学习控制能够处理有限时间区间上重复作业的控制系统.这种控制算法通过每次实际运行结果修正控制输入, 随着迭代次数的增加不断提高控制性能, 因此在实际系统中得到了广泛应用, 如工业机器人、数控机床、硬盘驱动装置、化工间歇过程等^[1-2].

近年来, 基于Lyapunov方法的迭代学习控制引起人们的关注^[3-5].设计学习控制器时需要处理系统存在的不确定性, 通常包括参数不确定性与非参数不确定性.目前, 有许多关于工业机器人系统迭代学习控制的研究成果^[6-9]; 文献[10]针对一类非线性系统, 采用自适应算法学习固定常值参数; 文献[11]针对工业机械臂, 通过一类自适应迭代学习控制算法估计不随迭代轴变化的时变参数; 文献[12]将高阶内模与学习控制算法相结合, 处理随迭代轴变化的时变参数; 文献[13]针对非线性参数不确定系统, 基于自适应重复学习控制算法学习周期参数; 文献[14]通过鲁棒自适应及Backstepping方法分别处理参数与非参数不确定性; 文献[15]采用神经网络及傅里叶级数逼近方法, 估计周期已知的时变参数; 文献[16]通过自适应迭代学习控制算法, 处理一类高阶非线性系统的参数不确定性与初值问题; 文献[17]针对具有未知控制方向的纯反馈非线性系统, 通过自适应迭代学习控制策略, 处理系统存在的参数不确定性; 文献[18]通过周期自适应学习控制方法, 解决了输入饱和非线性系统中含时滞的参数不确定性.此外, 文献[19]通过自适应迭代学习控制方法, 处理纯反馈非线性系统中的参数不确定性与非一致期望轨迹.可参数化的不确定系统, 通常要求参数为固定常值、周期或时变参数, 而实际系统的不确定性不仅仅包括可参数化情形, 因此人们开始研究非参数不确定性.文献[20]针对一类连续非线性系统, 通过迭代学习控制方法, 处理非参数不确定性; 文献[21]通过鲁棒自适应迭代学习控制方法, 解决了离散非线性系统中的参数与非参数不确定性; 文献[22]将迭代学习控制与模糊逼近相结合, 利用反步控制策略, 以处理纯反馈非线性系统的非参数不确定性; 文献[23]针对控制增益与状态有关的多输入多输出非线性系统, 通过迭代学习控制算法处理非参数不确定性; 文献[24]通过鲁棒迭代学习控制方法, 解决了一类连续非线性系统的非参数不确定性.文献[20, 23-24]均考虑控制增益与状态有关的控制系统, 并且非线性函数满足Lipschitz条件, 特别地, 所提出的控制方法, 需要已知的信息包括:控制输入增益的最小值与非线性函数的界函数, 然而实际系统中该界函数很难精确获得.

迭代学习控制算法要求每次迭代开始时保证严格的初始定位, 系统初态与参考轨迹的初值一致, 然而实际系统的复位精度有限, 往往会导致系统存在初始误差, 从而影响控制精度.因此, 为提高系统的控制性能, 解决初始定位问题是有意义的.重复学习控制, 要求系统每次迭代的初值与前一次迭代的终值相同, 且参考轨迹是封闭的, 有效回避了迭代学习控制的初始定位问题.与重复控制不同的是, 重复学习控制放宽了对周期的要求.文献[9]提出重复学习控制方法, 通过自适应重复学习机制处理机械臂系统的常参数不确定性.文献[25]考虑了迭代学习控制中5种不同的初始条件, 其中第5种情况与重复学习控制的初始条件相同.如何通过重复学习控制解决非线性系统的非参数不确定性问题, 是学习控制领域中一项重要的研究内容, 特别地, 对于未知界函数情况下的非参数不确定性, 目前几乎未有相关的研究成果.

