Application of a New Adaptive Robust Controller Design Method to Electro-hydraulic Servo System
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摘要: 提出了一种自适应鲁棒控制器设计新方法, 并运用在阀控缸电液位置伺服系统中.首先, 将含有确定、不确定、已知、未知、线性和非线性项的电液伺服系统进行完整地数学建模, 以状态空间的形式表出.然后利用本文所提的新方法设计自适应鲁棒控制器和相应的自适应律来处理所建模型中的各项元素.该控制器通过设计一个带有虚拟控制量的控制状态空间表达式并结合状态观测器来获得.设计合适的虚拟控制量, 可在任意给定条件下, 使所有的系统状态都收敛到所设计的理想状态.接着设计李亚普诺夫函数来证明闭环系统的稳定性.最后建立硬件实验平台与经典自适应鲁棒控制方法进行对比实验验证此自适应鲁棒控制器设计新方法的有效性和优势.Abstract: This paper proposes a new design method of adaptive robust controller and applies it to a valve-control-cylinder electro-hydraulic servo system. Firstly, the system is fully derived in the state-space form, which includes all the certain, uncertain, known, unknown, linear and nonlinear terms of the system. Then the adaptive robust controller designed by the new method is employed, together with the chosen adaption laws, to deal with all the elements of the modeled mathematical system. The proposed controller is obtained by designing a control state-space expression with auxiliary control components and a state observer. Under an arbitrary given trajectory, all the system states will converge to the desired states through designing the appropriate auxiliary control components. Lyapunov method is utilized to strictly prove the convergence and stability of the system. Finally, a hardware platform of the system is set up and comparative experiments with the adaptive robust controller are implemented to verify the effectiveness and advantages of the proposed method.
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Key words:
- Adaptive robust /
- state observer /
- electro-hydraulic /
- uncertainties /
- nonlinear
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电液伺服系统集电气液压两方面优势于一身, 具有响应速度快、功率密度高、负载能力强等特点, 故在国民经济领域[1], 如负载模拟器[2]、电机控制[3]、机械臂控制[4]、工程液压机械[5]中得到广泛应用.如何提高电液伺服系统在复杂工况下的控制精度及其抗干扰能力一直是目前研究的一个热点领域[6-8].由于电液伺服系统具有高度的非线性和不确定性[1], 使用传统的线性控制理论[9]或反馈线性化方法[10]难以达到相应的控制要求, 故非线性控制器, 如自适应鲁棒控制器[11], 在电液伺服系统中的应用得以迅速发展, 其研究内容包括未知非线性参数[12]、未知死区[13]和补偿控制[14]等.
自适应鲁棒控制作为非线性控制的重要部分而受到极大关注. Krstic等在文献[15]中给出了一种基于"积分反步"思想逐步设计非线性控制器的方法.近20年来, 基于积分反步的自适应鲁棒方法发展迅速[2-5, 8, 11-14].如, Yao等在文献[16]中提出了半正定反馈形式下的单输入单输出自适应鲁棒控制方法, 为了解决该方法不能独立设计控制律和自适应律的缺陷, 又在文献[17]中提出了间接自适应鲁棒控制方法.然而, 之前的研究并没有完全考虑到加载变化、模型误差、传感器噪声、未建模不确定项等的综合影响, 这可能影响到系统的抖振和控制精度.
此外, 在实际控制系统中, 难免会存在一些无法测量或测量成本较高的系统状态, 而这些系统状态又是控制器设计所必须的, 故状态观测器应运而生[6, 10].随着科技的发展、系统的复杂化和现代控制理论研究的深入, 基于自适应鲁棒和非线性的状态观测器得到了广泛研究[13, 18], 其扩张形式亦是如此[3, 19].
因此, 本文充分考虑了以上提及的各项可能影响系统控制性能的因素, 建立完整的系统数学模型.所有的系统参数不确定性都由相应的自适应律来处理, 而未知的非线性项则由圆滑的鲁棒非线性技术来补偿.整个系统控制器由一个带有虚拟控制量的控制状态空间表达式结合状态观测器来获得, 并通过李亚普诺夫函数证明闭环系统的收敛性和稳定性.最后, 对比实验验证其有效性和优势.
1. 系统平台与建模
本文研究的系统如图 1所示, 包含有液压缸、伺服阀、溢流阀、电机泵、负载、传感器及控制器.此系统研究目的是通过控制伺服阀来间接控制负载尽可能的跟上给定轨迹, 并能有效抑制外界干扰.
根据已有的研究[6-11]和系统应用实际情况, 可对电液阀控缸位置伺服系统进行数学建模.由牛顿第二定律可得负载动力学模型如下:
$ \begin{align} {P_1}{A_1} - {P_2}{A_2} = M{\ddot x_L} + {F_f} + \bar F + {\Delta_1} \end{align} $
(1) 其中, ${P_1}$ , ${P_2}$ 为两腔压力, ${A_1}$ , ${A_2}$ 为两腔有效面积, $M$ , ${x_L}$ 分别为负载质量和位移, ${F_f}$ 为可建模摩擦力, $\bar F$ 为可建模负载力, ${\Delta _1}$ 为不确定负载扰动力、不可建模摩擦力和外界干扰力等扰动力总和.
在本文电液伺服系统中, 系统复合不确定摩擦可分成库伦摩擦和粘性摩擦[14], 即
$ \begin{align} {F_f} = {b_0}{x_L} + {b_1}{\dot x_L} + {b_2}sgm({\dot x_L}) \end{align} $
(2) 同时, 可以将负载力 $F$ 当成弹簧阻尼力和一个小的未知不确定力 ${\vartriangle _1} \in {\Delta _1}$ 之和, 即
$ \begin{align} F = \bar F + {\vartriangle_1} = {b_3} + {b_4}{x_L} + {b_5}{\dot x_L} + {\vartriangle_1} \end{align} $
(3) 其中, ${b_i}$ $(i=0, \cdots, 5)$ 为摩擦系数, $sgm(\cdot)=(1$ - ${{\rm e}^{ -\lambda \cdot }})/(1 + {{\rm e}^{ -\lambda \cdot }})$ .
