Distortion Waveform m-sequence Dynamic Test Signal Modeling and Compressive Measurement for Electric Energy
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摘要: 为解决非线性动态负荷条件下，智能电能表的动态误差测试问题.本文首先将m序列算子作为映射算子，采用基于信号特性建模的方法，建立三相畸变波形m序列动态测试信号结构化参数模型.其次根据压缩检测（Compressed measurement，CM）理论，采用系统稳态优化的方法构造最优压缩检测测量矩阵，实现对动态测试功率信号电能量值的检测.仿真实验表明，压缩检测方法可以对畸变波形m序列动态测试信号进行电能量值的检测，检测算法的相对误差优于1×10-13.Abstract: To solve the problem of dynamic error measurement of smart energy meter under nonlinear dynamic loading conditions, firstly, we consider the m-sequence operator as a mapping operator and establish a structural model of three-phase distortion waveform m-sequence dynamic test signal using the method base on the load features. Then, according to compressive measurement, we construct the optimal measurement matrix by means of system steady-state optimization to realize the electrical energy measurement. Finally, numerical simulations are performed to prove the reliability of the compressed measurement (CM) method, the relative errors of the measurement algorithm being superior to 1×10-13.
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随着大功率电力电子装备的大量应用和智能电网中分布式新能源的引入, 电网中非线性动态负荷(例如, 电弧炉和高铁等)与新型电源的电流与功率等信号呈现出非稳态的动态特性.针对这类复杂随机特性信号条件下智能电能表的动态误差测试问题, 动态测试信号建模和伪随机信号电能量值的检测方法是两个必须解决的关键科学问题.
在测量控制领域的测试信号建模方面, 常用的确定测试激励信号模型有阶跃信号模型、周期斜坡信号模型和冲激脉冲信号模型.近年来提出了脉冲压缩编码测试信号[1]、多音激励信号[2]、chirp信号[3]、高斯脉冲信号[4]等多种确定信号模型, 分别用于超声气体流量测量、频域核辨识、宽频控制特性检测和加速度检测等领域.然而近年来伪随机测试激励信号的建模也引起了测量控制领域的重视, 例如, 徐立军等建立了双通道方波m序列的伪随机序列测试信号模型, 解决流量测量两通道的时延误差问题[5].
电网非线性动态负荷电能测试作为测量控制领域的重要分支, 近十年来国外学者的研究主要集中在稳态测试信号建模. 2007年Georgakopoulos等建立了非正弦条件下电压和电流测试信号模型, 用于仿真分析与实验测试电压与电流相位差、谐波与基波之间的初相角对电能表误差的影响[6]. 2009年, Cataliotti等研究采用非正弦测试信号模型, 仿真分析了功率因数、谐波次数对电能表误差的影响[7]. 2012年, Ferrero等分别建立了负载与电源的谐波信号模型, 仿真分析和实验测试了谐波干扰对电能表不确定度的影响[8].概括之, 已经提出的稳态电压、电流和功率测试信号, 只适用于测试电能表稳态误差, 不能解决电能表动态误差测试问题.
针对智能电能表动态误差测试问题, 近6年来, 国内学者在国际上率先开展了动态测试信号建模与电能表动态误差测试实验研究. 2010年陆祖良等建立了正弦包络、梯形包络的动态测试信号模型[9]; 同年, 李世松等建立了恒定包络的调相与调频动态测试信号模型[10]; 2014年王学伟等建立了OOK动态负荷电流信号的数学模型, 定义了模型的暂态、短时和长时的动态功率模态[11-12].这些动态测试信号模型具有功率波动性, 但是属于确定型周期动态测试信号模型, 然而, 电力动态负荷的重要特性是其具有随机波动性、准周期性和谐波特性, 而且电弧炉和高铁牵引负荷等具有近似于高斯分布的特性[13-14].显然, 已建立的动态测试信号模型不具有以上四种特性, 因而, 研究建立具有随机波动、准周期、谐波和高斯分布四种特性的动态测试信号模型十分必要.
在随机动态信号检测方面, 2010年, Davenport等发展了压缩感知(Compressed sensing, CS)理论, 提出压缩检测(Compressed measurement, CM)理论[15], 采用高斯测量矩阵对信号进行压缩采样, 在高斯白噪声下建立信号的二元假设检测模型, 实现对数字通信信号"0"或"1"的非重构检测识别. 2014年, Shafiul等分析了分布式发电系统的电压相量自相关函数具有稀疏性, 分别提出了间接和直接的CM方法对分布式发电系统进行状态估计, 实验结果表明CM方法可以在低采样率下实现状态估计[16]. 2015年, Du等采用CM方法检测轴承的振动信号, 提取信号特征, 实现机械故障诊断[17]. 2015年, Romero等根据光谱的先验知识, 构建循环Toeplitz测量矩阵, 采用CM方法实现宽带频谱感知[18].概括国内外相关研究成果, 目前, CM方法主要应用于检测或识别随机信号特征[19-24], 而不能实现对随机信号量值的准确检测, 国内外的文献中, 还未见随机动态条件下的电能量值检测算法.
