Two Degree of Freedom PID Control Based on Modified Smith Predictor Control Structure
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摘要: 针对工业过程中的二阶不稳定时滞过程, 基于改进史密斯预估控制结构提出了一种简单的两自由度控制方案.设定值跟踪控制器和扰动抑制控制器采用同一设计程序, 并基于内模控制原理提出了控制器解析设计方案.设定值跟踪控制器和抗扰动控制器可分别通过单性能参数独立调节和优化, 每个控制器都具有PID形式, 给出了控制器调整参数的选择范围和扰动抑制闭环保证鲁棒稳定性的条件.仿真实例验证了提出方法对于近期其他方法的优越性.Abstract: A simple two degree of freedom control scheme is proposed for second-order unstable processes with time delay based on modified Smith predictor control structure. The set point tracking controller and the disturbance rejection controller are designed with the same procedure, and analytical design method on the basis of the internal model control (IMC) design principle is adopted for the two controllers. The controller for setpoint response and the controller for disturbance can be adjusted and optimized independently, and the two controllers are designed as PID form respectively. Suitable values for the adjustable parameters of two controllers and conditions holding the closed loop robust stability are recommended. Simulation examples demonstrate the superiority of the proposed method over recent other approaches.
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Key words:
- Modified Smith predictor control /
- two degree of freedom /
- second-order unstable process /
- PID controller
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现代工业过程中普遍具有强非线性和不确定性的特点, 难以用传统的数学机理建模方法描述过程动态变化, 因此这种形式的建模方法很难满足实际应用要求[1].在无数学机理模型的情况下, 人类需要依靠逻辑推理等智能对感知的信息进行处理, 形成经验、知识和规律, 进而完成复杂不确定系统的分析和控制.作为这种智能方法之一的模糊认知图(Fuzzy cognitive map, FCM)[2], 具有形式化描述、数值推理、模糊信息的表达等特点, 能够成为建立在系统的原始数据和研究者之间的一座桥梁. FCM是一种由节点、弧和权重组成的有向图[3-4].其中, 节点又被称为概念节点, 权值范围为[0, 1], 可以代表系统的某一种特性.两个概念节点之间的因果关系则用带符号和权重的弧表示, 取值范围为$[-1, 1]. $ FCM由于其良好的动态特性和学习能力, 因此被广泛应用在复杂系统建模、过程分析、决策制定等方面[5]. Anninou等通过分析影响人类患有帕金森综合征的相关因素, 使用FCM呈现了帕金森综合症的数学模型, 提供了一个非常有趣的研究方向[6].文献[7]对人的个性与情绪之间的关系进行了分析, 建立了一种基于FCM的数学模型, 这种模型对开发人性化系统具有非常可观的意义. Kreinovich采用Miller准则, 将多元神经网络简化为一元神经网络, 证明了仅用经验和主观意识也能让FCM有效地描述系统[8]. Obiedat等利用动力学系统与神经网络相结合的方法, 分析并建立了社会生态系统的FCM模型, 结果表明该方法能够为决策者提供合适的建议[9]. Christen使用FCM作为工具, 分析了苏格兰农业系统管理经验, 发现了农业制度不善的问题[10].张燕丽针对大型非线性系统, 提出了T-S建模方法, 并在倒车系统中进行了验证[11].
传统的FCM建模方法通过离线的方法模拟系统过程, 且对专家知识具有很强的依赖性.由于传统FCM的局限性, 在根据专家知识和实际系统数据建立了系统的模糊认知图的情况下, FCM就处于离线运作状态.因此, 如果专家的知识不够准确, 就会导致所建立的系统FCM模型无法正确地反应当前系统的实际状态.为了与实际系统保持密切实时联系, 并且对实时系统做出更准确的控制和决策[12], 一种基于FCM进行扩展的模糊认知网络(Fuzzy cognitive networks, FCN)[13-15]建模方法就应运而生了. FCN框架由一个模糊认知图、一个基于实际系统反馈的更新机制以及整个操作过程中获得知识的存储组成. FCN只在初始点使用或者完全脱离专家经验, 能够克服传统FCM建模方法对专家经验依赖性强的缺点.
灰色系统理论(Grey system theory, GST)在系统模型的建立过程中做出了巨大的贡献.该理论通过利用概率论与数理统计的方法取得随机性被弱化、规律性被增强的新数据序列, 由于新的序列既体现了原序列的变化又消除了波动性的特性, 灰色系统理论能够解决部分参数未知的系统问题.吉培荣提出了无偏差灰色预测模型, 该模型极大地消除了传统模型的固有偏差[16-17].文献[18]建立了灰色预测模型, 通过预测中国台湾人口中使用互联网的人数与实际值相比较, 验证了该模型的有效性.文献[19]提出了一种能应用于复杂工程的灰色模型控制器, 并验证了该控制器的优秀性能.
通过对FCN和灰色系统理论现状进行研究, 针对FCN和灰色系统理论的优点, 发现二者的结合对具有耦合性、非线性及高不确定性等特点的系统模型建立具有重要的意义. FCN模型参数设定很大程度上影响模型精度, 而FCN模型中初始权值就是一个非常重要的参数.权值学习方法通过一定的机制更新不断对系统权值进行更新, 从而达到提高FCN模型精度的目的.文献[20]提出了一种简单的微分Hebbian学习方法(Differential Hebbian learning, DHL), 而DHL是一种无监督的学习方法, 因此无法在实际系统中广泛应用.非线性Hebbian学习法(Nonlinear Hebbian learning, NHL)于2003年由Papageorgiou等[21]提出, 在系统权值学习具有广泛的应用.文献[22]提出了一种LASSOFCM的学习方法, 该方法能在没有任何先验知识的少量数据的情况下学习大规模的FCM系统, 在一些领域难以得到应用. Natarajan等对影响印度甘蔗产量的土壤和气候等各种因素进行了分析并建立了FCM模型, 采用结合数据驱动的非线性Hebbian学习方法(DDNHL)和遗传算法对模型的参数进行了辨识[23]. Baykasoglu等讨论了扩展的大洪水算法(Extended great deluge algorithm, EGDA)在训练FCM方面的应用, EGDA作为一种较好的算法, 主要存在的问题是参数唯一[24].
