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摘要: 针对局部分割方法对初始轮廓敏感的问题，本文提出一种基于模糊主动轮廓的鲁棒局部分割方法.该方法利用图像的局部信息，定义一种新的平均模糊能量函数.通过对演化曲线进行形态学膨胀和腐蚀运算构建窄带，并在窄带范围内求解模糊能量函数的最小值来实现局部分割.为防止演化曲线陷入局部极小值，在迭代过程中加入对比度约束判断条件，进一步提高了分割方法对初始轮廓的鲁棒性.对合成图像和医学图像的分割实验结果表明，与已有的几种局部分割方法相比，本文方法在分割精度和鲁棒性等方面都有较大提高.Abstract: Since the local segmentation method is sometimes sensitive to the initial contour, a robust local segmentation method based on average fuzzy-energy based active contour is proposed in this paper. A new average fuzzy energy function is defined by using the local image information. In order to achieve local segmentation, the minimization of energy function is solved in a narrow band constructed by morphological dilation and erosion operations. A contrast constraint condition is added in the iterative process to prevent the curve from falling into local minimum, which can further improve the robustness of the segmentation model against initial contour. Experimental results on synthetic images and medical images show that, compared to several existing local segmentation methods, the proposed method has considerable improvement in segmentation accuracy and robustness.
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Key words:
- Fuzzy clustering /
- active contour /
- local segmentation /
- membership /
- contrast constraint
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图像分割是图像处理和计算机视觉领域的一项关键技术.基于能量最小化理论的主动轮廓模型 (Active contour model, ACM) [1]能有效利用图像的空间信息, 灵活处理曲线的拓扑变化, 获得平滑闭合的曲线[2], 吸引了国内外学者的广泛研究. Caselles等提出的测地线主动轮廓 (Geodesic active contours, GAC) [3]模型, 主要利用图像的梯度信息设计边缘停止函数, 容易受到噪声和灰度不均匀分布的干扰. Chan和Vese在2001年提出了Chan-Vese (CV) [4]模型, 能有效分割弱边界和模糊边界. 2002年, Vese和Chan又提出了分段光滑模型[5], 解决了CV模型不能正确分割灰度不均匀图像的问题, 但计算较为复杂. Li等提出的局部二值拟合 (Local binary fitting, LBF) [6]模型, 利用高斯核函数提取图像的局部信息, 对灰度不均匀图像有较好的分割效果. ACM已经成为一种有效的图像分割方法.
模糊聚类根据初始聚类中心和类别数, 在迭代过程中对目标函数进行优化求解, 并且按照某种相似性准则将像素点划分为不同的类, 也是图像分割的一种重要方法.其中, 模糊C均值 (Fuzzy C means, FCM) [7]聚类的应用最为广泛.模糊聚类能有效分析图像的灰度特征, 但受初始参数的影响较大, 对噪声比较敏感, 且缺乏平滑约束, 不能得到连续平滑的目标边界.
近年来, 将主动轮廓模型与模糊聚类方法有机结合, 实现两种方法的优势互补, 成为图像分割方法的一个研究方向.有学者将模糊聚类的分割结果经过运算转换为主动轮廓模型的初始曲线, 再利用主动轮廓模型进行后续精细分割. Chen等[8]先后使用FCM与GAC模型, 实现磁共振图像的分割, 但对聚类方法的初始参数敏感. Li等[9]将结合空间信息的模糊聚类[10]结果用于水平集函数[11]的初始化和参数控制, 实现了对医学图像的分割, 但对演化方程中的参数估计增加了运行时间. Alipour等[12]将基于空间核函数的模糊C均值聚类[13]的粗分割结果变换为二值初始轮廓, 再采用双循环活动轮廓模型[14]来提高曲线的演化速度.文献[15]中将模糊局部信息C均值聚类[16]与偏移校正水平集方法[17]结合, 提高了对噪声和灰度不均匀图像的分割能力, 但运算复杂度增加.这些混合模型的分割精度很大程度上依赖于模糊聚类的粗分割结果和转换函数, 如果得到的初始曲线与目标区域相差太远, 则可能导致最终分割失败.
此外, 有学者将模糊聚类与主动轮廓模型融合在一个能量函数中[18-22], 加强对分割方法的优化控制. Samson等[18]成功地将变分法应用到图像聚类中, 但分割结果对聚类中心和噪声敏感.谢振平等[19]将模糊聚类融入到CV模型中, 引入三种策略实现了这两类方法的融合, 但对灰度不均匀图像的分割能力不足. Krinidis等[20]将CV模型能量函数中的Heaviside函数替换为像素点属于目标的隶属度函数, 提出了基于模糊能量的主动轮廓 (Fuzzy energy-based active contour, FEAC) 模型.该模型对噪声和初始轮廓不敏感, 可以实现快速收敛, 但不能正确分割灰度不均匀图像.唐利明等[22]提出了基于变分水平集的模糊聚类分割模型, 实现了半监督的图像聚类分割, 但对噪声敏感; 随后, 提出了融合空间约束的模糊C均值聚类[23]与变分水平集的分割模型[24], 提高了对噪声图像的分割能力, 但受聚类数目的影响较大. Thieu等[25]设计了全局和局部线性加权的模糊高斯分布能量函数, 但分割结果依赖于加权系数的正确选取.文献[26-28]中, 将模糊理论引入到主动轮廓模型中设计新的能量形式或模糊速度函数, 实现对医学图像的分割.