针对上述研究现况, 本文研究基于信号特性的建模方法, 建立畸变波形m序列动态测试信号的结构化参数模型; 采用CM理论和系统稳态优化方法构造最优测量矩阵, 解决动态测试功率信号电能量值的准确检测问题.
1. 畸变波形m序列动态测试信号结构化模型
1.1 测试信号空间分解
实际电网中, 非线性动态负荷的电压、电流和功率三类信号都是功率有限信号, 在动态情况下, 电流和功率信号有无数种波形, 将三类信号的每一种波形作为空间中的一个元素$C_{1}$, 定义功率有限函数空间$C_{1}$如下:
定义 1. $C_{1}$函数空间
$C_{1} = \{f(x):f(x) \in L^{2}(R)\}$为功率有限函数空间, 也称为拓扑函数空间. $f(x)$表示电压、电流或功率信号.
在正常条件下, 由于电网电压信号具有稳态特性和周期特性, 定义$C_{1}$空间的周期函数子空间$C_{2}$, 表示电压信号的集合.
定义 2. $C_{2}$函数空间
$C_{2}=\{f_i(x):f_i(x)=f_i(x+T), f_i(x)\in L^{2}(R)\}$, $i=1, 2, \cdots, n$, 显然, $C_{2}$空间为确定性周期函数空间, $C_{2} \subset C_{1}$.
在动态负荷条件下, 负荷电流信号具有近似周期的非平稳随机特性, 定义$C_{3}$非平稳随机过程空间, 表示各种动态电流信号的集合.
定义 3. $C_{3}$函数空间
$C_{3}=\{g(x)f_i(x):f_i(x)\in L^{2}(R), |g(x)|>0\}$, $C_{3}$空间为非平稳周期随机过程函数空间, $C_{3} \subset C_{1}$.
本文采用空间算子映射方法, 构造m序列映射算子, 将$C_{3}$空间中畸变电流信号和功率信号映射至$C_{4}$空间中的畸变波形m序列动态测试电流信号和功率信号.
定义 4. $C_{4}$函数空间
$C_{4}=\{m(t)f_i(x):f_i(x)\in L^{2}(R), |m(t)|>0\}$, $C_{4}$空间为经过m序列算子映射后的动态测试信号空间, 为动态测试电流信号和动态测试功率信号的集合, $C_{4} \subset C_{3}$.
根据上述定义, 本文采用基于信号特性建模的方法, 针对非线性动态负荷信号的随机波动性, 准周期性、高斯分布特性和谐波特性、将信号进行空间分解和建模, 具体过程如图 1所示.
1.2 三相稳态电压、电流信号解析模型
将电网中三相稳态电压与电流表示如下:
$ \begin{align} &{ u}_k^{s}(t)=U_{k}\left[\sum\limits_{n=1}^{L_k} A_{kn} \sin(n\omega_{1} t+\phi_{kn})\right] \end{align} $
(1) $ \begin{align} &{ i}_k^{s}(t)=I_{k}\left[\sum\limits_{n=1}^{L_k} B_{kn} \sin(n\omega_{1} t+\varphi_{kn})\right] \end{align} $
(2) 其中, $k=a, b, c$表示三相, $U_k$和$I_k$分别表示电压与电流的基波幅度($A_{k1} = B_{k1} = 1$), $A_{kn}$和$B_{kn}$分别表示电压与电流的谐波相对幅度($n\neq1$), $n\omega_{1}$表示基波和谐波的频率, $\phi_{kn}$和$\varphi_{kn}$分别表示电压与电流的基波和谐波初相位, $\omega_{1}=2\pi f_1$表示角频率, $f_1$为电压与电流基波频率, $T=1/f_1$为周期.
定义 5. 任意工频周期窗函数$g(t)$
当$t\geq0$时, 在任意一个工频周期$T$上窗函数$g(t)$表示为
$ \begin{align} g(t-k'T) = \begin{cases} 1, &{ t \in \left[k'T, (k'+1)T \right]}\\ 0, &{t \notin \left[k'T, (k'+1)T \right]} \end{cases} \end{align} $
(3) 其中, $k'$是大于0的整数.
