Integration of Train Control and Online Rescheduling for
High-speed Railways: Challenges and Future
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摘要: 高速铁路运行控制系统是高速铁路的大脑和神经系统, 对列车的安全和高效运行至关重要. 随着我国高铁里程数和客运量的快速增加, 现有的控制手段和调度方法在快速、有效解决列车运行过程中出现的突发事件(比如电力故障、突发地震、山体滑坡、异物侵限等)方面尚有一定差距. 目前列车运行控制与调度采用分层架构, 突发情况下主要依赖调度员和司机的人工经验进行应急处置, 列车晚点时间较长, 旅客满意度不高. 因此, 如何针对高速列车运行过程中可能出现的突发事件, 提升其应急处置能力, 成为保障高铁安全高效运营的一大难题. 本文围绕高铁运行控制与动态调度一体化这一前沿研究热点, 对现有运行控制和动态调度的发展现状进行梳理, 在此基础上给出一体化的基本架构, 明确其基本内涵, 最后提出了未来的主要研究方向.Abstract: As the brain and nervous system of high-speed railways, the high-speed train control system is critical to the safe and efficient operation of trains. With the expanding of the high-speed railway network in China, the existing train control and rescheduling methods are challenged by the increasing emergencies (such as power failure, sudden earthquake, landslide, foreign matter invasion, etc.) during the train operation. The existing control and rescheduling system adopting a layered structure, relies on the experience of dispatchers and drivers, and is hard to satisfy the requirements of train delay and passenger satisfaction. Therefore, how to improve the emergency handling ability is a severe problem to ensure the safe and efficient operation of high-speed railway during train operation. This paper focuses on the integration of train control and online rescheduling of high-speed railway. We conduct the state-of-the-art of existing train control and online rescheduling, and proposed the fundamental architecture, basic intension, and main research directions in this field.
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旋转不变性在图像目标的表达与识别中具有基本的重要性.因此, 如何从图像特征中得到旋转不变量便是一个关键问题.人们已经提出了多种旋转不变特征, 其中, Zernike矩[1]、伪Zernike矩[2]等旋转不变矩是一类成熟且应用十分广泛的方法.自提出以来, 它们已成功应用于模式识别[3]、边缘检测[4-5]、纹理分类[6]、目标方向估计[7]等多种实际问题.
矩方法是将目标投影到一个多项式函数支撑的空间中[8].设 $f(x, y)$ 是一个分片光滑二元实值函数, 其定义域为 $\Omega\subset {\bf R}\times {\bf R}$ .那么, $f(x, y)$ 的 $n+m$ 阶矩定义为:
$\begin{align}\label{eq:momdef} M_{nm} = \iint_\Omega{f(x, y)p_{nm}(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y} \end{align}$
(1) $p_{nm}(x, y)$ 为定义域 $\Omega$ 上的 $n+m$ 阶多项式基函数.
一般说来, 式(1)中计算得到的矩值 $M_{nm}$ 并不具有不变性.为了得到具有旋转不变性的矩函数, 一种常见的方法是构造极坐标系下的复数矩.此时目标图像的旋转只会导致矩相位的变化, 而矩的模值是不变的, 它就是一种旋转不变量.这类矩函数的一般定义形式如下:
$\begin{align}\label{eq:orim} M_{nm}=c_{nm}\int_0^1\int_0^{2\pi}{f(r, \theta)R_{nm}(r){\rm e}^{-{\rm i}m\theta}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta} \end{align}$
(2) 其中, $c_{nm}$ 为归一化因子, $(r, \theta)$ 是极坐标, $R_{n, m}(r)$ 为径向多项式函数, ${\rm e}^{-{\rm i}mθ}$ 为角向调和函数.
