+1)\|^2\leq\varepsilon(k)- \nonumber \\ &\quad \big[(1-\kappa)(\|{\hat{\pmb x}}(k|k)\|^2_{S_1}+\|{\pmb u}(k|k)\|^2_R)\big]-\\ &\quad \big[\|{\hat{\pmb x}}(k+1|k)\|^2_{S_1}+\|{\pmb u}(k+1|k)\|^2_R\big] \end{align*} $
由此可得
$ \begin{align}\label{1226} &\|{\pmb e}(k+2|k)\|^2_{H(k)}\leq\varepsilon(k)-\nonumber \\ &\quad~[(1-\kappa)(\|{\hat{\pmb x}} (k|k)\|^2_{S_1}+ \|{\pmb u}(k|k)\|^2_R)]-\nonumber \\ &\quad\left[\|{\hat{\pmb x}}(k+1|k)\|^2_{S_1}+\|{\pmb u}(k+1|k)\|^2_R\right]- \nonumber \\ &\quad~\|{\hat{\pmb x}}(k+2|k)\|^2_{W(k)}-\|{\pmb u}(k+1|k)\|^2_{T(k)} \end{align} $
(41) 因为在采样时刻$k+1$, $[{\hat{\pmb x}}^{\rm{T}}(k+2|k), {\pmb u}^{\rm{T}}(k+1|k), {\pmb e}^{\rm{T}}(k+2|k)]^{\rm{T}}$包含$[{\pmb {\hat x}}^{\rm{T}}(k+2|k+1), {\pmb u}^{\rm{T}}(k+1), {\pmb e}^{\rm{T}}(k+2)]^{\rm{T}}$所有可能的值, 所以可得
$ \begin{align}\label{127} &\|{\pmb e}(k+2)\|^2_{H(k)} \leq\varepsilon(k)-[(1-\kappa)(\|{\hat{\pmb x}}(k)\|^2_{S_1}+ \nonumber \\ &\quad\|{\pmb u}(k)\|^2_R)]-[\|{\hat{\pmb x}}(k+1)\|^2_{S_1}+\|{\pmb u}(k+1)\|^2_R]- \nonumber \\ &\quad \|{\hat{\pmb x}}(k+2|k+1)\|^2_{W(k)}-\nonumber\\ &\quad \|{\pmb u}(k+1)\|^2_{T(k)} \end{align} $
(42) 根据式(29), 式(42)可改写为
$ \begin{align}\label{3.45} &\|{\pmb e}(k+2)\|^2_{H(k)}\leq\tilde{\phi}(k+2)=\varepsilon(k)-[(1-\kappa)\times \nonumber \\ &\quad (\|{\hat{\pmb x}}(k)\|^2_{S_1}+\|{\pmb u}(k)\|^2_R)]-\big[\|{\hat{\pmb x}}(k+1)\|^2_{S_1}+ \nonumber \\ &\quad \|{\pmb u}(k+1)\|^2_R\big]-\|{\hat{\pmb x}}(k+2|k+1)\|^2_{W(k)}- \nonumber \\ &\quad \|{\pmb u}(k+1)\|^2_{T(k)} \end{align} $
(43) 令$H(k)=\beta(k)H_0, \ \beta(k)>0$, 将其代入式(43), 可得${\pmb e}^{\rm{T}}(k+2)H_0{\pmb e}(k+2)\leq\frac{\tilde{\phi}(k+2)}{\beta(k)}$.根据式(10), 可得${\pmb e}^{\rm{T}}(k+2)H_0{\pmb e}(k+2)\leq1+(1-\lambda(k+1))(\phi(k+1)-1)$.因此
$ {\begin{align*} &{\pmb e}^{\rm{T}}(k+2)H_0{\pmb e}(k+2)\leq\phi(k+2)= \nonumber\\ &\ {\rm{min}}\left\{\frac{\tilde{\phi}(k+2)}{\beta(k)}, 1+(1-\lambda(k+1))(\phi(k+1)-1)\right\} \end{align*}} $
3) 输入约束(17)的处理.在将输入约束处理成LMIs之前, 引入如下条件:
$ \begin{align}\label{349} &{\pmb z}(k+h|k)\in\Xi_1=\left\{{\pmb z}\in{{\bf R}^{2n_x+n_u}}\bigg|{\pmb z}^{\rm{T}} {\overline{\Omega}_1^{-1}} {\pmb z}\leq1 \right\} \end{align} $
(44) 在采样时刻$k+1$时, 根据式(3)可知, 如果在$k$时刻数据传输成功, 即$\gamma(0|k)=1$, 在$k+1$时刻发生丢包, 即$\gamma(1|k)=0$, 则$u(k+1)=u(k)$, 必然满足式(44), 因此无需考虑$1\rightarrow0$, 只需考虑$1\rightarrow1$, 即$\gamma(0|k)=1$, $\gamma(1|k)=1$.如果式(24)满足, 则有
$ \begin{align}\label{3.54} &\left[ \begin{matrix} A_i+B_i{}K_j&0&L_pC_i&L_pE_i\\ K_j&0&0&0\\ 0&0&A_i-L_pC_i&D_i-L_pE_i\\ 0&0&0&I\\ \end{matrix} \right]^{\rm{T}} \overline{\Gamma}_1^{-1}\times \nonumber\\ & \left[ \begin{matrix} A_i+B_i{}K_j&0&L_pC_i&L_pE_i\\ K_j&0&0&0\\ 0&0&A_i-L_pC_i&D_i-L_pE_i\\ 0&0&0&I\\ \end{matrix} \right]\leq \overline{\Gamma}_1^{-1}%\nonumber\\ \end{align} $
(45) 根据式(45), 则有
$ \begin{align*} V({\pmb z}(k+1|k))+w^{\rm{T}}(k+1)w(k+1)\leq\varepsilon(k) \end{align*} $
即${\pmb z}(k+1|k)\in\Xi_1$.
在采样时刻$k+2$时, 对于$\gamma(2|k)=1$需要考虑以下两种情况. a) $1\rightarrow1\rightarrow1$, 即$\gamma(0|k)=1$, $\gamma(1|k)=1$, $\gamma(2|k)=1$, 利用式(24), 则有${\pmb z}(k+2|k)\in\Xi_1$. b) $1\rightarrow0\rightarrow1$, 令.
当$s=1$时, 如果式(25)和式(26)满足, 则有:
$ \begin{align} &\begin{subarray}{l} \begin{bmatrix} A_i+B_i{}K_j&0&L_pC_i&L_pE_i\\ {}K_j&0&0&0\\ 0&0&A_i-L_pC_i&D_i-L_pE_i\\ 0&0&0&I\\ \end{bmatrix}\end{subarray} ^{\rm{T}} \times ~~~~~\nonumber\\ ~~\qquad &{\Gamma}_{0.1}^{-1} \begin{subarray}{l}\begin{bmatrix} A_i+B_i{}K_j&0&L_pC_i&L_pE_i\\ {}K_j&0&0&0\\ 0&0&A_i-L_pC_i&D_i-L_pE_i\\ 0&0&0&I\\ \end{bmatrix}\end{subarray} \nonumber\\ ~~\qquad &\leq \overline{\Gamma}_1^{-1} \label{3.57} \end{align} $
(46) $ \begin{align} &\left[ \begin{matrix} A_i&B_i&L_pC_i&L_pE_i\\ 0&I&0&0\\ 0&0&A_i-L_pC_i&D_i-L_pE_i\\ 0&0&0&I \end{matrix} \right] ^{\rm{T}} \overline{\Gamma}_1^{-1}\times \nonumber\\ &\quad\left[ \begin{matrix} A_i&B_i&L_pC_i&L_pE_i\\ 0&I&0&0\\ 0&0&A_i-L_pC_i&D_i-L_pE_i\\ 0&0&0&I \end{matrix} \right] \leq {\Gamma}_{0.1}^{-1} \label{3.58} \end{align} $
(47) 根据式(46)和式(47), 可得
$ \begin{align*} V({\pmb z}(k+2|k))+w^{\rm{T}}(k+2)w(k+2)\leq\varepsilon(k) \end{align*} $
于是有${\pmb z}(k+2|k)\in\Xi_1$.