局部分割是对图像中感兴趣的部分区域进行分割, 如磁共振脑图像中特定脑组织的分割, 肿瘤边界的提取等.基于ACM的局部分割方法[29-37]是在一定的窄带范围内, 利用图像的局部信息, 对窄带内像素点进行水平集函数的更新.本文在FEAC方法的基础上, 提出一种新的局部分割方法CC-AFAC (Contrast constraint and average fuzzy-energy based active contour).该方法利用形态学运算构建窄带, 并结合像素点的局部邻域信息, 定义平均模糊能量函数; 在迭代过程中, 直接通过能量函数的数值变化量来判断隶属度函数是否需要更新, 当不再小于零时得到最优解; 为了防止曲线陷入局部极小值而停止演化, 引入一个灰度对比度约束条件, 辅助判断是否达到目标边界, 可进一步提高本文方法对初始轮廓的鲁棒性.
本文剩余部分内容结构安排如下:第1节回顾几种典型的局部分割方法; 第2节详细介绍本文提出的基于模糊能量的局部分割方法; 第3节通过对合成图像与医学图像的分割实验来验证本文方法的有效性; 第4节对本文工作进行总结.
1. 几种典型的局部分割方法
1.1 基于局部区域的主动轮廓模型
Lankton等[29]提出的基于局部区域的主动轮廓 (Local region based active contour, LRAC) 模型提供了局部分割的通用框架, 任何基于区域的能量函数在局部范围内求解最小值, 可得到局部分割结果.
设图像 $I$ , 定义域为 $\Omega$ , $C$ 为闭合曲线.局部能量函数定义如下:
$ \begin{align} &E(\phi)=\notag\\ &\qquad \int_{\Omega }\delta (\phi(x))\int_{{\Omega}_{y}}B(x, y)F(I(y), \phi (y)){\rm d}y {\rm d}x +\notag \\ &\qquad \lambda \int_{\Omega }\delta (\phi(x))\left|\triangledown \phi (x)\right|{\rm d}x \end{align} $
(1) 其中, $\lambda$ 为一正常数, $\phi(x)$ 表示图像 $I$ 内任意一点 $x$ 到曲线 $C$ 的符号距离函数.第1项为数据项, $F(I(y), \phi(y))$ 表示任意基于区域信息的能量函数, 例如文献[29]中列举的UM (Uniform modeling)、 MS (Mean separation) 和HS (Histogram separation) 能量.第2项为闭合曲线 $C$ 的长度, $\delta(\phi)$ 为Heaviside函数的导数Dirac函数, 表达式为
$ \delta(\phi(x))=\begin{cases} 1, & \phi (x)=0 \\ 0, & \left |\phi (x) \right |>\varepsilon \\[1mm] \dfrac{1}{2\varepsilon }\left \{ 1+\cos\left [\frac{\pi \phi (x)}{\varepsilon } \right] \right \}, & \left |\phi (x) \right |<\varepsilon \end{cases} $
(2) 其中, $\varepsilon$ 是一个较小的正数, 用于微调 $\delta(\phi)$ 的取值, 通常选1.
式 (1) 中的 $B(x, y)$ 是一个取值为0或1的二值函数, 定义了中心像素点 $x$ 的邻域范围.例如, 以 $x$ 为中心、半径为 $r$ 的圆形区域表示为
$ B(x, y)=\begin{cases} 1, & \left \| x-y \right \|<r\\ 0, & \mbox{其他} \end{cases} $
(3) 局部UM能量的梯度下降流为
$ \begin{align} \frac{\partial \phi }{\partial t}=& \delta (\phi )\int_{\Omega _{y}}B(x, y)\delta (\phi )((I(y)-u_{x})^{2} -\\ & (I(y)-v_{x})^{2}){\rm d}y +\lambda \delta (\phi ){\rm div}\left(\frac{\bigtriangledown \phi }{\left | \bigtriangledown \phi \right |}\right) \end{align} $
(4) 其中, $y$ 为 $x$ 邻域内的点, $u_{x}$ 和 $v_{x}$ 为点 $x$ 的邻域 $B(x, y)$ 范围内曲线内和曲线外的灰度均值, 分别定义为
$ \begin{align} &u_{x}=\dfrac{\int_{\Omega _{y}} B(x, y)H(\phi (y))I(y){\rm d}y}{\int_{\Omega _{y}}B(x, y)H(\phi (y)){\rm d}y} \\[2mm] \end{align} $
(5) $ \begin{align} &v_{x}=\dfrac{\int_{\Omega _{y}} B(x, y)(1-H(\phi (y)))I(y){\rm d}y}{\int_{\Omega _{y}}B(x, y)(1-H(\phi (y))){\rm d}y} \end{align} $
(6) 由于每次迭代时都要将水平集函数重新初始化为符号距离函数, 增加了计算量, LRAC模型的运行时间较长.
1.2 自适应局部分割方法
Zhang等[31]提出的选择性二值高斯滤波正则化水平集 (Selective binary and gaussian filtering regularized level set, SBGF-RLS) 模型, 可根据初始轮廓的位置自适应性地进行局部分割或者全局分割.文献[31]中构建了符号压力函数 (Signed press-ure force, SPF)
$ spf(I(x))=\dfrac{I(x)-\dfrac{c_{1}+c_{2}}{2}}{\max\left(\left | I(x)-\dfrac{c_{1}+c_{2}}{2} \right |\right)}, \ \ x\in {\Omega } $
(7) 其中, $I$ 为图像, $\Omega$ 为图像区域, $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 分别是曲线内和曲线外部的灰度均值.对于灰度均匀图像, 在目标和背景区域, $spf$ 函数的符号总是相反的. $spf(I(x))$ 的符号决定了曲线演化的方向, 使得曲线在目标外部时向内收缩, 在目标内部时向外扩展.
曲线演化方程为
$ \frac{\partial \phi }{\partial t}=\alpha \left | \triangledown \phi \right |spf(I(x)) $
(8) 其中, $\alpha\geq0$ , 能够调整速度函数的幅度, 控制分割方法的收敛速度, 一般取20. $\phi$ 为近似符号距离函数, 在曲线内外取符号相反的常数. $|\nabla \phi|$ 为 $\phi$ 的梯度模值, 只在曲线内外附近不为零, 作为曲线演化的窄带范围.