本文将灰色理论和网络反馈控制理论结合, 在FCM的基础上提出了模糊灰色认知网络建模方法和带终端约束的非线性Hebbian权值计算方法, 所建模型能做出接近人类智能的控制决策, 解决对数据存在不确定性或缺失的复杂系统建模的难题.本文安排如下:第1节介绍(Fuzzy grey cognitive networks, FGCN)模型建模机制及其特性; 第2节介绍传统NHL算法并提出了带终端约束的非线性Hebbian算法; 第3节利用一个水箱控制过程验证本文方法的有效性; 第4节对文章进行总结与展望.
1. 模糊灰色认知网络
模糊灰色认知网络是一种结合FCN和灰色系统理论(GST)的软计算技术. FGCN模型是在FCN的基础上, 通过对模糊概念和节点之间的灰色关系的不精确描述来表示非结构化知识, 从而提供一个抽象级的直观、详细的系统建模方法.
一个非线性系统可以用FGCN表示成一个包括节点、权值、带系统反馈的有向图, 当有向图取不同初始值和权值时, 对应系统的不同工况.用$C=\{C_1, C_2, \cdots, C_n\}$表示构成有向图的顶点的概念集合, 每一个节点代表系统的特征, 如变量、状态、事件、目标等.节点状态值反应概念节点的取值(模糊的或确定的).灰数节点状态值用$\otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}$表示:
$ \otimes {{\mathit{\boldsymbol A}}} = ( \otimes{{A}}_1 \otimes{{A}}_2 , \cdots, \otimes{{A}}_n )=\\ {\rm{~~~~~~~}} ([\underline {A}_1 , \overline A_1 ], [\underline {A}_2 , \overline A_2 ], \cdots[\underline {A}_n , \overline A_n ]) $
(1) 其中, $n$是模型中节点总数目, $ \otimes \underline {A}_i^{} $可以是灰数也可以是白数(即$\underline {A}_i^{} = \overline A_i^{} $).用$A_i^k$表示节点$C_i$在$k$时刻的状态, 其取值由系统的实际取值转换而来, 值域为[0, 1].用$W_{ij}$表示节点$C_i$和节点$C_j$之间的因果影响程度, 值域为$[1, -1]. $如果$W_{ij}>0$, 则结果概念节点$C_j$的状态随原因概念节点$C_i$的状态值成正比例变化; 反之, 如果$W_{ij}<0$, 则结果概念节点$C_j$的状态随原因概念节点$C_i$的状态值成反比例变化; 如果$W_{ij}=0$, 则概念节点$C_j$的状态与概念节点$C_i$的状态值没有关联.
连接两个节点之间的边代表节点之间的因果关系, 值域为$[1, -1]. $如果取值为正, 则结果概念节点$C_j$的状态随原因概念节点$C_i$的状态值成正向变化; 反之, 如果取值为负, 则结果概念节点$C_j$的状态随原因概念节点$C_i$的状态值成反向变化; 如果取值为零, 则概念节点$C_j$的状态与概念节点$C_i$的状态值没有关联.由于FGCN是结合神经网络和灰色系统理论的方法, 两个节点之间带权弧的大小都表示为一个灰数权值.
$ \otimes W_{ij} \in [\underline {W}_{ij} , \overline W_{ij} ], \forall i, j \to - 1 \le \underline {W}_{ij} \le \overline W_{ij} \le 1 $
(2) 其中, $i$表示原因节点, $j$表示结果节点.
系统动态行为间的关系都存储于认知图的网络结构和节点间相互影响的因果关系中.每一时刻的节点状态值受该节点上一时刻以及与它有因果关系的节点取值影响.
在迭代计算节点下一个时刻的值时, 利用一个阈值函数将灰色状态值转换到一个规范化的范围内.通常使用S曲线函数来保证状态值取值在[0, 1]区间.
节点状态值的更新方程为
$ \otimes {{\mathit{\boldsymbol A}}}^k = f( \otimes {{\mathit{\boldsymbol A}}}^{k - 1} + \otimes {{\mathit{\boldsymbol A}}}^{k - 1} \cdot {{W}}( \otimes )) $
(3) 特别的, 稳定节点和输出节点的状态值应该取以系统实际测量值为基值的灰数:
$ \otimes{{A}}_i^k = A_i^{\rm system} + \varepsilon $
(4) 其中, $\otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}^k$是$k$时刻的灰色状态值矢量, $\otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}^{k-1}$是$k-1$时刻的灰色状态值矢量, ${{W}}(\otimes)$是该模型的灰数权值矩阵, $\otimes A_i^k$是第$i$个节点$k$时刻的灰数状态值, $A_i^{\rm system}$是稳定节点和输出节点的系统实际值, 通过实时测量或者事先给定, $\varepsilon$是振幅, $f = 1/(1 + {\rm e}^{ - cx} ) $是阈值函数, 用来保证状态值取值在[0, 1]区间.
由于引入了灰色理论, FGCN增加了一个灰度(用$\varphi(\otimes A_i)$表示)来衡量系统的不确定性.如果灰度取值大, 则结果的不确定性高; 反之, 则不确定性小.传统FCN没有使用不确定性的标准来评判结果.
$ \varphi ( \otimes{{A}}_i ) = \frac{{\left| {l( \otimes{{A}}_i )} \right|}}{{l( \otimes \phi )}} $
(5) 其中, $ \left| {l( \otimes{A}_i )} \right|$是灰色状态值$\otimes A_i$长度的绝对值, $l(\otimes\phi)$是状态值取值空间的长度绝对值.在FGCN中, 节点状态值的取值空间可以是[0, 1]或者$[-1, 1]$, 因此$l(\otimes\phi)$取值为
$ \begin{array}{l} {l}( \otimes \phi ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {2, \;\;\;\;\; \mbox{若} \otimes{{A}}_i \subseteq [ - 1, 1], \forall \otimes{{A}}_i } \\ {1, \;\;\;\;\; \mbox{若} \otimes{{A}}_i \subseteq [0, 1], \forall \otimes{{A}}_i } \\ \end{array}} \right. \\ \end{array} $
(6) 如果${l(\otimes{{A}}_i)}=0$, 则无论$l(\otimes\phi)$取值如何, ${l(\otimes{{A}}_i)}$为零, 即灰度为零, $\otimes A_i$是白数, 没有不确定性.如果$l(\otimes{{A}}_i )= l( \otimes \phi) $, 灰度将是无穷大, 即$\varphi(\otimes{{A}}_i ) = \infty $.