根据流量连续性, 可写出液压缸动态方程为
$ \begin{align} \begin{cases} \dfrac{{{V_1}}}{{{\beta _e}}}{{\dot P}_1} = {Q_1} - {A_1}{{\dot x}_L} - {C_{tm}}({P_1} - {P_2}) -\\ \qquad\quad~~ {C_{em1}}({P_1} - {P_r})+{\Delta _{{Q_1}}} \\[2mm] \dfrac{{{V_2}}}{{{\beta _e}}}{{\dot P}_2} = - {Q_2} + {A_2}{{\dot x}_L} + {C_{tm}}({P_1} - {P_2}) - \\ \qquad\quad~~ {C_{em1}}({P_2} - {P_r}) + {\Delta _{{Q_2}}} \\ \end{cases} \end{align} $
(4) 其中, ${V_1}={V_{10}} + {A_1}{x_L}$ , ${V_2}={V_{20}} -{A_2}{x_L}$ 分别为两腔整个可控体积( ${V_{10}}, {V_{20}}$ 为 ${x_L}=0$ 时两腔容积), ${P_r}$ 为回油压力, ${\beta _e}$ 为有效弹性模量, ${C_{tm}}$ 和 ${C_{em1}}$ , ${C_{em2}}$ 分别为内外泄漏系数, ${Q_1}$ , ${Q_2}$ 分别为进入油缸流量和排出油缸流量, ${\Delta _{{Q_1}}}$ , ${\Delta _{{Q_2}}}$ 分别为两腔未建模流量.
忽略伺服阀动态, 通过阀口的流量是与阀开口大小 ${x_v}$ 和压降 $\Delta {P_i}$ 有关的静态非线性函数映射, 即阀节流公式[4]为
$ \begin{align} &Q_i= {C_d}W{x_v}\sqrt {\frac{2}{\rho }\Delta {P_i}}\notag \\ & \Delta {P_i} = \begin{cases} {P_s} - {P_i}, & {x_v} > 0 \\ {P_i} - {P_r}, & {x_v} < 0 \\ \end{cases}, \ \ i = 1, 2 \end{align} $
(5) 其中, ${C_d}$ 为流量系数, $W$ 为滑阀面积梯度, $\rho $ 为油液密度, ${P_s}$ 为供油压力.
定义液压缸中点为零点, 则系统的工作范围为 ${x_L}$ $\in$ $[-{L}/{2}, {L}/{2}]$ , 两腔初始可控体积为
$ \begin{align} \left\{ \begin{array}{l} {V_{10}} = {V_{1c}} + {A_1}\dfrac{L}{2} \\ {V_{20}} = {V_{2c}} + {A_2}\dfrac{L}{2} \\ \end{array} \right. \end{align} $
(6) 其中, $L$ 为液压缸行程, ${V_{1c}}$ , ${V_{2c}}$ 分别为两腔油路和腔体未使用体积总和.
由伺服阀动态性能可知[2, 11], 伺服阀阀芯位移 ${x_v}$ 与控制电流 $i$ 的关系如下:
$ \begin{align} {\tau _v}{\dot x_v} = - {x_v} + {k_v}i \end{align} $
(7) 其中, ${\tau _v}$ , ${k_v}$ 分别为伺服阀的动态时间常数和增益.
定义系统状态变量 $\boldsymbol{x}={[{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{x_2}} & {{x_3}} & {{x_4}} \\ {array}]^{\rm T}}={[{array}{*{20}{c}} {{x_L}} & {{{\dot x}_L}} & {{P_1}{A_1}-{P_2}{A_2}} & {{x_v}} \\ {array}]^{\rm T}}$ , 并取 $u=i$ , 结合式(1)~(7)可得:
$ \begin{align} \begin{cases} {{\dot x}_1} = {x_2} \\[2mm] {{\dot x}_2} = \dfrac{1}{{{f_0}}}({x_3} + {f_1}({x_1}, {x_2}) + {\Delta _1}) \\[2mm] {{\dot x}_3} = \dfrac{1}{{{f_4}({x_1})}}({f_3}({x_1}, {P_1}, {P_2}){x_4} +\\[1.5mm] \qquad\ {f_2}({x_1}, {x_2}, {P_1}, {P_2}) + {\Delta _2}) \\[2mm] {{\dot x}_4} = {f_5}({x_4}) + {f_6}u \\ \end{cases} \end{align} $
(8) 其中,
$ \begin{align} \begin{cases} {f_0} = M \\ {f_1}({x_1}, {x_2}) = {b_3} + ({b_0} + {b_4}){x_1} + \\ \qquad({b_1} + {b_5}){x_2} + {b_2}sgm({x_2}) \\ {f_2}({x_1}, {x_2}, {P_1}, {P_2}) = {A_1}{V_2}[-{A_1}{x_2}-\\ \qquad{C_{tm}}({P_1}-{P_2}) - {C_{em1}}({P_1} - {P_r})] - \\ \qquad{A_2}{V_1}[{A_2}{x_2} + {C_{tm}}({P_1}-{P_2})-\\ \qquad{C_{em2}}({P_2}-{P_r})] \\ {f_3}({x_1}, {P_1}, {P_2}) = {C_d}W\sqrt {\dfrac{2}{\rho }} \left({A_1}{V_2}\sqrt {\Delta {P_1}} + \right. \\ \left.\qquad{A_2}{V_1}\sqrt {\Delta {P_2}}\right) \\ {f_4}({x_1}) = \dfrac{{{V_1}{V_2}}}{{{\beta _e}}} \\ {f_5}({x_4}) = - \dfrac{1}{{{\tau _v}}}{x_4} \\ {f_6} = \dfrac{{{k_v}}}{{{\tau _v}}} \\ {\Delta _2} = {A_1}{V_2}{\Delta _{{{\rm{Q}}_{\rm{1}}}}} - {A_2}{V_1}{\Delta _{{{\rm{Q}}_2}}} \end{cases} \end{align} $
(9) 由式(8)和式(9)可知, 被研究系统是一个非线性系统, ${F_f}$ , $\bar F$ 是未知函数, ${\Delta_1}$ , ${\Delta _{{Q_1}}}$ , ${\Delta _{{Q_2}}}$ 是未建模元素, 参数 ${C_{tm}}$ , ${C_{em1}}$ , ${C_{em2}}$ 难以精确给出, 伺服阀特性参数 ${\tau _v}$ 和 ${k_v}$ 不确定, ${V_{10}}$ , ${V_{20}}$ , $M$ 也不确定, 且 ${\beta _e}$ 在工作过程中会发生改变.所以, 对这样一个未知的不确定非线性系统设计一个控制器, 使输出 ${x_L}$ 尽可能地跟上给定输入 ${x_{Ld}}$ 是具有挑战性的, 也是本文的主要工作.为不失一般性和体现该设计新方法的可普遍推广性, 本文控制器设计中尽可能考虑了系统中所有的不确定项和传感器噪声, 从而提出一种直观简洁的自适应鲁棒控制器设计方法, 并结合状态观测器来进行控制器设计.