不同的径向多项式集则定义不同形式的矩.其中的Zernike多项式[1]为:
$\begin{align}\label{eq:zmploy} R_{nm}(r)=\sum_{i\, =\, 0}^{\frac{n-|m|}{2}}\frac{(-1)^{i}(n-i)!\cdot r^{n-2i}}{{i}!{(\frac{n+|m|}{2}-i)}!{(\frac{n-|m|}{2}-i)}!} \end{align}$
(3) 伪Zernike矩中的伪Zernike多项式[2]为:
$\begin{align}\label{eq:pzmploy} R_{nm}(r)=\sum_{i=0}^{n-|m|}\frac{(-1)^{i}(2n+1-i)!\cdot r^{n-i}}{{i}!{(n+|m|-i)}!{(n-|m|+1-i)}!} \end{align}$
(4) 正交Fourier-Mellin矩中的径向多项式[9]为:
$\begin{align}\label{eq:ofmmploy} R_n(r)=\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^{n+i}(n+i+1)!\cdot r^i}{(n-i)!i!(i+1)!} \end{align}$
(5) 可以看出, 这些多项式的表达式十分复杂, 而且包含阶乘项.在实际应用中, 特别是涉及高阶矩的计算时容易导致计算复杂、数值不稳定等问题[10-11].
在本文中, 我们提出一种新的二维图像变换, 称为旋转不变U变换(Rotation-invariant U transform, RIUT). RIUT具有与传统旋转不变矩相同的表达形式(式(2)), 同样具有旋转不变性.但由于我们采用了一类正交分段多项式函数(U-系统)代替传统矩中的径向多项式, 因此这里并没有称之为"旋转不变U矩".
由于U-系统是一类正交分段多项式函数系, 具有次数低(本文中的多项式次数仅1次)、函数结构简单的优点. U-系统有效避免了高次多项式的计算, 降低了计算复杂度[12-13].更重要的, U-系统具有诸多良好的特性, 比如序率性、函数均匀支撑、连续/间断并存等, 使得RIUT能够很好地捕获图像目标的特征, 从而具有更好的图像特征表达能力.在本文中, 我们将RIUT应用到二值图像检索中, 并与经典的正交旋转不变矩, 包括Zernike矩(Zernike moment, ZM)、伪Zernike矩(Pseudo-Zernike moment, PZM)及正交Fourier-Mellin矩(Orthogonal Fourier-Mellin moment, OFMM)进行比较.实验结果表明, RIUT具有更高的检索精度.
需要指出的是, 虽然U-系统是一类正交函数系, 但是RIUT不再是正交的, 而传统的ZM、PZM及OFMM是正交的.一般说来, 同时具备正交性、旋转不变性与分段低次多项式是很困难的.文献[14]尝试构造了一类同时满足这三个条件的二维变换方法, 但是它的代价是径向基函数变成 $1/\sqrt{r}$ 的形式, 使得在 $r=0$ 附近的计算不稳定, 误差很大.本文的目的不是图像的正交重构, 而是构造具有旋转不变性的二维变换, 从而可以将其应用到目标识别、分类等图像不变描述中.因此, 保持正交性并不是必须遵守的原则.更重要的是, U-系统具有传统正交多项式所没有的诸多特性, 使得它在图像特征提取中具有一定的优势, 而且二值图像检索的实验结果表明, 非正交的RIUT的检索结果比传统的正交矩的结果更好.
本文的结构安排如下:第1节简要介绍U-系统的构造过程及性质; 第2节介绍旋转不变U变换RIUT; 第3节介绍及分析RIUT的若干性质; 第4节介绍RIUT在二值图像检索中的应用, 并给出实验结果; 最后总结全文.
1. U-系统
1.1 U-系统简介
k次(k=0, 1, 2, 3, )U-系统是 $L^2[0, 1]$ 中的完备正交函数系[15-16], 它由一系列分段k次多项式组成, 其中既有连续可微的多项式和k次多项式样条函数, 也有函数本身及其导数各种层次间断的基函数.
1.2 U-系统的构造
k次U-系统的构造过程分为3个步骤:
步骤1.取区间 $[0, 1]$ 上的前 $k+1$ 个Legendre多项式, 作为k次U-系统的前 $k+1$ 个基函数, 记为 $\{\varphi_0(x), \varphi_1(x), \cdots, \varphi_k(x)\}$ ;
步骤2.构造区间 $[0, 1]$ 上的 $k+1$ 个生成元函数, 记为 $\Phi^{(0)}=\{\phi^0_i(x), i=0, 1, 2, \cdots, k\}$ , 满足:
1) $\phi_i(x)$ 是以 $x=1/2$ 为结点的分段k次多项式;
2) $\langle \phi_i(x), \phi_j(x)\rangle=\delta_{i, j}, i, j\in\{0, 1, 2, \cdots, k\}$ ;
3) $\langle \phi_i(x), x^j\rangle=0, i, j\in\{0, 1, 2, \cdots, k\}$ .