根据以上分析, FGCN与传统的FCN相比有以下优点:
1) FGCN作为一个广义概念, 包括了模糊和灰色的概念, 能够更好地处理信息不完整以及因素间关系不确定的系统, 比传统的FCN更加贴近人类的智能决策;
2) FGCN允许在建模过程中出现概念和概念节点之间因果关系的不确定性和多义性;
3) FGCN可以表示更多的节点之间的关系.比如, 它能够在系统节点之间关系只知道一部分或者完全未知的情况下建立准确的模型;
4) 在推理过程中用灰度表示输出节点的不确定性, 提高了输出结果的可靠性;
5) 当FGCN的灰色状态值和灰色权值的灰度全部取零时, 则输出结果与传统FCN一致, 而灰度的存在使其比FCN多了判断结果准确性的标准.
2. 基于FGCN的带终端约束的权值迭代算法
在已经建立系统的FGCN模型的前提下, 需要对模型中的权值进行辨识.非线性Hebbian算法是一种无监督权值学习方法[17], 它利用权值关联的原因节点状态值与结果节点状态值的乘积对连接权值进行无向修正, 没有其他约束条件来提高学习效率和模型准确度.由于对专家的依赖性较强, 自主学习能力比较差, 当系统发生变化时, 无法及时跟踪反应, 使学习效率和准确度都受到影响.
为使模糊认知网络实时精准反应系统状态并做出正确的控制, 必须改进NHL算法.由于离线学习模型对系统工况的变化不敏感, 要提高模型的跟踪能力, 需将权值的学习与系统实际工况相结合.考虑到每一次迭代学习得到的状态值作为控制量作用于原系统, 可以得到一个实时值并将其作为学习目标, 故本文引进系统实际测量值作为约束来更新FGCN的权值, 从而提出带终端约束的非线性Hebbian算法.
带终端约束的非线性Hebbian算法的权值更新引入了系统实际反馈作为约束, 将模型预测值与系统实际测量值之差作为调整权值的标准.由于差值大小直接反应预测值与真实值的差距, 故可由此实现对权值进行有向修正, 在提高收敛速率的同时也解决了传统的无监督NHL对初始值依赖性强的缺点.
用符号$\otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}$表示FGCN中状态节点的状态值, 用$ \otimes {\mathop{W}\nolimits} _{}^k $代表$k$时刻节点间弧的灰数权值, 每一次迭代都利用模型的预测值与系统实际值之间的误差对权值进行修正.带终端约束的NHL算法如下:
$ \begin{align} & \otimes W_{ji}^{k + 1} = (1 - \gamma )( \otimes W_{ji}^k ) + \eta ( \otimes{{A}}_j^{\rm FGCN} ) \times \nonumber\\&\qquad( \otimes{{A}}_i^{\rm FGCN} {\rm{)+ }}\kappa \otimes p_i (1 - \otimes p_i ) \times ( \otimes A_j^{\rm FGCN} ) \end{align} $
(7) 其中, $ \otimes{{A}}_i^{\rm system} $是节点$ C_i $包含灰度的实际测量值, $\otimes{{A}}_i^{k, {\rm FGCN}}$是节点$ C_i $的FGCN计算值. $\otimes W_{ji}^{k + 1}$代表节点$ C_j $对节点$ C_i $在($k$+1)时刻的灰数权值, $\otimes W_{ji}^k$代表节点$ C_j $对节点$ C_i $在$k$时刻的灰数权值, $ \otimes{{A}}_i^{\rm FGCN} $代表节点$ C_i $的FGCN计算所得灰数, $ \otimes A_j^{\rm FGCN}$代表节点$C_j$的FGCN计算所得灰数, $\gamma$是衰减率, $ \eta $是学习率, $ \kappa $是修正率, 通常$ 0 < \gamma , \eta , \kappa < 0.1 $. $\otimes p_i $是节点$ C_i $的灰度误差, 其定义为
$ \begin{align} &\otimes p_i = \nonumber\\ &\ \otimes{{A}}_i^{\rm system}-\frac{1}{{1 + {\rm e}^{ - ( \otimes{A}_i^{\rm system} + \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^N { \otimes{{A}}_j^{\rm system} } \otimes W_{ji} )} }}= \nonumber\\ &\ \otimes{{A}}_i^{\rm system}-\otimes{{A}}_i^{\rm FGCN} \end{align} $
(8) 为了避免$ \otimes {{W}} $的过度增长, 保证其取值在[$-1$, 1], 要求$ \otimes {{W}} $的取值满足$ \left\| { \otimes {{W}}} \right\|= 1 $, 故在每一步计算中均按式(9)对式(7)进行归一化.
在式(9)中, $n$是模型节点的个数, 分母包括了与节点$ C_i $有关的所有权值.当学习率$\eta$和修正率$\kappa$足够小时, 分母根号下表达式的泰勒展开式的高阶可以省略.假定权值矩阵的第$i$行已知, 则第$j$列的权值计算可简化为式(10).考虑到衰减率$\gamma$通常取为一个远小于1的正数, 即$(1-\gamma)^2\approx1$, 故式(10)可以继续近似化简为式(11).相应地, 权值更新公式(7)可以近似简化成式(14).
注1.在式(7)中, 前面两项$ (1 - \gamma )( \otimes W_{ji}^k ) + \eta ( \otimes{{A}}_j^{\rm FGCN} ) \times ( \otimes A_i^{\rm FGCN} {\rm{)}} $是Hebbian理论的权值修正, 计算模型中节点状态值对权值的修正; 后面一项$ \kappa \otimes p_i (1 - \otimes p_i ) \times ( \otimes{{A}}_j^{\rm FGCN} )$中, 因$\kappa$很小, $ \otimes p_i $和$ 1 - {\otimes p_i} $都小于1, 三者相乘小于等于$0.25 \kappa$, 因此可以保证每一个$ \otimes W_{ji}^k $的取值都在$[-1, 1]$范围内.