基于以上讨论, 本文针对一类在有限时间区间上执行重复任务的不确定非线性系统, 提出一种用于解决满足Lipschitz条件非参数不确定性问题的控制方法.该方法采用带死区修正的学习律, 对期望控制输入与界函数平方进行估计, 以避免参数的正向累加导致系统发散.通过该学习律设计重复学习控制器, 采用带死区的Lyapunov函数, 保证了闭环系统所有信号的有界性, 并且实现了跟踪误差在有限时间区间上收敛于给定的邻域.此外, 所提出的控制方法能够处理与状态有关的非线性控制增益.与文献[20, 23-24]不同的是: 1)对于满足Lipschitz条件的非参数不确定系统, 本文并未假设其界函数已知.文中基于重复学习方法, 对该界函数的平方进行估计.在已发表的相关文献中, 这一做法尚未见报道; 2)本文设计带死区修正的学习律, 对该界函数的平方进行估计, 这不仅方便了收敛性分析, 并且避免了参数的正向叠加对系统收敛性能的影响, 同时, 利用带死区的Lyapunov函数, 以保证系统跟踪误差收敛于给定的邻域; 3)本文所设计的重复学习控制算法, 以尽可能少的系统模型信息(仅已知控制输入增益最小值$g_{{\rm min}}$)处理非参数不确定性, 从而较少地依赖于系统信息, 更方便于控制器的实现.进一步, 本文通过仿真与实验验证了所提控制方法的有效性.

1.   问题描述

考虑一类不确定时变非线性系统

其中, $t\in[0, T]$, ${\pmb x} = [x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}]^{\rm T}\in {\bf R}^n$为系统状态, $u \in {\bf R}$为控制输入, $f({\pmb x}, t), g({\pmb x}, t)$为未知连续非线性函数.

假设1.  控制输入增益函数$g({\pmb x}, t)$符号已知, 且存在常数$g_{\rm {min}}$满足$|g({\pmb x}, t)|\ge g_{\rm {min}} >0$, ${\pmb x}\in {\bf R}^n, t\in [0, T]$.

注1.  假设1中, 要求$g({\pmb x}, t)$为严格正的或者严格负的.不失一般性, 本文假定$g({\pmb x}, t)\ge g_{\rm {min}}>0$, ${\pmb x}\in {\bf R}^n, t\in [0, T]$, 其中$g_{\rm {min}}$为已知常数.

假设2.  非线性函数$f({\pmb x}, t), g({\pmb x}, t)$满足: $|f({\pmb x}_1, t)-f({\pmb x}_2, t)|\le l_f(t) |{\pmb x}_1-{\pmb x}_2|, |g({\pmb x}_1, t)-g({\pmb x}_2, t)|\le l_g(t) |{\pmb x}_1-{\pmb x}_2|$, ${\pmb x}_1, {\pmb x}_2\in {\bf R}^n, t\in[0, T]$, 其中, 定义Lipschitz系数(即时变函数$l_f(t), l_g(t)$)分别为非线性项$|f({\pmb x}_1, t)-f({\pmb x}_2, t)|, |g({\pmb x}_1, t)-g({\pmb x}_2, t)|$的界函数.

注2.  假设2中, $f({\pmb x}, t)$, $g({\pmb x}, t)$在有限时间区间上为Lipschitz连续, 且本文并未要求界函数$l_f(t), l_g(t)$已知.

本文采用重复学习控制算法, 受控系统应具有如下属性^[9]:

属性1.  系统在有限时间区间上重复运行.

属性2.  期望状态是给定且封闭的.

属性3.  系统每次运行的初值与前一次运行的终值一致.

属性4.  被学习的时变参数与迭代轴无关.

属性5.  在所有作业区间中系统动态特性相同.

根据属性1~5, 系统$ (1)$在有限时间区间$[0, T]$上重复运行, 满足:

其中, $k= 0, 1, 2, \cdots$为迭代次数.

根据属性2和3知, 给定的期望状态${\pmb x}_d(t)$满足${\pmb x}_d(T)={\pmb x}_d(0)$, 系统实际状态满足${\pmb x}_k(0)={\pmb x}_{k-1}(T)$, $\forall k = 0, 1, 2, \cdots$.

本文控制目标为, 针对系统$ (2)$, 设计重复学习控制器$u_k(t)$, 使得系统状态${\pmb x}_k(t)$随着迭代次数$k$的增加, 在有限时间区间$[0, T]$上收敛于给定的期望状态${\pmb x}_d(t)$.