$spf$ 函数利用了图像的全局灰度信息, 而对于灰度不均匀图像, $spf$ 函数的符号在目标和背景区域不一定总是相反的, 因此SBGF-RLS不能正确分割灰度不均匀图像.
1.3 基于二值水平集和形态学的局部分割方法
郑强等[32]提出的基于二值水平集和形态学 (Binary and selective morphological operation regularized level set, BSMO-RLS) 的局部分割方法, 将水平集函数初始化一个二值函数
$ \phi (x, t=0)=\begin{cases} -1, & x\in \Omega _{0}\\ 1, & x\in\Omega -\Omega _{0} \end{cases} $
(9) 其中, $\Omega_{0}$ 是闭合曲线 $C$ 内部或外部的区域.在迭代过程中, 更新后的 $\phi(x)$ 都要按照式 (9) 重新初始化为二值函数, 并采用形态学运算进行曲线平滑.
选取窄带 $|\nabla \phi|$ 内的像素点, 水平集函数 $\phi$ 按照下式演化
$ \frac{\partial \phi }{\partial t}=\int_{\Omega _{y}}B(x, y)((I(y)-u_{x})^{2}-(I(y)-v_{x})^{2}){\rm d}y $
(10) 其中, $x$ 为窄带内像素点, $B(x, y)$ 为以 $x$ 为中心的邻域范围, $y$ 为 $x$ 邻域内的点, $u_{x}$ 和 $v_{x}$ 分别是点 $x$ 邻域在曲线 $C$ 内、外的均值, 定义式与LRAC方法中相同.
BSMO-RLS方法利用图像的局部信息, 能够实现灰度不均匀图像的局部分割.
2. 本文方法
2.1 模糊能量函数的设计
设 $I$ 为待分割灰度图像, $C$ 为闭合曲线, 将图像 $I$ 分成 $inside(C)$ 和 $outside(C)$ 两部分. $u(x, y)$ 表示像素点 $(x, y)$ 隶属于目标内部的隶属度函数, $u(x, y)$ $\in$ $(0, 1)$ , 初始化为
$ \begin{cases} C = \left \{ (x, y)\in I:u(x, y)=0.5\right \}\\ inside(C)=\left \{ (x, y)\in I:u(x, y)=c_{0} \right \}\\ outside(C)=\left \{ (x, y)\in I:u(x, y)=1-c_{0} \right \} \end{cases} $
(11) 其中, $c_{0}$ 为 (0.5, 1) 之间的常数.
不考虑曲线的长度项, 局部平均模糊能量函数定义为
$ \begin{align} &F(C, f_{1}, f_{2}, u)= \notag\\ &\qquad\lambda _{1}\int_{N}\frac{\int_{R_{\rm in}}u^{2}\left | I(y)-f_{1}(x)\right |^{2}{\rm d}y}{s_{1}}{\rm d}x +\notag\\ &\qquad\lambda _{2}\int_{N}\frac{\int_{R_{\rm out}}(1-u)^{2}\left | I(y)-f_{2}(x)\right |^{2}{\rm d}y}{s_{2}}{\rm d}x \end{align} $
(12) 其中, $\lambda_{1}>0$ , $\lambda_{2}>0$ , 第1项、第2项分别为曲线 $C$ 内部、外部的局部平均模糊能量. $N$ 为参照文献[34]中采用形态学运算构建的窄带, 如图 1 (a) 所示.图中 $C$ 为演化曲线, $C_1$ , $C_2$ 分别为 $C$ 经膨胀和腐蚀之后的曲线, $C_1$ 与 $C_2$ 之间的区域即为窄带 $N$ . $C$ 与 $C_2$ 之间的区域表示为窄带 $N_{\rm in}$ , $C$ 与 $C_1$ 之间的区域表示为窄带 $N_{\rm out}$ .
以窄带 $N$ 内任意一点 $I_{0}(x, y)$ 为中心, 取边长为的方形区域即为该点的邻域 $R$ , 邻域半径为 $rad$ , 如图 1 (a) 中虚线方框所示. 图 1 (b) 为 $rad=2$ 时的邻域示意图, 正中间的像素点为点 $I_{0}(x, y)$ , 周围是其邻域内像素点.图中浅色和深色区域分别表示为邻域 $R_{\rm in}$ 和 $R_{\rm out}$ , 即 $R_{\rm in}=R$ $\cap$ $N_{\rm in}$ , .
式 (12) 中, $f_{1}(x)$ 和 $f_{2}(x)$ 分别表示窄带内一点$x $在和 $R_{\rm out}$ 内的平均灰度值, $s_{1}$ 和 $s_{2}$ 分别为邻域和 $R_{\rm out}$ 内像素点隶属度值的平方和, 即 $s_{1}$ $=$ $\sum_{R_{\rm in}}{u^{2}}$ , $s_{2}=\sum_{R_{\rm out}}{(1-u)^{2}}$ .
