Remaining Useful Life Estimation for Nonlinear Stochastic Degrading Systems with Uncertain Measurement and Unit-to-unit Variability
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摘要: 剩余寿命估计是预测与健康管理的基础，是降低系统运行风险、提高系统安全性与可靠性的有效途径.针对工程实际中大量存在的非线性随机性退化系统，现有方法仅单独考虑了不确定测量或系统间个体差异对剩余寿命的影响，尚未实现同时考虑不确定测量和个体差异的剩余寿命估计.因此，本文首先建立了一种基于扩散过程的非线性退化模型，进一步通过建立的状态空间模型和Kalman滤波实现了同时考虑不确定测量和个体差异下的随机退化系统剩余寿命自适应估计，同时对漂移系数进行自适应估计，以获取非线性退化系统更加精确的剩余寿命估计.最后，将所提方法应用于疲劳裂纹和陀螺仪的监测数据，结果表明本文方法显著优于仅考虑不确定测量或仅考虑个体差异的寿命估计方法，具有潜在的工程应用价值.Abstract: Remaining useful life (RUL) estimation is essential for the prognostics and health management of systems, and is the effective path to mitigate system risk and improve the system safety and reliability. For the extensively encountered practical degradation systems with nonlinearity and stochasticity, the current methods to estimate RUL only consider uncertain measurement or unit-to-unit variability, but not both simultaneously. In this paper, a nonlinear degradation model is built based on a nonlinear diffusion degradation process to incorporate the uncertain measurement and unit-to-unit variability into the estimated RUL. By constructing a state-space model and applying Kalman filtering technique, an analytical form of the RUL distribution is derived. In addition, the RUL estimation and drift coefficient efficient can be adaptively updated with the available observations. Finally, two cases study for aluminium alloy in aircraft and gyros are provided to verify the presented method. The results illustrate that the presented method can generate better results than only considering uncertain measurement or unit-to-unit variability, and thus can be potentially applied in practice.
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Key words:
- Nonlinear /
- uncertain measurement /
- unit-to-unit variability /
- remaining useful life (RUL) /
- estimation
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多传感器网络的融合估计算法因诸多优点被广泛用于网络化控制、目标跟踪、环境监测及危险区域搜救等领域, 受到中外学者的广泛关注, 成为当前研究的一个热点领域[1-7].在工程实际中, 传感器网络中各节点一般由电池供电, 实际应用中, 频繁地更换电池或对电池进行再充电极不便利, 因此受到能量等因素的制约, 如何有效利用能量完成估计任务, 成为当前传感器网络研究的热点问题之一[8-11].
经研究发现, 网络中各节点进行数据传输时的耗能占据了传感器能量消耗的主要部分[12-13].降低传感器的数据通信量可直接减少传感器的能量消耗, 并可在一定程度上改善网络拥堵问题.近来, 基于事件触发的估计算法可在有限通信资源的情况下尽可能保持估计精度, 受到国内外研究学者的广泛关注.赵国荣等对带宽受限的传感器网络估计问题进行了深入研究, 提出了一种基于数据驱动传输策略的分布式融合估计器, 并给出了融合估计误差均方差一致有界的条件[3]. Imer和Li等分别研究了被估计量分别为标量和向量的有限时间传感器量测值事件触发传输机制[14-16]. Wu等针对单传感器情形下分析了估计精度与通信频率之间的关系, 并给出了最小均方误差估计算法[17].随后Shi等针对多传感器情形下的事件触发估计问题提出了一种点量测与集合量测融合的估计算法[18]. Battistelli等针对事件触发下的量测传输机制与局部估计值传输机制分别设计了估计算法[19].
在上述事件触发估计算法中, 事件触发机制是将量测值作为一个整体代入事件触发条件进行计算, 可称之为多通道耦合事件触发量测传输机制.实际系统中, 同一段时间内其状态向量不同分量之间的变化情况是不同的, 可能在某些时刻某些分量变化较为剧烈, 其余分量变化较为平缓甚至不发生变化, 此时使用多通道耦合事件触发机制, 会将量测向量作为一个整体进行发送或不发送, 浪费网络的通信资源.
本文针对这一问题提出了多通道解耦事件触发机制, 即各量测分量单独设置触发条件进行判断该分量是否发送至融合中心.提出了相应的集中式融合估计算法.给出了估计算法误差有界性的条件并对这种事件触发量测传输机制下的数据传输率进行了分析.通过仿真实验说明了多通道解耦事件触发量测传输机制相比于多通道耦合机制, 减少传感器网络能量消耗的同时保证了系统的估计精度.
光电传感网络中各节点与融合中心间存在大量的信息传输, 将多通道解耦事件触发机制引入光电传感网络可以在大幅度减少网络通信量的同时保证估计精度, 一方面可以减少通信资源的耗费, 另一方面由于通信数据量的减少可以降低光电传感网络被侦破的概率, 增强其隐蔽性, 具有一定的工程参考价值.
本文中, $\bf{R}$ 表示实数域, $\bf{N}$ 表示非负整数域. $\xi_{M, \delta} = \{\zeta | \zeta^{\rm T} M \zeta \leq \delta\}$ 表示中心在原点的由M及 $\delta$ 描述椭圆集合. $\text{diag}_{i}\{M_{i}\}$ 表示对角线上分别为的块对角阵. .
1. 问题描述
考虑线性时不变离散系统如下:
$ \pmb x_{k+1}=A\pmb x_{k}+\pmb w_{k} $
(1) 其中, $\pmb x_{k}\in {\bf{R}}^{n}$ 是状态变量, 是过程噪声, 满足 $\pmb w_{k}\sim {\rm N}(0, Q_{k})$ , $Q_{k}$ 为过程噪声的协方差矩阵.状态变量初值 $\pmb x_{0}$ 是零均值高斯变量, 协方差为 $P_{0}$ .