定义 6. 以周期$T$为单位截短时间, 截短周期电压和电流信号
$ \begin{align} &\sin \left(T_k^{u}(t, k')\right)=\notag\\ &\qquad g(t-k'T)U_{k}\sum\limits_{n=1}^{L_k} A_{kn} \sin(n\omega_{1}t+\phi_{kn})\\[2mm] \end{align} $
(4) $ \begin{align} &\sin \left(T_k^{i}(t, k')\right)=\notag\\ &\qquad g(t-k'T)I_{k}\sum\limits_{n=1}^{L_k} B_{kn} \sin(n\omega_{1} t+\varphi_{kn}) \end{align} $
(5) 整周期截取三相稳态电压和电流信号, 信号的时间序列向量如式(6)和式(7)所示
$ \begin{align} {\pmb u}_k^s=&\, [u_k^s(1), u_k^s(2), \cdots, u_k^s(N)]= \nonumber\\&\, [\sin T_k^{{u}}(t, 0), \sin T_k^{u}(t, 1), \cdots, \sin T_k^{{u}}(t, N\!-\!1)] \end{align} $
(6) $ \begin{align} {\pmb i}_k^s=&\, [i_k^s(1), i_k^s(2), \cdots, i_k^s(N)]= \nonumber\\&\, [\sin T_k^{{i}}(t, 0), \sin T_k^{i}(t, 1), \cdots, \sin T_k^{{i}}(t, N-1)] \end{align} $
(7) 1.3 非平稳周期m序列算子
在电力系统中, 动态负荷电流和功率信号是近似周期的非平稳随机过程, 具有随机波动、准周期、高斯分布和谐波四种重要的特性.因此, 本文基于该四种重要特性, 建立动态测试信号的模型; 而m序列伪随机信号也具有伪随机性, 准周期和游程高斯分布的特性[25], 多频正弦信号具有谐波特性; 结合两者的特性, 本文采用m序列算子的空间映射方法, 建立动态测试信号的结构化矩阵参数模型, 使模型能够有效地反映实际动态负荷的特性.
m序列全称为最长线性反馈移位寄存器序列, 该序列周期内可达到最大长度$N=2^j-1$, $j$为线性移位寄存器的级数.将m序列表示为$m(r)$, 根据m序列产生原理, 设$c_q=1$或$0$, $q=0, 1, \cdots, n $为m序列参数.将$m(r)$表示为
$ \begin{align} m(r)=&\ c_1m(r-1)\oplus c_2m(r-2)\oplus \cdots \oplus \nonumber\\&\ c_jm(r-j)=\sum\limits_{n=1}^{L_k}c_qm(r-q)({\rm mod}~2) \end{align} $
(8) 定义 7. m序列向量${\pmb M}$与算子$\mathit{m}$
$ \begin{align} {\pmb M}&=\left[m(1), m(2), \cdots, m(N)\right] \nonumber\\[1mm]\mathit{m}&=\left[m(1), m(2), \cdots, m(N)\right] \end{align} $
(9) 1.4 动态测试电流信号、功率信号结构化参数模型
将m序列算子作用于稳态电流信号, 得到畸变波形m序列动态测试电流信号, 表示如下:
$ \begin{align} {\pmb i}_k^d=&\ m{\pmb i}_k^s={\pmb M}\odot{\pmb i}_k^s=\nonumber\\&\ [m(1), m(2), \cdots, m(r), \cdots, m(N)] \odot\nonumber\\&\ [i_k^s(1), i_k^s(2), \cdots, i_k^s(r), \cdots, i_k^s(N)] =\nonumber\\&\ [i_k^d(1), i_k^d(2), \cdots, i_k^d(r), \cdots, i_k^d(N)] \end{align} $
(10) 其中,
$ \begin{align} i_k^d(r)=&\ m(r)i_k^s(r)=I_km(r)\, \times\nonumber\\&\ \left[\sum\limits_{n=1}^{L_k}B_{kn}\sin (n\omega _1(t+(r-1)T)+\varphi _{kn})\right] \end{align} $
(11) 式(10)和式(11)称作三相畸变波形m序列动态测试电流信号的结构化参数模型.式(11)中, $m(r)$的参数$C_q$的取值和长度决定着动态测试电流包络的随机波动快慢, 准周期时间长度和高斯分布特性; 多频正弦信号$i_k^s(r)$的参数$n\omega _1$, $B_{kn}$, $\varphi _{kn}$分别表示基波和谐波的频率、幅度和相位.这表明本文建立的结构化参数模型不仅能够有效地反映动态负荷的四种重要特性, 而且具有明确的物理意义.