$ \otimes W_{ji}^{k + 1} = \frac{{(1 - \gamma )( \otimes W_{ji}^k ) + \eta ( \otimes A_j^{\rm FCN} ) \times ( \otimes A_i^k {\rm{) + }}\kappa ( \otimes p_i ) \cdot (1 - \otimes p_i )( \otimes A_j^{\rm FCN} )}}{{\sqrt {\sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {((1 - \gamma )( \otimes W_{ji}^k ) + \eta ( \otimes A_j^{\rm FGCN} ) \times ( \otimes A_i^{\rm FGCN} {\rm{) + }}\kappa ( \otimes p_i ) \cdot (1 - \otimes p_i )( \otimes A_j^{\rm FGCN} ))^2 } } }} $
(9) $ \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {((1 - \gamma )( \otimes W_{ji}^k ) + \eta ( \otimes A_j^{\rm FGCN} ) \cdot ( \otimes A_i^{\rm FGCN} ) + \kappa ( \otimes p_i ) \cdot (1 - \otimes p_i ) \cdot A_j^{\rm FGCN} )^2 } \approx\\ \qquad \sum\limits_{j = 1}^n {[(1 - \gamma )^2 \cdot ( \otimes W_{ji}^k )^2 ) + 2\eta \cdot (1 - \gamma ) \cdot ( \otimes A_j^{\rm FGCN} ) \cdot ( \otimes A_i^{\rm FGCN} ) \cdot ( \otimes W_{ji}^k )} + \\ \qquad 2\kappa (1 - \gamma )( \otimes p_i ) \cdot (1 - \otimes p_i ) \cdot ( \otimes W_{ji}^k ]\approx \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\vdots \\ \qquad (1 - \gamma )^2 + 2\eta \cdot (1 - \gamma ) \cdot ( \otimes A_j^{\rm FGCN} )^2 + 2\kappa (1 - \gamma )( \otimes p_i ) \cdot (1 - \otimes p_i ) \cdot ( \otimes A_j^{\rm FGCN} ) = \\ \qquad (1 - \gamma )^2 \left(1 + \dfrac{{2\eta \cdot ( \otimes A_j^{\rm FGCN} )^2 + 2\kappa ( \otimes p_i ) \cdot (1 - \otimes p_i ) \cdot \otimes A_j^{\rm FGCN} }}{{1 - \gamma }}\right) $
(10) $ \begin{align} &\dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{{2\eta \cdot ( \otimes A_j^{\rm FGCN} )^2 + 2\kappa ( \otimes p_i )(1 - \otimes p_i ) \cdot ( \otimes A_j^{\rm FGCN} )}} {{1 - \gamma }}} }}\approx \nonumber\\ &\qquad \frac{1}{{1 + \dfrac{{\eta \cdot ( \otimes A_j^{\rm FGCN} )^2 + \kappa ( \otimes p_i )(1 - \otimes p_i ) \cdot ( \otimes A_j^{\rm FGCN} )}}{{1 - \gamma }}}}\approx \nonumber\\ &\qquad 1 - \dfrac{{\eta \cdot ( \otimes A_j^{\rm FGCN} )^2 + \kappa ( \otimes p_i )(1 - \otimes p_i ) \cdot ( \otimes A_j^{\rm FGCN} )}}{{1 - \gamma }} \end{align} $
(11) 迭代的两个终止标准为
标准1.
$ {\rm{ }}F_1 = |\hat A_i^{\rm FGCN} k + 1 - \hat A_i^{\rm FGCN} k| < e $
(12) 标准2.
$ F_2 = |\hat p_i | < v $
(13) 其中, $ \hat p_i $是节点的灰度误差白数化的取值, 一般取$ v = 0.001 $, 当所有节点的误差都满足式(13)时终止迭代.
$ \otimes W_{ji}^{k + 1} = (1 - \gamma ) \otimes W_{ji}^k + \\\qquad [\eta + \kappa ( \otimes p_i ) \cdot (1 - \otimes p_i )] ( \otimes A_j^{\rm FGCN} ) \cdot \\ \qquad( \otimes A_i^{\rm FGCN} ) + \kappa ( \otimes p_i ) \cdot (1 - \otimes p_i ) \cdot ( \otimes W_{ji}^k ) \cdot \\\qquad ( \otimes A_j^{\rm FGCN} ) - \eta \otimes W_{ji}^k ( \otimes A_j^{\rm FGCN} )^2 $
(14) 综上所述, 基于FGCN模型的带终端约束的非线性Hebbian算法流程图如图 1所示.
图 1 基于FGCN带终端约束的非线性Hebbian算法流程图Fig. 1 Flowchart of NHL with terminal constraints based on FGCN引进了系统反馈的带终端约束的NHL在每一次迭代中都根据实际测量值对权值进行修正, 故能快速收敛到准确反映系统的权值, 也克服了非线性Hebbian算法对初始值依赖性强的缺点, 提高了FGCN模型的灵活性和动态性.因此经过带终端约束的非线性Hebbian算法训练权值的FGCN能够更好地模拟实际系统.
3. 仿真分析
图 2所示为包括两个水箱、三个开关、一个加热元件和两个温度计的水箱控制系统.每个水箱有一个入水阀和一个出水阀, 且第一个水箱的出水阀是第二个水箱的入水阀.其工作原理如下:
水箱1的温度通过调节加热元件控制, 水箱1的温度比水箱2的温度高; 水箱2的温度通过热量传递, 当水箱2温度过低时, 开关2打开, 热水从水箱1流进水箱2.水箱的液位高度通过开关1、开关2和开关3控制.当水箱1的水位过高时, 打开开关2放水, 当水箱1的水位过低时, 打开开关1进水; 当水箱2的水位过高时, 打开开关3放水, 当水箱2的水位过低时, 打开开关2进水.
为了确定描述水箱控制系统的FGCN对象, 必须考虑到系统的变量, 如两个水箱中液位的高度、温度的高低; 系统中影响变量的要素, 如阀门的状态(打开、关闭或者部分打开)、加热元件的状态等.