2. 自适应鲁棒控制器设计新方法
本文的控制器设计包含系统所有的不确定项和未知元素.该控制器结构是由一个含有虚拟控制量的被控系统控制状态空间表达式结合状态观测器建成的.通过选择合适的虚拟控制量可以使系统状态跟上理想状态.然而, 实际系统与系统模型总存在偏差, 所有的传感器测量量总是含有来自传感器零偏、噪声或影响测量精度的不期望元素.因此, 本文将这些元素当成不确定项加入到实时系统模型中.
为便于分析, 取 $\hat \bullet $ 为 $ \bullet $ 估计值; $\tilde \bullet=\bullet -\hat \bullet $ 为 $ \bullet $ 估计误差.并给出以下三个假设:
假设1. 系统不确定参数向量 $\pmb \theta $ 在一个闭合有界凸集 $\Omega $ 内, 即在 $\pmb\theta \in \Omega $ 有 ${\pmb\theta _{\min }} \le \pmb\theta \le {\pmb\theta _{\max }}$ , 其中 ${\pmb\theta _{\min }}$ 和 ${\pmb\theta _{\max }}$ 分别为已知的 $\pmb\theta $ 上下界. 假设2. 不确定项 $\Delta $ 有界, 即 $\left| \Delta \right| \le B$ , 其中 $B$ 为已知正常数. 假设3. 系统状态有界, 且理想输出轨迹 ${x_{Ld}}$ 连续可实现, 即 ${[{x_{Ld}}, {\dot x_{Ld}}, {\ddot x_{Ld}}]^{\rm T}} \in {\Omega _{Ld}}$ , ${\Omega _{Ld}}=\{ [{x_{Ld}}, $ ${\dot x_{Ld}}$ , ${\ddot x_{Ld}}]^{\rm T}:x_{Ld}^2 + \dot x_{Ld}^2 + \ddot x_{Ld}^2 \le {M_0}\} \subset R^3$ 是一个已知紧集, 该集的界 ${M_0}$ 是一个已知正常数.
性质1. 被估计参数 $\hat \theta $ 在已知有界集 ${\Omega _ {\pmb \theta} }$ , 即 $\hat {\pmb \theta}$ $\in$ ${\Omega _ {\pmb \theta} }$ , 由假设1可得 ${{\pmb \theta} _{\min }} \le \hat {\pmb \theta} \le {{\pmb \theta} _{\max }}$ .
性质2. ${\tilde {\pmb \theta} ^{\rm T}}({\Gamma ^{ -1}}{\rm proj}{_{\hat {\pmb \theta} }}(\Gamma {\pmb\tau}) -{\pmb\tau}) \le 0$ , $\forall {\pmb\tau} $ .
由式(8)可得本文电液伺服系统的全状态空间表达式(10).其中, ${\delta _i}$ , $i=1, \cdots, 4$ 为集中的含有测量误差、加载模型误差和液压模型误差的未知项, 故这些未知项在每一阶系统都会存在.显然, 由假设2\linebreak可知这些未知项有界.
$ \begin{align} \begin{cases} {{\dot x}_{1m}} = {x_{2m}} + {\delta _1} \\ {{\dot x}_{2m}} = \dfrac{1}{{{f_0}}}({x_{3m}} + {f_1} + {\delta _2}) \\ {{\dot x}_{3m}} = \dfrac{1}{{{f_4}}}({f_3}{x_{4m}} + {f_2} + {\delta _3}) \\ {{\dot x}_{4m}} = {f_5} + {f_6}u + {\delta _4} \end{cases} \end{align} $
(10) 由系统的全状态空间表达式(10), 提出系统的控制状态空间表达式
$ \begin{align} \begin{cases} {{\dot x}_{1c}} = {x_{2c}} + {\alpha _{1c}} \\ {{\dot x}_{2c}} = \dfrac{1}{{{{\hat f}_0}}}({x_{3c}} + {{\hat f}_1}) + {\alpha _{2c}} \\ {{\dot x}_{3c}} = \dfrac{1}{{{{\hat f}_4}}}({{\hat f}_3}{x_{4c}} + {{\hat f}_2}) + {\alpha _{3c}} \\ {{\dot x}_{4c}} = {{\hat f}_5} + {{\hat f}_6}u + {\alpha _{4c}} \end{cases} \end{align} $
(11) 其中, ${x_{ic}}$ , $i=1, \cdots, 4$ 是给定的状态轨迹, ${\alpha _{ic}}$ , $i=$ $1 $ , $\cdots$ , $4$ 是虚拟控制量, 被设计来满足系统的控制目标.因为系统的全状态空间表达式(10)中每一阶系统都含有未知项, 故在系统的控制状态空间表达式(11)中每一阶系统都需要一个虚拟控制量来进行状态控制的同时鲁棒抑制这些未知项, 这是与经典自适应鲁棒控制器设计所不同的[11].