定义 8. ${\pmb E}_{N\times 1}'=\left[1, 1, \cdots, 1\right]^{\rm T}$为元素全1的列向量.
对${\pmb E}_{N\times 1}'$向量和式(10)中${\pmb i}_k^d$的向量作点积运算, 得到动态测试电流信号的连续时间解析函数
$ \begin{align} i_k^d(t)=&\ {\pmb i}_k^d\cdot {\pmb E}'=i_k^d(1)+i_k^d(2)+\cdots+i_k^d(N)=\nonumber\\ &\ m(1)\sin T_k^{i}(t, 0)+m(2)\sin T_k^{ i}(t, 1)\, +\nonumber\\&\ \cdots+m(N)\sin T_k^{i}(t, N-1) \end{align} $
(12) 将式(6)三相稳态电压向量和式(10)三相动态电流向量分别表示为矩阵形式
$ \begin{align} {\pmb u}^s=&\left[\begin{array}{c}{\pmb u}_a^s\\{\pmb u}_b^s\\{\pmb u}_c^s\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}u_a^s(1), u_a^s(2), \cdots, u_a^s(N)\\u_b^s(1), u_b^s(2), \cdots, u_b^s(N)\\u_c^s(1), u_c^s(2), \cdots, u_c^s(N)\end{array}\right] =\nonumber\\&\, \left[u^s(1), u^s(2), \cdots, u^s(N)\right] \end{align} $
(13) 其中, ${\pmb u}^s(r)=\left[u_a^s(r), u_b^s(r), u_c^s(r)\right]^{\rm T}$.
$ \begin{align} {\pmb i}^d=&\left[\begin{array}{c}{\pmb i}_a^d\\{\pmb i}_b^d\\{\pmb i}_c^d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}i_a^d(1), i_a^d(2), \cdots, i_a^d(N)\\i_b^d(1), i_b^d(2), \cdots, i_b^d(N)\\i_c^d(1), i_c^d(2), \cdots, i_c^d(N)\end{array}\right] =\nonumber\\&\, \left[i^d(1), i^d(2), \cdots, i^d(N)\right] \end{align} $
(14) 其中, ${\pmb i}^d(r)= [i_a^d(r), i_b^d(r), i_c^d(r) ]^{\rm T}$.
对式(6)和式(10)向量做Hardmand积运算可得三相瞬时动态功率, 用向量形式表示为
$ \begin{align} {\pmb p}_k^d=&\ {\pmb u}_k^s(r)\odot\ {\pmb i}_k^d(r)=\nonumber\\&\, \left[u_k^s(1)i_k^d(1), u_k^s(2)i_k^d(2), \cdots, u_k^s(N)i_k^d(N)\right] \end{align} $
(15) 再表示成函数矩阵形式
$ \begin{align} &\left[\begin{array}{c}{\pmb p}_a^d\\{\pmb p}_b^d\\{\pmb p}_c^d\end{array}\right] =\nonumber\\&\qquad \left[\begin{array}{ccc}u_a^s(1)i_a^d(1), u_a^s(2)i_a^d(2), \cdots, u_a^s(N)i_a^d(N)\\u_b^s(1)i_b^d(1), u_b^s(2)i_b^d(2), \cdots, u_b^s(N)i_b^d(N) \\u_c^s(1)i_c^d(1), u_c^s(2)i_c^d(2), \cdots, u_c^s(N)i_c^d(N)\end{array}\right] \end{align} $
(16) 式(16)称作三相瞬时动态功率的结构化参数模型, 将其表示为物理意义更明晰的三相功率之和形式
$ \begin{align} {\pmb p}^d(r)=&\ {\pmb u}^s(r)\odot {\pmb i}^d(r)=\nonumber\\&\, [({\pmb u}_a^s(r))^{\rm T}, ({\pmb u}_b^s(r))^{\rm T}, ({\pmb u}_c^s(r))^{\rm T}]\left[\begin{array}{c}{\pmb i}_a^d(r)\\{\pmb i}_b^d(r)\\{\pmb i}_c^d(r)\end{array}\right]=\nonumber\\&\ {\pmb p}_a^d(r)+{\pmb p}_b^d(r)+{\pmb p}_c^d(r) \end{align} $
(17) 为建立三相瞬时动态功率的函数矩阵与连续时间瞬时动态功率信号的关系, 可由式(6)和式(10)作点积运算, 得
$ \begin{align} p_k^d(t)=&\ {\pmb u}_k^s(r)({\pmb i}_k^d(r))^{\rm T}=\nonumber\\&\ u_k^s(1)i_k^d(1)\, +u_k^s(2)i_k^d(2)+\cdots\, +\nonumber\\&\ u_k^s(N)i_k^d(N)= U_kI_km(r)\, \times\nonumber\\&\left[\sum\limits_{n=1}^{L_k}A_{kn}\sin (n\omega _1(t+(r-1)T)\, +\phi _{kn})\right]\times \nonumber\\&\left[\sum\limits_{n=1}^{L_k}B_{kn}\sin (n\omega _1(t+(r-1)T)\, +\varphi _{kn})\right] \end{align} $
(18) 其中, $k=a, b, c$分别给出A, B和C三相瞬时动态功率测试信号的解析函数表示形式; $m(r)=1$, 表示瞬时功率的导通周期(有测试功率信号), $m(r)=0$, 表示瞬时功率的关断周期(无测试功率信号).