设由M个节点组成的传感器网络对上述系统进行量测.各节点量测方程如下:
$ \pmb y_{k}^{i}=C^{i}\pmb x_{k}+\pmb v_{k}^{i}, \quad 1\leq i \leq M, ~i \in \bf{N} $
(2) 其中, $\pmb y_{k}^{i}\in {\bf{R}}^{m}$ 表示第i个节点k时刻的量测值, $\pmb v_{k}^{i} \in {\bf{R}}^{m}$ 是量测噪声, 满足 $\pmb v_{k}^{i}\sim {\rm N}(0, R_{k}^{i})$ . $R_{k}^{i}$ 为k时刻节点i的量测噪声协方差矩阵. $\pmb x_{0}$ , $\pmb w$ , 互不相关.假设 $(A, C)$ 完全可观, 其中 $C=\text{col}_{i}(C^{i})$ .
目前研究人员设计的多通道耦合事件触发传输机制[3, 12, 16-19]均将量测向量作为一个整体代入触发条件进行判断, 同一传感器不同量测分量间的传输是互相耦合的, 满足触发条件时, 所有分量一起发送至融合中心, 反之均不发送至融合中心.例如文献[19]中的事件触发条件设计为
$ r_{k}^{i}= \begin{cases} 0 ,& \mbox{若}~ \pmb{y}_{k}^{i} - \tilde{\pmb{y}}_{k}^{i} \in \xi_{W_{k}^{i},\delta_{i}}, ~ 1 \leq i \leq M \\ 1, & \mbox{其他} \end{cases} \label{whole_eq} $
(3) 其中, 二元变量 $r_{k}^{i}=1$ 表示k时刻传感器i发送量测向量至融合中心, 反之不发送. $W_{k}^{i}$ 为待设计矩阵, $\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i}$ 为待设计向量, 文献[19]给出了详细设计方法. $\delta_{i}$ 表示门限因子, 当 $\delta_{i}$ 越大时, 量测向量 $\pmb y_{k}^{i}$ 发送至融合中心的概率越低, 反之越高.
令 $\pmb u_{k}^{i}=\|\pmb y_{k}^{i} -\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i} \|$ , 则式(3) 中条件根据 $\xi_{W_{k}^{i}, \delta}$ 定义可化为
$ \sum\limits_{l=1}^{m} W_{k}^{i}(l,l)\times \pmb u_{k}^{i}(l,1)^2 $
其中, $W_{k}^{i}(l, l)$ 为 $W_{k}^{i}$ 的第l行第l列元素, $\pmb u_{k}^{i}(l, 1)$ 为 $\pmb u_{k}^{i}$ 第l行第1列元素.
不失一般地, 假设 $\pmb x_{k}$ 中第q个分量变化较大, 其余分量变化不大, 第q个分量对应的 $\pmb u_{k}^{i}(l, 1)$ 变化较大, $\pmb u_{k}^{i}$ 其余分量变化不大, 此时若事件触发条件满足, 发送量测值 $\pmb y_{k}^{i}$ 至融合中心, 则变化不大的量测分量也被一起发送至融合中心, 造成网络通信资源的浪费.
为进一步节省传感器网络通信资源, 在本文中各传感器节点各量测分量是否发送至融合中心单独设置条件进行判断, 示意图如图 1所示.
图 1 多通道解耦的事件触发估计算法Fig. 1 The multi-channel decoupled event triggered estimation algorithm定义二元变量 $\bar{r}_{k}^{i, l}$ 表示k时刻传感器节点i的量测分量 $l ( 1\leq l\leq m)$ 是否发送至融合中心, 等于1发送, 等于0不发送.相应的多通道解耦事件触发机制如下:
$ \bar{r}_{k}^{i,l}= \begin{cases} 0, & \mbox{若}~G^{l}(\pmb y_{k}^{i}-\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i}) \in \xi_{{\bar{W}_{k,i}^{l}},\bar{\delta}_{i}^{l}} \\ 1, & \mbox{其他} \end{cases}\label{decoupled_eq} $
(4) 其中, $G^{l}$ 表示第l行第l列为1, 其余元素均为0的m维方阵. $\bar{\delta}_{i}^{l}$ 为传感器i的第l个量测分量传输机制中的门限因子, 满足 $\sum_{l=1}^{m}\bar{\delta}_{i}^{l}=\delta_{i}$ .当 $\bar{\delta}_{i}^{l}$ 越大时, 传感器i的第l个量测分量被传输至融合中心的概率越低, 反之越高.在实际工程应用中, 传感器各量测分量重要程度不一, 可能某些起到关键作用的量测分量变化缓慢, 此时可根据实际情况适当降低此量测分量对应的门限因子 $\bar{\delta}_{i}^{l}$ 保证此类量测分量的发送概率符合需求.
令 $\bar{r}_{k}^{i, 1}=\bar{r}_{k}^{i, 2}=\cdots=\bar{r}_{k}^{i, m}$ , 多通道解耦事件触发机制与事件触发机制(3) 等价.
对本文所提出的事件触发量测传输机制, 我们需设计相应的集中式融合估计算法并给出估计误差有界的条件, 具体内容由下文给出.
2. 多通道解耦事件触发估计算法
受文献[19]中引理1的启发, 给出定理1.
定理 1. 考虑量测模型(2) 及事件触发机制(4), 当k时刻传感器i有量测分量未发送至融合中心时, 可等价为由如下虚拟量测通道产生的虚拟量测发送至融合中心.
$ \label{xuni_eq} \pmb z_{k}^{i}= T_{k}^{i}\pmb y_{k}^{i}-(T_{k}^{i}-I)\pmb \eta_{k}^{i}=\notag \\[1mm] T_{k}^{i}C^{i}\pmb x_{k}+T_{k}^{i}\pmb v_{k}^{i}-(T_{k}^{i}-I)\pmb \eta_{k}^{i} $
(5) 其中, $T_{k}^{i}=\text{diag}\{\bar{r}_{k}^{i, 1}, \bar{r}_{k}^{i, 2}, \cdots, \bar{r}_{k}^{i, m}\}$ , I为适维单位阵.下文中的I均指适维单位阵. 且与 $\pmb x_{k}$ , $\pmb v_{k}^{i}$ 无关.