结合式(10)和式(11), 定义状态误差为
$ \begin{align} {\left. {{z_i}(t)} \right|_{i = 1, \cdots, 4}} = {x_{im}} - {x_{ic}} \end{align} $
(12) 联合式(10)~(12)可得误差状态方程
$ \begin{align} \begin{cases} {{\dot z}_1} = {z_2} + {\delta _1} - {\alpha _{1c}} \\ {{\dot z}_2} = \dfrac{1}{{{f_0}}}({z_3} + {{\tilde f}_1} + {\delta _2}) + \dfrac{{{{\tilde f}_0}}}{{{f_0}{{\hat f}_0}}}({x_{3c}} + {{\hat f}_1}) - {\alpha _{2c}} \\ {{\dot z}_3} = \dfrac{1}{{{f_4}}}( - {{\tilde f}_3}{x_{4c}} - {{\tilde f}_2} + {f_3}{z_4} + {\delta _3}) + \\[2mm] \qquad \dfrac{{{{\tilde f}_4}}}{{{f_4}{{\hat f}_4}}}({{\hat f}_3}{x_{4c}} + {{\hat f}_2}) - {\alpha _{3c}} \\ {{\dot z}_4} = - {{\tilde f}_5} - {{\tilde f}_6}u + {\delta _4} - {\alpha _{4c}} \end{cases} \end{align} $
(13) 假设不确定项有足够好学习速率来收敛到它们的真实值, 结合假设2, 则控制状态空间表达式的虚拟控制量为式(14).其中, ${k_j}$ , ${k_{ij}}$ , ${\alpha _j}$ , $j=1, \cdots, 4$ 是正定常数, ${z_{ij}}$ , $j=$ $1$ , $\cdots$ , $4$ 是鲁棒函数.由式(14)可知, 每一阶系统的虚拟控制量都含有像PID控制中一样作用的比例项和积分项, 可分别看作鲁棒自适应控制中的自适应项和鲁棒项[20], 此外下一阶系统的虚拟控制量会含有与上一阶系统相关的耦合控制量.
$ \begin{align} \begin{cases} {\alpha _{1c}} = {k_1}{z_1} + {k_{i1}}{z_{i1}} \\ {\alpha _{2c}} = \dfrac{1}{{{{\hat f}_0}}}\left({k_2}{z_2} + {k_{i2}}{z_{i2}} + \dfrac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{z_1}\right) \\ {\alpha _{3c}} = \dfrac{1}{{{{\hat f}_4}}}\left({k_3}{z_3} + {k_{i3}}{z_{i3}} + \dfrac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _3}}}{z_2}\right) \\[2mm] {\alpha _{4c}} = {k_4}{z_4} + {k_{i4}}{z_{i4}} + \dfrac{{{\alpha _3}}}{{{\alpha _4}}}{{\hat f}_3}{z_3} \end{cases} \end{align} $
(14) 在此, 本文取 ${z_{ij}}$ , $j=1, \cdots, 4$ 是圆滑有界的鲁棒函数
$ \begin{align} {\left. {{z_{ij}}(t)} \right|_{j = 1, \cdots, 4}} = \int_0^t {{z_j}(\tau )} \rm d\tau \end{align} $
(15) 在整个自适应鲁棒控制系统中, 同时利用估计模型来逼近不确定函数.首先, 每个不确定函数被分成两部分:确定参数向量 $ \boldsymbol{\gamma} $ 和不确定参数向量 $ \boldsymbol{\theta} $ .确定项由测量元素组成, 而不确定项包含不确定参数, 即
$ \begin{align} {\left. {{f_i}} \right|_{i = 0, \cdots, 6}} = \theta _i^{\rm T}{\gamma _i} \end{align} $
(16) 其中,
$ \begin{align} \begin{cases} {\theta _0} = M \\ {\pmb \theta _1} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{b_3}} & {{b_0} + {b_4}} & {{b_1} + {b_5}} & {{b_2}} \\ \end{array}]^{\rm T}} \\ {{\pmb \theta _2} } = {[A_1^2{V_2} + A_2^2{V_1}}\quad {({A_1}{V_2} + {A_2}{V_1}){C_{tm}}} \\ {} \qquad\qquad {{C_{em1}}} \qquad\qquad\quad {{C_{em2}}{]^{\rm T}}} \\ {\pmb \theta _3} = {\big[\begin{array}{*{20}{c}} {{C_d}W\sqrt {\dfrac{2}{\rho }} {A_1}{V_2}} & {{C_d}W\sqrt {\dfrac{2}{\rho }} {A_2}{V_1}} \\ \end{array}\big]^{\rm T}} \\ {\theta _{\rm{4}}} = \dfrac{{{V_1}{V_2}}}{{{\beta _e}}} \\ {\theta _{\rm{5}}} = \dfrac{1}{{{\tau _v}}} \\[2mm] {\theta _{\rm{6}}} = \dfrac{{{k_v}}}{{{\tau _v}}} \end{cases} \end{align} $
(17) $ \begin{align} \begin{cases} {\gamma _0} = {\rm{1}} \\ {\pmb \gamma _1} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{1}} & {{x_1}} & {{x_2}} & {sgm({x_2})} \\ \end{array}]^{\rm T}} \\ {\pmb \gamma _2} = [-{x_2}\quad {-({P_1}-{P_2})} \\ \qquad\ \ { - ({P_1} - {P_r})}\quad {P_2} - {P_r}]^{\rm T} \\ {\pmb \gamma _3} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {\Delta {P_1}} } & {\sqrt {\Delta {P_2}} } \\ \end{array}]^{\rm T}} \\ {\gamma _{\rm{4}}} = 1 \\ {\gamma _{\rm{5}}} = - {x_4} \\ {\gamma _{\rm{6}}} = 1 \end{cases} \end{align} $
(18) 因此, 由式(16)可得要估计的函数可写为
$ \begin{align} {\left. {{{\hat f}_i}} \right|_{i = 0, \cdots, 6}} = \hat \theta _i^{\rm T}{\gamma _i} \end{align} $
(19) 由假设1和性质2, 可定义不确定参数的界为
$ \begin{align} {\left. {{{\hat \theta }_i}, {\theta _i}} \right|_{i = 0, \cdots , 6}} \in {B_i} = [{\theta _{i\min }}, {\theta _{i\max }}] \end{align} $
(20) 由假设3、式(6)和式(9)可知, 函数 ${f_3}$ 和 ${f_4}$ 在系统液压缸工作范围内正定.显然, 由性质1可知这些界定也确保了估计函数 ${\hat f_3}$ 和 ${\hat f_4}$ 也是正定的.