如果保持 $u(x, y)$ 不变, $s_{1}$ , $s_{2}$ 可看作常数.通过对能量函数 $F(C, f_{1}, f_{2}, u)$ 分别求关于 $f_{1}(x)$ , $f_{2}(x)$ 的最小值, 可得
$ \begin{align} &f_{1}(x)=\dfrac{\int_{R_{\rm in}}[u(x, y)]^{2}I(y){\rm d}y}{\int_{R_{\rm in}}[u(x, y)]^{2}{\rm d}y} \end{align} $
(13) $ \begin{align} &f_{2}(x)=\dfrac{\int_{R_{\rm out}}[1-u(x, y)]^{2}I(y){\rm d}y}{\int_{R_{\rm out}}[1-u(x, y)]^{2}{\rm d}y} \end{align} $
(14) 如果保持 $f_{1}(x)$ 和 $f_{2}(x)$ 不变, 可以求得 $F(C$ , 关于隶属度函数 $u(x, y)$ 的最小值.由于点处的隶属度 $u(x, y)$ 在 $s_1$ 或 $s_2$ 中只被计算一次, 而邻域内其他像素点的隶属度与对 $u(x, y)$ 的求导无关.因此, 为简化运算, 将 $s_{1}$ , $s_{2}$ 看作常数, 求得 $u(x, y)$ 的更新公式
$ \begin{align} u(x, y)=\frac{T_{2}}{T_{1}+T_{2}} \end{align} $
(15) 其中,
$ \begin{align} &T_{1}=\lambda _{1} \dfrac{\int_{R_{\rm in}}[I(y)-f_{1}(x)]^{2}{\rm d}y}{s_{1}}\end{align} $
$ \begin{align} &T_{2}=\lambda _{2}\dfrac{\int_{R_{\rm out}}[I(y)-f_{2}(x)]^{2}{\rm d}y}{s_{2}}\end{align} $
2.2 模糊能量函数的数值分析
在迭代过程中, 我们不求解Euler-Lagrange方程, 而是直接计算任一点的隶属度函数发生变化时所引起的模糊能量变化量, 由此寻找能量不再减小的最优解.根据文献[20-21]中的分析, 考虑窄带范围内的一个像素点$P $, 其灰度值为 ${I}_{o}$ , 隶属度为 ${u}_{o}$ .假设在迭代过程中只有点$P $的隶属度从 ${u}_{o}$ 变为 ${u}_{n}$ , 则 $f_{1}(x)$ 和 ${f}_{2}(x)$ 也会发生改变, 更新后的值分别用 $\tilde{f}_{1}(x)$ 和 $\tilde{f}_{2}(x)$ 表示.按照式 (13), 得
$ \begin{align} \tilde{f}_{1}(x)=&\ \dfrac{\sum\limits_{R_{\rm in}}[\tilde{u}(x, y)^{2}]I(y)}{\sum\limits_{R_{\rm in}}[\tilde{u}(x, y)]^{2}}=\\[2mm] &\ \dfrac{\sum\limits_{R_{\rm in}}[u(x, y)]^{2}I(y)+u_{n}^{2}I_{o}-u_{o}^{2}I_{o}}{\sum\limits_{R_{\rm in}}[u(x, y)]^{2}+u_{n}^{2}-u_{o}^{2}}=\\[2mm] &\ \dfrac{s_{1}f_{1}(x)+I_{o}(u_{n}^{2}-u_{o}^{2})}{s_{1}+u_{n}^{2}-u_{o}^{2}}=\\[2mm] &\ f_{1}(x)+\dfrac{u_{\triangle m}[I_{o}-f_{1}(x)]}{s_{1}+u_{\triangle m}} \end{align} $
(16) 其中, $u_{\triangle m}=u_{n}^{2}-u_{o}^{2}$ .
同理, 按照式 (14), 可得
$ \begin{align} \tilde{f}_{2}(x)=f_{2}(x)+\dfrac{v_{\triangle m}[I_{o}-f_{2}(x)]}{s_{2}+v_{\triangle m}} \end{align} $
(17) 其中, $v_{\triangle m}=(1-u_{n})^{2}-(1-u_{o})^{2}$ .
同样, 式 (12) 定义的模糊能量也会发生变化.设新的能量函数值为 $\tilde{{F}}$ , 表示为
$ \begin{align} \tilde{F}=&\ \lambda_{1}\sum\limits_{N}\dfrac{\sum\limits_{R_{\rm in}}[\tilde{u}(x, y)]^{2}\left | I(y)-\tilde{f}_{1}(x) \right |^{2}}{\tilde{s}_{1}}~+\\[2mm] &\ \lambda_{2}\sum_{N}\dfrac{\sum\limits_{R_{\rm out}}[1-\tilde{u}(x, y)]^{2}\left | I(y)-\tilde{f}_{2}(x) \right |^{2}}{\tilde{s}_{2}}=\\[2mm] &\ \lambda_{1}\sum\limits_{N}\tilde{A}+\lambda_{2}\sum\limits_{N}\tilde{B} \end{align} $
(18) 其中,
$ \begin{align*} &\tilde{A}=\dfrac{\sum_{R_{\rm in}}[\tilde{u}(x, y)]^{2}\left | I(y)-\tilde{f}_{1}(x) \right |^{2}}{\tilde{s}_{1}}\end{align*} $
$ \begin{align*} &\tilde{B}=\dfrac{\sum_{R_{\rm out}}[1-\tilde{u}(x, y)]^{2}\left | I(y)-\tilde{f}_{2}(x) \right |^{2}}{\tilde{s}_{2}}\end{align*} $
由于 $\tilde{A}$ 的分子与文献[20]中 (A6) 形式相同, 根据文献[20]中的推导结果, 可得
$ \begin{align} &\sum_{R_{\rm in}}[\tilde{u}(x, y)]^{2}\left | I(y)-\tilde{f}_{1}(x) \right |^{2} =\\ &\qquad \sum_{R_{\rm in}}[u(x, y)]^{2}\left | I(y)-f_{1}(x) \right |^{2}+\\[2mm] &\qquad \frac{s_{1}u_{\triangle m}}{s_{1}+u_{\triangle m}}|I_{o}-f_{1}(x)|^{2} \end{align} $