$ \Omega_{k}^{i}=\left\{ \pmb \varpi|G^{l}(\pmb y_{k}^{i}-\pmb \varpi)\in \xi_{\bar{W}_{k,i}^{l},\bar{\delta}_{i}^{l}} \right\} $
证明. 不失一般性, 假设k时刻传感器i除量测分量l外, 其余分量均发送至融合中心.由贝叶斯公式可得状态变量后验概率密度函数
$ p_{\pmb x_{k}|\bar{r}_{k}^{i,l}}(\pmb x_{k}|0) \propto \int_{\tilde{{\pmb y}}+\xi_{\bar{W}_{k,i}^{l},\bar{\delta}_{i}^{l}}} p_{\pmb v_{k}^{i}}(\pmb \varrho-C^{i}\pmb x_{k})\text{d}\pmb \varrho p_{\pmb x_{k}}(\pmb x_{k}) \label{eq_posterior} $
(6) 其中, $p_{\pmb x_{k}|\bar{r}_{k}^{i, l}}(\cdot|\cdot)$ 表示条件分布概率密度函数, $p_{\pmb x_{k}}(\pmb x_{k})$ 表示此时刻状态变量 $\pmb x_{k}$ 的先验概率密度函数.
为简便起见, 令
$ T_{k}^{i}\pmb v_{k}^{i}=\pmb \varsigma_{k}^{i} \\[1mm] (T_{k}^{i}-I)\pmb \eta_{k}^{i}=\pmb \varepsilon_{k}^{i} $
由两个独立随机变量的概率密度之和等于这两个随机变量的概率密度函数的卷积, 可得
$ p_{\pmb \varsigma_{k}^{i}-\pmb \varepsilon_{k}^{i}}(\pmb \varsigma_{k}^{i})= \int_{{\bf{R}}^{m}}p_{\pmb \varepsilon_{k}^{i}}(\pmb \varepsilon_{k}^{i})p_{\pmb \varsigma_{k}^{i}}(\pmb \varsigma_{k}^{i}+\pmb \varepsilon_{k}^{i}) \text{d} \pmb \varepsilon_{k}^{i} \propto\\[1mm] \int_{\xi_{\bar{W}_{k,i}^{l},\bar{\delta}_{i}^{l}}}p_{\pmb \varsigma_{k}^{i}}(\pmb \varsigma_{k}^{i}+\pmb \varepsilon_{k}^{i})\text{d}\pmb \varepsilon_{k}^{i} $
由式(5) 可得
$ p_{\pmb z_{k}^{i}|\pmb x_{k}}(\pmb z_{k}^{i}|\pmb x_{k})=p_{\pmb \varsigma_{k}^{i}-\pmb \varepsilon_{k}^{i}}(\pmb z_{k}^{i}-C^{i}\pmb x_{k})\propto \\[1mm] \qquad \int_{\xi_{\bar{W}_{k,i}^{l},\bar{\delta}_{i}^{l}}}p_{\pmb \varsigma_{k}^{i}}(\pmb z_{k}^{i}-C^{i}\pmb x_{k}+\pmb \varepsilon_{k}^{i})\text{d}\pmb \varepsilon_{k}^{i} $
由贝叶斯公式可得
$ p_{\pmb x_{k}|\pmb z_{k}^{i}}(\pmb x_{k}|\pmb z_{k}^{i}) \propto \\[1mm] \qquad\int_{\xi_{\bar{W}_{k,i}^{l},\bar{\delta}_{i}^{l}}}p_{\pmb \varsigma_{k}^{i}}(\pmb z_{k}^{i}-C^{i}\pmb x_{k}+\pmb \varepsilon_{k}^{i})\text{d}\pmb \varepsilon_{k}^{i} p_{\pmb x_{k}}(\pmb x_{k}) $
式(6) 进行变量替换, 可推导出
$ p_{\pmb x_{k}|\pmb z_{k}^{i}}(\pmb x_{k}|\pmb z_{k}^{i})=p_{\pmb x_{k}|\bar{r}_{k}^{i,l}}(\pmb x_{k}|0) $
在贝叶斯估计体系中, 状态变量 $\pmb x_{k}$ 的后验概率密度函数可精确描述融合中心对状态变量 $\pmb x_{k}$ 的估计值, 两者的后验概率密度函数相等说明当传感器i中有量测分量未发送至融合中心时, 可等价为由虚拟量测通道(5) 产生的虚拟量测发送至融合中心.
由式(4) 易得 $\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i} \in \Omega_{k}^{i}$ .在式(5) 中可令 $\pmb \eta_{k}^{i}=\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i}$ , 得虚拟量测值表达式.因此由定理1可得, 当事件触发条件满足时, 量测分量l不发送给融合中心, 相当于虚拟量测值 $\pmb z_{k}^{i}$ 发送至融合中心.