在控制过程中, 1号水箱的液位受开关1和开关2的影响; 2号水箱的液位受开关2和开关3的影响; 开关1受1号水箱温度和液位的影响; 开关2受1号水箱液位、2号水箱液位和温度的影响; 开关3受2号水箱的液位的影响; 1号水箱的温度与加热元件相互影响; 2号水箱的温度受开关2的影响.
针对上述水箱控制过程, 利用专家知识和历史数据, 通过一系列相互关联的节点来描述其相应的动态系统, 建立的FGCN模型如图 3所示.
该模型中包括的节点为水箱1的液面高度$C_1$, 水箱2的液面高度$C_2$, 开关1的状态$C_3$, 开关2的状态$C_4$, 开关3的状态$C_5$, 水箱1的温度$C_6$, 水箱2的温度$C_7$, 加热元件的状态$C_8$.两个节点间的权值$\otimes W_{ij} $表示节点$C_j$对节点$C_i$的影响.系统的控制目标有两个: 1)两个水箱的水面高度保持在一定的范围内, 即上限$H_{\max}$和下限$H_{\min}$之间; 2)两个水箱的温度保持在最大值$T_{\max}$和最小值$T_{\min}$之间.即控制目标变量是1号水箱液位$H^1$、2号水箱液位$H^2$、1号水箱的温度$T^1$、2号水箱的温度$T^2$, 控制目标的期望区间为
$ H_{\min }^1 \le H^1 \le H_{\max }^1 \\ H_{\min }^2 \le H^2 \le H_{\max }^2 \\ T_{\min }^1 \le T^1 \le T_{\max }^1 \\ T_{\min }^2 \le T^2 \le T_{\max }^2 $
(15) 水箱控制系统的FGCN模型包含8个节点, 权值矩阵维数为8 $\times$ 8, 节点1、节点2、节点6和节点7为输出节点, 输出值的目标值代表所模拟系统的期望输出.根据不同的需求, 水箱控制系统有不同的控制目标.在本次模拟中, 专家定义目标节点的控制目标为$ADC_1 = 0.72$、$ADC_2 = 0.66$、$ADC_6 = 0.78$、$ADC_7 =0.64.$由于实际系统不可能达到一个完全确定的平衡点, 故将控制目标扩展成一个适度的区间:
$ 0.65 \le ADC_1 \le 0.80 \\ 0.60 \le ADC_2 \le 0.75 \\ 0.70 \le ADC_6 \le 0.88 \\ 0.55 \le ADC_7 \le 0.75 $
(16) 系统中各个元素之间的影响程度各异, 根据历史数据和经验, 专家确定权值初始值矩阵为式(17).
$ {{W}}_0 = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 0&0&{{\rm{ - }}0.5}&{0.2}&0&0&0&0 \\ 0&0&0&{{\rm{ - }}0.5}&{0.37}&0&0&0 \\ {0.5}&0&0&0&0&0&0&0 \\ { - 0.6}&{0.67}&0&0&0&0&{0.25}&0 \\ 0&{ - 0.82}&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&{0.53}&0&0&0&0&{{\rm{ - }}0.4} \\ 0&0&0&{{\rm{ - }}0.1}&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&{0.7}&0&0 \\ \end{array}} \right] $
(17) FGCN模型在灰度为零时, 灰色状态值退化为白数, 用灰色初始值表示为
$ \otimes {{\mathit{\boldsymbol A}}}_0 {\rm{ = [[0}}{\rm{.44, 0}}{\rm{.44}}], [{\rm{0}}{\rm{.55, 0}}{\rm{.55}}], \\ {\rm{~~~~~~~~~~~~}}[{\rm{0}}{\rm{.6, 0}}{\rm{.6}}], [{\rm{0}}{\rm{.7, 0}}{\rm{.7}}], [{\rm{0}}{\rm{.59, 0}}{\rm{.59}}], \\ {\rm{~~~~~~~~~~~~}}[{\rm{0}}{\rm{.61, 0}}{\rm{.61}}], [{\rm{0}}{\rm{.54, 0}}{\rm{.54}}], [{\rm{0}}{\rm{.52, 0}}{\rm{.52}}]{\rm{]}} $
(18) FGCN模型在灰度不为零时, 取初始值以$\pm0.1$为振幅, 即灰度$ \varphi ( \otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}_i ) = 0.2 $, 用灰色初始值表示为
$ \otimes {\pmb A}'_0 {\rm{ = [[0}}{\rm{.34, 0}}{\rm{.54}}], [{\rm{0}}{\rm{.45, 0}}{\rm{.65}}], [{\rm{0}}{\rm{.5, 0}}{\rm{.7}}], \\ {\rm{~~~~~~~~~~~~~}}[{\rm{0}}{\rm{.6, 0}}{\rm{.8}}], [{\rm{0}}{\rm{.49, 0}}{\rm{.69}}], [{\rm{0}}{\rm{.51, 0}}{\rm{.71}}], \\ {\rm{~~~~~~~~~~~~~}}[{\rm{0}}{\rm{.44, 0}}{\rm{.64}}], [{\rm{0}}{\rm{.42, 0}}{\rm{.62}}]{\rm{]}} $
(19) 在给定初始状态值和权值矩阵的基础上, 先后在灰度为零和灰度不为零的FGCN模型的基础上, 利用初值、NHL学习方法所得权值和用带终端约束的非线性Hebbian算法学习所得权值, 对达到平衡状态的各节点终值的准确度以及收敛速度进行对比, 分析FGCN模型的性能以及各学习算法的优劣.
在专家给定初始权值$ {{W}}_0 $的基础上, 基于NHL学习算法对权值进行训练, 得到一个如式(20)所示的最终权值矩阵.再分别取式(18)和式(19)所示的系统状态初始值, 将最终权值矩阵代入所建立的水箱系统FGCN模型中, 经过数次迭代达到平衡状态.系统状态稳态值如表 1所示, 迭代过程如图 4所示.