(19) 把上式代入 $\tilde{A}$ 的表达式, 可得
$ \begin{align} \tilde{A}=&\ \dfrac{\sum\limits_{R_{\rm in}}[u(x, y)]^{2}\left | I(y)-f_{1}(x) \right |^{2}}{s_{1}+u_{\triangle m}}~+\\[2mm] &\ s_{1}\frac{u_{\triangle m}|I_{o}-f_{1}(x)|^{2}}{(s_{1}+u_{\triangle m})^2} \end{align} $
(20) 因此,$A $的变化量为
$ \begin{align} \triangle A=&\ \tilde{A}-\dfrac{\sum\limits_{R_{\rm in}}[u(x, y)]^{2}\left | I(y)-f_{1}(x)\right |^{2}}{s_{1}}= \\[2mm] & -\dfrac{u_{\triangle m}\sum\limits_{R_{\rm in}}[u(x, y)]^{2}\left | I(y)-f_{1}(x)\right |^{2}}{s_{1}(s_{1}+u_{\triangle m})}~+\\[2mm] &\ \dfrac{s_{1}u_{\triangle m}\left | I_{o}-f_{1}(x)\right |^{2}}{(s_{1}+u_{\triangle m})^2} \end{align} $
(21) 同理, 可得
$ \begin{align} \triangle B=& -\frac{v_{\triangle m}\sum\limits_{R_{\rm out}}[1-u(x, y)]^{2}\left | I(y)-f_{2}(x)\right |^{2}}{s_{2}(s_{2}+v_{\triangle m})}~+\\[2mm] &\ \dfrac{s_{2}v_{\triangle m}\left | I_{o}-f_{2}(x)\right |^{2}}{(s_{2}+v_{\triangle m})^2} \end{align} $
(22) 综上所述, 总能量 $F$ 的变化量为
$ \begin{align} \triangle F=\lambda _{1}\sum_{N}\triangle A+\lambda _{2}\sum_{N}\triangle B \end{align} $
(23) 其中, $\triangle F$ 表示总能量 $\tilde{F}$ 和 $F$ 的差值.如果 $\triangle{F}$ $<$ $0$ , 则 $\tilde{F}<F$ , 说明点 $P$ 的隶属度由 $u_{o}$ 变为 $u_{n}$ 使得总能量减小.因此, 将点 $P$ 的隶属度更新为 $u_{n}$ , 否则保持 $u_{o}$ 不变.
2.3 分割方法的实现步骤
为了进行局部目标分割, 我们将初始轮廓置于待分割目标的内部, 曲线由内向外演化.由于图像的灰度不均匀分布和初始轮廓的不同位置, 曲线有时会在未达边界时停止演化, 能量陷入局部极小值, 导致分割不完全.针对这个问题, 考虑到一般情况下, 边界处像素点的内外邻域均值的差值 $|f_{1}(x)$ - $f_{2}(x)|$ 要比目标内部像素点的差值大.因此, 借鉴文献[38-39]的方法, 在分割方法中引入一个对比度约束条件, 判断像素点的 $|f_{1}(x)-f_{2}(x)|$ 是否达到一个阈值 $\beta$ .其中 $x$ 为像素点, $\beta$ 为一个小的正数.如果 $|f_{1}(x)-f_{2}(x)|<\beta$ 成立, 则认为曲线 $C$ 还没有到达真实的目标边缘, 应该继续演化, 所以将 $x$ 点的隶属度设为 $c_{0}$ .
本文提出的基于平均模糊能量的局部分割方法具体实现步骤如下:
步骤1. $c_{0}$ 取0.6, 初始轮廓 $C$ 置于待分割目标的内部, 按照式 (11) 将隶属度函数 $u(x, y)$ 初始化为二值函数:在曲线 $C$ 内部为0.6, 曲线 $C$ 外部为0.4.
步骤2. 对曲线 $C$ 进行形态学膨胀和腐蚀运算, 构建窄带.对窄带内的像素点取方形邻域, 分别按照式 (13) 和式 (14) 计算均值函数 $f_{1}(x)$ 和 $f_{2}(x)$ .
步骤3. 假设窄带内某像素点灰度值为 $I_{o}$ , 相应的隶属度值为 $u_{o}$ .按照式 (15) 求新的隶属度 $u_{n}$ , 利用式 (23) 求解总能量差 $\triangle F$ .如果 $\triangle F <0$ , 将该点的 $u_{o}$ 替换为 $u_{n}$ , 否则保持 $u_{o}$ 不变.
步骤4. 用Jacobi迭代方法重复步骤3, 遍历窄带内的所有像素点.
步骤5. 对窄带内的所有像素点判断对比度约束条件, 如果 $|f_{1}(x)-f_{2}(x)|<\beta$ , 则将其隶属度值设为0.6.
步骤6. 按下式将隶属度函数重新初始化为二值函数
$ \begin{align} u(x, y)=\begin{cases} 0.6, & u(x, y)>0.5\\ 0.4, & u(x, y)<0.5 \end{cases} \end{align} $
(24) 步骤7. 通过形态学闭运算对曲线进行平滑, 保留向外的凸角.
步骤8. 重复步骤2 $\sim$ 7, 直到不再小于零.
3. 实验结果分析
我们采用合成图像和医学图像对所提出的模型进行验证, 实验环境为Intel (R) Core (TM) 3.4 GHz CPU, 16.0 GB RAM, Matlab R2010a.实验中 $\lambda_{1}$ $=$ $1$ , $\lambda_{2}=1$ .除个别图像外, 窄带构建和曲线平滑时的形态学运算分别采用半径为1和3的圆盘型结构元素.邻域半径 $rad$ 以及对比度约束值 $\beta$ 要根据不同图像的大小和灰度分布特征分别设定. %所有实验结果图中, 绿色曲线均为初始轮廓, %红色曲线为达到稳定状态时的分割结果.我们将对 $rad$ 和 $\beta$ 两个参数的取值对分割结果的影响进行讨论, 并将本文方法与LRAC [29]、SBGF-RLS [31]以及BSMO-RLS [32]方法在局部分割效果、对初始轮廓灵敏度、弱边缘分割等方面进行比较分析.