不失一般性, 假设 $\Omega_{k}^{i}$ 定义中的在 $\xi_{\bar{W}_{k, i}^{l}, \bar{\delta}_{i}^{l}}$ 满足一致分布, 则虚拟量测 $\pmb z_{k}^{i}$ 对应的量测噪声协方差
$ {E} [( \pmb{\varsigma}_{k}^{i}-\pmb{\varepsilon}_{k}^{i})(\pmb \varsigma_{k}^{i}-\pmb \varepsilon_{k}^{i})^{\rm T}] =\notag\\[1mm] \qquad {E}[\pmb \varsigma_{k}^{i}(\pmb \varsigma_{k}^{i})^{\rm T}]+ {E}[\pmb \varepsilon_{k}^{i}(\pmb \varepsilon_{k}^{i})^{\rm T}]= \notag\\[1mm] \qquad R_{k}^{i}+(I-T_{k}^{i})\frac{\bar{\delta}_{i}^{l}}{3}\left(\bar{W}_{k,i}^{l}\right)^{-1}(I-T_{k}^{i})^{\rm T}= \notag\\[1mm] \qquad R_{k}^{i}+(I-T_{k}^{i})\frac{\bar{\delta}_{i}^{l}}{3}\left(\bar{W}_{k,i}^{l}\right)^{-1} $
(7) 进而可得k时刻所有传感器量测值
$ \pmb z_{k}=\text{col}_{i}(T_{k}^{i}\pmb y_{k}^{i}+(I-T_{k}^{i})\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i}) $
(8) ${\pmb z}_{k}$ 对应的量测噪声协方差阵为
$ \bar{R}_{k}=\text{diag}_{i}\left\{ R_{k}^{i}+(I-T_{k}^{i})R_{u}^{i} \right\} $
(9) 其中, $R_{u}^{i}=\text{diag}_{l}\left\{{\bar{\delta}_{i}^{l}}/{3}(\bar{W}_{k, i}^{l})^{-1}\right\}$.
融合中心关于x的估计值 $\hat{\pmb{x}}_{k|k}$ 可由标准Kalman滤波公式计算得出.
$ \hat{\pmb{x}}_{k|k-1}=A\hat{\pmb{x}}_{k-1|k-1} \\[1mm] P_{k|k-1}=AP_{k-1|k-1}A^{\rm T}+Q_{k} \\[1mm] S_{k}=\bar{R}_{k}+CP_{k|k-1}C^{\rm T} \\[1mm] K_{k}=P_{k|k-1}C^{\rm T}S_{k}^{-1}\\[1mm] \hat{\pmb{x}}_{k|k}=\hat{\pmb{x}}_{k|k-1}+K_{k}(\pmb z_{k}-C\hat{\pmb{x}}_{k|k-1})\\[1mm] P_{k|k}=P_{k|k-1}-P_{k|k-1}C^{\rm T}S_{k}^{-1}CP_{k|k-1} $
通过上述公式可得由虚拟量测通道(5) 得到的量测值对应的最优线性无偏估计.
定理 2. 采用事件触发机制(4), 如果所有的权重矩阵 $\bar{W}_{k, i}^{l}$ 满足条件, 则融合中心估计误差均方意义下一致有界.即满足
$ \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{ {\rm sup} {E}}{\|\pmb e_{k}\|^{2}} < +\infty $
证明. $\tau$ 时刻由真实量测向量 $\bar{\pmb{z}}_{\tau}=\rm{col}_{i}(\pmb y_{\tau}^{i})$ 生成的估计值记为 $\bar{\pmb{x}}_{k|k}$ , $\tau \leq k$ .可做如下分解:
$ \hat{\pmb{x}}_{k|k}=\bar{\pmb{x}}_{k|k}+\pmb{\vartheta}_{k} \label{x_zhuangtaifenjie} $
(10) 其中
$ {\pmb \vartheta}_{k}=\sum\limits_{\tau=1}^{k}\left[ \prod\limits_{h=\tau+1}^{k}(I-K_{h}C)A \right] K_{\tau}(\pmb z_{\tau}-\bar{\pmb{z}}_{\tau}) $
用 $\pmb x_{k}$ 减去式(10) 等号两边再取期望, 有
$ {\rm E}\left\{ \| {\pmb x}_{k}-\hat{\pmb{x}}_{k|k} \|^{2} \right\} \leq\notag \\[1mm] \qquad 2{\rm E}\left\{ \| \pmb x_{k}-\bar{\pmb{x}}_{k|k}\|^{2} \right\}+ 2 {\rm E}\left\{ \| \pmb \vartheta_{k} \|^{2} \right\} $
(11) 令
$ \breve{R}_{k}=\text{diag}_{i}\left\{ R_{k}^{i}+ \breve{R}_{u}^{i}\right\} \\[1mm] \breve{R}_{u}^{i} = \text{diag}_{l}\left\{\frac{\bar{\delta}_{i}^{l}}{3\mu_{l}^{i}}\right\} $
由定理2中条件可得 $\bar{R}_{k} \leq \breve{R}_{k}$ .