基于采样时刻$k+1$和$k+2$的情况, 在采样时刻$k+h$ $(h\geq3)$时, 对于$\gamma(h|k)=1$也只需要考虑以下两种情况: a) $1\rightarrow1\rightarrow\cdots\rightarrow1$, 即$\gamma(s-1|k)=1$, $\gamma(s|k)=1$, $s=1, \ \cdots, \ h$, 显然$z(k+h|k)\in\Xi_1$成立. b) $1\rightarrow0\rightarrow\cdots\rightarrow0\rightarrow1$, 即$\gamma(h-\eta-1|k)=1$, $\gamma(h-s|k)=0$, $\gamma(h|k)=1$, 其中$\eta\in\{1, \cdots, \chi_{\rm{max}}\}$代表连续丢包次数, .令${\pmb z}(k+h-(\eta+1-s)|k)\in\Xi_{0.s}=\left\{{\pmb z}\in{{\bf R}^{{2n_x+n_u}}}\bigg| {\pmb z}^{\rm{T}}{\overline{\Omega}_{0.s}^{-1}}{\pmb z}\leq1\right\}$, 如果式(27)满足, 则有
$ \begin{align}\label{3.61} &\left[ \begin{matrix} A_i&B_i&L_pC_i&L_pE_i\\ 0&I&0&0\\ 0&0&A_i-L_pC_i&D_i-L_pE_i\\ 0&0&0&I\\ \end{matrix} \right]^{\rm{T}} \Gamma_{0.s+1}^{-1}\times \nonumber \\ &\qquad\left[ \begin{matrix} A_i&B_i&L_pC_i&L_pE_i\\ 0&I&0&0\\ 0&0&A_i-L_pC_i&D_i-L_pE_i\\ 0&0&0&I \end{matrix} \right] \leq \Gamma_{0.s}^{-1} \end{align} $
(48) 结合式(46), 式(47)和式(48), 可得
$ \begin{align*} V({\pmb z}(k+h|k))+w^{\rm{T}}(k+h)w(k+h)\leq\varepsilon(k) \end{align*} $
由此可知, 当$\gamma(h|k)=1$时, 即使发生了$\eta$次连续丢包, ${\pmb z}(k+h|k)\in\Xi_1$仍成立.
对于输入约束(17), 如果在采样时刻$k+h$时发生丢包, 根据式(3), 输入约束明显满足.如果数据传输成功, 根据式(44), 有:
$ \begin{align*} &\left|\left(Y_j\overline{M}_1^{-1}{\hat{\pmb x}}(k+h|k)\right)_t\right|^2= \nonumber\\ &\quad \left|{\left(Y_j \left[ \begin{matrix} I&0&0\\ \end{matrix} \right]{\overline{\Omega}_{1}}^{-\frac{1}{2}} {\overline{\Omega}_{1}}^{-\frac{1}{2}}{\pmb z}(k+h|k) \right)_t }\right|^2\leq \nonumber \\ &\quad \left \|\left(Y_j \left[ \begin{matrix} I&0&0\\ \end{matrix} \right] {\overline{\Omega}_{1}}^{-\frac{1}{2}}\right)_t \right \|^2\times \nonumber\\ &\quad \left \|\left( {\overline{\Omega}_{1}}^{-\frac{1}{2}}{\pmb z}(k+h|k) \right)_t \right \|^2\leq \nonumber\\ &\quad \left \|\left(Y_j \overline{M}_1^{-\frac{1}{2}}\right)_t \right \|^2\leq{u}_{t\rm{max}}^2 \end{align*} $
式(28)可保证上式成立.
带一个自由控制作用的区间二型T-S模糊网络输出反馈预测控制算法如下所示:
离线
步骤1. 选取参数$\lambda_i=\lambda\in(0, 1)$, 计算式(8), 得到$H_0$和$L_p$的值.