为保证系统被估计参数在其上下界内具有较好的自适应性能, 本文结合假设1设计带有遗忘因子的投影函数如下:
$ \begin{align} & {{{\rm{proj}}_{{{\hat \theta }_i}}}} |_{i = 0, \cdots, 6}( \bullet, { \bullet _{\min }}, { \bullet _{\max }}, a) = \notag \\ & \begin{cases} \left(1 - \frac{{( \bullet - { \bullet _{\min }})( \bullet - { \bullet _{\max }})}}{{b{{({ \bullet _{\max }} - { \bullet _{\min }})}^2}}}\right) \bullet, \\ \quad \mbox{若}~ \bullet \notin [{ \bullet _{\min }}, { \bullet _{\max }}]~\mbox{且}~(2 \bullet - { \bullet _{\max }} - { \bullet _{\min }})a > 0 \\[2mm] \bullet, \qquad \mbox{否则} \end{cases} \end{align} $
(21) 其中, $b$ 是正常数, $a$ 是映射遗忘参数.
由文献[2, 4, 11, 14], 可以给出自适应鲁棒控制器自适应律如下:
$ \begin{align} \dot {\hat {\pmb \theta}} ={{\rm{proj}}_{\hat {\pmb \theta} }}(\Gamma {\pmb \tau} ) \end{align} $
(22) 其中, $\pmb \tau $ 是自适应函数, 由下一节给出, 以保证系统李亚普诺夫稳定; 正定对称自适应速率矩阵 $\Gamma={\rm diag}\{ {P_0}, {P_1}, {P_2}, {P_3}, {P_4}, {P_5}, {P_6}\} $ , ${P_i}$ , $i=0, \cdots, 6$ , 为正定可逆对角常矩阵, 其中
$ \begin{align} \begin{cases} {P_0} = {p_0} \\ {P_1} = {\rm diag}\{ {{p_{11}}}, \ {{p_{12}}}, \ {{p_{13}}}, \ {{p_{14}}} \} \\ {P_2} = {\rm diag}\{ {{p_{21}}}, \ {{p_{22}}}, \ {{p_{23}}}, \ {{p_{24}}}\} \\ {P_3} = {\rm diag}\{ {{p_{31}}}, \ {{p_{32}}}\} \\ {P_{\rm{4}}} = {p_{\rm{4}}} \\ {P_{\rm{5}}} = {p_{\rm{5}}} \\ {P_{\rm{6}}} = {p_{\rm{6}}} \end{cases} \end{align} $
(23) 由于系统某些状态不易测量, 如 ${x_4}$ 阀芯位移, 但在本文中, 该状态对系统的自适应鲁棒控制器设计却是必不可少的, 故本文利用状态观测器对其进行观测.这里将式(8)改写为
$ \begin{align} \begin{cases} \pmb x = A\dot {\pmb x} + \varphi ({\pmb x}) + Bu + \Delta \\ y = C{\pmb x} \end{cases} \end{align} $
(24) 其中,
$ A = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\frac{1}{{{f_0}}}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\frac{{{f_3}}}{{{f_4}}}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right], \ \ \varphi ({\pmb x}) = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\frac{{{f_1}}}{{{f_0}}}} \\ {\frac{{{f_2}}}{{{f_4}}}} \\ {{f_5}} \\ \end{array}} \right], $\\ $B=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ {{f_6}} \\ \end{array}} \right], \ \ \Delta = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\frac{{{\Delta _1}}}{{{f_0}}}} \\ {\frac{{{\Delta _2}}}{{{f_4}}}} \\ 0 \\ \end{array}} \right], \ \ C={\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right]^{\rm T}} $
$ \begin{align} \dot {\hat {\pmb x} }=&\ A\hat {\pmb x} + \varphi (\hat {\pmb x}) + Bu + G(y - \hat y) =\notag \\ &\ (A - GC)\hat {\pmb x} + \varphi (\hat {\pmb x}) + Bu + Gy \end{align} $
(25) 其中, $G$ 为观测器增益.由式(24)和式(25)可得状态观测误差动态为
$ \begin{align} \dot {\tilde { \boldsymbol{x}}} = (A - GC)\tilde { \boldsymbol{x}} + \varphi ({\pmb x}) - \varphi (\hat {\pmb x}) + \Delta \end{align} $
(26) 通过选择合适的向量 $G$ 使 $A-GC$ 是霍尔维茨, 即可保证观测误差动态(26)李亚普诺夫稳定[3, 10, 19], 便可知道状态 ${x_4}$ 阀芯位移的观测值.最后由式(11)和式(14)可以得出该电液伺服系统的控制量
$ \begin{align} u =&\ \frac{1}{{{{\hat f}_6}}}{{\dot x}_{4c}} - {{\hat f}_5} - {\alpha _{4c}} =\notag\\ &\ \frac{1}{{{{\hat f}_6}}}{{\dot x}_{4c}} - {{\hat f}_5} - {k_4}{z_4} - {k_{i4}}{z_{i4}} - \frac{{{\alpha _3}}}{{{\alpha _4}}}{{\hat f}_3}{z_3} \end{align} $
(27) 3. 稳定性分析
本节通过设计李亚普诺夫函数来验证闭环系统的收敛性和稳定性, 并给出控制器的自适应函数 $\pmb{\tau}$ .
定理1. 给定非线性系统(8)和系统(9), 并取其第1个控制状态变量为参考输入, 在假设1~3下, 自适应鲁棒控制器结构设计为式(11), 虚拟控制量为式(14), 圆滑的鲁棒函数为式(15), 加上估计自适应律结构为式(22), 则有:
1) 所有的系统状态 ${x_{im}}$ , $i=1, \cdots, 4$ , 将一致收敛到理想状态 ${x_{ic}}$ , $i=1, \cdots, 4$ , 并最终有界.
2) 选择合适的参数 ${k_i}$ , ${k_{ij}}$ , ${\alpha _i}$ , $i, j=1, \cdots, 4$ , $\Gamma $ 和参考输入, 系统输出和理想参考输入的稳态跟踪误差将收敛到给定的界内.
证明. 定义集中有界未知项的有效范围为
$ \begin{align} {\left. {{\delta _i}} \right|_{i = 1, \cdots, 4}} \in [{c_i}- {W_{{\delta _i}}}, {c_i} + {W_{{\delta _i}}}] \end{align} $
(28) 其中, ${c_i}$ , ${W_{{\delta _i}}}$ 分别为范围的中心点和相应宽度.