由于 $\bar{\pmb{x}}_{k|k}$ 是基于真实量测向量 $\bar{\pmb{z}}_{\tau}$ 计算得到的, 因此
$ \label{x_hat_daxiao} {\rm E}\left\{ \| \pmb x_{k}-\bar{\pmb{x}}_{k|k}\|^{2} \right\} \leq \lim\limits_{k \rightarrow \infty}\text{sup tr}(P_{k|k}) \leq \text{tr}(\bar{P}) $
(12) 其中, $\bar{P}$ 是下述离散代数黎卡提方程的正定解
$ \bar{P}=A\bar{P}A^{\rm T} + Q_{k} - A\bar{P}C^{\rm T}(C\bar{P}C^{\rm T}+\breve{R}_{k})^{-1}C\bar{P}A^{\rm T} $
对于 $\| \pmb \vartheta_{k} \|$ , 可得
$ \|\pmb \vartheta_{k}\| \leq \sum\limits_{\tau=1}^{k}\left\| \left[ \prod\limits_{h=\tau+1}^{k}(I-K_{h}C)A \right] K_{\tau} \right\| \| \pmb z_{\tau}-\bar{\pmb{z}}_{\tau} \| $
由式(9) 可得 $R_{k} \leq \bar{R}$ .引用文献[20]的定理5.3, 可得
对于任意的a, b满足 $0\leq a < 1$ , $b \geq 0$
$ \label{renyidea_b} \left\| \left[ \prod\limits_{h=\tau+1}^{k}(I-K_{h}C)A \right]K_{\tau} \right\| \leq b a^{k-\tau} $
(13) 对于节点i, 其各分量加权矩阵 $\bar{W}_{k, i}^{l}$ , 满足 $\bar{W}_{k, i}^{l} \geq \mu_{l}^{i}I$ , 令
$ \mu^{i} = \min\limits_{1\leq l \leq m}\mu_{l}^{i} ,\quad \bar{\delta}^{i} = \max\limits_{1 \leq l \leq m}\bar{\delta}_{i}^{l} $
可以得出
$ \left\| G^{l}(\pmb y_{k}^{i}-\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i}) \right\|^{2} \leq \frac{\bar{\delta}_{i}^{l}}{\mu_{l}^{i}}\leq \frac{\bar{\delta}^{i}}{\mu^{i}} $
根据 $G^{l}$ 的定义, 可知对于任意的l, 均有向量的第l个元素小于, 进而可得
$ \|\pmb y_{k}^{i}-\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i}\|^{2} \leq\frac{m\bar{\delta}^{i}}{\mu^{i}} \notag\\[1mm] \label{z_daxiao} \| \pmb z_{\tau} -\bar{\pmb{z}}_{\tau} \|^{2}=\sum\limits_{i=1}^{M} \| (I-T_{k})(\pmb y_{k}^{i}-\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i}) \|^{2} \leq\notag \\ \qquad \sum\limits_{i=1}^{M} \| I-T_{k} \|^{2} \frac{m\bar{\delta}^{i}}{\mu^{i}} $
(14) 联立式(13) 和式(14), 可得
$ \| \pmb \vartheta_{k} \|^{2} \leq \left( \sum\limits_{\tau=0}^{k} b a^{k-\tau} \right)^{2} \sum\limits_{i=1}^{M} \| I-T_{k} \|^{2} \frac{m\bar{\delta}^{i}}{\mu^{i}} $
对上式两边求期望, 可得
$ \label{vartheta_k_daxiao} {\rm E}\left\{ \| \pmb \vartheta_{k} \|^{2}\right \} \leq \left( \frac{b}{1-a} \right)^{2} \sum\limits_{i=1}^{M} \| I-T_{k} \|^{2} \frac{m\bar{\delta}^{i}}{\mu^{i}} $
(15) 联立式(12) 和式(15), 可得
$ \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{\rm sup}E{\|\pmb e_{k}\|^{2}} < +\infty $
为便于比较本文中提出的多通道解耦事件触发估计算法与文献[19]中的算法的差别, 参照文献[19]中的参数, 令
$ \tilde{\pmb{y}}_{k}^{i}=\hat{\pmb{y}}_{k|k-1}^{i}=C^{i}\hat{\pmb{x}}_{k|k-1} $
(16) $ \left(\bar{W}_{k,i}^{l}\right)^{-1} = G^{l}\frac{C^{i}P_{k|k-1}(C^{i})^{\rm T}+R_{k}^{i}}{\text{tr}\left(C^{i}P_{k|k-1}(C^{i})^{\rm T}+R_{k}^{i} \right)} \label{definition_W} $
(17) 显然, 式(17) 满足定理2中的条件, 可保证融合中心估计误差的有界性.
3. 网络传输数据量分析
定义 1. k时刻传感器节点i发送至融合中心的传输数据量指的是此时节点i发送至融合中心的量测分量数目; k时刻传感器网络传输数据量指的是此时传感器网络中各节点传输数据量之和.
由定义1可得k时刻在多通道解耦触发机制下传感器节点i发送至融合中心的传输数据量
$ V_{dc}^{i}(k)=\sum\limits_{l=1}^{m}\bar{r}_{k}^{i,l} $
(18) k时刻多通道解耦事件触发机制下传感器网络传输数据量
$ \label{dc_network_amount} V_{dc}(k)=\sum\limits_{i=1}^{M} V_{dc}^{i}(k) = \sum\limits_{i=1}^{M} \sum\limits_{l=1}^{m}\bar{r}_{k}^{i,l} $
(19) k时刻在正常通信机制(即每时刻传感器网络各节点将全部量测分量发送至融合中心) 下传感器节点i发送至融合中心的传输数据量
$ V_{n}^{i}(k)=m $
(20) k时刻正常通信机制下传感器网络传输数据量
$ \label{comm_amount_normal} V_{n}(k)= \sum\limits_{i=1}^{M}V_{n}^{i}(k)= m M $
(21) 类似地, 可得k时刻多通道耦合触发机制下传感器节点i发送至融合中心的传输数据量
$ V_{c}^{i}(k)=r_{k}^{i} m $
(22) k时刻多通道耦合触发机制下传感器网络传输数据量
$ \label{comm_amount_shijianchufa} V_{c}(k)=\sum\limits_{i=1}^{M} V_{c}^{i}(k) = \sum\limits_{i=1}^{M} r_{k}^{i} m $
(23) 由多通道解耦事件触发机制(4) 及多通道耦合事件触发机制(3) 可得, k时刻对传感器节点i有
$ \label{dc_c_dengjia} \sum\limits_{l=1}^{m}G^{l}(\pmb{y}_{k}^{i}-\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i}) = \pmb{y}_{k}^{i}-\tilde{\pmb{y}}_{k}^{i}\notag \\ \sum\limits_{l=1}^{m}\bar{\delta}_{i}^{l}=\delta_{i} $
(24) 因此, 在多通道解耦触发机制下, 当节点i各量测分量触发条件均满足(即 $\bar{r}_{k}^{i, 1}=\cdots=\bar{r}_{k}^{i, m}=1$ ) 时, 对于同一量测向量, 在多通道耦合机制下可得其触发条件一定满足( $r_{k}^{i}=1$ ).即说明此时传感器节点i在多通道解耦事件触发机制(4) 和多通道耦合机制(3) 下发送至融合中心的传输数据量相等, 均为m.
反过来, 当k时刻传感器节点i在多通道耦合事件触发机制下满足触发条件时, 节点i发送给融合中心的传输数据量为m.此时对于同一量测向量, 在多通道解耦事件触发机制下, 由于各量测分量是否发送是独立进行判断的, 无法保证每一分量均满足触发条件, 因此节点i发送至融合中心的传输数据量 $V_{dc}^{i}$ 满足 $0 < V_{dc}^{i}\leq m$ .