定义跟踪误差${\pmb e}_k = [e_{k, 1}, e_{k, 2}, \cdots, e_{k, n}]^{\rm T}= x_k-x_d$, 向量${\pmb\lambda} = [\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{n}]^{\rm T}$, 使得$p_{\lambda}(s) =s^n+ \lambda_{n}s^{n-1} + \lambda_{n-1}s^{n-2}+ \cdots + \lambda_1$为Hurwitz多项式.系统的误差动态方程描述为

其中,

未知期望控制输入$u_d$满足:

使得

记$f_k=f({\pmb x}_k, t), g_k=g({\pmb x}_k, t), f_d=f({\pmb x}_d, t), g_d=g({\pmb x}_d, t)$, 整理误差动态特性为

加入辅助项$ (g_k-g_d)\hat u_k$, 整理式$ (6)$得

其中, $\hat u_k$为未知期望控制输入$u_d$的估计.

为了实现上述控制目标, 本文设计重复学习控制算法以处理式$ (7)$中的不确定性.文中对未知期望控制输入$u_d$进行估计, 得到$\hat u_k$; 分析非线性项$f_k-f_d, g_k-g_d$, 针对其界函数的平方$l_f^2, l_g^2$设计学习律, 以估计值$\hat {l}_{f, \, k}, \hat{l}_{g, \, k}$修正控制输入$u_k$.第2节设计重复控制算法, 给出该算法稳定性与收敛性分析; 第3节通过仿真算例及电机实验结果表明该控制算法的有效性.

2.   RLC的设计与分析

针对系统$ (2)$, 设计带死区修正的学习律, 估计非线性不确定性的界函数, 进一步, 以获得的估计值设计重复学习控制器, 从而实现跟踪误差收敛于给定的邻域.

定义死区函数

其中, $\epsilon$为给定常数.

考虑Lyapunov函数$V_k = \frac{1}{2}d_k{\pmb e}_k^{\rm T}P{\pmb e}_k$, 由于矩阵$A$稳定, 因此必然存在对称正定矩阵$P\in {\bf R}^{n\times n}$, 满足$A^{\rm T}P+PA=-Q$, 其中, $Q\in {\bf R}^{n\times n}$为给定的对称正定矩阵.根据式$ (7)$, 对$V_k$求导,

依据假设2, 整理式$ (9)$得

其中, $l_f, l_g$为未知参数.

基于式$ (10)$, 设计如下控制律

其中, $\hat u_k, \hat l_{f, k}, \hat l_{g, k}$分别为$u_d, l_f^2, l_g^2$的估计.

设计如下学习律

其中, $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3>0$为学习增益, $\hat u_{-1}=0, \hat l_{f, -1}=0, \hat l_{g, -1}=0$.

注3.  设计带死区修正的学习律(12)~(14), 1)避免了系统在有限时间运行后, 跟踪误差在零点附近不断累加导致被学习参数发散; 2)当跟踪误差${\pmb e}_k$进入误差带$\epsilon$后, $\hat u_k$, $\hat l_{f, k}$, $\hat l_{g, k}$将不再进行参数估计.

注4.  文献[20]中对于满足Lipschitz条件的非线性函数, 要求其界函数已知, 但实际系统往往难以精确获得其界函数, 这将影响系统的控制性能.本文通过带死区修正的学习律(13)和(14)对该界函数的平方进行估计, 使得所设计的控制算法较少地依赖于系统本身, 从而更适合应用于实际系统.

将式$ (11)$代入式$ (10)$得:

其中, $\tilde u_{k} = u_d -\hat u_k, \tilde l_{f, k} = l_f^2 -\hat l_{f, k}, \tilde l_{g, k} = l_g^2 -\hat l_{g, k}$分别为$u_d, l_f^2, l_g^2$的误差.

下面基于式$ (15)$, 分析重复学习控制算法的稳定性与收敛性, 并总结为如下定理.

定理1.  针对系统$ (2)$, 满足假设1和2, 选取控制律$ (11)$与学习律(12)~(14), 保证对所有$k=\{0, 1, 2, \cdots\}, $$\int_0^T \hat u_{k}^2(s){\rm d}s$, $\int_0^T \hat l_{f, k}^2(s){\rm d}s$, $\int_0^T \hat l_{g, k}^2(s){\rm d}s$有界, ${\pmb e}_k(t)$在$t\in[0, T]$上有界, 且$\lim_{k\rightarrow \infty}d_k\|{\pmb e}_k\|^2ds=0$, ${\pmb e}_k(t)$收敛于$[-\epsilon, \ \epsilon]$.