步骤2. 设定参数$S_1$, $R$, $\kappa$, ${\pmb u}(-1)$, ${\hat{\pmb x}}(0)$, $\phi(1)$.
在线
步骤1. 在采样时刻$k\geq0$, 在线求解定理2的优化问题, 得到控制输入${\pmb u_d}(k)$.
步骤2. 发送控制输入${\pmb u_d}(k)$.如果数据传输成功, 则有${\pmb u}(k)={\pmb u_d}(k)$, 否则, ${\pmb u}(k)={\pmb u}(k-\eta)$, $\eta\in\{1, \cdots, \chi_{\rm{max}}\}$.并通过附加链路传输实际控制输入${\pmb u}(k)$.
步骤3. 估计状态${\hat{\pmb x}}(k+1|k)$, ${\pmb {\hat x}}(k+2|k)$.根据式(29)计算$\phi(k+1)$.
步骤4. 更新采样时刻至$k+1$, 然后返回步骤1.
求解LMI优化问题的复杂度可以利用与$\mathcal{K}^3\mathcal{L}$成比例的多项式时间算法, 其中$\mathcal{K}$表示变量总数, $\mathcal{L}$表示LMI的总行数.对于定理2, $\mathcal{K}=(\frac{5}{2}+\chi_{\rm{max}})n_x(n_x+1)+(\frac{3}{2}+\frac{\chi_{\rm{max}}}{2})n_u(n_u+1)+n_xn_u+n_u+2$, $\mathcal{L}=(13r^2+2r+8r\chi_{\rm{max}}+16)n_x+(7r^2+2r+4r\chi_{\rm{max}}+10)n_u+5r^2+4r\chi_{\rm{max}}+4-r$.由此可知, $\chi_{\rm{max}}$增大, 计算复杂度会呈线性增大; $r$, $n_x$, $n_u$增大, 计算复杂度会呈指数增大.令$r=n_x=n_u=\chi_{\rm{max}}$, 分别取$\mathcal{K}$和$\mathcal{L}$中影响最大的部分, 则可认为求解定理2的计算复杂度是32$n_x^{12}$.
4. 仿真
考虑2个规则的区间二型T-S模糊模型, 其系统矩阵如下所示:
$ \begin{align} & {{A}_{1}}=\left[ \begin{matrix} 0.4227 & 0.0017 \\ 0.1233 & 0.4367 \\ \end{matrix} \right],\ {{A}_{2}}=\left[ \begin{matrix} 0.6654 & 0.0018 \\ -0.2759 & 0.6433 \\ \end{matrix} \right] \\ & {{B}_{1}}=\left[ \begin{matrix} -0.0001 \\ 0.1014 \\ \end{matrix} \right],\ {{B}_{2}}=\left[ \begin{matrix} -0.0001 \\ 0.1016 \\ \end{matrix} \right] \\ & {{C}_{1}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ \end{matrix} \right],\ {{C}_{2}}=\left[ 0\ \ \ 1 \right] \\ & {{D}_{1}}=\left[ \begin{matrix} 0.0022 \\ 0.00564 \\ \end{matrix} \right],\ {{D}_{2}}=\left[ \begin{matrix} 0.0022 \\ 0.00564 \\ \end{matrix} \right] \\ & {{E}_{1}}=0.04,\ {{E}_{2}}=0.04 \\ \end{align} $
被控对象和控制器的隶属函数分别为:
$ \begin{align*} &\underline{m}_1(x_1)=1-\frac{1}{1+{\rm e}^{\frac{-x_1-1.5}{2}}} \\ &\overline{m}_1(x_1)=1-\frac{1}{1+{\rm e}^{\frac{-x_1+1.5}{2}}} \\ &\underline{m}_2(x_1)=\frac{1}{1+{\rm e}^{\frac{-x_1+1.5}{2}}}\\ & \overline{m}_2(x_1)=\frac{1}{1+{\rm e}^{\frac{-x_1-1.5}{2}}}\\ &\underline{\omega}_1(x_1)=1-\frac{1}{1+{\rm e}^{(x_1+4-1)}}\\ & \overline{\omega}_1(x_1)=1-\frac{1}{1+{\rm e}^{(x_1+4+1)}} \\ &\underline{\omega}_2(x_1)=\frac{1}{1+{\rm e}^{(x_1+4+1)}}\\ & \overline{\omega}_2(x_1)=\frac{1}{1+{\rm e}^{(x_1+4-1)}} \end{align*} $