步骤3.由生成元函数迭代生成U-系统的后续函数.
记 $\Phi^{(j)}:=\{\phi^{(j)}_0, \phi^{(j)}_1, \cdots, \phi^{(j)}_{(k+1)2^j-1}\}$ , 其中 $\Phi^{(j)}$ 中函数成员由下列迭代生成:
$\begin{align} \phi^{(j)}_{2n}(x) &=\left\{\begin{array}{*{10}c} \phi^{(j-1)}_n(2x), & 0 \leq x < \dfrac12 \\ \phi^{(j-1)}_n(2-2x), & \dfrac12 < x \leq 1 \end{array}\right. \end{align}$
(6) $\begin{align} \phi^{(j)}_{2n+1}(x) &=\left\{\begin{array}{*{10}c} \phi^{(j-1)}_n(2x), & 0 \leq x < \dfrac12 \\ -\phi^{(j-1)}_n(2-2x), & \dfrac12 < x \leq 1 \end{array}\right. \end{align}$
(7) 其中, $n=0, 1, \cdots, (k+1)2^{j-1}-1$ .在间断点处, 函数值定义为两侧极限平均值.那么, 函数集合
$\begin{align}\label{eq:Uset} \{\varphi_0(x), \varphi_1(x), \cdots, \varphi_k(x)\} \cup_{j=0}^{+\infty}\Phi^{(j)} \end{align}$
(8) 即为k次U-系统. 图 1显示了1次U-系统前16个基函数及其生成过程.
图 1 1次U-系统的前16个基函数生成过Fig. 1 The first sixteen basis functions in U-system of degree one1.3 U-系统的性质
在k次U-系统中, 基函数按式(8)中的j值从小到大排列.记 $u_n(x)$ 是k次U-系统的第 $n\, (n=0, 1, 2, \cdots)$ 个基函数, 那么具有如下性质:
1)正交性
k次U-系统是 $L^2[0, 1]$ 上的规范正交函数系, 即 $\langle u_n(x), u_m(x)\rangle=\delta_{nm}$ .
2)收敛性
给定函数f, 相应的Fourier-U级数为
$ \begin{equation*} f\thicksim \sum_{n=0}^{\infty}a_nu_n(x) \end{equation*} $
其中 $a_n=\langle f, u_n\rangle=\int_0^1f(x)u_n(x)\mathrm{d}x$ .则有
$ \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty}\|f-S_f(n)\|_2=0 \end{equation*} $
其中, $S_f(n)$ 表示Fourier-U级数的前 $n$ 项部分和.
3)序率性
按式(8)给出的U-系统基函数排列次序, 记为
$ \begin{equation*} u_0(x), u_1(x), u_2(x), u_3(x), \cdots, u_n(x), \cdots \end{equation*} $
那么, 当 $x$ 从0到1增大, U-系统基函数的函数值符号的改变次数呈递增规律, 即 $u_n(x)$ 比 $u_{n-1}(x)$ 变号恰恰多一个.
2. 二维旋转不变U变换
轮廓U描述子只能提取形状的轮廓信息[17-18], 对于具有复杂结构的目标, 为了提取整个区域的形状特征, 则需要将U-系统推广到二维情形, 得到二维区域上的U变换.