3.1 邻域半径对分割结果的影响
对窄带内的像素点取方形邻域时, 邻域半径的大小决定了图像局部信息量的多少, 同时也会影响分割方法的收敛速度. 图 2是不同 $rad$ 时对两幅图像Case 1和Case 2的局部分割结果, $\beta=2$ .其中, 图 2 (a) $\sim$ 2 (d) 分别对应 $rad$ 取1、2、3和6时对合成图像Case 1中环形目标的分割结果, 图 2 (e) $\sim$ 2 (h) 分别为 $rad$ 取1、2、3和5时对磁共振 (Magnetic resonance, MR) 脑图像中壳核的分割结果.
从图 2可以看出, 当 $rad$ 的值较小时, 曲线在目标内部停止演化, 分割不完全 (如图 2 (a)、图 2 (b) 和图 2 (e) 所示).这时, 由于邻域的范围太小, 像素点的邻域内外均值相差不大, 的值很小甚至为0, 因此只有小部分像素点的隶属度值发生变化.随着 $rad$ 的值继续增大, 邻域范围逐渐扩大.对于Case 1, 当 $rad=3$ 时, 邻域内像素点的灰度变化能够促使曲线演化并在目标边界处停止, 但由于曲线平滑, 容易捕捉到边缘附近的灰度渐变区域 (如图 2 (c) 所示).由于待分割的环形目标的宽度达50个像素, 只有当 $rad>5$ 时, 边缘处渐变部分才能够被平滑掉 (如图 2 (d) 所示).而对于Case 2, 由于壳核与其他目标之间的距离最小只有两个像素的宽度, 当 $rad=2$ 时, 分割正确 (如图 2 (f) 所示).而当 $rad$ $>$ $2$ 时, 邻域已经包含了其他目标的灰度信息.再加上平滑的作用, 曲线演化会超出壳核的边界范围, 导致局部分割失败 (如图 2 (g) 和图 2 (h) 所示).
图 3反映了 $rad$ 取值与收敛速度的关系, 横坐标为 $rad$ 的值, 纵坐标为达到稳定状态时所需要的迭代次数.
从图 2和图 3可以看出, 当 $rad$ 取1时, 由于曲线提前停止演化, 两幅图像分割达到稳定状态所需要的迭代次数都最少.对于Case 1, 当 $rad=2$ 时, 能够分割出大部分目标, 但邻域范围较小, 分割需要比较长的时间, 迭代次数达到最大值.随着 $rad$ 的增大, 迭代次数逐渐减小且趋于稳定 (如图 3中虚线所示).对于Case 2, $rad$ 取2时, 能够正确分割, 迭代次数略有增加.但当 $rad>2$ 时, 由于分割范围扩大到整幅图像, 迭代次数明显增加, 在 $rad$ 取3时达到最大值.随着 $rad$ 的增加, 迭代次数也逐渐减小并趋于稳定 (如图 3中实线所示).
3.2 $\beta$ 值对分割结果的影响
由于 $|f_{1}(x)-f_{2}(x)|$ 总是大于等于零的, 当 $\beta$ 值取0时, 是不成立的, 因此步骤5在迭代过程中是不执行的, 这等同于分割模型中没有对比度约束判断.将本文方法CC-AFAC中的对比度约束判断步骤去掉, 对一张灰度分布不均匀且末端边缘较弱的血管图像进行分割, 几种不同位置的初始轮廓及相应分割结果如图 4所示.由图 4 (a) $\sim$ 4 (c) 可以看出, 无对比度约束条件时, 仅根据隶属度函数计算和能量判断也可以得到正确的分割结果.而图 4 (d) 中, 演化曲线在虚线标注的区域内停止, 分割不完全.
图 4 无对比度约束时几种初始轮廓及其分割结果Fig. 4 Several initial contours and corresponding segmentation results without contrast constraint对图 4 (d) 中虚线区域内分割曲线附近的像素点进行分析, 图 5 (a)、图 5 (b) 和图 5 (c) 分别对应部分像素点的灰度值、隶属度和邻域内外均值差 $|f_{1}(x)-f_{2}(x)|$ 的局部放大图, 其中 $\ast$ 处为窄带外像素点, 不予考虑, 加粗数字对应误判为背景的像素点.这些像素点限制了曲线的演化, 尤其是图 5 (c) 中取值为1.08、0.27、1.76和1.37的像素点.
图 5 图 4 (d) 中伪边缘区域像素点的灰度值、隶属度、均值差及 $\beta$ = 1:8时分割结果Fig. 5 The intensity, membership and difierence of pixels near the pseudo edge in Fig. 4 (d) and segmentation result when $\beta$ = 1:8加入对比度约束条件, 设 $\beta=1.8$ , 可使曲线越过这4个像素点继续演化.在血管末端的弱边缘处, 像素点的局部内外均值差 $|f_{1}(x)-f_{2}(x)|$ 的最小值也在10左右.因此, 加入对比度约束条件对这部分弱边缘的分割没有影响, 可得到如图 5 (d) 的分割结果.
在初始轮廓和其他参数固定不变的情况下, 通过设置不同的 $\beta$ 值来讨论对比度约束条件对局部分割结果的影响. 图 6 (a) $\sim$ 6 (d) 分别为 $\beta$ 取值为0、 1、2和9时对一灰度不均匀合成图像的局部分割结果, 图 6 (e) $\sim$ 6 (h) 分别为 $\beta$ 取值为0、1、2和4时对磁共振脑图像壳核的分割结果.