模糊模型的作用区域为$x_1(k)\in[-15, 15]$.定义加权函数$\underline{\xi}_1(x_1)=\underline{\zeta}_1(x_1)={\rm{sin}}^2(x_1)$和$\overline{\xi}_1(x_1)=\overline{\zeta}_1(x_1)=1-{\rm{sin}}^2(x_1)$, $\underline{\xi}_2(x_1)=\underline{\zeta}_2(x_1)={\rm{cos}}^2(x_1)$和$\overline{\xi}_2(x_1)=\overline{\zeta}_2(x_1)=1-{\rm{cos}}^2(x_1)$. 图 2为被控对象和控制器的上下隶属函数.假定系统是有界扰动, 满足$\|w(k)\|^2\leq1$, 输入约束为$|{\pmb u}(k)|\leq1$, 初始状态${\hat{\pmb x}}(0)=[4 \ 5]^{\rm{T}}$, ${\pmb u}(-1)=1$, 丢包上界$\chi_{\rm{max}}=4$, 数据传输状态转移矩阵$\digamma=[0.48 \ 0.52;0.54 \ 0.46]$, 性能指标加权矩阵$S_1=I_2$, $R=0.01$, 估计误差初始界$\phi(1)=6$.误差函数的收敛速度$\lambda_i=0.3$, 参数$\kappa=0.39$.针对此区间二型T-S模糊网络控制系统的仿真结果如图 3~8所示. 图 3为数据传输状态, 1表示数据传输成功, 0表示发生丢包. 图 4表示闭环系统状态响应. 图 5表示系统控制输入. 图 6表示性能指标上界$\varepsilon$的轨迹. 图 7表示估计误差的界. 图 8表示状态响应和估计误差椭圆集合.观测器参数、性能指标及计算时间如表 1所示.仿真结果表明, 本文给出的输出反馈预测控制方法是可行且有效的.
表 1 观测器参数, 性能指标及计算时间Table 1 Observer parameters, performance objective, and computational timeH0 Lp $J_0^\infty $ TAverage 62.98 0.93 s 
图 6 性能指标上界$\varepsilon$的轨迹Fig. 6 Evolutions of performance objective upper bound $\varepsilon$
图 8 状态轨迹和估计误差椭圆集合Fig. 8 State trajectories and ellipsoidal bounds of estimation error5. 结论
本文研究了具有丢包的非线性网络控制系统的输出反馈预测控制问题.利用区间二型T-S模糊模型描述具有参数不确定性的非线性对象.采用马尔科夫链描述丢包过程.通过引入二次有界技术, 离线设计了状态观测器, 并通过将无穷时域控制作用参数化为一个自由控制作用和线性反馈律, 得到了在线预测控制方法.此外, 本文还讨论了在线更新估计误差椭圆集合的方法.最后, 通过仿真例子, 验证了此算法的有效性和合理性.
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图 6 性能指标上界$\varepsilon$的轨迹
Fig. 6 Evolutions of performance objective upper bound $\varepsilon$
图 8 状态轨迹和估计误差椭圆集合
Fig. 8 State trajectories and ellipsoidal bounds of estimation error
表 1 观测器参数, 性能指标及计算时间
Table 1 Observer parameters, performance objective, and computational time
H0 Lp $J_0^\infty $ TAverage $\left[ \begin{array}{l} 0.7833\;\;\;0.0643\\ 0.0643\;\;\;1.0316 \end{array} \right] $ $\left[ \begin{array}{l} 0.0018\\ 0.5394 \end{array} \right] $ 62.98 0.93 s 
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