2.1 L2[0, 1]2上的U-系统
为了将U-系统推广到二维情形, 一种直接的方法是定义L2[0, 1]d(d≥2)上张量积格式的U-系统[13, 18].定义
$\begin{align} \Phi_{nm}(x, y) = u_n (x)u_m(y), (x, y)\in [0,1]\times[0,1] \end{align}$
(9) 图 2为当 $u_n(x), u_m(y)$ 为1次U-系统基函数时 $\Phi_{nm}(x, y)\, (n, m=0, 1, 2, \cdots, 7)$ 的图像.由此可建立图像 $f(x, y)$ 的二维U变换, 如下:
$\begin{align}\label{eq:UTD} \lambda_{nm} = \int_0^1\int_0^1f(x, y)\Phi_{nm}(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{align}$
(10) 这种二维U变换可以应用于数字图像水印[19]、图像编码[20]等领域.但是, 由于它不具备旋转不变性, 因而很难应用于图像形状的检索与识别.
2.2 单位圆盘上的U-调和基函数
本文中, 我们将U-系统函数与调和函数结合, 构造了一类定义在单位圆盘上的基函数, 称之为U-调和基函数.基于这种新型的二元基函数, 可以方便地得到关于图像的旋转不变量.
因本文利用的是1次U-系统, 记 $u_n(x)$ 是1次U-系统的第 $n\, (n=0, 1, 2, \cdots)$ 个基函数.定义单位圆盘上的U-调和基函数为:
$\begin{align}\label{eq:Unm} U_{nm}(r, \theta) = u_n(r)\cdot {\rm e}^{\mathrm{i}m\theta}, \quad r\in[0,1], \theta\in[0, 2\pi] \end{align}$
(11) 可以看出, U-调和基函数定义在整个单位圆盘上.根据式(11), 这种基函数由角向函数与径向函数的乘积组成.角向为三角调和函数, 径向为传统1次U-系统函数. 图 3显示了若干U-调和基函数的图像(均为实部).其中, 图 3(a)~3(d)对应的径向基函数为 $u_2(r)$ , 如图 4(a)所示; 图 3(e)~3(h)对应的径向基函数为 $u_5(r)$ , 如图 4(b)所示; 图 3(i)~3(l)对应的径向基函数为 $u_8(r)$ , 如图 4(c)所示; 图 3(m)~3(p)对应的径向基函数为 $u_{10}(r)$ , 如图 4(d)所示.而这四组U-调和基函数的角向函数分别为 ${\rm e}^{\mathrm{i}m\theta}, m=0, 1, 2, 3$ .
2.3 二维旋转不变U变换
设定义在单位圆盘上的图像 $f(r, \theta)$ , 则它的二维旋转不变U变换为:
$\begin{align} M_{nm} = \frac{1}{2\pi}\int_0^1\int_0^{2\pi}f(r, \theta)U^{\rm H}_{nm}(r, \theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \end{align}$
(12) 其中, $[\cdot]^{\rm H}$ 表示复共轭, $M_{nm}$ 为图像 $f(r, \theta)$ 的旋转不变U变换系数, $n=0, 1, 2, \cdots, $ $m=0, \pm1, \pm2, \cdots$ .
这里需要指出的是, 式(10)与式(12)分别是平面上的两种二元U-系统变换, 且都是张量积形式.但两者有本质的区别, 前者定义在笛卡尔坐标系下, 没有旋转不变性; 而后者定义在极坐标系下, 很容易得到图像的旋转不变量, 从而可以应用到目标识别、分类等图像不变描述的应用中.
3. 旋转不变U变换的性质
本文提出的旋转不变U变换与传统的正交旋转不变矩(如Zernike矩)具有相同的表达形式, 但我们采用了一类正交分段多项式函数(1次U-系统)代替传统的径向多项式, 因而具有诸多特别的性质.
3.1 旋转不变性
定理1 (旋转不变性).图像旋转前后, 它的二维旋转不变U变换系数的模 $\|M_{nm}\|$ 不变.
证明. 设图像 $f(r, \theta)$ 旋转了角度 $\varphi$ , 那么旋转后的图像 $f'(r, \theta)=f(r, \theta+\varphi)$ , 则旋转后图像的U变换系数为
$ \begin{align*} M_{nm}'&= \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}u_n(r){\rm e}^{-{\rm i}m(\theta+\varphi)}f(r, \theta+\varphi)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta= \\ & {\rm e}^{-{\rm i}m\varphi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}u_n(r){\rm e}^{-{\rm i}m\theta}f(r, \theta+\varphi)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta= \\ & {\rm e}^{-{\rm i}m\varphi}M_{nm} \end{align*} $
因此, $\|M_{nm}'\|=\|M_{nm}\|$ .