表 1 NHL算法学习的仿真结果Table 1 Simulation results trained by NHL概念节点 FGCN模型(灰度为零) FGCN模型(灰度不为零) 灰色稳态值$\otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}_i$ 灰度$ \varphi ( \otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}_i )$ 白化值$\hat A_i$ 灰色稳态值$\otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}_i$ 灰度$ \varphi ( \otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}_i )$ 白化值$\hat A_i$ 1 [0.728, 0.728] 0 0.728 [0.7279, 0.7280] 0.0001 0.72795 2 [0.6663, 0.6663] 0 0.6663 [0.6662, 0.6663] 0.0001 0.66625 3 [0.7523, 0.7523] 0 0.7523 [0.7522, 0.7523] 0.0001 0.75225 4 [0.6608, 0.6608] 0 0.6608 [0.6608, 0.6609] 0.0001 0.66085 5 [0.799, 0.799] 0 0.799 [0.7989, 0.7991] 0.0002 0.799 6 [0.835, 0.835] 0 0.835 [0.8349, 0.8351] 0.0002 0.835 7 [0.7826, 0.7826] 0 0.7826 [0.7826. 0.7827] 0.0001 0.75265 8 [0.6399, 0.6399] 0 0.6399 [0.6397, 0.6399] 0.0002 0.6398 当FGCN模型的初始值灰度为零时, 得到的稳定状态值满足所要求的控制区间, 利用灰度能判断所得结论的正确性; 当FGCN模型的初始值灰度不为零时, 由于引入灰色系统理论, 在动态迭代中能够减少系统的不确定性, 在达到稳定时能够得到一个灰度为零或灰度取值很小的输出结果, 且灰数区间与灰度为零时的结果很接近. NHL学习后新的权值$ W_{\rm NHL} $能够使FGCN模型达到平衡状态时保证所有输出节点$ A_1 , A_2 , A_6 , A_7 $的取值都满足式(16)所示的控制目标范围, 说明经过NHL学习后的系统模型, 能够让所有输出节点都达到目标的期望范围, 可以比较准确地模拟系统工况.由此可以得出结论, NHL对权值有一定的修正作用.但是NHL学习法也存在一定的缺点, 如收敛速度比较缓慢, 精度也不够高, 取值为零的权值在迭代过程中也会被修改成较小的非零值以及对初始权值依赖性大等.
$ {{W}}_{\rm NHL} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 0&{0.0555}&{ - 0.4649}&{0.2420}&{0.0657}&{0.0691}&{0.0641}&{0.0524} \\ {0.0577}&0&{0.0610}&{ - 0.4782}&{0.4136}&{0.0676}&{0.0672}&{0.0513} \\ {0.5304}&{0.0607}&0&{0.0593}&{0.0716}&{0.0753}&{0.0698}&{0.0571} \\ { - 0.5742}&{0.6881}&{0.0616}&0&{0.0649}&{0.0683}&{0.2985}&{0.0519} \\ {0.0672}&{ - 0.8157}&{0.0709}&{0.0619}&0&{0.0786}&{0.0729}&{0.0597} \\ {0.0706}&{0.0665}&{0.5611}&{0.0650}&{0.0785}&0&{0.0766}&{ - 0.3681} \\ {0.0651}&{0.0613}&{0.0687}&{ - 0.0453}&{0.0724}&{0.0761}&0&{0.0577} \\ {0.0542}&{0.0512}&{0.0573}&{0.0500}&{0.0604}&{0.7300}&{0.0589}&0 \\ \end{array}} \right] $
(20) 由于NHL是无监督学习算法, 仅仅依靠当前时刻原因节点状态值和结果节点状态值的乘积来对权值进行修正, 而原因节点状态值和结果节点状态值的取值又与前一时刻的权值密切相关.因此, 当权值的初始取值发生改变时, 其学习结果会跟着改变, 导致系统模型发生相应的变化, 即NHL存在对初始值的强依赖性.而带终端约束的NHL学习方法引入了系统反馈, 水箱系统中系统反馈为系统稳定时各节点的状态实际测量值.由实际系统测量可得, 在当水箱达到稳定时, 水箱的实际系统状态值为
$ A^{\rm system} = \\\quad \left[0.73~~0.67~~ 0.75~~ 0.66~~0.80~~0.83~~0.78~~ 0.63\right] $
(21) 在专家给定初始权值$ {{W}}_0 $的基础上, 基于带终端约束的NHL学习算法对权值进行训练, 得到一个如式(22)所示的最终权值矩阵.分别取式(18)和式(19)所示的系统状态初始值, 将最终权值矩阵代入所建立的水箱系统FGCN模型中, 经过数次迭代达到平衡状态.系统状态稳态值如表 2所示, 迭代过程如图 5所示.
表 2 带终端约束非线性Hebbian算法学习仿真结果Table 2 Simulation results trained by NHL with terminal constraints概念节点 FGCN模型(灰度为零) FGCN模型(灰度不为零) 灰色稳态值$\otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}_i$ 灰度$ \varphi ( \otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}_i )$ 白化值$\hat A_i$ 灰色稳态值$\otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}_i$ 灰度$ \varphi ( \otimes{{\mathit{\boldsymbol A}}}_i )$ 白化值$\hat A_i$ 1 [0.73, 0.73] 0 0.73 [0.7300, 0.7301] 0 0.73005 2 [0.67, 0.67] 0 0.67 [0.6700, 0.6701] 0.0001 0.67005 3 [0.75, 0.75] 0 0.75 [0.7500, 0.7500] 0.0001 0.75005 4 [0.66, 0.66] 0 0.66 [0.6599, 0.6600] 0.0001 0.65995 5 [0.80, 0.80] 0 0.8 [0.8000, 0.8001] 0.0001 0.80005 6 [0.8304, 0.8304] 0 0.8304 [0.8304, 0.8305] 0.0001 0.83045 7 [0.7799, 0.7799] 0 0.7799 [0.7798, 0.7799] 0.0001 0.77985 8 [0.6290, 0.6290] 0 0.629 [0.6290, 0.6291] 0.0001 0.62905 
图 5 带终端约束的NHL学习的FGCN仿真结果Fig. 5 FGCN simulation results trained by NHL with terminal constraints由表 2的结果可以看出, 当FGCN模型的初始值灰度为零时, 得到的稳定状态值满足所要求的控制区间, 利用灰度可以判断所得结论的准确性; 当FGCN模型的初始值灰度不为零时, 由于引入灰色系统理论, 在动态迭代中能够减少系统的不确定性, 在达到稳定时能够得到一个灰度为零或灰度取值很小的输出结果, 且灰数区间与灰度为零时的结果很接近.