证明  选取非负函数$L_k(t) = V_k(t) + \frac{1}{2\gamma_1} \int_0^t g_d\tilde u_k^2(s) {\rm d}s +\frac{1}{2\gamma_2} \int_0^t \tilde{l}_{f, k}^2(s) {\rm d}s + \frac{1}{2\gamma_3} \int_0^t \tilde{l}_{g, k}^2(s) {\rm d}s $.运用关系式$ (a-b)^2-(a-c)^2 = (b-c)(b+c-2a)$得,

根据关系式(16)~(18), $L_k(t)$与$L_{k-1}(t)$的差为

根据式$ (15)$, 整理$V_k(t)$,

将式$ (20)$及学习律(12)~(14)代入式$ (19)$,

由于$V_k(0) = V_{k-1}(T)$, 式$ (21)$中令$t=T$,

由式$ (22)$知, 若$L_0(T)$有界, 则$L_k(T)$有界.

下面对$L_0(T)$的有界性进行分析.根据$L_k(t)$的定义知:

对式$ (23)$求导, 根据式$ (15)$得:

由式(12)~(14)知, $\hat u_0 = -d_0\gamma_1 {\pmb b}^{\rm T}P{\pmb e}_0$, $\hat l_{f, 0}=d_0\gamma_2\frac{9}{4\lambda_Q}({\pmb b}^{\rm T}P{\pmb e}_0)^2$, $\hat l_{g, 0}=d_0\gamma_3\frac{9}{4\lambda_Q}\hat u_0^2({\pmb b}^{\rm T}P{\pmb e}_0)^2$, 整理式$ (24)$得,

因此, $L_0(t)$在$t\in [0, T]$上有界, 由式$ (22)$知$L_k(T)$有界, 根据$L_k(t)$定义知$V_k(T)$, $\int_0^T \hat u_k^2 {\rm d}s$, $\int_0^T \hat l_{f, k}^2{\rm d}s$, $\int_0^T \hat l_{g, k}^2{\rm d}s$有界.由式$ (21)$知:

因此, $\forall k=\{0, 1, 2, \cdots\}$, $L_k(t)$在$t\in[0, T]$上有界; 由$L_k(t)$的定义知, $V_k(t)$在$t\in[0, T]$上有界; 由$V_k(t)$的定义知, ${\pmb e}_k(t)$在$t\in[0, T]$上有界.

由式$ (22)$知, 对于任意$K>1$,

由于$L_k(T), k=\{0, 1, 2, \cdots\}$有界, 因此当$k\rightarrow \infty$时, $\int_0^T d_k\|{\pmb e}_k\|^2{\rm d}s=0$, ${\pmb e}_k(t)$收敛于由死区界定的邻域$[-\epsilon, \epsilon]$.

注5.  定理1对界函数的平方$l_f^2, l_g^2$及期望控制输入$u_d$采用带死区修正的估计律, 设计重复学习控制器, 在仅仅已知$g_{\rm min}$的情况下, 实现了跟踪误差收敛于邻域$[-\epsilon, \ \epsilon]$.

3.   仿真与实验

为了验证文中提出的控制算法的有效性, 第3.1节对小车倒摆系统进行仿真; 第3.2节在电机平台上实现该控制算法, 并给出实验结果.

3.1   仿真算例

小车倒摆系统可由系统$ (1)$描述, 其中

这里, $n=2$, $x_1$为倒摆杆的角位移, $x_2$为倒摆杆的角速度, $u$是控制输入; $g_0=9.8\, {\rm m/s}$为重力常数; $M=1.0\, {\rm kg}, m=0.1\, {\rm kg}$分别为小车和倒摆杆的质量; $l=0.5\, {\rm m}$为摆杆长度的一半.给定参考轨迹为$x_d(t)=0.1\, {\rm sin} (2\pi t)$, $\dot x_d(t)=0.2\pi {\rm cos} (2\pi t)$.系统初始状态设为$x_1(0)=0, x_2(0)=0.2\pi$, 非线性函数$g(x, t)$的下界为$g_{{\rm min}} =1.39$.分别选取矩阵$A, Q$为

解Lyapunov方程$A^{\rm T}P+PA=-Q$得:

采用重复学习控制器$ (11)$, 学习律(12)~(14), 其中控制器参数分别为$\gamma_1=25, \gamma_2=10, \gamma_3=10, \epsilon = 10^{-4}$.定义性能指标$J_k=\max_{t\in[0, T]}|x_{d, 1}-x_{k, 1}|$.系统运行28个周期, 仿真结果如图 1~5所示. 图 1刻画了性能指标$J_k$, 由图 1知随着迭代次数的增加, 系统跟踪误差逐步收敛. 图 2给出第28次迭代的控制输入$u_k$. 图 3给出参考输入的估计$\hat u_k$的变化过程. 图 4与图 5分别为界函数平方的估计$\hat l_{f, \, k}, \hat l_{g, \, k}$在28次迭代中的变化情况.