图 6 不同 $\beta$ 值对分割结果的影响Fig. 6 The influence of difierent $\beta$ on segmentation results可以看出, 无对比度约束条件或 $\beta$ 值较小时, 目标分割不完全 (如图 6 (a)、图 6 (b) 和图 6 (e) 所示).这时, , 隶属度函数不再发生变化, 曲线停止演化.适当的 $\beta$ 值能够使曲线越过那些使能量取局部极小值的像素点而继续演化, 并由数据项控制在真实边界处停止 (如图 6 (c)、图 6 (f) 和图 6 (g) 所示).而当 $\beta$ 值过大时, 会将目标边界外像素点的隶属度值设为0.6, 使曲线越过真实边界 (如图 6 (d) 和图 6 (h) 所示).
因此, 加入对比度约束判断条件, 作为一种辅助策略, 可有效防止因曲线提前停止演化而导致的不完全分割, 有利于提高分割方法对初始轮廓的鲁棒性.但 $\beta$ 必须取较小的值, 否则可能会使演化曲线越过弱边缘, 出现过分割. $\beta$ 的正确取值与待分割目标的区域大小以及与其他目标的距离有关, 例如, 图 6 (a) $\sim$ 6 (d) 中合成图像的待分割目标区域较大, 且与其他目标离得较远, $\beta$ 可以取2 $\sim$ 8之间的数值.而图 6 (e) $\sim$ 6 (f) 磁共振脑图像中的壳核区域较小, 与其他组织间距离较近, $\beta$ 只能取1 $\sim$ 3之间的数值.大量实验表明, $\beta$ 一般取1 $\sim$ 3之间的值.
3.3 局部分割效果对比分析
在相同初始轮廓下, 对本文方法与LRAC、 SBGF-RLS、BSMO-RLS方法的局部分割效果进行比较. 图 7是采用四种方法对一张灰度不均匀合成图像中菱形目标的分割结果对比, 其他参数设置为: LRAC方法中 $r=10$ , SBGF-RLS方法中 $\alpha =$ $20$ , BSMO-RLS和本文方法的邻域半径 $rad=7$ , $\beta$ $=$ $3$ . 图 8和图 9分别是对磁共振脑图像尾状核和侧脑室前角的分割结果对比, 其他参数为: LRAC方法中 $r=6$ , SBGF-RLS方法中 $\alpha=20$ , BSMO-RLS和本文方法的邻域半径 $rad=2$ , $\beta=3$ .
图 7 合成图像的局部分割结果对比Fig. 7 The comparison of local segmentation results on a synthetic image
图 8 磁共振脑图像尾状核的分割结果对比Fig. 8 The comparison of caudate nucleus segmentation results on a MR brain image
图 9 磁共振脑图像侧脑室前角的分割结果对比Fig. 9 The comparison of anterior horn of lateral ventricle segmentation results on a MR brain image在图 7 $\sim$ 9中, 从左到右第1 $\sim$ 4列分别是采用LRAC、SBGF-RLS、BSMO-RLS和本文方法的实验结果.可以看出, LRAC只能将部分目标分割出来, 分割不完全; SBGF-RLS将目标外区域的边界也分割出来, 对灰度不均匀图像的处理能力明显不足; BSMO-RLS对合成图像和侧脑室前角的分割较好, 但对尾状核的分割不够; 与前三种方法相比, 本文方法能达到较好的分割效果.
采用常用指标JS (Jaccard similarity) 和DC (Dice coefficient) 对图 7 $\sim$ 9中的局部分割精度进行定量分析, 定义公式为
$ \begin{align} &JS(S_{1}, S_{2})=\dfrac{\left | S_{1}\cap S_{2} \right |}{\left | S_{1}\cup S_{2} \right |} \end{align} $
(25) $ \begin{align} &DC(S_{1}, S_{2})=\dfrac{2\left | S_{1}\cap S_{2} \right |}{\left | S_{1}\right|+\left| S_{2} \right |} \end{align} $
(26) 其中, $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 分别表示实际分割结果和手工分割得到的金标准, $|\cdot|$ 是求符合条件区域内像素点个数的算子. $JS\in[0,1]$ , $DC\in[0, 1]$ . $JS$ 和 $DC$ 越大, 则分割精度越高.
表 1和表 2给出了本文方法与其他方法分割结果的 $JS$ 和 $DC$ 系数.由表中数值可以看出, 本文方法的分割精度高于其他方法.
3.4 初始轮廓灵敏度对比分析
由于SBGF-RLS方法对灰度不均匀图像的分割能力明显不足, 故只将本文方法与LRAC和BSMO-RLS方法进行比较.对同一张图像进行分割时, 每次选用不同位置的初始轮廓, 其他参数值保持不变.
图 10和图 11是对两张灰度不均匀合成图像分割的初始轮廓及实验结果, 图中, (a) 是原图像及初始轮廓, (b) $\sim$ (d) 是采用LRAC、BSMO-RLS和本文方法的分割结果.实验参数为: LRAC方法中, 邻域半径 $r$ 分别取14和10; BSMO-RLS与本文方法中, $rad$ 分别取4和7, 对比度约束阈值 $\beta$ 分别取1和3, 曲线平滑半径 $s$ 分别为2和3.由图 10和图 11可以看出, 当初始轮廓位于灰度增加与减少的交叉区域时, LRAC和BSMO-RLS方法都没有得到正确的分割结果.这是因为窄带内像素点的内外均值 $u_{x}$ 和 $v_{x}$ 相差不大, 则速度函数中数据项 $(I(y)$ - $u_{x})^2$ - $(I(y)-v_{x})^2$ 的值较小, 使得水平集函数更新缓慢而逐渐停止.而本文方法主要利用局部的平均信息以及总能量的变化差来决定隶属度函数是否更新, 降低了均值函数 $f_{1}(x)$ 和 $f_{2}(x)$ 的直接作用.因此, 本文方法能够正确提取处于灰度增加与减少交界处的边缘, 而且不受初始轮廓位置的影响.