1.5 基于结构化参数模型的动态测试电流产生方案
根据式(1), (11), (17)稳态测试电压信号、动态测试电流信号和动态测试功率信号模型, 本文提出键控方式产生信号的方案如图 2.
图 2 产生畸变波形m序列动态测试信号的键控方案Fig. 2 Key-control scheme of distortion waveform m-sequence dynamic test signal图 2中, 稳态测试电压信号和电流信号由稳态功率源直接产生, 采用m序列作为键控信号控制可控硅开关的切换, 产生动态测试电流和功率信号.
根据图 2中提出的键控实现方案, 通过实验给出产生正弦m序列动态测试信号波形如图 3, 畸变m序列动态测试信号波形如图 4.
图 3和图 4表明, 基于结构化参数模型的动态测试信号键控实现方案可以产生动态测试电流信号; 键控实现方案既具有实现简单的特点, 而且还具有能够保证动态测试功率信号的单个导通周期内功率与稳态功率信号的工频周期内功率相等的突出优点.
2. 动态测试功率信号电能量值的压缩检测
2.1 压缩检测方法思路
传统的CS信号处理主要分为三个部分: 1)信号的稀疏化处理; 2)测量矩阵降采样; 3)高概率重构原始信号.本文在压缩检测过程中, 首先证明了动态测试功率信号在频域具有稀疏的特性, 可满足CM检测的条件, 由此建立电能量值压缩检测模型; 然后, 构造一种具有最小检测误差的CM测量矩阵, 采用非重构方法直接对动态测试功率信号进行处理, 实现对电能量值的准确检测, 避免了重构原始信号的复杂计算, 解决了动态测试功率信号电能量值的准确检测问题.
2.2 动态测试功率信号的稀疏性与压缩检测模型
本文以A相动态测试功率信号为例, 分析其稀疏性.设A相稳态电压为
$ \begin{align} u_a^{s}(t)=U_{a}\left[\sum\limits_{n=1}^{L_a} A_{an} \sin(n\omega_{1} t+\phi_{an})\right] \end{align} $
(19) A相动态电流由式(12)给出为
$ \begin{align} i_a^{d}(t)=&\ \sum\limits_{r=1}^{N} m(r)\sin T_k^{i}(t, r-1)=\nonumber\\&\ \sum\limits_{r=1}^{N}m(r)g(t-(r-1)T)\, \times\nonumber\\&\ I_a\left[\sum\limits_{n=1}^{L_a} B_{an}\sin(n\omega_{1} t+\varphi_{an})\right]=\nonumber\\&\ m(t)I_a\left[\sum\limits_{n=1}^{L_a} B_{an}\sin(n\omega_{1} t+\varphi_{an})\right] \end{align} $
(20) 根据有功功率定义, 每个工频周期的动态功率为
$ \begin{align} p_a^{d}(t)=&\, \left\langle u_a^{s}(t), i_a^{d}(t)\right\rangle=\notag\\ &\ \sum\limits_{n=1}^{Q}{U_{a}I_{a}m(t)\cos (\phi_{an}-\varphi_{an})}\, +\nonumber\\&\ \sum\limits_{n=1}^{M}{P_nm(t)\cos (n\omega_1t+ \theta_{n})}=\nonumber\\&\, \left[P_0+\sum\limits_{n=1}^{M}P_n\cos (n\omega_1t+ \theta_{n})\right]m(t) \end{align} $
(21) 其中, $Q=L_a$, $M=2L_a$. $P_n$与电压、电流谐波次数之差及之和等于$n$的系数$U_{an}$, $I_{an}$有关. $\theta_n$与电压、电流谐波次数之差及之和等于$n$的初相角$\phi_{an}$, $\varphi_{an}$有关.对式(21)中$p_a^d(t)$进行自相关函数分析
$ \begin{align} &R_{p^{d}}(\tau)=\frac{1}{T}\int_\frac{-T}{2}^ \frac{T}{2}P_a^d(t)P_a^d(t+\tau){\rm d}t=\nonumber\\&\qquad \frac{R_m(\tau)}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2}\bigg[P_0^2 +\sum\limits_{n=1}^{M}{P_nP_0\cos(n\omega_1t+\theta_{n})}\, +\nonumber\\&\qquad \sum\limits_{n=1}^{M}{P_nP_0\cos(n\omega_1(t+\tau)+ \theta_{n})}+ \sum\limits_{n=1}^{M}\big[P_n^2\, \times\nonumber\\&\qquad\cos(n\omega_1t+\theta_n) \cos(n\omega_1(t+\tau)+\theta_n)\big]\bigg]{\rm d}t=\nonumber\\ &\qquad R_m(\tau)P_0^2+\frac{R_m(\tau)}{T_0}\sum\limits_{n=1}^{M}\frac{P_n^2}{2}\cos(n\omega_1\tau) \end{align} $