对NHL和带终端约束的NHL算法学习后系统FGCN模型仿真结果, 以灰度为0.2下界为例, 如图 4 (b)和图 5 (b)所示.图 5 (b)中带终端约束的NHL迭代步数最少, 并且权值能收敛到工艺指标要求范围之内.带终端约束的NHL算法中, 由于引进系统的反馈, 在每一次的迭代中都根据实际测量值对权值进行修正, 故一般情况下迭代步数较少, 且达到稳定状态时会满足系统实际要求.图 4 (b)中的NHL算法是无监督机制, 满足标准1、标准2 (式(12)和式(13))才停止迭代, 故一般情况下迭代步数较多, 且达到稳定状态时是否满足系统实际要求不能得到保证.因此, 结果表明, 经过带终端约束的非线性Hebbian算法学习相对于非线性Hebbian算法学习, 不仅能保证系统状态值落入期望范围且精度较高, 而且收敛速度也明显加快.
$ {{W}}_{\rm NHL} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 0&0&{ - 0.4572}&{0.4013}&0&0&0&0 \\ 0&0&0&{ - 0.4736}&{0.8750}&0&0&0 \\ {0.8613}&0&0&0&0&0&0&0 \\ { - 0.5778}&{0.8981}&0&0&0&0&{0.7354}&0 \\ 0&{ - 0.9075}&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&{0.8217}&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&{0.0355}&0&0&0&{ - 0.1216} \\ 0&0&0&0&0&{0.9205}&0&0 \\ \end{array}} \right] $
(22) 4. 结论
1) 提出了非线性系统的模糊灰色认知网络模型及其建模方法.将模糊认知网络建模方法和灰色系统理论相结合, 把模糊认知网络的节点状态值和权值扩展为灰色区间, 引入了与FGCN模型中节点的系统实际测量值对应的灰数值来评判模型可靠性.仿真实验结果表明, 利用本文提出的建模方法能解决对数据存在不确定性或缺失的复杂系统建模的难题, 所建模型能做出接近人类智能的控制决策, 对不确定性系统的建模具有广泛适用性.
2) 采用了带终端约束的非线性Hebbian权值学习算法并将其用于辨识FGCN的模型参数.与普通的NHL学习方法相比, 本文算法将系统反馈引入到权值迭代过程中, 通过有监督的学习方法使权值的迭代趋近于系统真实值, 提高了学习质量.仿真实验结果表明, 该算法收敛速度快, 精确度高且不依赖于专家确定的初始值, 通过迭代过程减小了系统的灰度, 提高了模型精度和可靠性, 克服了传统NHL对初始值依赖性大的缺点.
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图 14 例1~3本文方法灵敏度函数幅值
Fig. 14 Magnitude plots of the proposed sensitivity function for Examples 1~3
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[1] Liu T, Gao F R. Enhanced IMC design of load disturbance rejection for integrating and unstable processes with slow dynamics. ISA Transactions, 2011, 50(2): 239-248 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=8e1fec3de2fdfed6d47fd8bb1bfdf491 [2] Vanavil B, Chaitanya K K, Rao A S. Improved PID controller design for unstable time delay processes based on direct synthesis method and maximum sensitivity. International Journal of Systems Science, 2015, 46(8): 1349-1366 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=10.1080/00207721.2013.822124 [3] Seer Q H, Nandong J. Stabilization and PID tuning algorithms for second-order unstable processes with time-delays. ISA Transactions, 2017, 67: 233-245 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=3f176a0d140e7a7608a85c23a181ba10 [4] Zhang G Q, Zhang X K, Zhang W D. Robust controller synthesis for high order unstable processes with time delay using mirror mapping technique. ISA Transactions, 2015, 59: 10-19 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=1ac171a7294c271e0940654622fe040b [5] Zhang G Q, Zhang X K, Guan W. Stability analysis and design of integrating unstable delay processes using the mirror-mapping technique. Journal of Process Control, 2014, 24(7): 1038-1045 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=32f9ba608ac7f42bb9c2e9bc7d4a9edc [6] 肖强, 谢巍.针对时滞系统的一般化内模控制方法.自动化学报, 2011, 37(4): 464-470 doi: 10.3724/SP.J.1004.2011.00464Xiao Qiang, Xie Wei. A GIMC architecture for timed- delay systems. Acta Automatica Sinica, 2011, 37(4): 464-470 doi: 10.3724/SP.J.1004.2011.00464 [7] Wang Q G, Hang C C, Yang X P. Single-loop controller design via IMC principles. Automatica, 2001, 37(12): 2041- 2048 http://d.old.wanfangdata.com.cn/NSTLQK/NSTL_QKJJ029982756/ [8] Skogestad S. Simple analytic rules for model reduction and PID controller tuning. Journal of Process Control, 2003, 13(4): 291-309 http://d.old.wanfangdata.com.cn/OAPaper/oai_doaj-articles_5e047a5c6dc4e7cd03e154e9ab666e46 [9] Vanavil B, Anusha A V N L, Perumalsamy M, Seshagiri Rao A S. Enhanced IMC-PID controller design with lead lag filter for unstable and integrating processes with time delay. Chemical Engineering Communications, 2014, 201(11): 1468-1496 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=10.1080/00986445.2013.818983 [10] Begum K G, Rao A S, Radhakrishnan T K. Maximum sensitivity based analytical tuning rules for PID controllers for unstable dead time processes. Chemical Engineering Research and Design, 2016, 109: 593-606 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=d63e6a66a07fd73c35c40ed92ef1986f [11] 汤赵建, 蒋北艳, 靳其兵.基于稳定裕度的新型IMC-PID整定方法.北京化工大学学报(自然科学版), 2017, 44(5): 105-110 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/bjhgdxxb201705017Tang Zhao-Jian, Jiang Bei-Yan, Jin Qi-Bing. A novel IMP-PID tuning method based on stability margin. Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science), 2017, 44(5): 105-110 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/bjhgdxxb201705017 [12] Das S, Pan I. On the mixed H2/H∞ loop-shaping tradeoffs in fractional-order control of the AVR system. IEEE Transactions on Industrial Informatics, 2014, 10(4): 1982-1991 http://ieeexplore.ieee.org/xpls/icp.jsp?arnumber=6813659 [13] Zeng G Q, Chen J, Dai Y X, Li L M, Zheng C W, Chen M R. Design of fractional order PID controller for automatic regulator voltage system based on multi-objective extremal optimization. Neurocomputing, 2015, 160: 173-184 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=c2e4cf641143068fb90d95742a859d40 [14] Zeng G Q, Chen J, Chen M R, Dai Y X, Li L M, Lu K D, et al. Design of multivariable PID controllers using real-coded population-based extremal optimization. Neurocomputing, 2015, 151(p3): 1343-1353 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=b6ee227533eb1898f319add1076ab4df [15] Srivastava S, Pandit V S. A 2-Dof LQR based PID controller for integrating processes considering robustness/perf- ormance tradeoff. ISA Transactions, 2017, 71: 426-439 http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/28941953 [16] 黄德先, 江永亨, 金以慧.