3.2 多分辨率性
从U-系统的构造过程可知, 每个U-系统基函数经"2倍压缩"与"正、反复制", 成为下一组对应U-系统基函数在 $[0, 1/2)$ 与 $(1/2, 1]$ 上的部分.因此下一组基函数的分辨率比上一组增加一倍, 如此迭代下去.因此, U-调和基函数 $U_{nm}(r, \theta)$ 在径向上具有多分辨率特性.另外, 随着 $m$ 的增大, $U_{nm}(r, \theta)$ 角向的分辨率也逐渐增加.因此, 利用U-调和基函数 $U_{nm}(r, \theta)$ , 可以同时获得图像在径向和角向上的多分辨率特征.
3.3 函数支撑
同样通过U-系统构造过程可知, 每个U-系统基函数均匀地支撑在整个 $[0, 1]$ 区间上, 幅度平稳, 如图 1所示.因此, 当利用U-系统进行图像特征提取时, 能够"均匀地"捕获图像各处的特征.
相反地, 传统矩函数的径向多项式不具有这样的特性. 图 5(a)所示为Zernike多项式 $R_{n, 10}(r)$ 系列中的前4个多项式(n=10, 12, 14, 16)的图像. 图 5(b)为局部放大图.可以看出, 它们在定义域[0, 1]上的分布非常不均匀, 函数能量集中在区间的后半部分.需要强调的是, 这不是特例而是Zernike多项式的普遍现象.文献[21]将这种零点非均匀分布现象称为函数支撑问题.因此, 在利用Zernike多项式进行图像特征提取时, 容易导致非必要地刻意强调图像特定部分而抑制其他部分.
3.4 函数零点
传统矩函数的径向多项式(比如Zernike多项式、伪Zernike多项式)的零点数目反映了函数的震荡程度.函数零点越多, 震荡程度越高, 越能够捕获图像的高频成份.对于 $n$ 阶Zernike多项式 $R_{nm}(r), r\in[0, 1]$ , 其零点的数目为 $(n-|m|)/2$ .而对于第 $n$ 个U-系统基函数 $u_n(r), r\in[0, 1]$ , 根据U-系统的序率性可知, $u_n(r)$ 含有 $n+1$ 个零点, 远多于Zernike多项式的零点.因此, 当利用相同数量的变换基函数条件下, RIUT更能捕获更多的图像高频信息.
3.5 间断性
如上所述, 传统旋转不变矩的径向基均为多项式, 具有高度光滑的特点.而本文的RIUT的径向基为U-系统, 它是一类非连续的正交分段多项式函数系, 其中既包含连续型的基函数, 又含有大量具有各种间断性的基函数.在实际应用中, 处理对象(如图像)通常是连续与间断特性并存的复杂信号, 因而RIUT可以更好地表达图像的特征.
3.6 离散实现
定义在单位圆盘上的旋转不变U变换针对的是连续函数.对于实际应用中的数字图像, 式(12)并不能直接使用, 这里给出RIUT的离散格式.
假设给定尺寸为 $N\times N$ 的数字图像 $F(i, j), 1\leq i, j\geq N$ .为了计算它的U变换, 需要将 $F(i, j)$ 映射到函数 $f(x_i, y_j)$ .其中, $f(x_i, y_j)=F(i, j), x_i=(2i-N-1)/N, y_i=(2j-N-1)/N$ , 则定义在离散像素集 $\{(x_i, y_j), x_i^2+y_j^2\leq1\}$ 上图像 $f(x_i, y_j)$ 的U变换系数 $M_{nm}$ 的计算公式为:
$\begin{align}\label{eq:DUT} M_{nm} = \frac{2}{\pi N^2}\sum_{x_i^2+y_j^2\leq 1}f(x_i, y_j)U_{nm}(x_i, y_j) \end{align}$
(13) 3.7 RIUT描述子
在实际应用中, 只有旋转不变性往往是不够的.一般来说, 至少还应具有平移不变性与缩放不变性.后两种不变特征可以通过适当的图像预处理得到, 从而可得到一类具有旋转(Rotation)、缩放(Scale)及平移(Translation)不变性的RIUT描述子.具体步骤如下:
假设 $f(x, y)$ 为笛卡尔坐标系下的二值图像, 为了得到平移不变性, 将图像中形状目标的质心平移到坐标原点, 作位置归一化处理即可, 如下:
$\begin{align} \{g(x_T, y_T): x_T = x - \overline{x}, y_T = y - \overline{y}\} \end{align}$
(14) 其中, $g(x_T, y_T)$ 为位置归一化后的图像, $(\overline{x}, \overline{y})$ 为原图像 $f(x, y)$ 的质心, 计算公式为:
$\begin{align} \overline{x} = \frac{m_{10}}{m_{00}}, \quad \overline{y} = \frac{m_{01}}{m_{00}} \end{align}$
(15) 其中, $m_{00}, m_{10}$ 及 $m_{01}$ 为 $f(x, y)$ 的几何矩.