(22) 根据功率谱密度与自相关函数的傅里叶变换对关系, 计算动态测试功率信号的功率谱密度函数
$ \begin{align} S_a^d(\omega)=&\ FT\left[R_{p^{d}}(\tau)\right]=\int_{-\infty}^{\infty} R_{p^{d}}(\tau){\rm e}^{-{\rm j}\omega\tau}{\rm d}\tau=\nonumber\end{align} $
$ \begin{align}&\ P_0^2S_m(\omega)+\sum\limits_{n=1}^{M}\frac{P_n^2}{4T}\big[S_m(\omega+n\omega_1)\, +\nonumber\\&\ S_m(\omega-n\omega_1)\big] \end{align} $
(23) m序列的功率谱密度函数为[25]
$ \begin{align} S_m(\omega)= &\ \frac{N+1}{N^2}Sa^2\left(\frac{\omega T}{2}\right)\times\notag\\&\ \sum\limits_{l=-\infty}^{\infty}\delta\left(\omega-\frac{\omega_ 1l}{N}\right)+\frac{1}{N^2}\delta(\omega) \end{align} $
(24) 其中, $l$表示非零整数, 将式(24)代入到式(23)中, 得到动态测试功率信号功率谱密度函数的最终表示形式
$ \begin{align} &S_a^d(\omega)=\nonumber\\ &\ P_0^2\left[\frac{N+1}{N^2}Sa^2\left(\frac{\omega T}{2}\right)\sum\limits_{l=-\infty}^{\infty}\delta\left(\omega-\frac{\omega_ 1l}{N}\right)\right.+\nonumber\\ &\ \left.\frac{1}{N^2}\delta(\omega)\right]+\sum\limits_{n=1}^{M}\frac{P_n^2}{4T} \left[\frac{N+1}{N^2}Sa^2\left(\frac{\omega+n\omega_1}{2}T\right)\right.\times\nonumber\\ &\ \sum\limits_{l=-\infty}^{\infty}\delta\left(\omega+n\omega_1-\frac{\omega _1l}{N}\right)+\frac{1}{N^2}\delta(\omega+n\omega_1)\, +\nonumber\\&\ \frac{N+1}{N^2}Sa^2\left(\frac{\omega -n\omega_1}{2}T\right)\sum\limits_{l=-\infty}^{\infty}\delta\Big(\omega-n\omega_1\, -\nonumber\\&\ \left.\frac{\omega _1l}{N}\Big)+\frac{1}{N^2}\delta(\omega-n\omega_1)\right] \end{align} $
(25) 由式(25)可知, 动态测试信号的功率谱为离散谱, 具有频域的稀疏性, 满足CM检测条件.将三相动态测试功率信号$p_k^d(t)$作为CM检测的原始信号, 首先将$p_k^d(t)$进行离散化, 采样频率为$f_s=N_s/T$, $N_s$表示工频周期内的信号采样点数.通过构造一种CM测量矩阵${\Phi}$对$p_k^d(t)$降维采样处理, 得到电能量值$E_k$. CM降维采样测量过程用数学模型表示为
$ \begin{align} E_k={{\Phi}}\cdot[P_k^d]^{\rm T}, \quad k=a, b, c \end{align} $
(26) 其中, $\Phi=[\phi(1), \phi(2), \cdots, \phi(N\times N_s)]$, $P_k^d=$ $[p_k^d(1)$, $p_k^d(2), \cdots, p_k^d(N\times N_s)]$.式(26)的物理意义是信号$P_k^d$通过一个线性系统.