由上述分析可得, 就传感器网络的传输数据量而言, 在最不利的情况下, 两种机制等价.一般情形下, 多通道解耦事件触发机制通常优于多通道耦合机制.
4. 仿真结果及分析
仿照文献[19]中的仿真环境.考虑由 $M=10$ 个传感器组成的传感器网络对二维匀速直线运动目标进行观测, 目标运动方程为
$ \pmb{x}_{k+1}=\left[ \begin{array}{cccc} 1 \quad&\Delta \quad&0 \quad&0 \\ 0 \quad&1 \quad &0\quad &0 \\ 0 \quad&0 \quad&1\quad &\Delta \\ 0\quad &0 \quad&0 \quad &1 \end{array} \right]\pmb{x}_{k} + \pmb{w}_{k} $
其中, $\Delta=1$ 为采样间隔, 目标状态变量, 表示目标位置, $[v_{x} \ v_{y}]^{\rm T}$ 表示目标速度.目标初始状态 $x_{0}$ 为 $[-10 \ 10 \ -10 \ 10]^{\rm T}$ .初始估计误差协方差阵 $P_{0}=10^{3}\times I$ .
过程噪声 $\pmb{w}_{k}$ 协方差阵为
$ Q=q \left[ \begin{array}{cccc} \frac{\Delta^{3}}{3} &\frac{\Delta^{2}}{2} &0 &0 \\ \frac{\Delta^{2}}{2} &\Delta &0 &0 \\ 0 &0 &\frac{\Delta^{3}}{3} &\frac{\Delta^{2}}{2} \\ 0 &0 &\frac{\Delta^{2}}{2} &\Delta \end{array} \right] $
其中, $q=1$ .
各传感器节点对目标量测方程为
$ \pmb{y}_{k}^{i}=\left[ \begin{array}{cccc} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \end{array} \right]\pmb{x}_{k}+\pmb{v}_{k}^{i}, \\ 1 \leq i \leq M,\ \, i \in \bf{N} $
其中, $\pmb{y}_{k}^{i}$ 是笛卡尔坐标系中传感器i对目标位置的量测向量.量测噪声 $\pmb{v}_{k}^{i}$ 协方差阵为
$ R_{k}^{i}=\text{diag}\{5\sqrt{i} \quad 5\sqrt{i}\} $
本文中提出的多通道解耦触发机制与文献[19]中多通道耦合传输机制下单一传感器(以节点3为例) 每时刻发送x位置量测分量及y位置量测分量至融合中心统计意义下的概率由图 2给出.为保证两种传输机制门限因子一致, 令 $\delta_{i}=30$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}= 15$ .
图 2 $\delta_{i}=30$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=15$ 时3号传感器发送x位置及y位置量测分量至融合中心的概率Fig. 2 The probability of the x position and y position measurement sent by sensor No. 3 to fusion center per second when $\delta_{i}=30$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=15$由图 2可以看出, 对于同一传感器网络, 本文提出的多通道解耦事件触发机制相比较于文献[19]中的多通道耦合事件触发机制, 可减少每时刻单个传感器各量测分量发送至融合中心的概率.
不同门限因子下传感器网络在三种通信机制下每时刻网络传输数据量及相应估计精度, 即均方根误差(Root mean square error, RMSE) 如图 3~5.统计意义下的估计精度及通信量频率如表 1~3.本文中传感器网络的通信量频率指的是传感器网络各节点各量测通道单位时间内发送至融合中心的量测分量个数算术平均值.多通道解耦机制下通信量频率 $f_{dc}$ 与多通道耦合机制下通信量频率 $f_{c}$ 计算公式如下:
$ f_{dc}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{T}\sum\limits_{i=1}^{M}\sum\limits_{l=1}^{m}\bar{r}_{k}^{i,l}}{mMT} \\[2mm] f_{c}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{T}\sum\limits_{i=1}^{M}r_{k}^{i}}{MT} $
图 3 $\delta_{i}=6$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=3$ 时传感器网络每时刻传输数据量及对应估计精度Fig. 3 The RMSE of the estimation of the network and its corresponding data transmission amount per second when $\delta_{i}=6$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=3$
图 4 $\delta_{i}=12$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=6$ 时传感器网络每时刻传输数据量及对应估计精度Fig. 4 The RMSE of the estimation of the network and its corresponding data transmission per second when $\delta_{i}=12$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=6$
图 5 $\delta_{i}=30$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=15$ 时传感器网络每时刻传输数据量及对应估计精度Fig. 5 The RMSE of the estimation of the network and its corresponding data transmission per second when $\delta_{i}=30$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=15$表 1 $\delta_{i}=6$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=3$ 时通信量频率及 $RMSE_{av}$Table 1 The data transmission amount rate and $RMSE_{av}$ when $\delta_{i}=6$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=3$ }多通道解耦 多通道耦合 通信量频率 0.7500 0.8986 RMSEav 1.8733 1.8716 表 2 $\delta_{i}=12$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=6$ 时通信量频率及 $RMSE_{av}$Table 2 The data transmission amount rate and $RMSE_{av}$ when $\delta_{i}=12$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=6$多通道解耦 多通道耦合 通信量频率 0.6645 0.8091 RMSEav 1.8878 1.8845 表 3 $\delta_{i}=30$ , $\bar{\delta}_{i}^{1}=\bar{\delta}_{i}^{2}=15$ 时通信量频率及 $RMSE_{av}$Table 3 The data transmission amount rate and $RMSE_{av}$ when $\delta_{i}=30$多通道解耦 多通道耦合 通信量频率 0.4785 0.5987 RMSEav 1.9654 1.9608 图 3~5中最上方的三幅图像分别描述不同门限因子时同一传感器网络在三种不同通信机制(多通道解耦事件触发机制、文献[19]中的多通道耦合事件触发机制、正常通信机制) 下与融合中心的传输数据量, 由图 3~5中最上方的三幅图像可以看出多通道解耦事件触发机制可以显著降低传感器网络与融合中心的传输数据量.