为了得到缩放不变性, 需要将图像中的形状目标尺寸进行归一化处理, 如下:
$\begin{align} \left\{h(x_S, y_S): x_S = x\cdot \sqrt{\frac{\beta}{m_{00}}}, y_S = y\cdot \sqrt{\frac{\beta}{m_{00}}}\right\} \end{align}$
(16) 而 $\beta$ 为预定义的形状目标的面积.
因此, 图像的平移与缩放不变性可通过如下的预处理得到:
$\begin{align} o(x, y) = f(\frac{x}{a}+\overline{x}, \frac{y}{a}+\overline{y}) \end{align}$
(17) 其中, $a=\sqrt{\frac{\beta}{m_{00}}}$ .
最后, 对预处理后的图像 $o(x, y)$ 作旋转不变U变换, 得到相应的RIUT系数.将这些系数取模后得到的向量即为图像 $f(x, y)$ 的RIUT描述子. 图 6为计算图像RIUT描述子的流程.
4. 实验
4.1 旋转不变性
定理1证明了RIUT具有旋转不变性, 这里将通过实验进行测试及验证.
实验1. 选择一张灰度Lena图像, 尺寸为128像素× 128像素.因RIUT定义在单位圆盘上, 因此只选择Lena图像的相应部分(即 $x_i^2+y_i^2\leq 1$ ), 如图 7(a)所示.假设旋转了 $\alpha$ 角度(如图 7(b)和7(c)), 图像旋转前后的RIUT系数模分别为 $\|M_{nm}\|, \|M_{nm}^{\alpha}\|$ .计算它们之间的平方误差(Mean square error, MSE), 定义如下:
$\begin{align} {\rm MSE} = \frac{1}{L}\sum_{i=1}^{L}(\|M_{n_im_i}^{\alpha}\| - \|M_{n_im_i}\|)^2 \end{align}$
(18) 其中, L为RIUT系数的数目.本实验中, 我们计算了径向函数与角向函数均为前128项的RIUT系数, 共16 384个.
我们对图 7(a)从 $0\, ^\circ$ 到 $90\, ^\circ$ , 每间隔 $2.25\, ^\circ$ 旋转一次, 一共得到41张图像, 分别计算旋转后图像与原始图像的MSE, 结果如图 8所示.实验结果表明, 忽略因图像旋转而进行重采样引入的误差, RIUT系数模值是不变的, 确实是一种旋转不变量.
4.2 二值图像检索
构造具有旋转不变性的特征在不变模式识别中具有重要的应用价值, 理论与实验结果表明, 本文提出的RIUT具有良好的旋转不变性.本节我们基于RIUT描述子, 将RIUT应用于二值图像检索中, 并与经典的旋转不变矩方法, 包括Zernike矩(ZM)、伪Zernike矩(PZM)及正交Fourier-Mellin矩(OFMM)进行比较.
在下面的实验中, 我们选取标准图像检索测试集MPEG-7.该测试集包含若干图像数据库以针对不同的测试目的. RIUT与传统的旋转不变矩都是图像区域变换, 因此我们选择MPEG-7测试集中的区域检索数据库CE2-A2, CE2-A4和CE2-B作为测试数据库, 分别在下面的实验2至实验4中描述.