图 10 不同初始轮廓下对合成图像1的分割结果对比Fig. 10 The comparison of segmentation results on synthetic image 1 with difierent initial contours
图 11 不同初始轮廓下对合成图像2的分割结果对比Fig. 11 The comparison of segmentation results on synthetic image 2 with difierent initial contours图 12是对一张磁共振图像中脑肿瘤的分割结果. 图 12 (a) 为原始图像及初始轮廓, 图 12 (b)、图 12 (c) 和图 12 (d) 是采用LRAC、BSMO-RLS和本文方法分割结果的局部放大图.实验参数为:邻域半径为 $rad=12$ , 对比度约束阈值 $\beta=2$ , 曲线平滑时 $s=5$ .从图 12可以看出, 在相同的初始轮廓下, LRAC和BSMO-RLS方法都只分割出部分肿瘤边界, 而本文方法由于加入了对比度约束判断条件, 能够避免曲线提前停止演化, 都得到了完整的肿瘤边界, 因此对初始轮廓有较强的鲁棒性.
图 12 不同初始轮廓下对磁共振脑图像的肿瘤分割Fig. 12 The comparison of tumor segmentation results on a MR brain image with difierent initial contours3.5 对弱边缘图像的分割结果比较
由于生物组织结构的复杂性, 医学图像中经常存在灰度不均匀和弱边缘现象, 这时目标和背景的灰度差不明显, 单纯考虑对比度约束条件可能对分割造成误差.但由于本文方法利用窄带内像素点邻域的局部灰度信息, 在局部小范围内可认为图像的灰度分布是均匀的, 而且每次迭代时的窄带范围也在一定程度上消除了其他区域对局部分割的影响.另外, 初始轮廓自目标内部逐渐向外扩展, 只有在靠近边缘时, 邻域范围内才包含目标外的像素点.由于大部分像素点属于目标内部的点, 即使有少量像素点的灰度值较邻域内其他像素点偏差较大, 平均运算会减小其对隶属度计算的影响.因此, 利用图像的平均局部信息, 本文方法可以实现对灰度不均匀图像和弱边缘图像的局部分割.
图 13是对5张灰度不均匀和弱边缘图像的局部分割结果比较, 图中第1行和第2行是两张合成图像, 实验参数为 $r=6$ , $rad=2$ , $s=1$ , $\beta=1$ ; 第3行是一张红外图像, $r=9$ , $rad=6$ , $s=6$ , $\beta=1$ ; 第4行是带有病灶区域的胆结石超声图像, $r=15$ , $rad=1$ , $s=2$ , $\beta=2.5$ ; 第5行是左心室超声图像, $r$ $=$ $10$ , $rad=4$ , $s=1$ , $\beta=2$ .这5张图像的部分边缘都较弱, 而且在红外和超声图像的目标内部, 还存在多处伪边缘. 图 13 (a) 为原始图像及初始轮廓, 图 13 (b) $\sim$ 13 (d) 为采用LRAC、BSMO-RLS和本文方法的局部分割结果.由图中可以看出, LRAC和BSMO-RLS方法由于直接利用邻域内外均值, 对弱边缘的分割能力不足, 而本文方法对弱边缘也能得到较好的分割结果.
图 13 对弱边缘图像的分割结果对比Fig. 13 The comparison of segmentation results on images with weak boundary4. 结论
本文提出了一种结合模糊聚类与主动轮廓模型的局部分割方法.该方法定义了基于图像平均局部信息的模糊能量函数, 并通过数值分析得到总能量的变化量公式.另外, 引入了对比度约束条件, 辅助判断隶属度函数的更新.通过对不同 $rad$ 取值的实验结果分析可以看出, 根据图像的特征选取合适的 $rad$ 值有利于提高对灰度不均匀图像的局部分割能力和收敛速度.对不同 $\beta$ 值的实验分析表明合适的对比度约束值能有效防止曲线陷入局部极小值, 降低分割方法对初始轮廓的灵敏度.将本文方法与LRAC、SBGF-RLS和BSMO-RLS方法进行对比分析, 实验结果显示了本文方法在分割精度、鲁棒性和弱边缘分割能力上的优势.在后续的工作中, 将考虑如何更好地结合图像的空间信息, 设计一种通用的对比度约束阈值, 提高本文方法的自适应分割性能.
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图 4 无对比度约束时几种初始轮廓及其分割结果
Fig. 4 Several initial contours and corresponding segmentation results without contrast constraint
图 5 图 4 (d) 中伪边缘区域像素点的灰度值、隶属度、均值差及 $\beta$ = 1:8时分割结果
Fig. 5 The intensity, membership and difierence of pixels near the pseudo edge in Fig. 4 (d) and segmentation result when $\beta$ = 1:8
图 6 不同 $\beta$ 值对分割结果的影响
Fig. 6 The influence of difierent $\beta$ on segmentation results
图 7 合成图像的局部分割结果对比
Fig. 7 The comparison of local segmentation results on a synthetic image
图 8 磁共振脑图像尾状核的分割结果对比
Fig. 8 The comparison of caudate nucleus segmentation results on a MR brain image
图 9 磁共振脑图像侧脑室前角的分割结果对比
Fig. 9 The comparison of anterior horn of lateral ventricle segmentation results on a MR brain image
图 10 不同初始轮廓下对合成图像1的分割结果对比
Fig. 10 The comparison of segmentation results on synthetic image 1 with difierent initial contours
图 11 不同初始轮廓下对合成图像2的分割结果对比
Fig. 11 The comparison of segmentation results on synthetic image 2 with difierent initial contours
图 12 不同初始轮廓下对磁共振脑图像的肿瘤分割
Fig. 12 The comparison of tumor segmentation results on a MR brain image with difierent initial contours
图 13 对弱边缘图像的分割结果对比
Fig. 13 The comparison of segmentation results on images with weak boundary
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