图 3~5中间三幅图像分别描述不同门限因子时融合中心在三种不同通信机制下的估计精度.由于图中三条曲线较为接近, 为更加清晰表示估计精度, 在图 3~5最下方的三幅图像中绘制稳态估计精度曲线.由此6幅图像及表 1~3可以看出, 多通道解耦事件触发机制下的估计精度相比较于文献[19]中的多通道耦合事件触发机制, 其估计误差仅略微有所增加, 在可接受范围之内.
为进一步说明多通道解耦事件触发机制相比于多通道耦合机制在降低传感器网络传输数据量方面的作用, 分别与文献[17]和文献[18]中的多通道耦合事件触发机制进行了比较, 限于篇幅, 本文中未给出相关理论推导过程, 仅给出仿真结果对比加以说明, 如图 6和图 7所示.
从图 6和图 7可以看出, 多通道解耦事件触发机制相比较于文献[17]和文献[18]中的多通道耦合机制可以进一步减少传感器网络与融合中心的传输数据量, 虽然估计精度误差有所增加, 但在可接受范围之内.
综上所述, 由多通道解耦事件触发机制与文献[17]、文献[18]及文献[19]中的多通道耦合机制的仿真对比可得, 多通道解耦事件触发机制在保证融合中心估计精度的同时, 大大降低了传感器网络与融合中心的传输数据量, 具有一定的工程应用价值.下一节将详细描述多通道解耦事件触发机制在光电传感网络中的应用.
5. 应用实例
光电传感网络主要通过激光、红外、可见光谱段的光电传感器实现目标信息的获取, 并以有线或无线通信的方式实现网络的构建及信息共享, 在近距离防空中负责探测目标、量测目标信息等多项任务.
光电传感网络量测目标运动模型如下:
$ \pmb X_{k+1}=F_{k}\pmb X_{k}+\pmb w_{k} $
其中, $F_{k}$ 为状态转移矩阵. 为状态向量, 表示笛卡尔坐标系中运动目标的位置, 表示笛卡尔坐标系中运动目标的速度. $\pmb{w}_{k}$ 为过程噪声, 假定它为零均值高斯白噪声序列, 相应的方差表示为 $\bar{Q}$ .
k时刻光电传感器i对运动目标的量测方程如下:
$ \begin{cases} \varphi_{k}^{i}={\rm{arctan}}\left( \frac{y_{k}}{x_{k}} \right)+\tilde{\varphi}_{k}^{i} \\[2mm] \theta_{k}^{i}={\rm{arctan}}\left( \frac{z_{k}}{\sqrt{x_{k}^{2}+y_{k}^{2}}}\right)+ \tilde{\theta}_{k}^{i}\\[4mm] d_{k}^{i}=\sqrt{x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+z_{k}^{2}}+\tilde{d}_{k}^{i} \end{cases} $
其中, $\varphi_{k}^{i}$ , $\theta_{k}^{i}$ , $d_{k}^{i}$ 为k时刻以光电传感器i为原点对目标方位角、高低角、斜距离的测量值, $\tilde{\varphi}_{k}^{i}$ , $\tilde{\theta}_{k}^{i}$ , $\tilde{d}_{k}^{i}$ 为相应的加性量测噪声, 假定它们均为零均值高斯白噪声序列, 相应的方差分别为 $\sigma_{\varphi_{k}^{i}}^{2}$ , $\sigma_{\theta_{k}^{i}}^{2}$ , $\sigma_{{d}_{k}^{i}}^{2}$ .
光电传感网络作为传感器网络的一种, 本文中提出的多通道解耦事件触发机制可以运用到光电传感网络中, 减少光电传感网与融合中心的网络传输数据量, 在一定程度上增强光电传感网络的隐蔽性, 示意图如图 8所示.
图 8 多通道解耦事件触发机制下的光电传感网络目标跟踪示意图Fig. 8 The diagram of target tracking of the optic-electric sensor network with the multi-channel decoupled event triggered mechanism为更清晰地解释多通道解耦事件触发机制相比较于多通道耦合机制可进一步减少光电传感网络的传输数据量, 以光电传感网络中火控系统空情信息核心数据发送协议为例加以说明.相关协议内容如表 4.
表 4 火控系统空情信息核心数据发送协议Table 4 The core data transmission protocol of the fire control systemx位置 x速度 y位置 y速度 z位置 z速度 字长 2字节 2字节 2字节 2字节 2字节 2字节 以传感器节点i为例, 在多通道解耦机制(4) 下, 当各量测分量触发条件同时满足时, 传感器节点i向融合中心发送的传输数据量 $U_{dc}^{i}(k)=12$ 字节.由于多通道耦合机制(3) 和多通道解耦机制(4) 满足式(24), 对于同一量测向量, 在多通道耦合事件触发机制(3) 下必定满足触发条件, 传感器节点i向融合中心发送的传输数据量为 $U_{c}^{i}(k)=12$ 字节.
反过来, 在多通道耦合事件触发机制(3) 下, 当触发条件满足时, 传感器节点i向融合中心发送的传输数据量为 $U_{c}^{i}(k)=12$ 字节.对于同一量测向量, 在多通道解耦机制(4) 下, 由于各分量是否发送至融合中心是分开进行判断的, 无法保证满足每一量测分量触发条件, 因此传感器节点i向融合中心发送的传输数据量 $U_{dc}^{i}(k)$ 满足 $0 < U_{dc}^{i}(k)\leq12$ 字节.
由上述分析可知, 就火控系统光电传感网络的传输数据量而言, 在最不利的情况下, 上述两个机制是等效的.一般工程应用情形下, 多通道解耦事件触发机制通常优于多通道耦合事件触发机制, 在一定程度上了增强了系统的隐蔽性.