炼油工业过程控制的研究现状、问题与展望.自动化学报, 2017, 43(6): 902-916 doi: 10.16383/j.aas.2017.c170157Huang De-Xian, Jiang Yong-Heng, Jin Yi-Hui. Present research situation, major bottlenecks, and prospect of refinery industry process control. Acta Automatica Sinica, 2017, 43(6): 902-916 doi: 10.16383/j.aas.2017.c170157 [17] 许锋, 魏小丽, 任丽红, 罗雄麟.基于多变量广义预测控制的不稳定系统控制结构选择方法.自动化学报, 2013, 39(9): 1547-1551 doi: 10.3724/SP.J.1004.2013.01547Xu Feng, Wei Xiao-Li, Ren Li-Hong, Luo Xiong-Lin. A control structure selection method based on multivariable generalized predictive control for unstable processes. Acta Automatica Sinica, 2013, 39(9): 1547-1551 doi: 10.3724/SP.J.1004.2013.01547 [18] Zhang W D, Gu D Y, Wang W, Xu X M. Quantitative performance design of a modified Smith predictor for unstable processes with time delay. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2004, 43(1): 56-62 doi: 10.1021/ie020732v [19] Rao A S, Chidambaram M. Analytical design of modified Smith predictor in a two-degrees-of-freedom control scheme for second order unstable processes with time delay. ISA Transactions, 2008, 47(4): 407-419 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=6435258c4dd7966c63beeec35e8db89d [20] Mataušek M R, Ribic A I. Control of stable, integrating and unstable processes by the modified Smith predictor. Journal of Process Control, 2012, 22(1): 338-343 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=b870f9103807aad1e7bf1b806c1d4427 [21] Tan W, Marquez H J, Chen T W. IMC design for unstable processes with time delays. Journal of Process Control, 2003, 13(3): 203-213 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=66f4025470065e24910842db889a173f [22] 刘涛, 张卫东, 顾诞英.化工不稳定时滞过程鲁棒控制的解析设计.控制与决策, 2005, 20(5): 575-578 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/kzyjc200505021Liu Tao, Zhang Wei-Dong, Gu Dan-Ying. Analytical design of robust control for unstable chemical and industrial processes with time delay. Control and Decision, 2005, 20(5): 575-578 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/kzyjc200505021 [23] 李敏, 王琪, 靳其兵.不稳定时滞对象的最优鲁棒二自由度控制器解析设计.信息与控制, 2016, 45(3): 313-319 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/xxykz201603009Li Min, Wang Qi, Jin Qi-Bing. Analytical design of optimal robust two-degree-of-freedom controller for unstable processes with time delays. Information and Control, 2016, 45(3): 313-319 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/xxykz201603009 [24] 张井岗, 秦娜娜.串级不稳定时滞过程的内模控制器设计.电子科技大学学报, 2017, 46(1): 38-45 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/dzkjdxxb201701007Zhang Jing-Gang, Qin Na-Na. Design method of IMC controllers for unstable cascade processes with time delay. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2017, 46(1): 38-45 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/dzkjdxxb201701007 [25] Ajmerin M, Ali A. Two degree of freedom control scheme for unstable processes with small time delay. ISA Transactions, 2015, 56: 308-326 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=9931740737a8f15b4459b0b2ae4575dc [26] Padhy P K, Majhi S. Relay based PI-PD design for stable and unstable FOPDT processes. Computers and Chemical Engineering, 2006, 30(5): 790-796 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=bda09cc6bb838ac1f3f64fb41ed23eb2 [27] Vijayan V, Panda R C. Design of PID controllers in double feedback loops for SISO systems with set-point filters. ISA Transactions, 2012, 51(4): 514-521 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=444f11695ce4d7cd29885d7f30eb8784 [28] Wang Q, Lu C H, Pan W. IMC PID controller tuning for stable and unstable processes with time delay. Chemical Engineering Research and Design, 2016, 105: 120-129 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/zngydxxb-e202001009 [29] Shamsuzzoha M, Lee M Y. Analytical design of enhanced PID filter controller for integrating and first order unstable processes with time delay. Chemical Engineering Science, 2008, 63 (10): 2717-273 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=222edd6e81fe5983e2d98f50d5d7756c [30] Wang Q G, Lee T H, He J B. Internal stability of interconnected systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 1999, 44(3): 593-596 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=e990bea0df126be8bf195b52d94ed9a5 [31] Morari M, Zafiriou E. Robust Process Control. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1989. [32] Kumar D B, Padma S R. Tuning of IMC based PID controllers for integrating systems with time delay. ISA Transactions, 2016, 63: 242-255 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=a77656da8528daf16c67ce90d58bc992 [33] Ghousiya B K, Rao A S, Radhakrishnan T K. Enhanced IMC based PID controller design for non-minimum phase (NMP) integrating processes with time delays. ISA Transactions, 2017, 68: 223-234 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=a0b2f8c7401d9fdd9546386d956a774b [34] Vanavil B, Rao A S. Improved performance with PID filter controllers for unstable processes involving time delays. In: Proceedings of the 2011 International Conference on Process Automation, Control, and Computing. New York, USA: IEEE, 2011. 1-6 -
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