2.3 结构化压缩感知测量矩阵的构造
为了构造电能量值的CM测量矩阵, 本节采用系统稳态优化的方法, 以最小检测误差为目标函数, 构建CM电能量值检测的最优测量矩阵.
从系统角度, 式(26)压缩检测模型的内积运算可以转换为卷积运算, 因此, 可得电能量值测量算法为
$ \begin{align} E_k=h\ast P_k^d \end{align} $
(27) 其中, $h=[h(r')]_{1\times N\times N_s}$.对式(27)进行傅里叶变换, 得电能量值测量算法频域形式
$ \begin{align} E(\omega)=p_k^d(\omega)H(\omega) \end{align} $
(28) 其中, $H(\omega)=FT[h(r')]$, $p_k^d(\omega)=FT[p_k^d(r')]$.当A相动态功率信号通过系统${\pmb h}$后, 输出信号的功率谱密度为
$ \begin{align} S_p(\omega)=S_a^d(\omega)H(\omega)H^*(\omega) \end{align} $
(29) 根据稳态优化算法, 确定优化变量为$H(\omega)$, 系统测量误差的频域目标函数和约束条件如下:
$ \begin{align} &J(\omega)= P_0^2S_m(w)H(\omega)H^*(\omega)\, -\nonumber\\&\qquad\quad\ \, S_a^d(\omega)H(\omega)H^*(\omega)=0 \nonumber\\&\, {\rm s.t.}\qquad E(\omega)\geq0\end{align} $
(30) 解式(30)可得
$ \begin{align} &J(\omega)=\nonumber\\&\qquad\sum\limits_{n=1}^{M}\frac{P_n^2}{4T} \left[\frac{N+1}{N^2}Sa^2\left(\frac{\omega +n\omega_1}{2}T\right)\right.\times\nonumber\\&\qquad\sum\limits_{l=-\infty}^{\infty}\delta\left(\omega+n\omega_1-\frac{\omega_1l}{N}\right)+\frac{1}{N^2}\delta(\omega+n\omega_1)\, +\nonumber\\&\qquad\frac{N+1}{N^2}Sa^2\left(\frac{\omega -n\omega_1}{2}T\right)\sum\limits_{l=-\infty}^{\infty}\delta\Big(\omega-n\omega_1\, -\nonumber\\&\qquad\left.\frac{\omega_ 1l}{N}\Big)+\frac{1}{N^2}\delta(\omega-n\omega_1)\right]|H(\omega)|^2=0 \end{align} $
(31) 其中, m序列的长度$N$为奇数, $(l/N)\neq0.5$.为了保证式(31)成立, $H(\omega)$应为离散谱函数, 因此, $H(\omega)$具有如下形式的通解:
$ \begin{align} H(\omega)=C'2\pi\delta(\omega)+C''\delta\left(\omega+ (l'+0.5)\omega_1\right) \end{align} $
(32) 其中, $l'$为整数.取$l'=0$, 得到$H(\omega)$的表达式为
$ \begin{align} H(\omega)=C'2\pi\delta(\omega)\, +C''\delta(\omega+ 0.5\omega_1) \end{align} $
(33) 对$H(\omega)$进行傅里叶逆变换, 得到时域表达式.
$ \begin{align} h(t)=C'+C''{\rm e}^{-{\rm j}0.5\omega_1t} \end{align} $
(34) 其中, $C'$, $C''$均为常数, 将其离散化, 得$h= [h(1)$, $h(2)$, $\cdots, h(r'), \cdots, h(N\times N_s) ]$.根据上述${h}$与$\Phi$的关系, 得到
$ \begin{align} \Phi=&\ [\phi(1), \phi(2), \cdots, \phi(r'), \cdots, \phi(N\times N_s)]=\nonumber\\&\ [h(N\times N_s), h(N\times N_s-1), \cdots, \nonumber\\&\ h(N\times N_s-r'), \cdots, h(1)] \end{align} $
(35) 其中, $\Phi$为具有最小检测误差的CM检测最优测量矩阵.
3. 仿真实验与算例分析
本文通过MATLAB仿真实验, 验证CM压缩检测方法对动态测试功率信号电能量值的测量准确性.
仿真过程中的采样频率$f_s=6$ kHz.稳态的多频电流和电压信号所包含的谐波分别来自文献[26]和IEC62052-11标准中的尖顶波和多个过电流零点波形, 三种波形的谐波成分由表 1~3给出.