取状态控制误差的候选李亚普诺夫函数为
$ \begin{align} {V_1} = \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^4 {{\alpha _j}} {\beta _j}z_j^2 \end{align} $
(29) 其中,
$ \begin{align} {\beta _j}=\begin{cases} {{f_0}}, & {j = 2} \\ {{f_4}}, & {j = 3} \\ 1, & {j = 1, 4} \\ \end{cases} \end{align} $
(30) 联合式(13)~(15), 对李亚普诺夫函数(29)时间微分可得
$ \begin{align} {{\dot V}_1} =& - \sum\limits_{j = 1}^4 \left[{{k_1}{\alpha _j}} z_j^2 + {\alpha _j}{z_j}({k_{ij}}{z_{ij}}-{\delta _j})\right] +\notag\\ &\ {\alpha _2}{z_2}{{\dot x}_{2c}}{{\hat f}_0} - {\alpha _2}{z_2}{{\hat f}_1} - {\alpha _3}{z_3}{{\hat f}_2} - {\alpha _3}{z_3}{x_{4m}}{{\hat f}_3} +\notag\\ &\ {\alpha _3}{z_3}{{\dot x}_{3c}}{{\hat f}_4} - {\alpha _4}{z_4}{{\hat f}_5} - {\alpha _4}{z_4}u{{\hat f}_6} \end{align} $
(31) 由系统动态(8)和(9), 控制模型(11)和(14)及假设3可知, 所有状态变量 ${x_{im}}$ , $i=1, \cdots, 4$ 和控制状态变量 ${x_{ic}}$ , $i=1, \cdots, 4$ 是有界的且在各自的工作区域内利普希茨.因此再由性质1可知估计参数的时间微分也在区域内有界.定义这些界为
$ \begin{align} \begin{cases} {\left. {{W_{{\theta _j}}}} \right|_{j = 0, \cdots, 6}} = \sup \left| {{{\dot {\hat \theta} }_j}} \right| \\ {\left. {{W_{{z_j}}}} \right|_{j = 1, \cdots, 4}} = \sup \left| {{z_j}} \right| \\ {\left. {{W_{{z_{ij}}}}} \right|_{j = 1, \cdots, 4}} = \sup \left| {{z_{ij}}} \right| \end{cases} \end{align} $
(32) 为保证系统的渐近稳定, 由式(31), 选择自适应律
$ \begin{align} &{\pmb \tau = }\notag\\ &\ \ \ \begin{array}{*{20}{lll}} {[-{\alpha _2}{\gamma _0}{{\dot x}_{2c}}{z_2}} & {{\alpha _2}{\gamma _1}{z_2}}\\ \ \ {{\alpha _3}{\gamma _2}{z_3}} & {{\alpha _3}{\gamma _3}{x_{4m}}{z_3}} & {-{\alpha _3}{\gamma _4}{{\dot x}_{3c}}{z_3}} \\ \ \ {{\alpha _4}{\gamma _5}{z_4}} & {{\alpha _4}{\gamma _6}u{z_4}{]^{\rm T}}} \\ \end{array} \end{align} $
(33) 联合性质2, 则李亚普诺夫函数(29)的微分改写为
$ \begin{align} {{\dot V}_1} \le & - \sum\limits_{j = 1}^4 {\left[{k_1}{\alpha _j}z_j^2 + {\alpha _j}{z_j}({k_{ij}}{z_{ij}}-{\delta _j})\right]} -\notag\\ &\ \sum\limits_{j = 0}^6 {\left(\tilde \theta _j^{\rm T}P_j^{ - 1}{{{\dot {\hat \theta} }}_j}\right)} \end{align} $
(34) 结合式(20)、(28)和(32), 则式(34)有\vskip0.1mm
$ \begin{align} {V_1} \le \frac{\kappa }{\varepsilon } \end{align} $
(35) 其中,
$ \begin{align} \begin{cases} \kappa = \sum\limits_{j = 1}^4 {[{\alpha _j}{W_{{e_j}}}({k_{ij}}{W_{{e_{ij}}}} + {c_j} + {W_{{\delta _j}}})]} +\\ \qquad \sum\limits_{j = 0}^6 {[(\left| {{B_j}} \right| + 2{W_{{\theta _j}}})P_j^{-1}{W_{{\theta _j}}}]} \\[4mm] \varepsilon = 2\min \{ {k_1}, {k_2}, {k_3}, {k_4}\} \end{cases} \end{align} $
(36) 故1)可证.
再考虑一个新的李亚普诺夫函数
$ \begin{align} {V_2} =&\ {V_1} + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^4 {\left[\frac{{{\alpha _j}}}{{{k_{ij}}}}{{({k_{ij}}{z_{ij}}-{c_j})}^2}\right]} +\notag\\ &\ \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 0}^6 {\left(\tilde \theta _j^{\rm T}P_j^{ - 1}{{\tilde \theta }_j}\right)} \end{align} $
(37) 微分该李亚普诺夫函数可得
$ \begin{align} {{\dot V}_2} =& - \sum\limits_{j = 1}^4 {\left[{k_j}{\alpha _j}z_j^2 + {\alpha _j}{z_j}({k_{ij}}{z_{ij}}-{\delta _j})\right]} +\notag\\ &\ \sum\limits_{j = 1}^4 {{\alpha _j}{z_j}({k_{ij}}{z_{ij}} - {c_j})} = \notag\\ &\ - \sum\limits_{j = 1}^4 {\left[{k_j}{\alpha _j}z_j^2 + {\alpha _j}{z_j}({c_j}-{\delta _j})\right]} \le \notag\\ &\ - \sum\limits_{j = 1}^4 {\left({k_j}{\alpha _j}z_j^2 - {\alpha _j}{z_j}{\mu _j}\right)} \end{align} $
(38) 因此有
$ \begin{align} {\left| {{z_1}} \right|_\infty } \le \sqrt \eta + \frac{{{W_{{\delta _1}}}}}{{2{k_1}}} \end{align} $
(39) 其中,
$ \begin{align} & {\left| {{\mu _j}} \right|_{j = 1, \cdots, 4}} \le {W_{{\delta _j}}}\notag \\ & \eta = \frac{{W_{{\delta _1}}^2}}{{4k_1^2}} + \frac{1}{{{k_1}{\alpha _1}}}\sum\limits_{j = 2}^4 {\left[{\alpha _j}{W_{{\delta _j}}}\min \left({{\left| {{z_j}} \right|}_\infty }, \frac{{{W_{{\delta _j}}}}}{{4{k_j}}}\right)\right]} \end{align} $
(40) 故2)可证.