图 1  误差性能指标$J_k$

Fig. 1  Error performance index $J_k$

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图 2  第28次迭代的控制输入$u_k$

Fig. 2  The control input $u_k$ at the 28th iteration

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图 3  参考输入估计$\hat u_k$

Fig. 3  Estimate $\hat u_k$

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图 4  界函数估计$\hat l_{f, \, k}$

Fig. 4  Estimate of the bound function $\hat l_{f, \, k}$

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图 5  界函数估计$\hat l_{g, \, k}$

Fig. 5  Estimate of the bound function $\hat l_{g, \, k}$

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3.2   实验结果

交流电机实验平台, 包括旋转电机(APM-SBN01AGN, 额定功率100 W, 额定电压200 V, 额定转速3 000 r/s); 光电增量编码器(分辨率24 000线/转); 智能伺服驱动(ELMO HAR-5/60-3); DSP控制器(SEED-DEC2812V2.1开发板)及上位机(DELL计算机).上位机通过CCS STUDIO将编译好的程序下载至DSP开发板, 通过D/A模块转换为伺服驱动ELMO所需的模拟信号($\pm$10 V电压), 将该模拟信号传入ELMO驱动器获得PWM三相电压驱动电机, 同时ELMO通过光电增量编码器接收电机信号, 将该信号通过反馈通道输出至DSP开发板形成闭环控制系统.

给定参考轨迹

其中, 正弦信号的频率$f=2\, {\rm Hz}$.分别选取矩阵$A, Q$为

解Lyapunov方程得:

采用控制律$ (11)$, 学习律(12)~(14), 其中参数分别为$\gamma_1=3, \gamma_2=10^{-12}, \gamma_3=10^{-12}, \epsilon = 0.3, 1/g_{\rm min}=0.001$, 采样时间$t=1\, \rm{ms}$.定义$e=[e_1~~ce_2]^{\rm T}$, 其中$c=0.01$.实验结果如图 6~11所示.

图 6  误差性能指标$J_k$

Fig. 6  Error performance index $J_k$

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图 7  位置跟踪误差$e_1$

Fig. 7  Position tracking error $e_1$

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图 8  控制输入$u_k$

Fig. 8  Control input $u_k$

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图 9  参考输入的估计$\hat u_k$

Fig. 9  Control input $\hat u_k$

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图 10  界函数估计$\hat l_{f, \, k}$

Fig. 10  Estimate of the bound function $\hat l_{f, \, k}$

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图 11  界函数估计$\hat l_{g, \, k}$

Fig. 11  Estimate of the bound function $\hat l_{g, \, k}$

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图 6刻画了位置跟踪误差的性能指标在17次迭代过程中的变化情况, 在第14次迭代以后误差保持在0.3邻域内. 图 7给出系统的位置跟踪误差. 图 8为控制输入$u_k$. 图 9描述了参考输入的估计$\hat u_k$, 由图 8和9知, 随着迭代次数的增加, $\hat u_k$逐步逼近控制输入$u_k$. 图 10和11分别给出界函数平方的估计$\hat l_{f, \, k}$, $\hat l_{g, \, k}$.由实验结果知, 针对交流电机采用重复学习控制律, 随着迭代次数的增加, 能够保证跟踪误差收敛于死区界定的邻域.

为了进一步说明本文所提方法的有效性, 下面采用文献[20]中所提方法设计控制器$ (31)$, 并给出对比的实验结果.

其中, $l_f^2$与$l_g^2$为已知参数.

设计期望控制的学习律为

选用参考轨迹$ (28)$, 采样时间为$1\, {\rm ms}$.选取式$ (29)$中的矩阵$A, Q, $则矩阵$P$为式$ (30)$.