谐波 电流幅值(%) 电压幅值(%) 1 100 100 3 10 10 5 2.6 4.0 7 1.9 3.2 9 0.5 2.8 表 2 IEC62052-11中尖顶波谐波成分Table 2 Harmonic components of peaked waveform in standard IEC62052-11谐波 电流幅值(%) 相位 电压幅值(%) 相位 1 100 0 100 0 3 3.8 0 30 180 5 2.4 180 18 0 7 1.7 0 14 180 11 1.1 0 9 180 13 0.8 180 5 0 表 3 IEC62052-11中多个过电流零点谐波成分Table 3 Harmonic components of multiple zero crossing current waveform in standard IEC62052-11谐波 电流幅值(%) 相位 电压幅值(%) 相位 1 100 0 100 0 3 0 0 $5\pm 1$ $90\pm2$ 5 0 0 $18\pm2$ $-160\pm2$ 7 0 0 $10\pm2$ $110\pm2$ 11 0 0 $66\pm3$ $130\pm2$ 13 0 0 $50\pm3$ $50\pm2$ 仿真产生的畸变m序列动态测试电流信号和功率信号如图 5所示(仅给出表 3中多个过电流零点谐波波形).
图 5 畸变波形m序列动态测试信号实验仿真图Fig. 5 Simulation of distortion waveform m-sequence dynamic test signal根据式(27), (34)和(35)给出的电能量值压缩检测算法, 在基波功率因数为1, 0.5, 0.8, m序列长度为255, 511, 1 023, 2 047, 以及表 1~3不同谐波条件下, 分别对电能量值压缩检测算法的相对误差进行分析.同时给出了仅含基波时电能量值压缩检测算法的相对误差.分析结果如图 6和图 7所示.
图 6 基波成分下电能量值的CM检测误差Fig. 6 CM measurement error of electrical energy with fundamental component
图 7 三种谐波成分下的电能量值CM检测误差Fig. 7 CM measurement error of electrical energy with fundamental and harmonic components由图 6和图 7可以看出, 在不同m序列长度、不同功率因数和多种谐波成分的影响下, 对于畸变波形m序列动态测试功率信号, 采用CM方法检测其电能量值的算法相对误差优于$1\times10^{-13}$.对比已有的稳态电能检测算法[12, 27], CM电能量值检测算法具有较高的准确度.
4. 结论
根据电网中实际负荷信号的四种重要特性, 本文采用伪随机序列算子映射与基于信号特性建模的方法, 提出了三相畸变波形m序列动态测试信号的结构化参数模型, 揭示了模型参数与实际负荷信号特性的联系.提出了基于上述结构化参数模型的动态测试信号的键控实现方案, 既实现简单, 还能够保证具有动态测试功率信号的单个导通周期内功率与稳态功率信号的工频周期内功率相等的突出优点; 实验证明了该方案的正确性.
采用稳态优化方法构造CM测量矩阵, 提出了畸变波形m序列动态测试功率信号电能量值的压缩检测模型和算法, 压缩检测算法的准确度优于$1$ $\times$ $10^{-13}$, 解决了随机动态电能量值的准确检测问题.
今后, 将进一步研究压缩感知伪随机动态测试信号模型和压缩感知匹配滤波信号检测模型, 实现对模型与测试方法的优化.
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图 2 产生畸变波形m序列动态测试信号的键控方案
Fig. 2 Key-control scheme of distortion waveform m-sequence dynamic test signal
图 5 畸变波形m序列动态测试信号实验仿真图
Fig. 5 Simulation of distortion waveform m-sequence dynamic test signal
图 6 基波成分下电能量值的CM检测误差
Fig. 6 CM measurement error of electrical energy with fundamental component
图 7 三种谐波成分下的电能量值CM检测误差
Fig. 7 CM measurement error of electrical energy with fundamental and harmonic components
谐波 电流幅值(%) 电压幅值(%) 1 100 100 3 10 10 5 2.6 4.0 7 1.9 3.2 9 0.5 2.8 
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表 2 IEC62052-11中尖顶波谐波成分
Table 2 Harmonic components of peaked waveform in standard IEC62052-11
谐波 电流幅值(%) 相位 电压幅值(%) 相位 1 100 0 100 0 3 3.8 0 30 180 5 2.4 180 18 0 7 1.7 0 14 180 11 1.1 0 9 180 13 0.8 180 5 0
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表 3 IEC62052-11中多个过电流零点谐波成分
Table 3 Harmonic components of multiple zero crossing current waveform in standard IEC62052-11
谐波 电流幅值(%) 相位 电压幅值(%) 相位 1 100 0 100 0 3 0 0 $5\pm 1$ $90\pm2$ 5 0 0 $18\pm2$ $-160\pm2$ 7 0 0 $10\pm2$ $110\pm2$ 11 0 0 $66\pm3$ $130\pm2$ 13 0 0 $50\pm3$ $50\pm2$
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