本文设计的控制器考虑并包含了影响系统实时运行过程中的所有元素.其中有些元素在以往的研究中尚未涉及.从式(40)可知, 系统输出状态控制误差的极限依赖于其他的系统状态控制误差, 而且控制参数的选取也并不繁琐.
4. 实验验证
为了验证本文提出的控制系统的可行性和优势, 搭建实验平台如图 2, 并将本文提出的自适应鲁棒控制器设计新方法与文献[11]中的经典自适应鲁棒控制器进行对比性实验.本实验平台的硬件配置如表 1.其中位移传感器(WY-100L)采用差动变压器式位移传感器, 行程为0~100 mm, 精度为 $\pm 0.1 \%$ ; 压力传感器为TRAFAG8251/NAT系列压力变送器, 量程为0~400 bar, 精度为 $\pm $ 0.5 \%.由于FF-101/8型伺服阀不能测量自身阀芯位移, 但阀芯位移又为本文控制器设计所必须, 工程应用中可用具备阀芯位移检测的伺服阀, 如MOOG-D633/634;也可利用状态观测器对其进行观测, 可以减少成本, 即本文所用的方法.
图 2 阀控缸电液位置伺服系统实验平台Fig. 2 The experimental platform of valve-control-cylinder electro-hydraulic position servo system表 1 电液伺服系统硬件配置Table 1 The hardware of electro-hydraulic servo system组件 型号与参数 伺服电机 MDME152GCGM 泵 MCY14-13 溢流阀 Rexroth 伺服阀 FF-101/8 位移传感器 LVDT(WY-100L) 压力传感器 TRAFAG8251.84.25.17/NAT4000A 控制器 TMS320F28335 液压缸 $L$ : 100 mm, $D$ (piston): 20 mm, $D$ (rod): 10 mm 实验过程中, 控制器参数为 ${k_1}=251$ , ${k_2}=364$ , ${k_3}=5.1 \times {10^{ -3}}$ , ${k_4}=2.93$ , ${k_{i1}}=76$ , ${k_{i2}}=19$ , ${k_{i3}}$ $=3\times {10^{ -5}}$ , ${k_{i4}}=0.03$ , ${\alpha _1}=890$ , ${\alpha _2}=1.2 \times {10^3}$ , ${\alpha _3}=4.1 \times {10^5}$ , ${\alpha _4}=280$ ; 自适应参数为 ${p_0}=350$ , ${p_{11}}$ $=$ $ 38$ , ${p_{12}}=65$ , ${p_{13}}=130$ , ${p_{14}}=8$ , ${p_{21}}=1 330$ , ${p_{22}}=96$ , ${p_{23}}=870$ , ${p_{24}}=410$ , ${p_{31}}=81$ , ${p_{32}}=$ $ 55$ , ${p_4}=0.5$ , ${p_5}=9$ , ${p_6}=75$ ; 估计初始参数为 ${b_0}$ $=20 {\rm N/m}$ , ${b_1}=250 {\rm N\cdot s/m}$ , ${b_2}=100 {\rm N}$ , ${b_3}={b_4}=$ ${b_5}$ $=$ $ 0$ .本文提出的系统参数如表 2所示.
表 2 系统参数Table 2 The system parameters参数 值/单位 参数 值/单位 $ {P_s}$ $ 9 {\rm MPa}$ $ {C_d}$ $ 0.62$ $ {P_r}$ $ 0 {\rm MPa}$ $ W$ $ \pi /4 \times {10^{ -3}} {\rm {m^2}/m}$ $ {A_1}$ $ 3.14 \times {10^{ -4}} {\rm {m^2}}$ $ {C_{tm}}$ $ 1 \times {10^{ -5}} {\rm {m^3}/s/MPa}$ $ {A_2}$ $ 2.355 \times {10^{ -4}} {\rm {m^2}}$ $ {C_{em1}}$ $ 1 \times {10^{ -8}} {\rm {m^3}/s/MPa}$ $ {V_{10}}$ $ 8.5 \times {10^{ -5}} {\rm {m^3}}$ $ {C_{em2}}$ $ 1 \times {10^{ -8}} {\rm {m^3}/s/MPa}$ $ {V_{20}}$ $ 5.36 \times {10^{ -5}} {\rm {m^3}}$ $ \rho $ $ 870 {\rm kg/{m^3}}$ $ {\beta _e}$ $ 690 {\rm MPa}$ $ {k_v}$ $ 0.25 {\rm m/A}$ $ M$ $ 20 {\rm kg}$ $ {\tau _v}$ $ 0.008 {\rm s}$ 因为系统自身参数不易改变, 为了使得系统性能更好, 对于系统控制参数和自适应参数的设计和调节尤为关键.式(14)虚拟控制量包含了该系统的主要控制参数 ${k_i}$ , ${k_{ij}}$ , ${\alpha _i}$ , $i=1, \cdots, 4$ , $j=1, \cdots, 4$ .从该式的各项组成形式容易看出, 每一阶系统的虚拟控制量主要都含有像PID控制中一样作用的比例项和积分项, 可分别看作自适应项和鲁棒项, 此外下一阶系统的虚拟控制量含有与上一阶系统相关的耦合控制.为调节该系统控制参数, 可将该四阶系统分割为4个独立的一阶系统, 然后各自调节其相应的比例参数 ${k_i}$ , $i=1, \cdots, 4$ 和积分参数 ${k_{ij}}$ , $j=1 $ , $\cdots$ , $4$ , 使其对应式(13)中的误差状态较好地收敛到0, 调节方法与PID参数调节相同.而从式(14)和式(33)可以看出, ${\alpha _i}$ , $i=1, \cdots, 4$ 体现的物理意义是下一阶系统与上一阶系统的耦合关系程度强弱(与 ${{{\alpha _i}}}/{{{\alpha _{i + 1}}}}$ 成正比), 同时 ${\alpha _i}$ , $i=1, \cdots, 4$ 和自适应参数 $\Gamma={\rm diag}\{ {P_0}, {P_1}, {P_2}, {P_3}, {P_4}, {P_5}, {P_6}\} $ 也共同决定自适应律的大小.调节该参数的目的就是使估计参数能尽快较好地逼近系统真实值, 自适应律太大, 估计值容易抖动, 难以稳定逼近系统被估计参数真实值; 自适应律太小, 逼近的速度又太慢, 不符合系统高性能要求.系统可调节参数的调节思想正是如此, 具体调节步骤与文献[8]相同.