1) 选取不同的学习增益进行对比.控制器$ (31)$的参数为$\gamma=3, 4, 5, l_f^2=l_g^2=1.8, 1/g_{\rm min}=0.001$; 基于重复学习方法所设计的控制器$ (11)$的参数为$\gamma_1=3, \gamma_2=10^{-12}, \gamma_3=10^{-12}, \epsilon = 0.3, 1/g_{\rm min}=0.001$.实验结果如图 12~14所示.

图 12  误差性能指标$J_k$ (其中三条虚线为控制器(31)的实验结果, 实线为控制器(11)的实验结果

Fig. 12  Error performance index $J_k$ (the three dotted lines are the result by controller (31), the solid line is the result by controller (11))

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图 13  控制输入$u_k$ (其中三条虚线为控制器(31)的实验结果, 实线为控制器(11)的实验结果)

Fig. 13  Control input $u_k$ (the three dotted lines are the result by controller (31), the solid line is the result by controller (11))

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图 14  参考输入的估计$\hat u_k$ (其中三条虚线为控制器(31)的实验结果, 实线为控制器(11)的实验结果)

Fig. 14  Control input $\hat u_k$ (the three dotted lines are the result by controller (31), the solid line is the result by controller (11))

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2) 选取不同的$g_{\rm min}$进行对比.控制器$ (31)$的参数为$\gamma=3, l_f^2=l_g^2=1.8, g_{\rm min}=1\, 000$, 1 250, 1 500;基于重复学习方法所设计的控制器$ (11)$的参数为$\gamma_1=3, \gamma_2=10^{-12}, \gamma_3=10^{-12}, \epsilon = 0.3, 1/g_{\rm min}=1\, 000$.实验结果如图 15~17所示.

图 15  误差性能指标$J_k$ (其中三条虚线为控制器(31)的实验结果, 实线为控制器(11)的实验结果)

Fig. 15  Error performance index $J_k$ (the three dotted lines are the result by controller $ (31)$, the solid line is the result by controller $ (11)$)

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图 16  控制输入$u_k$ (其中三条虚线为控制器(31)的实验结果, 实线为控制器(11)的实验结果)

Fig. 16  Control input $u_k$ (the three dotted lines are the result by controller (31), the solid line is the result by controller (11))

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图 17  参考输入的估计$\hat u_k$ (其中三条虚线为控制器(31)的实验结果, 实线为控制器(11)的实验结果)

Fig. 17  Control input $\hat u_k$ (the three dotted lines are the result by controller (31), the solid line is the result by controller (11))

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由图 12与图 15可以看出, 文献[20]所提的控制方法与本文所设计的控制方法, 均可用于处理非线性系统存在的非参数不确定性, 实现跟踪误差在有限时间区间上的收敛.本文所设计的控制器$ (11)$, 在仅已知$g_{\rm min}$的情况下, 并且不使用高控制增益与较大的先验值$g_{\rm min}$时, 与控制器$ (31)$相比, 具有较好的跟踪精度. 图 13和14, 图 16和17分别给出控制输入$u_k$及其估计$\hat u_k$的变化过程.由图 12、图 15知, 当控制器$ (31)$的控制增益$\gamma$与$g_{\rm min}$分别增大时, 其跟踪误差逐渐减小, 然而图 13和14表明, 其控制输入逐渐发散.

实验结果表明, 本文给出的重复学习控制算法, 在仅已知控制输入增益的最小值$g_{\rm min}$的情况下, 尽可能少地依赖于系统模型, 并且获得了良好的控制性能, 这一结果进一步验证了该方法的有效性.

4.   结论

本文研究一类不确定非线性系统的非参数不确定性问题, 并基于Lyapunov分析方法设计控制器.为了处理满足Lipschitz条件的非参数不确定性, 提出一种重复学习控制算法.该算法较少地依赖于系统模型, 在仅已知控制输入增益最小值$g_{\rm min}$的情况下, 通过对满足Lipschitz条件的界函数进行估计, 处理系统存在的非参数不确定性.文中采用带死区修正的学习律, 以避免参数的正向累加影响系统的收敛性.同时, 本文设计带死区的Lyapunov函数, 以保证跟踪误差收敛于给定的邻域及闭环系统所有信号的有界性.此外, 该控制方法能够处理与状态有关的非线性控制增益.进一步, 通过仿真与实验结果, 验证了本文所提控制方法的有效性.