为了更清晰地表现出多通道解耦事件触发机制在光电传感网络中降低传输数据量的优势, 在仿真中对运动目标设置三种航路, 匀速直线航路A、匀速圆周航路B及蛇形机动航路C.目标运动航路水平面投影图如图 9所示.
光电传感网络中激光测距精度 $\sigma_{d}=15$ m, 方位角量测精度 $\sigma_{\varphi}=2.5$ mil, 高低角量测精度 $\sigma_{\theta}=2$ mil.滤波器初始状态向量及误差方差矩阵分别为
$ X_{0}=[1\,000\quad 10\quad 1\,000\quad 10\quad 1\,000\quad 10]^{\rm T} \\[0.3mm] P_{0}=10^2\times I $
航路A、航路B及航路C中多通道解耦事件触发机制、多通道耦合机制及正常通信机制下UCMKF算法[21]对目标的估计精度及网络传输数据量如图 10~图 12所示.
图 10 航路A三种通信机制下对目标估计精度及通信量Fig. 10 The RMSE and communication amounts under three communication mechanism for lane A
图 11 航路B三种通信机制下对目标估计精度及通信量Fig. 11 The RMSE and communication amounts under three communication mechanism for lane B
图 12 航路C三种通信机制下对目标估计精度及通信量Fig. 12 The RMSE and communication amounts under three communication mechanism for lane C从图 10~12可以看出, 多通道解耦事件触发机制相比于多通道耦合事件触发机制及正常通信机制光电传感网络与融合中心间的传输数据量得到了显著的降低, 与此同时, 其估计误差略有增加但在一定范围之内.因此在工程实际应用中, 本文提出的多通道解耦事件触发机制可以显著减少光电传感网络与融合中心的传输数据量, 在一定程度上增强了光电传感网络的隐蔽性, 同时保证了对目标的估计精度, 具有一定的工程应用价值.
6. 结论
本文针对传感器网络集中式融合估计算法, 提出了一种基于多通道解耦的事件触发量测传输机制, 并提出了相应的估计算法.文中给出了所提出估计算法估计误差有界的条件.分析了每时刻网络传输数据量, 并与文献[17]、文献[18]和文献[19]中的多通道耦合事件触发机制进行了仿真对比分析.通过仿真实验比较说明本文提出的多通道解耦事件触发机制相较于目前通用的多通道耦合事件触发机制, 可以在减少传感器网络通信数据量的同时, 在一定程度内保证融合中心的估计精度.最后通过火力控制系统中的光电传感网络应用实例验证了所提算法在工程应用中的可行性.
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图 2 3种情况下基于疲劳裂纹数据的剩余寿命估计PDF和期望值的比较结果
Fig. 2 Comparisons of the PDFs and mean of the RULs for three cases with the fatigue crack data
图 3 在第2.2 $\times$ 105周期监测点时3种情况下的剩余寿命PDF
Fig. 3 PDFs for the three cases at the 2.2 $\times$ 105 cycle
图 4 $\mu _{a, k|k}$和${\sigma _{a, k}}$基于第三组测量数据的更新
Fig. 4 Updates of $\mu _{a, k|k}$ and ${\sigma _{a, k}}$ based on the third set of data
图 5 基于第三组裂纹数据的剩余寿命估计的MSE比较结果
Fig. 5 Comparisons for the MSE of the estimated remaining useful life based on the third set of data
图 7 基于第四组陀螺漂移数据的剩余寿命估计的MSE比较结果
Fig. 7 Comparisons for the MSE of the estimated remaining useful life based on the fourth set of gyro data
表 1 3种情况下对疲劳裂纹的估计结果
Table 1 Comparisons of three degradation models with fatigue-crack growth data
$\mu _a$ $\sigma _a$ b ${\sigma _B}$ ${\sigma _\varepsilon }$ log-LF AIC TMSE 情况1 3.9477E-005 8.9347E-006 13.482 1.8977 - -43.1125 94.225 0.0518 情况2 4.9223E-005 - 13.3145 0.5346 0.4907 -37.4882 82.9764 0.0259 情况3 4.9E-003 1.9582E-004 8.1382 0.0114 0.5121 -28.9682 67.9364 0.0063 
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表 2 3种情况下各状态监测点疲劳裂纹的MSE值
Table 2 MSEs of fatigue-crack growth data condition monitoring points for the three cases
监测点($\times {10^5}$周期) 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 情况1 0.0067 0.0060 0.0055 0.0050 0.0053 0.0042 0.0036 0.0122 0.0034 情况2 0.8190 0.7444 0.6603 0.5667 0.4653 0.3655 0.2640 0.1459 0.0449 情况3 0.0076 0.0038 0.0021 0.0015 0.0015 0.0015 0.0015 0.0031 0.0032
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表 3 3种情况下对陀螺仪的估计结果
Table 3 Comparisons of three degradation models with gyros
$\mu _a$ $\sigma _a$ b ${\sigma _B}$ ${\sigma _\varepsilon }$ log-LF AIC TMSE 情况1 6.6895E-021 6.1544E-021 14.8843 0.0668 - 27.6830 -47.3360 66.1468 情况2 1.4625E-013 - 13.3145 0.1563 0.0400 -2.3983 -3.2034 89.5732 情况3 5.2151E-026 4.8076E-026 18.6422 0.0646 0.0253 27.9339 -45.8780 42.8521
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表 4 3种情况下各状态监测点陀螺仪的MSE值
Table 4 MSEs of gyros data condition monitoring points for the three cases
监测点(h) 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 情况1 8.3907 11.5918 16.1759 11.4570 6.4760 4.8352 4.5324 2.4438 情况2 9.6285 18.5416 17.4385 14.3918 10.6622 8.5542 7.1531 3.1990 情况3 5.0858 7.9371 12.0434 8.2163 3.7278 2.2491 2.2328 1.1327
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