对比实验在同一实验平台相同条件下进行, 实验为正弦跟踪给定负载轨迹 $0.03\sin (\pi t/2) + 0.05 {\rm m}$ , 其各自的跟踪性能如图 3所示.由图 3可知, 两类控制器的控制误差均在 $ \pm 1 {\rm mm}$ 左右, 新方法设计的自适应鲁棒控制器的控制误差要比经典自适应鲁棒控制器小点, 且包含的高频噪声要少很多.这主要是由于本文提出的自适应鲁棒控制器设计新方法在设计过程中考虑了传感器等系统含有的噪声等不确定因素, 并运用在系统控制中.因此, 从如图 4所示的两类控制器实验中的伺服阀控制电流可以看出, 新方法设计的自适应鲁棒控制器的控制量波动要比经典自适应鲁棒控制器大, 主要是因为包含了传感器噪声等反馈量.
图 5给出了新方法设计的自适应鲁棒控制器下的系统压力曲线和对比实验的负载力估计值和实际测量值曲线.通过比较可得, 在考虑实际系统中的传感器噪声等不确定因素后, 负载力的估计值显然更能准确地逼近实际测量值, 从而可以把更为精确的负载力估计值用在系统补偿控制中.这对控制器的控制性能来说是非常有意义的.
图 5 对比实验负载力估计曲线和压力曲线Fig. 5 The load force estimations and actual pressures of comparative experiments图 6给出了系统控制器推导过程中需要直接进行估计的一些参数估计曲线.图中各参数的变化趋势和系统建模时的分析一致, 最后的收敛值也和实际系统的特性相同.因此, 该新方法设计的自适应鲁棒控制器的自适应估计是行之有效的.
综上所述, 通过对比实验验证了该自适应鲁棒控制器设计新方法的可行性, 且相比于经典自适应鲁棒控制方法具有一定的优势.
5. 结论
本文提出了一种自适应鲁棒控制器设计新方法, 并将其运用在阀控缸电液位置伺服系统中.在充分考虑系统中可能影响其控制性能的所有元素的基础上, 对该系统进行数学建模, 建立其控制状态空间表达式, 以推导系统的控制器, 而后验证该闭环系统李亚普诺夫稳定.最后进行对比实验验证该控制方法的可行性、有效性和自适应抗干扰上的优势.
该方法与经典的基于"积分反步"的自适应鲁棒控制器设计方法有很大不同, 并不需要根据系统阶次一步一步反步推演计算以求得系统的控制率, 而是通过列出系统的全状态空间表达式(10)和含有虚拟控制量的控制状态空间表达式(11), 通过做差得到误差状态空间表达式(13), 并给出相应的虚拟控制量(14), 再根据自适应函数(33)以及李亚普诺夫稳定性(34)求得系统的自适应律(22), 最后由式(11)和式(14)推导出自适应鲁棒控制率(27).这样的设计方法相对来说比较简洁紧凑, 且直观性强.另一方面, 引入状态观测器来观测不易测量的状态 ${x_4}$ 阀芯位移, 用于控制率的计算.该设计方法几乎涵盖了系统中所有的不确定项和传感器噪声, 具有一定的普遍性, 可以推广运用到其他同类系统中.
然而, 虽然此控制器更加全面地考虑了来自传感器等的不确定因素, 但反而也受限于传感器的性能指标.故未来工作将着重研究传感器的性能参数对该控制算法能够达到的控制性能的影响.另外也将涉及另一热门研究:高控制性能、低成本和节能同时兼顾的电液伺服系统.
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图 2 阀控缸电液位置伺服系统实验平台
Fig. 2 The experimental platform of valve-control-cylinder electro-hydraulic position servo system
图 5 对比实验负载力估计曲线和压力曲线
Fig. 5 The load force estimations and actual pressures of comparative experiments
表 1 电液伺服系统硬件配置
Table 1 The hardware of electro-hydraulic servo system
组件 型号与参数 伺服电机 MDME152GCGM 泵 MCY14-13 溢流阀 Rexroth 伺服阀 FF-101/8 位移传感器 LVDT(WY-100L) 压力传感器 TRAFAG8251.84.25.17/NAT4000A 控制器 TMS320F28335 液压缸 $L$ : 100 mm, $D$ (piston): 20 mm, $D$ (rod): 10 mm 
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表 2 系统参数
Table 2 The system parameters
参数 值/单位 参数 值/单位 $ {P_s}$ $ 9 {\rm MPa}$ $ {C_d}$ $ 0.62$ $ {P_r}$ $ 0 {\rm MPa}$ $ W$ $ \pi /4 \times {10^{ -3}} {\rm {m^2}/m}$ $ {A_1}$ $ 3.14 \times {10^{ -4}} {\rm {m^2}}$ $ {C_{tm}}$ $ 1 \times {10^{ -5}} {\rm {m^3}/s/MPa}$ $ {A_2}$ $ 2.355 \times {10^{ -4}} {\rm {m^2}}$ $ {C_{em1}}$ $ 1 \times {10^{ -8}} {\rm {m^3}/s/MPa}$ $ {V_{10}}$ $ 8.5 \times {10^{ -5}} {\rm {m^3}}$ $ {C_{em2}}$ $ 1 \times {10^{ -8}} {\rm {m^3}/s/MPa}$ $ {V_{20}}$ $ 5.36 \times {10^{ -5}} {\rm {m^3}}$ $ \rho $ $ 870 {\rm kg/{m^3}}$ $ {\beta _e}$ $ 690 {\rm MPa}$ $ {k_v}$ $ 0.25 {\rm m/A}$ $ M$ $ 20 {\rm kg}$ $ {\tau _v}$ $ 0.008 {\rm s}$
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