实验2. CE2-A2图像库是专门针对旋转鲁棒性检验的测试数据库.该库共包含2 921张二值图像, 分为21组.其中前20组是已分类图像, 每组包含7张图像, 由一张标准图像经不同的旋转变换得到, 如图 9所示.剩余未经分类的2 781张图像在第21组中.
检索精度的指标为“Bull's eye”算法(Bull's eye performance, BEP) (下同), 即考虑最接近查询对象的2m个图像来计算检索正确率, 这里m为每类图像中的图像数目(如本测试库中m=7). 3种矩方法采用的阶数均为8 (即最高为7次多项式), RIUT则采用前8项U-系统基函数.
表 1给出了本文方法RIUT及经典正交矩方法的检索精度结果.虽然这些方法在理论上都具有旋转不变性, 但从实验结果可以看出, 本文的RIUT方法具有更好的旋转不变鲁棒性.
表 1 各方法检索精度(CE2-A2图像库)(%)Table 1 Retrieval precision of different methods (CE2-A2 image data set) (%)检索精度 ZM PZM OFMM RIUT BEP 97.96 92.86 97.96 98.57 实验3. CE2-A4图像库包含3 101张二值图像, 分为31组.其中前30组是已分类图像, 每组包含11张图像, 由一张标准图像经不同的旋转、缩放、平移及透视变换得到, 如图 10所示.第31组包含2 771张各不相同的未分类图像.
表 2给出了各方法的检索精度结果.从实验结果明显看出, RIUT方法优于传统的旋转不变矩方法.
表 2 各方法检索精度(CE2-A4图像库) (%)Table 2 Retrieval precision of different methods (CE2-A4 image data set) (%)检索精度 ZM PZM OFMM RIUT BEP 70.39 58.87 70.66 76.97 实验4. CE2-B图像库包含2 801张不同的二值商标图像, 分成11组.其中, 前10组是已分类商标图像, 每组中包含的相似商标数目见表 3.这些商标以形状相似为分组准则, 比如三角形商标、方形商标、圆形商标等, 如图 11所示.
表 3 CE2-B库中前10组相似商标数目Table 3 The similar trademarks number for the first ten groups in CE2-B data set组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数目 68 244 22 28 17 22 45 145 45 42 表 4给出了每组商标的检索精度结果, 其中加粗数字为每组的最高检索结果.可以看出, ZM方法与RIUT分别在4组商标中取得最高检索结果, 而PZM方法在2组中取得最高结果. 表 5为这10组检索结果的平均值, 可以看出, 本文的RIUT仍取得最好结果.
表 4 每组商标的检索精度(%)Table 4 Retrieval precision for each group (%)组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ZM 37.37 54.94 38.43 42.98 27.34 28.72 24.79 42.00 37.83 26.59 PZM 22.45 52.99 33.88 23.60 40.48 26.45 17.23 41.02 44.00 30.22 OFMM 25.65 49.41 30.37 38.90 33.22 22.31 26.27 45.65 29.23 22.90 RIUT 31.55 53.33 38.84 41.74 47.40 20.04 30.72 52.12 33.93 28.29 表 5 平均检索精度(%)Table 5 The average retrieval precision (%)检索精度 ZM PZM OFMM RIUT BEP 36.10 33.23 32.39 37.79 5. 结论
本文基于一类正交分段多项式函数系U-系统, 提出了一类新的二维旋转不变U变换RIUT.不同于以往的定义在L2[0, 1]2上的二维张量积形式的U-系统, RIUT通过将U-系统函数与调和函数相结合而获得旋转不变性. RIUT有效避免了传统矩中高次多项式的计算, 有效降低了计算复杂度.更重要的是, 由于U-系统具有诸多良好的特性, 比如序率性、函数均匀支撑、连续/间断并存等, 使得RIUT在图像特征提取方面具有更多的优势.最后, 在标准图像库上进行二值图像检索测试, 结果表明RIUT可以得到更好的检索结果.在未来的工作中, 我们将进一步分析RIUT的性质, 并将其拓展到更多的实际应用中.
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